BAB IBILANGAN

A. TUJUANPada akhir kegiatan ini mahasiswa-mahasiswi diharapkan dapat: 1. Menjelaskan noperasi pada bilangan bulat 2. Menjelaskan konsep dasar sistem bilangan rasional3. Memahami macam-macam bilangan yang termasuk bilangan real4. Membedakan bilangan prima dengan bilangan komposit

B. BILANGAN BULATBilangan bulat merupakan perluasan dari bilangan cacah. Himpunan bilangan bulat digunakan untuk menjawab permasalahan yang tidak terjawab pada semesta bilangan cacah. Misal, tidak ada jawaban untuk permasalahan 3 - 5 pada semesta bilangan cacah. Dengan kata lain, terdapat beberapa kekurangan, apabila semesta pembicaraan tetap dipertahankan pada himpunan bilangan cacah. Oleh karena itu, perlu adanya perluasan bilangan cacah yang selanjutnya menjadi himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan asli, yaitu {1, 2, 3, 4, ...} yang selanjutnya disebut himpunan bilangan bulat positif, bilangan nol dan himpunan lawan dari bilangan asli, yaitu {-1, -2, -3, .... } yang selanjutnya disebut himpunan bilangan bulat negatif. Jadi, himpunan bilangan bulat adalah {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }. Sedangkan gabungan bilangan nol dan bilangan asli disebut dengan bilangan cacah. Jika dilihat dari gambar di atas, dapat diartikan bahwa untuk bilangan bulat positif (bilangan asli) digambarkan sebagai jarak berarah ke kanan pada garis bilangan yang dimulai dari 0 (nol). Untuk bilangan bulat negatif digambarkan sebagai jarak berarah ke kiri pada garis bilangan yang dimulai dari 0. Bilangan 0 adalah bilangan yang tidak negatif dan tidak positif, disebut juga bilangan netral. 1. OPERASI PADA BILANGAN BULATa) Penjumlahan dan penguranganSelanjutnya akan dijabarkan bagaimana menjumlahkan dan mengurangkan dua bilangan bulat. Penjumlahan dan pengurangan dua bilangan bulat mencakup delapan operasi berikut. 1. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif. 2. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. 3. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. 4. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif. 5. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif. 6. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. 7. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. 8. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif. Untuk pengurangan bilangan bulat tidak secara eksplisit diuraian pada pembahasan ini, karena pengurangan pada dasarnya adalah penjumlahan dengan lawannya. Sifat operasi hitung penjumlahan bilangan bulat :1. Tertutup2. Komutatif3. Asosiatif4. Unsur Identitas5. Inversb) Perkalian dan pembagian Selanjutnya diuraikan bagaimana mengalikan dan membagi dua bilangan bulat. Perkalian dan pembagian bilangan bulat mencakup delapan operasi, yakni: 1. perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, 2. perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, 3. perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, 4. perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif,Sifat operasi hitung penjumlahan bilangan bulat :1. Tertutup2. Komutatif3. Asosiatif4. Unsur Identitas5. Invers6. Sifat distributiveC. BILANGAN REALPerhatikan bagan dibawah ini :

Dengan melihat bagan di atas tampak letak posisi bilangan real, dimana bilangan real terdiri dari dua sistem bilangan yaitu bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional terdiri dari bilngan bulat dan pecahan, bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah, bilngan asli dan nol. Semua bilangan tersebut telah kita bahas kecuali bilangan irasional. Untuk sekedar mengingatkan kembali pada pertemuan sebelumnya, telah kita bahas macam-macam sistem bilangan berikutBilangan asli Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan N. Dengan cara tabulasi himpunan N dapat dinyatakan sebagai N = {1,2,3,4,5}Bilangan cacahHimpunan bilangan cacah dilambangkan dengan C. Dengan cara tabulasihimpunan C dapat dinyatakan sebagai C = {0 ,1,2,3,4,5}

Bilangan bulat Bilangan bulat terdiri dari: a) bilangan asli atau bilangan bulat positif, b) bilangan nol, dan c) bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan Z. Dengan cara tabulasi himpunan Z dapat dinyatakan sebagai Z= {...,3 ,2,1 ,0,1 ,2,3,...}Bilangan Pecahan

Yang dimaksud dengan bilangan pecahan adalah suatu bentuk bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut yang masing-masing merupakan bilangan bulat dengan syarat dan a < b.Bilangan PrimaHimpunan bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua factor yakni 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima dilambangkan dengan P.Bilangan RasionalBilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai dimana a, b Z , b adalah bilangan bulat, dan b 0 . Bilangan rasionaldilambangkan dengan QBilangan IrasionalBilangan irrasional mempunyai ciri-ciri berikut. 1. Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat2. Bilangan irrasional bukan merupakan bilangan pecahan. 3. Jika bilangan irrasional ditulis dalam bentuk desimal, bilangan itu tidak mempunyai pola berulang secara teratur. 4. Pola bilangan irasional tidak akan berakhir. 5. Jika bilangan desimal mempunyai pola berulang secara teratur maka bilangan tersebut adalah bilangan rasional, sedangkan angka-angkanya tidak berulang. 6. Contoh; 0,373373337333373333373333337... adalah bilangan irrasional, sebab Bilangan merupakan contoh bilangan irrasional. bukan 22/7 atau 3,1416 tetapi adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang. Pendekatan sampai 20 angka desimal adalah : 3,14159265358979323846.

Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya dalam beberapa tahun, kelompok matematikawan dan Phytagoras menyatakan dengan tegas bahwa tidak ada bilangan yang tidak rasional. Tetapi pada suatu hari mereka mulai bertanya: berapakah panjang sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja jika panjang sisinya a maka a x a = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri sama dengan 2 ? akhirnya dibuktikan tidak rasional. Contoh lain bilangan irrasional :, , = 3,1415..., e = 2,71828...

Bentuk akarAkar kuadrat dari suatu bilangan adalah satu dari dua faktor yang sama. Bentuk akar ini banyak yang merupakan bilangan irasional.Cara-cara penyelesaian bentuk akar :1.

2.

3.

4.

5.

Bilangan real Bilangan real adalah bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan real dapat dikorespondensikan dengan titik pada suatu garis. Artinya setiap titik pada garis ini dapat dikorespondensikan satu-satu dengan setiap bilangan real, garis ini disebut garis bilangan. Sekarang silakan menyebutkan suatu bilangan real sebarang, maka kita pasti dapat menunjuk suatu titik pada suatu garis bilangan yang menyatakan posisi dari bilangan real yang mewakili titik itu.Himpunan bilangan real dilambangkan dengan R. Karena komponen bilangan real telah di bahas pada paket sebelumnya. Oleh sebab itu, dalam paket ini akan dibahas bilangan irasional. Jenis-jenis Bilangan Real 1. Seluruh bilangan bulat yaitu seluruh bilangan cacah positip, negatif dan nol 2. Pecahan 3. Bilangan desimal yang mempunyai tempat desimal terbatas 4. Bilangan desimal yang mempunyai tempat desimal tak terbatas, dan digitnya berulang terus-menerus 5. Bilangan irasional

Sifat Operasi Bilangan Real1. Sifat tertutup (terhadap perjumlahan dan perkalian)2. Komutatif (terhadap perjumlahan dan perkalian)3. Asosiatif (terhadap perjumlahan dan perkalian)4. Distributif (perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan)5. Identitas (identitas penjumlahan dan perkalian)6. Invers (terhadap penjumlahan dan perkalian)

D. BILANGAN PRIMASalah satu metode yang biasa digunakan untuk menentukan pembagi suatu bilangan adalah menggunakan kertas berpetak dan menampilkan bilangan itu sebagai suatu luas dari suatu persegi panjang. Misalnya 12 dapat disajikan dengan menampilkan persegi-persegi panjang dengan susunan 1 baris 12 kolom, 2 baris 6 kolom, 3 baris 4 kolom. Dengan demikian 12 itu mempunyai 6 pembagi yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Lalu bagaimana dengan 5, 7, 9, 11, dan bilangan-bilangan lain? Untuk bilangan 7, kita hanya dapat menampilkan suatu persegi panjang dengan susunan 1 baris 7 kolom atau 7 baris 1 kolom. Dengan demikian 7 hanya mempunyai 2 pembagi yang berbeda, yaitu 1 dan 7. Faktorisasi PrimaSuatu faktorisasi yang memuat hanya bilangan-bilangan prima disebut faktorisasi prima. Untuk menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan komposit yang diberikan, pertama kita tulis kembali bilangan tersebut sebagai suatu hasil kali dua bilangan-bilagan yang lebih kecil, kemudian pemfaktoran bilangan-bilangan yang lebih kecil sampai seluruh faktor-faktor adalah bilangan-bilangan prima. Contoh Perhatikan bilangan 260. 260 = 2 . 2. 5 . 13 = 22 . 5 . 13 Salah satu cara untuk menemukan seluruh bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat yang diberikan adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes. Jika semua bilangan asli lebih besar 1 ditempatkan pada suatu saringan maka bilangan yang bukan bilangan prima diberi tanda silang (artinya jatuh melalui lobang saringan). Bilangan-bilangan yang tersisa adalah bilangan-bilangan prima. Prosedur berikut mengilustrasikan proses penyaringan ini. 1. Pada tabel 2 di bawah, berilah tanda silang bilangan 1 karena bukan bilangan prima.2. Lingkari bilangan 2 karena 2 bilangan prima. 3. Silanglah bilangan-bilangan kelipatan 2 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima. 4. Lingkari bilangan 3 karena 3 bilangan prima. 5. Silanglah bilangan-bilangan kelipatan 3 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima. 6. Lingkari bilangan 5 dan 7, silang bilangan kelipatannya. 7. Berdasarkan data pada tabel tersebut, berhentilah pada langkah ke-6 karena 7 adalah bilangan prima terbesar yang kuadratnya kurang dari 100. Semua bilangan tersisa yang didaftar dan yang tidak disilang adalah bilangan prima.

E. BAHAN DISKUSI DAN PRESENTASI1. Salma membeli beberapa buah apel di sebuah toko buah-buahan. Setengah dari seluruh apel yang dibeli oleh Salma diberikan Dita. Kemudian Salma memakan sebuah apel. Sisanya sebanyak 8 apel dibawa Salma pulang ke rumah. Berapa buah apel yang dibeli Salma dari toko buah-buahan? 2.

