Mate Ma Tika Dasar

7/29/2019 Mate Ma Tika Dasar

1/145

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Bandung

2002

Danang Mursita


2/145

Danang Mursita

DAFTAR ISI

Judul i

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iv

Bab 1 Fungsi Real 1

1.1 Sistem Bilangan Real 1

1.2 Fungsi dan Grafik 6

1.3 Limit dan kekontinuan 13

1.4 Limit tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 17

Bab 2 Turunan dan Penggunaan 21

2.1 Turunan Fungsi 212.2 Turunan Fungsi Trigonometri 25

2.3 Teorema Rantai 27

2.4 Turunan Tingkat Tinggi 29

2.5 Fungsi Implisit 31

2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi 33

2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot 35

2.8 Dalil Delhopital 40

Bab 3 Integral dan Penggunaan 44

3.1 Integral Tak Tentu 44

3.2 Notasi Sigma 46

3.3 Integral Tentu 48

3.4 Luas Daerah 54

3.5 Volume Benda Putar 56

3.6 Panjang Kurva 60

Bab 4 Fungsi Transenden 64

4.1 Fungsi Invers 64

4.2 Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponen 65

4.3 Fungsi Invers Trigonometri 69

4.4 Fungsi Hiperbolik 72

4.5 Fungsi Invers Hiperbolik 74

4.6 Limit Bentuk Tak Tentu 77Bab 5 Teknik Pengintegralan dan Integral Tak Wajar 80

5.1 Rumus Baku Integral 80

5.2 Integral Bagian 82

5.3 Integral Fungsi Trigonometri 85

5.4 Integral dengan Substitusi 91

5.5 Integral Fungsi Rasional 945.6 Integral Tak Wajar 99

Bab 6 Barian dan Deret 103

6.1 Barisan Bilangan 103

6.2 Deret Tak Hingga 105

6.3 Deret Berganti Tanda 113


3/145

Danang Mursita

6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat 115

6.5 Deret Kuasa 116

6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin 119

6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa 121

Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa 1237.1 Order Persamaan Diferensial 123

7.2 Persamaan Diferensial Linear Order Satu 125

7.3 Peubah Terpisah 127

7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen 128

7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen 131

7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen 134

Bab 8 Kalkulus Fungsi Vektor 139

8.1 Kurva Bidang 139

8.2 Fungsi Vektor 142

8.3 Gerak Partikel dan Kelengkungan 148

8.4 Komponen Normal dan Tangensial 151Bab 9 Fungsi Peubah Banyak 153

9.1 Domain dan Range 153

9.2 Permukaan 154

9.3 Turunan Parsial 156

9.4 Vektor Gradien dan Turunan Berarah 163

9.5 Nilai Ekstrim 168

Bab 10 Integral Rangkap 171

10.1 Integral Rangkap Dua 171

10.2 Volume dan Pusat Massa 179

10.3 Integral Rangkap Tiga 181

10.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola 185

Bab 11 Kalkulus Integral Vektor 189

11.1 Medan Vektor 189

11.2 Integral Garis 191

11.3 Integral Permukaan 199

Daftar Pustaka 205


4/145

Danang Mursita

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Edwin J Purcell, Dale Van berg, Calculus with analytic Geometry, 5th , Prentice

Hall, USA, 1987[2]. Anton Howard, Calculus, 3rd , John Wiley and sons, USA, 1988

[3]. Kurt Arbenz, Alfred Wohlhauser, Advanced Mathematics for Practicing

Engineering , Artech House Inc, USA, 1986

[4]. Earl D Rainville, Phillip E Bedient, Elementary Differential Equations, 7th ,

Maxwell Macmillan international Editions, Singapore, 1989

[5]. Stanley J Farlow, An Introduction to Differential Equations and Their

Applications , Mc Graw-Hill Inc, USA, 1994

[6]. William E Boyce, Richard C Diprima, Elementary Differential Equation and

Boundary Value Problems, 5th , John Wiley and Sons Inc, Canada, 1992.


5/145

21Matematika Dasar

Danang Mursita


BAB 2 TURUNAN DAN PENGGUNAAN

2.1 Turunan Fungsi

2.2 Turunan Fungsi Trigonometri

2.3 Teorema Rantai2.4 Turunan Tingkat Tinggi

2.5 Fungsi Implisit

2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi

2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot

2.8 Dalil Delhopital

2.1 Turunan Fungsi

Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x). Bila

titik Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat

dinyatakan dengan :

my b

x a

f x f a

x aPQ=

=

( ) ( )

Bila titik Q digerakkan sehingga berimpit dengan titik P maka garis PQ akan

merupakan garis singgung kurva f(x) di titik P dengan gradien :

m

f x f a

x ax a=lim

( ) ( )

Definisi

Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis singgungkurva f(x) di x = a dan diberikan:

f af x f a

x ax a' ( ) lim

( ) ( )=

Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.

Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :

f af a h f a

hh'( ) lim

( ) ( )=

+

0

Notasi lain : f adf a

dx

dy a

dxy a' ( )

( ) ( )' ( )= = =


6/145

22Matematika Dasar

Danang Mursita


Secara fisis, pengertian atau definisi dari turunan fungsi f(x) di titik x = a menyatakan

kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena

itu, didapatkan hubungan V a f a( ) '( )= dan percepatan , A(x) , A adV a

dx( )

( )= .

Teorema

Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka y = f(x) kontinu di x = a.

Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, yaitu ada fungsi yang kontinu tetapi tidakdiferensiabel. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contoh 2.1

Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab :

Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f xx

( ) lim ( )0 00

= =

Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :

ff h f

h

h

hh h' ( ) lim

( ) ( )lim

| |0

0 0

0 0=

+ =

Karena = = +

1 10 0

lim| |

lim| |

h h

h

h

h

hmaka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.

Sebagaimana pengertian dari keberadaan limit fungsi ( limit kiri = limit kanan ) dan

kekontinuan fungsi ( kontinu kanan dan kontinu kiri ), dapat juga diturunkan suatu

pengertian diferensiabel kanan dan diferensiabel kiri.

Definisi

Misal fungsi f(x) diferensiabel di x = a. Maka dapat didefinisikan :

Diferensiabel Kanan,h

afhafafh

)()(lim)(0

' += ++ dan

Deferensiabel Kiri,h

afhafaf

h

)()(lim)(

0

' +=

Kekontinuan suatu fungsi merupakan syarat perlu dari suatu fungsi yang diferensiabel.

Artinya untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi deferensiabel di suatu titik maka fungsi

tersebut harus kontinu di titik tersebut. Selanjutnya diperiksa apakah nilai diferensiabel

kanan sama dengan diferensiabel kiri. Hal ini diperlihatkan pada contoh berikut.


7/145

23Matematika Dasar

Danang Mursita


Contoh 2.2

Tentukan nilai a dan b agar fungsi

>+

=1,

1,2)(

2

xbax

xxxxf diferensiabel di x = 1.

Jawab :

Ditunjukkan f(x) kontinu di x = 1, yaitu

( )baxxffxx

+==++ 11

lim)(lim)1( atau a + b = 1

Dari diferensial kanan sama dengan diferensial kiri, didapatkan :

h

hh

h

bha

h

fhf

h

fhf

ff

hh

hh

1)1()1(2lim

1)1(lim

)1()1(lim

)1()1(lim

)1()1(

2

00

00

''

++=++

+=

+=

+

+

+

Dari persamaan terakhir didapatkan nilai a = 0. Sehingga nilai b = 1. Jadi agar fungsi

diferensiabel di x = 1 maka bentuk fungsi yaitu

>=

1,1

1,2)(

2

x

xxxxf

Untuk menentukan turunan suatu fungsi sangat sulit bilamana harus digunakan definisi

formal di atas, namun akan lebih mudah digunakan rumus sebagai berikut :

1.( )d xdx

r x r R

rr= 1 ;

2.( ) ( ) ( )d f x g x

dx

d f x

dx

d g x

dx

( ) ( ) ( ) ( )+= +

3.( ) ( ) ( )d f x g x

dxg x

d f x

dxf x

d g x

dx

( ) ( )( )

( )( )

( )= +

4.( ) ( ) ( )d

dx

g x d f x f x d g x

g x

f xg x

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

=

2

Contoh 2.3

Cari turunan dari fungsi berikut :

1.x

xf1

)( =

2. ( ) xxxf 12)( =

3.

1

1)(

2

+

+=

x

xxf


8/145

24Matematika Dasar

Danang Mursita


Jawab :

1. 211

)(

== xx

xf . Digunakan rumus pertama, didapatkan :

xxxxf

21

21)( 2

3

' ==

2. ( ) 21

23

212)( xxxxxf == . Digunakan rumus kedua, didapatkan :

xxxxxf

2

13

2

13)( 2

12

1' ==

Dapat juga diterapkan rumus ketiga dengan memandang f(x) = U(x) V(x) ,

xxVxxU == )(dan12)(3. Misal U(x) = x + 1 dan V(x) = x

2+1. Dengan menerapkan rumus keempat

didapatkan, ( )( ) ( )22

2

22

2

'

1

21

1

121)(

+=

+++=

x

xx

x

xxxxf

Soal latihan 2.1

( Nomor 1 sd 10 ) Tentukandy

dxdari :

1. yx

= 12

26

2. yx x

= 1 1

2

3. y = x ( x2

+ 1 )

4. ( )( )y x x x x= + + +4 3 22 2 15. ( )( )y x x x x= + +3 2 3 12 4

6. yx

=+

1

3 92

7. y xx

= 2 1

1

8. yx x

x=

++

2 3 1

2 1

2

9. yx x

x x=

+

+

2

2

2 5

2 3

10. yx x

x=

+ +

5 2 6

3 1

2


9/145

25Matematika Dasar

Danang Mursita


( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang

diberikan.

11. f xa x x

x bx x( )

;

;=

+ untukx x x x I1 2 1 2> ; , . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila

( ) ( )f x f x1 2< untuk x x x x I1 2 1 2> ; , . Fungsi naik atau turun disebut fungsimonoton.

Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan pengertian

berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( ) yang dibentukoleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan . Bila sudut lancip ( < )maka m > 0 dan m < 0 untuk > . Karena gradien garis singgung suatu kurva y =f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ( x ) dan selang fungsi naik atau fungsi turun

berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka kemonotonan fungsi diberikan

berikut :

1. Fungsi f(x) naik bila f x' ( )> 02. Fungsi f(x) turun bila f x' ( ) < 0


18/145

34Matematika Dasar

Danang Mursita


Contoh 2.12

Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi 52)(234

++= xxxxf Jawab :

Turunan pertama, xxxxf 264)(' 23 ++= . Untuk 0264)(' 23 >++= xxxxf , makafungsi naik pada 1 < x < - atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau < x < 0.

Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva

terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f (

x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang melalui

titik tersebut.

Definisi : Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f x' ( ) naik pada selang I,

sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f x' ( ) turun pada selang I.

Oleh karena itu dapat disimpulkan :

1. Bila f x x I"( ) ,> 0 maka f(x) cekung ke atas pada I dan2. Bila f x x I"( ) ,< 0 maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Contoh 2.13

Tentukan selang kecekungan dari fungsi :x

xxf

++

=1

1)(

2

Jawab :

Turunan pertama,( )2

2

1

12)('

x

xxxf

+

+=

Turunan kedua,( )31

4)("x

xf+

=

Fungsi cekung ke atas, 0)(" >xf pada selang x > -1 dan fungsi cekung ke bawah padaselang x < -1.

Soal Latihan 2.6

Tentukan selang kemonotonan dan kecekungan dari kurva berikut

1. ( )f x x( ) = 3 3


19/145

35Matematika Dasar

Danang Mursita


2. f x x x( ) = + 2 9 133 2

3. f x x x x( ) = + +3 22 1

4. f x x x( ) = +3 4 24 3

5. f x x x( ) = 6 43

6. f xx

x( ) =

22

7. f xx

x( ) =

+

2

2 1

2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot

Misal diberikan kurva f( x ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum

atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau

mempunyai gradien m = 0 ( )[ ]f a' = 0 . Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai x = adisebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.

Definisi : Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk setiap

x I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) 0 . Oleh karenaitu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 ) merupakan titik belok.

b. Dari f x x( ) = 4 maka f x x"( ) = 12 2 .Bila f x"( ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untukmenguji apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.

Untuk x < 0 dan x > 0 maka f x"( ) > 0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadiperubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.

c. Dari f x x( ) = +1

3 1 maka f x

x

"( ) = 2

95

3

. Terlihat bahwa f(x) tidak dapat

diturunkan dua kali di x = 0. Untuk x < 0 maka f x"( ) > 0 , sedangkan untuk x > 0maka f x"( ) < 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,1 )merupakan titik belok


21/145

37Matematika Dasar

Danang Mursita


Asymtot

Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva.

Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu :

1. Asymtot mendatar

2. Asymtot tegak

3. Asymtot miring

Misal diberikan kurva y = f ( x ). Maka garis y = b disebut asymtot mendatar dari y =

f ( x ) bila : lim ( )x

f x b

= atau lim ( )x

f x b

= . Sedangkan garis x = a disebut

asymtot tegakbila berlaku salah satu dari :1. lim ( )

x a

f x +

=

2. lim ( )x a

f x +

=

3. lim ( )x a

f x

=

4. lim ( )x a

f x

=

Contoh 2.16

Carilah asymtot datar dan asymtot tegak dari fungsi1

)(2

2

=

x

xxf

Jawab :

Asymtot datar, y = -1 sebab 11

lim)(lim2

2

=

=

x

xxf

xxatau 1)(lim =

xf

x

Asymtot tegak, x = -1 dan x = 1 sebab =

=

++ 1lim)(lim

2

2

11 x

xxf

xx

dan

=

= ++ 1

lim)(lim 2

2

11 x

xxf

xx

Garis y = a x + b dikatakan sebagai asymtot miring dari y = f ( x ) bila berlaku

( )[ ] ( )[ ]lim ( ) lim ( )x x

f x ax b f x ax b

+ = + =0 0atau . Untuk mendapatkan

asymtot miring dari fungsi rasional f xP x

Q x( )

( )

( )= [ pangkat P(x) = 1 + pangkat Q(x) ]

dilakukan dengan cara membagi P(x) dengan Q(x) sehingga hasilbagi yang didapatkan

merupakan asymtot miring dari f(x).


22/145

38Matematika Dasar

Danang Mursita


Contoh 2.17

Carilah asymtot dari fungsi1

32)(

2

= xxxxf

Jawab :

Asymtot datar tidak ada sebab =

)(lim xfx

atau =

)(lim xfx

.

Asymtot tegak, x = 1 sebab =

=

1

32lim)(lim

2

11 x

xxxf

xx

.

Asymtot miring, y = x 1 sebab ( ) 01

4lim1

1

32lim

2

=

=

xx

x

xx

xx

Grafik Fungsi

Dalam mengambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan menentukan terlebih

dahulu : selang kemonotongan, selang kecekungan, titik ekstrim dan jenisnya, titik

potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titik belok ( bila ada ), semua

asymtot ( bila ada ) dan titik lain ( sembarang ) yang dapat membantu memudahkan

menggambarkan grafik.

Soal latihan 2.7

( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari kurva dengan persamaan

berikut :

1. f x x x( ) = +3 23 2

2. f x x x( ) = +3 3 4

3. ( )f xx

x x( ) sin ,= < 1

0

2. f x x( ) = 2 13

3. f x x( ) = +4 25

4. f xx

x( ) ,=+

5

10

2

5. f xx

x( )

=

+

1

1

6. Tentukan range ( daerah hasil ) dari invers fungsi di atas ( nomor 1 sd 5 )

4.2 Fungsi Logaritma dan Eksponen

Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers dan

dinyatakan sebagai :

0,;log >== bxbxxy yb

Sifat-sifat logaritma :

1.b

log 1 = 0

2.b

log b = 1

3.b

log ac =b

log a +blog c

4.b

log a/c =b

log a -b

log c

5.b

log ar= r

blog a

6.

b

aa

c

cb

log

loglog =


30/145

66Matematika Dasar

Danang Mursita


Bilangan Natural

Bilangan natural dinotasikan dengan e dan didefinisikan sebagai :

( ) ( )e x xx

xx

x= + = + = lim lim , ...

0

11 1 1 2 718

Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :

ln ,xt

dt x

x

= >1

0

1

ln x =elog x

Turunan fungsi logaritma natural :

[ ]D x

xxln

=

1

Jadi secara umum : [ ]D uu

du

dx udu u C x ln ln= = +

1 1.

Contoh 4.2

Hitung integral + dxxx

cos1

sin

Jawab :

Misal u = 1 + cos x. Maka du = - sin x. Sehingga ( ) Cxdxx

x ++=+ cos1lncos1sin

Eksponen Natural

Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan

dinotasikan :

y e x yx= = ln

Sifat yang dapat diturunkan langsung dari definisi adalah :

1. e y yyln

,= > 0

2. ln ,e x x Rx =

Turunan dan integral dari eksponen natural:

( )D e e dudx

e du e C xu u u u= = +

Misal a > 0 dan x R. Didefinisikan : a ex x a= ln . Maka :


31/145

67Matematika Dasar

Danang Mursita


(i) [ ]D a a adu

dxxu u= (ln )

(ii) a du a a Cu u

= +1

ln

Misal y xx

a

a= =logln

ln. Maka ( )D x

x axa

logln

=1

.

Jadi secara umum ( )D uu a

du

dxxa

logln

=1

Contoh 4.3

Cari trunan pertama dari fungsi :

1. 122

)( = xexf

2. xxxf 5)( = Jawab :

1. Misal 12 2 = xu . Maka uexf =)( . Turunan pertama, 122

4 == xexdx

du

du

df

dx

df.

2. ( )5ln15 xdx

df x +=

Contoh 4.4

Selesaikan integral berikut :

1. ( ) dxx xx2

1021

2. ( ) dxex xx 1

0

221

Jawab :

1. Misal 2xxu = . Maka du = ( 1 2x ) dx dan ( ) Cdxxxx

xx +=

10ln

101021

22

2. Misal xxu 22 = . Maka du = ( 2x -2 ) dx. Sehingga :

( ) ( )12

1

0

1

2

11 12

1

0

2 22 == eedxex xxxx


32/145

68Matematika Dasar

Danang Mursita


Soal Latihan 4.2

( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari :

1. ( )y x x= +ln 2 5 62. y = x ln x

3. yx

x=

ln

2

4. yx

x x=

+

+

13

4 2 13( )

5.( ) ( )

yx x

x

=+ +

+

2 2 3 23 3 2

1

/

6. ( )y x= ln sin7. y + ln ( xy ) = 1

( Nomor 8 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :

8.4

2 1xdx

+

9.4 2

52

x

x xdx

+

+ +

10.( )

2

2x x

dxln

11.x

xdx

3

21+

12.3

1 21

4

x dx

13.( )

1

11

4

x xdx

+

( Nomor 14 sd 16 ) Carilah y dari :

14. yx x= 32 4

4

15. ( )y x= +10 2 9log16. y x= log

( Nomor 17 sd 22 ) Selesaikan integral tak tentu berikut :

17. x dx

x

2

2


33/145

69Matematika Dasar

Danang Mursita


18. 105 1x

dx

19. ( )x e dxx x+ + 3

26

20. ( )e e dxx x sec2 221. (cos )

sinx e dx

x

22. e dxx2 ln

4.3 Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi Trigonometri merupakan fungsi periodik sehingga pada daerah ( domainnya )bukan merupakan fungsi satu-satu. Ini berarti fungsi trigonometri tidak mempunyai

invers, Oleh karena itu untuk mendapatkan fungsi inversnya maka domain dari fungsitrigonometri harus dibatasi.

Misal f(x) = sin x. Maka agar f(x) = sin x merupakan fungsi satu-satu maka domainnya

diambil :

2 21 1x f x; ( )

Pada daerah di atas f( x ) = sin x merupakan fungsi satu-satu dan oleh karena itu

mempunyai invers. Notasi invers : x f x arc f x= =sin ( ) sin ( )1

Turunan fungsi invers Trigonometri

Misal y u u y=

sin ;1 1 12 2

dengan u merupakan fungsi dalam x.

Maka turunan ydy

dx'=

didapatkan sebagai berikut :

y u u ydy

du y= = =sin sin

cos1 1

Bila sin y = u maka cos y u= 1 2 . Oleh karena itu, dydu u

=1

1 2.

