RELASI DAN FUNGSI

RELASI

1. Pengertian Relasi

Untuk mengetahui pengertian relasi, mari perhatikan ilustrasi berikut.

Sekumpulan anak yang terdiri dari Tino, Ayu, Togar, dan Nia berada di

sebuah toko alat tulis. Mereka berencana membeli buku dan alat tulis.

Tino berencana membeli buku tulis dan pensil, Ayu membeli penggaris dan

penghapus, Togar membeli bolpoin, buku tulis, dan tempat pensil, sedangkan

Nia membeli pensil dan penggaris.

Perhatikan bahwa ada hubungan antara himpunan anak = {Tino, Ayu, Togar,

Nia} dengan himpunan alat tulis = {buku tulis, pensil, penggaris, penghapus,

bolpoin, tempat pensil}. Himpunan anak dengan himpunan alat tulis

dihubungkan oleh kata membeli. Dalam hal ini, kata membeli merupakan

relasi yang menghubungkan himpunan anak dengan himpunan alat tulis.

Contoh :

Bagan berikut menunjukkan silsilah keluarga Bapak Sitorus dan Ibu Meri.

Tanda panah menunjukkan hubungan “mempunyai anak.”

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang

memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota

himpunan B.

Sitorus + Meri

2. Rangga + Nita 3. Aryo + Ayu1. Ali + Wulan

Lina 1. Lisa 2. Bowo 3. Adi1. Aditya 2. Niken

Dari bagan di atas tentukan salah satu relasi yang mungkin antara nama-nama

pada silsilah tsb !

Penyelesaian :

Salah satu relasi yang mungkin dari silsilah tersebut:

2. Cara Menyajikan Suatu Relasi

Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah,

diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Untuk memahami hal

tersebut, perhatikan uraian berikut ini.

Pengambilan data mengenai pelajaran yang disukai pada empat siswa di kelas

VI diperoleh seperti pada tabel berikut.

Tabel 2.1.

Nama Siswa Pelajran yang disukai

Buyung IPS, Kesenian

Doni Keterampilan, Olahraga

Vita IPA

Putri Matematika, Bahasa Inggris

Tabel 2.1. di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram Cartesius,

dan himpunan pasangan berurutan seperti di bawah ini.

Misalkan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, Kesenian,

Keterampilan, Olahraga, Matematika, IPA, Bahasa Inggris}, dan “pelajaran

Ali+ Wulan

Rangga+ Nita

Aryo + Ayu

AdityaLinaNikenLisaBowoAdi

Mempunyai anak

Ali+ Wulan

Rangga+ Nita

Aryo + Ayu

AdityaLinaNikenLisaBowoAdi

Mempunyai anak

yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan

B.

a. Dengan diagram panah

Gambar 2.2. di bawah ini menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari

himpunan A ke himpunan B. Arah panah menunjukkan anggota-anggota

himpuna A yang berelasi dengan anggota-anggota pada himpunan B.

A B

b. Diagram Cartesius

Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram

Cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan

anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap anggota

himpunan B dinyatakan dengan titik atau noktah. Gambar 2.3.

menunjukkan diagram Cartesius dari relasi pelajaran yang disukai dari

data pada tabel 2.1.

Buyung •

Doni •

Vita •

Putri •

IPS

Kesennian

Keterampilan

Olahraga

Matematika

IPA

Bahasa Inggris

pelajaran yang disukai

Bahasa Inggris

IPA

Matematika

Olahraga

Keterampilan

Kesenian

IPS

b d v p

u o i u

y n t t

u i a r

n i

g

c. Dengan himpunan pasangan berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel 2.1. sebagai berikut.

{(Buyung, IPS), (Buyung , Kesenian), (Doni, Keterampilan), (Doni,

Olahraga), (Vita, IPA), (Putri, Matematika), (Putri, Bahasa Inggris)}.

Gambar 2.3. Diagram Cartesius

FUNGSI ATAU PEMETAAN

1. Pengertian Fungsi

Perhatikan uraian berikut.

Pengmabilan data mengenai berat badan dari enam siswa kelas V disajikan pada

tabel berikut.

