Materi tutorialuts kaled3warna

3 Turunan

3.1 De�nisi Turunan

1. Rumus de�nisi turunan:

� Turunan di suatu bilangan/titik tertentu

f 0 (a)=limx!a

f (x)� f (a)x� a atau

f 0 (a)=limh!0

f (a+ h)� f (a)h

;

dengan a suatu bilangan tertentu dan asalkan limitnya ada.

� Turunan sebagai fungsi

f 0 (x)=limp!x

f (p)� f (x)p� x ; atau

f 0 (x)=limh!0

f (x+ h)� f (x)h

;

asalkan limitnya ada.

2. Persamaan garis singgung

Persamaan garis singgung dari kurva y = f (x) di x = a adalah

y � f (a) = f 0 (a) (x� a).

3. Kaitan Turunan dengan kekontinuan

"Jika f 0 (a) ada, maka f kontinu di a"

yang ekuivalen dengan

"Jika f tidak kontinu di a, maka f 0 (a) tidak ada".

3.1.1 Contoh

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) = x�x2. Dengan menggunakan de�nisiturunan, tentukan f 0(1).

Jawab:

3.1 De�nisi Turunan 3 TURUNAN

Cara 1:

f 0 (1) = limx!1

f (x)� f (1)x� 1

= limx!1

(x� x2)� 0x� 1

= limx!1

�x (x� 1)x� 1

= limx!1

(�x) = �1

Cara 2: (pilih salah satu)

f 0 (1) = limh!0

f (1 + h)� f (1)h

= limh!0

[(1 + h)� (1 + h)2]� 0h

= limh!0

1 + h� (1 + 2h+ h2)h

= limh!0

1 + h� 1� 2h� h2h

= limh!0

�h� h2h

= limh!0

h (�1� h)h

= limh!0

(�1� h) = �1� 0 = �1:

2. Dengan menggunakan de�nisi turunan tentukan f 0 (x) bila f (x) =5x+ 3:

Jawab: Misalkan f (x) = 5x+ 3; maka

f 0 (x) = limp!x

f (p)� f (x)p� x

= limp!x

(5p+ 3)� (5x+ 3)p� x

= limp!x

5p+ 3� 5x� 3p� x

= limp!x

5 (p� x)p� x

= limp!x

5

= 5:

Tutorial Kalkulus (UTS) Edisi 3 2 Farida Hanum 2009


Dengan rumus satunya (pilih salah satu)

f 0 (x) = limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

[5 (x+ h) + 3]� (5x+ 3)h

= limh!0

5x+ 5h+ 3� 5x� 3h

= limh!0

5h

h= lim

h!05

= 5:

3. Misalkan diberikan fungsi

f (x) =

�x+ 1; x � �1

�x� 1; x < �1

Dengan menggunakan de�nisi turunan, periksa apakah f 0 (�1) ada.Jawab:

Misalkan diberikan fungsi

f (x) =

�x+ 1; x � �1

�x� 1; x < �1

Turunan dari arah kiri (turunan kiri)

f0

� (�1) = limx!�1�

f (x)� f (�1)x� (�1)

= limx!�1�

�x� 1� 0x+ 1

= limx!�1�

� (x+ 1)x+ 1

= �1:

Turunan dari arah kanan (turunan kanan)

f0

+ (�1) = limx!�1+

f (x)� f (�1)x� (�1)

= limx!�1+

x+ 1� 0x+ 1

= 1:

Karena limx!�1�

f (x)� f (�1)x� (�1) 6= lim

x!�1+f (x)� f (�1)x� (�1) ; maka f 0 (�1)

tidak ada.

4. Tentukan konstanta a dan b agar f terdiferensialkan di x = 5; dengan

f (x) =

�2x+ a; x � 5x2 � bx; x > 5 :



Jawab:

f (x) =

�2x+ a; x � 5x2 � bx; x > 5 :

Jika f tidak kontinu di x = 5; maka f 0 (5) tidak ada. Jadi haruslah fkontinu di x = 5: Berarti

limx!5�

f (x) = limx!5+

f (x) = f (5)

limx!5�

(2x+ a) = limx!5+

�x2 � bx

�= 10 + a

10 + a = 25� 5b = 10 + a10 + a = 25� 5b (1)

Turunan dari arah kiri

limx!5�

f (x)� f (5)x� 5 = lim

x!5�(2x+ a)� (10 + a)

x� 5 = limx!5�

2 (x� 5)x� 5 = 2:

Turunan dari arah kanan

limx!5+

f (x)� f (5)x� 5 = lim

x!5+(x2 � bx)� (10 + a)

x� 5

= limx!5+

(x2 � bx)� (25� 5b)x� 5 (dari Pers. (1))

= limx!5+

x2 � 25� bx+ 5bx� 5

= limx!5+

(x� 5) (x+ 5)� b (x� 5)x� 5

= limx!5+

(x� 5) (x+ 5� b)x� 5

= limx!5+

(x+ 5� b)

= 10� b:

Agar f 0 (5) ada, maka haruslah

2 = 10� b ) b = 8

Dari Persamaan (1) diperoleh

10 + a = 25� 5 (8)a = �15� 10 = �25:

3.1.2 Soal Latihan

1. Dengan menggunakan de�nisi turunan, tentukan f 0 (1) untuk

(a) f (x) = 5x� 4(b) f (x) = x2 + 2x



(c) f (x) = 5

(d) f (x) =px+ 3

2. Tentukan pers. garis singgung kurva y = f (x) pada soal nomor 1 dix = 1:

3. Tentukan f 0 (x) untuk

(a) f (x) = x2 + 2x� 4(b) f (x) = �2 + 1

(c) f (x) =1

x� 2

4. Periksa apakah g0 (�1) ; g0 (2) ; dan g0 (4) ada untuk

g (x) =

8<:4; �3 � x < �1

5� x2; �1 � x � 23x2 � 2; x > 2

5. UTS Kalkulus 1 1995 no. 6

Diketahui fungsi f dengan aturan

f (x) = x jx+ 2j :

Gunakan de�nisi turunan untuk mencari f 0 (x), kemudian tentukandaerahnya (Df 0):

6. UTS Kalkulus/Kalkulus 1 tahun 2003 no. 2.

Diberikan fungsi f dengan f (x) = x23 :

(a) Dengan menggunakan de�nisi turunan, periksa apakah f mem-punyai turunan di x = 0:

(b) Tentukan persamaan garis singgung gra�k fungsi f di titik (8; 4) :

7. UTS th. 2000 no. 2. Diketahui fungsi

f(x) =

� px ; 0 < x � 1

ax2 + bx ; x > 1

Tentukan konstanta a dan b agar f 0(1) ada.

� Periksa kekontinuan dulu, baru turunan dari arah kiri dan kanan.

8. Tentukan (jika ada) nilai konstanta a dan b agar fungsi

f(x) =

�a(x+ 3) ; 0 < x � 2x2 � bx ; x > 2

mempunyai turunan di x = 2.


3.2 Rumus-rumus Turunan dan Aturan Rantai 3 TURUNAN

9. Misalkan f suatu fungsi yang terde�nisi pada < dan xo 2 <. Jikaf 0(xo) ada, periksa apakah fungsi g dengan

g(x) =

�f(x) ; x � xof 0(xo)(x� xo) + f(xo) ; x > xo

mempunyai turunan di xo ? Jika g mempunyai turunan di xo, tentukang0(xo).

10. Dengan menggunakan de�nisi turunan, tunjukkan bahwa:

(a) Turunan fungsi ganjil adalah fungsi genap.

(b) Turunan fungsi genap adalah fungsi ganjil.

3.2 Rumus-rumus Turunan dan Aturan Rantai

1. Periksa lagi Aturan Pencarian Turunan (termasuk (uv)0 ; dan�uv

�0)

2. Aturan Rantai

Jika y fungsi dari u; dan u fungsi dari x; maka

dy

dx=dy

du

du

dx(notasi Leibniz), atau

dengan notasi fungsi komposisi

(f � g)0 (x) = f 0 (g (x)) g0 (x)

Soal Latihan:

1. Hitungdy

dxuntuk

(a) y = 5x7 + x13 +

4

x� 2:

(b) y =px tan x

(c) y =�x3=2 � 4x

��x4 � 3

x2

�(d) y =

x2 � 2x2 + 1

(e) y =4x2 + 5

cosx


3.2 Rumus-rumus Turunan dan Aturan Rantai 3 TURUNAN

2. Tentukan f 0 (x) untuk fungsi f dengan

f (x) =

�x2 + x ; �1 � x � 0x� 2 ; 0 < x � 4

3. Tentukan turunan fungsi berikut

f (x) = (2x+ 1)4 + sin2�x3 + 1

�:

4. Tentukan

(a)dy

dxuntuk y = [sin (2x� 1)]2 :

(b)dy

dxjika y = cos3 (�x2) (UTS 2001 no. 1b.)

(c)dy

dxjika y =

px sinx

(d)dy

dxjika y = sin

�2x

x+ 1

�5. Misalkan f (x) = x2 � 5x; g (x) =

px: Tentukan

(a) (f + g)0 (1)

(b) (fg)0 (1)

(c)

�f

g

�0(1)

(d) (f � g)0 (1) ;(e) (g � f)0 (1) :

6. Carilah f 0 dalam bentuk g0 :

(a) f (x) = x2g (x)

(b) f (x) = [g (x)]2

(c) f (x) = g (x2)

(d) f (x) = g (g (x))

7. Misalkan f (x) = x2 � 2x; g (2) = 1; dan g0 (x) = 3: Tentukan

(a) (f � g)0 (2) ;(b) (g � f)0 (2) :

8. Carilah f 0 (x) jika diketahui bahwad

dx[f (2x)] = x2:


3.3 Turunan Implisit dan Turunan Tingkat Tinggi 3 TURUNAN

9. UTS 2002 no. 1: Tentukan persamaan garis singgung dari kurva

f (x) =2

x2 + 1di titik (1; 1) :

10. UTS 1997 no. 1.

Diberikan fungsi f(x) =6px+ 6

. Jawablah pertanyaan di bawah ini.

(a) Perlihatkan bahwa titik (3,2) terletak pada gra�k f .

(b) Tentukan kemiringan garis singgung kurva pada fungsi f di titik(3,2).

(c) Tentukan persamaan garis singgung tersebut.

11. UTS 1997 no. 2b. Tentukan turunan pertama dari fungsi di bawahini

g(x) =

psin(x2)

x

12. UTS 1997 no. 2c: Misalkan g adalah suatu fungsi yang dapat

didiferensialkan, dan g0(x) =5

3px2. Lebih lanjut diketahui bahwa

f(x) = g(x2 + 1). Tentukanlah f 0(x).

13. UTS 2001 no. 5.

Diketahui f dan g adalah fungsi dari R ke R yang memenuhi

f 0 (x) =1

x; dan (f � g) (x) = f (g(x)) = x:

Tunjukkan bahwa g0 (x) = g (x) :

14. UTS 2004 no. 6

Diberikan f(x) = jxj dan g(x) = sin(x+ �). Jika ada, tentukan

(a) f 0(x).