Jadi : yu

u'

'=

1 2.

Dengan menggunakan anti turunan dari invers sinus didapatkan rumus integral :

du

uu C

1 21

= + sin


34/145

70Matematika Dasar

Danang Mursita


Untuk fungsi invers trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan cara sama :

1. [ ]y u u y= cos ;1 1 1 0

yu

u

du

uu C'

'cos=

= +1 12 2

1

2. y u u y yu

u= < < <

coth ln , | |

''

coth , | |

1

2 21

1

2

1

11

1 11

4.

{ }y h uu

uu

yu

u u

du

u uh u C

= =+

<

=

= +

sec ln ,

''

sec | |

12

2 2

1

1 10 1

1 1

5.

{ }y h uu

u

uu

yu

u u

du

u uh u C

= = ++

=

+

+= +

csc ln| |

,

''

| |csc | |

12

2 2

1

1 10

1 1

Contoh 4.9

Cari turunan pertama dari : xehxf 1sec)( = Jawab :

Misal xeu = . Makaxe

xf21

1)('

=


40/145

76Matematika Dasar

Danang Mursita


Contoh 4.10

Hitung integral : + 4

2x

dx

Jawab :

Cx

x

xd

x

dx+

=

+

=+

2

sinh

12

2

4

1

22

Soal Latihan 4.5

( Nomor 1 sd 12 ) Tentukan dy/dx dari :

1. y x= +cosh ( )1 2 1

2. ( )y x= coth 1

3. ( )y h e x= csc 1 2

4. yx

= 1

1tanh

5. y x=

sinh

1 1

6. ( )y x= cosh cosh1

7. ( )y x= ln cosh 1

8. y x= coth 1

9. ( )y x= sinh tanh1

10. y e h xx= sec 1

11. yx

x=

+

tanh 1

1

1

12. ( )y x h x= + 1 110

csc

( Nomor 13 sd 20 ) Hitung integral berikut :

13.dx

x1 9 2+

14.dx

x2 2


41/145

77Matematika Dasar

Danang Mursita


15.dx

x9 252

16.dx

e x1 2

17.sin

cos

x dx

x1 2+

18.dx

x x1 6+

19.dt

t20

3

1+

20.dt

t t11 4

1 2

/

/

4.6 Limit Bentuk Tak Tentu

Dalam menentukan turunan dari fungsi berpangkat fungsi dapat digunakan sifat

logaritma natural. Misal y f x g x= ( ) ( ) . Maka didapatkan : ln ( ) ln ( )y g x f x= . Olehkarena itu, turunan dari y, yaitu :

y g x f xg x

f xf x f x g x' ' ( )ln ( )

( )

( )' ( ) ( ) ( )= +

Contoh 4.11

Tentukan turunan pertama dari fungsi ( ) xxy cos12 += Jawab :

Misal f(x) = 2x + 1 dan g(x) = cos x. Maka f (x) = 2 dan g (x) = - sin x. Sehingga

turunan pertama,

( ) ( ) xxx

xxxy cos12

12

cos212lnsin' +

+++=

Sedangkan limit dari fungsi berpangkat fungsi, lim lim ( ) ( )

x a x a

g xy f x

= akan

memunculkan bentuk tak tentu berikut : 0 10 0, dan . Untuk menyelesaikannya

dihitung: [ ]lim ln lim ( ) ln ( )x a x a

y g x f x

=


42/145

78Matematika Dasar

Danang Mursita


Misal nilai dari lim lnx a

y A

= . Maka limx a

Ay e

= .

Contoh 4.12

Hitung limit berikut

a. ( )limx

x x

+0

11

b. ( )lim tan cos

x

xx

2

c. lim

x

xx

+

0

Jawab :

a. Limit mempunyai bentuk tak tentu 1

. Misal ( )y x x= +11

. Maka

lim ln limln ( )

x xy

x

x =

+

0 0

1dan mempunyai bentuk tak tentu

0

0. Menggunakan

lhospital didapatkan : lim ln limx x

yx

=+

=0 0

1

11. Jadi ( )lim

xx ex

+ =

01

1

b. Limit mempunyai bentuk tak tentu 0. Misal ( )y x x= tan cos . Maka

( )lim ln lim cos ln tan limln tan

sec lim sec tanx x x x

y x xx

x x x

= = = =

2 2 2 2

2

10

Jadi ( )lim tancos

x

xx

=

2

1

c. Limit mempunyai bentuk tak tentu 00. Misal y = x

x. Maka

lim ln lim ln limln

limx x x x

y x xx

xx

+ + + += = = =

0 0 01

0

0. Jadi limx

xx +

=0

1

Soal Latihan 4.6

Hitung limit berikut ( bila ada ) :

1. lim ( )

xx x

1

11

2. ( )lim sinx

x x

+

0

1 21


43/145

79Matematika Dasar

Danang Mursita


3. lim cosx

x

x

22

4. ( )limln

x

xe

x

+ 0

21

1

5. ( )lim lnx

xx

+1 2

1

6. ( )lim lnx

x x

1

7. ( )limx

x x x

+3 5

1

8. limx

xx

x

++

1

2


44/145

103

Matematika Dasar

Danang Mursita


BAB 6 BARISAN DAN DERET

6.1 Barisan Bilangan

6.2 Deret Tak Hingga

6.3 Deret Berganti Tanda6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat

6.5 Deret Kuasa

6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin

6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa

6.1 Barisan Bilangan

Barisan bilangan tak hingga didefinisikan sebagai fungsi dengan domain merupakan

bilangan bulat positif. Notasi yang biasa digunakan adalah:

a : n { }a a an n=

=1 1 2

, ,... , n B+.

an merupakan suku barisan ke-n dan tiga buah titik setelah suku keduamenunjukkan bahwa suku-suku barisan tersebut sampai tak hingga.

Contoh 6.1

1.1

11

2

1

3

1

1n nn

==

, , ,..., ,....

2.n

n

n

nn+

=+=

1

1

2

2

3 11, ,..., ,....

3. ( ) ( ){ } ( ) ( ) + = ++ = +1 2 3 4 5 1 21

1

1n

n

nn n, , ,..., ,...

Barisan bilangan tak hingga

{ }a

n n=

1disebut barisan konvergen ke L bila

limn

na L

= , sedangkan bila limit tidak ada atau nilainya tak hingga maka barisan

bilangan tak hingga { }an n=

1disebut barisan divergen.

Sifat limit barisan :

1. limn

C C

=

2. ( )lim lim limn

n n

n

n

n

nCa Db C a D b

+ = +


45/145

104

Matematika Dasar

Danang Mursita


3. lim lim limn

n nn

nn

na b a b

=

4. lim lim lim ; limn

an

nn

nn

nn

n b a b b

= 0

Contoh 6.2

Selidiki kekonvergenan barisan bilangan berikut

1.

=

+

12

1

nn

n

2. ...,6

27,

4

9,

2

3

Jawab :

1. Suku ke-n,2

1

+=

n

nan . 1

2

1limlim =

+=

n

na

nn

n. Jadi barisan konvergen ke 1

2. ...,2

3...,,

6

3,

4

3,

2

3...,

6

27,

4

9,

2

3 32

n

n

= Suku ke-n ,n

an

n2

3= . Digunakan dalil

Delhopital, === 2

3ln3lim

2

3limlim

n

n

n

nn

n na . Jadi barisan divergen.

Definisi : Barisan Monoton

Barisan bilangan tak hingga { }an n=

1disebut barisan :

(i) Monoton Naikbila a an n +1 (ii) Monoton Turun bila a an n +1

Soal Latihan 6.1

( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan konvergensi barisan berikut !

1.n

n n+

=

2 1

2.( )

+

=

1 1

21

n

nn

3.

n

n

n

41

=


46/145

105

Matematika Dasar

Danang Mursita


4.n

n

n

n

++

=

3

11

5. 12

1

=

n

n

n

6.n

nn2 1

=

7.1

2

3

4

5

6

7

8, , , ,...

8.1

3

1

9

1

27

1

81, , , ,...

9. 1 12

12

13

13

14

, , ,...

10. ( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 5 , , ,...

6.2 Deret Tak Hingga

Bentuk deret tak hingga dinyatakan dengan notasi sigma sebagai berikut :

a a a ak kk

= + + + +=

1 2

1

... ...

akdisebut suku-suku deret.

Jumlah Deret

Misal Sn menyatakan jumlah parsial n suku pertama deret akk=

1

. Maka

S a

S a a

S a a a an n kk

n

1 1

2 1 2

1 21

== +

= + + + ==

....................

.....................

....................

...

Barisan { }Sn n=

1disebut barisan jumlah parsial deret ak

k=

1

.


47/145

106

Matematika Dasar

Danang Mursita


Misal { }Sn n=

1merupakan barisan jumlah parsial deret ak

k=

1

dan barisan { }Sn n=

1

konvergen ke S. Maka deret akk=

1 dikatakan deret konvergen ke S dan S disebut

jumlah dari deret akk=

1

, dinotasikan dengan : S akk

==

1

. Sedangkan bila barisan

{ }Sn n=

1divergen maka deret ak

k=

1

dikatakan deret divergen dan tidak ada jumlah.

Deret Geometri

Bentuk deret geometri yaitu : a r a a r a r k k

k

=

= + + + + 1 1

1

... ... dengan a 0 dan r

merupakan rasio. Pandang jumlah parsial n suku deret geometri berikut :

( )

S a a r a r

r S a r ... a r a r

Sa r

r

nn

nn n

n

n

= + + +

= + + +

=

...

..............................................................

1

1

1

1

Bila r =1 maka Sn tidak terdefinisi. Sedang untuk | r | > 1 maka limn

nr

= , sehingga

limn

nS

= atau barisan { }Sn n=

1divergen. Oleh karena itu, deret a rk

k

=

1

1

divergen.. Untuk | r | < 1 maka limn

nr

= 0 sehingga limn

nSa

r=

1atau barisan

{ }Sn n=

1 konvergen ke ( )a

r a1 0 . Jadi deret a rkk

=

11 konvergen ke

( )a

ra

10

atau a rk

k

=

1

1

= ( )a

ra

10

.


