MATEMATIKA BISNIS

BUNGA

Ada 2 macam bunga:1. Bunga Tunggal2. Bunga Majemuk/bunga berbunga

• Untuk menghitung jumlah bunga (= I) tergantung dari:– Jumlah pokok baik yang ditabung atau jumlah hutang piutang

(=P)– Tingkat bunga dalam % (= r)– Jumlah waktu atau lamanya (= t)

• Sehingga:• I = P.r.t• Nilai r dipengaruhi t• S = nilai total saat jatuh tempo• S = P + I

Perluasan Rumus

S= P + IS= P + P.r.tS= P ( 1 + r.t)

P= S(1+ r.t)

P= S (1 + r.t) -1

(1 + r.t) -1 adalah faktor discount

• Bapak Amir meminjam uang kepada temannya sebesar Rp.600.000,- dan dikenakan tingkat bunga r= 12%. Bpk. Amirberjanji akan melunasi seluruh hutangnya + bunga 5 bulanlagi.Berapa jumlah uang yang harus dibayar Bpk Amir saat jatuhtempo (=S)?

Jawab:• I = P.r.t• I = Rp.600.000,- x 0,12 x 5 bln

12 bln

I = Rp. 600.000,- x 0,01/ bln x 5 blnI= Rp. 30.000,- (bunganya saja selama 5 Bln)S = P + IS = Rp. 600.000,- + Rp. 30.000,- = Rp. 630.000,-

P Ali menabung di koperasi awal januari 2013sebesar Rp 2.000.000,-; r= 5%. Berapa total uangp Ali selama 2 th, jika bunga tunggal secara:

a. Bulananb. triwulananc. Semesterand. TahunanJAWAB:a. S= Rp 2.000.000 x 0,05/12 x 24 blnb. S= Rp 2.000.000 x 0,05/4 x 8 triwulanc. S= Rp 2.000.000 x 0,05/2 x 4 semesterd. S= Rp 2.000.000 x 0,05 x 2 tahun

Kasus

Bpk jaya menabung di Bank dekat rumahnyasbb:

1 Feb 2013 menabung Rp 500.000, r= 6%Juni’13 menabung Rp 300.000Sept,13 menabung Rp 400.000 , r= 7%Hitung Total tabungan Bp Jaya akhir Des,13, dgn

bunga tunggal secara bulanan !

Bulan Pokok (P) Bunga (I) Total (S)

1 Feb’131 feb- 1 juni’13

1 juni’13

1 juni- 1 Sep’13

1 Sept ‘13

1 sept- akh des’13

500.000500.000

300.000

800.000

400.000

1.200.000

-500.000x0,06/12 x4 bln=10.000-

800.000x 0,06/12 x 3 bln= 12.000

-

1.200.000x0,07/12 x4 bln=28.000

500.000

510.000810.000

822.000

1.222.000

1.250.000

Menghitung Tanggal Jatuh Tempo• Jika syarat pinjaman dinyatakan dalam

bulan, maka tgl jatuh temponya akanmerupakan suatu hari yang terdapat dalambulan jatuh tempo.

• Ada 2 kondisi yang digunakan:1. Jika bulan jatuh tempo tdk genap atau tidak

memiliki jml hari yg dipersyaratkan makahari/tgl terakhir dari bln tsb berfungsi sbg tgljatuh tempo.

contoh:Pinjaman 2 bulan yang terhitung sejak tgl 31 Des

akan jatuh tempo pada tgl akhir bulan jugapada 2 bulan berikutnya, yaitu tgl 28 atau 29Februari.

2. Jika tgl jatuh tempo pinjaman jatuh padahari libur, maka tgl jatuh tempo tsbdimundurkan ke hari kerja berikutnya,dimana hari-hari tambahannya ikutditambahkan ke periode tsb dlmpembebanan bunganya.

