MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You · PDF fileJika log 3 = 0 ,4771 dan log 2 = 0 ,3010...

MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You

1

Soal 1 :

Diketahui premis :

Premis 1 : Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali

tidak mendapat hadiah

Premis 2 : Jika Ali tidak mendapat hadiah, maka

Ali bersedih

Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang

sah adalah ...

a. Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali bersedih

b. Jika Ali rajin belajar, maka Ali bersedih

c. Ali bersedih

d. Ali tidak rajin belajar

e. Ali mendapat hadiah

Soal 2 :

Kesimpulan dari argumentasi berikut :

𝑝 → 𝑞

𝑞 → 𝑟

~𝑟

adalah ...

a. 𝑝

b. ~𝑝

c. 𝑞

d. 𝑟

e. ~𝑞

Soal 3 :

Diketahui premis :

1 : Jika guru tidak datang, maka semua siswa

senang

2 : Ada siswa yang tidak senang

Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang

sah adalah ...

a. Semua siswa senang

b. Ada siswa yang tidak senang

c. Guru datang

d. Guru tidak datang

e. Guru senang

Solusi 1 :

Misalkan :

𝑝 : Ali tidak rajin belajar

𝑞 : Ali tidak mendapat hadiah

𝑟 : Ali bersedih

Argumentasi : 𝑝 → 𝑞

𝑞 → 𝑟

Bentuk Silogisme

Kesimpulannya adalah 𝑝 → 𝑟

“Jika Ali tidak rajin belajar maka Ali bersedih”

(A)

Solusi 2 :

Perhatikan dua argumentasi pertama

𝑝 → 𝑞

𝑞 → 𝑟

Bentuk Silogisme, kesimpulannya 𝑝 → 𝑟

𝑝 → 𝑟

~𝑟

Bentuk modus Tollens

Kesimpulan : ~𝑝 (B)

Solusi 3 :

Misalkan

𝑝 : Guru tidak datang

𝑞 : Semua siswa senang

Perhatikan bahwa “Ada siswa yang tidak

senang” merupakan negasi dari “Semua siswa

senang”, maka

~𝑞 : Ada siswa yang tidak senang

𝑝 → 𝑞

~𝑞

Modus Tollens, kesimpulannya adalah ~𝑝

“Guru datang” (C)

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis

Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

𝑝 → 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 → 𝑞

𝑝 ~𝑞 𝑞 → 𝑟

∴ 𝑞 ∴ ~𝑝 ∴ 𝑝 → 𝑟

Bentuk ekuivalen : 𝒑 → 𝒒 ≡ ~𝒒 → ~𝒑 𝒑 → 𝒒 ≡ ~𝒑 ∨ 𝒒


2

Soal 4 :

Ingkaran dari “Jika banjir terjadi, maka semua

orang mengungsi” adalah ...

a. Banjir terjadi dan semua orang tidak

mengungsi

b. Banjir tidak terjadi atau ada orang

mengungsi

c. Banjir terjadi dan ada orang mengungsi

d. Banjir terjadi dan ada orang tidak mengungsi

e. Banjir tidak terjadi dan semua orang

mengungsi

Solusi 4 :

Misalkan

𝑝 : Banjir terjadi

𝑞 : Semua orang mengungsi

Ingkaran dari 𝑝 → 𝑞 adalah 𝑝 ∧ ~𝑞

~𝑞 : Ada orang tidak mengungsi

Sehingga ingkarannya adalah

“Banjir tejadi dan ada orang tidak mengungsi”

Indikator : Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan

berkuantor

Kuantor Universal (∀) : “semua”, “untuk setiap”, “seluruh”, ...

Kuantor Eksistensial (∃) : “ada”, “beberapa”, “terdapat”, ...

bentuk baca ingkaran

Konjungsi 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 dan 𝑞 ~(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞

Disjungsi 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 atau 𝑞 ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∧ ~𝑞

Implikasi 𝑝 → 𝑞 Jika 𝑝 maka 𝑞 ~(𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ~𝑞

Biimplikasi 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 jhj 𝑞 ~(𝑝 ↔ 𝑞) ≡ (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝)

Ingkaran dari Kuantor Universal (∀) adalah Kuantor Eksistensial (∃)

Kesetaraan

𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞

𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝

𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)

𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)

𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)

Misalkan 𝑝 : Semua orang afrika berkulit hitam

maka (ingkarannya)

~𝑝 : Ada orang Afrika yang tidak berkulit hitam

Misalkan 𝑎 : jika ada guru yang tidak masuk, maka semua siswa senang

𝑝 : ada guru yang tidak masuk ~𝑝 : semua guru masuk

𝑞 : semua siswa senang ~𝑞 : ada siswa yang tidak senang

𝑎 : 𝑝 → 𝑞 , maka ~𝑎 : 𝑝 ∧ ~𝑞

maka (ingkarannya) ~𝑎 : ada guru yang tidak masuk dan ada siswa yang tidak senang

Misalkan implikasi 𝑝 → 𝑞 , maka

Konvers : 𝑞 → 𝑝 (tukar posisi) konvers ≡ invers

Invers : ~𝑝 → ~𝑞 (beri negasi) implikasi ≡ kontraposisi

Kontaposisi : ~𝑞 → ~𝑝 (tukar posisi dan beri negasi)


3

Soal 5 :

Bentuk rasional dari 6

15− 10 adalah ...

Soal 6 :

Dalam bentuk pangkat positif,

𝑥−1 + 𝑦−1

𝑥 − 𝑦

−1

= ⋯

Soal 7 :

Jika 2− 3

2+ 3= 𝑎 + 𝑏 6 ; 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan

bulat, maka 𝑎 + 𝑏 = ⋯

Solusi 5 :

6

15− 10=

6

15− 10×

15+ 10

15+ 10=

6 15+ 10

15−10

= 6.15+ 6.10

5=

3.2.3.5+ 2.3.2.5

5=

3 10+2 15

5

Solusi 6 :

𝑥−1 + 𝑦−1

𝑥 − 𝑦

−1

=𝑥 − 𝑦

𝑥−1 + 𝑦−1=

𝑥 − 𝑦

1𝑥 +

1𝑦

=𝑥 − 𝑦𝑥 + 𝑦𝑥𝑦

=(𝑥 − 𝑦)(𝑥𝑦)

𝑥 + 𝑦=

𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2

𝑥 + 𝑦

Solusi 7 :

Dengan merasionalkan penyebut

2− 3

2+ 3=

2− 3

2+ 3×

2− 3

2− 3=

2− 3 2

2−3=

2−2 6−3

−1

=−1−2 6

−1= 1 + 2 6

𝑎 = 1, 𝑏 = 2, maka

𝑎 + 𝑏 = 1 + 2 = 3

2. 𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 4. .

𝑎

𝑏/

𝑚

=𝑎𝑚

𝑏𝑚 6. 𝑎−𝑛 =

1

𝑎𝑛

𝑎𝑚/𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

𝑖) 𝑎𝑏𝑛

= 𝑎𝑛

× 𝑏𝑛

𝑖𝑖) 𝑎

𝑏

𝑛=

𝑎𝑛

𝑏𝑛

𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 = (𝑎 + 𝑏) 𝑐

𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 = (𝑎 − 𝑏) 𝑐

𝑎 𝑐 × 𝑏 𝑑 = 𝑎𝑐 𝑏𝑑

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏×

𝑏

𝑏=

𝑎 𝑏

𝑏

𝑎

𝑏 + 𝑐=

𝑎

𝑏 + 𝑐×

𝑏 − 𝑐

𝑏 − 𝑐=

𝑎 𝑏 − 𝑐

𝑏2 − 𝑐

𝑎

𝑏 − 𝑐=

𝑎

𝑏 − 𝑐×

𝑏 + 𝑐

𝑏 + 𝑐=

𝑎 𝑏 + 𝑐

𝑏 − 𝑐

𝑎 + 2 𝑏 = 𝑥 + 𝑦 3 + 2 2 = 1 + 2

Indikator : menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma

Aturan pangkat

1. 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 3. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛 5. (𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚𝑏𝑚

Bentuk akar

Merasionalkan penyebut

dengan 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 dan 𝑥𝑦 = 𝑏 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑦 = 3 𝑥𝑦 = 2


4

Soal 8 :

Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka

nilai dari log 75 adalah

a. 0,7781

b. 0,9209

c. 1,0791

d. 1,2552

e. 1,8751

Soal 9 :

2 log 4 + 2 log 12 − 2 log 6 = ⋯

a. 8

b. 6

c. 5

d. 4

e. 3

Soal 10 :

Jika 7 log 2 = 𝑎 dan 2 log 3 = 𝑏 , maka

6 log 98 = ⋯

a. 𝑎

𝑎+𝑏

b. 𝑎+1

𝑏+2

c. 𝑎+2

𝑏+1

d. 𝑎+2

𝑎(𝑏+1)

e. 𝑎+2

𝑏(𝑎+1)

Soal 11 :

Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 log1

16= −2 adalah ...

a. 0,25

b. 0,5

c. 1

d. 2

e. 4

Solusi 8 :

log 75 = log (3 × 52)

= log 3 + log 52

= log 3 + 2 ⋅ log 5

Mencari log 5. Dari log10

2= log 10 − log 2

log 5 = 1 − 0,3010 = 0,6990

log 75 = log 3 + 2 ⋅ log 5

= 0,4771 + 2 × 0,6990 = 1,8751 (𝐸)

Solusi 9 :

2 log 4 + 2 log 12 − 2 log 6

= 2 log 22 + 2 log (22 × 3) − 2 log (2 × 3)

= 2 2 log 2 + 2 2 log 2 + 2 log 3

− 2 log 2 − 2 log 3

= 2 . 1 + 2 . 1+ 2 log 3 − 1− 2 log 3

= 3 (𝐸)

Solusi 10 :

6 log 98 = 2 log 98

2 log 6=

2 log (2.72)

2 log(3.2)

= 2 log 2 + 2 . 2 log 7

2 log 2 + 2 log 3

Karena 7 log 2 = 𝑎 , maka 2 log 7 =1

𝑎

6 log 98 = 2 log 2 + 2 . 2 log 7

2 log 2 + 2 log 3

=1 +

2𝑎

1 + 𝑏 =

𝑎 + 2

𝑎(1 + 𝑏) (𝐷)

Solusi 11 :

Sesuai definisi,

𝑥 log1

16= −2 ↔ 𝑥−2 =

1

16

1

𝑥2 =1

16 ↔ 𝑥2 = 16

𝑥 = ±4

Karena basis yang memenuhi hanya yang

positif, maka 𝑥 = 4 (E)

𝒂𝒙 = 𝒃 ↔ 𝒙 = 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒃 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1

log𝑎

𝑏= log 𝑎 − log 𝑏 𝑎 log 1 = 0

𝑎 log 𝑏 =log 𝑎

log 𝑏=

1

𝑏 log 𝑎 𝑎

𝑛log 𝑏𝑚 =

𝑚

𝑛⋅ 𝑎 log 𝑏

Logaritma

log 𝑎𝑏 = log 𝑎 + log 𝑏 𝑎 log 𝑏 ⋅ 𝑏 log 𝑐 = 𝑎 log 𝑐

log 𝑎𝑛 = 𝑛 . log 𝑎 𝑎 log 𝑎 = 1


5

Soal 12 :