48/145

107

Matematika Dasar

Danang Mursita


Deret Harmonis

Bentuk deret harmonis yaitu :1

11

2

1

1k k

k

= + + + +

=

... ...

Pandang jumlah parsial n suku pertama deret :

Sn

n

n

n = + + +

+ + + +

+ +

> + + +

+ + + +

+ +

= + + + + +

11

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

11

2

1

4

1

4

1

8

1

8

1

8

1

8

1

11

2

1

2

1

2

1

...

...

....

Untuk n maka ( 1+ + + + 1/n ) , sehingga limn

nS

= . Oleh karena

itu, deret harmonis1

1k

k=

divergen.

Tes Konvergensi

Misal akk=

1

merupakan deret positif ( ak 0 ). Maka limk

ka

= 0 bila deret akk=

1

konvergen . Hal ini menunjukkan bahwa bila limk

ka

0 maka deret akk=

1

divergen. Menggunakan implikasi di atas dapat diselidiki kekonvergenan suatu deret

yang diberikan pada contoh berikut

Contoh 6.3

Selidiki kekonvergenan deret berikut :

1.

= +

01

12

kk

k

2.

= +

02 1

12

k k

k

Jawab :


49/145

108

Matematika Dasar

Danang Mursita


1. Suku ke-k,1

12

+

=k

kak dan 2

1

12limlim =

+

= k

ka

kk

k. Sebab nilai limit tidak

sama dengan nol maka deret divergen.

2. Suku ke-k,1

12

2 +

= k

k

ak dan 01

12

limlim 2 =+

= k

k

a kk

k . Sebab nilai limit sama

dengan nol maka implikasi di atas tidak dapat digunakan untuk menentukan

kekonvergenan deret.

Untuk mengetahui konvergenan suatu deret dilakukan tes konvergensi sebagai berikut :

1. Tes Integral

Misal ak

k=

1

merupakan deret positif. Maka :

(i) Deret konvergen bila a dkk1

konvergen

(ii) Deret divergen bila a dkk1

divergen

Contoh 6.4

Selidiki kekonvergenan deretk

ekk2

1=

Jawab :

a dkk

a

dk eb

ee e

kb k

b

b

k

b b1 12

2

2

1

2 1

1

2

1 1 1

2

= =

=

=lim lim lim

Karena integral tak wajar di atas konvergen ke1

2emaka deret

k

ekk2

1=

konvergen ke

1

2edan

k

ekk2

1=

= 12e

.

2. Tes Deret-p

Bentuk deret-p atau deret hiperharmonis :1

1 kp

k=

dengan p > 0.

Menggunakan tes integral didapatkan :


50/145

109

Matematika Dasar

Danang Mursita


1 1

1

11

11

kdk

p bp b p=

lim

Bila p > 1 maka limb

pb =1 01 , sehingga 1 1 1

1k

dkpp

=

( konvergen ). Oleh

karena itu, deret1

1 kp

k=

untuk p > 1 konvergen ke 1

1p . Untuk 0 < p < 1 maka

limb

pb =

1

1sehingga

1

1k

dkp

divergen. Sedang untuk p = 1 didapatkan deret

harmonis. Oleh karena itu, deret1

1 kpk=

untuk 0 < p 1 divergen.

3. Tes Perbandingan

Misal akk=

1

dan bkk=

1

merupakan deret positif dan berlaku a b kk k , . Maka:

(i) Bila deret bk

k=

1

konvergen maka deret ak

k=

1

konvergen

(ii) Bila deret bkk=

1

divergen maka deret akk=

1

divergen

Contoh 6.5

Tentukan konvergensi deret berikut

1.1

12

kk

=

2.k

kk3

1 1+=

Jawab :

1. Pandang :1 1

1k k 1 maka deret akk=

1

divergen

(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ).

Contoh 6.6

Selidiki kekonvergenan deret1

1k

k!=

Jawab :

Misal akk

=1

!. Maka lim lim

k

k

k k

a

a k+

=

+=1

1

10 . Jadi deret

1

1k

k!=

konvergen

5. Tes Akar

Misal akk=

1

deret positif dan limk

kk a a

= . Maka :

(i) Bila a < 1 maka deret akk=

1

konvergen

(ii) Bila a > 1 atau a = maka deret akk=

1

divergen

(iii) Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ).


52/145

111

Matematika Dasar

Danang Mursita


Contoh 6.7

Tentukan kekonvergenan deret3 2

2 11

k

k

k

k

+

=

Jawab :

Misal ak

kk

k

=+

3 2

2 1. Maka lim lim

kk

k

ka

k

k =

+

=3 2

2 1

3

2. Jadi deret

3 2

2 11

k

k

k

k

+

=

konvergen.

6. Tes Limit Perbandingan

Misal akk=

1

dan bkk=

1

merupakan deret positif dan limk

k

k

a

bl

= . Maka kedua deret

konvergen atau divergen secara bersama-sama bila l < dan l 0.

Contoh 6.8

Tentukan konvergensi deret1

122 kk =

Jawab :

Pandang deret-p ,1

22 kk=

konvergen. Misal a

kb

kk k= =

1 1

12 2dan . Maka

lim limk

k

k k

a

b

k

k =

=

2

2

11. Jadi deret

1

122 kk =

konvergen.

Soal Latihan 6.2


1.1

3 51k

k +=

2.1

5 21 k kk =

3.2 1

3 21

k

kk k

+=


53/145

112

Matematika Dasar

Danang Mursita


4.5 2

1

sin

!

k

kk=

5.

2

41 k kk +=

6.3

141 kk =

7.9

11

kk

+=

8.k

k kk

+

=

12

1

9.1

81

kk

+=

10.k

kk 22

1 +=

sin

11.4 2 6

8 8

2

71

k k

k kk

+

+ =

12.

5

3 11k

k +=

13.( )

( )( )( )

k k

k k kk

++ + +=

3

1 2 51

14.1

8 3231 k kk =

15.

( )

1

2 317

1 kk +=

16.1

2 131 k kk + +=

17.1

9 21

kk

=

18.k

kk3

1 1+=


54/145

113

Matematika Dasar

Danang Mursita


19.

( )

1

32 5

1 +=

kk/

20.ln k

kk=

1

21.4

2 31 +=

kk k

22.( )

1

11 k kk +=

23.5

31

k

k

k

k

++=

!

6.3 Deret Berganti Tanda

Bentuk deret berganti tanda : ( )=

1

1

kk

k

a atau ( ) +

=

1 1

1

kk

k

a dengan ak 0.

Pengujian konvergensi deret berganti tanda dilakukan dengan cara berikut :

Deret berganti tanda ( )=

11k

kk

a atau ( )+

=

11

1

kk

ka konvergen bila dipenuhi dua

syarat :

(i) a ak k +1 (ii) lim

kka

= 0

Bila paling sedikit salah satu syarat tidak dipenuhi maka deret dikatakan divergen.

Contoh 6.9

Tentukan konvergensi deret :

1. a. ( )=

1

1

1

k

kk

2. ( )+

++

=

1

312

1

k

k

k

k k

Jawab :


55/145

114

Matematika Dasar

Danang Mursita


1. Misal akk

=1

. Makaa

a

k

k k

k

k+=

+= + >

1

11

11. Oleh karena itu, a ak k +1 .

Sedangkan lim limk

kk

a

k = =

10 . Jadi deret ( )

=

1

1

1

k

k k

konvergen.

2. Misal ak

k kk =

+

+

3

2. Maka

( )a

a

k

k k

k k

k

k k

k k

k

k k

k

k+=

+

+

+ + ++

=

+ +

+= +

+

+>

12

2 2

2 2

3 1 1

4

5 6

41

6

41

( ). Oleh karena

itu, a ak k +1 . Sedangkan lim limk

kk

ak

k k =

+

+=

30

2. Jadi deret

( )+

+

+

=

1

31

21

k

k

k

k kkonvergen.

Soal Latihan 6.3


1. ( ) +

=

1

3

1

1

kk

k

k

2. ( ) ++

+

=

1 41 21

k

k

k

k k

3.

=

3

51

k

k

4. ( )=

1

1

k

k

k

k

ln

5. ( ) +

=

1 1

1

k k

k

e


56/145

115

Matematika Dasar

Danang Mursita


6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat

Deret uk

k=

1

disebut konvergen mutlak bila deret uk

k=

1

konvergen. Bila deret

konvergen mutlak maka konvergen. Sedang deret ukk=

1

disebut konvergen

bersyarat bila deret ukk=

1

konvergen tetapi deret ukk=

1

divergen.

Pengujian kekonvergenan ( mutlak ) deret ukk=

1

dilakukan dengan tes ratio.

Misal ukk=

1

dengan uk 0 dan limk

kk

uu

r

+ =1 . Maka

(i) Bila r < 1 maka deret ukk=

1

konvergen absolut

(ii) Bila r > 1 maka deret ukk=

1

divergen

(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan

Contoh 6.10

Selidiki deret berikut konvergen mutlak / bersyarat / divergen :

1. ( )

=

1

51

kk

k

k

2.( )

=

42

1

k

k k

3.( )

=

1

1

k

kk

Jawab :

1. Misal ( )uk

kk

k=

1

5. Maka lim lim

k

k

k kk

ku

u

k

k+

+=

+=1

1

1

5

5 1

5. Jadi deret

( )

=

1

51

k

kk

kkonvergen mutlak.


57/145

116

Matematika Dasar

Danang Mursita


2. Misal( )

uk

k

k

= 4

2. Maka

( )

( ) ( )lim lim

k

k

k k

k

k

u

u k

k

+

+=

+ =1

1

2

24

1 44 . Jadi deret

( )

=

4

21

k

k kdivergen.

3. Bila dilakukan pengujian di atas maka didapatkan r = 1 ( gagal ). Dari contoh

sebelumnya, deret( )

=

1

1

k

kk

konvergen tetapi deret( )

==

=

1 1

1 1

k

k kk k

divergen

( deret harmonis ). Jadi deret( )

=

1

1

k

kk

konvergen bersyarat.

Soal Latihan 6.4

Selidiki kekonvergenan ( mutlak, bersyarat dan divergen ) deret berikut

1. ( )=

1

1

k

k

k

k

ln

2. ( ) +

=

1 21

1

kk

kk!

3. ( )+

=

11

1

kk

k

k

k!

