Materi-MATRIKS-IMTelkom
-
Upload
mirza-masitha -
Category
Documents
-
view
247 -
download
1
description
Transcript of Materi-MATRIKS-IMTelkom
MATRIKS
A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS
1. PENGERTIAN
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom yang ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ] atau || ||Susunan horizontal disebut dengan baris sedangkan susunan vertikal disebut dengan kolom Bentuk Umum Matriks :
a adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dankolom ke-n
Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf besar A,B, P, Q, dsb . Sedangkan Unsur/elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya, seperti a11, a12, ...
Contoh 1: Diketahui matriks A =
Tentukan :a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3 b. banyak kolom e. c. elemen-elemen baris ke-1 f.
Jawab : a. banyak baris : 3 buahb. banyak kolom :5 buahc. elemen-elemen baris ke-1 : 1, 4, 6, -3, 8d. elemen-elemen kolom ke-3 : 6, 9, 7e. = elemen baris ke-3 kolom ke-4 = 5f. = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 6
Contoh 2: Diketahui
Tentukan letak elemen -2 dan 8 !
Jawab : elemen -2 = a21
elemen 8 = a32
2. ORDO MATRIKS
Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks. artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.
1
Kolo
m 1
Kolo
m 2
Kolo
m n
baris 1
baris 2
baris m
Contoh : Diketahui
Tentukan ordo matriks P dan Q
Jawab : Ordo matriks P = 2 x 4 atau P 2 x3 ; Ordo matriks Q = 3 x 2 atau Q2 x3
3. JENIS-JENIS MATRIKS
1. Matriks NolYaitu matriks yang setiap elemennya nol.
Contoh : ,
2. Matriks BarisYaitu matriks yang hanya mempunyai satu barisContoh : ,
3. Matriks KolomYaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.
Contoh :
4. Matriks Bujur sangkar/Matriks PersegiYaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.
Contoh : , ,
5. Matriks DiagonalYaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.
Contoh :
6. Matriks Satuan /MatriksIdentitas (I)Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.
Contoh :
7. Matriks SkalarYaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol.
Contoh :
8. Matriks Segitiga AtasYaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.
2
Contoh :
9. Matriks Segitiga BawahYaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.
Contoh :
10. Matriks KoefisienYaitu matriks yang semua elemennya merupakan koefisien-keofisien dari suatu sistem persamaan linear.
Contoh1: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 2x + 3y =7 adalah :
-4x + 5y =-3
Contoh 2: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 3x +2y-z = 7 4x +2z = 8 adalah x -5y+4z =-6
11. Dan lain-lain
LATIHAN SOAL
1. Diketahui
Tentukan :a. elemen-elemen baris ke-2b. elemen-elemen kolom ke-2c. elemen-elemen kolom ke-4d. elemen baris ke-1 kolom ke-3e. elemen baris ke-3 kolom ke-5f. ordo P
2. Diketahui
Tentrukan :a. ordo Xb. elemen-elemen baris ke-2c.d.e.
3. Diketahui
Tentukan letak elemen :a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0
4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?
3
a. b.
c. d.
5. Berikan contoh lain dari matriks :a. skalar b. segitiga bawahc. segitiga atas d. diagonal
4. KESAMAAN DUA MATRIKS
Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.
Contoh 1:
Jika A= B maka: a=p, b=q, c=r dan d=s
Contoh 2: Tentukan x dan y dari
Jawab : x = 1 2y = 8 y =4
5. TRANSPOSE MATRIKS
Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris.Transpose matriks A dinyatakan dengan atau A’.
Contoh 3: Jika maka tentukan
Jawab : =
LATIHAN SOAL
1. Tentukan x dan y dari :
a. b.
c. d.
2. Tentukan a, b, c dan d dari :
a. b.
c. d.
3. Tentukan transposenya dari :
4
a. b.
4. Tentukan c jika , dan
B. OPERASI MATRIKS
1. PENJUMLAHAN MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.
=
Contoh 1:
A = , B =
Maka A + B = + = =
Contoh 2: Jika , dan , tentukan :
a). A + B b). B + A c). B + C d). A + (B + C) e) A+B f). (A + B) + C
Jawab : a. A + B = =
b. B + A = =
c. B + C = =
d. A + (B + C) = + =
e. (A + B) = =
f. (A + B)+C = =
Contoh 3: Diketahui + dan .
Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O b. A + O = O + A = A
Jawab : a. A + (-A) = + =
5
(-A) + A = + =
b. A + O = =
O + A = =
Sifat-sifat penjumlahan matriks :1. A + B = B + A (bersifat komutatif)2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)
6
2. PENGURANGAN MATRIKS
Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.