Contoh:Pinjaman 7 bulan yg dimulai pada tgl 4Desember akan jatuh tempo pada tgl 4 Juli,dan apabila tgl 4 Juli tsb merupakan hari liburnasional, maka jatuh temponya akan mundurtgl 5 Juli.

Bila waktu pinjaman dinyatakan dalam hari:• Ada 2 macam penghitungan hari

(berhubungan dgn r):1. Bunga Eksak, dimana 1 th = 365 hari2. Bunga Ordinary, dimana 1 th = 360 hari

Bunga ordinary lebih menguntungkan pemberipinjaman

Ada 2 cara untuk menghitung jml haridiantara 2 tgl kalender:

1. Exact time (waktu eksak) merupakanhitungan jml hari yg nyata, termasuk semuahari, kecuali hari pertama.

Waktu eksak dpt dicari dgn mudah sesuai dikalender, misal:

• Jan = 31 hari• Feb= 28 atau 29 hari• Maret = 31 hari• April = 30 hari• Mei = 31 hari• Juni = 30 hari• Juli = 31 hari• Agustus= 31 hari• Sept = 30 hari• Okt = 31 hari• Nov = 30 hari• Des = 31 hari

2. Approximate time (Waktu Kiraan) Dihitung dgn mengasumsikan bahwa dlm

setiap bulan terdapat 30 hari semua tanpapengecualian (sekalipun itu bln Feb)

Contoh: waktu eksak dari 18 jan sampai 9 juli(th yg sama). Bila th tsb th kabisat, maka:

Bln HariJan 31 – 18 = 13 hariFeb = 29 hariMaret = 31 hariApril = 30 hari

Mei = 31 hariJuni = 30 hari9 Juli = 9 hari

= 173 hari

Contoh waktu kiraan:Bln Hari

Jan 30 – 18 = 12 hariFeb = 30 hariMaret = 30 hariApril = 30 hari

Mei = 30 hariJuni = 30 hari9 Juli = 9 hari

= 171 hari

4 Metode menghitung bungasederhana:

1. Bunga Eksak dan waktu nyata2. Bunga Eksak dan waktu kiraan3. Bunga Ordinari dan waktu nyata4. Bunga Ordinari dan waktu kiraan

Atau dgn Rumus:• Ada 4 rumus mencari bunga ( = I)1. I = P.r eksak. t nyata2. I = P. r eksak . t kiraan3. I = P. r ordinary . t nyata4. I = P. r ordinary . t kiraan

BUNGA MAJEMUK

• Jika bunga ditambahkan ke uang pokok padaakhir tiap-tiap periode pembayaran bunga dankemudian ikut dipakai sebagai dasar untukmenentukan besarnya bunga periodeberikutnya maka bunga seperti ini disebutCOMPOUNDED (dilipatgandakan/dimajemukkan).

• Bunga dpt dikonversikan/ diubah menjadiuang pokok dan dpt dimajemukkan secara:

tahunan, setengah tahunan, tri wulanan, empatbulanan, bulanan, mingguan, harian, dll,tetapi harus kontinyu (sama terus).

• Bila dimajemukkan secara harian maka jmlhari dlm setahun yg dipakai umumnya 365hari.

• Tarif bunga biasanya dinyatakan sebagai tarifbunga tahunan dan dikenal sbg tarif bunganominal (nominal rate of nominal).

Notasi Yang: Digunakan• P = uang pokok atau nilai sekarang dari S• S = Jml majemuk dari P, atau nilai jatuh

tempo dari P atau nilai akumulasi dari P.• m = banyaknya periode pembayaran bunga

dlm setahun.• Jm =tarif bunga nominal per tahun yang

dimajemukkan m kali dlm setahun.• i = tarif bunga per periode pembayaran

bunga.• n =banyaknya periode pembayaran bunga dlm

keseluruhan waktu atau disebut total periodepembayaran bunga

• Tarif bunga per periode (i) = tarif bunganominal bagi banyaknya periode pembayaranbunga dlm setahun.

