Materi 3

Start

2

1. Pendahuluan

• Hipotesis pernyataan yang merupakan pendugaan berkaitan

dengan nilai suatu parameter populasi (satu atau lebih populasi)

• Kebenaran suatu hipotesis diuji dengan menggunakan statistik

sampel

hipotesis diterima atau ditolak

• Jenis Hipotesis :

1. Hipotesis Nol (H0)

Merupakan hipotesis yang dirumuskan ingin diuji

2. Hipotesis Alternatif (H1)

Pernyataan tentang parameter yang ‘benar’ jika H0 salah

• Galat dalam pengujian hipotesis :

1. Galat tipe I (galat ) terjadi bila H0 benar tetapi ditolak

= P(H0 ditolak | H

0 benar) ; juga menunjukkan taraf uji

2. Galat tipe II (galat β) terjadi bila H0 salah tetapi diterima

β = P(H0 diterima | H

0 salah) ; Nilai (1- β) = peluang tidak terjadinya galat β

3

2. Uji satu arah – Dua arah

• Uji dua arah bila memiliki daerah ‘penolakan’ pada dua sisi kurva

distribusi, yaitu sebelah kiri dan kanan kurva

H0 : µ = 3.16

H1 : µ ≠ 3.16

/2

µ= 3.16

z1

/2

z2

Nilai kritis

Daerah Penerimaan H0

Daerah Penolakan Ho

Daerah Penolakan H0

• Uji satu arah bila memiliki satu daerah ‘penolakan’ pada salah

satu sisi kurva distribusi, yaitu sebelah kiri atau kanan kurva

H0 : µ = 12 gram

H1 : µ < 12 gram

µ= 12

z1

Nilai kritis

Daerah Penerimaan H0

Daerah Penolakan H0

4

Kriteria Uji 2 Arah Uji 1 Arah

(Kiri) Uji 1 Arah

(Kanan)

Tanda pada H0 = = atau ≥ = atau ≤

Tanda pada H1 ≠ < >

Daerah Penalakan 2 sisi kurva Sisi kiri kurva Sisi kanan kurva

• Uji satu arah vs dua arah

• Tahapan dalam pengujian hipotesis :

1. Menentukan H0

dan H1

2. Menentukan taraf uji ( ) yang digunakan

3. Menentukan uji statistik

~ Hipotesis rata-rata populasi diuji dengan rata-rata suatu

random sampling

~ Distribusi sampling normal nilai rata-rata sampel

ditransformasikan ke nilai z

4. Menentukan daerah penolakan dan penerimaan

5. Menentukan nilai uji statistik

6. Membuat keputusan

5

3. Uji Hipotesis Rata-rata

• Nilai statistik yang biasa digunakan adalah sbb :

H0 Nilai Statistik Uji H1 Wilayah Kritis

µ = µ0

Jika known dan n ≥ 30

µ < µ0

µ > µ0

µ ≠ µ0

z < -z

z > z

z <-z /2 & z > z /2

µ = µ0

Jika unknown dan n < 30

µ < µ0

µ > µ0

µ ≠ µ0

t < -t

t > t

t <-t /2 & t > t /2

nσ

μ-x =z 0

1-n = v; ns

μ-x =t 0

• Contoh:

Seorang manager produksi menyatakan bahwa isi sebuah susu

kaleng sekurang-kurangnya 32 ons. Ujilah hipotesis dengan

tingkat signifikansi 1 persen jika sampel acak 60 kaleng susu

diperoleh isi rata-rata 31.98 ons dan simpangan baku 0.10 ons !

6

• Jawab :

1. Tentukan hipotesis nol dan alternatif

Anggapan bahwa isi rata-rata sekurang-kurangnya 32 ons

merupakan H0 µ ≥ 32

H0 : µ = 32 H1 : µ < 32

2. taraf uji ( ) = 0.01

3. n = 60 nilai z sebagai statistik uji

4. Menentukan daerah kritis z0.01 < - 2.33

5. Hitung nilai statistik uji z

µ= 32

-2.33

= 0.01

Nilai kritis Z 1.55-

600.1

32-31.98

ns

μ-x =z 0

= =

karena nilai uji statistik z = -1.55 lebih besar dari nilai z0.01= -2.33

maka H0 diterima.

