Matematika TerapanMatriks dan Vektor, Integral Garis, dan Fourier Transform

DISUSUN OLEH :Maulana Rakhman3334120710Aviyanuvasari3334121135RE Dinar Rahmawati3334121138Gatra Bagus Prakoso3334120040Edwin Abraham3334121550Rendi Mulyadi3334120038Agata Kasyahanda Rizky P3334121524

Jurusan Teknik Metalurgi Fakultas TeknikUniversitas Sultan Ageng Tirtayasa2013DAFTAR ISIHalamanHALAMAN JUDUL.. iDAFTAR ISI ...iiBAB I MATRIKS DAN VEKTOR1.1 Definisi Matriks dan Vektor..11.2 Pengoperasian Matriks dan Vektor21.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks.21.2.2 Perkalian Antar Matriks.21.2.3 Perkalian Matriks dengan Vektor...21.3 Bentuk Bentuk Matriks...31.4 Determinan Matriks...41.5 Penggunaan Matriks dan Vektor pada Matlab...41.5.1 Manipulasi Vektor..7BAB II INTEGRAL GARIS2.1 Pengertian Integral Garis...102.2 Teorema Green...112.2.1 Bentuk Vektor Untuk Teorema Green...112.3 Teorema Stokes..122.4 Teorema Divergensi...14BAB III FOURIER TRANSFORM3.1 Pengertian Fourier Transform173.2 Fourier Transform dengan Matlab.18DAFTAR PUSTAKA

BAB IMATRIKS DAN VEKTOR

1.1 Definisi Matriks dan VektorMatriks ialah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Secara umum, suatu matriks dituliskan sebagai :A = Sedangkan vektor ialah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Vektor baris adalah matriks sebaris atau matriks berbaris tunggal. Vektor kolom adalah matriks sekolom atau matriks berkolom tunggal.Contoh vector baris :A = Contoh vector kolom :B =

1.2 Pengoperasian Matriks dan Vektor1.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan MatriksDalam penjumlahan antar matriks berlaku kaidah komutatif dan kaidak asosiatif.Kaidah komutatif :A + B = B + AKaidah asosiatif :A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

1.2.2 Perkalian Antar MatriksDua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriksyang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah matriks adalah sebuah matriks baru, yang unsur-unsurnya merupakan perkalian silang unsur-unsur baru matriks A dengan unsur-unsur matriks B.

1.2.3 Perkalian Matriks dengan VektorSebuah matriks yang buka berbentuk vektor hanya dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan catatan jumlah kolom matriks sama dengan dimensi vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah vektor kolom baru.

1.3 Bentuk Bentuk Matriks Matriks satuan

Matriks diagonalMatriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal.

Matriks nolMatriks nol adalah matriks yang semua unsurnya nol.

Matriks Transpose Matriks simetrikMatriks simetrik adalah matriks bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya (transposenya).Matriks A dikatakan simetrik apabila A = A. Matriks simetrik miringMatriks simetrik miring adalah matriks bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya (transposenya). Matriks A dikatakan simetrik miring (skew symmetric) apabila A = -A atau A = -A. Matriks balikanMatriks balikan (invers matriks) adalah matriks yang apabila dikalikan dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika A merupakan sebuah matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan notasi A-1 dan AA-1 = I

1.4 Determinan MatriksDeterminan dari sebuah matriks ialah penulisan unsur-unsur sebuah matriks bujursangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak. Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan cara mengalikan unsur-unsurnya secara diagonal.Det =

1.5 Penggunaan Matriks dan Vektor pada MatlabSalah satu fitur yang dimiliki oleh Matlab adalah penggunaan vector sebagai objek. Vektor adalah sebuah larik satu-dimensi dari bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris atau kolom. Vektor kolom dapat dibuat dengan cara menyusun bilangan-bilangan dalam sebuah kurung kotak yang mana setiap elemen dibatasi titik koma.>> A=[1;2;3]A =123Sedangkan untuk membuat vektor yang berbentuk baris adalah dengan menyusun bilangan-bilangan yang dibatasi dalam kurung kotak dan setiap elemen dipisahkan oleh spasi atau tanda titik koma.>> A=[1,2,3,4]A =1 2 3 4Untuk menyatakan vektor baris dengan elemen-elemen dengan pola tertentu juga dapat dibuat>> x=1:5x =1 2 3 4 5Vektor tersebut juga dapat dituliskan dengan carax=[1 2 3 4 5]Sekarang cobalah dengan pernyataan Matlab berikut ini>> y=0:2:10y =0 2 4 6 8 10Dengan demikian vektor yang berurutan dengan pola tertentu dapat dinyatakan secara umum sebagainama_vektor= bawah : panjang_langkah : atasUntuk mengakses elemen pada vektor x maka kita dapat melakukannya dengan caranama_vektor(indeks_elemen)Contoh:>>y(2)ans =2>> 4*y(3)ans =16Cara lain yang dapat digunakan untuk menyatakan vektor berurutan dengan pola tertentu adalah dengan perintah linspace.>> z=linspace(0,10,5)z =0 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000Secara umum dapat dituliskan sebagainama_vektor=linspace(bawah,atas,jmlh_elemen)