Budi seorang pemimpin dikelompoknya. Ia mendapat dana tetapi yang baru keluar adalah dari Rp.9.000.000,00. Pada hari berikutnya dana telah cair seluruhnya. Tiba-tiba kelompok harus mengeluarkan dana dari dana yang diperolehnya. Berapa rincian dana kelompok budi yang diterima pertama, kemudian diterima berikutnya dan dana yang tersisa?3. Sebidang tanah berbentuk persegi akan dijual dengan harga seluruhnya adalah Rp.100.000.000,-. Luas seluruhnya 245.000 m2 . Hitunglah panjang dan lebar tanah tersebut dan berapa harga per m perseginya! 4. Jika sebuah pizza mempunyai diameter 20 cm, akan dibagikan pada 5 orang, berapa luas pizza tersebut dan berapa luas bagian masing-masing orang? 5. Jika luas bujur sangkar itu 1575 m2, berapa panjang dan lebarnya? Jika bujur sangkar itu diisi oleh bujur sangkar kecil yang berukuran panjang dan lebar , ada berapa bujur sangkar kecil?6. Dalam kelas Pak Andi, murid-murid bertanya kepada pak Andi tentang usia anak-anaknya. Pak Andi menjawab, saya mempunyai tiga orang anak. Hasil kali usia mereka adalah 72 dan jumlah usia mereka adalah bilangan yang ada di atas pintu ruangan ini. Seorang siswi, Ani, mengatakan bahwa nomor ruangan ini adalah 14, tetapi ia masih meminta kepada pak Andi untuk memberi informasi tambahan sehingga soal ini dapat dipecahkan. Pak Andi kemudian menyatakan bahwa anak tertuanya adalah seorang pemain catur yang baik. Selanjutnya, Ani menyampaikan secara tepat usia ketiga anak pak Andi. Berapa usia ketiga anak pak Andi yang disampaikan oleh Ani? 7. Sebuah drum berisi minyak 4/5 bagian. Kemudian, dari drum itu diambil minyak sebanyak 11 liter, ternyata isi drum itu tinggal 1/4 bagian. Banyaknya minyak yang harus diisikan agar drum berisi penuh adalah ... liter.8. Uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2 : 5 : 9. Jika jumlah uang mereka Rp80.000,00 maka selisih uang Ali dan Cahya adalah .9. Sebuah kebun 1/4 bagian ditanami kacang, 3/5 bagian ditanami kedelai, dan sisanya ditanami tomat. Persentase lahan yang ditanami tomat adalah ....10. Sebuah truk pengangkut semen membawa semen 100 sak. Semen dikirim ke distributor A dan B masing-masing sebanyak 37 sak dan 29 sak, semenrara sisanya dikirim ke distributor C. Jika harga semen tiap saknya Rp50.000,00 maka nilai rupiah dari semen yang dikirim ke distributor C adalah ....

F. LATIHAN MANDIRI1. Harga sebatang sabun mandi di warung bu Siti Rp.900,00. Kalau membeli banyak, harga rata-rata sebatang sabun mandi di toko pak Husin lebih murah Rp.55,00. Berapa harga 144 batang sabun mandi kalau kita membeli di toko pak Husin?2. Badru mempunyai satu bundel tiket sepak bola untuk dijual. Pada hari Minggu ia dapat menjual 10 lembar tiket kepada keluarganya. Pada hari Senin ia dapat menjual setengah dari banyak tiket yang tersisa. Pada hari Selasa ia menjual 5 tiket kepada teman sekolahnya dan 2 tiket terakhir kepada dua orang gurunya. Berapa lembar tiket yang ada dalam satu bundel?3. Buktikan bahwa bilangan asli tidak terbatas4. Ubahlah masing-masing decimal berulang berikut ini ke dalam bentuk bilangan rasional a. 0,123123123b. 0,217217217c. 0,3333333d. 0,1999999e. 0,2475247524755. Buktikan hasil jumlah dan hasil kali dua bilangan rasional adalah rasional6. Buktikan hasil jumlah dan hasil kali bilangan rasional dan irasional adalah irasional7. Berdasarkan 5) dan 6) bagaimana hasil jumlah dan hasil kali dua bilangan irasional?8. Seorang petani memiliki lahan seluas 1 hektar dan 3/5 bagian akan digunakan untuk menanam jagung. Setiap meter persegi memerlukan jagung1,5 ons. Jika harga bibit jagung Rp. 2.000/kg maka biaya membeli jagung seluruhnya adalah?9. Jumlah dua bilangan adalah 153. Bilangan yang satu besarnya dua kali bilangan yang lain. Kedua bilangan tersebut adalah10. Jumlah dua pecahan adalah 1,25 dan selisihnya 0,25. Kedua pecahan itu adalah?

BAB IIKELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

G. TUJUANPada akhir kegiatan ini mahasiswa-mahasiswi diharapkan dapat: 1. mencari kelipatan suatu bilangan, 2. menentukan kelipatan persekutuan dari dua bilangan atau lebih,3. menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan atau lebih. 4. mencari faktor persekutuan dari dua bilangan, 5. mencari FPB dari dua bilangan atau lebih 6. menggunakan algoritma pembagian Euclid guna mencari FPB dari dua bilangan atau lebih.

H. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECILUntuk memahami konsep kelipatan suatu bilangan, perhatikan ilustrasi pada garis bilangan di bawah ini.

-1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Bila kita melompat tiga-tiga sebanyak empat kali dari 0, maka akan sampai ke 12. Hal ini dapat dinyatakan dengan 12 = 4x3. Oleh karena itu, 12 merupakan kelipatan dari 3. Demikian juga, dari 0 dapat dilakukan lompatan tiga-tiga sebanyak 5 kali untuk sampai ke 15. Jadi, 15 dapat dituliskan menjadi 15 = 5x3, yang berarti 15 merupakan kelipatan 3. Enam juga merupakan kelipatan 3 sebab dari 0 dapat dilakukan lompatan tiga-tiga sebanyak dua kali untuk sampai di 6, yang berarti 6 = 2x3. Ilustrasi ini menunjukkan bahwa kelipatan dari 3 tidak tunggal, melainkan sangat banyak dan tak terbatas. Sifat Dasar Perkalian Setiap bilangan komposit dapat difaktorkan secara tunggal ke dalam suatu hasil kali bilangan-bilangan prima. Sifat ini menetapkan bahwa jika x sebarang bilangan komposit, maka x dapat ditulis menjadi x = dengan bilangan prima. Contoh Carilah faktor prima dari 450. Jawaban 450 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima dari 2, 3, dan 5. Dengan demikian 450 dapat dinyatakan sebagai 450 = 2.3.3.5.5 Definisi Bilangan asli c disebut kelipatan dari bilangan asli a, jika a membagi habis c. Contoh12 adalah kelipatan 3 sebab 12 : 3 = 4 (Jadi 12 habis dibagi 3). 18 adalah kelipatan dari 9 sebab 18 : 9 = 2 (Jadi 18 habis dibagis 9). Konsep habis dibagi dalam konteks ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Suatu bilangan habis dibagi dengan bilangan lain, jika hasil baginya adalah bilangan asli dan sisanya nol, seperti 12 : 6 = 2. Hal ini berarti 12 habis dibagi oleh 6 atau 6 merupakan pembagi 12. Sebaliknya, jika akan dicari kelipatan suatu bilangan maka cukup mengalikan bilangan tersebut dengan suatu bilangan asli. Misalnya kelipatan dari 7 di antaranya 14 karena 14 = 7.2 atau 21 karena 21 =7.3, atau 28 karena 28 = 7.4, atau 77 sebab 77 = 7.11 dan sebagainya. Jadi 14, 21, 28, 77 adalah kelipatan dari 7. Dari contoh 3 dan 4 di atas, terlihat bahwa kelipatan persekutuan dari dua bilangan dapat membesar tanpa batas, namun dua bilangan tersebut mempunyai kelipatan persekutuan yang paling kecil. Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari dua bilangan itu disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi Bilangan bulat positif m adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dua bilangan positif p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q. Berdasarkan contoh 4, kelipatan persekutuan dari 3 dan 5 adalah 15, 30, 45, 60, 75, ...., sedangkan kelipatan persekutuan terkecil dari 3 dan 5 adalah 15 dan ditulis KPK (3,5) = 15. Proses untuk menemukan KPK dengan cara menemukan kelipatan persekutuan dan kemudian memilihnya yang terkecil adalah suatu proses yang tidak praktis. Oleh karena itu, perlu dicari metode lain yaitu menggunakan metode pemfaktoran prima sebagaimana disajikan pada contoh 5 berikut. Contoh Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 15 dan 24! Jawaban 15 = 3.5 dan 24 = 23. 3. Jika masing-masing faktor prima mempunyai sifat membagi KPK, maka KPK dari 15 dan 24 merupakan perkalian dari 23, 3 dan 5 Jadi KPK (15, 24) = 23 . 3. 5 = 120. Secara umum, KPK dari dua bilangan bulat positif adalah hasil kali perpangkatan tertinggi dari semua faktor prima yang terjadi dalam pemfaktoran masing-masing. Contoh Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 75 dan 60! Jawaban 75 = 3. 25 = 3. 5. 5 = 3. 52 dan 60 = 15. 4 = 3.5.2.2 = 3. 5. 22. Dengan demikian, KPK dari 75 dan 60 adalah KPK (75, 60) = 22 .3. 52 = 4.3.25 = 300. Kelipatan persekutuan terkecil dari 3 atau lebih bilangan bulat positif dapat ditemukan dengan terlebih dahulu mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan itu, sepasang demi sepasang. Misalnya akan dicari KPK dari p, q, r, s maka perlu dicari terlebih dahulu KPK dari bilangan p dan q serta KPK dari bilangan r dan s. Bila KPK (p,q) = m1 dan KPK (r,s) = m2 maka KPK (p,q,r,s) = KPK (m1, m2). Contoh Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 42, 96, 18 dan 104. Jawaban KPK (42, 96) = 672 dan KPK (18, 104) = 936. KPK (42, 96, 18, 104) = KPK (672, 936) = 26208. Apa yang terjadi jika dikelompokkan dengan pasangan lain. Cobalah Anda kerjakan sendiri sebagai latihan. Perhatikan bilangan-bilangan berikut beserta perkalian faktor-faktornya di bawah ini. 14 = 7.2 14 = 14.1 180 = 2.2.3.3.5 Berdasarkan ilustrasi di atas, maka 1, 2, 7, 14 merupakan faktor-faktor dari 14. Demikian juga 2, 3, 5 merupakan faktor-faktor dari 180. Selanjutnya pengertian faktor suatu bilangan secara rinci akan disajikan dalam definisi 1 berikut. Definisi Bilangan bulat positif p dinamakan faktor dari q jika p habis membagi q. Konsep p habis membagi q pada definisi 1, dimaksudkan bahwa terdapat bilangan bulat r sedemikian hingga q = p.r. Contoh 2 adalah faktor dari 6 sebab 2 habis untuk membagi 6 dan 6 = 2.3. 7 adalah faktor dari 28 sebab 7 habis untuk membagi 28 dan 28 = 7. 4. Contoh Carilah factor dari 72. Jawaban Faktorisasi dari 72 adalah: 72 = 36. 2 = 18. 2.2 = 9.2.2.2 72 = 24. 3 = 8.3.3 = 4.2.3.3 72 = 12. 6 72 = 9. 6 72 = 18. 4 72 = 72.1 Dengan demikian, faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72. Untuk mencari faktor persekutuan dari dua bilangan atau lebih, dapat dilakukan dengan cara menentukan faktor dari masing-masing bilangan kemudian diidentifikasi mana yang sama. Contoh Tentukan faktor persekutuan dari 18 dan 24. Jawaban Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18. Faktor-faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Dengan demikian faktor-faktor persekutuan dari 18 dan 24 adalah 1, 2, 3, 6.