4.( ) +

=

1

1

14

3

k

k k

5. ( )=

1

51

kk

k

k

6.cos

!

k

kk

=

1

6.5 Deret Kuasa

Bentuk umum deret kuasa dalam (x - b ) yaitu :

( ) ( ) ( )a x b a a x b a x bkk

k

= + + +=

00 1 2

2 ... (*)

Sedang untuk b = 0 maka bentuk deret sebagai berikut :


58/145

117

Matematika Dasar

Danang Mursita


a x a a x a xkk

k=

= + + +

00 1 2

2 ... (**)

Deret kuasa bentuk (*) konvergen untuk x = b dan bentuk (**) konvergen untuk x = 0( yaitu konvergen ke a0). Pengujian apakah ada nilai x yang lain yang menyebabkan

deret konvergen dilakukan sebagai berikut :

Misal diberikan deret ( )a x bkk

k

=

0

dan( )

( )lim

x

kk

kk

a x b

a x bL

+

+

=1

1

Maka : (1) L < 1, deret ( )a x bkk

k

=

0

konvergen ( mutlak )

(2) L > 1, deret ( )a x bkk

k

=

0divergen.

Untuk L = 1 tidak dapat disimpulkan, pengujian konvergensi deret dilakukan dengan

mensubstitusikan nilai x yang bersesuaian dengan L = 1 sehingga didapatkan bentuk

deret bilangan. Pengujian konvergensi deret bilangan dilakukan dengan berbagai uji

( Uji perbandingan, rasio, integral dll ) baik deret positif maupun deret berganti tanda.

Nilai x yang didapatkan dari pengujian di atas disebut radius konvergensi atau selang

konvergensi deret.

Contoh 6.11

Tentukan selang konvergensi deret kuasa :3

10

k k

k

x

k( )+=

Jawab :

( )

( )L

x

k

k

xx

k

kx

k

k k

k kk

=+

+=

++

=

+ +

lim lim

3

2

1

33

1

23

1 1

Deret konvergen bila L < 1. Oleh karena itu, | 3 x | < 1 atau

< 0. Ini berarti bahwa nilai s bertambah besar bila t bertambah besar. Dengan

teorema balikan didapatkan :

)(

11

tvds

dt

dtds

==

Misal )(tT merupakan vektor singgung satuan di P(t), yaitu vektor yang didapatkan

dengan menormalisasikan vektor )(tv . Maka dapat dituliskan dengan

)('

)('

)(

)()(

tr

tr

tv

tvtT ==

Maka vektor kelengkungan di P(t) diberikan dengan

)()('

tvtT

dsTd

dtds

dt

Td

== .

Besar vektor Kelengkungan di P(t) dinamakan Kelengkungan dan dinotasikan dengan

)(

)('

tv

tT

ds

TdK == .

Untuk mendapatkan nilai kelengkungan menggunakan rumus di atas kadang mengalami

kesulitan. Akan diberikan rumus lain sebagai berikut. Misal kurva bidang atau lintasan

dinyatakan dengan x = x(t) dan y = y(t) atau jtyitxtr )()()( += . Maka kelengkungandihitung menggunakan

( ) ( )[ ] 23

22 ''

'""'

yx

yxyxK

+

=

Sedangkan bila persamaan lintasan dinyatakan dengan y = f(x), maka kelengkungan

dihitung menggunakan

( )[ ] 23

2'1

"

y

yK

+=

Dapat disimpulkan bahwa kelengkungan merupakan bilangan positif atau besaran yang

menyatakan seberapa tajam sebuah kurva melengkung. Hal ini dapat dikatakan bahwa


91/145

150

Matematika Dasar

Danang Mursita


sebuah garis akan mempunyai kelengkungan nol. Sedangkan kurva yang berbelok

semakin tajam akan mempunyai kelengkungan yang semakin besar.

Contoh 8.11Tentukan besar kelengkungan dari vektor bidang yang diberikan berikut :

1. jtittr 3221

3

1)( += di t = 1

2. y = cos 2x di

2

1,

6

Jawab :

1. Dari jtittr 3221

3

1)( += didapatkan 32

3

1)(dan

2

1)( ttyttx == . Digunakan

rumus( ) ( )[ ] 2

322 ''

'""'

yx

yxyx

K+

= maka kelengkungan di t = 1, K = 525

2

2. Digunakan rumus

( )[ ] 23

2'1

"

y

yK

+= maka kelengkungan di

2

1,

6

, K =

4

1

Soal Latihan 8.3

( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan vektor kecepatan , vektor percepatan dan laju dari partikel

sepanjang kurva bidang di titik yang diberikan berikut.1. 1,2)(,2)( 2 === tttyttx

2. 1,4

1)(,

2

1)( 42 === tttyttx

3. 3,6)(,12)( =+=+= tttyttx

4. ( )2,1,xey x +=

5.

=

2

2,

4,cos

xy

( Nomor 6 sd 10 ) Carilah vektor kelengkungan dan besar kelengkungan di titik yangdiberikan dari kurva bidang berikut

6. jtittr 42

4

1

2

1)( += ; t = 1

7.4

;cos3sin2)(

=+= tjtittr

8. ( )0,1;12 = xy

9. ( )2,3;12 += xy

10.

= 2ln,4

;cosln

xy


92/145

151

Matematika Dasar

Danang Mursita


8.4 Komponen Normal dan Tangensial

Misal diberikan lintasan yang

dinyatakan oleh jtyitxtr )()()( +=

dan )(tNN = merupakan vektornormal satuan, yaitu vektor yang

tegak lurus dengan vektor singgung

)(tT di P(t). Seperti terlihat pada

gambar disamping. Oleh karena itu

dapat didefinisikan vektor normal

tersebut sebagai berikut.

ds

Td

KN

ds

Td

dsTd 1

== atau NKds

Td=

Besar vektor percepatan didapatkan dari penurunan sekali lagi vektor kecepatan.

Sedangkan vektor kecepatan didapatkan dari persamaan)('

)('

)(

)()(

tr

tr

tv

tvtT == atau

)()()()( tTdt

dstTtvtv == . Maka vektor percepatan :

dt

Td

dt

dstT

dt

sd

dt

vdta +== )()(

2

2

.

Menggunakan persamaandt

ds

ds

Td

dt

Td= dan NK

ds

Td= maka vektor percepatan,

NKdtdsT

dt

sdta

+= 2

22)( )(tTT =

Bila persamaan di atas dipandang sebagai suku-suku dalam T dan N maka koefisien dari

T yaitu2

2

dt

sdaT = disebut komponen tangensial percepatan. Sedangkan koefisien dari N

yaitu Kdt

dsaN

2

= disebut komponen normal percepatan. Jadi bentuk vektor

percepatan dapat dituliskan menjadi NaTata NT +=)( . Karena | T | = | N | = 1 dan

dua vektor N dan T saling tegak lurus maka didapatkan hubungan , NT aata +=)(

atau 222

)( NT aata += .

Contoh 8.12

Tentukan komponen normal dan komponen tangensial vektor percepatan dari

jtittr += 2)( di t = 1.

Jawab :

P(t)

)(tT

)(tN


93/145

152

Matematika Dasar

Danang Mursita


Vektor kecepatan , jittv += 2)(

Vektor percepatan, ita 2)( =

Laju, 14)( 2 +== ttvdt

ds

Komponen tangensial,

14

4

22

2

+==

t

t

dt

sdaT . Untuk di t= 1, maka

5

4=Ta . Dengan

demikian didapatkan komponen normal,

14

4

14

164)(

22

2222

+=

+==

tt

tataa TN atau

14

2

2 +=

t

aN . Untuk di t = 1 maka

5

2=Na .

Sola Latihan 8.4

Tentukan komponen normal dan komponen tangensial vektor percepatan di nilai yang

diberikan dari :

1. jtittr 3)( += di t = 2

2. jtietr t 2cosh)( 2 = di t = 0

3. jtittr 21)( 2 = di ( 0,-2 )

4. ( ) ( ) 32

cos14sin14)( =++= tdijtittr

5. ( ) jtittr 23ln)( = di t = 1


94/145

153

Matematika Dasar

Danang Mursita


BAB 9 FUNGSI PEUBAH BANYAK

9.1 Domain dan Range

9.2 Permukaan

9.3 Turunan Parsial9.4 Vektor Gardien dan Turunan Berarah

9.5 Nilai Ekstrim

9.1 Domain dan Range

Fungsi dua peubah f didefinisikan sebagai pengaitan setiap elemen dari

( ){ }D x y x y= , , ke suatu bilangan real ( ), dinotasikan dengan :

( ) ( ) zyxfyx

Df

=

,,

:

x dan y merupakan peubah bebas, sedangkan z merupakan peubah tak bebas. Himpunan

D 2 merupakan domain / daerah asal dari f(x,y), dinotasikan dengan Df. Sedangkanhimpunan ( ) ( ){ }Dyxyxfzz = ,,, merupakan Range / daerah hasil, dinotasikandengan Rf.

Untuk mencari domain fungsi dua peubah dilakukan dengan cara mencari nilai x dan y

yang memenuhi f(x,y) . Sedangkan range ditentukan dari nilai fungsi f (x,y ) untukx dan y yang terletak di dalam domainnya. Agar lebih memperjelas pengertian tentang

domain dan range fungsi dua peubah, diberikan contoh berikut.

Contoh 9.1

Tentukan Domain dan range dari fungsi berikut.

1. ( ) ( )1, += xyyxf

2. ( )22

1,

yxyxf

+

=

Jawab :

1. Karena ( ) ( ) += 1, xyyxf maka y ( x + 1 ) 0. Didapatkan y 0 dan x -1atau y 0 dan x -1. Jadi Domain,

( ){ }0101, = ydanxatauydanxyxDf . Bila ( x,y ) Dfdisubstitusikan ke dalam f(x,y) maka f( x,y ) 0. Jadi [ )= ,0fR .

2. Karena x2

+ y2 0 dan f ( x,y ) maka penyebut tidak nol atau ( x,y ) ( 0,0 ).

Jadi domain, ( ) ( ) ( ){ }0,0,, = yxyxDf . Untuk ( x,y ) Df maka range,

( )0,=fR .


