Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 22017/05/03 · Dari hasil ini didapatkan bahwa ada...

Matematika Teknik Dasar-23 – Bilangan Kompleks - 2Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Rekap

Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan, pengurangam, perkalian, dan pembagian)

Dipelajari pula bagaimana merubah bilangan kompleks a + jb dinyatakan dalam bentuk bilangan polar r(cos + j sin)

Untuk mengingat kembali bisa dinyatakan bentuk bilangan kompleks menjadi bentuk polar.

a. z = 12 – j5

b. z = -5 – j4

c. z = 4 – j3

Rekap

a. z = 12 – j5

r2 = 122 + 52 = 169

r = 13

tan E = 5/12 = 0,4167 E = 22o37’

Maka dari sketsa di samping dalam hal ini = 360o – E = 360o - 22o37’ =337o23’

Maka z = r(cos + j sin)

z = 13(cos 337o23’ + j sin 337o23’)

Rekap

b. z = -5 – j4

r2 = 52 + 42 = 41

r = 6,403

tan E = 4/5 = 0,8 E = 384037’

Maka dari sketsa di samping dalam hal ini = 180o + E = 218o40’


z = 6,403(cos 218o40’ + j sin 218o40’)

Dengan cara singkat ditulis 6,40340°218ہ′

Rekap

c. z = 4 – j3

r2 = 42 + 32 = 25

r = 5

tan E = 3/4 = 0,75 E = 36052’

Maka dari sketsa di samping dalam hal ini = 360o - 36052’ = 323o8’


z = 5(cos 323o8’ + j sin 323o8’)

Dengan cara singkat ditulis 5323ہo8’

Rekap

Dari nilai z = 5(cos 323o8’ + j sin 323o8’), jika diperhatikan

Diukur dari OX dapat juga dinyatakan sebagai - 36052’

Dapat pula ditulis z = 5(cos [-36052’] + j sin [-36052’])

Tetapi diketahui bahwa cos [-] = cos dan sin [-] = -sin

Maka z = 5(cos 36052’ - j sin 36052’)

Perkalian Bilangan Kompleks

Jika dilakukan perkalian antara dua bilangan kompleks sebagai berikut:

z1 = r1 (cos1 + j sin1) dan z2 = r2 (cos2 + j sin2)

Maka z1z2 = r1 (cos1 + j sin1) r2 (cos2 + j sin2)

z1z2 = r1 r2 (cos1 cos2 + j sin1 cos2 + j cos1 sin2 + j2 sin1 sin2)

Disusun ulang suku-suku yang ada dan ingat bahwa j2=-1

z1z2 = r1 r2 [(cos1 cos2 - sin1 sin2 ) j (sin1 cos2 + cos1 sin2)]

z1z2 = r1 r2 [cos(1+2) j sin (1+2)]

cos1 cos2 - sin1 sin2 = cos (1+2)sin1 cos2 + cos1 sin2= sin (1+2)


Maka prosedur perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar dapat dijelaskan dalam tahapan sebagai berikut:

1. Kalikan kedua r-nya

2. Tambahkan kedua sudutnya ()

Contoh: 2(cos 30o + j sin 30o) x 3 (cos 40o + j sin 40o)

= 2 x 3 cos (30o + 40o) + j sin (30o + 40o)

= 6 (cos 70o + j sin 70o)


a. 2(cos 120o + j sin 120o) x 4(cos 20o + j sin 20o)= 8(cos 140o + j sin 140o)

b. a(cos + j sin ) x b(cos + j sin )= ab (cos [+] + j sin [+])

c. 6(cos 210o + j sin 210o) x 3(cos 80o + j sin 80o)= 18(cos 290o + j sin 290o)

d. 5(cos 50o + j sin 50o) x 3(cos [-20o] j sin [-20o] )= 15(cos 30o + j sin 30o)

Pembagian Bilangan Kompleks

Sebelumnya telah dibahas bagaimana melakukan pembagian pada bilangan kompleks, yaitu dengan mengalikan dengan konjugat penyebutnya.

𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2

=𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃2


=𝑟1𝑟2

𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑐𝑜𝑠2𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃2


=𝑟1𝑟2

[ 𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑠𝑖𝑛𝜃21


=𝑟1𝑟2

𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2

Peraturannya adalah bagi r-nya dan kurangkan sudutnya.

Pembagian Bilangan Kompleks

Contoh:6 𝑐𝑜𝑠72° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛72°

2 𝑐𝑜𝑠41° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛41°= 3 𝑐𝑜𝑠31° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛31°

Contoh digabungkan dalam satu operasi.

5 𝑐𝑜𝑠60° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛602° 𝑥 4 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛30°

2 𝑐𝑜𝑠50° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛50°

=20 𝑐𝑜𝑠90° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛90°

2 𝑐𝑜𝑠50° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛50°= 10 𝑐𝑜𝑠40° + 𝑗 𝑠𝑖𝑛40°

Teorema DeMoivre

Jika z1 = r1 (cos1 + j sin1) dan z2 = r2 (cos2 + j sin2)

Maka z1z2 = r1 r2 [cos(1 2) j sin (1 2)]

Jika z3 = r3 (cos3 + j sin3), maka bisa didapatkan

z1z2z3 = r1 r2 [cos(1+ 2)+ j sin (1 +2)] r3 (cos3+ j sin3)

z1z2z3 = r1 r2 r3[cos(1+ 2+ 3)+ j sin (1 +2+ 3)]

Misalkan semua z1,z2,z3 adalah sama dan masing-maisng z adalah = =r (cos + j sin)

z1z2z3 = r.r.r[cos(+ + )+ j sin ( ++ )]

z1z2z3 = r3 [cos(3)+ j sin (3)]

Teorema DeMoivre

Misalkan semua z1,z2,z3 adalah sama dan masing-maisng z adalah = =r (cos + j sin)

z1z2z3 = r.r.r[cos(+ + )+ j sin ( ++ )]

z1z2z3 = r3 [cos(3)+ j sin (3)]

Berarti bahwa jika memangkat tigakan bilangan kompleks dengan bentuk polar cukup dengan memangkat tigakan modulusnya (nilai r) dan mengalikan argumennya dengan 3.

Serupa halnya dengan:

[r(cos + j sin )]4 = r4(cos 4 + j sin 4)

[r(cos + j sin )]5 = r5(cos 5 + j sin 5), dan seterusnya

Teorema DeMoivre

Berarti secara umum bisa dikatakan:

[r(cos + j sin )]n = rn(cos n + j sin n)

Ini disebut sebagai Teorema DeMoivre

Teori ini mengatakan bahwa untuk memangkatkan suatu bilangan kompleks dalam bentuk polar ke pangkat n, dipangkatkan r dengan pangkat n dan mengalikan sudutnya dengan n.

Contoh

[4(cos 50o + j sin 500)]2 = 42(cos (2 x 50o) + j sin (2 x 50o) )

= 16 (cos 100o + j sin 100o)

Teorema DeMoivre

Contoh

Cari akar kuadrat dari 4(cos 70o + j sin 700)

𝑧 = 𝑧1/2 = [4(cos 70o + j sin 700)]1/2 = 41/2(cos (0,5 x 70o) + j sin (0,5 x 70o) )

= 2 (cos 35o + j sin 35o)

Teorema DeMoivre

Dicoba untuk mencari akar pangkat tiga dari suatu bilangan kompleks

Z = 8(cos 120o + j sin 1200) atau bisa disederhanakan 𝑧 = °120ہ8

Boleh kita mengatakan bahwa adalah ‘1 putaran + 120o dan

vektornya akan tetap pada posisi yang sama, atau bisa juga

(‘2 putaran + 120o), (‘3 putaran + 120o), dst.

Misalnya didapat z = 8120ہ° atau z = 8480ہ° atau z = 8840ہ° atau z = 81200ہ°, dst..