Akar-akar persamaan dari 2𝑥2 + 6𝑥 = 1 adalah

𝑝 dan 𝑞. Nilai dari 𝑝2 + 𝑞2 adalah …

a. −2

b. −8

c. 9

d. 10

e. 12

Soal 13 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan

3𝑥2 − 9𝑥 + 4 = 0 adalah …

a. −4

9

b. −3

4

c. 9

4

d. 3

4

e. −9

4

Soal 14 :

Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 𝑐 = 0

adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Jika 𝑥2 = 3𝑥1 , maka nilai c

sama dengan …

a. 10

b. 12

c. 14

d. 16

e. 18

Soal 15 :

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali

dari akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 + 3𝑥 +

4 = 0 adalah ...

a. 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0

b. 𝑥2 + 6𝑥 + 16 = 0

c. 𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 0

d. 𝑥2 − 6𝑥 + 16 = 0

e. 𝑥2 + 3𝑥 + 8 = 0

Solusi 12 :

2𝑥2 + 6𝑥 = 1 ↔ 2𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0

𝑝2 + 𝑞2 = (𝑝 + 𝑞)2 − 2𝑝𝑞

= .−6

2/

2− 2 .−

1

2/

=9

1+ 1

= 10 (D)

Solusi 13 :

Jumlah kebalikan akar-akar, yaitu 1

𝑥1+

1

𝑥2=

𝑥1 + 𝑥2

𝑥1𝑥2

persamaan 3𝑥2 − 9𝑥 + 4 = 0, maka

𝑥1 + 𝑥2 = −(−9)

3= 3

𝑥1𝑥2 =4

3

1

𝑥1+

1

𝑥2=

𝑥1+𝑥2

𝑥1𝑥2=

34

3

=9

4 (C)

Solusi 14 :

𝑥1 + 𝑥2 = −(−8)

1= 8

Karena 𝑥2 = 3𝑥1 , maka

𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1 + 3𝑥1 = 4𝑥1 = 8

𝑥1 = 2

Maka, 𝑥2 = 3𝑥1 = 3 ⋅ 2 = 6

Sehingga, 𝑥1𝑥2 = 𝑐

𝑐 = 2 ⋅ 6 = 12

Solusi 15 :

Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat

𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

adalah 2𝑥1 dan 2𝑥2 adalah

𝑥2 − (2𝑥1 + 2𝑥2)𝑥 + 2𝑥12𝑥2 = 0

𝑥2 − 2(𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 4𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − 2(−3)𝑥 + 4.4 = 0

𝑥2 + 6𝑥 + 16 = 0 (𝐵)

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎 𝑥1𝑥2 =

𝑐

𝑎

(𝑝 + 𝑞)2 = 𝑝2 + 𝑞2 + 2𝑝𝑞 ↔ 𝑝2 + 𝑞2 = (𝑝 + 𝑞)2 − 2𝑝𝑞

(𝑝 − 𝑞)2 = 𝑝2 + 𝑞2 − 2𝑝𝑞 ↔ 𝑝2 + 𝑞2 = (𝑝 − 𝑞)2 + 2𝑝𝑞

Indikator : Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Jika diketahui persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 mempunyai akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2 , maka

Beberapa hubungan yang perlu diketahui :


6

Soal 16 :

Tentukan nilai 𝑐 sehingga grafik fungsi

𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑐 tidak memotong sumbu-𝑥 di

dua titik ...

a. 𝑐 < 1

b. 𝑐 > 1

c. 𝑐 ≥ 1

d. 𝑐 ≤ −1

e. 𝑐 ≤ 1

Soal 17 :

Persamaan kuadrat 𝑥2 − 𝑝𝑥 + 4 mempunyai

akar-akar bukan bilangan real. Maka nilai 𝑝

yang memenuhi jika 𝑝 adalah bilangan asli

adalah ...

a. {1, 2}

b. *0, 1, 2, 3, 4+

c. {1, 2, 3, 4}

d. *1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8+

e. *1, 2, 3+

Soal 18 :

Manakah pernyataan yang benar untuk fungsi

berikut : 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 2𝑥 − 4

a. Memotong sumbu 𝑥 di dua titik

b. Memotong sumbu 𝑥 di satu titik

c. Selalu bernilai positif

d. Selalu bernilai negatif

e. mempunyai nilai maksimum ketika 𝑥 = 1

Solusi 16 :

Tidak memotong sumbu-𝑥 di dua titik, artinya

grafik tersebut,

Memotong sumbu-𝑥 di satu titik (𝐷 = 0) ;

Atau tidak memotong sumbu-𝑥 (𝐷 < 0)

Sehingga 𝐷 ≤ 0, yaitu

𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≤ 0

4 − 4𝑐 ≤ 0

𝑐 ≥ 1 (C)

Solusi 17 :

Akar-akar bukan bilangan real, artinya 𝐷 < 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0

𝑝2 − 16 < 0

(𝑝 − 4)(𝑝 + 4) < 0

𝑝 = 4 ∨ 𝑝 = −4

+ − +

−4 4

Bilangan asli yang memenuhi adalah {1, 2, 3} (E)

Solusi 18 :

𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 2𝑥 − 4

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝐷 = 4 − 4(−2)(−4)

= 4 − 32

= −28

𝐷 < 0

𝐷 < 0 menunjukkan bahwa grafik fungsi

tersebut tidak memotong sumbu-𝑥

Karena masih belum diperoleh solusi, maka kita

perhatikan nilai 𝑎,

𝑎 = −2

menunjukkan bahwa grafik fungsi menghadap

ke bawah. Karena tidak memotong sumbu-𝑥

dan grafik fungsi menghadap ke bawah, maka

fungsi tersebut “selalu bernilai negatif” (D)

Indikator : menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan

diskriminan

Jika diberikan fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , maka

Diskriminan (D), adalah 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

Jika,

𝐷 < 0, maka dua akar kompleks / tidak ada akar real (grafiknya tidak memotong sumbu-𝑥)

𝐷 = 0, maka akar kembar (grafiknya memotong sumbu-𝑥 di satu titik)

𝐷 > 0, maka dua akar real berbeda (grafiknya memotong sumbu-𝑥 di dua titik)


7

Soal 19 :

Nilai dari 𝑥 − 𝑦 , dari sistem persamaan

3𝑥 + 4𝑦 = 17000

5𝑥 + 7𝑦 = 28000

adalah ...

a. 8000

b. 9000

c. 11000

d. 15000

e. 21000

Soal 20 :

Harga 2 buah apel dan 2 buah jeruk adalah

8800. Jika harga sebuah apel adalah 600 lebih

murah dari pada harga sebuah jeruk. Maka,

harga sebuah apel adalah ...

a. 1400

b. 1600

c. 1900

d. 2000

e. 2500

Solusi 19 :

3𝑥 + 4𝑦 = 17000

5𝑥 + 7𝑦 = 28000

Gabungan antara kaidah Sarrus dengan

Substitusi.

Menggunakan kaidah Sarrus, diperoleh

𝑥 = 17000 428000 7

3 45 7

=

119000 − 112000

21 − 20= 7000

Dengan substitusi 𝑥 = 7 ke persamaan

3𝑥 + 4𝑦 = 17000

Diperoleh,

3(7000) + 4𝑦 = 17000

𝑦 = −1000

Sehingga 𝑥 − 𝑦 = 7000 − (−1000) = 8000 (A)

Solusi 20 :

Misalkan, 𝑥 : harga apel 𝑦 : harga jeruk

2𝑥 + 2𝑦 = 8800

𝑥 = 𝑦 − 600

Sehingga bisa ditulis :

𝑥 + 𝑦 = 4400

𝑥 − 𝑦 = −600 _

2𝑦 = 5000

𝑦 = 2500

Sehingga

𝑥 = 𝑦 − 600

= 2500 − 600 = 1900

𝐷 = 1 −23 4

, 𝐷𝑥 = 6 −28 4

, 𝐷𝑦 = 1 63 8

𝑥 = 6 −28 4

1 −23 4

=

24 + 16

4 + 6=

40

10= 4 𝑦 =

1 63 8

1 −23 4

=

8 − 18

4 + 6=

−10

10= −1

Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear

SPL (Sistem Persamaan Linear)

Metode Eliminasi, Substitusi (Gabungan)

Misalkan :

𝑥 − 2𝑦 = 6 × 3 3𝑥 − 6𝑦 = 18 𝑥 − 2𝑦 = 6 , karena 𝑦 = −1 , maka

3𝑥 + 4𝑦 = 8 × 1 3𝑥 + 4𝑦 = 8 _ 𝑥 − 2(−1) = 6

−10𝑦 = 10 𝑥 + 2 = 6

𝑦 = −1 𝑥 = 4

Menggunakan Kaidah Sarrus

Pada contoh di atas!

𝑥 =𝐷𝑥

𝐷 dan 𝑦 =

𝐷𝑦

𝐷

dengan,


8

Soal 21 :

Agar lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑎 = 0

mempunyai jari-jari 5, maka 𝑎 = ⋯

a. −20

b. −12

c. −3

d. 12

e. 20

Soal 22 :

Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0

menyinggung sumbu 𝑥 di titik …

a. (1,0)

b. (−1,0)

c. (0,0)

d. (2,0)

e. (−2,0)

Soal 23 :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2)

dan menyinggung sumbu-𝑥 adalah ...

Solusi 21 :

𝑟 = 1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶 =

1

4(16) +

1

4(36) − 𝑎

5 = 4 + 9 − 𝑎

25 = 13 − 𝑎

𝑎 = −12

Solusi 22 :

Menyinggung sumbu-𝑥, yaitu ketika 𝑦 = 0 ,

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0

Untuk 𝑦 = 0, maka

𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

(𝑥 + 1 )2 = 0

𝑥 = −1

Jadi, lingkaran tersebut menyinggung sumbu-𝑥

di titik (−1, 0)

Solusi 23 :

Mencari jari-jari, yaitu jarak antara pusat

dengan titik singgung. Sumbu-𝑥 adalah 𝑦 = 0.