95/145

154

Matematika Dasar

Danang Mursita


Soal Latihan 9.1

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut :

1. f x y x y( , ) ( )= 1

2. f x yx

y( , ) =

1

3. f x yy

x( , ) = 2

4. f x yx

y( , ) =

5. f x y

x y

x y( , ) =

+

6. f x yy

x( , ) =

1

7. f x yx y

x y( , ) =

2

2 2

8. f x yx y

x y( , ) =

+ 1

9. f x y x( , ) = 2 110. f ( x,y ) = ln ( xy )

11. f x yx y

x y( , ) =

+

2 2

2 2

12. f x y x y( , ) = 1 2 2

9.2 Permukaan

Posisi suatu titik ( a,b,c) di dalam koordinat ruang / koordinat kartesius ( sumbu X ,

sumbu Y dan sumbu Z ) dalam aturan tangan kanan digambarkan berikut.

Grafik fungsi dua peubah f(x,y) merupakan bidang atau permukaan. Bentuk umum

bidang dituliskan : a x + b y + c z = d dengan a,b,c,d R. Bila b = 0 dan c = 0 maka ax = d merupakan bidang sejajar bidang YOZ, sedangkan b y = d merupakan bidang

sejajar bidang XOZ dan a z = d merupakan bidang sejajar bidang XOY.


96/145

155

Matematika Dasar

Danang Mursita


Beberapa bentuk permukaan diberikan berikut :

1. Bola pusat di O dan jari-jari a > 0, x y z a2 2 2 2+ + =

2. Ellipsoida pusat O, x

a

y

b

z

ca b c2

222

22

1 0+ + = >; , ,

3. Hiperboloida berdaun satu pusat di O,x

a

y

b

z

ca b c

2

2

2

2

2

21 0+ = >; , ,

4. Hiperboloida berdaun dua pusat di O,x

a

y

b

z

ca b c

2

2

2

2

2

21 0 = >; , ,

5. Parabolida elliptik pusat di O,x

a

y

b

z

ca b c

2

2

2

20+ = >; , ,

6. Paraboloida Hiperbolik pusat di O,x

a

y

b

z

ca b c

2

2

2

20 = >; , ,

7. Kerucut pusat di O,x

a

y

b

z

ca b c

2

2

2

2

2

20 0+ = >; , ,

8. Tabung , x y a2 2 2+ = , y z a2 2 2+ = atau x z a2 2 2+ =

Secara umum perpotongan antara dua buah grafik fungsi dua peubah akan merupakan

garis atau lengkungan. Bila kurva z = f(x,y) dipotongkan dengan bidang horisontal z = k

( k konstanta ) maka akan didapatkan suatu keluarga garis atau lengkungan dan disebut

lengkungan Ketinggian dari z = f(x,y).

Contoh 9.2

Tentukan lengkungan ketinggian dari yxyxf = 2),(Jawab :

Grafik yxyxf = 2),( dipotongkan dengan garis z = k. Jadi x2 - y = k. Persamaanterakhir berbentuk parabola terbuka ke atas dengan titik puncak pusat sumbu.

Z

c

(a,b,c)

O b Y

a

X


97/145

156

Matematika Dasar

Danang Mursita


Soal latihan 9.2

( Nomor 1 sd 8 ) Tentukan bentuk kurva dan gambar grafik dari :

1. 4 9 36 362 2 2x y z =

2. 4 9 8 18 4 192 2 2x y z x y z+ + + =

3. 4 9 362 2 2x y z + =

4. x y x y z2 24 4 16 16 20 0+ + + + =

5. x y z x y z2 2 216 4 4 96 16 62 + + + + =

6. x y z x y2 2 24 2 8 5 0+ + =

7. 9 9 4 8 39 02 2 2x y z x y z+ + =

8. x y z x y z2 2 23 2 6 6 4 14 0+ + + + =

( Nomor 9 sd 16 ) Tentukan lengkungan ketinggian dari :

9. f x y x y( , ) = +4 92 2

10. f x y x y( , ) = 2 2

11. z x y= +

12. z x y= 4 92 2

13. z y x= 10 2 2

14. z y x= 16 42 2

15. x y z2 2 24 4 16+ + =

16. ( ) ( )4 1 9 36 1 362 2 2x y z + =

9.3 Turunan Parsial

Bila dua garis berpotongan maka akan menghasilkan sebuah titik, sedangkanperpotongan antara dua buah bidang atau permukaan berupa garis atau lengkungan.

Secara geometris, turunan parsial terhadap x dari fungsi dua peubah, f(x,y) di titik

P(a,b,f(a,b)), fx(a,b) merupakan gradien garis singgung ( garis g - pada Gb. 1 ) dari

lengkungan perpotongan antara permukaan f(x,y) dengan bidang y = b di titik P.

Sedangkan turunan parsial terhadap y dari fungsi dua peubah, f(x,y) di titik P(a,b,f(a,b)),

fy(a,b) merupakan gradien garis singgung ( garis g - pada Gb. 2 ) dari lengkungan

perpotongan antara permukaan f(x,y) dengan bidang x = a di titik P.


98/145

157

Matematika Dasar

Danang Mursita


Secara formal turunan parsial terhadap x dan y dari fungsi dua peubah f(x,y) di (a,b)

diberikan :

( )( ) ( )

( )( ) ( )

f a bf a h b f a b

h

f a bf a b h f a b

h

xh

yh

, lim, ,

, lim, ,

=+

=+

0

0

Notasi lain yang biasa digunakan untuk turunan parsial adalah : ff

xf

f

yx y= =

dan .

Dalam perhitungan turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x, fx(x,y) dapat dilakukan

dengan menggunakan rumus turunan fungsi satu peubah dengan memandang peubah y

sebagai konstan. Demikian pula untuk menghitung fy(x,y) dapat dipandang merupakan

fungsi satu peubah y dengan memandang peubah x sebagai konstan.

Untuk fungsi tiga peubah, w = f( x,y,z ), turunan parsial dari f terhadap x, y dan z di

( x,y,z ) didefinisikan sebagai :

( ) ( )

f

xf x y z

f x h y z f x y z

hx

h= =

+

( , , ) lim

, , , ,

0

( ) ( )

f

y f x y zf x y h z f x y z

hy h= =+

( , , ) lim

, , , ,

0

( ) ( )

f

zf x y z

f x y z h f x y z

hz h= =

+

( , , ) lim

, , , ,

0

Contoh 9.3

Tentukan turunan parsial terhadap peubah bebasnya dari fungsi berikut.

1. ( )f x y y x( , ) = + 1

Z g

P(a,b,f(a,b)) z = f(x,y)

O b Y

X

Gb. 1

Z

g

P(a,b,f(a,b)) z=f(x,y)

O Y

a

X

Gb. 2


99/145

158

Matematika Dasar

Danang Mursita


2. f x y zz

xy( , , ) =

+1

Jawab :

1. f x yy

y xf x y

x

y xx y( , )

( ); ( , )

( )=

+= +

+2 11

2 1

2.( ) ( )

f x y zyz

xyf x y z

xz

xyf x y z

xyx y z( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )=

+=

+=

+1 1

1

12 2

Limit dan Kekontinuan

Konsep turunan parsial dari fungsi dua peubah walaupun didefinisikan dalam bentuk

limit namun merupakan limit dari satu peubah karena peubah lain kita pandang sebagaikonstan. Sedangkan limit dari dua peubah itu sendiri dan diberikan berikut.

Limit dari fungsi z = f( x,y ) di ( a,b ) sama dengan L, dinotasikan dengan

lim ( , )( , ) ( , )x y a b

f x y L

= berarti bahwa untuk nilai seberapapun kecilnya, misal > 0,

akan ada ( terdapat ) nilai > 0 sehingga berlaku : ( )f x y L, < 0 bila

( ) ( )0 <


100/145

159

Matematika Dasar

Danang Mursita


Secara intuitif fungsi dua peubah dikatakan kontinu di suatu titik bilamana tidak terjadi

loncatan atau fluktuasi di titik tersebut. Secara formal diberikan definisi berikut.

Definisi : Fungsi dua Peubah Kontinu

Fungsi z = f (x,y ) dikatakan Kontinu di titik ( a,b ) bila :

1. f ( a,b ) terdefinisi.

2. Limit dari z = f(x,y ) di titik ( a,b ) ada.

3. lim ( , ) ( , )( , ) ( , )x y a b

f x y f a b

=

Sebuah fungsi akan kontinu bila merupakan jumlah, selisih, hasilkali atau komposisi

dari dua fungsi yang kontinu pula. Sedangkan hasilbagi dua fungsi yang kontinu juga

akan kontinu kecuali pada nilai yang menyebabkan penyebut sama dengan nol. Dari

beberapa sifat tersebut kita dapat menentukan daerah yang menyebabkan fungsi duapeubah kontinu, seperti contoh yang diberikan berikut.

Contoh 9.4

Tentukan daerah yang menyebabkan fungsi f x yx

y( , ) =

1kontinu.

Jawab :

Daerah yang menyebabkan f(x,y) kontinu adalah { }( , )x y y 1

Turunan Parsial Kedua

Bentukff

xf

f

yx y= =

dan berturut-turut merupakan notasi turunan parsial pertama

terhadap x dan terhadap y dari z = f(x,y). sedangkan turunan parsial kedua dari z =

f(x,y) didapatkan dengan menurunkan secara parsial ( terhadap x dan y ) dari turunan

parsial pertamanya.

f

xx

fx

f

f

yy

fy

f

f

y

x

f

x yf

f

x

y

f

y xf

xx yy

yx xy

= =

= =

= =

= =

2

2

2

2

2 2

Secara umum, f fxy yx . Hal ini diperlihatkan pada contoh berikut.


101/145

160

Matematika Dasar

Danang Mursita


Misal f x yxy

x y

x yx y

x y

( , ); ( , ) ( , )

; ( , ) ( , )

=

+

=

2 2

2 20 0

0 0 0

. Akan ditunjukkan bahwa

f fxy yx( , ) ( , )0 0 0 0 .