Maka jika diterapkan Teorema DeMoivre..

z1/3 = 81/3 ඌ120°

3atau z1/3=81/3 ඌ

480°

3atau z1/3 =81/3 ඌ

840°

3atau z1/3 =81/3 ඌ

1200°

3

Teorema DeMoivre

Maka jika diterapkan Teorema DeMoivre..

z1/3 = 81/3 ඌ120°

3atau z1/3=81/3 ඌ

480°

3atau z1/3 =81/3 ඌ

840°

3atau z1/3 =81/3 ඌ

1200°

3

z1/3 °40ہ2 = atau z1/3= 2160ہ° atau z1/3 °280ہ2 = atau z1/3 ..dst ,°400ہ2 =

Teorema DeMoivre

Dari hasil ini didapatkan bahwa ada 3 akar pangkat-tiga dari

suatu bilangan kompleks. Jika diperhatikan sudutnya maka

dapat dilihat bahwa ketiga akar sama jaraknya pada diagram

di samping, dimana dua vektor bersebelahan dipisahkan

sudut sebesar 120o atau 360o/3.

Sehingga jika dicari akar pangkat tiga dari z = 5(cos 225o + j sin 2250)

Z1/3 = 1,71(cos 75o + j sin 750) atau z1=1,7175ہ° dimana akar kedua dan ketiga tinggal ditambahkan masing-masing 120o, maka z2=1,71195ہ° dan z3=1,71315ہ°

Dimana akar prinsipalnya adalah z1=1,7175ہ° karena yang terdekat sumbu OX positif

Teorema DeMoivre

Jika dicari sebarang akar dari suatu bilangan kompleks:

a. Gunakan Teorema DeMoivre untuk mencari akar pertama dan n akarnya

b. Akar lain dengan demikian akan terdistribusi di sekeliling diagram dengan interval yang tetap sebesar 360o/n

Maka:

2 akar kuadrat, yang dipisahkan sebesar 360o/2, yaitu 180o

3 akar pangkat-3, yang dipisahkan sebesar 360o/3, yaitu 120o

4 akar pangkat-4, yang dipisahkan sebesar 360o/4, yaitu 90o

5 akar pangkat-5, yang dipisahkan sebesar 360o/5, yaitu 72o, dan seterusnya

Ekspansi sin n dan cos n, dimana n adalah bil. positif

Dari Teorema DeMoivre diketahui bahwa: [r(cos + j sin )]n = rn(cos n + j sin n)

cos n + j sin n = (cos + j sin )n

Metode ini hanya menguraikan sisi kanan sebagai deret binomial, yang mana setelah itu dapat disamakan bagian real dan imajinernya.

Maka diuraikan cos 3 + j sin 3 :

cos 3 + j sin 3 = (cos + j sin )3

= (c + js)3 dimana c cos dan s sin

Sehingga diuraikan dengan deret binomial seperti halnya (a + b)3


cos 3 + j sin 3 = c3 + 3c2(js) + 3c(js)2 + (js)3; karena j2 = -1 dan j3 = -j

= c3 + j3c2s – 3cs2 – js3

= (c3 – 3cs2) + j(3c2s – s3)

cos 3 = cos3 - 3 cos sin2 sin2 diganti dengan (1- cos2 )

= cos3 - [3 cos (1- cos2 )]

= cos3 - 3 cos + 3 cos3

= 4 cos3 - 3 cos


cos 3 + j sin 3 = c3 + 3c2(js) + 3c(js)2 + (js)3; karena j2 = -1 dan j3 = -j

= c3 + j3c2s – 3cs2 – js3

= (c3 – 3cs2) + j(3c2s – s3)

sin 3 = 3 cos2 sin - sin3 cos2 diganti dengan (1- sin2 )