(b)d

dx(f(x) + g(x)).

3.3 Turunan Implisit dan Turunan Tingkat Tinggi

3.3.1 Contoh

1. Tentukandy

dxdari fungsi implisit berikut

x2y + xy2 = sinx:



Jawab:

d

dx

�x2y + xy2

�=

d

dx(sinx)

2xy + x2dy

dx+ 1

�y2�+ x

�2ydy

dx

�= cosx�

x2 + 2xy� dydx

= cosx� 2xy � y2

dy

dx=

cosx� 2xy � y2x2 + 2xy

2. Tentukan turunan ke n dari fungsi f dengan

f (x) =1

(2x� 5)2.

Jawab:

f (x) =1

(2x� 5)2= (2x� 5)�2 :

f 0 (x) = (�2) (2x� 5)�3 (2)f 00 (x) = (�2) (�3) (2x� 5)�4

�22�

f000(x) = (�2) (�3) (�4) (2x� 5)�5

�23�

...

f (n) (x) = (�1)n (n+ 1)! (2x� 5)�(n+2) 2n:

3.3.2 Soal Latihan

1. Tentukandy

dxdari persamaan implisit

(a) 3x2 + y2 � 3y = 3:(b) sin (xy) + x2 = x� y

(c)y

x+ 1� 3y = tanx

2. Tentukandy

dtdari persamaan implisit:

(a) y2 + t2 � 2yt = 3:(b) ty2 � 2y = 2:

3. Tentukandy

dxpada titik (1; 1) dari persamaan

sin�xy � y2

�� x2 + 1 = 0:



4. UTS th. 2000 no. 5 Tentukan persamaan garis singgung pada

kurva cos y = 5x2 + xy2 di titik (0;�

2).

5. UTS tahun 2003 no. 3 Jika sin (y) = x�x3; tentukan�dy

dx+ 2

dx

dy

�6. Misalkan 4x + y2 = 25 dan

dx

dt= 5: Gunakan aturan rantai dan pen-

diferensialan implisit untuk menentukandy

dtbila y = 3:

7. Misalkan 2 sin x + 4 cos y = 3; dandy

dt= 3: Tentukan

dx

dtdi titik��

6;�

3

�:

8. Tentukandy

dtjika 8x3 + 27y3 � 4xy = 0 dan t3 + t2x� x3 = 4:

9. Tentukandy

dxdan

d2y

dx2dari persamaan implisit

x2 + xy + y2 = 1:

10. Tentukand2y

dx2di titik (2; 1) jika 2x2y � 4y3 = 4:

11. Tentukan turunan ke-n ataudny

dxnatau f (n) (x) dari

y = f (x) =4

2x+ 1:

12. Tentukan turunan ke-n dari fungsi f berikut

f(x) = 1 +b� ax+ a

dengan a; b konstanta real.

13. Tentukan turunan ke-n dari fungsi f berikut

f (x) =p2x+ 1:

14. Tentukan f (2008) (x) jika

(a) f (x) = sin 3x

(b) f (x) = x3 + 4x2 � 1


3.4 Laju yang Terkait 3 TURUNAN

3.4 Laju yang Terkait

Strategi:

1. Baca masalah dengan seksama.

2. gambarkan diagram jika mungkin.

3. Perkenalkan notasi. Berikan lambang kepada semua besaran yangmerupakan fungsi dari waktu.

4. Nyatakan informasi yang diketahui dan laju yang diperlukan dalambentuk turunan.

5. Tuliskan persamaan yang mengaitkan beragam besaran dari masalahtersebut. Jika perlu, gunakan geometri untuk menghilangkan satupeubah melalui substitusi.

6. Gunakan Aturan Rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan se-cara implisit terhadap t:

7. Substitusi informasi yang diketahui ke dalam persamaan yang dihasilkandan pecahkan untuk laju yang tidak diketahui tersebut.

[Stewart, 1998]

3.4.1 Contoh:

1. Jika bola salju mencair sehingga luas permukaannya menyusut padalaju 1 cm2=menit, maka carilah laju berkurangnya garis tengah padawaktu garis tengah adalah sebesar 10 cm. (Petunjuk: Luas per-mukaan bola berjari-jari r adalah 4�r2)

Jawab:

Misalkan

L = luas permukaan bola,

r = jari-jari bola,

p = 2r = garis tengah bola ) r = 12p

Diketahui:dL

dt= �1 cm2=menit (nilai negatif karena luas permukaan-

nya menyusut)

Ditanyakan:dp

dtpada saat p = 10 cm.

Persamaan:

L = 4�r2 = 4��p2

�2= �p2



Dengan menurunkan persamaan ini secara implisit terhadap t; diper-oleh

dL

dt= 2�p

dp

dt:

Pada saat p = 10;

�1 = 2� (10)dp

dtdp

dt= � 1

20�

Jadi, garis tengah bola berkurang dengan kecepatan � 1

20�cm/menit

(berarti dengan laju1

20�cm/menit).

Catatan: laju = jkecepatanj

2. Suatu tabung lingkaran tegak (silinder) dipanaskan sehingga tinggitabung dan jari-jari lingkaran berubah dengan laju masing-masing sebe-sar 2 cm/detik. Hitunglah laju perubahan volume tabung tersebutpada saat tinggi tabung 10 cm dan jari-jari lingkaran 5 cm.