Sehingga 𝑟 = 2 − 0 = 2. Persamaannya

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 22

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑟 = 1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶

(𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟^2

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 𝑚2 + 1

Indikator : menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran

Lingkaran

Persamaan Lingkaran yang berpusat di (𝑎, 𝑏) dan berjari-jari 𝑟

Persamaan Umum Lingkaran

dengan, Pusat Lingkaran di .−1

2𝐴, −

1

2𝐵/

dan jari-jari lingkaran

Garis Singgung Lingkaran

Diketahui Titik Singgungnya

Persamaan Garis Singgung melalui titik (𝑥1 , 𝑦1) pada lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah

Diketahui Gradiennya (Kemiringannya)

Persamaan Garis Singgung dengan kemiringan (gradien) 𝑚 pada lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 +

(𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah


9

Soal 24 :

Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 mempunyai

jari-jari 2. Garis 𝑦 = 𝑥 menyinggung lingkaran

tersebut. Nilai 𝑎 positif yang memenuhi adalah

...

a. 2

b. 2 2

c. 4

d. 2

e. 4 2

Soal 25 :

Persamaan garis singgung lingkaran yang

berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5, yang tegak

lurus terhadap garis 2𝑦 − 𝑥 = 1 adalah ...

a. 𝑦 = −2𝑥 ± 5 5

b. 𝑦 = 3𝑥 ± 2 5

c. 𝑦 = −4𝑥 ± 5 5

d. 𝑦 = −2𝑥 ± 5 2

e. 𝑦 = 2𝑥 ± 5 2

Solusi 24 :

Garis menyinggung lingkaran, yaitu 𝐷 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑦 = 𝑥

Substitusi, diperoleh

𝑥2 + 𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

2𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝐷 = (4𝑎)2 − 4. 𝑏. 2 = 16𝑎2 − 8𝑏 = 0

2𝑎2 = 𝑏 … 1)

Jari-jari 2, artinya 𝑟 = 1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶 = 2

2 = 1

416𝑎2 − 𝑏 ↔ 4 = 4𝑎2 − 𝑏 … 2)

Substitusikan pers. ...1) ke pers. ...2)

4 = 4𝑎2 − 2𝑎2

4 = 2𝑎2

2 = 𝑎2

𝑎 = ± 2

Nilai 𝑎 yang positif adalah 2

Solusi 25 :

Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah

𝑥2 + 𝑦2 = 25

Garis singgung yang dimaksud tegak lurus

terhadap garis 2𝑦 − 𝑥 = 1

2𝑦 = 𝑥 + 1

𝑦 =1

2𝑥 +

1

2

𝑚1 =1

2

Karena tegak lurus, 𝑚2 yang digunakan adalah

−1 = 𝑚1 × 𝑚2

−1 =1

2× 𝑚2

𝑚2 = −2

p.g.s yang dimaksud adalah

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 𝑚2 + 1

𝑦 = −2𝑥 ± 5 5

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Misalkan lingkaran dengan persamaan 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

dan garis dengan persamaan 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞

Substitusi nilai 𝑦 dari persamaan garis ke persamaan lingkaran akan didapatkan suatu

persamaan kuadrat baru.

Jika,

𝐷 < 0 , garis tersebut tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran

𝐷 = 0 , garis tersebut menyinggung lingkaran (memotong di satu titik)

𝐷 > 0 , garis tersebut memotong lingkaran di dua titik berbeda.


10

Soal 26 :

Salah satu persamaan garis singgung pada

lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 4 yang melalui titik (0, 4)

adalah ...

a. 𝑦 = − 6𝑥 + 4

b. 𝑦 = 2 3𝑥 + 2

c. 𝑦 = 3𝑥 + 4

d. 𝑦 = − 3𝑥 + 3

e. 𝑦 = 2 3𝑥 − 4

Solusi 26 :

Titik (0,4) berada pada luar lingkaran. Karena

𝑥2 + 42 = 16 dan 16 > 4

Misalkan p.g.s. yang terbentuk adalah

𝑦 − 4 = 𝑚(𝑥 − 0)

𝑦 = 𝑚𝑥 + 4

Untuk mencari 𝑚, kita substitusikan p.g.s. di

atas ke pers. lingkaran. Diperoleh,

𝑥2 + (𝑚𝑥 + 4)2 = 4

𝑥2 + 𝑚2𝑥2 + 8𝑚𝑥 + 16 = 4

(1 + 𝑚2)𝑥2 + 8𝑚𝑥 + 12 = 0

Karena menyinggung, maka 𝐷 = 0, yaitu

(8𝑚)2 − 4. (1 + 𝑚2). 12 = 0

64𝑚2 − 48 − 48𝑚2 = 0

16𝑚2 − 48 = 0

𝑚2 − 3 = 0

𝑚2 = 3

𝑚 = ± 3

Sehingga, p.g.s yang dimaksud adalah

𝑦 = ± 3𝑥 + 4

Garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran

Lingkaran berpusat di 𝑂 dan berjari-jari 𝑟. Kemudian diberikan suatu titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1) di luar

lingkaran. Menentukan p.g.s yang terbentuk.

Langkah-langakhnya :

Misalkan p.g.s. tsb. mempunyai persamaan 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) (karena melalui (𝑥1 , 𝑦1))

Karena garis tersebut menyinggung lingkaran, maka kita substitusikan p.g.s pada langkah

awal ke persamaan lingkaran, kemudian kita anggap 𝐷 = 0

𝐴(𝑥1 , 𝑦1)

𝑟

𝑂

Kedudukan titik terhadap lingkaran

Misalkan titik (𝑥1 , 𝑦1) dan persamaan lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

Substitusikan titik tersebut ke (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 , bandingkan nilainya dengan 𝑟2

Jika kurang dari 𝑟2, maka letaknya di dalam lingkaran.

Jika sama dengan 𝑟2, maka letaknya pada lingkaran.

Jika lebih besar dari 𝑟2, maka letaknya berada di luar lingkaran.


11

Soal 27 :

Suku banyak 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 2) sisanya 8.

Dan jika dibagi oleh (𝑥 + 3) sisanya −7. Sisa

pembagian suku banyak 𝐹(𝑥) oleh (𝑥2 + 𝑥 − 6)

adalah ...

a. 3𝑥 + 2

b. 2𝑥 + 3

c. 3𝑥 + 3

d. 2𝑥 + 2

e. 𝑥 + 3

Soal 28 :

Sisa pembagian jika suku banyak

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 8

dibagi oleh 𝑥 − 1 adalah ...

a. −3

b. −1

c. 4

d. 6

e. 7

Soal 29 :

Suku banyak jika dibagi oleh (𝑥 − 2) bersisa 11.

Jika dibagi oleh (𝑥 + 1) sisanya adalah −4. Sisa

pembagian suku banyak tersebut jika dibagi

dengan (𝑥2 − 𝑥 − 2) adalah ...

Solusi 27 :

𝐹(𝑥) = (𝑥 − 2) . 𝐻(𝑥) + 8 → 𝐹(2) = 8

𝐹(𝑥) = (𝑥 + 3) . 𝐼(𝑥) − 7 → 𝐹(−3) = −7

Misalkan

𝐹(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 6) . 𝐽(𝑥) + (𝑎𝑥 + 𝑏)

Untuk 𝑥 = 2, 𝐹(2) = 2𝑎 + 𝑏

8 = 2𝑎 + 𝑏 ... 1)

Untuk 𝑥 = −3, 𝐹(−3) = −3𝑎 + 𝑏

−7 = −3𝑎 + 𝑏 ... 2)

Substitusi kedua pers. diperoleh :

𝑎 = 3 dan 𝑏 = 2

Sehingga, sisa yang dimaksud adalah 3𝑥 + 2

Solusi 28 :

Mencari sisa pembagian tersebut, sama dengan

mencari nilai 𝑓(1).

𝑓(1) = 2(1)3 − 4(1)2 + 1 + 8

= 2 − 4 + 1 + 8

= 7

Solusi 29 :

Misalkan suku banyak tersebut adalah 𝐺(𝑥)

𝐺(𝑥) = (𝑥 − 2) . 𝐻(𝑥) + 11 → 𝐺(2) = 11

𝐺(𝑥) = (𝑥 + 1) . 𝐼(𝑥) − 4 → 𝐺(−1) = −4

Misalkan

𝐺(𝑥) = (𝑥2 − 𝑥 − 2) . 𝐽(𝑥) + (𝑎𝑥 + 𝑏)

𝐺(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) . 𝐽(𝑥) + (𝑎𝑥 + 𝑏)

Untuk 𝑥 = 2, 𝐺(2) = 2𝑎 + 𝑏

11 = 2𝑎 + 𝑏 ... 1)

Untuk 𝑥 = −1, 𝐺(−1) = −𝑎 + 𝑏

−4 = −𝑎 + 𝑏 ... 2)

Substitusi 1) dan 2) diperoleh

𝑎 = 5 dan 𝑏 = 1

Sehingga sisa yang dimaksud adalah 5𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑘) . 𝐻(𝑥) + 𝑆

𝑓(𝑘) = (𝑘 − 𝑘) . 𝐻(𝑥) + 𝑆

𝑓(𝑘) = 𝑆

Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor

Teorema Sisa

Suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 𝑘), maka akan diperoleh hasil bagi 𝐻(𝑥) dan sisa pembagian

𝑆 , yang mempunyai hubungan

Untuk menentukan sisa (𝑆), maka kita bisa mencari nilai 𝑓(𝑘) , karena


12

Soal 30 :

Suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 9𝑥 + 9 jika

dituliskan dalam bentuk perkalian faktor linear-

linearnya menjadi ...

a. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

b. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)

d. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

e. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

Soal 31 :

Salah satu faktor dari

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 𝑥 − 2

adalah 𝑥 + 2. Salah satu faktor yang lain dari

𝑓(𝑥) adalah ...

a. (𝑥 − 2)

b. (𝑥 + 1)

c. (𝑥 + 4)

d. (𝑥 − 3)

e. (𝑥 + 3)

Solusi 30 :

Faktor-faktor dari 9 yang berupa bilangan bulat

adalah : ±1, ±3, ±9

Oleh karena itu kita coba dari yang terkecil.

+1

Kita gunakan

1 1 −1 −9 9

1 0 −9

1 0 −9 0

Sisanya 0.

Maka 𝑥 = 1 atau (𝑥 − 1) adalah salah satu

faktor dari 𝑓(𝑥).

Hasil pembagian 𝑓(𝑥) dengan (𝑥 − 1) bisa

dilihat di atas yaitu 𝑥2 + 0𝑥 − 9

Atau sama dengan 𝑥2 − 9

Dengan pemfaktoran kuadrat, kita peroleh

𝑥2 − 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)

Jadi,

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

Solusi 31 :

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 𝑥 − 2

Karena 𝑥 + 2 adalah salah satu faktornya, maka

𝑓(−2) = 0

𝑓(−2) = (−2)3 + 𝑎(−2)2 − (−2) − 2

0 = −8 + 4𝑎

𝑎 = 2

Jadi,

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2

Hasil bagi 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 + 2 adalah

−2 1 2 −1 − 2

−2 0 2

1 0 −1 0

yaitu

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 1)

Dengan pemfaktoran

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

Teorema Faktor

Jika 𝑓(𝑥) adalah suatu suku banyak, maka (𝑥 − 𝑘) merupakan faktor dari 𝑓(𝑥) jika dan hanya

jika 𝑓(𝑘) = 0

Misalkan bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Kita bisa mencoba mencari faktor dari 𝑓(𝑥) yaitu (𝑥 − 𝑘)

dengan 𝑘 adalah faktor-faktor bilangan bulat dari 𝑎0

Jika 𝑓(𝑘) = 0 , maka (𝑥 − 𝑘) adalah faktor dari 𝑓(𝑥).