= 3 (1- sin2 ) sin - sin3

= 3 sin - 3 sin3 - sin3

= 3 sin - 4 sin3

Ekspansi cosn dan sinn dalam sinus & kosinus kelipatan

Misalkan z = cos + j sin

Maka 1

𝑧=z-1 = cos - j sin

z + 1

𝑧= 2 cos dan z -

1

𝑧= j2 sin

Berikut pula dengan Teorema DeMoivre:

zn = cos n + j sin n

dan 1

𝑧𝑛= z-n = cos n - j sin n

zn + 1

𝑧𝑛= 2 cos n dan zn -

1

𝑧𝑛= j2 sin n


Dikumpulkan empat pernyataan dari z = cos + j sin

z + 1

𝑧= 2 cos z -

1

𝑧= j2 sin

zn + 1

𝑧𝑛= 2 cos n zn -

1

𝑧𝑛= j2 sin n


Dicoba untuk mengekspansi cos3 sebagai contoh: dengan z + 1

𝑧= 2 cos

(2 cos )3 = z +1

𝑧

3

= z3 + 3z2 1

𝑧+ 3z

1

𝑧2+

1

𝑧3

= z3 + 3 z + 31

𝑧+

1

𝑧3

Ditulis ulang persamaan

(2 cos )3 = 𝑧3 +1

𝑧3+ 3 𝑧 +

1

𝑧


(2 cos )3 = 𝑧3 +1

𝑧3+ 3 𝑧 +

1

𝑧

(2 cos )3 = 2 cos 3 + 3 x 2 cos

8 cos3 = 2 cos 3 + 6 cos

4 cos3 = cos 3 + 3 cos

cos3 = 1

4(cos 3 + 3 cos )

Masalah Lokus-Lokus

Kadangkala diminta mencari lokus (tempat kedudukan) suatu titik yang bergerak pada diagram Argand dengan suatu kondisi yang telah ditentukan.

Contoh 1:

Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan oleh 𝑧

Kita telah mengatahui dari materi sebelumnya

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

Lokus ini didefinisikan sebagai

𝑥2 + 𝑦2 = 5

x2 + y2 = 25; maka ini adalah berupa lingkarang dengan pusat di titik asal dengan radius 5.

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 2:

Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan arg z = 𝜋

4; ( disebut juga argumen z atau arg z)

Dalam hal ini arg z = 𝑡𝑎𝑛−1𝑦

𝑥𝑡𝑎𝑛−1

𝑦

𝑥=

𝜋

4

𝑦

𝑥= tan

𝜋

4= tan 45° = 1

𝑦

𝑥= 1y = x

Jadi lokus arg z= 𝜋

4adalah sebuah garis lurus y = x dan y>0

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 3:

Jika z = x + jy, carilah persamaan lokus 𝑧+1

𝑧−1= 2

Karena z = x + jy

z + 1 = x + jy + 1 = (x + 1) + jy = 𝑟1උ𝜃1 = 𝑧1

z - 1 = x + jy - 1 = (x - 1) + jy = 𝑟2උ𝜃2 = 𝑧2

𝑧+1

𝑧−1=

𝑟1උ𝜃1

𝑟2උ𝜃2=

𝑟1

𝑟2උ𝜃1 − 𝜃2

𝑧+1

𝑧−1=

𝑟1

𝑟2=

𝑟1

𝑟2=

𝑥+1 2+𝑦2

𝑥−1 2+𝑦2

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 3:

𝑧+1

𝑧−1=

𝑟1

𝑟2=

𝑟1

𝑟2=

𝑥+1 2+𝑦2

𝑥−1 2+𝑦2

𝑥+1 2+𝑦2

𝑥−1 2+𝑦2= 2

𝑥+1 2+𝑦2

𝑥−1 2+𝑦2= 4

Proses berikutnya adalah menyelesaikan persamaan hingga ke bentuk yang paling sederhana.

Masalah Lokus-Lokus

Contoh 3:

Proses berikutnya adalah menyelesaikan persamaan hingga ke bentuk yang paling sederhana.

𝑥+1 2+𝑦2

𝑥−1 2+𝑦2= 4; maka

(x+1)2 + y2 = 4 {(x-1)2 + y2}

x2 + 2x + 1 + y2 = 4 (x2 – 2x + 1 + y2)

x2 + 2x + 1 + y2 = 4x2 – 8x + 4 + 4y2

3x2 – 10x + 3 + 3y2 = 0

Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 22017/05/03 · Dari hasil ini didapatkan bahwa ada...

Documents

Transcript of Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 22017/05/03 · Dari hasil ini didapatkan bahwa ada...