Jawab:

Misalkan

h adalah tinggi tabung pada saat t;

r adalah jari-jari tabung pada saat t;

V adalah volume tabung pada saat t:

Diketahui:dr

dt=dh

dt= 2 cm/detik

DitanyakandV

dtpada saat h = 10 cm dan r = 5 cm.

Persamaan yang menghubungkan laju yang ditanyakan dengan lajuyang diketahui:

V = �r2h:

Jika kedua ruas persamaan ini diturunkan secara implisit terhadap t;diperoleh

dV

dt= �

�2rdr

dth+ r2

dh

dt

�:

Pada saat h = 10 dan r = 5 :

dV

dt= �[2 (5) (2) (10) +

�52�(2)]

= 250�

Jai laju perubahan volume pada saat tinggi tabung 10 cm dan jari-jaritabung 5 cm adalah 250 � cm/detik.



3.4.2 Soal Latihan

1. Volume kubus bertambah pada laju 10 cm3/menit. Berapa cepat luaspermukaan bertambah pada waktu panjang sisi 30 cm?

2. Air bocor keluar dari tangki kerucut terbalik pada laju 10.000 cm3=menit.Pada saat yang sama air dipompakan ke tangki pada laju konstan.Tangki mempunyai tinggi 6 m dan garis tengah di bagian atas adalah4 m. Jika permukaan air naik pada laju 20 cm/menit pada saat tinggiair 2 m, carilah laju pemompaan air ke tangki.

3. Sebuah tangga yang panjangnya 18 m bersandar pada dinding vertikalyang tingginya 12 m sehingga ujung atas tangga melewati dinding.Apabila ujung bawah tangga ditarik mendatar menjauhi dinding den-gan laju 2 m per detik, tentukan laju berubahnya sudut pada saattangga tersebut membentuk sudut 60� terhadap tanah:(Petunjuk:tan 60� =

p3; cos 60� = 1

2; sin 60� = 1

2

p3:)

4. UTS tahun 2004 no. 4. Beberapa buldoser milik PT TSLB(Tukang Sulap Lahan Bersejarah) meraung-raung untuk mengeruk danmeratakan sebuah lapangan olahraga menjadi lahan parkir bus wisata.Tanah yang dihasilkan kemudian diangkut untuk ditimbun di suatulokasi tak jauh dari lapangan tersebut. Timbunan tersebut memben-tuk kerucut dengan tinggi (h) yang sama dengan jari-jari (r). Vol-ume timbunan (V ) bertambah dengan laju 4 m3/menit. Tentukanberapa laju pertambahan tinggi timbunan ketika jari-jarinya 2 meter.(V = 1

3�r2h).

5. Ujian 1 Kalkulus(1) Semester Pendek 2004 no. 6. Tinggi se-buah segitiga bertambah pada laju 1 cm/menit sedangkan luas segitigabertambah dengan laju 2 cm2 /menit. Pada laju berapakah alas segit-iga berubah pada waktu tinggi segitiga 10 cm dan luas segitiga 100cm?

6. UTS Kalkulus/Kalkulus1 2005 no. 7. Seorang pria dengantinggi 2 meter berjalan dengan laju 1 m/det mendekati sebuah tianglampu setinggi 3 meter. Dengan kecepatan berapa panjang bayangan-nya berubah pada saat dia berjarak 2 meter dari tiang lampu?

7. UTS Kalkulus 1 th. 2001 no. 7. Sebuah tangki berbentuk kotakdengan alas bujursangkar dengan sisi 60 cm dan tinggi tangki 100 cmdiletakkan di atas drum berbentuk silinder dengan jari-jari 30 cm dantinggi 100 cm. Mula-mula tangki tersebut penuh dengan air sedangkandrum dalam keadaan kosong. Kemudian air di tangki dialirkan kedalam drum dengan laju tertentu sehingga laju turunnya tinggi air ditangki adalah 10 cm/menit. Tentukan laju naiknya tinggi air di dalamdrum pada saat tinggi air di drum 40 cm.



8. (UTS 2007 no. 10) Ketika sedang menyaksikan suatu pamerankedirgantaraan, Mr. Rate melihat sebuah pesawat tempur (P ) melintaslurus di depannya dengan laju 500 km/jam. Jarak terdekat lintasanpesawat tersebut terhadap penonton (Mr. Rate, R) adalah 0,5 km(lihat gambar).

(a) Tentukan laju sudut pandang penonton-pesawat dan garis lurusyang tegak lurus terhadap lintasan pesawat (�) terhadap waktu t,

yaitud�

dt; sebagai fungsi dari �:

(b) Tentukan nilai maksimum darid�

dt:


4 Penggunaan Diferensiasi

4.1 Maksimum-minimum Mutlak

1. "Jika f kontinu pada selang tutup [a; b] ; maka f mencapai nilai maksi-mum mutlak/global f (c) dan nilai minimum mutlak/global f (d) padasuatu bilangan c dan d dalam [a; b]".

2. Metode selang tutup

(a) Tentukan bilangan kritis dari f; yaitu c dengan f 0 (c) = 0 atauf 0 (c) tidak ada.

(b) Tentukan nilai fungsi f di bilangan kritis dan titik-titik ujungselang.

(c) Tentukan nilai fungsi terbesar dan nilai terkecil.