13

Soal 32 :

Diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 6 dan

𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1. Jika nilai (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 101

maka, nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ...

a. 2 dan −2

b. −11

3 dan 2

c. 11

3 dan −2

d. 2 dan 7

3

e. 11

3 dan

7

3

Soal 33 :

Jika diketahui 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 dan diketahui

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 ,

maka , 𝑓(𝑥) = ⋯

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 3

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5

e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1

Soal 34 :

Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 12𝑥 − 2 dan diketahui

𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2. Maka 𝑔(𝑥) = ⋯

a. 2𝑥 + 1

b. 3𝑥 + 1

c. 3𝑥 − 1

d. 3𝑥 + 2

e. 2𝑥 + 3

Solusi 32 :

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑔(𝑥)

𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑓(2𝑥 − 1)

= 3(2𝑥 − 1)2 − 4(2𝑥 − 1) + 6

= 3(4𝑥2 − 4𝑥 + 1) − 8𝑥 + 4 + 6

= 12𝑥2 − 12𝑥 + 3 − 8𝑥 + 10

= 12𝑥2 − 20𝑥 + 13

101 = 12𝑥2 − 20𝑥 + 13

12𝑥2 − 20𝑥 − 88 = 0

3𝑥2 − 5𝑥 − 22 = 0

(3𝑥 − 11)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 =11

3 atau 𝑥 = −2

Solusi 33 :

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1

Misalkan

𝑥 + 1 = 𝑘

maka,

𝑥 = 𝑘 − 1

Sehingga,

𝑓(𝑘) = (𝑘 − 1)2 + 3(𝑘 − 1) + 1

= 𝑘2 − 2𝑘 + 1 + 3𝑘 − 3 + 1

= 𝑘2 + 𝑘 − 1

Jadi,

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1

Solusi 34 :

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 12𝑥 − 2

𝑓 𝑔(𝑥) = 12𝑥 − 2

4 𝑔(𝑥) + 2 = 12𝑥 − 2

4 𝑔(𝑥) = 12𝑥 − 4

𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1

Jadi,

𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1

𝑕(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑔(𝑥)

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)

(𝑓 ∘ 𝑔) ∘ 𝑕 (𝑥) = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ 𝑕) (𝑥)

Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers

Fungsi Komposisi

Sifat-sifat penting

Umumnya tidak komutatif

Bersifat asosiatif


14

Soal 35 :

Diketahui 𝑓(𝑥) =1

2𝑥+1 . Jika 𝑓−1(𝑥) adalah suatu

fungsi invers dari 𝑓, dan 𝑓−1(𝑎) = −1, maka

nilai 𝑎 adalah ...

a. −1

b. 0

c. 1

d. 2

e. 3

Soal 36 :

Misalkan diketahui 𝑓(𝑥) =3𝑥+5

2𝑥−3 , maka

𝑓−1(𝑥) = ...

a. 3𝑥+5

2𝑥−3

b. 3𝑥+5

2𝑥+3

c. 3𝑥+3

2𝑥−5

d. 3𝑥+2

5𝑥−3

e. 5𝑥+3

3𝑥−2

Soal 37 :

Nilai 𝑓−1(2) dari 𝑓(𝑥) =3𝑥+4

2𝑥−1 adalah ...

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. 7

Solusi 35 :

𝑓(𝑥) =1

2𝑥+1 ↔ 𝑦 =

1

2𝑥+1

2𝑥 + 1 =1

𝑦

2𝑥 =1

𝑦− 1

𝑥 =1

2𝑦−

1

2 , maka 𝑓−1(𝑥) =

1

2𝑥−

1

2

𝑓−1(𝑎) =1

2𝑎−

1

2 ↔ −1 =

1

2𝑎−

1

2

−1 +1

2=

1

2𝑎 ↔ −

1

2=

1

2𝑎

−2𝑎 = 2 ↔ 𝑎 = −1

Jadi, nilai 𝑎 = −1

Solusi 36 :

Dengan rumus di atas, maka

𝑓−1(𝑥) =3𝑥 + 5

2𝑥 − 3

Solusi 37 :

𝑓(𝑥) =3𝑥+4

2𝑥−1 , dengan menggunakan rumus di

atas, maka diperoleh 𝑓−1(𝑥) =𝑥+4

2𝑥−3

𝑓−1(2) =2+4

2(2)−3

=6

4−3

= 6

Jadi, nilai 𝑓−1(2) = 6

Fungsi Invers

Syarat memiliki fungsi invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi berkorespondensi satu-satu

Langkah-langkah menentukan fungsi invers

Ubah 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam bentuk 𝑥 sebagai fungsi 𝑦

Bentuk tersebut dinamakan 𝑓−1(𝑦)

Mengganti 𝑦 pada 𝑓−1(𝑦) dengan 𝑥, sehingga diperoleh 𝑓−1(𝑥)

𝒇(𝒙) =𝒂𝒙 + 𝒃

𝒄𝒙 + 𝒅

𝒇−𝟏 =−𝒅𝒙 + 𝒃

𝒄𝒙 − 𝒂

Misalkan diberikan

Maka,


15

Soal 38 :

Diketahui 𝑓(𝑥) =𝑥+4

𝑥−6 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1

maka, (𝑓 ∘ 𝑔)−1(𝑥) adalah ...

a. 𝑥+3

𝑥−2

b. 7𝑥+3

2𝑥−2

c. 𝑥+3

2𝑥−2

d. 2𝑥+7

2𝑥−2

e. 3𝑥+3

𝑥−2

Soal 39 :

Nilai maksimum 4𝑥 + 5𝑦 dengan

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 dan 𝑥 + 𝑦 ≤ 7

adalah ...

a. 28

b. 30

c. 31

d. 35

e. 40

Solusi 38 :

Ada 2 cara yang bisa dilakukan. Bisa mencari

𝑓 ∘ 𝑔 terlebih dahulu kemudian diinverskan.

Bisa juga menggunakan rumus di atas.

Kita akan menggunakan rumus di atas!

𝑓−1(𝑥) =6𝑥+4

𝑥−1 dan 𝑔−1(𝑥) =

𝑥+1

2=

1

2𝑥 +

1

2

𝑔−1(𝑥) ∘ 𝑓−1(𝑥) = 𝑔−1 𝑓−1(𝑥)

= 𝑔−1 .6𝑥+4

𝑥−1/

=1

2.

6𝑥+4

𝑥−1/ +

1

2

=3𝑥+2

𝑥−1+

1

2

=6𝑥+4+(𝑥−1)

2(𝑥−1)

=7𝑥+3

2𝑥−2

Jadi, (𝑓 ∘ 𝑔)−1(𝑥) =7𝑥+3

2𝑥−2

Solusi 39 :

(𝑓 ∘ 𝑔)−1(𝑥) = 𝑔−1(𝑥) ∘ 𝑓−1(𝑥)

Invers dari Fungsi Komposisi

Indikator : menyelesaikan masalah program linear

Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear

Menggambar semua daerah yang diketahui (Jika soal cerita, ubah terlebih dahulu

permasalahannya ke dalam bentuk matematika / persamaan/pertidaksamaan linear)

Menentukan titik ekstrim

Melakukan unji titik ekstrim


16

Soal 40 :

Jika diketahui 𝐴 = 2 𝑥 +

1

𝑦

8 + 𝑥 2𝑦 + 5𝑧 dan

𝐵 = 02 39 11

1, dan 𝐴 = 𝐵 . maka nilai 𝑧 adalah ...

a. 1

2

b. 1

c. 3

2

d. 2

e. 3

Solusi 40 :

2 𝑥 +

1

𝑦

8 + 𝑥 2𝑦 + 5𝑧 = 0

2 39 11

1

Kesamaan matriks, syaratnya adalah elemen-

elemen yang seletak bernilai sama.

8 + 𝑥 = 9 , maka 𝑥 = 1

𝑥 +1

𝑦= 3 , maka 1 +

1

𝑦= 3 ↔

1

𝑦= 2 ↔ 𝑦 =

1

2

2𝑦 + 5𝑧 = 11 , maka

2 .1

2/ + 5𝑧 = 11 ↔ 1 + 5𝑧 = 11

5𝑧 = 10 ↔ 𝑧 = 2

Jadi, nilai 𝑧 = 2

𝐴2×3 = .1 2 32 0 0

/

.1 2 32 0 0

/ + .2 1 01 2 −3

/ = 1 + 2 2 + 1 3 + 02 + 1 0 + 2 0 + (−3)

= .3 3 33 2 −3

/

𝑛𝐴 = 2 .1 23 4

/ = .2 × 1 2 × 22 × 3 2 × 4

/ = .2 46 8

/

𝐴 × 𝐵 = .𝑎 𝑏𝑐 𝑑

/ .𝑖 𝑗 𝑘𝑙 𝑚 𝑛

/ = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑙 𝑎𝑗 + 𝑏𝑚 𝑎𝑘 + 𝑏𝑛𝑐𝑖 + 𝑑𝑙 𝑐𝑗 + 𝑑𝑚 𝑐𝑘 + 𝑑𝑛

Indikator : menyelesaikan operasi matriks

Ordo/Ukuran Matriks

Matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 ditulis 𝐴𝑚×𝑛 (dengan 𝑚 banyak baris dan 𝑛 banyak kolom)

Matriks Persegi : matriks dengan ukuran baris = kolom

Transpose Matriks

Misal 𝐴 = .1 2 32 0 0

/, maka 𝐴𝑇 = 1 22 03 0

... Baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris

Penjumlahan / Pengurangan

Syarat : ordo harus sama

Perkalian Skalar

Bilangan real 𝑛, dikalikan dengan matriks 𝐴

Misalkan 𝑛 = 2 , dan 𝐴 = .1 23 4

/

maka

Perkalian Matriks 𝐴𝐵 harus memenuhi syarat:

Jumlah kolom matriks 𝐴 sama dengan jumlah kolom matriks 𝐵

(𝐴𝑚×𝑛 × 𝐵𝑛×𝑘) hasilnya nanti adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑘

Sifat-sifat Matriks

(𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴

(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇

(𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇


17

det(𝐴) = 𝑎1𝑗𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐶2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗

det(𝐴) = 𝑎𝑖1𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐶𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝐶𝑖𝑛

Determinan dan Invers Matriks

Syarat suatu Matriks mempunyai invers adalah determinan dari matriks tidak sama dengan 0.

