DIKTAT BAHAN KULIAH

MATEMATIKA LANJUT

SIP 612162 BOBOT 3(3-0) SEMESTER II

OLEH YOHANNES

NIP. 195204071986031001

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG

AGUSTUS 2012

i

KATA PENGANTAR

Matematika Lanjut adalah lanjutan dari mata kuliah Matematika. Mata kuliah Ini juga masih merupakan ilmu dasar dalam bidang keteknik-sipilan. Banyak permasalahan teknik sipil yang lebih rumit dapat diatasi dengan pendekatan matematika lanjut ini. Oleh karena itu penguasaan bidang ilmu ini juga sangat penting bagi mahasiswa teknik sipil.

Diktat ini disusun sesuai dengan kurikulum 2012 bagi mahasiswa S1 Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Lampung untuk memudahkan pemahaman dalam perkuliahan, walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga oleh para alumni atau teknisi yang berkepentingan dengan masalah matematika. Diktat ini berisi penjelasan singkat mengenai konsep matematika lanjut disertai tuntunan praktis dalam contoh-contoh perhitungan. Rumus-rumus yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas penggunaannya saja. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari Matematika Lanjut lebih mendalam, dianjurkan mempelajari buku teks lainnya.

Terima kasih penulis sampaikan kepada para rekan dosen dan mahasiswa yang memberi saran dan kritik demi penyempurnaan buku ini. Semoga diktat ini bermanfaat.

Bandarlampung, 16 September 2012 Penulis,

Yohannes

ii

DAFTAR ISI Halaman JUDUL

Kata Pengantar i

Bab I Integral Tak Tentu 1.1. Pengertian Integral 1 1.2. Integral Parsial 4 1.3. Integral Fungsi Rasional 4 1.4. Integral Fungsi Trigonometri 6 1.5. Integral dengan Substitusi Trigonometri 7 1.6. Integral dengan Substitusi Khusus 9

Tugas Mandiri Bab I 12

BAB II Integral Tertentu 2.1 Pengertian Integral Tertentu 14 2.2 Perhitungan Luas 15 2.3 Volume Benda Putar 16

a. Metode Cakram 16 b. Metode Kulit 18

2.4 Panjang Busur Kurva Datar 19 2.5 Luas Permukaan Benda Putar 20

Tugas Mandiri Bab II 22

BAB III Integral Lipat 3.1 Integral Lipat Dua 24 3.2 Luas Daerah Tertutup 26 3.3 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub 27 3.4 Integral Lipat Dua Pada Ruang 3D 28 3.5 Integral Lipat Tiga 29

Tugas Mandiri Bab III 30

Sumber Pustaka ....................... 31

1

BAB I INTEGRAL TAK TENTU

1.1 Pengertian Integral

Anti-derivatif Jika F(x) adalah fungsi dengan turunannya F(x) = f(x) pada interval tertentu dari sumbu x, maka anti-derivatif atau disebut sebagai integral tak tentu dari f(x) diberikan oleh persamaan:

f(x) dx = F(x) + C dengan C adalah konstanta sembarang yang disebut juga konstanta integral. Jadi anti-derivatif atau anti-diferensial adalah proses menemukan anti-turunan dari suatu fungsi. Integral tak tentu dari suatu fungsi bersifat tidak unik.

Rumus dasar integral Karena integral adalah operasi kebalikan dari diferensial, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumus diferensial. Berikut adalah rumus dasar integral dimana x, u dan v merupakan fungsi, a adalah bilangan konstanta dan C adalah konstanta integrasi

a. Rumus Dasar Integral 1. Fungsi Aljabar

1. dx = x + C 2. (u + v) dx = u dx + v dx 3. au dx = a u dx, a konstan

4. xa dx = 1a

1+

xa+1 + C, a 1

5. x

1 dx = ln | x | + C

6. ax dx = aln

xa+ C, a > 0 dan a 1

7. ex dx = ex + C

Contoh: Hitunglah integral berikut

1. 3 dx Jawab : dx = 3x + C

2. (x2 + 5x 2) dx Jawab : (x2 + 5x 2) dx = x2 dx + 5x dx 2 dx = 31

x3 + 25

x2 2x + C

3. 3(4x + 5) dx Jawab : 3(4x + 5) dx = 3 (4x + 5) dx = 3(2x2 + 5x + C = 6x2 + 15 x + C 4. x3 dx Jawab : x3 dx =

131+

x3+1 + C = 41

x4 + C

5. x

1 dx Jawab : x

1 dx = ln |x| + C

6. 6x dx Jawab : 6x dx = 6ln

x6+ C

7. ex dx Jawab : ex dx = ex + C

2

8. (1 x) x dx Jawab : (1 x) x dx = ( x x x dx = (x1/2 x3/2) dx = 2/3 x3/2 2/5 x5/2 + C = 2/3 x x 2/5 x2 x + C

9. (x3 + 2)2 3x2 dx Jawab : misal u = x3 + 2, maka du = 3x2 dx (x3 + 2)2 3x2 dx = u2 du = 3

1 u3 + C = 31 ( x3 + 2)3 + C

10. 3)23x(dx2x8

+ Jawab : misal u = x3 + 2, maka du = 3x2 dx atau x2 dx = 1/3 du

3)23x(dx2x8

+ =

3u

du3/18 = 3

8 3udu

= 38 ( 2

1 ) u-2 + C

= 2u3

4 + C =

2)23x(34

+ + C

2. Fungsi Trigonometri 1. sin x dx = cos x + C 2. cos x dx = sin x + C 3. tan x dx = ln cos x + C 4. cot x dx = ln sin x + C 5. sec x dx = ln sec x + tan x + C 6. csc x dx = ln csc x cot x + C 7. sec2x dx = tan x + C 8. csc2x dx = cot x + C 9. sec x tan x dx = sec x + C 10. csc x cot x dx = csc x + C

Contoh: Hitunglah integral berikut

1. sin x dx Jawab : sin x dx = cos x + C

2. cos x dx Jawab : cos x dx = sin x + C

3. sin 2x dx Jawab : misal 2x = u maka turunannya 2 dx = du atau dx = du

Jadi sin 2x dx = sin u du = sin u du = cos u + C = cos 2x + C

4. Buktikan bahwa tan x dx = ln cos x + C Jawab : tan x dx =

xcos

xsin

dx misal: cos x = u, turunannya sin x dx = du

Jadi xcos

xsin dx = u

du = ln | u | + C = ln | cos x | + C (Terbukti)

5. Buktikan bahwa sec x dx = ln sec x + tan x + C Jawab : sec x dx =

xcos

1

dx = xcos

1xcos

xcos

xsin1xsin1

+

+

dx = x2cos

xsin1+xsin1

xcos

+ dx

Misal u = xcos

xsin1+

maka

du = x2cos

)xsin)(xsin1(xcosxcos + dx =

x2cos

x2sinxsinx2cos ++

dx = x2cos

xsin1+ dx

3

Jadi sec x dx = x2cos

xsin1+xsin1

xcos

+ dx = du

u

1

= u

1 du = ln | u | + C

= ln | xcos

xsin1+ | + C = ln |

xcos

xsinxcos

1+

| + C = ln | sec x + tan x | + C (terbukti)