Ini menunjukkan bahwa nilai rata-rata sampel berada di daerah

penerimaan H0. Dengan demikian kita menerima hipotesis H0 bahwa

isi susu kaleng sekurang-kurangnya 32 ons.

7

• Contoh:

Setelah diadakan perbaikan, sebuah mesin produksi baut diameter 25 mm , dilakukan pengujian, apakah masih bagus atau tidak. Anggap ukuran diametrer baut tersebut terdistribusi normal. Diambil sampel acak 10 mesin produksi, diperoleh rata-rata sampel 25.02 mm dengan simpangan baku 0.24 mm. lakukan pengujian dengan taraf nyata 5 persen !

• Jawab :

1. Tentukan hipotesis nol dan alternatif

Mesin masih bagus jika rata-rata diameter baut yg diproduksi = 25 mm, µ = 25

H0 : µ = 25 mm ; H1 : µ ≠ 25 mm

2. Taraf uji ( ) = 0.05

3. n = 10 nilai t sebagai statistik uji v = n – 1 = 9

4. Menentukan daerah kritis t 0.025 = 2.26

5. Hitung nilai statistik uji t

/2

µ= 25

-2.26

/2

2.26

Nilai kritis

Daerah Penerimaan H0

2.64- 100.24

25-25.02

ns

μ-x =t 0

Karena nilai uji statistik t = -2.64 jatuh pada daerah penolakan H0, sehingga H0 ditolak dan H1 diterima.

8

4. Uji Hipotesis Beda 2 Nilai Rata-rata

• Nilai statistik yang biasa digunakan adalah sbb :

H0 Nilai Statistik Uji H1 Wilayah Kritis

µ1 - µ2 = d0

Jika 1 dan 2 known dan n ≥ 30

µ1 - µ2 < d0

µ1 - µ2 > d0

µ1 - µ2 ≠ d0

z < -z

z > z

z <-z /2 & z > z /2

µ1 - µ2 = d0

Jika 1 = 2 unknown

µ1 - µ2 < d0

µ1 - µ2 > d0

µ1 - µ2 ≠ d0

t < -t

t > t

t <-t /2 & t > t /2

)n(σ)n(σ

d-)x-(x =z

2221

21

021

+

2 - n+n = v; )(+ )( s

d-)x-(x =t 21

n1

n1

p

021

21

2-n+n

1)s-(n+1)s-(n =s

21

2

22

2

11

p

• Contoh:

Sebuah pelajaran A diberikan pd 12 siswa dgn metode biasa, nilai ujian rata-rata = 85 dan simpangan baku 4. Kelas lain 10 siswa dengan metode komputer, nilai ujian 81 dan simpangan baku 5. Uji hipotesis bahwa kedua metode adalah sama, dgn taraf nyata 10% jika diasumsikan kedua populasi menyebar normal dengan ragam sama !

9

• Jawab :

µ1 dan µ2 = rata-rata nilai semua siswa

1. H0 : µ1 = µ2 ; H1 : µ1 ≠ µ2

2. Taraf uji ( ) = 0.10

3. n1 = 12 ; n2 = 10 nilai t statistik uji v = 12+10 – 2 = 20

4. Menentukan daerah kritis t 0.05 = 1.725

5. Hitung nilai statistik uji t

Nilai kritis

/2

µ= 25

-1.725

/2

1.725

Daerah Penerimaan H0

Sehingga :

)(+ )( s

d-)x-(x =t

21 n1

n1

p

021

4.478 = =20

25) . (9+16) . (11

2-n+n

1)s-(n+1)s-(n =s

21

2

22

2

11

p

2.07 )(+ )( 4.478

0-81)-(85 =t

101

121

=

Karena nilai uji statistik t = 2.07 jatuh pada daerah penolakan H0, sehingga H0 ditolak dan H1 diterima.