Contoh Carilah faktor persekutuan dari 18, 24 dan 56. Jawaban Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18. Faktor-faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Faktor-faktor dari 56 adalah 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Dengan demikian faktor-faktor persekutuan dari 18, 24 dan 56 adalah 1 dan 2. I. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) Berdasarkan contoh sebelumnya, setiap faktor persekutuan ada yang terbesar, sedangkan faktor terkecilnya selalu 1. Hal ini disebabkan 1 merupakan faktor dari semua bilangan. Bilangan terbesar pada faktor persekutuan itu disebut faktor persekutuan terbesar, disingkat FPB. Selanjutnya uraian tentang definisi FPB sebagaimana definisi 2 berikut. Definisi Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat posistif p dan q adalah bilangan bulat positif terbesar r sehingga r mampu membagi habis p dan q sekaligus. Dari definisi di atas terlihat bahwa FPB dari dua bilangan bulat positif adalah sebuah bilangan bulat terbesar yang dapat digunakan untuk membagi (habis) keduanya. Definisi itu dinotasikan dengan r = FPB (p,q). Untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat positif adalah sangat sederhana jika bilangannya kecil.Langkah-langkah menentukan FPB dari dua bilangan atau lebih: 1. Menentukan semua faktor-faktor dari masing-masing bilangan yang akan dicari FPB-nya; 2. Mencari faktor persekutuan yang terbesar (FPB). Contoh Carilah FPB(18,24)! Jawaban Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18. Faktor-faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. FPB(18,24) = 6 Untuk menentukan FPB dapat pula dilakukan dengan langkah-langkah: 1. tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian faktor primanya, 2. pilih faktor prima yang menjadi faktor persekutuan kedua bilangan, dan 3. hasil perkalian semua faktor persekutuan adalah FPB-nya. Contoh Carilah faktor persekutuan terbesar dari 60 dan 90! Jawaban Karena 60 = 22. 3.5 dan 90 = 2.32.5, maka 2, 3, dan 5 merupakan faktor prima sekutu dari 60 dan 90. Dengan demikian FPB (60, 90) = 2.3.5 = 30. Contoh Carilah faktor persekutuan terbesar dari 252 dan 270. Jawaban Karena 252 = 22. 32.7 dan 270 = 2.33.5, maka 2 dan 32 merupakan faktor sekutu dari 252 dan 90. Dengan demikian FPB (252, 270) = 2.32 = 18. ContohCarilah FPB (12,35)! Jawaban 12 = 22. 3 35 = 5.7 Karena tidak mempunyai faktor prima sekutu, maka FPB (12,35)=1. Dua bilangan yang tidak mempunyai faktor prima sekutu semacam ini disebut prima relatif. Sedangkan FPB dari bilangan p, q, dan r dapat dicari dengan cara mencari FPB dari bilangan p dan q terlebih dahulu atau sebaliknya. Misalkan FPB (p,q) = k maka FPB (p, q, r) = FPB (k, r). Atau dapat juga menemukan FPB (p,q) = k dan FPB (q, r)= f, maka FPB (p, q, r) = FPB (k, f). Hal ini dapat diperluas untuk menemukan FPB dari empat bilangan atau lebih. Contoh Carilah faktor persekutuan terbesar dari 108, 72 dan 66! Jawaban Terlebih dahulu dicari FPB (108, 72) = 22. 3 =12. Dengan demikian FPB (108,72, 66) = FPB (12, 66) = 6. Cara lain yang dapat dilakukan adalah FPB (108, 72) =12 dan FPB (72, 66) = 6. Dengan demikian, FPB (108,72, 66) = FPB(12, 6) = 6. Proses menuliskan bilangan sebagai perkalian bilangan prima untuk menemukan FPB dua bilangan dapat digunakan untuk mencari FPB dari tiga bilangan atau lebih. Berdasarkan contoh 8, dapat ditulis kembali dalam formula berikut. 108 = 22.3 72=23.32 66 = 2.3.11 Jadi FPB (108, 72, 66) = 2. 3 = 6. Namun cara di atas tidak praktis bila bilangan yang akan dicari FPB-nya adalah bilangan yang besar. Dalam hal demikian, diperlukan metode yang lebih praktis untuk menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada algoritma berulang dan lebih dikenal dengan metode algoritma Euclides. Menurut algoritma Euclides, bilangan positif a dan b dengan a b selalu dapat ditulis menjadi: a = bq + r dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 r < b. ContohCarilah faktor persekutuan terbesar dari 315 dan 220! Jawaban Menurut algoritma pembagian Euclides, 315 = 1. 220 + 95 dan 0 95 < 220. Jadi FPB (315, 220) = FPB (220,95). 220 = 2. 95 + 30 dan 0 30 < 95. Jadi FPB (220, 95) = FPB (95, 30). 95 = 3. 30 + 5 dan 0 5 < 30. Jadi FPB (95, 30) = FPB (30, 5). 30 = 6. 5 + 0 dan 0 0 5. Pernyataan ini menunjukkan bahwa FPB (315, 220) = 5. Contoh Carilah faktor persekutuan terbesar dari 7286 dan 1684! Jawaban 7286 = 4. 1684 + 550, sehingga FPB (7286, 1684) = FPB (1684, 550). 1684 = 3. 550 + 34, sehingga FPB (1684, 550) = FPB (550, 34). 550 = 16. 34 + 6, sehingga FPB (550, 34) = FPB (34, 6). 34 = 5. 6 + 4, sehingga FPB (34, 6) = FPB (6, 4). 6= 1.4 + 2, sehingga FPB (6, 4) = FPB (4, 2). 4= 2. 2, sehingga FPB (4, 2) = 2.Dengan demikian, FPB (7286, 1684) = FPB (4, 2) = 2.

J. HUBUNGAN ANTARA KPK DAN FPB Untuk menentukan KPK atau FPB dari dua bilangan, jika salah satunya diketahui dapat dilakukan dengan rumus berikut. KPK(a,b) = (a.b) : FPB(a,b), atau FPB(a,b) = (a.b) : KPK(a,b). Contoh Tentukan FPB dan KPK dari 16 dan 24! Jawaban 16 = 24 24 = 23 .3 FPB (16,24) = 23 = 8 KPK (16,24) = (16. 24) : 8 = 48. Contoh Tentukan FPB dan KPK dari 42 dan 144! Jawaban 42 = 2.3.7 144 = 24 . 32 FPB (42,144) = 2.3 = 6 KPK (42,144) = (42.144) : 6 = 1008

K. BAHAN DISKUSI DAN PRESENTASI1. Tiga orang satpam mendapat giliran jaga pada malam hari. Satpam pertama mendapat giliran tiap 2 hari sekali. Satpam kedua setiap 5 hari sekali, sedangkan satpam ketiga setiap 6 hari sekali. Jika tanggal 1 Desember 2008, untuk pertama kali semua bertugas bersama-sama, tentukan pada tanggal berapa mereka akan bertugas bersama-sama untuk kedua kalinya!2. a. Bilamanakah KPK (p,q) = pq? b. Bilamanakah KPK (p,q) = q? 3. Misalkan p = a3b2c5 dan q = a2b3c4 untuk a, b, dan c bilangan-bilangan prima yang berbeda. Nyatakan KPK (p,q) sebagai hasil kali dari bilangan bilangan prima. 4. Irfan dan Rian adalah mahasiswa dan mahasiswi semester akhir pada salah satu perguruan tinggi di kupang. Irfan pergi ke kampus untuk konsultasi skripsinya 3 hari sekali dan Rian 5 hari sekali. Jika Irfan terakhir ke kampus tanggal 12 Maret 2008 dan Masulah tanggal 17 Maret 2008, maka tanggal berapakah paling cepat mereka dapat bertemu di kampus secara bersama-sama?

L. LATIHAN MANDIRI1. Tiga orang anak berlatih bulu tangkis di tempat yang sama dengan jadwal yang berbeda. Florin berlatih setiap 2 hari sekali, Ama berlatih setiap 4 hari sekali dan Bai berlatih 3 hari sekali. Jika pada tanggal 24 Agustus 2008 mereka berlatih bersama-sama, maka mereka akan berlatih bersama-sama lagi pada tanggal.2. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 3p2q dan 12pq3 adalah...........3.

Faktor persekutuan terbesar dari dan adalah.4. Sebuah distributor (penyalur) semen di toko Besi Baja mendapat setoran 4 rit semen, setiap rit berisi 16 sak semen. Oleh agen tersebut akan disetorkan secara merata kepada 8 agen yang ada di beberapa kecamatan. Berapa sak semen yang diterima oleh masing-masing agen?5. Ibu Maryam seorang distributor di kota X menerima kiriman beras sebanyak 6 rit yang masing-masing rit berisi 12 karung, yang akan dibagi rata pada 9 agen di beberapa kecamatan, berapa karung beras yang akan diterima para agen tersebut?6. Sebuah truk berisi 72 sak semen disetor ke agen penyalur A. Oleh agen A tersebut seluruh semen akan disetor secara merata kepada 9 agen penyalur yang lebih kecil yakni penyalur B, C, D, E, F, G, H, I, dan J. Jika setiap sak semen yang disetor ke agen penyalur dijual dengan harga Rp 40.000,00 berapa rupiah uang yang harus dibayarkan oleh masing-masing penyalur tersebut kepada agen penyalur A?