6. Buktikan bahwa sec2x dx = tan x + C

Jawab : misal u = tan x = xcos

xsin maka du =

x2cos

x2sinx2cos +

dx = x2cos

1 dx = sec2x dx

Jadi sec2x dx = du = u + C = tan x + C (Terbukti) 7. Buktikan bahwa sec x tan x dx = sec x + C

Jawab : sec x tan x dx = xcos

xsinxcos

1 dx = x2cos

xsin dx

Misal u = cos x maka du = sin x dx atau sinx dx = du

Jadi sec x tan x dx = x2cos

xsin dx = 2u1

du = u

1 + C

=

xcos

1 + C = sec x + C (terbukti)

8. Fungsi Dalam Bentuk Pecahan atau Akar

1. 2x2a

dx

= arc sin a

x + C

2. 2x2adu+

=

a

1 arc tan

a

x + C

3. 2a2xx

dx

=

a

1 arc sec

a

x + C

4. 2a2xdx

= Cax

axlna21

++

5. 2x2adx

= Cax

axlna21

+

+

6. 2a2x

dx

+

= ln (x + 2a2x + ) + C

7. 2a2x

dx

= ln x + 2a2x + C

8. 2x2a dx = 21 x 2x2a +

21 a2 arcsin

a

x+ C

9. 2a2x + dx =21 x 2a2x + +

21 a2 ln | x + 2a2x + | + C

10. 2a2x dx = 21 x 2a2x

21 a2 ln | x + 2a2x | + C

4

Contoh: Buktikan hasil integral berikut

1. 2x2a

dx

= arc sin a

x + C

Jawab : misal x = a sin u maka dx = a cos u

du

sin u = a

x maka u = arc sin

a

x

2x2a = u2sin2a2a = )u2sin1(2a = u2cos2a = a cos u

2x2a

dx

= ucosa

duucosa = du = u + C = arc sin

a

x + C (terbukti)

1.2 Integral Parsial Jika u dan v merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka

d(uv) = u dv + v du u dv = d(uv) v du

u dv = uv v du

adalah rumus integral parsial

Contoh: Hitung integral berikut 1. x ln x dx Jawab :

misal u = ln x maka du = x

1 dx dan dv = x dx maka v = 2x

21

u dv = uv v du

x ln x dx

= ln x. 2x21

dxx

1.

2x21

= 2x

21 ln x dxx2

1 =

2x21 ln x 2x

41

+ C

2. x sin x dx

Jawab : misal u = x maka du = dx dan dv = sin x dx maka v = cos x x sin x dx

= x ( cos x) cos x dx

= x cos x + sin x + C

1.3 Integral Fungsi Rasional Fungsi polinomial dalam x adalah fungsi dengan bentuk

nax1na.............2nx2a1nx1anx0a +++++

dengan semua a kontanta dan a0 0, dan n bilangan asli termasuk nol.

Fungsi H disebut fungsi rasional jika H(x) = )x(Q)x(P

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial. Jika derajat P(x) lebih rendah daripada derajat Q(x), maka H(x) disebut rasional sejati. Jika derajat P(x) lebih tinggi daripada derajat Q(x), maka H(x) disebut rasional tidak sejati. a. Rasional Sejati

Untuk mengintegrasikan fungsi rasional sejati, maka bentuk )x(Q)x(P

harus diubah menjadi jumlah dari

bagian yang lebih sederhana. Penyebut diubah dengan menguraikan/memfaktorisasi Q(x) dalam hasil kali faktor linier atau kuadratis.

5

KASUS 1: Hasil pemfaktoran Q(x) semuanya dapat dibuat linier dan tak berulang, atau Q(x) = (x a1) (x a2) . ..... (x an) maka dibuat menjadi )x(Q

)x(P = )1ax(

A

+ )2ax(B

+ ...................... + )nax(N

KASUS 2: Faktor Q(x) semua linier tapi ada yang berulang Q(x) = (ax + b) (ax + b) . ..... (ax + b)n maka dibuat menjadi

)x(Q)x(P

= )bax(A+

+ 2)bax(B+

+ ...................... + n)bax(

N+

KASUS 3: Faktor Q(x) ada yang linier dan kuadratis, dimana faktor kuadratis tidak berulang. Setiap faktor kuadratis cbx2ax ++ pada penyebut yang tidak dapat diringkas, dibentuk menjadi

cbx2axBAx

++

+ dengan A dan B konstanta yang harus ditentukan.

Contoh : Hitung integral fungsi berikut

1. x22x3x

1x

dx =

Jawab: Ubahlah fungsi tersebut menjadi pecahan terpisah:

x22x3x1x

= )1x)((2x(x1x

+

=

x

A +

2xB

+ 1x

C+

= )1x)((2x(x)2x(Cx)1x(Bx)1x)(2x(A

+

++++

Carilah nilai konstanta A, B, dan C dengan pemecahan berikut x 1 = A (x 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x 2) = Ax2 Ax 2A + Bx2 + Bx + Cx2 2Cx = (A + B + C) x2 + ( A + B 2C) x 2A = 0x2 + x 1 Selesaikan persamaan berikut a. A + B + C = 0

b. A + B 2C = 1 diperoleh A = 21

, B = 61

, C = 32

, sehingga

c. 2A = 1

x22x3x

1x

dx = (x2

1 + )2x(6

1

)1x(32+

) dx

= 21

lnx + 61 lnx 2 32 lnx + 1 + 61 ln C

= 61

(3 lnx + lnx 2 4 lnx + 1 + ln C ) = 61 ln 4)1x()2x(3Cx

+

2. 3)2x(2x13x

dx

Jawab : Ubahlah menjadi pecahan terpisah. catatan: Untuk penyebut dengan faktor berpangkat n dibuat n pecahan dengan pangkat n, n -1, dan seterusnya,

6

3)2x(2x13x

= 2x

A +

x

B + 3)2x(

C

+ 2)2x(D

+ )2x(

E

= 3)2x(2x2)2x(2Ex)2x(2Dx2Cx3)2x(Bx3)2x(A

++++

3)2x(2x13x

= 3)2x(2x2)2x(2Ex)2x(2Dx2Cx3)2x(Bx3)2x(A

++++

x3 1 = A(x 2)3 + Bx (x 2)3 + Cx2 + Dx2 (x 2) + Ex2 (x 2)2 = A(x3 6x2 + 12x 8) + Bx(x3 6x2 + 12x 8) + Cx2 + Dx3 2Dx2 + Ex2(x2 4x + 4) = Ax3 6Ax2 + 12Ax 8A + Bx4 6Bx3 + 12Bx2 8Bx + Cx2 + Dx3 2Dx2 + Ex4 4Ex3 + 4Ex2 = (B + E)x4 + (A 6B + D 4E)x3 + (6A + 12B + C 2D + 4E)x2 + (12A 8B)x 8A = 0x4 + x3 + 0x2 + 0x 8A Maka a. B + E = 0 diperoleh:

b. A 6B + D 4E = 1 A = 81

, B = 163

, C = 47

c. 6A + 12B + C 2D + 4E = 0 D = 45

, E = 163

d. 12A 8B = 0 e. 8A = 1

Jadi, 3)2x(2x13x

dx

= 2x8

1 +

x163 +

3)2x(47

+ 2)2x(4

5

)2x(163

=

x81

+ 163

ln x 2)2x(87

)2x(45

163

ln x 2 + C

b. Rasional Tidak Sejati Untuk menyelesaikan integral fungsi rasional tidak sejati, pembilang dibagi penyebut sehingga membentuk rasional sejati, lalu dintegrasikan sesuai petunjuk di atas. Untuk mengubah fungsi rasional tidak sejati menjadi fungsi rasional sejati dapat dilihat pada contoh berikut