4.1.1 Contoh

1. Diketahui fungsi f dengan

f (x) =1

3x3 � 2x2 + 3x:

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum global fungsi f padaselang [0; 2] :

Jawab:

f (x) =1

3x3�2x2+3x: Karena f fungsi polinom, maka f kontinu pada

selang tutup [0; 2] :

f 0 (x) = x2 � 4x+ 3 = (x� 1) (x� 3) :

f 0 (x) = 0 untuk x = 1; x = 3: Karena 3 =2 [0; 2] maka x = 3 bukanbilangan/titik kritis fungsi f: Dan karena f 0 (x) selalu ada pada selang[0; 2] maka satu-satunya bilangan kritis fungsi f adalah x = 1:

Titik ujung selang: x = 0; x = 2:

x f (x) Keterangan0 0 nilai minimum global: 0

11

3� 2 + 3 = 4

3nilai maksimum global:

4

3

28

3� 8 + 6 = 2

3

4.2 Maksimum-minimum Lokal 4 PENGGUNAAN DIFERENSIASI

4.1.2 Soal Latihan

1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum mutlak/global fungsi fdengan

(a) f (x) = 3x5 � 5x3 � 1 pada selang [�2; 2]

(b) f (x) = x2 +2

xpada selang

�1

2; 2

�(c) f (x) =

p9� x2 pada selang [�1; 2]

(d) f (x) =x

x2 + 1pada selang [0; 2] :

(e) f (x) = 6px� 3x pada selang [0; 9] (UTS 2002 no. 2)

(f) f(x) = x3 + 4x pada selang [�2; 2] (UTS th. 1999 no. 2)

(g) f (x) = sinx+ cosx pada selangh0;�

3

i:

(h) f (x) = 13x3 � 2x2 + 3x pada selang [0; 2] (UTS 2005 no. 3).

2. UTS Kalkulus/Kalk1 Semester Pendek 2004 no. 5.

Periksa apakah fungsi f dengan

f(x) =1

3x3 � 1

2x2 � 2x+ 1

pada [�2; 2] mempunyai nilai ekstrim global? Jika ada, tentukan nilaiekstrim globalnya.

3. UTS 2004 no. 9a Diketahui fungsi f dengan

f (x) =

�x2 + x ; �1 � x � 0px� x ; 0 < x � 4

Tentukan : nilai maksimum global dan nilai minimum global fungsi fpada [�1; 4].

4.2 Maksimum-minimum Lokal

1. Uji Turunan Pertama

Andaikan c bilangan kritis dari fungsi kontinu f:

(a) Jika f 0 berubah dari positif ke negatif pada c; maka f mempunyaimaksimum lokal pada c:

(b) Jika f 0 berubah dari negatif ke positif pada c; maka f mempunyaiminimum lokal pada c:

(c) Jika f 0 tidak berubah tanda pada c, maka f tidak mempunyaimaksimum atau minimum lokal di c:


4.2 Maksimum-minimum Lokal 4 PENGGUNAAN DIFERENSIASI

2. Uji Turunan Kedua (lebih lemah)

Andaikan f 00 kontinu dekat c:

(a) Jika f 0 (c) = 0 dan f 00 (c) > 0; maka f mempunyai minimum lokalpada c:

(b) Jika f 0 (c) = 0 dan f 00 (c) < 0; maka f mempunyai maksimumlokal pada c:

Soal Latihan:

1. Tentukan (jika ada) nilai maksimum dan minimum lokal dari f den-gan menggunakan Uji Turunan Pertama. Bandingkan hasilnya denganmenggunakan Uji Turunan Kedua.

(a) f (x) = x5 � 5x+ 3(b) f (x) = 1 + (x+ 1)2

(c) f (t) =1

t(d) f (�) = sin �

(e) f (x) = x+p1� x

(f) f (x) =

�x2; jika � 1 � x < 0

2� x2; jika 0 � x � 1

2. UTS Kalkulus th. 2001 no. 3.

Diketahui fungsi f dengan

f (x) = x4 � 4x3 di R:

Tentukan nilai ekstrim lokal fungsi f dan jenisnya.

3. UTS 2004 no. 9b Diketahui fungsi f dengan

f (x) =

�x2 + x ; �1 � x � 0px� x ; 0 < x � 4

Tentukan nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal fungsi f pada(�1; 4).


4.3 Sketsa Gra�k 4 PENGGUNAAN DIFERENSIASI

4.3 Sketsa Gra�k

� Persamaan Garis Asimtot

1. Asimtot Tegak:

Garis x = a adalah asimtot tegak gra�k fungsi f jika salah satudari pernyataan berikut berlaku:

limx!a+

f (x) = +1; limx!a�

f (x) = +1;

limx!a+

f (x) = �1; limx!a�

f (x) = �1:

2. Asimtot Datar:

Garis y = b adalah asimtot datar dari kurva fungsi f jika salahsatu dari pernyataan berikut berlaku:

limx!1

f (x) = b; limx!�1

f (x) = b:

3. Asimtot Miring:

Garis y = mx + b merupakan asimtot miring dari kurva fungsi fjika salah satu dari pernyataan berikut berlaku:

limx!1

[f (x)� (mx+ b)] = 0;

limx!�1

[f (x)� (mx+ b)] = 0

Soal Latihan:

1. Tentukan, jika ada, persamaan garis asimtot (datar, tegak, miring)dari:

(a) y =x

x+ 2

(b) y =x2 + 4

x2 � 4

(c) y =x3 + 1

x3 + x

(d) y =x3

x2 + 3x� 10

(e) y =1� x1 + x

(f) y =1

x� 1 � x

(g) y =x2

2x+ 5



2. UTS Kalkulus/Kalkulus1 2005 no. 6.

Tentukan persamaan garis dari asimtot-asimtot yang ada pada kurvafungsi

f (x) = x+ 1 +2

x2 � 4beserta alasannya.