1.5.1 Manipulasi VektorDi pasal ini akan dibahas perhitungan sederhana yang melibatkan vektor, dengan mengenalkan operasi dot (.). Lihat contoh berikut.>> v=[1,2,3,4,5];>> 2*vans =246810Contoh di atas menjelaskan bahwa untuk mengalikan 2 pada setiap elemen vektor dapat dilakukan dengan cara seperti di atas.>> v=[1,2,3,4,5];>> w=[2,3,4,5,6];>> v.*wans =26122030Hasil di atas dapat dinyatakan secara umum sebagai[v1w1 ,v 2w2 , v3w3 ,v 4w4 ,v5w5 ]Selanjutnya jika v dan w dilakukan operasi pembagian pada setiap elemen seletak, maka digunakan operasi v./w.>> v=[1,2,3,4,5];>> w=[2,3,4,5,6];>> y=v./wy =0.50000.66670.75000.80000.8333atau dapat dinyatakan sebagai

Contoh Dapatkan nilai fungsi dari untuk domain dengan panjang langkah 0.2.Penyelesaianx=0:0.2:2;f=x.^3;g=x.^2+1;y=f./g;disp([y'])Hasilnya adalah00.00770.05520.15880.31220.50000.70820.92701.15061.37551.6000Vektor yang telah kita bahas di atas semuanya berbentuk baris. Untuk membuat vektor yang berbentuk kolom, dapat dibuat dengan memberikan tanda titik koma (semicolon) pada elemen-elemennya.>> v=[1;2;3;4;5]v =12345

BAB IIINTEGRAL GARIS

2.1 Pengertian Integral GarisIntegral Garis adalah Integrasi yang dilakukan sepanjang garis tertentu. Untuk suatu fungsi skalar , yang diintegralkan sepanjang suatu kurva "mulus C , yang memiliki potongan infitesimal kurva sepanjang ds, Integral garis didefinisikan:

dimana,

Dan adalah persamaan parametrisasi kurva C , yang memiliki titik awal di a, dan titik akhir di b.Jika a=b (titik awal dan akhir sama), maka integral ini disebut integral kurva tertutup (closed line integral), penulisannya jadi:

Jika adalah fungsi yang berbentuk vektor, maka definisi dimodifikasi sedikit. Integral garis fungsi vector pada kurva C , yang dinyatakan oleh parametrisasi kurva didefinisikan:

Jika kurva tertutup, jadi:

Terdapat beberapa Teorema yang umum digunakan untuk integral garis,yaitu Teorema Green, Teorema Stokes, dan Teorema Gauss.

2.2 Teorema GreenTeorema Dasar Kalkulus mengatakan bahwa

Di sini, terdapat hubungan antara integral di ruas kiri dan "integral" dari batasnya. Teorema Green di bidang memberi hubungan antara integral lipat dua dan integral garis pada batasnya. Misal D daerah di bidang dan C lengkungan tertutup `sederhana' (yang tidak memotong dirinya sendiri) dan mulus bagian demi bagian di D. Misal P(x; y) dan Q(x; y) dua fungsi yang didenisikan pada D dan mempunyai turunan parsial kontinu. Maka :

dengan R menyatakan daerah tertutup yang dilingkupi oleh C.

2.2.1 Bentuk Vektor Untuk Teorema GreenBentuk vector untuk teorema green, Jika F = (M;N) menyatakan medan vektor, maka :

Suku terakhir di ruas kanan, yakni , sering dinotasikan sebagai div F (baca:divergensi dari F). Teorema Green menyatakan bahwa:

Integral di ruas kanan dapat dinyatakan sebagai integral terhadap panjang lengkungan.