Minor

Misal 𝐴 adalah matriks persegi

Minor anggota 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan suatu matriks yang masih tersisa setelah baris ke-𝑖 dan

kolom ke-𝑗 dihilangkan dari 𝐴

Contoh : 𝐴 = .2 34 5

/ = .𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22/

𝑀11 = 5 , 𝑀12 = 4 , 𝑀21 = 3 , 𝑀22 = 2

Kofaktor

Kofaktor anggota 𝐶𝑖𝑗 sama dengan (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗

𝐶11 = (−1)1+1 × 5 = 5 , 𝐶12 = −4 , 𝐶21 = −3 , 𝐶22 = 2

Determinan

Misal 𝐴 adalah matriks persegi. Dengan perluasan kofaktor

Perluasan kofaktor di sepanjang kolom ke-𝑗

Perluasan kofaktor di sepanjang baris ke-𝑖

det(𝐴) = 𝑎11𝐶11 + 𝑎12𝐶12 = 2(5) + 3(−4) = 10 − 12 = −2

Matriks Kofaktor

Matriks kofaktor dari 𝐴. Misal 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐶𝑖𝑗 adalah kofaktor dari 𝑎𝑖𝑗 , maka

matriks

𝐶11 𝐶12

𝐶21 𝐶22

… 𝐶1𝑛

… 𝐶2𝑛

⋮ ⋮𝐶𝑛1 𝐶𝑛2

⋱ ⋮… 𝐶𝑛𝑛

, pada contoh di atas, .5 −3

−4 2/

Adjoin

Misal 𝐴 adalah matriks persegi. Adjoin 𝐴 ditulis 𝑎𝑑𝑗(𝐴) adalah transpose dari matriks kofaktor

dari 𝐴. Pada contoh di atas, 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = .5 −4

−3 2/

Invers Matriks

𝐴−1 =1

det (𝐴) 𝑎𝑑𝑗(𝐴) , pada contoh di atas, 𝐴−1 =

1

−2.

5 −4−3 2

/ = −

5

22

3

2−1

Sifat-sifat Determinan dan Invers Matriks

𝐴 ± 𝐵 = 𝐴 ± 𝐵

𝐴𝐵 = 𝐶 → 𝐴 𝐵 = 𝐶

𝐴𝑇 = 𝐴

𝐴−1 =1

𝐴


18

Soal 41 :

Diketahui vektor 𝑎 = 132 , 𝑏 =

5−14

, dan

𝑐 = 41

−1 . maka vektor 𝑎 − 3𝑐 + 2𝑏 adalah ...

a. 1

−27

d. −12

−3

b. −113−2

e. −1−213

c. −12

13

Soal 42 :

Diketahui 𝑎 = 3 , 𝑏 = 1 dan 𝑎 − 𝑏 = 1 ,

panjang vektor 𝑎 + 𝑏 adalah ...

a. 3

b. 5

c. 7

d. 2 2

e. 3

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝑘 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏

𝑚(𝑛𝑎 ) = (𝑚𝑛)𝑎

(𝑚 + 𝑛)𝑎 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑎

Indikator : menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu

Panjang Vektor

Misalkan 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2) maka panjang 𝑎 yaitu 𝑎 = 𝑎12 + 𝑎2

2

Misalkan 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2) maka panjang 𝑏 yaitu 𝑏 = 𝑏12 + 𝑏2

2

Sifat Operasi Vektor

Perkalian Skalar


19

Soal 43 :

Jika vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 membentuk sudut

60° . 𝑎 = 2 dan 𝑏 = 5. Maka 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 = ⋯

a. 5

b. 7

c. 8

d. 9

e. 10

Soal 44 :

Jika sudut antara vektor 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 + 𝑝𝑘 dan

𝑏 = 𝑖 − 2𝑗 + 𝑝𝑘 adalah 60° , maka nilai 𝑝

adalah ...

a. −1

2 atau

1

2

b. −1 atau 1

c. − 2 atau 2

d. − 5 atau 5

e. −1

2 5 atau

1

2 5

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎

𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑏

𝑎 ⋅ 𝑎 = 𝑎 2

Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan

trigonometri sudut antara dua vektor

Perkalian Skalar Dua Vektor

Dengan, 𝜃 =sudut terkecil antara dua vektor

Misalkan

𝑎 =

𝑎1

𝑎2

𝑎3

𝑑𝑎𝑛 𝑏 =

𝑏1

𝑏2

𝑏3

maka 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

Sifat-sifat


20

Soal 45 :

Diketahui vektor 𝑧 adalah vektor hasil proyeksi

dari vektor 𝑥 = − 3, 3, 1 pada vektor

𝑦 = 3, 2, 3 . Maka panjang vektor 𝑧 adalah ...

a. 3

2

b. 2

c. 2

3

d. 3

e. 4

3

Soal 46 :

Panjang proyeksi ortogonal vektor 𝑎 = −𝑖 3 +

𝑝𝑗 + 𝑘 pada vektor 𝑏 = −𝑖 3 + 2𝑗 + 𝑝𝑘 adalah 3

2. Nilai 𝑝 = ⋯

a. 3

b. 2

c. 1

3

d. −2

e. −3

Soal 47 :

Diketahui : 𝑎 = (1, 2, 2), 𝑏 = (0, 1, 0) dan

𝑐 = (2, −1, −1) maka panjang proyeksi 𝑎𝑐 pada

𝑎𝑏 adalah ...

a. 1

4 6

b. 6

c. 8 6

d. 3

2 3

e. 4

3 3

Solusi 45 :

𝑧 =𝑥 ⋅ 𝑦

𝑦

𝑥 ⋅ 𝑦 = − 3 (3) + 3.2 + 1.3 = −3 + 6 + 3 = 6

𝑦 = 3 2

+ (2)2 + (3)2 = 3 + 4 + 9

= 16 = 4

Sehingga,

𝑧 =𝑥 ⋅ 𝑦

𝑦 =

6

4=

3

2

Solusi 46 :

𝑐 =𝑎 ⋅ 𝑏

𝑏

𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑏

𝑏 2

Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi

Misalkan vektor 𝑎 diproyeksikan terhadap vektor 𝑏 . Dan misalkan hasilnya adalah vektor 𝑐 .

Tentu saja vektor 𝑐 adalah vektor yang searah dengan vektor 𝑏 .

Panjang vektor 𝑐

Vektor 𝑐


21

Soal 48 :

Garis 𝑥 + 𝑦 = 3 dicerminkan terhadap sumbu-𝑦

kemudian dicerminkan terhadap sumbu-𝑥.

Maka persamaan bayangannya adalah ...

a. 𝑦 = 𝑥 + 3

b. 𝑦 = −𝑥 − 3

c. 𝑦 = 3 − 𝑥

d. 𝑦 = 𝑥 − 3

e. 𝑦 = 3𝑥 + 3

𝑥′𝑦′

= 𝑀 .𝑥𝑦/

𝑥′𝑦′

= .𝑎 𝑏𝑐 𝑑

/ .𝑥𝑦/

(𝑇2 ∘ 𝑇1)(𝐴) = 𝑇2 𝑇1(𝐴)

Indikator : menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih

Transformasi Oleh Matriks

Dengan 𝑀 adalah matriks transformasi yang digunakan.

Pergeseran Matriks translasi 𝑇 = .𝑎𝑏/

𝑥′𝑦′

= .𝑎𝑏/ + .

𝑥𝑦/

Pencerminan Terhadap sumbu-𝑥

𝑥′𝑦′

= .1 00 −1

/ .𝑥𝑦/

Terhadap sumbu-𝑦 𝑥′𝑦′

= .−1 00 1

/ .𝑥𝑦/

Terhadap titik asal 𝑂(0,0) 𝑥′𝑦′

= .−1 00 −1

/ .𝑥𝑦/

Terhadap garis 𝑦 = 𝑥 𝑥′𝑦′

= .0 11 0

/ .𝑥𝑦/

Terhadap garis 𝑦 = −𝑥 𝑥′𝑦′

= .0 −1

−1 0/ .

𝑥𝑦/

Perputaan

(Rotasi)

Dengan pusat (0,0) dan

Sudut 𝜃 yang ditentukan 𝑥′𝑦′

= .cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃

/ .𝑥𝑦/

Dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan

sudut 𝜃 yang ditentukan 𝑥′𝑦′

= .cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃

/.𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏/ + .

𝑎𝑏/

(Dilatasi)

Perkalian

Titik pusat (0,0) dan

Faktor skala 𝑘 𝑥′𝑦′

= .𝑘 00 𝑘

/ .𝑥𝑦/

Titik pusat (𝑎, 𝑏) dan

Faktor skala 𝑘 𝑥′𝑦′

= .𝑘 00 𝑘

/ .𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏/ + .

𝑎𝑏/

Komposisi Dua Transformasi

Transformasi 𝑇1 dilanjutkan Transformasi 𝑇2 terhadap suatu titik 𝐴 ditulis


22

Soal 49 :

12 log (𝑥2 − 3) < 0

Nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ...

a. −2 < 𝑥 < 2

b. −2 < 𝑥 < 3

c. −2 < 𝑥 < − 3

d. − 3 < 𝑥 < 3

e. −2 < 𝑥 < 2

Soal 50 :

Nilai 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan

32𝑥+2 ≥ 1

9

𝑥+1

adalah ...

a. 𝑥 ≥ −3

2

b. 𝑥 ≥ −1

c. 𝑥 ≥ 0

d. 𝑥 ≥1

2

e. 𝑥 ≥ 1

Solusi 49 :

12 log (𝑥2 − 3) < 0

12 log (𝑥2 − 3) <

12 log 1

Perhatikan Syaratnya, yaitu :

(𝑥2 − 3) > 0

𝑥2 > 3

Diperoleh − 3 < 𝑥 < 3

Perhatikan aturan di atas. Karena 0 < 𝑎 < 1

Maka

1 < 𝑥2 − 3

𝑥2 > 4

Diperoleh −2 < 𝑥 < 2

Iriskan kedua hasil!

Jadi, HP : − 3 < 𝑥 < 3

Indikator : menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma

Pertidaksamaan Eksponen

Jika 𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥) , maka :

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) , untuk 𝑎 > 1

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), untuk 0 < 𝑎 < 1

Pertidaksamaan Logaritma

Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) > 𝑎 log 𝑔(𝑥) , maka :

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) , untuk 𝑎 > 1

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), untuk 0 < 𝑎 < 1

Langkah-langkah penyelesaiannya :

Perhatikan syarat-syaratnya. Misalkan pada pertidaksamaan logaritma, 𝑓(𝑥) > 0 dan 𝑔(𝑥) > 0

Kemudian iriskan dengan aturan di atas!