BAB IIISTATISTIKA

A. Tujuan Pada akhir kegiatan ini mahasiswa//I diharapkan dapat :1. Memahami materi populasi dan sampel,2. Memahami berbagai bentuk pengumpulan data, penyajiannya, dan interpretasinya. 3. Membantu memahami ukuran pemusatan B. Populasi dan SampelPopulasi dan sampel merupakan istilah yang sering dipakai dalam bidang penelitian. Dalam penelitian populasi dan sampel merupakan objek yang akan dijadikan dasar penarikan kesimpulan suatu penelitian. Untuk membuat kesimpulan terhadap populasi, para peneliti cukup menguji sampelnya, dengan catatan populasinya benar-benar homogen. Ilustrasi Seorang pedagang ingin membeli lima karung jeruk untuk dijual kembali. Pedagang tersebut ingin menguji rasa jeruk tersebut. Bagaimana cara pedagang tersebut menguji rasa jeruk tersebut? 1. Apakah pedagang tersebut mencoba semua jeruk yang akan dibeli? 2. Atau apakah pedagang tersebut cukup mengambil beberapa jeruk dari masing-masing karung dan memutuskan kemanisan semua jeruk? Tentunya yang dilakukan pedagang adalah pilihan kedua, bagaimana mungkin mencoba jeruk lima karung? Jadi untuk menguji kemanisan lima karung jeruk, cukup mencoba beberapa jeruk dari masing-masing karung. Ketika beberapa jeruk itu manis, maka bisa disimpulkan lima karung jeruk tersebut manis. Dalam kasus di atas, lima karung jeruk tersebut dinamakan populasi dan beberapa jeruk yang diambil dari lima karung jeruk dinamakan sampel. Definisi: 1. Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti atau diukur. 2. Sampel adalah bagian dari populasi yang akan diolah untuk mendapatkan kesimpulan terhadap populasi. ContohSeorang mahasiswa ingin mengetahui nilai UAN siswa SD se Jakarta. Untuk keperluan itu, mahasiswa tersebut mengambil beberapa SD di masing-masing kabupaten. Pengambilan beberapa SD tersebut dinamakan sampel dan seluruh SD di Jawa Timur dinamakan populasi. Coba berikan beberapa contoh yang menggambarkan adanya populasi dan sampel !C. Penyajian Data Penyajian data dalam bentuk tabel atau diagram sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, suatu Perguruan Tinggi ingin mengetahui pertambahan jumlah mahasiswa-mahasiswi baru dari tahun ke tahun biasanya data mahasiswa-mahasiswi disajikan dalam bentuk tabel ataupun diagram batang dan diagram garis. Pada kasus yang lain, misalnya Bulog, untuk menginformasikan kepada masyarakat luas tentang kebutuhan beras pada tiap daerah, sering menyajikan datanya dalam bentuk tabel atau diagram, seperti diagram batang, diagram garis atau diagram lingkaran. Bentuk-bentuk penyajian data merupakan hal yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Dengan penyajian data baik dalam bentuk tabel maupun diagram orang lain akan mudah memahami maksud informasi yang kita berikan. a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Jika kita mempunyai sekumpulan data hasil penelitian, maka data tersebut masih perlu diolah dengan menyusun dan menyajikannya dalam suatu tabel. Bentuk tabel, banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Bentuk umum tabel terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom yang memuat data dan keterangan tertentu. Penyajian Data Tunggal Data tunggal adalah data sederhana yang didaftar satu persatu dalam suatu tabel. Data ini biasanya berupa angka atau lambang yang menyatakan fakta dari satu keadaan. Tabel untuk menyajikan data tunggal dinamakan tabel frekuensi. Contoh Seorang guru ingin mengetahui nilai ujian akhir nasional (UAN) Matematika dari 20 siswa-siswi SLTP Kelas III. la memperoleh data seperti yang ditampilkan pada tabel berikut :

Tabel Nilai MatematikaNoNilaiNoNilai

17117

26125

38136

49147

59157

68168

76179

86188

97199

105207

Jika data pada tabel di atas di buat dalam bentuk tabel frekuensi, maka dapat dibuat seperti pada tabel berikut. Tabel Nilai MatematikaNilai Frekuensi

52

65

76

84

93

Jumlah 20

Data pada tabel di atas termasuk data tunggal. Bila kita kelompokkan data tersebut dapat disajikan dalam sebuah tabel frekuensi seperti pada tabel B.2. Dari Tabel B.2 dapat dibaca, bahwa yang memperoleh nilai 5 ada 2 orang, bernilai 6 ada 5 orang, bernilai 7 ada 6 orang, dan seterusnya. ContohUkuran sepatu murid kelas II di suatu kelas adalah sebagai berikut. 3833373937383040372937 33 38 37 35 40 32 38 39 3234 33 303934373737383535 30 313529 36 36 31 34 40Buatlah tabel frekuensi dari data di atas! Jawab: Terlebih dahulu kita menentukan data terkecil sampai terbesar dari ukuran sepatu. Dari sini diperoleh data terkecil adalah 29 dan terbesar 40. Selanjutnya tentukan frekuensi (banyaknya kemunculan) dari masing-masing ukuran. Untuk keperluan ini kita perlu kolom khusus dalam tabel yaitu kolom tabulasi. Pada akhirnya, diperoleh tabel frekuensi sebagai berikut Tabel ukuran sepatuUkuranTurusFrekuensi

29II2

30III3

31III2

32II2

33III3

34III3

35IIII4

36II2

37IIII III8

38IIII5

39III3

40III3

Jumlah40

Penyajian Data Berkelompok Suatu data statistik kadang-kadang berupa angka-angka yang cukup banyak, umumnya tidak teratur, dan nilainya berbeda-beda. Untuk mengatasi hal itu, data yang berupa angka-angka tersebut perlu dikelompokkan sehingga lebih teratur dan mudah dibaca. ContohNilai Matematika dari 40 orang siswa-siswi diperoleh sebagai berikut. 64527744658567587082726182567149959479887468987572956278808947839055547665717564Bila data tersebut dikelompokkan dalam satu tabel frekuensi, maka diperoleh Tabel berikut :

Tabel nilai matematikaNilaiTurusFrekuensi

41-50II2

51-60IIII3

61-70IIII IIII2

71-80IIII IIII II2

81-90IIII II3

91-100IIII3

Jumlah40

Dari tabel tersebut dapat dibaca dengan jelas bahwa siswa-siswi terbanyak adalah yang memperoleh nilai antara 71 sampai 80. b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Selain dalam bentuk daftar tabel, data juga dapat ditampilkan dalam bentuk diagram. Banyak diagram dapat digunakan untuk menyajikan data, antara lain diagram batang, garis, dan lingkaran. Diagram Batang Diagram batang adalah diagram yang digambarkan dalam bentuk persegi panjang dengan posisi tegak atau posisi mendatar yang tingginya disesuaikan dengan kategori tertentu. Diagram batang biasanya digambarkan pada bidang Cartesius. Contoh Hasil catatan Badan Meteorologi dan Geofisika menunjukkan bahwa data curah hujan Kota Bandung pada tahun 2008 adalah terlihat pada Tabel berikut. Tabel Curah Hujan di Kota Bandung Tahun 2008

Dari data curah hujan di Kota Bandung pada tahun 2008 di atas, dapat dibuat diagram batang sebagai berikut:

Diagram Curah Hujan di Kota Bandung Tahun 2008 Diagram Garis Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang sifatnya berkesinambungan. Misalnya, jumlah penduduk suatu daerah dalam selang beberapa tahun, keadaan harga beras dari tahun ke tahun, dan perkembangan berat badan bayi. Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun digambarkan pada bidang Cartesius. Untuk memahami maksud diagram garis, berikut ini disajikan beberapa contoh: Contoh : Jumlah bayi yang lahir dari tahun ke tahun, mulai tahun 1993 di Kecamatan Kertanegara disajikan dalam tabel berikut ini. Buatlah diagram garisnya. Tabel Jumlah Bayi yang Lahir di Kecamatan Kertanegara Tahun 1993 1999TahunJumlah Bayi Lahir

199370

199480

199592

199675

199760

199855

199945

Gambar Diagram Jumlah Bayi yang Lahir di Kecamatan Kertanegara Tahun 1993 1999Dari Diagram kita dapat membaca bahwa jumlah bayi yang lahir naik terus dari tahun 1993 sampai dengan tahun 1995. Pada tahun 1995 ini merupakan tahun kelahiran bayi terbanyak. Sejak tahun 1995 jumlah bayi yang lahir terus turun hingga tahun 1999. Barangkali kita bisa berasumsi bahwa program keluarga berencana berhasil dengan baik sejak tahun 1995 di kecamatan itu. Diagram Lingkaran Dalam diagram lingkaran, keseluruhan luas daerah lingkaran, dipandang sebagai keseluruhan bagian dari data. Luas daerah lingkaran ini dibagi-bagi menjadi juring-juring lingkaran yang luasnya sesuai dengan besar data yang dimaksud. Contoh : Pak Ali mengatur rencana pengeluaran untuk menutupi kebutuhan keluarganya dari penghasilan setiap bulan, sebagai berikut. 1. Biaya pendidikan putra-putrinya sebesar 30% 2. Biaya kebutuhan sehari-hari untuk makan 40% 3. Biaya untuk pembayaran listrik, air, telepon 5% 4. Biaya tabungan 10% 5. Lain-lain (tak terduga) 15% Buatlah diagram lingkaran dari data-data tersebut di atas! Penyelesaian: Data pengeluaran Pak Ali lebih dulu dinyatakan dalam satuan derajat, yaitu1. Biaya Pendidikan = 2. Biaya makan = 3. Biaya listrik dll = 4. Biaya tabungan = 5. Biaya tak terduga =

Gambar Diagram Lingkaran Pengeluaran Per Bulan Keluarga Pak Ali

D. Ukuran PemusatanUkuran pemusatan adalah ukuran gejala pusat dari suatu data yang tersusun atau tidak tersusun. Ukuran pemusatan memuat antara lain : rata-rata hitung (mean), nilai tengah (median), dan nilai yang paling sering muncul (modus). 1. Rata-rata Hitung (Mean) Rata-rata hitung atau mean dari sekumpulan data adalah jumlah data-data itu dibagi oleh banyaknya data. Rata-rata hitung dilambangkan dengan . Rata-rata Hitung Data Tunggal Misalnya, seorang siswa telah mengikuti 5 kali ulangan harian dan memperoleh nilai berturut-turut 7, 6, 8, 7, dan 9, maka mean dari nilai ulangan adalah