3. Tentukan limit-limit berikut:

(a) limx!1

xpx2 + 1

(b) limx!�1

xpx2 + 1

� Langkah-langkah Pembuatan Sketsa Gra�k:Tentukan (jika ada)

1. Daerah asal fungsi

2. Titik potong dengan sumbu koordinat.

3. Turunan pertama: titik/bilangan kritis, naik-turun fungsi, nilai ek-strim lokal.

4. Turunan kedua: kecekungan fungsi, titik belok.

5. Asimtot: tegak, datar, miring

(sangat membantu jika juga dicari dari kedua arah: kiri-kanan, takhing-ga dan negatif takhingga)

6. Sketsa:

(a) Buat tabel ringkasan naik,turun, dan kecekungan fungsi

(b) Gambarkan garis asimtot pada bidang gambar

(c) Petakan titik-titik potong dengan sumbu, titik belok, titik ekstrimlokal beserta "ciri lekuk"nya.

(d) Sketsakan gra�k



4.3.1 Contoh

1. Tentukan sketsa gra�k fungsi f(x) =x2 � 5x+ 4

x:

Df = fxjx 6= 0gTitik potong dengan sumbu koordinat:

� sumbu-x! y = 0! x2 � 5x+ 4 = 0) (x� 4) (x� 1) = 0) titik pot.: (4; 0) ; (1; 0)

� sumbu-y ! x = 0 (tidak ada)

(a) Turunan pertama

f 0 (x) =(x� 2) (x+ 2)

x2

f 0 (x) = 0 untuk x = 2; x = �2; dan f 0 (x) tidak ada untuk x = 0:

Tanda f 0 (x) + (0) � (�) � (0) +�2 0 2

Fungsi f naik pada selang (�1;�2] dan selang [2;1); fungsi fturun pada selang [�2; 0); dan (0,2]:

Nilai maksimum lokal adalah f (�2) = (�2)� 5+ 4

�2 = �9; nilaiminimum lokal adalah f (2) = �1:

(b) Turunan kedua: f 00 (x) =8

x3

Tanda f 00 (x) �� (�) + + +0

Fungsi f cekung ke bawah pada selang (�1; 0) dan cekung keatas pada selang (0;1) :

(c) Asimtot:

Karena

limx!+1

[f (x)� (x� 5)] = limx!+1

4

x= 0;

maka garis y = x� 5 adalah asimtot miring dari fungsi f:Karena

limx!0�

f (x) = limx!0�

�x� 5 + 4

x

�= �1; atau

limx!0+

f (x) = +1

maka garis x = 0 merupakan asimtot tegak dari f:

Karenalimx!1

f (x) = +1 dan limx!�1

f (x) = �1;

maka f tidak mempunyai asimtot datar.



(d) Tabel ringkasan naik-turun dan kecekungan fungsi

=2 Df

�2 0 2f 0 ++ �� ++f 00 �� ++ ++

f

(e) Sketsa gra�k

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

10

10

20

x

y

f (x) =x2 � 5x+ 4

x

4.3.2 Soal Latihan

Tentukan sketsa gra�k fungsi

1. f (x) = x3 + 6x2 + 9x (tidak ada asimtot)

2. f (x) =x2 + 1

x2 � 1 (dua asimtot tegak, 1 asimtot datar)

3. Ujian I Semester Pendek 2005 no. 9.

f (x) =x2

x2 � 4 ; dengan f 0 (x) =�8x

(x2 � 4)2; f 00 (x) =

24x2 + 32

(x2 � 4)3

(dua asimtot tegak, 1 asimtot datar)

4. UTS 2004 no. 8.

f(x) =x2 � x+ 1x� 1 , dengan f 0(x) =

x2 � 2x(x� 1)2 , dan

f"(x) =2

(x� 1)3 .

(1 asimtot miring, 1 asimtot tegak)

5. UTS Kalkulus/Kalkulus1 2005 no. 9.

Gambarkan gra�k fungsi f yang memenuhi sifat-sifat berikut:


4.4 Masalah Pengoptimuman 4 PENGGUNAAN DIFERENSIASI

� f kontinu pada (�1; 0) [ (0;1) ; f (2) = 3; f (�2) = 0:� f 0 (x) > 0 pada (2;1) dan f 0 (x) < 0 pada (�1; 0)[(0; 2) ; f 0 (2) =0:

� f 00 (x) > 0 pada (0;1) dan f 00 (x) < 0 pada (�1; 0) :� limx!�1

f (x) = 2: limx!1

[f (x)� x] = 0:

� limx!0�

f (x) = �1; limx!0+

f (x) = +1:

4.4 Masalah Pengoptimuman

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Baca masalah dengan seksama.

2. Gambar diagram, jika memungkinkan.

3. Berikan lambang pada besaran yang harus dimaksimumkan atau di-minimumkan (misalkan Q): Beri lambang pada besaran takdiketahuilainnya.

4. Nyatakan Q dalam bentuk beberapa lambang dari Langkah 3.

5. Jika Q merupakan fungsi dari lebih satu peubah, maka nyatakan Qsebagai fungsi dari satu peubah.

6. Tentukan nilai maksimum atau minimum mutlak/global dari Q:

4.4.1 Contoh

1. Seseorang merencanakan membuat penakar beras dengan bahan lem-baran logam tipis. Penakar itu berbentuk silinder dengan jari-jari rdan tinggi h: Misalkan dikehendaki agar volume silinder itu 1 literdan ketebalan bahan dapat diabaikan. Bantulah orang tersebut dalammerancang penakar yang ekonomis dengan cara menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

(a) Rumuskan suatu fungsi A (r), dengan A adalah luas bahan yangdigunakan dalam pembuatan silinder yang merupakan fungsi darir semata-mata.