Nama Siswa Berat Badan (kg)

Anik 35

Andre 34

Gita 30

Bayu 35

Asep 33

Dewi 32

Gambar di atas merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi berat

badan dari data pada tabel.

Dari diagram panah di tersebut, dapat diketahui hal-hal sebagai berikut :

a. Setiap siswa memiliki berat badan.

Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai kawan atau pasangan dengan

anggota B.

Anik •Andre •Gita •Bayu •Asep •Dewi •

30

31

32

33

34

35

Berat badan

b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.

Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan atau

pasangan dengan anggota B.

Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa relasi

himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap

anggota A ke himpunan B. Relasi yang demikian dinamakan fungsi

(pemetaan). Jadi, fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah

relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A tepat satu anggota B.

Contoh :

Di antara relasi yang disajikan pada diagram panah berikut manakah yang

merupakan fungsi ? Berilah alasannya.

(i)

(ii)

Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah :

a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;

b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

p •

q •

r •

1

2

3

4

p •

q •

r •

1

2

3

4

(i) Diagram panah pada (i) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai satu pasangan di B.

(ii) Diagram panah pada (ii) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu p mempunyai empat pasangan di B dan anggota A yaitu q dan r tidak mempunyao pasangan di B.

2. Notasi dan Nilai Fungsi

Diagram di atas menggambarkan fungsi yang memetakan x anggota

himpunan A ke y anggota himpunan B. Notasi fungsinya dapat ditulis sebagai

berikut :

dibaca : fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B

Atau dapat digambarkan seperti berikut.

A B

f

Dalam hal ini, y = f(x) disebut bayangan (peta) x oleh fungsi f. Variabel x

dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan A dan disebut variabel

bebas. Adapun variabel . Adapun variabel y anggota himpunan B yang

merupakan bayangan x oleh fungsi f ditentukan (bergantung pada) oleh aturan

yang didefinisikan, dan disebut variabel bergantung.

Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b. Untuk menentukan nilai fungsi untuk x

tertentu, dengan cara mengganti (menyubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi

f(x) = ax + b.

f : x y atau f : x f(x)

x •

C

y=f(x)

Himpunan A disebut domain (daerah asal).

Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan).

Himpunan C ϲ B yang memuat y disebut range (daerah hasil).

Contoh :

A B

f

a. Perhatikan diagram panah di atas. Tentukan :

(i) domain;

(ii) kodomain;

(iii) range;

(iv) bayangan dari 1, 2, 3, 4, dan 5 oleh fungsi f.

b. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x2 – 3x + 1. Tentukan

nilai fungsi f(x) untuk :

(i) x = 2;

(ii) x = - 3.

Penyelesaian :

a. (i) Domain = A = {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) Kodomain = B = {a, b, c, d, e}

(iii) Range = {a, c, e}

(iv) Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = a.

Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = b.

Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = c.

Bayangan 4 oleh fungsi f adalah f(4) = d.

Bayangan 5 oleh fungsi f adalah f(5) = e.

b. (i) Substitusikan nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x2 – 3x + 1, sehingga :

f(x) = 2x2 – 3x + 1

f(2) = 2x2 – 3x + 1

= 8 – 6 + 1 = 3

1 •2 •3 •4 •5 •

a

b

c

d

e

(ii) Substitusikan nilai x = - 3 ke fungsi f(x) = 2x2 – 3x + 1, sehingga :

f(x) = 2x2 – 3x + 1

f(- 3) = 2x2 – 3x + 1

= 18 + 9 + 1 = 28.

3. Menentukan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan

Himpunan Pasangan Berurutan

Fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, maka fungsi juga dapat

dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan

berurutan.

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f : A B

ditentukan dengan f(x) = x – 2 maka :

f(1) = 1 – 2 = -1

f(3) = 3 – 2 = 1

f(5) = 5 – 2 = 3

a. Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sbg berikut :

A f B

1 •

3 •

5 •

-2-10123

b. Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut .

3

2

1

1 2 3 4 5

-1

-2

c. Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah {(1, -1),

(3, 1), (5, 3)}. Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat satu kali

pada komponen pertama pada pasangan berurutan.

4. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan

Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan,

perhatikan uraian berikut.

a. Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.

Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram

panah seperti berikut.

A B

1 • a

b. Jika A = {1, 2} dan B = {a}, maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.

Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampaknya seperti

diagram panah berikut.

A B

c. Jika A = {1} dan B = {a, b}, maka n(A) = 1 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yanhg mungkin dari A ke B ada dua, seperti

tampak pada diagram panah berikut.

A B A B

d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a}, maka n(A) = 3 dan n(B) = 1.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu seperti tampak

pada diagram berikut.

A B

1 •2 •

a

1 • a

b

1 • a

b

1 •2 •3 •

a

e. Jika A = {1} dan B = {a, b, c}, maka n(A) = 1 dan n(B) = 3.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, seperti tampak

pada diagram panah berikut.

A B A B

A B

f. Jika A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat seperti

tampak pada diagram panah berikut.

A B A B

A B A B

1 •

a

b

c

1 •

a

b

c

1 •

a

b

c

1 •2 •

a

b

1 •2 •

a

b

1 •2 •

a

b

1 •2 •

a

b

g. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat seperti

tampak pada diagram panah berikut.

1 •2 •3 •

a

b

1 •2 •3 •

a

b

1 •2 •3 •

a

b

1 •2 •3 •

a

b

1 •2 •3 •

a

b

1 •2 •3 •

a

b

1 •2 •3 •

a

b

1 •2 •3 •

a

b

Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan banyaknya

pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapat dilihat pada tabel

berikut.

Banyaknya Anggota Banyaknya

Pemetaan yang

Mungki dari A

ke B

Banyaknya

Pemetaan yang

Mungkin dari B

ke A

Himpunan A Himpunan B

1 1 1 = 11 1 = 11

2 1 1 = 12 2 = 21

1 2 2 = 21 1 = 12

3 1 1 = 13 3 = 31

1 3 3 = 31 1 = 13

2 2 4 = 22 4 = 22

3 2 8 = 23 9 = 32

Berdasarkan pengamatan tabel di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai

berikut.

Contoh :

Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal},

hitunglah banyak pemetaan

a. dari A ke B

b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya.

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan

banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka :

a. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba.

b. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.

Penyelesaian :

a. A = {2,3}, n(A) = 2

B = {a, i, u, e, o}, n(B) = 5

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 52 = 25

b. Banyaknya pemetaan yang munkgin dari B ke A = ab = 25 = 32

5. Jenis-jenis Fungsi

a. Fungsi konstan (fungsi tetap)

Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan

sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.

Artinya untuk semua nilai x dalam daerah asal Df hanya berpasangan

dengan sebuah nilai dalam daerah hasil Df . Dalam bentuk pemetaan,

fungsi konstan ditulis sebagai: f : x f(x) = k, dengan x R dan k adalah

sebuah konstanta atau nilai tetapan.

Suatu fungsi f : A -> B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi

konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) =

C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh

soal berikut ini.

Contoh 1

Diketahui f : R -> R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3

≤ x < 2}.

Tentukan gambar grafiknya.

Penyelesaian

X -3 -2 -1 0 1f(x) 3 3 3 3 3

Grafik :

Contoh 2

Bu Sinta pergi ke toko alat tulis untuk membeli perlengkapan sekolah

ketiga anak asuhnya yang baru masuk SD. Di toko tersebut Bu Sinta

membeli buku tulis, pensil, penghapus, dan penggaris yang masing-masing

dibeli sebanyak 3 buah. Tentukanlah:

a. Pemetaan jenis barang dan jumlah barang yang dibeli Bu Sinta.

b. Buatlah grafiknya

Penyelesaian:

a. Daftar barang dan jumlah barang yang dibeli Bu Sinta di toko alat tulis.

b. Grafiknya:

b. Fungsi Identitas

Jenis Barang Jumlah Barang

Buku tulis 3

Pensil 3

Penghapus 3

Penggaris 3

Buku tulis

Pensil

Penghapus

Penggaris

3

Banyaknya barang yang di beli

Bukutulis

pensil penghapus penggaris

12

3f(x) = 3

Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x

dalam daerah asalnya. Ini berarti untuk sebuah nilai x dalam daerah asal Df

berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam daerah hasil Wf. Fungsi

identitas f(x) = x seringkali dituliskan sebagai I(x) = x (I menyatakan

identitas).