Pada umumnya untuk menentukan rata-rata hitung dari n buah data x1, x2,......, xn adalah

rata-rata hitungBila data-data itu masing-masing mempunyai frekuensi (banyaknya), misalnya x1 ada f1, x2 ada f2, x3 ada f3, dan xn ada fn, maka untuk menentukan nilai rata-ratahitung (mean) adalah

Contoh Dari sekelompok siswa sebanyak 30 orang memperoleh nilai ulangan matematika seperti pada tabel frekuensi di bawah ini. Tentukanlah rata-rata hitung dari data tersebut. Nilai Frekuensi

51

65

710

87

94

103

Jawaban Misal rata-rata hitung itu adalah , maka:

Jadi rata-rata nilai ulangan matematika adalah 7,6 Rata-rata Hitung Data Kelompok Di samping disajikan dalam bentuk tunggal, data juga disajikan dalam bentuk interval. Data yang disajikan dalam bentuk interval disebut data kelompok. Tabel di bawah ini adalah contoh penyajian data dalam bentuk kelompok. IntervalFrekuensiFK

21-2522

26-30810

31-35919

36-406

41-453

56-602

Selanjutnya, bagaimanakah cara menghitung rata-rata hitung dari suatu data yang disajikan seperti tabel di atas? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, data diwakili oleh titik tengah dari interval data. Perhatikan cara menghitungnya seperti pada tabel di bawah ini. IntervalTitik tengah (xi)Frekuensi(fi)fi xi

21-2523246

26-30288224

31-35339297

36-40386228

41-45433129

56-6048296

301020

Secara umum untuk menentukan rata-rata hitung data berkelompok adalah dengan menggunakan rumus berikut.

Keterangan :nilai tengah nilai rata-rata: jumlah dari : jumlah dari : ukuran data = n

Contoh Tentukan rata-rata hitung dari data berikut. IntervalFrekuensi

21-252

26-308

31-359

36-406

41-453

56-602

JawabanTabel di atas selanjutnya kita ubah menjadi tabel seperti berikut.IntervalTitik tengah (xi)Frekuensi(fi)fi xi

21-2523246

26-30288224

31-35339297

36-40386228

41-45433129

56-6048296

301020

Selanjutnya rata-rata hitung dari data di atas adalah

2. Nilai Tengah (Median/Me) Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data setelah data itu diurutkan. Median Data Tunggal Bila banyaknya data ganjil, maka median akan diperoleh tepat pada data yang berada di tengah-tengah kelompok. Dengan demikian, median dari kelompok data yang terdiri dari n bilangan dengan n ganjil adalah data ke- atau ditulis Contoh 3 Tentukanlah median dari data-data berikut! 12, 11, 15, 13, 14, 14, 10, 16, 13 Jawaban Urutkanlah data-data di atas dari bilangan terkecil hingga terbesar, sehingga diperoleh urutan data: 10, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16 Angka 10, 11, 12, 13, adalah empat data pertama dan 14, 14, 15, 16 adalah empat data terakhir sehingga 13 merupakan data yang terletak di tengah. Jadi, median data tersebut adalah data ke 5 yaitu 13. Bila banyaknya data genap, median diperoleh dari setengah jumlah dua bilangan yang berada di tengah setelah data diurutkan. Contoh 4 Tentukanlah median dari data berikut! 60, 25, 50, 80, 75, 20, 80, 40, 70, 50, 25, 75 Jawaban Dari data di atas n = 12. Maka median terletak di antara data ke-6 dan data ke-7 Urutkan data di atas dari yang terkecil, sehingga didapat 20, 25, 25, 40, 50, 50, 60, 70, 75, 75, 80, 80 Sehingga mediannya adalah (data ke-6 + data ke-7)/2 yaitu (50 + 60)/2 = 110/2 = 55 3. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul) Modus dari sekumpulan data adalah bilangan yang paling banyak muncul. Misal sekumpulan data 4, 6, 5, 7, 6, 8, modusnya adalah 6, karena 6 muncul lebih banyak dari bilangan-bilangan lainnya. Modus dari sekumpulan data mungkin ada satu, dua, atau lebih. Data yang mempunyai satu modus disebut unimodial, yang mempunyai dua modus disebut bimodial, dan yang mempunyai lebih dari dua modus disebut multimodus. Modus Data Tunggal Modus dari data tunggal bisa dilihat dari nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak. Contoh 6 Tentukan modus dari data berikut! a. 6, 9, 9, 7, 8, 3, 4, 6, 5, 9, 8b. 22, 26, 25, 24, 23, 25, 27, 26, 28Jawaban :a. Nilai yang frekuensinya paling banyak adalah 9, yaitu muncul 3 kali. Jadi, modusnya adalah 9. b. Data yang paling sering muncul adalah 25 dan 26 masing-masing muncul dua kali. Jadi, modusnya adalah 25 dan 26.

E. DISKUSI DAN PRESENTASI1) Tentukan populasi dan sampel yang mungkin jika kita melakukan penelitian atau pengamatan tentang kejadian-berikut : a. Jenis-jenis ikan yang yang hidup di terumbu karang,b. Wabah penyakit demam berdarah di Kota Malang, danc. Jumlah kendaraan yang melalui gerbang tol Waru Utama dari pukul 08.00-15.00. 2) Tentukan populasi dan sampel yang mungkin jika kita melakukan penelitian atau pengamatan tentang hal-hal berikut ini. a. Hubungan nilai UAN SMA dengan prestasi belajar Matematika mahasiswa-mahasiswi PGSD. b. Kesehatan bayi yang minum ASI di Jawa Timur. c. Kondisi kesehatan perokok di Malang Raya. 3) Seorang peneliti melakukan penelitian tentang tingkat kelulusan siswa-siswi SMP di suatu propinsi di Indonesia. Bagaimana peneliti tersebut menyajikan data yang telah diperoleh? Cara penyajian data yang mana yang paling cocok? 4) Diketahui data hasil ujian Matematika 20 siswa-siswi kelas VI MI Harapan sebagai berikut.5 66 97688977 85 9986785Sajikan data di atas dengan menggunakan tabel frekuensi !5) Suatu pabrik kendaraan memproduksi mobil dari tahun 1980 sampai dengan tahun 1986 berturut-turut sejumlah 3.500, 4.000, 7.000, 2.500, 8.000, 8.500, 9.250 buah. a. Buatlah data tersebut dalam diagram garis! b. Pada tahun berapa pabrik tersebut mempro-duksi paling sedikit? c. Pada tahun berapa pabrik tersebut mempro-duksi paling banyak? 6) Rata-rata hitung bagi sekumpulan data yang terdiri dari sepuluh bilangan adalah 7. Apabila ditambah (1 + 3m) dan (1 + 5m) pada kumpulan data tersebut, rata-rata hitungnya menjadi 10. Tentukan nilai m! 7) Suatu kelompok belajar siswa terdiri dari 5 anak. Rata-rata nilai matematika anak pada kelompok tersebut adalah 7,2. Bila ke dalam kelompok belajar tersebut masuk seorang anak, rata-rata nilai matematikanya menjadi 7,4. Nilai matematika anak yang baru masuk adalah .

F. LATIHAN MANDIRI1. Lima orang siswa beratnya rata-rata 42 kg, kemudian ada orang keenam yang masuk dalam kelompok itu, sehingga rata-rata berat badan tersebut menjadi 44 kg. Berapakah berat badan orang yang keenam itu? 2. Suatu perusahaan memberi upah kepada para pegawainya sebanyak 150 orang, rata-rata tiap pegawai memperoleh upah Rp. 4.800,00 per jam. Berapakah jumlah upah tiap harinya jika karyawan itu bekerja dalam satu hari selama delapan jam? 3. Rata-rata nilai tes 28 orang siswa-siswi adalah 80. Jika dua orang siswa-siswi mengikuti tes susulan dan masing-masing memperoleh nilai 60 dan 70, berapakah rata-rata nilai tes yang baru? 4. Dalam suatu diagram lingkaran tentang jenis olahraga yang digemari oleh siswa-siswi. Diketahui besar sudut yang mewakili sepakbola adalah 1350, besar sudut yang mewakili bulu tangkis adalah 750, besar sudut yang mewakili bola basket adalah 1200, dan sisanya mewakili bola volley. Jika jumlah siswa-siswi 150 orang, maka tentukan: a. Gambar diagramnya! b. Banyaknya siswa-siswi yang gemar pada masing-masing olahraga! c. Persentase kegemaran siswa-siswi untuk setiap jenis olahraga! 4. Sajikan masalah di atas (masalah 3) ke dalam bentuk tabel, diagram batang, dan diagram garis! 5. Berdasarkan hasil penelitian pada suatu SLTP para siswa-siswi yang telah lulus ujian dan akan melanjutkan ke SMU atau SMK diperoleh data se-bagai berikut: 65% mereka melanjutkan ke SMU Negeri, 15% mereka melanjutkan ke STM, 10% mereka melanjutkan ke SMK lainnya, 8% mereka melanjutkan ke SMU swasta, dan sisanya bekerja pada suatu perusahaan. a. Sajikan data tersebut ke dalam diagram lingkaran! b. Bila jumlah siswa di SLTP itu 300 orang, berapakah jumlah siswa-siswi yang langsung bekerja? 6. Gaji rata-rata pegawai suatu perusahaan Rp 250.000,00. Gaji rata-rata pegawai pria Rp 260.000,00 sedangkan gaji rata-rata pegawai wanita pada perusahaan tersebut Rp 210.000,00. Berapakah perbandingan banyaknya pegawai pria dan pegawai wanita?

BAB IVJARAK, WAKTU DAN KECEPATAN

M. TUJUANSetelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat memahami hubungan antara jarak, waktu, dan kecepatan serta menggunakan hubungan tersebut untuk memecahkan masalah.

N. PENGANTARWaktu merupakan sarana yang paling dekat dengan kehidupan manusia seharihari untuk dikenal dan diketahui oleh anak/siswa. Satuan waktu adalah lamanya suatu peristiwa berlangsung, sebagai contoh:1. lamanya waktu bersekolah dalam sehari2. lamanya seseorang pergi ke pasar dan kembali lagi adalah 2 jam3. lamanya seseorang menuntut ilmu di jenjang sekolah dasar adalah 6 tahun4. lamanya pertandingan sepakbola dalam satu babak dan lainlain.Satuan waktu dibedakan menjadi dua, yaitu:a. Satuan waktu tak bakuContoh: ketukan monotonb. Satuan waktu yang dibakukan:Contoh: detik, menit, jam, hari, minggu, bulan, tahun, windu, atau abad.Satu hal yang perlu diketahui dan ditekankan kepada siswa adalah hubungan antara jam, menit dan detik adalah merupakan kelipatan 60, seperti terlihat pada gambar berikut.