=
Contoh : Jika dan , maka tentukan :
a. A – B b. B – A c. (A-B)-C d. A-(B-C)
Jawab :
a. A – B = …
b. B – A = =
Sifat-sifat Pengurangan matriks :
1. A – B B – A (tidak komutatif)2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)
LATIHAN SOAL
1. Sederhanakanlah !
a. b. c.
d. e.
f. g.
h. i.
2. Tentukan x jika
3. Tentukan x jika
4. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
b.
3. PERKALIAN MATRIKS
3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)
7
Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.
Contoh 1: Jika maka tentukan :
a. 2A b.
Jawab : a. 2A =
b. = …
Contoh 2: Jika dan maka tentukan :
a. 2(A + B) b. 2A + 2B c. 2(3A) d. 6A
Jawab : a. 2(A + B) = …
b. 2A + 2B = …
c. 2(3A) = …
d. 6A = …
Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :1. k(A + B) = …2. (k + l)A = …3. k(lA) = …
LATIHAN SOAL
1. Jika dan , maka tentukan :
a. 2A + 2B b. 3A – 2B c. d. –4(A – B)
2. Tentukan matriks X jika:
a. b.
c. d.
3. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
b.
8
4. Diketahui dan . Jika , maka tentukan nilai c !
3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).Ordo hasil perkalian matriks dengan , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino).
Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).
Misal : dan maka :
AB = =
Contoh 1: Diketahui dan .
Terntukan : a. AB b. AC c. AD
Jawab : a. AB =
b. AC tidak dapat dikalikan, karena banyaknya kolom matriks A ≠ banyaknya baris matriks
c. AD = …
Contoh 2: Diketahui dan .
Tentukan : a. AB b. BA c. BC d. AC e. (AB)C f. A(BC) g. B + C h. A(B + C) i. AB + AC j. AI k. IA
Jawab : a. AB =
b. BA =
c. BC =
d. AC =
e. (AB)C =
f. A(BC) =
9
Am x n . B n x p = C m x p
g. B + C =
f. A(B + C) =
g. AB + AC =
g. AI = …
h. IA = …
Sifat-sifat perkalian matriks :1. Umumnya tidak komutatif (AB BA)2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC
Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA4. Identitas : IA = AI = A5. k(AB) = (kA)B
LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan !
a. b. c.
d. e. f.
g. h.
2. Diketahui . Jika dan maka tentukan :
a. b.
3. Jika dan maka tentukan :
a. b.
4. Tentukan a jika
C. INVERS MATRIKS
1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2
10
Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu maka A dan B dikatakan saling invers.
Invers matriks A dinotasikan .
Misal dan maka :
AB = I
ap + br = 1
dan
cp + dr = 0
aq + bs = 0
dan
cq + ds = 1
Karena = maka
ad – bc disebut Determinan (D) atau atau det(A).Jadi .Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc maka matriks A disebut matriks Non Singular.
Contoh 1: Tentukan determinan
Jawab :
Contoh 2: Tentukan invers dari
Jawab :
Contoh 3: Tentukan x jika merupakan matriks singular !
Jawab : ad – bc = 0 …
Contoh 4: Tentukan matriks X jika
Jawab : XA = B X = = …
Jika ada persamaan matriks berbentuk :
AX = B maka X XA = B maka X =
LATIHAN SOAL
1. Tentukan determinannya !
11
a. b. B = c. d.
2. Tentukan inversnya ! (jika ada)
a. b. c. d.
3. Tentukan x jika singular
4. Tentukan matriks X jika :
a. b.
c. d.
2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3
2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3
Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu :1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-52. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian
elemen-elemen pada diagonal ke atas.
det (A) =
= ( ….. ) + ( …. ) + ( …. ) – ( … ) - ( … ) – ( … )
Contoh 1: Jika maka tentukan
Jawab : = …
= …
MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT
Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian dengan dan ditulis dengan . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).
12
Contoh 2: Diketahui . Tentukan :
a. b. c. d. e. Adj(M)
Jawab : a. =
b. =
c. =
d. =
f. Adj(M) =
=
=
2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3
Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :
Contoh 3: Tentukan invers dari
Jawab :
=….
13
LATIHAN SOAL
1. Tentukan determinan dari :
a. b. c.
2. Tentukan x jika
3. Diketahui . Tentukan :
a. b. c. d. e. Adj(X)
4. Tentukan inversnya dari :
a. b.
14
15