• i = jm/ m• Contoh:• Tarif bunga nomianal adalah 10%, dan bunga

dimajemukkan setengah tahun sekali. Berapatarif bunga per periode?

JAWAB

• m= 2 (bunga dimajemukkan 2 kali setahun)• jm = j2 = 10% = 0,10• i = jm/ m

= 10% / 2= 5% = 0,05

n = Tahun x m

Menghitung Tarif bunga efektif

J= (1 + Jm )m - 1m

contoh

• Suatu lembaga kredit menawarkan 3 jenissertifikat investasi yg masing-masingmempunyai tarif bunga nominal j2 = 11,6% ;j4= 11,5% ; dan j12= 11,4%.

• Sertifikat mana yg akan memberikan hasilpengembalian investasi yg paling besar?

Jawab:• j2 = 11,6%1. j = ( 1 + 0,116/2)2 – 1 = 0, 119364

= 11,9364%• j4 = 11,5%2.j= (1 + 0,115/4)4 - 1 = 0,120055112

= 12,0055112%• j12 = 11,4%3. j= (1 + 0,114/12)12 - 1 = 0,1201492163

= 12,01492163%Pilih investasi ke 3, krn bunga lebih besar

RUMUS BUNGA MAJEMUKNilai Akumulasi = Pokok x Faktor Akumulasi

S = P (1 + i )n

P= S/ (1+i)n atau p= S. (1+i) –n

I = S - PRms dapat dikembangkan:P = S

________(1 + i )n

I = S i/n - 1P

log S/Pn = ______

log (1 + i)

Contoh:• Pada awal bln Des’06 . Ali menabung di BCA

sebesar Rp. 100.000,-. Bunga dimajemukkansecara bulanan (j12) dengan tingkat bunga12%.Hitunglah uang Ali pada awal April 2007!

• Jawab:• Diketahui: P• P = Rp. 100.000,-• m = 12• i= 12% / 12 bln= 1% per bln=0,01/bln

Penghitungan secara manual• BulanAwal Des’06 =Rp.100.000,-(=P)Awal Jan;07 = I= Rp.100.000,- x 0,01

= Rp.1.000,-Sehingga Total(S)= Rp. 100.000,- + Rp. 1.000,-

S = Rp. 101.000,-Awal Feb’07 = nilai Rp.101.000,- menjadi P lagi

I = Rp. 101.000,- x 0,01= 1.010,-S=Rp. 102.010,-

Awal Maret’07 = nilai P adalah Rp. 102.010,-Shg I = Rp.102.010,- x 0,01 = Rp.1.020,1

S = 102.010 + Rp.1.020,1S = Rp.103.030,1,-

Awal April’07 = nilai Rp.103.030,1,- adalah = PShg:I = Rp.103.030,1,- x 0,01 = Rp.1.030,301,-S= Rp. 103.030,1,- + Rp. 1.030,301,-S= Rp.104.060,401 = total uang sampai dgn

Awal April’07

Jika menggunakan rumus:

S = P (1 + i )n

S= Rp. 100.000,- ( 1 +( 0,12:12)4

S= Rp. 100.000,- (1,01)4

S=Rp. 100.000,- x 1,04060401S=Rp.104.060,401,-Cara kalkulator:100000x((1+(0,12:12))^4= …..n = 4 krn:Awal des --– Awal jan -- - Awal Feb -- -- Awal Mrt -- Awal April

1 2 3 4

S= P. r/365 .t nyataharian S= P. r/365. t kiraan

S= P. r/360. t nyataS= P. r/360 . t kiraan

Tunggal/sederhana: Bulanan S= P. r/12 x ….blnTriwulanan S= P. r/4 x….twSemesteran S= P. r/2 x …smtr

Tahunan S= P. r/1 x ….thBUNGA

harian(365) S= P (1+ i) n hari

Majemuk: Bulanan S= P (1+ i) n bulanTriwulanan S= P (1+ i) n twSemesteran S= P (1+ i) n smtr

Tahunan S= P (1+ i) n tahun