23

Soal 51 :

Nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan

𝑥 log (6𝑥 − 8) − 2 = 0

adalah ...

a. 4 atau 2

b. 4 atau −4

c. 3 atau 4

d. 4 atau 8

e. 6 atau 7

Solusi 51 :

𝑥 log (6𝑥 − 8) − 2 = 0

𝑥 log (6𝑥 − 8) = 2

𝑥 log (6𝑥 − 8) = 𝑥 log 𝑥2

Syarat-syarat

6𝑥 − 8 > 0 → 𝑥 >8

6 dan 𝑥2 > 0 → 𝑥 > 0

Dan 𝑥 ≠ 1

Maka, 6𝑥 − 8 = 𝑥2 → 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0

(𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 0

𝑥 = 4 atau 𝑥 = 2

Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma

Fungsi Eksponen

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , dengan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ −1 dan 𝑥 ∈ ℝ

Jika 𝑎 > 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi naik

Jika 0 < 𝑎 < 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi turun

Fungsi Logaritma

𝑓(𝑥) = 𝑎 log 𝑥 , dengan 𝑥 > 0, 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1

Jika 𝑎 > 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi naik

Jika 0 < 𝑎 < 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi turun

Persamaan Eksponen

Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝 (𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑝

Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) (𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎, 𝑏 > 0 ; 𝑎, 𝑏 ≠ 1 dan 𝑎 ≠ 𝑏) maka 𝑓(𝑥) = 0

Jika 𝑕(𝑥) 𝑓(𝑥)

= 𝑕(𝑥) 𝑔(𝑥)

, maka kemungkinannya adalah :

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

𝑕(𝑥) = 1

𝑕(𝑥) = 0. Asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) positif

𝑕(𝑥) = −1. Asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya ganjil / keduanya genap

Jika 𝑓(𝑥) 𝑕(𝑥)

= 𝑔(𝑥) 𝑕(𝑥)

, maka kemungkinannya adalah :

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

𝑕(𝑥) = 0 . Asalkan 𝑓(𝑥) ≠ 0 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0

Persamaan Logaritma

Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) = 𝑎 log 𝑝 , maka 𝑓(𝑥) = 𝑝 (asalkan 𝑓(𝑥) > 0)

Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) = 𝑏 log 𝑓(𝑥) , maka 𝑓(𝑥) = 1 (asalkan 𝑎 ≠ 𝑏)

Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) = 𝑎 log 𝑔(𝑥) , maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (asalkan 𝑓(𝑥) > 0 dan 𝑔(𝑥) > 0)

Jika 𝑕(𝑥) log 𝑓(𝑥) = 𝑕(𝑥) log 𝑔(𝑥) , maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (asalkan 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0,

𝑕(𝑥) > 0 dan 𝑕(𝑥) ≠ 1)

Jika 𝑓(𝑥) log 𝑕(𝑥) = 𝑔(𝑥) log 𝑕(𝑥) , maka

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) asalkan 𝑕(𝑥) ≠ 1, 𝑕(𝑥) > 0

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) asalkan 𝑕(𝑥) = 1, 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0, 𝑓(𝑥) ≠ 1, 𝑔(𝑥) ≠ 1


24

Soal 52 :

Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4

adalah 21 dan suku ke-10 adalah 57. Suku ke-19

adalah ...

a. 123

b. 99

c. 111

d. 88

e. 100

Soal 53 :

Barisan (2𝑘 + 25), (−𝑘 + 9), (3𝑘 + 7), …

adalah barisan aritmatika untuk nilai 𝑘 ...

a. −2

b. −1

c. 0

d. 1

e. 2

Soal 54 :

Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku

membentuk barisan aritmatika. Jika kelilingnya

adalah 84, maka luasnya sama dengan ...

a. 216

b. 294

c. 363

d. 382

e. 390

Solusi 52 :

𝑈4 = 𝑈1 + 3𝑏 = 21

𝑈10 = 𝑈1 + 9𝑏 = 57

Eliminasi 𝑈1 dari kedua persamaan, diperoleh

6𝑏 = 36

𝑏 = 6

Sehingga, 𝑈1 + 3(6) = 21 ↔ 𝑈1 = 3

Maka,

𝑈19 = 𝑈1 + 18𝑏 = 3 + 18(6) = 111

Solusi 53 :

𝑏 = (−𝑘 + 9) − (2𝑘 + 25) = −3𝑘 − 16

𝑏 = (3𝑘 + 7) − (−𝑘 + 9) = 4𝑘 − 2

Substitusi kedua persamaan,

−3𝑘 − 16 = 4𝑘 − 2

−14 = 7𝑘

𝑘 = −2

Solusi 54 :

Tripel Pythagoras yang membentuk barisan

aritmetika adalah (3𝑘, 4𝑘, 5𝑘) dengan 𝑘

bilangan asli.

Mencari nilai 𝑘 ,

3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 = 84

12𝑘 = 84

𝑘 = 7

Ukuran segitiga tersebut adalah (21, 28, 35)

Sisi miring adalah sisi terpanjang, sehingga

luasnya adalah =1

2× 21 × 28 = 21 × 14 = 294

𝑈𝑛 = 𝑈1 + (𝑛 − 1)𝑏

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑈1 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑆𝑛 =

𝑛

2(𝑈1 + 𝑈𝑛)

𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 ′ −

1

2𝑆𝑛

′′

Indikator : menyelesaikan masalah deret aritmetika

Barisan dan Deret Aritmetika

Jika 𝑈𝑛 adalah suku ke-𝑛 dan 𝑏 adalah beda, yaitu 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1, maka nilai suku ke-𝑛

dirumuskan

Jumlah suku pertama sampai suku ke-𝑛, disimbolkan 𝑆𝑛 , yaitu

𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Suku tengah , 𝑈𝑡 =1

2(𝑈1 + 𝑈𝑛) , untuk banyak 𝑛 ganjil.

Jika diketahui rumus 𝑆𝑛 , dan ditanya rumus 𝑈𝑛 , maka

dengan, 𝑆𝑛 ′ adalah turunan pertama dari 𝑆𝑛 , dan 𝑆𝑛

′′ adalah turunan keduanya.


25

Soal 55 :

Diketahui jumlah 𝑛 suku pertama dari barisan

aritmatika dirumuskan oleh 𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 6𝑛.

Maka beda deret dari barisan aritmetika

tersebut adalah ...

a. −4

b. −2

c. 0

d. 2

e. 4

Soal 56 :

Suku ke-3 dan suku ke-10 dari barisan geometri

berturut-turut adalah 24 dan 3072. Suku ke-7

barisan tersebut adalah ...

a. 384

b. 428

c. 626

d. 680

e. 880

Solusi 55 :

Dengan rumus di atas, kita peroleh bahwa beda

dari barisan aritmatika yang dimaksud adalah

𝑏 = 2 × 2 = 4

Dengan penjabaran rumus 𝑆𝑛

𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 6𝑛 = 𝑛(2𝑛 − 6) =𝑛

2(4𝑛 − 12)

=𝑛

2(−8 + (𝑛 − 1)4)

Bandingkan dengan rumus

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑈1 + (𝑛 − 1)𝑏)

Maka, 𝑏 = 4

Solusi 56 :

𝑈3 = 𝑈1 × 𝑟2 = 24

maka, 𝑈1 =24

𝑟2 ... 1)

𝑈10 = 𝑈1 × 𝑟9 = 3072 … 2)

Substitusi ... 1) ke ... 2) 24

𝑟2 × 𝑟9 = 3072

24𝑟7 = 3072

𝑟 = 2

Maka, 𝑈1 =24

22 =24

4= 6

Sehingga,

𝑈7 = 6 × 26 = 384

Beda barisan aritmetika jika diketahui 𝑆𝑛

Misalkan 𝑆𝑛 = 𝑝𝑛2 + 𝑞𝑛 , maka beda = 𝑏 = 2𝑝

𝑈𝑛 = 𝑈1 × 𝑟𝑛−1

𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1 ; 𝑟 > 1

=𝑎(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟 ; 𝑟 < 1

𝑆 =𝑎

1 − 𝑟

Indikator : menyelesaikan masalah deret geometri

Deret Geometri

𝑟 adalah rasio, yaitu 𝑟 =𝑈2

𝑈1=

𝑈3

𝑈2= ⋯ =

𝑈𝑛

𝑈𝑛−1= ⋯

Suku ke-𝑛 dirumuskan dengan

Jumlah 𝑛 suku pertama dirumuskan dengan

Suku tengah, 𝑈𝑡 = 𝑈1 × 𝑈𝑛

Deret Geometri Tak Hingga

Banyak sukunya sebanyak tak hingga

Jumlahnya yaitu

Deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika −1 < 𝑟 < 1


26

Soal 57 :

Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Jika 𝜃 adalah sudut antara

diagonal 𝐴𝐺 dan rusuk 𝐴𝐷. Maka cos 𝜃 = ⋯

a. 2 d. 1

3 3

b. 1

2 2 e. 3

c. 1

2

Soal 58 :

Diketahui bidang empat 𝑇. 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan

𝑇𝐴 = 𝑇𝐵 = 5, 𝑇𝐶 = 2, 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 = 4 , 𝐴𝐵 = 6.

Jika 𝛼 adalah sudut antara 𝑇𝐶 dan bidang 𝑇𝐴𝐵.

Maka cos 𝛼 = ⋯

a. 15

16 d.

9

16

b. 13

16 e.

7

16

c. 11

16

Soal 59 :

Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang rusuk 𝑎

cm. Jika 𝑆 merupakan proyeksi titik 𝐶 pada

bidang 𝐴𝐹𝐻, maka jarak titik 𝐴 ke titik 𝑆 adalah

...

a. 𝑎

3 3 d.

𝑎

2 3

b. 𝑎

3 6 e.

𝑎

2 6

c. 2𝑎

3 6

Soal 60 :

Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang rusuk 12

cm. 𝐾 adalah titik tengah rusuk 𝐴𝐵. Jarak titik 𝐾

ke garis 𝐻𝐶 adalah ...

a. 4 6 cm

b. 6 3 cm

c. 6 5 cm

d. 9 2 cm

e. 5 6 cm

Indikator : menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang dimensi

3

Kubus dengan panjang rusuk 𝑎

Panjang Diagonal Bidang = 𝑎 2

Panjang Diagonal Ruang = 𝑎 3

Rumus Pythagoras

Segitiga siku-siku 𝐴𝐵𝐶 siku-siku di 𝐵, maka 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐵2


27

Soal 61 :

Jika panjang sisi segitiga 𝐴𝐵𝐶 berturut-turut

adalah 𝐴𝐵 = 4 cm , 𝐵𝐶 = 6 cm dan 𝐴𝐶 = 6 cm.

Dan 𝛼 = ∠𝐵𝐴𝐶, 𝛽 = ∠𝐴𝐵𝐶, 𝛾 = ∠𝐵𝐶𝐴. Maka

sin 𝛼 ∶ sin 𝛽 ∶ sin 𝛾 adalah ...

a. 4 : 5 : 6

b. 5 : 6 : 4

c. 6 : 5 : 4

d. 4 : 6 : 5

e. 6 : 4 : 5

Soal 62 :

Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐶 = 5 cm,

𝐴𝐵 = 7 cm dan ∠𝐵𝐶𝐴 = 120°. Keliling segitiga

𝐴𝐵𝐶 adalah ...

a. 14 cm

b. 15 cm

c. 16 cm

d. 17 cm

e. 18 cm

Soal 63 :

Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan panjang sisi

𝑎 = 7 cm, 𝑏 = 5 cm, 𝑐 = 3 cm. Nilai dari

sin 𝐴 = ⋯

a. 1

2 3 d.

1

3 3

b. −1

2 e.