Contoh: 42x

1x32x104x

++ =

42x

23x3)62x)(42x(

+=

42x

23x342x

)62x)(42x(

+

=

42x

23x362x

+

1.4 Integral Fungsi Trigonometri Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometris, terkadang harus mengubah fungsi tersebut dengan menggunakan persamaan-persamaan trigonometri. Contoh: Hitung integral berikut

1. sin2x dx = 21 (1 cos2x) dx = 2

1 x 41 sin 2x + C

2. cos5x dx = cos4x cos x dx = (1 sin2x)2 cos x dx = (1 2sin2x + sin4) cos x dx = cos x dx 2sin2x cos x dx + sin4x cos x dx

7

= sin x 2sin2x cos x dx + sin4x cos x dx + C misal u = sin x maka du = cos x dx

2sin2x cos x dx = 2 u2 du = 32 u3 + C =

32 sin3x + C

sin4x cos x dx = u4 du = 51 u5 + C =

51 sin5x + C

Jadi cos5x dx = sin x 32 sin3x +

51 sin5x + C

3. sin2x cos3x dx = sin2x cos2x cos x dx = sin2x (1 sin2x) cos x dx = (sin2x sin4x) cos x dx misal u = sin x maka du = cos x dx

(sin2x sin4x) cos x dx = (u2 u4) du = 31 u3

51 u5 =

31 sin3x

51 sin5x + C

1.5 Integral Dengan Substitusi Trigonometri

Fungsi yang mengandung salah satu dari bentuk 222 xba , 222 xba + , atau 222 axb dan

tidak memiliki faktor irasional lainnya dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri menggunakan variabel baru sebagai berikut:

BENTUK SUBSTITUSI DIPEROLEH 1. 2x2b2a x =

ba

sin u a u2sin1 = a cos u

2. 2x2b2a + x = ba

tan u a u2tan1+ = a sec u

3. 2a2x2b x = ba

sec u a 1u2sec = a tan u

Contoh: Hitung integral berikut

1. x

2x49 dx Jawab:

Soal ini mempunyai bentuk 222 xba

maka gunakan substitusi x = ba

sin u

atau x = 23

sin u dan dx =23

cos u du

sehingga 2x49 = u2sin99 = u2cos9 = 3 cos u

x

2x49 dx

= usin

23

ucos3 (23

cos u du) = 3 usinu2cos

du = 3 usin

u2sin1 du

= 3 (usin

1 sin u) du = 3 csc u du 3 sin u du

= 3 lncsc u cot u + 3 cos u + C

karena x = 23

sin u maka sin u = 3x2 (lihat gambar di samping)

didapat csc u =x2

3, cot u =

x2x49 2

, cos u = 3

x49 2

u

2x49

2x 3

8

x

2x49 dx

= 3 lncsc u cot u + 3 cos u + C

= 3 lnx2

3

x2

2x49 + 3 3

2x49 + C

= 3 ln x2

2x493 + 2x49 + C

2. 2x42x

1

+

dx Jawab:

Soal ini mempunyai bentuk 2x2b2a +

maka gunakan substitusi x = ba

tan u

substitusi : x = 2 tan u, dx = 2 sec2 u du,

2x4 + = u2tan44 +

=

2 sec u

tan u = 2x

, sin u = 2x4

x

+

2x42x

1

+

dx = usec2u2tan4

duu2sec2 =

41

u2tan

usec du = 41

u2sinu2cos

ucos

1 du

=

41

u2sin

ucos du misal p = sin u maka dp = cos u du sehingga

=

41

u2sin

ucos du = 41

2p1 dp =

41

p1

+ C = usin4

1+ C =

x4

2x4 + + C

3. 252x

1

dx Jawab :

Soal ini mempunyai bentuk 2a2x2b

maka gunakan substitusi x = ba

sec u

substitusi : x = 5 sec u maka dx = 5 sec u tan u du

252x = 25u2sec25 = u2tan25 = 5 tan y,

sec u = 5x

dan tan u = 5

25x2

252x

1

dx = utan5

utanusec5 du = = sec u du = lnsec u + tan u + C

= ln5x

+ 5

252x + C = ln5

25xx 2 + + C

= lnx + 25x2 ln 5 + C = lnx + 25x2 + C Catatan : karena ln 5 adalah konstan maka digabung dengan C

u

2x4 + x

2

u

x

5

252x

9

1.6 Integral Dengan Substitusi Khusus Jika fungsi mempunyai bentuk sebagai berikut:

A. n bax + maka substitusi ax + b = un akan mengubahnya menjadi rasional. Contoh:

Hitung 2x)2x(

1+

dx Jawab:

Substitusi x + 2 = u2, maka x = u2 2 , dx = 2u du. dan u = 2x +

2x)2x(

1+

dx = u)42u(

duu2

= 2 )42u(

du

= 2 )2u)(2u(du

+

= 2 ( )2u(41+

+ )2u(4

1

) du = 2.41 ( lnu + 2 + lnu 2) + C

=

2u2uln

21

+

+ C = 22x22x

ln21

++

+ + C

B. 2xpxq ++ maka substitusi q + px + x2 = (u x)2 akan mengubahnya menjadi rasional. Contoh:

Hitung 2x2xx

1

++

dx Jawab:

Substitusi x2 + x + 2 = (u x)2, maka x2 + x + 2 = u2 2ux + x2

disederhanakan menjadi x + 2ux = u2 2 didapat x = u2122u

+

dan x2 + x + 2 = (u x)2 atau u x = 2x2x ++ maka u = 2x2x ++ + x

dx = 2)u21(

2)22u()u21(u2+

+ du =

2)u21(42u22u4u2

+

++

du = 2)u21(

4u22u2

+

++

du

2x2x ++ = 2)xu(

= u x = u u2122u

+

=

u2122u2u2u

+

++ =

u212u2u

+

++

2x2xx

1

++

dx

=

u212u2u

u2122u

du2)u21(

4u22u2

+

++

+

+

++

=

2)u21(4u22u22u23u4u

du2)u21(

4u22u2

+

++

+

++

=

2)u21(4u23u4u

du2)u21(

4u22u2

+

+

+

++

= )22u()2u2u(

du)2u2u(2++

++ = 2

22u

du

= 2 )2u()2u(

du+

)2u()2u(1

+ =

)2u(A

++

)2u(B

=

)2u()2u()2u(B)2u(A

+

++ =

)2u()2u()2BuB2AAu

+

++

10

=

)2u()2u()2B2A(u)BA(

+

+++ =

)2u()2u(1u0+

+

Dari A + B = 0 dan ( A + B) 2

= 1 diperoleh A = 22

1 dan B =

221

maka

)2u()2u(1

+ =

)2u(221

+

+ )2u(22

1

=

221 (

2u1

+ +

2u1

)