Waktu 24 jam adalah lamanya waktu dalam satu hari, yaitu dari pukul 24.00 (12 tengah malam) sampai dengan pukul 24.00 hari berikutnya. Pergantian hari dimulai pada pukul 12.00 tengah malam atau pukul 24.00 seperti ditunjukkan gambar berikut.

Dari gambar di atas terlihat bahwa:Pukul 24.00 hari Sabtu bersamaan dengan pukul 00.00 hari Minggu.Pukul 08.30, jika tanpa keterangan apapun menunjukkan waktu pagi hari.Pukul 08.30 malam hari dinyatakan dengan pukul 20.30.Untuk mengajarkan cara menghitung selisih/lama antara dua waktu, hendaknya dikaitkan dengan peristiwaperistiwa yang dialami oleh siswa. Untuk menghitungnya dapat digunakan dua cara seperti contoh berikut.Contoh 1:Jika Ani belajar di sekolah mulai pukul 06.30 sampai dengan pukul 13.00, berapakah lamanya Ani belajar?Penyelesaian:Pukul: 13.00 12.60 (1 jam = 60 menit)Pukul: 06.30 6.30Selisih = 6.30Jadi lama Ani belajar adalah 6 jam 30 menitContoh 2:Ayah bekerja mulai pukul 07.30 sampai dengan pukul 16.00, tentukan berapa lama ayah bekerja.Penyelesaian:Selang waktu antara pukul 07.30 dan pukul 16.00 adalah 8 jam 30 menit Jadi lama ayah bekerja adalah 8 jam 30 menit.O. HUBUNGAN JARAK, WAKTU DAN KECEPATANUntuk mencari hubungan antara jarak, waktu, dan kecepatan, maka terlebih dahulu akan diberikan beberapa masalah untuk dapat diselesaikan sesuai dengan cara Anda masingmasing.Masalah jarak tempuh kendaraanContoh 1:Dito pergi ke pantai dengan mengendarai sepeda motor yang kecepatan rataratanya adalah 30 km/jam. Apabila Ia membutuhkan waktu selama 120 menit, berapakah jarak dari rumah ke pantai? Bagaimanakah cara menyelesaikan permasalahan di atas? Alternatif penyelesaiannya adalah sebagai berikut.Kecepatan Dito = 30 km/jam = tiap jam menempuh 30 kmWaktu tempuh Dito = 120 menit = 2 jamJadi jarak tempuh selama 2 jam Dito = (30 + 30) km = (2 30) km = 60 kmContoh 2:Kecepatan Dito mengendarai sepeda motor 40 km/jam. Dalam waktu 3 jam berapakah jarak yang telah ditempuh Dito? Berdasarkan contoh 1 di atas, kita bisa mencari jarak yang telah ditempuh Dito.Kecepatan Dito = 40 km/jamWaktu tempuh = 3 jamJadi jarak yang telah dtempuh Dito = (3 40) km = 120 km.

Dari kedua contoh di atas, dapatkah dicari hubungan antara jarak dengan kecepatan dan waktu? Ternyata jarak adalah waktu kali kecepatan atau jarak adalah kecepatan kali waktu. Apabila j menyatakan jarak, k menyatakan kecepatan, dan w menyatakan waktu maka:. Jadi jika Anda tahu kecepatan dalam mengendarai kendaraan dan waktu yang ditempuh dalam melakukan perjalan, maka Anda dapat menggunakan hubungan tersebut untuk memprediksi berapa jauh Anda melakukan perjalanan. Dalam keadaan sesungguhnya jika kita melakukan perjalanan, maka biasanya kecepatan kita tidak tetap, kadang cepat kadang lambat. Jika dalam perjalanan, kecepatan kendaraan yang kita tumpangi tidak memberikan keterangan apaapa, maka kecepatan kendaraannya dianggap tetap, karena jarak yang ditempuh sebanding dengan waktu tempuh. Untuk selanjutnya kecepatan tetap ini disebut dengan kecepatan ratarata atau dapat juga disebut kecepatan saja.Bagaimanakah jika yang Anda tahu adalah jarak dari dua tempat dan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut? Bagimanakah cara Anda menghitung kecepatan Anda berkendara? Agar lebih mudah dipahami, perhatikan contoh berikut.Masalah kecepatan kendaraanContoh 1:Pak Maman naik mobil dari Yogya ke Magelang yang berjarak 40 km dalam waktu 1 jam. Berapakah kecepatan ratarata mobil Pak Maman?Alternatif penyelesaiannya adalah sebagai berikut.Jarak Yogya Magelang = 40 kmWaktu tempuh = 1 jamKecepatan berkendara pak Maman = 40 km dalam 1 jam = 40 km/jam

= km/jamContoh 2:Danar berkendara dari Yogya ke Sala yang berjarak 60 km dalam waktu 2 jam. Berapakah kecepatan ratarata kendaraan Danar?Alternatif pemecahannya:Jarak Yogya Sala = 60 kmWaktu tempuh = 2 jam

Kecepatan Danar tiap jamnya = km/jam = 30 km/jam.

Dari dua contoh di atas, maka kita dapat mencari kecepatan ratarata apabila diketahui jarak dan waktu tempuhnya, yaitu: kecepatan adalah jarak perjalanan dibagi dengan waktu tempuhnya atau Bagimana cara mencari waktu tempuhnya apabila diketahui jarak tempuh dan kecepatannya? Diskusikan dengan teman Anda!

Masalah waktu tempuh perjalananContoh:Berapa lama waktu yang diperlukan Aya untuk menempuh jarak 90 km dengan kecepatan ratarata 30 km/jam?Alternatif penyelesaiannya adalah sebagai berikut.Kecepatan Aya = 30 km/jamSatu jam Aya menempuh jarak = 30 kmDua jam Aya menempuh jarak = 60 kmTiga jam Aya menempuh jarak = 90 kmJadi Aya dapat menempuh jarak tersebut dalam waktu = 3 jam

= jam

Dari contoh di atas, kita dapat menentukan waktu tempuh apabila diketahui jarak dan kecepatan rataratanya, yaitu waktu sama dengan jarak dibagi kecepatan atau Dengan mengerjakan masalahmasalah tersebut di atas jika jarak tempuhnya adalah j, kecepatan rata-ratanya adalah k dan waktu tempuhnya adalah w, maka akan diperoleh hubungan antara jarak, waktu, dan kecepatan rataratanya.

P. PENYELESAIAN MASALAH SEHARI-HARI YANG BERKAITAN DENGAN JARAK, WAKTU, DAN KECEPATANAgar dapat memotivasi siswa belajar mengenai jarak, waktu dan kecepatan, hendaknya dalam contohcontoh soal dikaitkan dengan pengalaman siswa dalam kehidupan seharihari mereka, misalnya: menentukan lamanya waktu saat bepergian, saat menentukan jam berapa harus berangkat ke sekolah agar tidak terlambat datang ke sekolah, saat menentukan kecepatan kendaraan ayah agar tiba di bandara tepat waktu, dan sebagainya. Berikut ini adalah contohcontoh soal yang dikaitkan dengan kehidupan seharihari. 1. Ana mengendarai kendaraan dari Bandung ke Kebumen sejauh 320 km dalam waktu 8 jam. Berapakah kecepatan ratarata Ana?

Alternatif penyelesaian:a. dengan menggunakan rumus :

km/jam = km/jam = 40 km/jamb. dengan perbandingan8 jam 320 km1 jam320/8 km/jam = 40 km/jamJadi kecepatan ratarata Ana adalah 40 km/jamc. dengan menggunakan gambar

Jadi kecepatan ratarata Ana adalah 40 km/jam2. Bobi mengendarai mobilnya dalam waktu 3 jam 20 menit untuk menempuh jarak 200 km. Berapakah kecepatan mobil Bobi tiap jam?Alternatif penyelesaian:

3 jam 20 menit = jam

km/jam km/jam

km/jam

km/jamQ. BAHAN DISKUSI DAN PRESENTASI1. Ani mengendarai kendaraan dari kota A ke kota B dalam waktu 4 jam sejauh 160 km. Kemudian Ani melanjutkan perjalanan ke kota C sejauh 90 km dalam waktu 1 jam 30 menit. Tentukan kecepatan Ani di tiap perjalanan.2. Joni dapat mengetik 960 kata dalam 20 menit. Berapakah kecepatan mengetik Joni dalam:a. tiap menitb. tiap jam3. Odi telah berkendara sejauh 351 km. Perjalanan pertama Ia tempuh selama 4 jam sejauh 216 km.4. Berapakah kecepatan berkendara Odi pada perjalanan pertama?5. Jika kecepatan yang digunakan sama, berapa lamakah Odi berkendara?6. Bus Trans Jogja kecepatannya 40 km/jam. Berapakah kecepatan bus tersebut dalam m/detik7. Andi naik sepeda dari kota Yogya ke kota Solo yang berjarak 65 km, dengan kecepatan ratarata 30 km/jam. Sedangkan Beni juga bersepeda dari kota yang sama dengan kecepatan 25 km/jam. Mereka berangkat dalam waktu bersamaan, dan setelah menempuh perjalanan 2 jam Andi beristirahat sambil menunggu Beni. Berapa lama Andi menunggu Beni?8. Jarak YogyakartaMalang 350 km. Ali berangkat dari Yogya ke Malang pukul 06.00 WIB dengan mobil kecepatannya 60 km/jam. Pada waktu dan rute yang sama Budi berangkat dari Malang menuju Yogya dengan mengendarai mobil yang kecepatannya 80 km/jam. Pada jarak berapa dan pukul berapa keduanya berpapasan?9. Adi berangkat dari kota A menuju kota B yang berjarak 159 km pada pukul 07.30 dengan mengendarai sepeda motor yang kecepatan rataratanya 48 km/jam. Seno berangkat dari kota B menuju kota A dengan sepeda motor dengan kecepatan ratarata 60 km/jam. Jika Seno berangkat setengah jam setelah perjalanan Adi, pada pukul berapakah mereka akan berpapasan?10. Asvin dan Septo berangkat dari Kota A menuju Kota B mengendarai sepeda motor dengan kecepatan berturutturut 30 km/jam dan 50 km/jam. Asvin berangkat terlebih dahulu, selang 3 jam baru Septo mulai berangkat. Berapa lama Asvin tersusul Septo dan berapa lama jarak yang telah ditempuhnya? Aji dan Dito berlari mengelilingi lapangan olah raga yang jaraknya 4 km dalam waktu berturutturut 6 menit dan 10 menit. Keduanya berlari dari tempat yang sama. Setelah berapa menit mereka berpapasan apabila: a. arah lari keduanya berlawanan?b. arah lari keduanya sama?11. Kapal A berlayar di sungai Kapuas menuju ke hulu sejauh 30 mil, dalam jumlah waktu yang sama kapal B berlayar menuju ke hilir sejauh 50 mil pada sungai yang sama. Jika kecepatannya sekarang 5 mil/jam, berapakah kecepatan kedua kapal di air yang tenang?12. Dua buah pesawat terbang berangkat dari Jakarta pada saat yang sama dan berlawanan arah pada garis lurus yang sama. Kecepatan ratarata pesawat yang satu 40 km/jam lebih cepat dari pada pesawat yang lain. Apabila setelah 5 jam jarak kedua pesawat itu 2000 km, berapakah kecepatan ratarata setiap pesawat?