2

3 3

c. 1

2

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶

Indikator : menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus dan kosinus

Pada setiap segitiga ABC berlaku :

Aturan Sinus

Aturan Kosinus

𝑎 𝑏

𝑐


28

Soal 64 :

Himpunan penyelesaian dari persamaan

cos 2𝑥 − sin 𝑥 = 0

untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah ...

a. *30°, 150°, 270°+

b. *60°, 120°, 270°+

c. *90°, 180°, 300°+

d. *30°, 120°, 270°+

e. *30°, 180°, 300°+

Soal 65 :

Diketahui sin 𝛼 cos 𝛼 =8

25 . Maka, nilai dari

1

sin 𝛼−

1

cos 𝛼= ⋯

a. 3

5 d.

9

25

b. 15

8 e.

3

25

c. 5

8

Soal 66 :

Diketahui 𝑥 + 𝑦 = 270°

Maka

a. cos 𝑥 + sin 𝑦 = 0

b. cos 𝑥 − sin 𝑦 = 0

c. cos 𝑥 + cos 𝑦 = 0

d. sin 𝑥 − sin 𝑦 = 0

e. sin 𝑥 + sin 𝑦 = −1

Solusi 64 :

Gunakan cos 2𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥

Sehingga

cos 2𝑥 − sin 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 − sin 𝑥 = 0

Misalkan sin 𝑥 = 𝑝 , maka

1 − 2𝑝2 − 𝑝 = 0

−(𝑝 + 1)(2𝑝 − 1) = 0

𝑝 = −1 atau 𝑝 =1

2

sin 𝑥 = − 1 , maka 𝑥 = 270°

sin 𝑥 =1

2 , maka 𝑥 = 30° atau 𝑥 = 150°

Jadi, HP = *30°, 150°, 270°+

𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 = 𝑐 ↔ 𝑘 cos (𝑥 − 𝛼) = 𝑐

Indikator : menyelesaikan persamaan trigonometri

Persamaan Trigonometri

1. sin 𝑥 = sin 𝑎

𝑥1 = 𝑎 + 𝑘 ⋅ 360° atau 𝑥2 = (180° − 𝑎) + 𝑘 ⋅ 360°

2. cos 𝑥 = cos 𝑎

𝑥 = ±𝑎 + 𝑘 ⋅ 360°

3. tan 𝑥 = tan 𝑎

𝑥 = 𝑎 + 𝑘 ⋅ 180°

dengan,

𝑘 = 𝑎2 + 𝑏2 dan tan 𝛼 =𝑏

𝑎

Dengan syarat : 𝑐2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2


29

Soal 67 :

Nilai dari cos 75° + cos 15° = ⋯

a. 0

b. 1

4 2

c. 1

2 2

d. 1

2 6

e. 1

4 6

Soal 68 :

Nilai dari sin 75° + sin 15° = ⋯

a. 0

b. 1

4 2

c. 1

d. 1

2 6

e. −1

sin (𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏

sin (𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏

cos (𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏

cos (𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏

sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin 𝑎 + 𝑏

2 cos

𝑎 − 𝑏

2

sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 cos 𝑎 + 𝑏

2 sin

𝑎 − 𝑏

2

cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos 𝑎 + 𝑏

2 cos

𝑎 − 𝑏

2

cos 𝑎 − cos 𝑏 = −2 sin 𝑎 + 𝑏

2 sin

𝑎 − 𝑏

2

Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang

menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen serta jumlah dan

selisih dua sudut

Nilai perbandingan trigonometri

Untuk segitiga siku-siku ABC seperti berikut,

Rumus Jumlah dan Selisih

𝛼

sin 𝛼° =depan

miring

cos 𝛼° =samping

miring

tan 𝛼° =depan

samping


30

Soal 69 :

limx→2

3𝑥2 − 6𝑥

𝑥 − 2= ⋯

a. 0 d. 6

b. 2 e. 8

c. 4

Soal 70 :

limx→0

1 − cos 𝑥

5𝑥2= ⋯

a. −1

5 d.

1

10

b. 1

5 e. −

1

10

c. 1

Soal 71 :

limx→0

sin 2𝑥

3 − 2𝑥 + 9= ⋯

a. 0 d. −3

b. 1 e. −6

c. 3

limx→a

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

x→a 𝑓 ′(𝑥)

𝑔′(𝑥)

limx→a

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= lim

x→a 𝑓 ′′ (𝑥)

𝑔′′ (𝑥)

limx→∞

𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑐𝑥 + 𝑑 = ∞ , untuk 𝑎 > 𝑐0 , untuk 𝑎 = 𝑐

−∞ , untuk 𝑎 < 𝑐

limx→∞

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 =

∞ , untuk 𝑎 > 𝑑𝑏 − 𝑒

2 𝑎 , untuk 𝑎 = 𝑑

−∞ , untuk 𝑎 < 𝑑

Indikator : menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

Teorema L’hospital

Misalkan limx→af(x)

𝑔(𝑥) menghasilkan bentuk tak tentu .

0

0/, maka bisa menggunakan rumus

Jika limx→a 𝑓 ′ (𝑥)

𝑔′ (𝑥) masih menghasilkan bentuk tak tentu .

0

0/, maka

Aturan Pencarian Limit :

1. Substitusi

2. Jika menggunakan langkah substitusi (langkah 1) menghasilkan bentuk tak tentu, maka

faktorkan! / jika bertemu bentuk akar, kalikan dengan sekawan.

Untuk 𝑛 bilangan asli dan 𝑎 bilangan real, maka : limx→∞ 𝑎

𝑥𝑛 = 0


31

Soal 72 :

Nilai maksimum dari 4𝑥3 − 18𝑥2 + 15𝑥 − 5

adalah ketika 𝑥 = ...

a. 1

2

b. 2

c. 5

2

d. 4

e. 5

Soal 73 :

Titik belok dari fungsi 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 + 7

adalah ...

a. (−2, 3)

b. (−2, 7)

c. (−2, 5)

d. (2, 5)

e. (2, 10)

Soal 74 :

Persegi oanjang dengan keliling (2𝑥 + 24) cm

dan lebarnya (8 − 𝑥) cm. Agar luasnya

maksimum, maka panjangnya = ...

a. 4 cm

b. 8 cm

c. 10 cm

d. 12 cm

e. 13 cm

Solusi 72 :

𝑓 = 4𝑥3 − 18𝑥2 + 15𝑥 − 5

𝑓 ′(𝑥) = 12𝑥2 − 36𝑥 + 15

Stasioner untuk 𝑓 ′(𝑥) = 0

Maka, 12𝑥2 − 36𝑥 + 15 = 0

3(2𝑥 − 5)(2𝑥 − 1) = 0

𝑥1 =1

2 𝑥2 =

5

2

𝑓 ′′ (𝑥) = 24𝑥 − 36

𝑓 ′′ (𝑥1) = 𝑓 ′′ .1

2/ = 12 − 36 = −24

𝑓 ′′ (𝑥2) = 𝑓 ′′ .5

2/ = 60 − 36 = 24

Jadi, maksimum ketika 𝑥 = 𝑥2 =5

2

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Indikator : menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan titik (𝑥1 , 𝑦1) pada kurva, maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah

dengan 𝑚 = 𝑓 ′(𝑥1)

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

𝑓 ′(𝑥) > 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 , maka fungsi 𝑓(𝑥) naik pada 𝐼

𝑓 ′(𝑥) < 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 , maka fungsi 𝑓(𝑥) turun pada 𝐼

𝑓 ′(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 , maka fungsi 𝑓(𝑥) stasioner pada 𝐼

Maksimum, Minimum dan Belok

Maksimum di 𝑎 , jika 𝑓 ′(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑎) < 0

Minimum di 𝑎 , jika 𝑓 ′(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑎) > 0

Titik Belok di 𝑎 , jika 𝑓 ′(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑎) = 0


32

Soal 75 :

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑𝑥 = ⋯

a. (𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶

b. 1

8(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶

c. 1

4(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶

d. 2(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶

e. 3(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶

Solusi 75 :

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑(𝑥2 + 2𝑥 + 10)

2𝑥 + 2

= (𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑 𝑥2+2𝑥+10

2(𝑥+1)

= (𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑(𝑥2 + 2𝑥 + 10) = 𝑢7 𝑑𝑢

=1

8𝑢8 + 𝐶

=1

8(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶

𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = ,𝐹(𝑥)-𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = − 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) = − 𝑓(𝑥)

𝑎

𝑏

𝒇 𝒈(𝒙) 𝒈′(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇(𝒖) 𝒅𝒖 = 𝑭(𝒖) + 𝑪 = 𝑭 𝒈(𝒙) + 𝑪

𝑥 (𝑥2 + 1)5 𝑑𝑥 = 𝑥 (𝑥2 + 1)5 𝑑(𝑥2 + 1)

2𝑥=

1

2(𝑥2 + 1)5 𝑑(𝑥2 + 1)5 =

1

2𝑢5 𝑑𝑢

𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗 𝒅𝒖

𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 , 𝑑𝑣 = (𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 → 𝑣 =1

6(𝑥 + 1)6

𝑥(𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = 𝑥 1

6(𝑥 + 1)6 −

1

6(𝑥 + 1)6 𝑑𝑥

=𝑥

6(𝑥 + 1)6 −

1

42(𝑥 + 1)7 + 𝐶

Indikator : menentukan integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

Integral

𝑥𝑛 𝑑𝑥 =1

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶 |

1

𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 | 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 | 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =

𝑎𝑥

ln 𝑎 + 𝐶

Integral Tentu

Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥), maka

Integral Substitusi

Contoh : 𝑥 (𝑥2 + 1)5 𝑑𝑥

Jawab :

Tips Integral substitusi

Umumnya kita menggunakan substitusi ketika bertemu bentuk perkalian 𝑓(𝑥) ⋅ ,𝑔(𝑥)-𝑛

Kalau turunan dari 𝑔(𝑥) bisa menghilangkan variabel 𝑥 pada 𝑓(𝑥), kita bisa gunakan substitusi

Seperti pada contoh di atas.. 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 1)

Karena turunan dari 𝑥2 + 1 adalah 2𝑥 . dan kita bisa menghilangkan 𝑥 pada 𝑓(𝑥), maka kita bisa

gunakan substitusi

Kalau turunan 𝑔(𝑥) tidak bisa menghilangkan 𝑥 pada 𝑓(𝑥), gunakan parsial, seperti di bawah ini

Integral Parsial

Contoh : 𝑥 (𝑥 + 1)5 𝑑𝑥

bentuk perkalian 𝑓(𝑥) ⋅ ,𝑔(𝑥)-𝑛

tetapi turunan dari 𝑔(𝑥) tidak bisa menghilangkan variabel 𝑥 pada 𝑓(𝑥)

turunan dari 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 adalah 1 , tidak bisa menghilangkan 𝑥 pada 𝑓(𝑥). Jadi, gunakan parsial