(b) Tentukan r dan h yang meminimumkan penggunaan bahan.

(c) Misalkan bahan tersebut terlebih dahulu perlu disemprot keduasisinya dengan cairan anti karat. Diketahui biaya penyemprotanRp 10/cm2: Tentukan biaya total minimum untuk penyemprotanitu.



Jawab:

Misalkan:

r = jari-jari silinder,

h = tinggi silinder,

maka volume silinder adalah

V = �r2h = 1 liter = 1000 cm3

=) h =1000

�r2:

Misalkan A adalah luas bahan yang digunakan untuk membuat penakaryang merupakan fungsi dari r; maka

A (r) = 2�rh+ �r2

= 2�r

�1000

�r2

�+ �r2

=2000

r+ �r2:

(a) Ukuran silinder (r dan h) yang meminimumkan penggunaan ba-han dapat diperoleh dari

dA

dr= �2000

r2+ 2�r = 0

2�r3 � 2000r2

= 0

2��r3 � 1000

�= 0

r3 =1000

�

r =3

r1000

�=10

�1=3cm.

Jadi

h =1000

�

�100

�2=3

� = 10

�1=3cm.

Perhatikan bahwad2A

dr2=4000

r3+ 2�;

dand2A

dr2> 0 untuk r =

10

�1=3; sehingga Amencapai minimum lokal

di r =10

�1=3: Selain itu,

d2A

dr2> 0 untuk setiap r > 0; sehingga

A fungsi yang cekung ke atas untuk r > 0: Jadi A mencapai

minimum global/mutlak di r =10

�1=3:



(b) Biaya penyemprotan Rp 10,00/cm2; dan bahan harus disemprotdi kedua sisinya. Jadi luas bahan yang disemprot adalah

2��2000

r+ �r2

�:

Biaya penyemprotan minimum jika ukuran silinder juga yang mem-

inimumkan biaya pembuatan bahan, yaitu dengan r =10

�1=3: Jadi

biaya penyemprotan minimum adalah

10� 2�2000

10=�1=3+ �

�100

�2=3

��= 20

�200�1=3 + 100�1=3

�= 6000�1=3 rupiah.

4.4.2 Soal Latihan

1. Carilah dua bilangan positif yang hasil kalinya 100 dan jumlah kedu-anya bernilai minimum.

2. Carilah dimensi/ukuran persegi panjang dengan keliling 100 m yangluasnya paling maksimum.

3. Carilah dua bilangan bulat positif sehingga jumlah bilangan pertamadan empat kali bilangan kedua adalah 1000 dan hasil kali bilangan-bilangan tersebut sebesar mungkin.

4. Margin atas dan bawah sebuah poster masing-masing 6 cm dan marginsamping masing-masing 4 cm: Jika luas bahan tercetak pada postertetap 384 cm2; carilah dimensi poster dengan luas terkecil.

5. UTS tahun 2003 no. 7 Suatu kotak tertutup berbentuk balok den-gan volume 400 cm3 mempunyai alas berbentuk persegi (bujur sangkar).Harga bahan untuk membuat bagian tutup dan bagian alas kotakadalah 1000,- rupiah per cm2; sedangkan harga bahan untuk bagiandinding (samping) adalah 540,- rupiah per cm2: Tentukan ukuran ko-tak tersebut agar biaya bahan yang diperlukan minimum.

6. UTS Kalkulus(1) Semester Pendek 2004 no. 9 Sebuah pem-bangkit tenaga listrik terletak di tepi sebuah "sungai lurus" yang lebarnya3 km. Sebuah pabrik terletak di seberang sungai 10 km ke arah hilirdari titik A yang tepat berseberangan langsung dengan pembangkit.Jalur mana yang paling hemat untuk pemasangan sebuah kabel yangmenghubungkan pembangkit tenaga listrik dengan pabrik jika biaya pe-masangan kabel di bawah air 2a rupiah per km dan biaya pemasangankabel di darat adalah a rupiah per km.

7. UTS Kalkulus/Kalkulus 1 2002 no. 9. Pak Koko memilikiseekor sapi. Untuk membiayai sekolah anaknya, ia merencanakan un-tuk menjual sapinya yang saat ini berbobot 100 kilogram. Jika Pak


4.5 Teorema Nilai Rata-rata 4 PENGGUNAAN DIFERENSIASI

Koko menunda penjualan sapinya, maka bobot sapi tersebut bertam-bah 1 kilogram per hari, tetapi ia harus menanggung biaya pemeli-haraan Rp 2.000,- per hari. Saat ini harga 1 kilogram sapi adalahRp 10.000,- dan harga ini turun Rp 50,- per hari. Berapa harikah PakKoko harus menunggu menjual sapinya agar keuntungan yang diperolehmaksimum. Catatan: yang dimaksud dengan "keuntungan" adalahpendapatan dikurangi biaya pemeliharaan selama menunda penjualan.

8. UTS tahun 2004 no. 10. Seorang simpatisan partai politik akanmenempel poster partainya pada tembok sebuah gedung tinggi. Padajarak 8 meter di depan gedung tersebut terdapat pagar setinggi 1 meter.Simpatisan tersebut akan membuat tangga yang menghubungkan jalandi luar pagar dengan tembok tinggi tersebut. Dengan berbekal penge-tahuan Kalkulus, bantulah simpatisan partai tersebut untuk menen-tukan panjang minimum tangga tersebut.