R. LATIHAN MANDIRI1. Suatu pesawat terbang kecepatan terbangnya ratarata 50 km/jam lebih cepat dari pada pesawat B. Pesawat A terbang sejauh 500 km dalam waktu yang sama pesawat B terbang sejauh 400 km. Carilah kecepatan ratarata setiap pesawat.2. Dua pengendara sepeda motor berangkat pada pukul 16.30 dan 17.00 dalam arah yang berlawanan, namun dalam jalan yang sama. Jarak kedua kendaraan tersebut 190 km dan kecepatannya berturutturut 40 km/jam dan 45 km/jam. Pukul berapa mereka berjumpa?3. Gustam naik sepeda motor dari kota Yogya ke Sala yang berjarak 65 km, dengan kecepatan ratarata 50 km/jam. Dari kota Yogya dengan tujuan yang sama Berto juga naik sepeda motor dengan kecepatan ratarata 40 km/jam. Mereka berangkat bersamaan, dan setelah menempuh satu jam perjalanan Gustam beristirahat menunggu Berto. Berapa lama Gustam beristirahat?4. Pak Marto bepergian dengan mobil dari kota A ke kota B yang berjarak 250 km dengan kecepatan ratarata 60 km/jam, dan berangkat pukul 07.00 WIB. Sedangkan Pak Dalono dengan mobilnya berangkat dari kota B menuju kota A dengan kecepatan ratarata 50 km/jam dan berangkat pukul 07.30. Pada pukul berapa mereka berdua akan berpapasan di tengah jalan apabila menggunakan menggunakan rute yang sama namun berlawanan arah?5. Lisa dan Doni berlari dengan arah yang berbeda dari tempat yang sama. Lisa berlari 1 m/detik dan Doni berlari 2 m/detik. Berapa jauh jarak Lisa dan Doni setelah 30 menit?6. Terdapat dua buah bus antar propinsi yang berangkat dari terminal yang sama dan tujuan kota yang sama pula serta melalui rute yang sama. Bus pertama berangkat pada pukul 15.00 dengan kecepatan ratarata 60 km/jam. Bus kedua berangkat pada pukul 17.30 dengan kecepatan ratarata 75 km/jam. Pada jam berapakah bus kedua dapat menyusul perjalanan bus pertama?7. Danar dan Karin bepergian dengan mobil yang berbeda. Jarak yang ditempuh keduanya 330 km. Kecepatan ratarata Danar 50 km/jam, sedangkan kecepatan ratarata Karin 55 km/jam. Berapakah waktu yang diperlukan masingmasing?8. Odi akan mengunjungi pamannya di suatu desa. Dia telah menempuh perjalanan 312 km selama 6 jam di jalan perkotaan Pada perjalanan di pegunungan Ia menempuh perjalanan selama 5,5 jam sejauh 319 km. Berapa kecepatan ratarata Odi di jalan perkotaan dan berapa kecepatan ratarata Odi di jalan pegunungan? Mana yang lebih cepat perjalanan di perkotaan atau perjalanan di pegunungan?9. Sebuah kapal nelayan telah mengontak ke pelabuhan dengan menggunakan radio emergensi. Kapten kapal melaporkan bahwa kapalnya berada sejauh 100 mil dari pelabuhan dan kapalnya mengalami kebocoran. Kapal tersebut dapat menuju ke pelabuhan dengan kecepatan ratarata 5 mil/jam. Kapten mengingatkan bahwa kapalnya hanya dapat bertahan mengapung dilaut selama 1 jam. Helikopter penolong meningggalkan pelabuhan 5 menit kemudian. Helikopter terbang dengan kecepatan 120 mil/jam. Dapatkah helikopter tersebut mencapai kapal sebelum kapal tenggelam?10. Dara mengendarai sepeda dengan kecepatan ratarata 10 km/jam. Jika Ia bersepeda selama 3 jam, berapakah jarak yang telah Ia tempuh?11. Dengan kecepatan berapa pengendara A harus menjalankan kendaraannya agar dapat menyusul pengendara B yang kecepatan kendaraannya 20 km/jam lebih lamban, jika B berangkat 2 jam lebih dulu dan harus disusul dalam waktu 4 jam?12. Mobil Ali dapat menempuh perjalanan dari kota P ke kota Q yang jaraknya 200 km dalam waktu 200 menit. Dalam waktu yang bersamaan mobil Boni dapat menempuh perjalanan yang sama dalam waktu 240 menit. Tentukan selisih kecepatan ratarata (dalam km/jam) antara mobil Ali dengan mobil Boni.13. Jika Nuri melakukan perjalanan dengan menggunakan mobil kecepatannya 50km/jam. Berapakah kecepatannya dalam m/detik?14. Pada pukul 08.20, Andi mengendarai mobilnya dengan kecepatan 72 km/jam dari Yogyakarta menuju kota asalnya. Jarak antara antara kedua kota tersebut 400 km. Dari arah yang berlawanan (kota asal Andi) adiknya berangkat menuju Yogyakarta dengan kendaraan yang berkecepatan 60 km/jam pada pukul 09.00. Pada pukul berapa kedua orang tersebut akan saling berpapasan? Seberapa jauh kedua orang tersebut berkendaraan ketika mereka saling berpapasan?

BAB VARITMETKA SOSIAL

S. TUJUANPada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan dapat: 1. menjelaskan pengertian untung, rugi, rabat, dan diskon, 2. menentukan untung, rugi, rabat, dan diskon, 3. menjelaskan pengertian bruto, neto, dan tara, serta 4. menentukan bruto, neto, dan tara.