Dengan menyatakan vektor satuan pada lengkungan C. ( Disini ). Jadi, dalam bentuk vektor, Teorema Green berbunyi :

2.3 Teorema StokesTangensial komponen dari suatu vektor A di sekeliling lengkung tertutup C sama dengan integral luas dari komponen normal dari rotasi A jika dikenakan pada permukaan S yang dibatasi oleh C

Contoh :A=(2x-y)i yz2j y2zkS adalah setengah permukaan bolax2 + y2 + z2 = 1

Keliling C adalah lingkaran pada bidang xy berjari-jari 1(satu) dan berpusat dititik (0,0). Lintasan C ditulis dalam koordinat polarMaka :

Teorema stokes

Maka :

= (-2yz + 2yz)i + (0-0)j + (0+1)k= k

Terbukti Teorema Stokes

2.4 Teorema DivergensiTeorema divergensi yang dikenal juga dengan teorema Gauss. Integral Luas dari komponen normal suatu vektor A meliputi suatu luas tertutup, sama dengan integral dari divergensi A terhadap volume yang ditutupi oleh luas tersebut. Andaikan S suatu benda pejal tertutup dan terbatas dalam ruang dimensi-3, yang secara lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus sepotong-sepotong .

Gambar 2.1 Teorema DivergensiTeorema GaussAndaikan F = Mi + Nj + Pk suatu medan vektor demikian sehingga M, N, dan P mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S dan batasnya S. Jika n menyatakan normal satuan terluar terhadap , maka :

BuktiPertama tinjau kasus dimana S adalah x sederhana, y sederhana,dan z sederhana. Cukup menunjukan bahwa :

Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain serupa. Karena S adalah z sederhana, maka S dapat dijelaskan oleh . Seperti pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Penjelasan Teorema GaussS terdiri dari 3 bagian; S1 yang berpadanan dengan ; S2 yang berpadanan dengan ; dan permukaan S3 samping yang boleh kosong; pada S3, , sehingga dapat diabaikan.

Jadi,

BAB IIIFOURIER TRANSFORM

3.1 Pengertian Fourier TransformFourier transform merupakan operasi matematika yang bertujuan untuk dekomposisi dari suatu sinyal (umumnya bentuk time-domain) ke unsur pokok berdasarkan frekuensi yang terkandung. Secara umum sinyal berbasis waktu atau ditulis f(t) dapat diformula dalam bentuk periodic waveform sebagai berikut:

Sebagai ilustrasi, misalkan kita mempunyai sinyal sebagai berikut

Selanjutnya kita melakukan transformasi fourier dan hasilnya menjadi sebagai berikut

3.2 Fourier Transform Dengan MatlabUntuk menggunakan fourier transform kita membutuhkan Symbolic Math Toolbox dan kita dapat memanfaatkan fungsi fourier untuk mengeksekusi fourier transform. Sebagai contoh kita mempunyai fungsi yaitu selanjutnya kalau kita melakukan transformasi fourier maka hasilnya menjadi

Berikut ini kode program nya dengan menggunakan Matlab :syms t v w x;

f = exp(-x^2);

fw=fourier(f)

Selanjutnya dieksekusi melalui Matlab command. Hasilnya seperti dibawah ini

Supaya hasilnya lebih baik, tambahkan dengan fungsi pretty(fw) dan hasilnya menjadi seperti dibawah ini.Selanjutnya dengan fungsi unit step yaitu dan kalau digambarkan akan menghasilkan seperti dibawah ini

Kalau fungsi unit step ini dilakukan transformasi fourier akan menghasilkan fungsi sebagai berikut

dan gambarnya fungsinya menjadi

Fungsi unit step dapat memanfaatkan fungsi heaviside(x) sehingga transformasi dari fungsi unit step akan menjadi sebagai berikutsyms t w f;

u0 = heaviside(t);

fw = fourier(u0)

Maka hasilnya akan seperti dibawah ini

Kalau kita perhatikan di atas, disana tertulis dirac(w) . Ini menunjukan fungsi .Kalau kita panggil fungsi pretty(fw) maka akan menghasilkan simbolik matematika yang bagus sebagai berikut

Mari kita lebih komplek lagi. Misalkan kita mempunyai fungsi sebagai berikut

Kalau kita lakukan perhitungan transformasi fourier akan menghasilkan fungsi sebagai berikut

Sedangkan implementasi dengan menggunakan Matlab sebagai berikutsyms t w;

x = -exp(-t)*heaviside(t)+3*dirac(t);

fw = fourier(x)

Hasil eksekusinya sebagai berikut

Disini variabel i menunjukkan nilai imaginer atau j.Kalau kita panggil pretty(fw) maka hasilnya menjadi

DAFTAR PUSTAKA

Benoit Boulet, Fundamental of Signals and Systems, Charles River Media, 2006 Horn RA, Johnson CR. 1985. Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press.Matlab Help documentationPurcell. 1999. Kalkulus dan Geometri Analisis Jilid 2. Jakarta: ErlanggaZhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York: Springer-Verlag