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain

fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada

dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik

asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas

ditentukan oleh f(x) = x. Agar kamu lebih memahami tentang fungsi

identitas, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh 1:

Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.

a) Carilah f(–2), f(-1), f(0), f(1), f(3).

b) Gambarlah grafiknya.

Penyelesaian

a) f(x) = x b) Grafiknya:

f(–2) = –2

f(–1) = –1

f(0) = 0

f(1) = 1

c. Fungsi Modulus

Fungsi seperti y = | x |,

y = | ax + bx |

disebut fungsi modulus yaitu fungsi yang memasangkan setiap bilangan

real dengan nilai mutlaknya. Nilai mutlak untuk bilangan real x dinyatakan

dengan | x |, misalnya y = | x |, bentuk umum ini dapat diubah menjadi y2 =

x2, dengan perubahan ini tanda (notasi) nilai mutlaknya dihilangkan,

sehingga diperoleh:

y2 = x2 y2 – x2 = 0

(y + x) (y – x) = 0

y = - x untuk x ≤ 0

y = x untuk x ≥ 0

grafiknya seperti gambar di bawah ini.

Contoh:

y = x

y = - x

x

y

-2-1012

0 1 2

d. Fungsi linear

Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R,

a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal

sebagai fungsi polinom atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam

variable x.

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh

f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya

berupa garis lurus.

Pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.

Penyelesaian

2x + 3

X 0 -1

f(x) 3 0

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x

ax + b, dengan a dan b konstanta dan x variabel makan rumus

fungsinya adalah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = m makan nilai f(m) =

am + b. Dengan demikian kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika

diketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan b

ditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.

Perhatikan contoh berikut.

Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = -5 dan f(-2) = -9. Tentukan f(x).

Penyelesaian :

Karena f fungsi linear, maka f(x) = ax + b

Grafik:

Dengan demikian diperoleh

f(0) = -5

f(0) = a(0) + b = -5

0 + b = -5

b = -5

Untuk menentukan nilai a, perhatikan langkah berikut.

f(-2) = -9

f(-2) = a(-2) + b = -9

-2a -5 = -9

-2a = -9 + 5

-2a = -4

a =

a = 2

Jadi fungsi yang dimamksud adalah f(x) = ax + b = 2x – 5.

Contoh

Diketahui fungsi linear f : x f(x) = ax + b dengan nilai f(0) = 4 dan nilai

f(4) = 4.

a) Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah rumus untuk fungsi f(x).

b) Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun dengan

sumbu Y.

c) Gambarlah grafik fungsi f pada bidang cartesius untuk daerah asal Df

= .

Penyelesaian

a) f(x) = ax + b

Untuk f(0) = 4, maka diperoleh

f(x) = ax + b

f(0) = a(0) + b

(0) + b = 4

b = 4

Untuk f(4) = 4, maka diperoleh

f(x) = ax + b

f(4) = a(4) + b

4a + 4 = 4

4a = 8

a = 2

Jadi, nilai a = 2, b = 4, dan rumus untuk f(x) adalah f(x) = 2x + 4

b) y = f(x) = 2x + 4

Titik potong dengan sumbu X diperoleh bila y = 0

2x + 4 = y

2x + 4 = 0

x = 2 (2, 0)

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh bila x = 0

y = 2(0) + 4

y = 4 (0, 4)

Jadi, fungsi y = f(x) = 2x + 4 memotong di sumbu X di titik (2, 0)

dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).

c) Grafik fungsi y = f(x) = 2x + 4 untuk x R pada bidang Cartesius.

Y

4 (0, 4)

3

2

1 (2, 0)

0 1 2 3 4 5 6 X

-1

-2

-3

-4 (4, -4)

e. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c € R

dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga

disebut fungsi parabola. Jika a > 0, parabola terbuka keatas sehingga

mempunyai titik balik minimum, dan jika a < 0 parabola terbuka kebawah

sehingga mempunyai titik balik maksimum.

Langkah-langkah dan gambar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c.

1. Tentukan pembuatan nol fungsi y = 0 atau f(x) = 0

Pembuatan nol fungsi di persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c

diperoleh jika y = ax2 + bx + c. Sehingga diperoleh nilai x yang

memenuhi ax2 + bx + c = 0.