9. UTS 1998 no. 10. Pak Hamid adalah seorang nelayan yang tinggaldi sebuah desa yang letaknya di tepi pantai Pulau Batam. Suatu haridia diundang oleh seorang temannya yang tinggal di Singapura. Un-tuk bisa sampai di rumah temannya, dia merencanakan menggunakanperahu pribadinya sampai di pelabuhan Singapura, kemudian dari sanaperjalanan dilanjutkan dengan menggunakan mobil. Jarak yang ditem-puh dengan perahu adalah 10 km, sedangkan dengan mobil sejauh 20km.

Dia akan mengemudikan perahunya dengan kecepatan tetap x km/jam

dengan laju pemakaian bensinx2

100liter/jam. Diketahui kecepatan mo-

bil dua kali kecepatan perahu dengan pemakaian bensin satu setengahkali pemakaian bensin untuk perahu per jamnya. Ongkos sewa mobil(tanpa bensin) Rp 10000/jam. Jika harga bensin Rp 1000/liter,

(a) rumuskanlah fungsi biaya yang harus dikeluarkan Pak Hamid.

(b) Tentukanlah kecepatan perahu dan taksi yang meminimumkan bi-aya di atas.

4.5 Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata (untuk turunan)Misalkan f fungsi yang memenuhi hipotesis berikut:

1. f kontinu pada selang tertutup [a; b] ;

2. f terdiferensialkan pada selang terbuka (a; b) ;

maka terdapat bilangan c dalam (a; b) sehingga

f 0 (c) =f (b)� f (a)

b� a :



4.5.1 Contoh

1. Diberikan fungsi f dengan f (x) = x2 + 2x� 3 pada selang [0; 2] :

(a) Periksa apakah syarat berlakunya Teorema Nilai Rata-rata (TNR)terpenuhi.

(b) Gunakan TNR untuk mendapatkan nilai c:

Jawab:

f (x) = x2 + 2x� 3:

(a) Karena f fungsi polinom, maka f kontinu pada selang [0; 2] :

f 0 (x) = 2x+2 selalu ada untuk setiap x 2 (0; 2) : Ini berarti f ter-diferensiabel pada selang (0; 2) : Jadi syarat berlakunya TeoremaNilai Rata-rata dipenuhi f pada selang [0; 2] :

(b)

f 0 (c) =f (2)� f (0)

2� 0

2c+ 2 =5� (�3)

2= 4

2c = 2

c = 1

4.5.2 Soal Latihan

1. Periksa apakah TNR untuk turunan dapat diterapkan pada fungsi-fungsi berikut. Jika ya, tentukan nilai c yang dijamin TNR pada selangyang diberikan

(a) f (x) = x2 � 7; pada selang [2; 3](b) f (x) = x3 � x2 � x+ 1 pada selang [0; 2](c) f (x) = sinx pada selang

�0; �

2

�;

(d) f (x) =1

xpada selang [1; 3]

(e) f (x) =1

xpada selang [�1; 1] ;

(f) f (x) =x

x� 2 pada selang [�1; 1]

(g) f (x) =x

x� 2 pada selang [0; 3]

(h) f (x) = x1=3 pada elang [�1; 1] :

2. Jika f (1) = 10 dan f 0 (x) � 2 untuk 1 � x � 4; seberapa kecilkah nilaif (4) yang mungkin?



3. Jika f (0) = �3 dan f 0 (x) � 5 untuk semua nilai x; seberapa besarkahnilai f (2) yang mungkin?

4. Ujian I Kalkulus/Kalkulus 1 Semester Pendek 2005 no. 3.

Diberikan fungsi f dengan f (x) = x2 + 2x� 3 pada selang [0; 2] :

(a) Periksa apakah syarat berlakunya Teorema Nilai Rata-rata (TNR)terpenuhi.

(b) Gunakan TNR untuk mendapatkan nilai c:

5. UTS th. 1998 no. 3.

Perlihatkan bahwa jika f (x) = x2 + 2x + 1 pada selang [a; b] ; makabilangan c dari Teorema Nilai Rata-rata selalu berupa titik tengah dariselang tersebut.

6. UTS tahun 2004 no. 5.

Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti.Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mo-bilnya melebihi kecepatan yang diijinkan di jalan tol (maksimum 100km/jam). Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk menunjukkan bah-wa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.

7. UTS Kalkulus 2001 no. 6.

Periksalah apakah Teorema Nilai Rata-rata dapat diterapkan padafungsi dan selang [a; b] yang diberikan berikut ini. Bila dapat, ten-

tukan semua nilai c sehingga f 0 (c) =f (b)� f (a)

b� a :

(a) f (x) = x2=3, pada selang [0; 2] :

(b) g (x) = x+1

x, pada selang

��1; 1

2

�:

8. UTS tahun 2003 no. 10.

Andaikan bahwa fungsi f dan g kontinu pada [a; b] dan terturunkanpada (a; b) : Andaikan juga f (a) = g (a) dan f 0 (x) < g0 (x) untuka < x < b: Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikanbahwa f (b) < g (b) :


PUSTAKA PUSTAKA

Pustaka

[1] Stewart, J. 1998. Kalkulus. Jilid 1. Penerjemah: I N. usila & H. Gunawan.Erlangga, Jakarta. Terjemahan dari Calculus, Fourth Edition.

[2] Hanum, F (ed). 2006. Bank Soal Kalkulus TPB (1995-2005) . DepartemenMatematika FMIPA IPB, Bogor. Tidak dipublikasikan.


Materi tutorialuts kaled3warna

Education

Transcript of Materi tutorialuts kaled3warna