= 2 )2u()2u(

du+

= 2 22

1 (2u

1+

+ 2u

1

) du = 21

(2u

1

2u1

+) du

=

21 (ln |u 2 | ln |u + 2 |) =

2u2u

ln2

1+

+ C = 2x2x2x

2x2x2xln

21

++++

+++ + C

C. 2xpxq + = )x()x( +

maka substitusi q + px x2 = ( + x)2 u2 atau q + px x2 = ( x)2 u2 akan mengubahnya menjadi rasional Contoh:

Hitung 3)2xx45(

x

dx Jawab:

5 4x x2 = (5 + x) (1 x) maka substitusi (5 + x) (1 x) = (1 x)2 u2

5 + x = (1 x) u2 sehingga 5 + x = u2 xu2 diperoleh (1 + u2) x = u2 5 atau x = 2u1

52u

+

dan dx = 2)2u1(

u2)52u()2u1(u2+

+ du =

2)2u1(u103u23u2u2

+

++ du =

2)2u1(duu12

+

Karena 5 4x x2 = (1 x)2 u2

maka 2xx45 = (1 x) u = ( 1 2u1

52u

+

) u = 2u1

52u2u1

+

++u = 2u1

u6

+

Jadi 3)2xx45(

x

dx = 3)

2u1

u6(

2)2u1(u12

2u1

52u

+

++

du =

3)2u1(3u216

3)2u1(u603u12

+

+

du

= 3u216)52u(u12

du = 2u1852u

du = 181

2u

51( ) du = 181 (u +

u

5 ) + C

Karena 5 4x x2 = (1 x)2 u2

maka u2 = 2)x1(2xx45

= 2)x1()x1)(x5(

+

=

x1x5

+ dan u =

x1x5

+

sehingga 3)2xx45(

x

dx = 181 (u +

u

5 ) + C = 181 (

u

52u + ) + C

11

=

181 (

x1x5

x1x55

x1x5

+

+

+

) + C = 2xx459

x25

+ C

D. m xn x( , maka substitusi x = um jika m > n akan mengubahnya menjadi rasional.

Contoh:

Hitung x4x

1

dx Jawab:

Substitusi x = u4, maka dx = 4u3 du, x = u2, dan 4 x = u

x4x

1

dx = u2u

3u4

du = 4 1u

2u

du = 4 1u

1)12u(

+ du = 4 )

1u1

1u12u(

+

du

= 4 )1u

11u(

++ du = 4 (

21

u2 + u + lnu 1) + C

= 2 x + 4 4 x + ln ( 4 x 1)4 + C

E. Substitusi x = 2 arc tan u akan mengganti setiap fungsi rasional dalam sin x dan cos x menjadi fungsi rasional dalam u karena

sin x = 2u1u2

+, cos x =

2u1

2u1

+

, dx = 2u1du2

+

Setelah diintegrasi, gunakan u = tan 2x

untuk kembali ke variabel aslinya.

Contoh:

Hitung xcosxsin1

1+

dx Jawab

substitusikan sin x = 2u1u2

+, cos x =

2u1

2u1

+

, dx = 2u1du2

+

xcosxsin1

1+

dx =

2u1

2u12u1

u21

2u1

2

+

++

+ du =

2u1

2u12u1

u22u1

2u1

2u1

2

+

++

+

+

+ du

=

2u1

)u1(u22u1

2

+

+

+ du = )u1(u

1+

du = )u1

1u

1(+

du = lnu ln1+u + C

= ln u1

u

+ + C = ln

2xtan1

2xtan

+

+ C

1 + u2

1 u2

2u x

12

TUGAS MANDIRI BAB I

Tugas Subbab 1.1 Hitung integral berikut

1. 4 23x

dx2x

+

4. 3x

3)22x( + dx

2. 2x21x3 dx 5. (x-2 + x-1)2 dx

3. x

2)x1( + dx 6. (x 3)5 dx

Tugas: Buktikan hasil integral berikut 1. cot x dx = ln sin x + C 2. csc x dx = ln csc x cot x + C 3. csc2x dx = cot x + C 4. csc x cot x dx = csc x + C

Tugas: Buktikan hasil integral di atas no. 2 10

Tugas Subbab 1.2 Hitung integral berikut dengan menggunakan metode integral parsial

1. x cos x dx 4. x sin2 x dx

2. x x1+ dx 5. (x + a) sin ax dx

3. x2 sin x dx

Tugas Subbab 1.3

1. +

+

1x2x3xdx)5x3(

4. ++

+++

)32x()12x(dx)3x2x3x(

2.

2x3xdx)1x3x4x(

5.

3)x1(dx4x

3. +

+

2)12x(dx)32x2(

Tugas Subbab 1.4

1. dxx4tan 3. dxx32cosx34sin 5. dxx5cosx3sin

2. dxx23cot 4. dxxcos1 6. dxx2cosx4cos

13

Tugas Subbab 1.5

1.

2x1

dx 3.

6x1

dx2x 5.

+

2xx4

dx)2x(

2. 12xx

dx 4.

+

2x1

dx)3x( 6.

+12x

dx

Tugas Subbab 1.6

1. + dxx1x 6. + )x2cos1(xcos

dxxsin 11.

+ )x1(xdx

2. + 2/5)2x1(

dx 7.

dx3)x1(4x

12. +++

4 1x1x

dx

3. +

+

1x2x3xdx)5x3(

8. ++

+++

)32x()12x(dx)3x2x3x(

13. dxxcos1xcosxsin

4.

2x3xdx)1x3x4x(

9. x1x

dx 14.

+ x1dx2x

5. +

+ dx2)12x(32x2

10. dx3x15x 15. dxxsin

14

BAB II INTEGRAL TERTENTU

2.1 Pengertian Integral Tertentu

Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval tertutup [a, b] maka integral tertentu f(x) dari a ke b dinyatakan

oleh b

adx)x(f , dimana f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.

Jika fungsi f(x) kontinyu pada interval tertutup [a, b], maka f(x) dapat diintegralkan pada [a, b]. Jika f(x) dan g(x) kontinyu pada interval integrasi a x b, dan k = konstanta, maka berlaku :

1. a

adx)x(f = 0

2. b

adx)x(f =

a

bdx)x(f

3. b

adx)x(fk = k

b

adx)x(f

4. { } ba

dx)x(g)x(f = b

adx)x(f

b

adx)x(g

5. c

adx)x(f +

b

cdx)x(f =

b

adx)x(f jika a < c < b

6. Jika F(u) = u

0dx)x(f , maka

du)u(Fd

= f(u)

7. b

adx)x(f = F(x) b

a = F(b) F(a)

8. b

adx)x(f

b

adx)x(g , jika f(x) g (x) dalam interval [a, b]

Contoh soal

1. Hitung 3

1dx2x Jawab:

3

1dx2x =

3

13x

31

=

31 [33 13] =

326

= 832

2. Hitung +3

0dxx1x Jawab: Substitusi: 1 + x = u2, maka x = u2 1, dx = 2 u du, dan x1+ = u.

