MATEMATIKAI n t e g r a l

Adam Vrileuis, dimas h. marutha, dimas p.

MATEMATIKAI n t e g r a l

Konsep INTEGRAL

f (x)dx =F(x)+ c dx : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunanf(x) : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c : konstanta

BENTUK UMUMIntegral tak tentu

Teorema- teorema dalam Integral tak tentu

Jika n bilangan rasional dan n 1, maka, dengan c adalahkonstanta

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k

suatu konstanta, maka òk f(x)dx=k f(x) dx

ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRIKELINIEARANJika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan,maka f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx

TEOREMA 1 TEOREMA 2

TEOREMA 3 TEOREMA 4

Cxdxbax a sin)cos( 1

Cxdxbax a cos)sin( 1

Cxdxbax

tan2

1)(cos

12

INTEGRAL TAK TENTUF U N G S I T R I G O N O M E T R I

TEOREMA 1

Cxxdx

Cxxdx

sincos

cossin

Cxxdx

Cxxdx

cotcsc

tansec

2

2

Cxxdxx

Cxxdxx

csccsccot

secsectan

TEOREMA 2

Caxa

axdx

Caxa

axdx

Caxa

axdx

tan1

sec

cos1

sin

sin1

cos

2 Caxa

axdxax

Caxa

axdxax

Caxa

axdx

csc1

csccot

sec1

sectan

cot1

csc2

TEOREMA 3

Cbaxa

dxbax

Cbaxa

dxbax

Cbaxa

dxbax

)tan(1

)(sec

)cos(1

)sin(

)sin(1

)cos(

2 Cbaxa

dxbaxbax

Cbaxa

dxbaxbax

Cbaxa

dxbax

)csc(1

)csc()cot(

)sec(1

)sec()tan(

)cot(1

)(csc2

BENTUK UMUMI n t e g r a l t e n t u

Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi inetgral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu. Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut :Jika f kontinu pada [a,b], maka

)()()]([)( aFbFa

bxFdxxf

b

a

dengan F antiturunan sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.

INTEGRALMetode subtitusi

Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu anti-turunan dari f. sehingga, jika u = g(x), maka

f(g(x)) g'(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut

1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du

2. Tentukan f(u) du

Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan factor sin xatau cos x, gunakan persamaan

Sin 2 x + cos 2 x = 1Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudutberikut :

INTEGRAL TRIGONOMETRIM e t o d e s u b t i t u s i

Bentuk sinn x dxdan cosn x dx

Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan factor sin x atau cos x,kemudiangunakan :

Sin 2 x + cos 2 x = 1Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengahsudut berikut :

Bentuk sinm x cosn x dx

2

2cos1sin 2 x

x

2

2cos1sin 2 x

x

2

2cos1cos2 x

x

2

2cos1cos2 x

x

Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaanberikut ini :

1.

2.

3.

4.

INTEGRAL TRIGONOMETRIM e t o d e s u b t i t u s i

Bentuk sinax cosbx dx , cosax sinbx dx , sinax sinbx dx , cosax cosbx dx

b)x]– (a cos– b)x (a [cos2

1 - bx sin ax sin

b)x]– (a cos b)x (a [cos2

1 bx cosax cos

b)x]– (asin – b)x (a[sin 2

1 bx sin ax cos

b)x]– (asin b)x (a[sin 2

1 bx cosax sin

INTEGRALMetode PArsial

Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat menggunakan teknik pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial.

Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapatdideferensialkan. u dv = u. v - v du

Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan.

b

a

b

a

ba vduUVudv ][

Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu :1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v = dv2. òu du harus lebih mudah diselesaikan daripada udv

I N T E G R A LMenghitung luas daerah

Untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva atau garis dalam suatu selangtertentu dapat digunakan Konsep Integral Reiman (Metode potong, hampiri dan integralkan /metode polygon).

INTEGRALContoh Soal-soal

Diketahui Nilai =….

a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2

3

2 .25)123(a

dxxx a2

1

( substitusikan nilai batas bawah dan atasnya )

( jika kedua ruas dikalikan dengan ( – ) akan didapat )

( gunakan suku banyak untuk mendapatkan nilai a )

Untuk menentukan nilai a dapat dicari dengan menentukan faktor dari perkalian koefisien a3 dan a0 yaitu 1 dan –14. Faktor – faktor yang mugkin adalah : ±14, ± 7 , ±2, ±1 . Karena nilai a yang memenuhi adalah 2 maka ilai ½ a = 1

25 )123( 3233

2 a

a

xxxdxxx

25)a ()33(3 2323 aa

025a 39 23 aa

014a 23 aa

014a 23 aa

PENYELESAIAN

Nilai

a. b. c. d. e.

0

.... dx cos.2sin xx

INTEGRALContoh Soal-soal

3

4

3

1

3

1

3

2

3

4

( rubah ilai sin 2x menjadi 2 sin x cos x )

( buat permisalan p = cos xKemudian diturunkandp = –sin x dx )

Substitusi nilai batas atas dan bawahya

00

dx cos.cos.sin.2dx cos.2sin xxxxx

0

2 dx cos.sin.2 xx

0

332 0

cos3

2

0p

3

2dp 2 xp

3

4)(1)

3

2()(-1)

3

2()0cos

3

2()cos

3

2(

0cos

3

2 33333 x

PENYELESAIAN

INTEGRALContoh Soal-soal

Hasil dari a. x2 sin x + 2x cos x + Cb. ( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + Cc. ( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + Cd. 2x2 cos x + 2x2 sin x + Ce. 2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C

....cos).1( 2 xdxx

diturunkan Diintegralkan

X2 + 1 Cos x

2x Sin x +

2 – cos x –

0 – sin x +

C Sin x 2 - Cos 2 )1(cos).1( 22 xxxSinxxdxx

C Cos 2 )21 ( 2 xxxSinx

C Cos 2 )1( 2 xxxSinx

PENYELESAIAN

INTEGRALContoh Soal-soal

3

27

3

19

3

110

•Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.

a. c. e.

b. d.

5 8

PENYELESAIAN

Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potong kedua kurva.Substitusikan y = 2x pada y = 8 – x2 2x = 8 – x2 x2 + 2x – 8 = 0( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0x + 4 = 0 atau x – 2 = 0x = –4 atau x = 2

L=

=

=

=

=

=

=

b

a

xgxf dx )()(

2

0

2 dx )2()8( xx

2

0

2 dx 28 xx

0

2

3

18 23 xxx

})0()0(3

1)0(8{})2()2(

3

1)2(8{ 2323

43

816

3

19

=

INTEGRALContoh Soal-soal

3

215

5

215

5

314

5

214

5

310

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.a. c.

e.

b. d.

y = x2 dan x + y – 2 = 0 ( y = 2 – x )Substitusi kedua persamaan untuk mendapat titik potongnya.x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0x = – 2 atau x = 1

V =

=

=

b

a

xgxf dx )()( 22

1

2

222 dx )()2( xx

1

2

42 dx 44 xxx

2

1)

5

1

3

124( 532

xxxx

)})2(5

1)2(

3

1)2(2)2(4())1(

5

1)1(

3

1)1(2)1(4{( 532532

)}5

32

3

888()

5

1

3

124{(

)5

32

3

816

5

1

3

12(

)5

3621(

5

214

=

=

=

=

=

=

PENYELESAIAN

MATEMATIKAI n t e g r a l

Adam Vrileuis, dimas h. marutha, dimas p