33

Soal 76 :

cos 2𝑥 sin 5𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

a. −1

14cos 7𝑥 +

1

6cos 3𝑥 + 𝑐

b. −1

14cos 7𝑥 −

1

6cos 3𝑥 + 𝑐

c. 1

14cos 7𝑥 +

1

6cos 3𝑥 + 𝑐

d. 1

14cos 7𝑥 −

1

6cos 3𝑥 + 𝑐

e. −1

14cos 7𝑥 +

1

3cos 3𝑥 + 𝑐

Contoh ∶ sin5 𝑥 𝑑𝑥 = sin4 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = (1 − cos2 𝑥)2 sin 𝑥 𝑑𝑥

= −(1 − 2 cos2 𝑥 + cos4 𝑥) 𝑑(cos 𝑥)

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 =𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙

𝟐 , 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 =

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙

𝟐

Contoh ∶ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − cos 2𝑥

2 𝑑𝑥 =

1

2−

1

2cos 2𝑥 𝑑𝑥

Contoh ∶ sin3 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = sin2 𝑥 cos2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

= (1 − cos2 𝑥) cos2 𝑥 sin 𝑥 𝑑(cos 𝑥)

− sin 𝑥= (1 − cos2 𝑥) cos2 𝑥 𝑑(cos 𝑥)

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 =𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙

𝟐 , 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 =

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙

𝟐

sin 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 =1

2,sin(𝑚 + 𝑛)𝑥 + sin(𝑚 − 𝑛)𝑥-

sin 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 = −1

2,cos(𝑚 + 𝑛)𝑥 − cos(𝑚 − 𝑛)𝑥-

cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 =1

2,cos(𝑚 + 𝑛)𝑥 + cos(𝑚 − 𝑛)𝑥-

Integral trigonometri

cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 csc2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶

tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 csc 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶

Bentuk 𝐬𝐢𝐧𝐧 𝒙 atau 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙

Kalau 𝒏 ganjil, ubah dulu menjadi sin𝑛−1 𝑥 ⋅ sin 𝑥 . Kemudian manfaatkan identitas trigonometri,

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 . Gunakan Aturan Substitusi :

Kalau 𝒏 genap, manfaatkan kesamaan setengah sudut

Bentuk 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙

Kalau 𝒎 atau 𝒏 ganjil : pisah bagian ganjil menjadi perkalian yang salah satunya pangkat satu.

Kemudian manfaatkan identitas trigonometri

Kalau 𝒎 dan 𝒏 genap : gunakan kesamaan setengah sudut

Bentuk : 𝐬𝐢𝐧𝒎𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙 ; 𝐬𝐢𝐧 𝒎𝒙𝐜𝐨𝐬𝒏𝒙 ; 𝐜𝐨𝐬𝒎𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙


34

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Luas I = 𝑦 𝑑𝑥5

4

= 1

2(𝑥2 − 3𝑥 − 4)

5

4

𝑑𝑥

− 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

atau 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Luas II = − 𝑦 𝑑𝑥4

2

= − 1

2(𝑥2 − 3𝑥 − 4)

4

2

𝑑𝑥

𝑦1 − 𝑦2

4

2

𝑑𝑥

Indikator : menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral

Integral Luas

Luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≥ 0 (ada di atas sumbu-𝒙) dan dibatasi oleh garis

𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan sumbu-𝑥 adalah

Seperti contoh pada gambar di bawah,

kalau dibatasi oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥) < 0 (ada di bawah sumbu-𝒙) dan dibatasi oleh garis 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏

dan sumbu-𝑥 adalah

Seperti contoh pada gambar di bawah,

Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva, (seperti contoh di bawah) maka kita bisa

menggunakan :


35

Soal 77 :

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

𝑦 = 9 − 𝑥2 , dan garis 𝑦 = 𝑥 + 3 adalah ...

a. 125

6 satuan luas

b. 20 satuan luas

c. 22 satuan luas

d. 62

3 satuan luas

e. 21 satuan luas

Solusi 77 :

Karena dibatasi oleh fungsi kuadrat dan fungsi

linear, maka kita bisa menggunakan rumus

𝐿 =𝐷 𝐷

6𝑎2

Substitusi kedua persamaan

9 − 𝑥2 = 𝑥 + 3

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

𝐷 = 12 − 4(−6) = 25

Sehingga, luas yang dimaksud adalah

𝐿 =𝐷 𝐷

6𝑎2=

25 25

6.12=

25 × 5

6

=125

6

𝐿 = 𝐷 𝐷

6𝑎2

Beberapa tips mengerjakan integral luas seperti berikut ini :

Ketika bertemu dengan daerah yang dibatasi :

1. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat

2. Persamaan Kuadrat dan Sumbu-𝑥

3. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linear

Substitusikan 𝑦 pada kedua persamaan, kemudian kita gunakan rumus

dengan, 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

Rumus 1/3

Rumus 2/3

𝐿 =1

3× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

Kalau bertemu dengan daerah seperti gambar di samping, kita

bisa menggunakan rumus

Syarat terpenting adalah daerahnya seperti itu!!!

Fungsi kuadratnya mempunyai minimum yang menempel pada

garis dasar pada daerah yang dimaksud.

Kalau pada gambar tersebut, menempel pada sumbu-𝑥

Contoh : 𝐿𝑢𝑎𝑠 =1

3× 4 × 8 =

32

3= 10

2

3

𝐿𝑢𝑎𝑠 =2

3× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

𝐿𝑢𝑎𝑠 =2

3× 4 × 4 =

16

3= 5

1

3

Kalau daerahnya dibatasi oleh fungsi kuadrat dan sumbu-

𝑥 seperti gambar di bawah ini, kita bisa gunakan

Contoh :


36

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

𝑀𝑒 = 𝑡𝑏 +

𝑛2 − 𝐹𝑘

𝑓 𝑝

𝑀𝑜 = 𝑡𝑏 + 𝑏1

𝑏1 + 𝑏2 𝑝

𝑄𝑖 = 𝑡𝑏 +

𝑖4 𝑛 − 𝐹𝑘

𝑓 𝑝

Indikator : menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel,

diagram atau grafik

Ukuran Pemusatan

Mean (Rataan)

Pada data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka 𝑥𝑖 yang digunakan adalah nilai tengah

Median

Jika 𝑛 ganjil, maka 𝑀𝑒 = 𝑥𝑛+1

2

, yaitu data ke-𝑛+1

2

Jika 𝑛 genap, maka 𝑀𝑒 =1

2 𝑥𝑛

2+ 𝑥𝑛+1

2

Tentu saja dengan syarat data harus sudah diurutkan.

Untuk data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka

Keterangan :

𝑡𝑏 : tepi bawah kelas modus

𝑛 : banyaknya data

𝐹𝑘 : frekuensi kumulatif sebelum kelas median

𝑓 : frekuensi kelas median

𝑝 : panjang kelas

Modus

Keterangan :

𝑏1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

𝑏2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Ukuran Letak

Kuartil

Kuartil ke-𝑖 dirumuskan

Ukuran Penyebaran

Jangkauan/Rentang : 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Jangkauan Antar Kuartil : 𝑄3 − 𝑄1

Simpangan Kuartil : 1

2(𝑄3 − 𝑄1)

Simpangan Rata-rata = 𝑥𝑖−𝑥 𝑛

𝑖=1

𝑛

Ragam = (𝑥𝑖−𝑥 )2𝑛

𝑖=1

𝑛

Simpangan Baku = Ragam


37

Soal 78 :

Nilai rataan dari data pada tabel berikut

Nilai Frekuensi

150-154 3

155-159 4

160-164 16

165-169 10

170-174 6

175-179 1

adalah ...

a. 145,87

b. 173,84

c. 153,87

d. 183,84

e. 163,88

Solusi 78 :

Nilai Frekuensi 𝑑 𝑑 × 𝑓

150-154 3 152 456

155-159 4 157 628

160-164 16 162 2592

165-169 10 167 1670

170-174 6 172 1032

175-179 1 177 177

𝑛 = 40

𝑑𝑖𝑓𝑖 = 6555

Jadi, 𝑥 =6555

40= 163,875 ≈ 163, 88


38

Soal 79 :

Banyaknya bilangan bulat positif yang lebih

kecil dari 300 yang dapat disusun dari angka-

angka 1, 2, 3, 4 dan 5 adalah ...

a. 50

b. 60

c. 120

d. 180

e. 210

Solusi 79 :

Ada 3 tempat, mulai dari ratusan, puluhan dan

satuan

2 5 5

Tempat ratusan hanya bisa diisi oleh 1 dan 2

Tempat puluhan bisa diisi oleh 1, 2, 3, 4, 5

Tempat satuan bisa diisi oleh 1, 2, 3, 4, 5

Sehingga, banyaknya bilangan yang dimaksud

adalah 2 × 5 × 5 = 50

𝑛2 × 𝑛2 × … × 𝑛𝑘

𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 2 × 1

𝑃(𝑛, 𝑟) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

𝑃(𝑛, 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑘) =𝑛!

𝑟1! 𝑟2! …𝑟𝑘 !

𝐶(𝑛, 𝑟) =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan,

permutasi atau kombinasi

Kaidah Perkalian

Jika tempat pertama dapat diisi dengan 𝑛1 cara, tempat kedua dapat diisi dengan 𝑛2 cara, ... ,

sampai tempat ke-𝑘 dapat diisi dengan 𝑛𝑘 cara. Maka banyaknya cara untuk mengisi 𝑘 tempat

yang disediakan adalah

Faktorial

dengan 𝑛 bilangan asli.

dan 0! = 1

Permutasi

Permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur

Permutasi Unsur Sama

Permutasi Siklis (permutasi dengan susunan melingkar)

Banyaknya permutasi siklis dari 𝑛 unsur yaitu (𝑛 − 1)!

Kombinasi

Kombinasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur


39

Soal 80 :

Sebuah kantong berisi 5 bola merah, 3 bola

putih dan 2 bola hijau. Diambil sebuah bola

secara acak, peluang terambilnya bola merah

atau hijau adalah ...

a. 7

10

b. 1

10

c. 1

5

d. 2

5

e. 4

5

Solusi 80 :

Peluang terambil bola merah adalah 5

10

Peluang terambil bola hijau adalah 2

10

Peluang terambil bola merah atau hijau adalah 5

10+

2

10=

7

10

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

𝐹(𝐴) = 𝑛 × 𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴′) = 1

Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian

Suatu kejadian 𝐴 dapat terjadi sebanyak 𝑛(𝐴). Sedangkan semua kemungkinan (ruang sampel)

dari hasil percobaan dapat terjadi sebanyak 𝑛(𝑆). Maka peluang terjadinya kejadian 𝐴 dalam

percobaan tersebut adalah

Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan kejadian 𝐴 yaitu

dengan,

𝑃(𝐴) : peluang kejadian 𝐴

𝑛 : banyaknya percobaan yang dilakukan

Komplemen

dengan,

𝑃(𝐴) : peluang kejadian 𝐴

𝑃(𝐴′) : peluang kejadian bukan 𝐴

MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You · PDF fileJika log 3 = 0 ,4771 dan log 2 = 0 ,3010...

Documents

Transcript of MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You · PDF fileJika log 3 = 0 ,4771 dan log 2 = 0 ,3010...