+3

0dxx1x =

2u

1u)duu2(u)12u( = 2

2u

1udu)2u4u(

= 22u

1u3u

315u

51

=

3

02/3)x1(

322/5)x1(

52

++ = 2/3)1(

322/5)1(

522/3)4(

322/5)4(

52

+

= 64/5 16/3 2/5 + 2/3 = 116/15

15

3. Hitung

+4

3dx2x Jawab : Fungsi f(x) = x + 2 dapat ditulis f(x) =

16

2.3 Volume Benda Putar

Pengertian Benda Putar Benda putar terbentuk oleh perputaran suatu luasan bidang terhadap sebuah garis sebidang yang disebut sumbu putar. Sumbu putar dapat menyinggung keliling luasan bidang, atau tidak memotong luasan tersebut sama sekali. Penentuan volume benda putar dapat dihitung dengan dua metode, yaitu metode cakram (disc) dan metode kulit (shell).

a. Metode Cakram Dalam metode cakram dikenal dua keadaan yaitu: (1). Sumbu putar merupakan batas luasan bidang, dan (2) Sumbu putar bukan merupakan batas luasan bidang.

Sumbu putar merupakan batas luasan bidang Rumus volume benda putar: a. yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu X, dengan sumbu

putar sumbu X

V = pi [ ]ba

dx2)x(f

b. yang dibatasi kurva x = g(y) dan sumbu Y, dengan sumbu putar sumbu Y

V = pi [ ]dc

dy2)y(g

Sumbu putar bukan merupakan batas luasan bidang

Rumus volume benda putar: a. yang dibatasi kurva y = f1 (x) dan y = f2 (x), dengan

sumbu putar sumbu X

V = pi [ ] [ ]

b

adx2)x(1f2)x(2f

b. yang dibatasi kurva x = g1 (y) dan x = g2 (y), dengan sumbu putar sumbu Y

V = pi [ ] [ ]

d

cdy2)y(1g2)y(2g

y = f(x)

X b a

Y

Volume benda putar

x = g (y)

X

d

c

Y

Volume ben- da putar

X

Volume benda putar

y = f2 (x)

b a

Y

y = f1 (x)

x = g2 (y)

X

d

c

Y

Volume ben- da putar

x = g1 (y)

17

Contoh : 1. Hitung volume yang terbentuk karena perputaran terhadap sumbu X dari daerah yang dibatasi oleh

parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3 Jawab: Perpotongan parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3

diberikan oleh: x2 + 1 = x + 3 x2 x 2 = 0 atau (x 2) (x + 1) = 0. Jadi x = 1 dan x = 2. Jadi volume benda putar tsb:

V = pi [ ] [ ]

b

adx2)x(1f2)x(2f = pi

++

2

1dx2)12x(2)3x(

V = pi

++

2

1dx8x62x4x = pi

2

1x82x33x3

15x51

++

V = pi

++++ )8331

51()16123

8532(

= 117/5 pi satuan volume

2. Tentukan volume benda putar yang terbentuk oleh perputaran terhadap garis x = 4 dari daerah yang dibatasi oleh dua parabola x = y y2 dan x = y2 3

Titik potong kurva x = y y2 dan x = y2 3 adalah: y2 3 = y y2 2 y2 y 3 = 0 (y + 1) (y 3/2) = 0. Jadi titik potong Q untuk y = 1, x = 2, dan P untuk y = 3/2, x = 3/4 Volume benda putar antara kedua kurva pada sumbu putar x = xp adalah

V = pi [ ] [ ]

++

d

cdy2)y(1gpx2)y(2gpx

V = pi

+

+2/3

1dy232y422yy4

= pi

++2/3

1dy)15y82y93y2( = pi

2/3

1y152y43y34y2

1

++ = 875/32 pi satuan volume

y = x2 + 1

y = x + 3

X

Y

P

Q

x = y y2 x = y2 3

x = 4 Y

X (0, 0)

P

Q

y = 3/2

y = 1

18

b. Metode Kulit Jika suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y, maka akan membentuk benda dengan volume:

V = pib

adx)x(fx2

Jika suatu bidang yang dibatasi oleh x = g(x), y = c, y = d dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X, maka akan membentuk benda dengan volume:

V = pid

cdy)y(gy2

Contoh:

1. Suatu daerah yang dibatasi parabola y = x2, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu Y sebagai sumbu putar. Tentukan volume benda akibat putaran tersebut. Jawab:

V = pib

adx)x(fx2 = pi

2

0dx2xx2

= pi2

0dx3x2 =

2

04x

412

pi =

pi 42

412

= 8pi

2. Suatu daerah dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 1 dan x = 2 diputar terhadap garis y = 2 sebagai sumbu putar. Tentukan volume benda yang terbentuk karena perputaran itu. Jawab:

Kurva y = x2 diubah menjadi x = y namun karena daerah yang dimaksud terdapat dalam kuadran I maka digunakan x = y .

Batasnya c = 1 dan d = 4. Diputar terhadap y = 2 maka y y + 2

dan g(y) 2 g(y) = 2 y sehingga

V = pid

cdy)y(gy2 = +pi

4

1dy)y2()2y(2

= ++pi4

1dy)42/1y2y22/3y(2 =

4

1y42/3y3

42y2/5y522

++pi = pi

537

2

y = x2 Y

X

0

Daerah

1

2

y = x2 Y

X 0

y = 2

(2, 4) Daerah

y = 1

4

a b

y = f(x) Y

X Daerah

c

d x = g(y) Y

X

Daerah

19

3. Hitung volume torus yang terbentuk oleh perputaran lingkaran x2 + y2 = 4 terhadap garis x = 3 sebagai sumbu putar. Jawab:

Fungsi tersebut diubah menjadi y = 2x4

V =

pi2

2dxy2)x3(2 =

pi2

2dx2x4)x3(4

=

pi2

2dx2x412 -

pi2

2dx2x4x4

=

2

22/32x4

34

2x

arcsin22x42x12

pi+

+pi = 24 pi2

4. Daerah yang dibatasi parabola y = x2 3x + 6 dan garis x + y 3 = 0 diputar terhadap a. garis x = 3 b. garis y = 0 Hitung volume benda yang terjadi akibat perputaran tersebut. Jawab:

Kedua kurva itu berpotongan di P(1, 2) dan Q (3, 6) a. Menggunakan metode kulit

V =

pi1

3dx)2y1y()x3(2

=

++pi

1

3dx)3x()6x32x()x3(2

=

+pi1

3dx)3x22x()x3(2

=

+pi1

3dx)9x92x3x(2 = pi

3256

b. Menggunakan metode cakram

V =

pi1

3dx2)2y(2)1y( =

++pi

1

3dx2)3x(2)6x32x(

=

++pi1

3dx)27x302x43x64x( = pi

151792

2.4 Panjang Busur Kurva

Teorema. Jika fungsi f dan turunannya f kontinu dalam interval tutup [a, b] maka panjang busur dari kurva y = f(x) mulai dari titik (a, f(a)) sampai

titik (b, f(b)) adalah: S =

+

b

adx

2

dxdy1

X

Y

0

x = 3

2 2

X

Y

P

Q

O

X = 3

y = x2 3x + 16

X

Y y = f(x)

a b

20

Teorema. Jika fungsi g dan turunannya g kontinu dalam interval tutup [c, d] maka panjang busur dari kurva x = g(y) mulai dari titik (c, g(c)) sampai

titik (d, g(d) adalah: S =

+

d

cdy

2

dydx1

Jika A dan B adalah dua titik pada kurva didefinisikan oleh persamaan parameter x = f(t) dan y = g(t) dan jika persyaratan kontinu memenuhi,

maka panjang busur AB adalah: S =

+

2t

1tdt

2

dtdy2

dtdx

Contoh soal:

1. Hitung panjang busur kurva y = 3/2x dari titik (1, 1) sampai titik (8, 4)

Jawab y = 3/2x maka dxdy

= 3/1x

32

= 3/1x32

dan 2

dxdy

= 3/2x9

4

Panjang busur s =

+

b

adx

2

dxdy1 = +

8

1dx3/2x9

41 = +8

1dx3/1x

43/2x931

misal u = 9 3/2x + 4, du = 6 3/1x dx 6

du = 3/1x

dx untuk x = 1, u = 13, untuk x = 8, u = 40, maka

s = 40

13du2/1u

181

=

2/3u32

181

= )2/3132/340(271

= 7,6

2. Hitung panjang busur kurva x = 3 2/3y 1 dari y = 0 sampai y = 4

Jawab dydx

= 2/1y

29

maka 2

dydx

= y

481

sehingga

Panjang busur s =

+

d

cdy

2

dydx1 = +

4

0dyy

4811 = +

4

0dyy814

21

misal u = 4 + 81y, du = 81 dy, untuk y = 0, u = 4, dan untuk y = 4, u = 328, jadi

328

4du2/1u

811

21

=

328

42/3u

32

1621

= (

2431 2/342/3328 ) = )18282(

2438

2.5 Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah kurva y = f(x) yang kontinu pada interval a x b diputar terhadap

x = g(y) X

Y

c

d

y = f(x)

X

Y

a b

c

d

x = g(y) X

Y

c

d

a b

(a) (b)

21

Y

X A O B

Y

O X

3

x = 3

a. sumbu X, luas permukaan putar adalah +pi=b

adx2)

dxdy(1y2xA atau +pi=

d

cdy2)

dydx(1y2xA

b. sumbu Y, luas permukaan putar adalah +pi=b

adx2)

dxdy(1x2yA atau +pi=

b

ady2)

dydx(1x2yA

Jika fungsi tersebut dalam bentuk parameter x = f(t) dan y = g(t) maka luas perputaran karena fungsi tersebut

a. diputar terhadap sumbu X adalah: +pi=b

adt2)

dtdy(2)

dtdx(y2xA

b. diputar terhadap sumbu Y adalah: +pi=b

adt2)

dtdy(2)

dtdx(x2yA

Contoh soal : 1. Hitung luas permukaan bola berjari-jari r.

Jawab Kalau busur AB diputar terhadap sumbu X maka luas permukaan putar adalah permukaan bola. x = r cos dan y = r sin dan

ddx

= r sin dan d

dy = r cos

+pi=b

adt2)

dtdy(2)

dtdx(y2xA =

pi+pi=

0d2)cosr(2)sinr()sinr(2xA

= pi

pi0

dr)sinr(2 = pi

pi0

dsin2r2 = [ ]pipi0

cos2r2 = 2pi r2 ( cos pi + cos 0) = 4pi r2

2. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y2 = 12 x dari x = 0 sampai x = 3 terhadap sumbu X Jawab

y2 = 12 x maka 2y dy = 12 dx dxdy

=

y6

+pi=b

adx2)

dxdy(1y2xA = +pi

3

0dx2)

y6(1y2

= +pi3

0dx262y2 = +pi

3

0dx36x122 = 24(2 2 - 1) pi

22

TUGAS MANDIRI BAB II

Tugas Subbab 2.1

1. +2

0dx52xx 3.

2

1 2 9xdx

5. ++

4

2

2 dy)8y2y(

2. +

10

6 2xdx

4. 4

02 dx)xx4(

Tugas Subbab 2.2

1. y = x3, y = 0, x = 1, dan x = 3 6. 2y2 = x + 4 dan x = y2 2. y = 2 x2 dan y = x 7. x = 4y y3 dan x = 0

3. y = x2 dan y = x 8. y2 = 2x 2 dan y = x 5

4. y + x2 = 6 dan y + 2x 3 = 0 9. y = 6x x2 dan y = x2 2x 5. y x = 6, y x3 = 0, dan 2y + x = 0 10. y = x2 dan y = x2 + 4x

Tugas Subbab 2.3 1. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan 4x2 + 9y2 = 36 terhadap sumbu

X. Gunakan metode cakram. Jawab: 16pi 2. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi x = 9 y2 dan

x y 7 = 0 terhadap sumbu X = 4. Gunakan metode kulit. Jawab: pi5

153

3. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan y2 = x4 (1 x2) terhadap sumbu X. Jawab: 4pi/35

4. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi x2 y2 = 16, y =

0, x = 8 terhadap sumbu Y. Jawab: 128 pi 3

5. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi y = x2, y = 4x x2 terhadap garis Y = 6. Jawab: 64 pi / 3

Tugas Subbab 2.4

2. Hitung panjang busur kurva x = t2, y = t3 dari t = 0 sampai t = 4. Jawab: 8/27 )13737( 3. Hitung panjang busur kurva 24 xy = x4 + 48 dari x = 2 sampai x = 4. Jawab : 17/6 4. Hitung panjang busur kurva x = 2 cos + cos 2 + 1 y = 2 sin + sin 2 Jawab : 16

5. Hitung panjang busur kurva x = a cos3 di kuadran 1 y = a sin3 Jawab : 3a/2

23

Tugas Subbab 2.5

1. Hitung luas permukaan benda yang terbentuk jika busur sikloida dengan persamaan x = a( sin ) dan y = a(1 cos ) diputar terhadap sumbu X. Jawab 64/3 pi a2.

2. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran elips 14

2y16

2x=+ .

Jawab

pi+pi

934

18

3. Hitung luas permukaan benda yang terbentuk jika kardioda dengan persamaan x = 2 cos cos 2 dan y = 2 sin sin 2 diputar terhadap sumbu X. Jawab 128pi/5.

4. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y = mx dari x = 0 sampai x = 3

terhadap sumbu X. Jawab 2m1m9 +pi

5. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y = 3x31

dari x = 0 sampai x =

3 terhadap sumbu Y. Jawab [ ]829(ln82921

++pi

6. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran x = a ( sin ), y = a (1

cos ) terhadap sumbu X. Jawab 3

2a64 pi

7. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran kurva 8a2 y2 = a2 x2 x4 terhadap sumbu X. Jawab pi a2/4.

24

BAB III INTEGRAL LIPAT

3.1 Integral Lipat Dua Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2 seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi xi dan yi dimana

xi = xi xi-1 dan yj = yj yj-1 Jika terdapat fungsi z = f(x, y) yang kontinu di semua titik di dalam daerah tertutup S maka untuk per sub bagian segiempat diperoleh perkalian f(xi, yj) xi yj di titik (xi, yj) pada segiempat tersebut.

Untuk seluruh daerah S diperoleh hasil penjumlahan sebagai berikut: =

m

1j=

n

1if(xi, yj) xi yj

Untuk n dan m diperoleh

mn

lim =

m

1j=

n

1i f(xi, yj) xi yj = f(x,y) dx dy

disebut "integral lipat dua dari fungsi f(x, y) pada daerah tertutup S"

Cara menghitung integral lipat dua

a. Untuk f(x,y) dx dy = [ f(x,y) dx] dy artinya diintegralkan dulu terhadap x lalu terhadap y

b. Untuk f(x,y) dy dx = [ f(x,y) dy] dx artinya diintegralkan dulu terhadap y lalu terhadap x

Cara menentukan batas integral

a. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X sebelah kiri x1 = f1 (y) dan sebelah kanan x2 = f2 (y)

Batas integral untuk sumbu Y sebelah bawah y1 = c dan sebelah atas y2 = d

d f2(y) Bentuk integralnya f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy S c f1(y)

Y

c

d

S

X segi empat

K1 K2

Y

c

d

S

X

x2 = f2 (y)

x1 = f1 (y)

s

s sy

sx

s sx

sy

25

b. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X sebelah kiri x1 = a dan sebelah kanan x2 = b

Batas integral untuk sumbu Y sebelah atas y2 = f2 (x) dan sebelah bawah y1 = f1 (x)

b f2(x) Bentuk integralnya f(x,y) dy dx = f(x,y) dy dx S a f1(x)

Contoh 2 y2 2 y2 2 y2 2

1. Hitung (2x + 3y) dx dy Jawab: (2x + 3y) dx dy = [ x2 + 3yx ] dy = (y4 + 3y3 y2 3y2) dy 1 y 1 y 1 y 1

=

2

13

344

435

51 yyy

+ = 5487

34

43

51

332

532 )()12( =++

2. Hitung x dx dy pada daerah yang dibatasi parabola x = 6y y2 dan x = y2 2y Jawab:

Titik potong kedua parabola adalah 6y y2 = y2 2y 2y2 8y = 0 2y(y 4) = 0 untuk y = 0 maka x = 0 dan untuk y = 4 maka x = 8 Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (8, 4) Batas integral untuk X,

seb. kiri x = y2 2y dan seb. kanan x = 6y y2 Batas integral untuk Y,

seb. bawah y = 0 dan seb. atas y = 4

Jadi x dx dy = 4

0

2yy6

y22yx dx dy =

4

0

2yy6y22y

]2x21 dy =

4

021 y6 y2)2 (y2 2y)2 dy

= 4

02y322

1 8y3) dy = 2

1 [ 332 y3 2y4]

4

0 = 3

256

3. Hitung (x + y) dy dx pada daerah yang dibatasi parabola y = 6x x2 dan garis lurus y = x Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut: 6x x2 = x x2 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 dan x = 5 Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (5, 5) . Lihat gambar. Batas integral untuk X : kiri x = 0 dan kanan x = 5 Batas integral untuk Y : atas y = 6x x2 dan bawah y = x

+S

dxdy)yx( = +

2xx6

x

5

0dxdy)yx( = +

5

0

xx6

x

221 dx]yxy[

2

Y

a b

S

X

y2 = f2 (x)

y1 = f1 (x)

x = 6y y2 x = y2 2y

-1 3 5 8 9

1 2 3 4 5

y = 6x x2

0 3 5 6

9

5

y = x

1

26

= +++5

02

212432

2132 dx)}xx()xx12x36(xx6{

= =+5

0 46252

24534

21 dx)xx7x(

3.2 Luas Daerah Tertutup Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2 seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi xi dan yi dimana

xi = xi xi-1 dan yj = yj yj-1

Luas segiempat kecil tersebut = xi yj

Luas pendekatan seluruh daerah S didapat dari hasil penjumlahan: =

=

n

1ijyix

m

1j

Untuk n dan m diperoleh =

=

n

1ijyix

m

1jmnlim

= S

dydx

Ternyata luas suatu daerah tertutup adalah harga integral lipat dua dimana f(x, y) = 1 Jadi luas daerah tertutup S adalah L =

Sdydx

Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 2 x2 dan garis y = x Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut: 2 x2 = x x2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0 x = 1 dan x = 2 Jadi titik potongnya di (1, 1) dan ( 2, 2) . Lihat gambar. Batas integral untuk X : kiri x = 2 dan kanan x = 1 Batas integral untuk Y : atas y = 2 x2 dan bawah y = x

S

dxdy =

2x2

xdxdy

1

2 =

1

2dx

2x2

x]y[

=

1

2dx)x2x2( = 6

27 satuan luas

Y

c

d

S

X segi empat

K1 K2

y = 2 x2

(1,1)

(-2, -2)

y = x

(0, 0)

(0,2)

(-1,1)

27

3.3 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub

Misal S daerah tertutup pada bidang datar yang dibatasi kurva K. Daerah subbagian Sk dibatasi lingkaran dengan jari-jari ri dan ri + ri dan dua garis j dan j + j.

Luas Sk = luas DOC luas AOB = j2ir21j2)irir(2

1 +

= j2ir21jirir +

Jika terdapat fungsi F(r, ) dalam S maka terbentuk: F(r, ) [ ri ri j + 21 ri

2 j ]

Untuk n dan m diperoleh F(ri, j) [ ri ri j + 21 ri2 j ] = F(r, ) r dr d

Bentuk F(r, ) r dr d disebut "integral lipat dua fungsi F(r, ) pada daerah S" Jika F(r, ) = 1 maka luas daerah tertutup S adalah L = r dr d

Contoh :

1.

pi cos

0ddrsinr

0 =

pi

0d

cos

0]sin2r[2

1 =

pi

0dsin2cos2

1 =

31

03cos6

1=

pi

2.

pi cos4

2ddr3r

2

0 =

pi

2

0d

cos4

2]4r[

41

= pi

2

0d)44cos64(

karena )12(cos212cos += dan

2)12(cos414cos += = )12cos222(cos4

1 ++ = )12cos2)14(cos21(4

1 +++

maka = pi

++2

0d)2cos32204cos8( = 10 pi

3. Hitung luas daerah yang berada di luar lingkaran r = 2 dan di dalam kardioda r = 2(1 + cos ) Jawab:

Titik potong kurva: 2(1 + cos ) = 2 cos = 0 = 2pi

Luasan yang dicari, PQSRP, simetris terhadap sumbu X Jadi luas daerah PQSRP:

L = +

pi )cos1(2

2ddrr

2

02 =

pi

+2

0d

)cos1(22

]2r[

L = pi

+2

0d)2coscos2(4 = pi+=

pi

++ 8

2

02sin4

121sin24 satuan luas

kurva K Sk

ri

j

O

ri + ri ri

j + j j

A

B C

D

m

n lim

n m

S

S

S

O R Q X

Y

P

S

28

3.4 Integral Lipat Dua Pada Ruang 3D a. Volume Benda

Andaikan fungsi f(x, y) kontinu dan berharga tunggal untuk x dan y dalam S maka S = f(x, y) menyatakan suatu luasan. Luasan ini dipotong oleh silinder sejajar sumbu-Z dengan alas S dan atas S'. Ditarik garis-garis sejajar sumbu-Y dengan jarak x dan juga ditarik garis-garis sejajar sumbu-X dengan jarak y. Melalui garis-garis tersebut dibuat bidang-bidang datar yang masing-masing sejajar bidang YOZ dan XOZ. Terjadilah prisma-prisma tegak kecil, misalnya ABCD.PQRT yang mempunyai volume = f(x,y) x y

Jumlah seluruh volume prisma kecil tersebut = f(x,y) x y yang merupakan pendekatan volume silinder. Jika diambil x 0 dan y 0 maka didapat:

0y0x

lim

f(x,y) x y = f(x,y) dx dy

Jadi volume benda berbentuk silinder : V = S

f(x,y) dx dy

Contoh: Hitung volume benda yang dibatasi silinder x2 + y2 = 4, bidang y + z = 4 dan bidang z = 0 Jawab: Volume yang akan dihitung terletak di bawah permukaan z = 4 y dan di atas bidang

XOY sedangkan di kiri kanan dibatasi silinder x2 + y2 = 4

V =

2y4

2y4

dydxz2

2 =

2y4

2y4

dydx)y4(2

2=

2y4

0dydx)y4(

2

22

V = dy2y4

0x)y4(

2

22

= dy2y4)y4(2

22

Misal: y = 2 sin A, maka = 2y4 = A2sin44 = 2 cos A dan dy = 2 cos A dA

Batas y = 2 menjadi A = 2pi

dan y = 2 menjadi A = 2pi

. Sehingga volume menjadi

V = dAAcos2Acos2)Asin24(2

2

2

pi

pi

= dAA2cos)Asin24(2

2

8

pi

pi

Y

S A B

S'

C D

P Q R T

X

Z

Y

X

Z

29

V = dAA2cos2

2

32

pi

pi

dAA2cosAsin2

2

16

pi

pi

= dA)1A2(cos2

2

16 +

pi

pi

+ AcosdA2cos2

2

16

pi

pi

V = 2

2

AA2sin2116

pi

pi

+ + 2

2

3cos3

16pi

pi

= 16(0+2pi

0 +2pi ) +

316 (0 0) = 16pi

3.5 Integral Lipat Tiga

Integral lipat 3 R

dV)z,y,x(f dari suatu fungsi 3 variabel bebas terhadap daerah tertutup R,

bervolume V, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan pengembangan dari integral tunggal dan lipat dua.

Jika f(x, y, z) = 1, maka integral menjadi R

dV adalah volume daerah R

Dalam sistem koordinat kartesian, integral lipat tiga menjadi:

R

dV)z,y,x(f = dxdydz)z,y,x(f)y,x(2z

)y,x(1z

)x(2y

)x(1yb

a

Contoh :

1. Hitunglah dydzdxxz21

)2x16(2z16

0

4

0

2

0

pi

Jawab: dydzdxxz21

)2x16(2z16

0

4

0

2

0

pi

= dyzdz)2x16(d21

)2x16(2z16

0

4

0

2

021

pi

= dyzdz2z16

023

)2x16(324

0

2

021

pi

= dyzdz}23

)24(23

)2z{(4

0

2

031

pi

= dyzdz)343z(4

0

2

031

pi

= dydz)z344z(4

0

2

031

pi

= dy4

0)2

02z

2345z5

1(31

pi

= dy)20 2

54554(3

1

pi

= dy)20 2

151(3

54

pi

= dy2

01054

pi

= [ ] 20

y10

54pi

= 210

54 pi = pi5

256

30

TUGAS MANDIRI BAB III

Tugas Subbab 3.1

1. Hitung S

x dydxye pada daerah yang dibatasi sumbu x, sumbu y, x = 1 dan garis y = x

2. Hitung S

2 dxdyxy pada daerah yang dibatasi parabola y = x2, garis lurus y = x, x = 1 dan x = 2

3. Hitung a. +

x2

x2

3

1dxdy

)yx(1

e. pi ysin

00dydx

b. pi

pi

3

2

y

0 yx dydxcos

f. +

2x1

0221

0dxdy)yx(

c.

2x1

0221

0dxdyyx1 g.

1

y21

0dydxxsin

d. pi cos1

00ddrr h.

pi 22 x

0 xy

1dxdysin

Tugas Subbab 3.2 Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva di bawah ini menggunakan integral lipat dua 1. y = 4x x2 dan y = x 3. y2 = 4x dan x = 12 + 2y y2 5. y2 = 9 + x dan y2 = 9 3x 2. y2 = 4x dan 2x y = 4 4. y2 = 2x dan x2 + y2 = 4x

Tugas Subbab 3.3 Hitung luas dengan integral lipat dua untuk soal berikut: 1. Luas daerah di dalam lingkaran x = 3 cos dan di luar lingkaran r = cos 2. Luas daerah di dalam kardioda r = 1 + cos dan di luar parabola r (1 + cos ) = 1 3. Luas daerah yang dibatasi oleh lemniskat r2 = a2 cos 2

Tugas Subbab 3.4 1. Hitung volume benda di depan bidang YOZ dan dibatasi oleh y2 + z2 = 4 dan y2 + z2 + 2x = 16 2. Hitung volume benda di bawah 4z = 16 4x2 y2 di atas z = 0 dan di dalam silinder x2 + y2 = 2x 3. Hitung volume benda di kuadran satu terletak di dalam y2 + z2 = 9 dan di luar y2 = 3x

Tugas Subbab 3.5 1. Hitunglah

RdV)x(f dengan f(x) = x2 + y2 + z2 dan R adalah daerah

yang dibatasi oleh x + y + z = 10, x = 0, y = 0, dan z = 0 2. Hitunglah volume dari R yang dibatasi oleh silinder z = 4 x2 dan

bidang-bidang x = 0, y = 0, y = 6, dan z = 0 3. Hitung integral lipat tiga dari f(x, y, z) = z terhadap daerah R yang terletak di kuadran pertama

dan dibatasi oleh bidang-bidang x + y = 2 dan 2y + x = 6, dan silinder y2 + z2 = 4