Materi 1 -...

Matriks & Ruang Vektor

Materi 1 Sistem Persamaan Linier dan

Matriks (lanjutan)

Start


Outline Materi

• Metode Penyelesaian SPL dengan Matriks (Lanjutan)

– Metode Penyelesaian SPL

– Eliminasi Gauss – Jordan

– Operasi Aljabar Matriks

– Transpose Matriks

2


Solusi Sistem Persamaan Linier

a. Cara Biasa → Seperti SMA

b. Eliminasi Gauss

c. Eliminasi Gauss - Jordan

a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3 3x + 3y = 9

3x – 5y = 1 3x – 5y = 1

8y = 8 y = 1

3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2

II. y = 3 – x

3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2

y = 3 – x y = 1


4

b. Eliminasi Gauss

Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi

Linier Augmented Gauss

Merupakan salah satu teknik paling populer

dalam menyelesaikan sistem persamaan

linear dalam bentuk:

CXA

Metode

Eliminasi

Gauss

PRINSIP:

Untuk sistem persamaan yang terdiri

dari 3 persamaan:

x1 dlm pers. (2) dan (3) dieliminasi.

x2 dlm pers. (3) dieliminasi.

TAHAPAN

METODE ELIMINASI

1. Eliminasi Maju:

Menghapus variabel-variabel

2. Substitusi Balik:

Mencari nilai semua variabel


Operasi Baris Elementer

• Operasi Baris pada Matriks untuk mendapatkan matriks yang ekivalen

dengan matriks asal

– Mengalikan suatu baris dengan k (k = konstanta yang bukan 0)

– Mempertukarkan baris satu dengan lainnya

– Menjumlahkan suatu baris dengan k x baris lainnya

6


1. Forward Elimination

Tujuan Forward Elimination adalah untuk

membentuk matriks koefisien menjadi Upper

Triangular Matrix

7.000

56.18.40

1525

112144

1864

1525


Contoh

83125

12312

71352

21232

8325

1232

7352

2232

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

ditulis dalam

bentuk matriks

augmented


83125

12312

71352

21232

32

162

190

13140

92120

12

112

31

'

14

'

4

'

13

'

3

'

12

'

2

1'

1

5

2

2

2

RRR

RRR

RRR

RR

32

162

190

13140

92120

12

112

31

41599

4500

1973002

912

110

12

112

31

'

14

'

4

'

23

'

3

2'

2

1

'

1

219

4

2

RRR

RRR

RR

RR



12572

12143000

319

37100

291

2110

12

112

31

'

34

'

4

3'

3

2

'

2

1

'

1

45

3

RRR

RR

RR

RR

41599

4500

1973002

912

110

12

112

31

12572

12143000

319

37100

291

2110

12

112

31

1435721000

319

37100

291

2110

12

112

31

121434'

4

3

'

3

2

'

2

1

'

1

RR

RR

RR

RR



2. Back Substitution

4

143572

319

37

29

21

12

12

3

4

4

43

432

4321

x

x

xx

xxx

xxxx

PRINSIP:

Semua variabel pada baris

(persamaan) ke m dihapus kecuali

xm itu sendiri sehingga tidak

diperlukan substitusi balik.

Metode

Gauss

Jordan

14001 a

24010 a

34100 a

Bentuk Akhir:


Gauss - Jourdan

39743

22342

15231

6150

8120

15231

'

13

'

3

'

12

'

2

1

'

1

3

2

RRR

RRR

RR

142700

42110

152101

'

23

'

3

2

'

2

'

21

'

1

5

2

3

RRR

RR

RRR

6150

8120

15231

142700

42110

152101

4100

2010

1001

273'

3

'

32

'

2

'

31

'

1

21

21

RR

RRR

RRR


14

Operasi Aljabar Matriks

Penjumlahan dua matriks

A + B = (aij + bij)

A – B = (aij – bij)

Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks

adalah mempunyai ordo yang sama

Contoh:

6129

111311

291

476

438

765C

BACMaka

291

476Bdan

438

765ADiketahui

2x3

2x32x32x3

2x32x3


Soal Latihan Tentukan penjumlahan Dua Matriks dibawah ini!


Syarat:

Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua.

Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada

matriks kedua


Contoh:

1 3

5 0

0

1 2 A

B

2

4

1

2 1 0

= =

A x B =

-4

4

x + x + x = 9

1 3

5 0

2

4

1 3

5 0

2

4

0

1 2

1

2 1 0

-4

4

x + x + x = 16

x + x + x = 3

1 2 3

0 4 5

x x x

x x x

x x x

+

+

+ +

+

+ =

=

=

13

8

14

1

4

0

-4

2

1

1 2 3

0 4 5

0

1

2

0

1

2

Transpose

Definisi:

Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya

adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom

dari A.

4 2 6 7

5 3 -9 7

A = AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

7 7

Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……

[AT]ij = [A]ji n x m

Sifat-sifat Transpose Matriks

A AT (AT)T

(AT )T = A 1. Transpose dari A transpose adalah A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

= A

Contoh:

Sifat-sifat Transpose Matriks 2. (A+B)T = AT + BT

A+B

(A+B)T

T

BT

B

T

A

T

AT

=

=

+

+


3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

kA

(kA)T = k(A)T

A

T T

k


4. (AB)T = BT AT

(AB)T

AB

T T

A B

T

=

AB = BTAT

Materi 1 -...

Documents

Transcript of Materi 1 -...