10

5. Uji Hipotesis Proporsi : Sampel Besar

• Sering dijumpai uji hipotesis tentang proporsi populasi

• Pada populasi yang besar, digunanakan statistik uji z

pσ

p-p =z

• Contoh:

Suatu obat penenang ketegangan syaraf diduga hanya 60% efektif . Kemudian dicobakan obat baru terhadap 100 pasien yang diambil acak, dan menunjukkan bahwa obat baru tersebut 70% efektif. Apakah ini menunjukkan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tersebut lebih efektif daripada obat yang sekarang beredar? Gunakan taraf uji nyata 5% !

n

q .p =

pσ dimana

• Jawab :

1. H0 : p = 0.6 ; H1 : p > 0.6

2. Taraf uji ( ) = 0.05

3. n = 100 nilai z statistik uji

4. Menentukan daerah kritis z 0.05 > 1.65

5. Hitung nilai statistik uji z

6. Keputusan : Tolak H0 karena nilai z jatuh pada daerah kritis dan disimpulkan bahwa obat baru tsb memang lebih efektif

2.04

1000.4) * (0.6

0.6-0.7p-p =z

p

= = σ

11

6. Pengujian Selisih Dua Proporsi

• Pada sampel besar uji hipotesis selisih dua proporsi populasi,

digunanakan statistik uji z

• Contoh:

Suatu pemungutan suara hendak dilakukan diantara penduduk suatu kota dan sekitarnya thd rencana pembangunan GOR di pinggiran kota. Diambil contoh acak, diperoleh 120 diantara 200 penduduk kota dan 240 diantara 500 penduduk sekitar kota, setuju dgn rencana tersebut. Apakah dapat dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yg setuju dgn rencana tsb lebih tinggi dari proporsi penduduk sekitar kota yg menyetujui rencana tsb ? Gunakan taraf nyata 0.025 !

21

21

21

21

n n

x x = p dimana ;

]+[ q . p

p-p =z

n1

n1 +

+

• Jawab :

1. H0 : p1 = p2; H1 : p1 > p2

2. Taraf uji ( ) = 0.025

3. n1 dan n2 besar nilai z statistik uji

4. Menentukan daerah kritis z 0.025 > 1.96

12

5. Hitung nilai statistik uji z

21

21

21

21

n n

x x = p dimana ;

]+[ q . p

p-p =z

n1

n1 +

+

0.48500240

nx

= p0.60200120

nx

= p0.51 =500 200

240 120 = p

2

221

11 == == ;

+

+ ;

Oleh karena itu = 2.90]+[ 0.49 * 0.51

0.48-0.60 =z

5001

2001

6. Keputusan : karena nilai z hitung jatuh pada daerah kritis, maka tolak H0, dan kita setuju bahwa proporsi penduduk kota lebih tinggi dari proporsi penduduk sekitar kota yg menyetujui rencana tsb

• Sebuah mesin mampu menghasilkan

gelas plastik dengan diameter 5 cm. Untuk

mengetahui apakah mesin masih bekerja

optimal, dilakukan pengujian. Sampel acak

diambil sebanyak 25 mesin, diperoleh

rata-rata sampel 5.5 cm dengan

simpangan baku 1 cm. Lakukan pengujian

dengan taraf nyata 5 persen.

13

• Suatu perusahaan menyatakan bahwa

bobot coklat yang diproduksinnya

sekurang-kurangnya adalah 100 gram.

Ujilah hipotesis dengan α=5 %, jika

sampel acak 80 buah coklat diperoleh

bobot rata-rata sebesar 102.8 gram dan

simpangan baku 5.2 gram.

14

• Diketahui obat demam diduga hanya 65% efektif. Obat baru untuk penyakit demam dicobakan kepada 81 pasien yang diambil acak, dan menunjukkan bahwa obat baru tersebut 70% efektif. Ujilah hipotesis pada taraf 1 % bahwa obat baru tersebut lebih efektif daripada obat sebelumnya?

15

• Dalam penentuan pelayanan administrasi dengan sistem baru yang akan diterapkan, dilakukan voting diantara mahsiswa dari dua fakultas. Diperoleh data bahwa sebanyak 150 setuju dari 200 mahsiswa fakultas A dan 250 setuju dari 600 mahsiswa fakultas B, setuju dgn rencana tersebut. Ujilah hipotesis pada taraf 5%, apakah dapat dikatakan bahwa proporsi yang setuju dari mahasiswa fakultas A lebih tinggi dari proporsi mahasiswa dari fakultas B?

16