T. PENGANTARSebelum membahas masalah untung, rugi, rabat, dan diskon serta bruto, neto, dan tara, kita perlihatkan terlebih dahulu apa arti dari p%. p% = p : 100 , Keterangan : p adalah besarnya persentase. Contoh : Nyatakanlah bilangan-bilangan berikut dalam desimal biasa! a. 20%c. 0,65%b. 7,5%d. 66,67%Jawaban a. 20% = 20 : 100 = 0,2 b. 7,5% = 7,5 : 100 = 0,075 c. 0,65% = 0,65 : 100 = 0,0065 d. 66,67% = 66,67 : 100 = 0,6667 Selanjutnya kita bahas bagaimana bentuk desimal bisa kita nyatakan dalam bentukpersentase. Untuk mencarinya dapat menggunakan rumus berikut. A x 100% = A% , Keterangan : A adalah nilai dalam desimal Contoh :Jika Ani belajar di sekolah mulai pukul 06.30 sampai dengan pukul 13.00, berapakah lamanya Ani belajar?Penyelesaian:Pukul: 13.00 12.60 (1 jam = 60 menit)Pukul: 06.30 6.30Selisih = 6.30Jadi lama Ani belajar adalah 6 jam 30 menitContoh :Ayah bekerja mulai pukul 07.30 sampai dengan pukul 16.00, tentukan berapa lama ayah bekerja.Penyelesaian:Selang waktu antara pukul 07.30 dan pukul 16.00 adalah 8 jam 30 menit Jadi lama ayah bekerja adalah 8 jam 30 menit.Selain itu, perlu diingat kembali tentang operasi hitung pada bilangan bulat, bilangan pecahan, persamaan, dan operasi bentuk aljabar yang telah kalian pelajari. Pada pertemuan ini akan dibahas masalah untung, rugi, rabat, dan diskon yang terkait dengan masalah jual beli. Di samping itu, dibahas pula masalah bruto, neto, dan tara yang sering dijumpai pada suatu kemasan. Hal-hal ini sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. U. UNTUNG, RUGI, RABAT, DAN DISKON Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai kegiatan jual beli di sekitar kita. Jual beli tidak hanya dilakukan di pasar, di kampus pun ada kegiatan ini misalnya di kantin kampus. Dalam kegiatan jual beli terdapat penjual dan pembeli. Penjual menyerahkan barang kepada pembeli sedangkan pembeli menyerahkan uang sebagai pengganti barang yang diterimanya. Untuk memperoleh barang-barang yang akan dijual, penjual membeli dari pabrik, tempat grosir atau tempat lainnya. Harga barang dari pabrik, tempat grosir atau tempat lainnya disebut pembelian atau modal. Sedangkan uang yang diterima oleh pedagang dari hasil penjualan barang itu disebut penjualan. Dengan demikian, kegiatan jual beli selalu berkaitan dengan pembelian atau modal dan penjualan yang menjadi dasar penghitungan untung atau rugi. Selain itu, aktivitas jual beli akan memperkenalkan mahasiswa-mahasiswi pada untung, rugi, rabat, dan diskon. Untung Untung seringkali disebut laba. Laba menurut kamus berarti keuntungan yang diperoleh dengan menjual barang lebih tinggi dari pembeliannya. Jadi laba merupakan hasil yang diperoleh penjual dengan menjual barang lebih tinggi dari pembeliannya. Untuk memahami tentang pengertian untung, perhatikan contoh berikut. Koperasi sekolah membeli 1 dus air minum mineral yang berisi 48 gelas dengan harga Rp. 14.000,00. Air minum itu kemudian dijual dengan harga Rp. 500,00 per gelas. Bandingkan harga pembelian dengan harga penjualan. Penyelesaian Harga pembelian : Rp 14.000,00Harga penjualan : 48 x Rp 500,00 = Rp 24.000,00Ternyata harga penjualan lebih tinggi dari harga pembelian. Selisih antara harga penjualan dan pembelian = Rp 24.000,00 - Rp 14.000,00 = Rp 10.000,00 Dalam hal ini koperasi sekolah mendapat untung sebesar Rp 10.000,00. Berdasarkan uraian di atas, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut. Penjual dikatakan untung jika harga penjualan lebih tinggi daripada harga pembelian (modal). Untung = Penjualan - Pembelian Contoh Satu lusin pensil dibeli dengan harga Rp 18.000,00. Kemudian dijual dengan harga Rp 1.800,00 tiap buah. Berapa rupiahkah untungnya? Jawaban Pembelian = Rp 18.000,00Penjualan = 12 x Rp 1.800,00 = Rp 21.600,00Untung = penjualan pembelian = Rp 21.600,00 - Rp 18.000,00 = Rp 3.600,00 Jadi untung yang diperoleh sebesar Rp 3.600,00. Rugi Rugi adalah hasil (negatif) pengurangan penjualan oleh pembelian. Jadi pedagang akan menderita kerugian apabila menjual barang lebih rendah dari pembelian. Untuk itu perhatikan contoh berikut. ContohPak Mamat membeli sebuah pesawat televisi bekas dengan harga Rp 250.000,00. Televisi tersebut diperbaiki dengan biaya Rp. 65.000,00. Kemudian dijual dengan harga Rp 300.000,00. Jika biaya perbaikan dan pembelian termasuk sebagai modal, maka : Modal televisi itu = Rp 250.000,00 + Rp 65.000,00 = Rp 315.000,00 Penjualan = Rp 300.000,00Dengan demikian, penjualan lebih rendah daripada modal, dan dikatakanbahwa Pak Mamat mengalami rugi .Rugi = pembelian - penjualan= Rp 315.000,00 - Rp 300.000,00= Rp 15.000,00Jadi Pak Mamat mengalami rugi sebesar Rp 15.000,00Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan berikut. Penjual dikatakan rugi jika harga penjualan lebih rendah daripada harga pembelian (modal). Rugi = Pembelian - Penjualan Catatan Selain itu, adakalanya penjual tidak memperoleh keuntungan maupun kerugian. Hal itu terjadi jika pembelian ditambah biaya-biaya dan penjualan sama besarnya atau dikatakan impas. Rabat Rabat dapat diartikan potongan harga. Rabat biasanya diberikan kepada pembeli dari suatu grosir atau toko tertentu. Contoh Seorang pedagang sayur kacang panjang memiliki modal sebesar Rp 140.000,00. Dia akan membeli sayur kacang panjang pada petani sayur sebanyak 100 ikat. Kacang panjang 10 ikat dihargai sebesar Rp 15.000,00. Karena pedagang sayur membeli dalam jumlah besar, petani sayur memberi rabat sebesar 12,5 % tiap 10 ikat kepada pedagang sayur. Berapa rabat yang diterima oleh pedagang sayur dari petani sayur? Modal pedagang sayur = Rp. 140.000,-Harga kacang panjang = Rp. 15.000,- per 10 ikatRabat kacang panjang per 10 ikat = 12,5% x Rp. 15.000,- = Rp. 1.875,-Harga kacang panjang 100 ikat =10 x 15.000,-Rabat Kacang Panjang 100 ikat = 10 x Rp. 1.875,- = Rp. 18.750Harga kacang panjang 100 ikat sebesar Rp 150.000,00 dan rabat dari 12,5% diperoleh Rp 18.750,00. Jadi pedagang sayur akan membayar kacang panjang 100 ikat sebesar Rp 150.000,00 - Rp 18.750,00 = Rp 131.250,00 Dari uraian di atas, diperoleh rumus sebagai berikut. Harga Pembelian = Harga yang seharusnya dibayar - Rabat

Diskon Diskon pengertiannya sama dengan rabat, yang berarti potongan harga. Diskon seringkali dijadikan alat untuk menarik para pembeli, misalnya ada toko yang melakukan obral dengan diskon dari 10% sampai 70%, sehingga para pembeli menjadi tertarik untuk berbelanja di toko tersebut karena harganya terkesan menjadi murah. Contoh Harga sepasang pakaian wanita Rp 90.000,00. Karena ada obral besar, setiap pembelian mendapat diskon 25%. Berapa pembeli harus membayar untuk sepasang pakaian wanita tersebut? Jawaban Harga sepasang pakaian wanita= Rp 90.000,00Diskon 25%= 25/100 x Rp 90.000,00= 1/4 x Rp 90.000,00 = Rp 22.500,00 Yang harus dibayar oleh pembeli = Rp 90.000,00 - Rp 22.500,00 = Rp 67.500,00 Jadi pembeli membayar sepasang pakaian wanita seharga Rp 67.500,00. Berdasarkan contoh di atas, diperoleh rumus sebagai berikut. Harga Bersih = Harga Kotor - Diskon

Pada rumus di atas, harga kotor adalah harga sebelum dipotong dan harga bersih adalah harga setelah dipotong diskon.

V. BRUTO, NETO, DAN TARA Anda tentunya pernah membeli suatu produk yang pada kemasannya tercantum kata neto. Misalnya, kalau Anda membeli satu kotak makanan kemasan atau satu botol air mineral. Perhatikan kemasannya sebagai berikut. Apa saja yang tertulis dalam kotak makanan tersebut tersebut. Timbanglah kotak tersebut beserta isinya. Apa yang kalian peroleh? Contoh Sebuah kotak kue tertulis neto sebesar 700 gram. Setelah kue dikeluarkan dari kotaknya dan kotak itu ditimbang ternyata berat kotak 25 gram. Berapa berat kotak beserta kuenya?

Jawaban Neto dari kue= 700 gramBerat bungkusan kue = 25 gram Berat kue beserta kotaknya = neto kue + berat bungkusan kue = 700 + 25 = 725 gram Jadi berat kue beserta kotaknya sebesar 725 gram. Berat kue dan kotaknya yaitu 725 gram disebut bruto (berat kotor). Berat kotak 25 gram disebut tara. Berat kue 700 gram disebut neto (berat bersih). Jadi hubungan bruto, tara, dan neto sebagai berikut. Neto = Bruto - Tara Latihan 1. Umi Aminah baru datang dari Mekkah. Ia membawa air zam-zam sebanyak satu jerigen yang berisi 15 liter dan berat satu cerigen 200 gram. Berapa gram berat air zam-zam beserta jerigennya? 2. Haji Dollah membeli satu karung beras yang beratnya 100 kg dengan tara 0,12%. Hitunglah berat bersih beras! W. BAHAN DISKUSI DAN PRESENTASI1. Ibu baru datang dari pasar. Ia membawa sebotol minuman 2 liter minuman dan berat satu botolnya 200 gram. Berapa gram berat air beserta botolnya? 2. Paman membeli satu karung beras yang beratnya 100 kg dengan tara 0,12%. Hitunglah berat bersih beras! 3. Seorang pedagang membeli 100 kg telur dengan harga Rp 6.500,00 per kg dengan biaya angkut Rp 25.000,00. Kemudian telur itu dijual dengan harga Rp 7.600,00 per kg. Jika telur yang rusak 2 kg, tentukan besar untung atau ruginya. 4. Pak Didi membeli 5 peti jeruk yang setiap petinya berisi 15 kg jeruk dengan harga setiap peti Rp 58.000,00. Kemudiaan dijual dengan harga rata-rata Rp 4.500,00 setiap kg. Berapa keuntungan atau kerugian Pak Didi? 5. Marwan membeli sepotong kemeja seharga Rp 23.000,00 di sebuah toko swalayan yang sedang memberi diskon 20%. Berapa yang harus dibayar Marwan? 6. Salin dan lengkapi data berikut ini!

BrutoTaraNeto250 kg4 %.80 kg..(kg)76 %7. Seorang pedagang membeli 4 karung kacang tanah dengan berat masing-masing 50 kg dan harga Rp 5.600,00 per kg. Jika besar tara 4 %, berapa rupiah pedagang itu harus membayar?

8. LATIHAN MANDIRI1. Pedagang buah-buahan membeli 200 buah durian seharga Rp. 1.000.000,00. Seratus Buah dijual dengan harga Rp. 7.500,00 per buah, 50 buah dijual dengan harga Rp. 6.000,00 per buah dan sisanya dijual dengan harga Rp. 5.000,00 per buah. presentase untung adalah......2. Helmy menabung di bank sebesar Rp. 3.600.000,00. Bank memberikan bunga 10% per tahun. Besar tabungan yang diterima Helmy setelah 15 bulan adalah......3. Seorang membeli 2 karung beras masing-masing beratnya 1 kwintal dengan tara 2,5%. Harga pembelian setiap karung beras Rp. 500.000,00. Jika harga beras itu dijual dengan harga Rp. 4.500,00/Kg maka pedagang tersebut mengalami .....4. Pak Vian membeli sebuah motor bekas seharga Rp. 2.250.000,00. Untuk perbaikan ia mengeluarkan biaya Rp. 350.000,00. oleh karena terdesak kebutuhan, motor tersebut ia jual kembali dan ia mengalami kerugian 15%. Harga penjualan motor tersebut adalah......5. Merlyn menjual sepeda kesayangannya dengan harga Rp. 460.000,00. dari hasil penjualannya ia mendapat untung 15%. Besar harga pembelian sepeda motor tersebut adalah.........6. Dalam menghadapi hari raya Natal 2008, Ramayana Kupang memberikan diskon kepada setiap pembeli sebesar 20%. sebuah barang dipasang label Rp. 90.000,00. Setelah dipotong diskon, Ramayana masih untung sebesar 25%. Harga pembelian barang tersebut adalah............7. Pak Florin meminjam uang sebesar Rp. 500.000,00 kepada koperasi. Pinjaman tersebut akan diangsur selama 4 bulan dengan angsuran yang sama setiap bulan. jika koperasi memberi bunga pinjaman 10,8% / tahun maka besar angsuran pinjaman tiap bulan adalah .....8. Seorang pedagang buah setiap hari dapat menjual 80 kg semangka dan melon. buah semangka dijual dengan harga Rp. 3.500,00/kg dan melon dijual dengan harga Rp. 4.500,00/kg. Bila semangka dan melon terjual habis dan Ia memperoleh uang sebesar Rp. 320.000,00. Berapa kg semangka dan melon yang terjual ......

MATEMATIKA SD 8