Nilai ini tidak lain adalah absis titik potong dengan sumbu-x,

sedangkan untuk menentukan titik potong dengan sumbu-y, dapat

dilakukan dengan mensubtitusikan nilai x tadi pada persamaan

kuadrat semula.

2. Tentukan sumbu simetri x =

3. Tentukan titik puncak P (x,y) dengan x = dan y = dengan nilai

diskriminan D = b2 – 4ac.

Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai

berikut

Catatan:

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dicari akar-akarnya dengan

:

- Pemfaktoran

- Melengkapi bentuk kuadrat sempurna

- Rumus abc: =

Contoh:

Gambarlah sketsa grafik fungsi y = x2 – 6x + 5

Penyelesaian:

a. Menentukan pembuatan nol fungsi, dengan pemfaktoran diperoleh

x2 – 6x + 5 = 0

(x – 1) (x – 5) = 0

x = 1 atau x = 5

b. Menentukan sumbu simetri x = = = = 3

c. Menentukan titik puncak P(x,y)

Karena nilai x sudah diperoleh maka cari nilai y dengan substitusi x

= 3 pada fungsi semula.

y = x2 – 6x + 5

= 32 – 6 (3) + 5

= 9 – 18 + 8

= – 4

Jadi puncak parabola adalah titik

(3, –4) sehingga sketsa grafik

seperti gambar di samping.

4 532 10

-1

-3

-2

-4

y

x

PENERAPAN FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT

1. Fungsi Linear

Fungsi linear dalam ekonomi

a. Fungsi Permintaan

Domain: Jumlah barang atau jasa (quantity) dilambangkan dengan Q

Kodomain: Harga (price) dilambangkan dengan P

Fungsi permintaan menyatakan hubungan antara banyaknya suatu barang

yang diminta dengan variabel harga.

Fungsi permintaan berasal dari hukum permintaan bahwa:

- Jika harga suatu barang naik maka permintaan akan turun

- Jika harga suatu barang turun maka permintaan akan naik

P

(0, b)

P = aq + b, a > 0

Q

( , 0)

b. Fungsi penawaran

Fungsi penawaran menyatakan hubungan antara banyaknya suatu barang

yang ditawarkan dengan variabel harga.

Fungsi penawaran berasal dari hukum penawaran bahwa:

- Jika harga suatu barang naik maka jumlah barang yang ditawarkan

akan meningkat

- Jika harga suatu barang turun maka jumlah barang yang ditawarkan

akan menurun

P

(0, b) P = aq + b, a > 0

Q

c. Keseimbangan pasar

Keseimbangan pasar terjadi jika harga yang diminta sama dengan harga

yang ditawarkan, atau jumlah barang yang diminta pasar sama dengan

jumlah barang yang ditawarkan.

P

S D: fungsi permintaan (demand)

E S: fungsi penawaran (supply)

D

Q

Titik keseimbangan pasar (E) merupakan titik perpotongan antara fungsi

permintaan (D) dan fungsi penawaran (S).

Contoh:

• Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P =

15 – Q, sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Berapa harga

keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?

Penyelesaian:

Permintaan : P = 15 – Q

Penawaran : P = 3 + 0,5Q

Qd = Qs

15 – Q = 3 + 0,5Q

15 – 3 = Q + 0,5Q

12 = 1,5 Q

Q = 8

P = 15 – Q

P = 15 – 8

P = 7

P

15

Qs

E

7

Qd

8 15 Q

d. Model biaya linear

Biaya total = biaya tetap + biaya variabel

atau yc = mx + b

Contoh

Sebidang tanah dengan harga perolehan Rp 50.000.000,00 diperkirakan

mengalami tingkat kenaikan konstan Rp 200.000,00 per tahun dalam

kurun waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan

nilai tanah setelah 5 tahun!

Penyelesaian

Misalkan x (tahun) sebagai kurun waktu dan y (Rp) sebagai nilai harga.

Dari data diketahui bahwa:

y = Rp 50.000.000,00 jika x = 0

Gradien = m = Rp 200.000,00 (karena tiap tahun bertambah Rp

200.000,00) dengan demikian diperoleh persamaan garis harga:

y = mx + b

y = 200.000x + 50.000.000

Lima tahun sejak perolehan, nilai tanah dapat diperoleh dengan

y = 200.000 (5) + 50.000.000

y = 1.000.000 + 50.000.000

y = 51.000.000

Jadi, harga keseimbangannya adalah 7, dan jumlah keseimbangan adalah 8.

e. Titik pulang pokok (balik modal)

Jika yc adalah biaya produksi dan yr adalah biaya diperoleh dari penjualan,

maka nilai titik pulang pokok (break event point) diperoleh jika yc = yr.

Contoh

Sebuah pabrik memproduksi mainan anak-anak dengan biaya variabel Rp

4.000,00 per buah dan biaya tetap tiap bulannya Rp 12.000.000,00. Jika

mainan itu dijual seharga Rp 10.000,00 per buah, tentukan titik pulang

pokok!

Penyelesaian

Misalkan mainan yang diproduksi tiap bulan x buah. Jadi total biaya model

biaya linear yr = 4.000x + 12.000.000. Mainan yang terjual tiap bulan

sebanyak x buah juga. Dengan denikian dipenuhi yc = 10.000x sehingga

titik pulang pokok diperoleh dari:

yr = yc

4.000x + 12.000.000 = 10.000x

12.000.000 = 10.000x – 4.000x

12.000.000 = 6.000x

x = 2.000

Dengan mensubstitusikan nilai x ke dalam yc = 10.000x, didapat

yc = 10.000 2.000 = 20.000.000

2. Fungsi Kuadrat

Contoh:

Kawat ram yang panjangnya 100 m akan digunakan memagari kandang ayam

seperti gambar di bawah ini!

Kandang ayam tersebut berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya

adalah tembok.

Tentukan ukuran kandang tersebut agar luas kandang maksimum dan berikan

penjelasan tafsiran dari solusi masalahnya!

Penyelesaian:

Buat sketsa kandang ayam seperti gambar berikut:

Berdasarkan gambar di atas, keliling pagar ayam = panjang kawat ram.

y + x + y = 100

x + 2y = 100

x = 100 – 2y

Luas kandang ayam = panjang lebar

L = x. y

L = (100 – 2y) . y

L = 100y – 2y2

L = -2y + 100y

L merupakan fungsi kuadrat dalam y yaitu:

L(y) = -2y2 +100y

Berarti a = -2, b = 100, c = 0.

Agar L maksimum maka y =

y =

y =

y = 25

Untuk y = 25 maka:

x = 100 – 2y

x = 100 – 2(25)

x = 100 – 50

x = 50

jadi, Agar diperoleh luas kandang maksimum maka kawat ram tersebut harus

digunakan untuk memagari kandang ayam yang berbentuk persegi panjang

dengan salah satu sisinya tembok dengan ukuran panjang = 50 meter dan

lebar = 25 meter.

Contoh penerapan fungsi kuadrat dalam ekonomi:

Sebuah pabrik menjual produknya Rp 1.000,00 per unit. Biaya pembuatan x

unit didapat menurut persamaan C = 10.000 + 100x + x2 .

Berapa banyak unit yang harus dibuat dan dijual untuk menerima laba Rp

192.500,00?

Penyelesaian:

Misalkan penerimaan dari penjualan x unit = 1.000x

Biaya pembuatan x unit = 10.000 +100x + x2

Laba dari penjualan x unit = 1.000x – (10.000 + 100x + x2)

Dengan demikian dipenuhi persamaan

1.000x – (10.000 + 100x + x2) = 192.500

Penyelesaian secara aljabar diperoleh

900x – 10.000 - x2 = 192.500

x2 – 900x + 202.500 = 0

(x – 450)2 = 0

x1 = x2 = 450

jadi untuk menerima laba Rp 192.500,00 perlu dibuat 450 unit.

DAFTAR PUSTAKA

Adiwijaya. Tanpa Tahun. Matematika Diskrit. Tanpa Kota: Sekolah

Tinggi Teknologi Telkom.

Nuharini, Dewi, Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya.

Jakarta: Pusat Perbukuan, Depdiknas.

Ruseffendi.1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru.

Bandung: Tarsito.

Soeyarto, Nugroho. 2008. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI

Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan, Depdiknas.

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta:

Penerbit Erlangga.