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ). ( , ) lim, ,

( ). ( , ) lim, ,

( ). ( , ) lim, ,

( ). ( , ) lim

, ,

1 00 0

2 00 0

3 0 00 0 0 0

1

4 0 0

0 0 0 0

1

0

0

0

0

f yf h y f y

hy

f xf x h f x

hx

ff h f

h

f

f h f

h

xh

yh

yxh

y y

xy h

x x

=+

=

=+

=

=+

=

=

+

=

Dalam aplikasi pada bidang teknik yang sering dijumpai adalah f fxy yx= . Syarat

perlu dan cukup agar keduanya sama diberikan berikut. Misal turunan parsial pertama

dan kedua dari f(x,y) : f f f fx y xy yx, , dan kontinu pada domain ( buka )@ D. Maka

f fxy yx= untuk setiap (x,y) D.

Contoh 9.5

Tentukan semua turunan parsial kedua dari f x yx y

( , ) = +1

2 2

Jawab :

Turunan parsial pertama,

( ) ( )f x y

x

x y

f x yy

x yx y( , ) ; ( , )=

+=

+

2 2

2 2 2 2 2 2

Turunan parsial kedua,

( ) ( )( )

( )f x y

y x

x y

f x yx y

x y

f x y f x yxy

x yxx yy yx xy( , ) ; ( , ) ; , ( , )=

+=

+= =

+

2 6 2 6 82 2

2 2 3

2 2

2 2 3 2 2 3

Bidang Singgung

Bila kita mempunyai dua buah titik maka dapat dibuat sebuah garis. Sedangkan bila kita

mempunyai dua buah garis maka dapat dibuat sebuah bidang. Pengertian sederhana ini

akan kita gunakan untuk mendefinisikan sebuah bidang singgung dari suatu permukaan

z = f(x,y).

@ Himpunan D disebut himpunan buka bila untuk setiap titik yang terletak di dalam D dapat dibuat lingkaran

berpusat di titik tersebut sehingga semua daerah lingkaran terletak di dalam D. Contoh

{ }D x y x y= > >( , ) 0 0dan

, daerah di kuadran pertama merupakan himpunan buka.


102/145

161

Matematika Dasar

Danang Mursita


Misal C merupakan kurva dari z = f(x,y) dan titik P ( a,b,c ) terletak pada C. Maka

didapatkan beberapa garis singgung yang melalui titik P dengan dua di antaranya

mempunyai slope ( gradien ) : f a b f a bx y( , ) ( , )dan . Bidang yang dibentuk oleh dua

garis singgung tersebut disebut Bidang Singgung dari z = f(x,y) di titik P. Bentuk

Persamaaan bidang singgung dari z = f(x,y) di titik P ( a,b,c ) :f a b x a f a b y b z cx y( . ) ( ) ( , ) ( ) + =

Garis Normal dari z = f (x,y ) di titik P merupakan persamaan garis yang tegak lurus

pada bidang singgung dari z = f(x,y) di titik P. Persamaan garis normal dari z = f (x,y )

di titik P ( a,b,c ) adalah :

x a f a b t

y b f a b t

z c t

x

y

= =

=

( , )

( , )

Bentuk persamaan garis normal di atas disebut Persamaan parametrik. Bila

f a b f a bx y( , ) ( , ) 0 0dan maka persamaan garis normal dapat dituliskan :x a

f a b

y b

f a bz c

x y

=

=

( , ) ( , )

Contoh 9.6

Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal dari f x y xe y( , ) = di ( 1,0,1 ).Jawab :

Nilai turunan parsial pertama di ( 1,0,1 ) :

( ) ( )

( ) ( )

f x y e f

f x y xe f

xy

x

yy

y

, ,

, ,

= =

= =

1 0 1

1 0 1

Persamaan bidang singgung,

( x - 1 ) - y = z - 1 atau x - y - z = 0.

Persamaan garis normal,

x y z = = 1 1 ataux t

y t

z t

==

=

1

1

Diferensial Total

Pengertian dari diferensial ( total ) dari z = f ( x,y ) di titik P ( a,b,c ) dapat diturunkan

dari persamaan bidang singgung dari z = f ( x,y ) di titik tersebut. Misal dibuat salib

sumbu baru yang mempunyai pusat salib sumbu di titik P ( a,b,c ) dan diambil dx = x - a

, dy = y - b dan dz = z - c. Maka diferensial total dari z = f ( x,y ) di P ( a,b,c )

didefinisikan sebagai :

f a b dx f a b dy dzx y( . ) ( , )+ =


103/145

162

Matematika Dasar

Danang Mursita


Contoh 9.7

Tentukan diferensial total dari ( )f x y x y y, = +5 12 3

Jawab :

Turunan parsial pertama, ( ) ( )f x y xy f x y x yx y, ; ,= = 10 5 32 2 .

Diferensial Total, ( ) ( )dz xy dx x y dy= + 10 5 2 2 .

Soal Latihan 9.3

( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan f f f f fx y xx yy xy, , , dan bila :

1. f x y x y( , ) = +2 2

2. f ( x,y ) = ex

cos y

3. f x y ex y( , ) = 2

4. f x yx y

x y( , ) =

+

2 2

2 2

5. f x y y e x( , ) = 3 5

6. z x y x y= +4 2 72 4 5

7. ( )z x y= cos 5 4 8. ( )z x xy= + 3 3 51ln /

9. ( )z y x=2 4 3tan

/

10. z x y exy= 2

Bentuk persamaaan :

2

2

2

20

f

x

f

y

+ = disebut persamaan Laplace dari f(x,y).

( Nomor 11 sd 14 ) Apakah fungsi berikut memenuhi persamaan Laplace ?

11. f x y x y y( , ) = +3 12 3

12. f x y e y e xx y( , ) sin cos= +

13. ( )f x y x y( , ) ln= +2 2

14. f x yxy

x y( , ) tan=

12 2

2


104/145

163

Matematika Dasar

Danang Mursita


Misal diberikan fungsi : U(x,y) dan V(x,y). Maka kedua fungsi akan berlaku Persamaan

Cauchy Riemann ( PCR ) bila memenuhi :

U

x

V

y

U

y

V

x= = dan .

( Nomor 15 sd 17 ) Apakah dua fungsi berikut berlaku PCR ?

15. U x y x y V x y xy( , ) ; ( , )= =2 2 2

16. U x y e y V x y e yx x( , ) cos ; ( , ) sin= =

17. ( )U x y x y( , ) ln= +2 2 ; V x yy

x( , ) tan=

2 1

( Nomor 18 sd 26 ) Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal di titik yang

diberikan dari fungsi berikut !

18. z x y y= + 4 2 1 2 123 2 ; ( , , )

19. z x e y= ; ( , , )1 0 1

20. z e xy= 3 36

0 1sin ; ( , , )

21. x y z2 2 2 25 3 0 4+ + = ; ( , , )

22. x y z2 24 7 31 2 = ; ( , , )

23. ( )z x y= + ln ; , ,2 2 1 0 0

24. ( )z x y= +

1 2 1 2

4 9 5

/ /

; , ,25. ( )z x e y= 2 2 1 2 4; ,ln ,

26. ( )x y z xyz2 3 4 2 2 1 1+ = ; , ,

( Nomor 27 sd 30 ) Carilah diferensial total dari :

27. z = 7x - 2y

28. z = 5x2

y5

- 2x + 4 y + 7

29. z = tan-1

xy

30. z = sec

2

( x - 3y)

9.4 Vektor Gradien dan Turunan Berarah

Misal diberikan fungsi dua peubah, z = f(x,y) dan titik P(a,b). Maka ( vektor ) gradien

dari z = f(x,y) di titik P didefinisikan sebagai:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

grad f a b f a bf a b

xi

f a b

yj

f a b

x

f a b

y, ,

, , ,,

,= = + =


105/145

164

Matematika Dasar

Danang Mursita


Untuk fungsi dengan tiga peubah w = f (x,y,z ), maka gradien di titik ( x,y,z ) diberikan:

( )( ) ( ) ( )

=

f x y zdf x y z

x

df x y z

y

df x y z

z, ,

, ,,

, ,,

, ,

Sifat gradien dari suatu fungsi diberikan berikut :

1. ( ) gbfagbfa +=+ [ sifat linear ]

2. ( ) = + f g f g g f

3. ( ) = f n f fn n 1

4.

=

fg

g f f g

g2

Contoh 9.8

Carilah vektor gradien dari f( x,y ) = y ln ( x + y ) di titik ( -3,4 )

Jawab:

Turunan parsial pertama,

f x yy

x yf

f x yy

x y x y f

x x

y x

( , ) ( , )

( , ) ln( ) ( , )

=+

=

= + + + =

3 4 4

3 4 4

Jadi Gradien : ( ) jif 444,3 +=

Turunan parsial dari z = f(x,y) terhadap x dan y berturut-turut dapat kita pandang

sebagai turunan berarah dari z = f(x,y) dengan arah vektor satuan yang searah dengan

sumbu X dan Y :

=

=

1

0 dan

0

1ji . Oleh karena itu, turunan parsial dari z = f(x,y)

terhadap x dan y dituliskan berikut :

( )

( ) ( ) ( ) ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

h

yxfjhyxf

h

yxfhyxfyxf

h

yxfihyxf

h

yxfyhxf

yxf

hhy

hhx

,,lim

,,lim,

,,

lim

,,

lim,

00

00

+=

+=

+

=

+

=

Misal u 2 merupakan vektor satuan, yaitu vektor dengan panjang atau norm satu.Maka turunan berarah dari z = f(x,y) di titik ( a,b ) searah dengan u 2 didefinisikan

( )( ) ) ( )

h

bafuhbafbafD

hu

,,lim,

0

+=


106/145

165

Matematika Dasar

Danang Mursita


Sedangkan turunan berarah dari w = f( x,y,z ) di titik ( a,b,c ) dengan arah vektor satuan

u 3 didefinisikan :

Misal juiuu 21 += merupakan vektor satuan

=+ 12

221

uu dan z = f ( x,y )

mempunyai turunan parsial pertama di ( a,b ). Maka turunan berarah dari z = f ( x,y ) di

( a,b ) dalam arah u diberikan :

( ) ( ) ( ) ( )bafubafubafubafD yxu ,,,, 21 +==

Contoh 9.9

Tentukan turunan berarah dari f ( x,y ) di titik P dengan vektor arah u bila :

1. ( ) ( ) ( ) jiuPxyxyxf5

4

5

3;1,1;,

32 =+=

2. ( ) ( ) ( )2,1;0,2;43, 32 =+= uPyxyxyxf

Jawab:

1. ( ) ( ) ( ) ( ) 361,123, 22 =++= xx fyxxyxyxf ( ) ( ) ( ) 121,13, 22 =+= yy fxyxxyxf

( ) 125

412

5

3361,1 =

+

=fD

u

2. ( ) ( ) 40,232, == xx fyxyxf

( ) ( ) 60,2123, 2 =+= yy fyxyxf

Karena u bukan merupakan vektor satuan maka diubah dahulu menjadi vektor satuan

dengan menormalisaikan u , misalu

uw = . Oleh karena itu,

5

2

5

jiw += . Jadi

( )5

8

5

26

5

140,2 =

+

=fD

u

Secara geometris, turunan berarah dari z = f ( x,y ) di titik ( a,b ) dalam arah vektor

satuan u dapat dinyatakan :

( ) ( ) ( ) cos,,, bafbafubafDu

==

dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh u dan f( a,b ).Bila = 0 maka nilai turunan berarah dari z = f ( x,y ) di titik ( a,b ) dalam arah vektor

satuan u akan mencapai maksimum yaitu :

( )( ) ( )

h

cbafuhcbafcbafD

h

u

,,,,lim,,

0

+=


107/145

166

Matematika Dasar

Danang Mursita


( ) ( )bafbafDu

,, =

Bila = maka nilai turunan berarah dari z = f ( x,y ) di titik ( a,b ) dalam arah vektorsatuan u akan mencapai minimum yaitu :

( ) ( )bafbafDu ,, =

Contoh 9.10

Diketahui ( ) xyyxf =, dan titik P ( -1,-4 ).1. Tentukan turunan berarah minimum di titik P

2. Cari vektor satuan u agar turunan berarah di titik P tertinggi

Jawab :

1. ( ) ( ) 14,12, == xx fxyy

yxf

( ) ( )4

14,1

2, == yy f

xy

xyxf

Gradien f di titik P, ( )4

4,1j

if =

Turunan bearah minimum ( terendah ), ( )4

174,1 = f

2. Turunan berarah maksimum ( tertinggi ), ( )4

174,1 =f

Vektor arah satuan,( )( ) 17217

2

4,1

4,1 ji

f

fu

=

=

Soal latihan 9.4

( Nomor 1 sd 6 ) Carilah vektor gradien dan turunan berarah dari f ( x,y ) di titik yang

diberikan dalam arah vektor a berikut:

1. ( ) ( ) j3i4a;1,2;4, 23 == yxyxf

2. ( ) ( ) jia;4,1;ln, 2 == xyyxf

3. ( ) ( ) ji2a;2,1;23, 22 =+= yxyxyxf

4. ( ) ( ) 3jia;1,1;, +== xyeyxf

5. ( ) 3jia;4

,0;sin, +=

=

yeyxf x


108/145

167

Matematika Dasar

Danang Mursita


6. ( ) ( ) jia;2,2;tan, 1 =

=

x

yyxf

( Nomor 7 sd 10 ) Carilah fDu

di titik yang diberikan.

7. ( ) ( ) ( )2

j

2

iu;1,3;1, 2/3 +=+= xyyxf

8. ( ) ( ) j5

4i

5

3u;0,4;, 2 +

== xyeyxf

9. ( ) ( )f x y z ye zx, , sin ; ln , , / ;= 2 2 4 k2j2iu +=

10. ( ) ( ) ( )( )

3

1,1,1u;6,2,3;ln,,

== xyzzyxf

( Nomor 11 sd 13 ) carilah turunan berarah dari fungsi f di titik A dengan vektor arahmembentuk sudut dengan sumbu x positif.

11. f x y xy A( , ) ; ( , ) ; /= =1 4 3

12. ( ) ( )2

;2,1;,

=+

= Ayx

yxyxf

13. ( ) ( ) == ;0,0;coshsinh, Ayxyxf

( Nomor 14 sd 18 ) Tentukan vektor satuan u sehinggga turunan berarah dari f ( x,y )

maksimum di titik yang diberikan !

14. ( ) ( )f x y x y, ; ,= 3 3 2 1

15. ( )f x y e xy, sin ; ,=

5

60

16. ( ) ( )f x y x y, ; ,= 1 1 22 2

17. ( ) ( )3,4;, 22 += yxyxf

18. ( ) ( )2,0;,yx

xyxf

+=

( Nomor 19 sd 22 ) Tentukan vektor satuan u sehinggga turunan berarah dari f ( x,y )

minimum di titik yang diberikan !

19. ( ) ( )3,1;20, 22 = yxyxf

20. ( ) ( )f x y x y, sin ; ,=

3 6 4

21. ( ) ( )2,0;, xyeyxf =


109/145

168

Matematika Dasar

Danang Mursita


22. ( ) ( )1,3;,yx

yxyxf

+

=

( Nomor 23 sd 26 ) Carilah turunan berarah dari f di titik A dalam arah menuju ke titikB bila :

23. ( ) ( ) ( )4,-3B;1,3;, 52 Ayxyxf =

24. f x y e y A B Ox( , ) cos ; , ;=

=

03

.

25. ( ) ( ) ( )1,1;0,1;, +

= BAyx

xyxf

26. ( ) ( ) ( )0,10,11;2,1,1;, BAxzyzxyyxf ++=

( Nomor 27 sd 30 ) Diketahui ( ) 52,1 =fDu

bila jiu5

4

5

3= dan ( ) 102,1 =fD

vbila

jiv5

3

5

4+= . Tentukan :

27. ( )2,1xf

28. ( )2,1yf

29. Turunan berarah dari f di titik ( 1,2 ) dalam arah menuju ke pusat sumbu.

30. Turunan berarah dari f di titik ( 1,2 ) dalam arah sumbu Y negatif.

31. Carilah vektor satuan u agar di titik ( 1,-1 ) bila

32. Carilah vektor satuan u agar di titik ( 1,-1 ) bila

9.5 Nilai Ekstrim

Nilai Ektrim ( maksimum dan minimum - relatif ) dari fungsi z = f ( x,y ) di titik (a,b )

didefinisikan sebagai berikut.

Definisi : Maksimum dan Minimum

1. f ( a,b ) disebut Nilai maksimum dari z = f ( x,y ) bila f ( a,b ) f ( x,y ) untuk setiap( x,y ) di dalam lingkaran yang berpusat di ( a,b ). Sedangkan titik ( a,b,f(a,b) )

disebut titik maksimum dari z = f ( x,y ).

2. f ( a,b ) disebut Nilai minimum dari z = f ( x,y ) bila f ( a,b ) f ( x,y ) untuk setiap( x,y ) di dalam lingkaran yang berpusat di ( a,b ). Sedangkan titik ( a,b,f(a,b) )

disebut titik minimum dari z = f ( x,y ).

Misal z = f ( x,y ) mencapai nilai ekstrim di titik ( a,b ) dan turunan parsial pertama di

titik (a,b ) ada. Maka fx( a,b ) = 0 dan fy( a,b ) = 0. Sedangkan titik yang membuat nol


110/145

169

Matematika Dasar

Danang Mursita


turunan parsial pertama terhadap x dan y disebut titik kritis. Titik kritis yang

menyebabkan z = f (x,y ) mencapai nilai ekstrim atau berlaku (1) dan (2) disebut titik

stasioner. Titik kritis yang tidak berlaku (1) dan (2) disebut titik sadel / titik pelana .

Untuk menguji apakah titik kritis merupakan titik stasioner atau sadel dilakukan sebagai

berikut.Misal z = f ( x,y ) mempunyai turunan parsial pertama kontinu pada lingkaran ( buka )

yang berpusat di ( a,b ) dan ( ) ( ) ( )D f a b f a b f a bxx yy xy= , , ,2

1. Bila D > 0 dan fxx( a,b ) > 0 maka z = f ( x,y ) mencapai minimum di ( a,b ).

2. Bila D > 0 dan fxx( a,b ) < 0 maka z = f ( x,y ) mencapai maksimum di ( a,b ).

3. Bila D < 0 maka ( a, b ) merupakan titik sadel.

4. Bila D = 0 maka tidak dapat ditarik suatu kesimpulan.

Contoh 9.11

Tentukan titik ekstrim dan jenisnya dari ( ) 33 3, yxyxyxf =

Jawab :

Turunan parsial pertama, ( ) yxyxfx 33,2 = dan ( ) 233, yxyxfy =

Bila ( ) ( ) 0,dan0, == yxfyxf yx maka x = 0, y = 0 dan x = -1, y = 1, sehingga (0,0)

dan ( -1,1 ) merupakan titik kritis dari f.

Turunan parsial kedua, ( ) ( ) ( ) 3,,6,,6, === yxfyyxfxyxf xyyyxx

Untuk ( 0,0 ), ( ) ( ) ( ) 90,00,00,0 2 == xyyyxx fffD . Jadi ( 0,0,0 ) merupakan titik

sadel. Untuk ( -1,1 ), ( ) ( ) ( ) 0271,11,11,1 2 >== xyyyxx fffD dan

( ) 061,1


111/145

170

Matematika Dasar

Danang Mursita


7. 23

2

13 yxyxz +=

8.yx

xyz11

++=

9. ( )142 ++= yxxyz

10. ( )yxyxz = 123

11.xy

yxz222 ++=

12. xyxyxyz 42 22 +=


112/145

171Matematika Dasar

Danang Mursita


BAB 10 INTEGRAL RANGKAP

10.1 Integral Rangkap Dua

10.2 Volume dan Pusat Massa

10.3 Integral Rangkap Tiga10.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

10.1. Intergral Rangkap Dua

Misal diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang,

( ){ }D x y a x b c y d= , , dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk

menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan dibawah oleh D dilakukan sebagai berikut.

Bagi daerah D menjadi sub persegi

panjang yang berukuran xi dan yi.Ambil sebuah titik pada sub persegi

panjang, misal titik potong diagonal

( xi,yi ), sehingga kita dapatkan

bangun ruang yang dibatasi di atas

oleh z = f ( x,y ) dan di

bawah oleh sub persegi panjang.

Bangun ruang ( partisi ) tersebut

akan mendekati bangun balok dengan

tinggi f ( xi,yi ). Maka kita dapatkan

volume tiap-tiap partisi adalah

hasilkali luas alas ( Ai = xi yi )dan tinggi ( f ( xi,yi ) ), yakni

Vi = f ( xi,yi ) Ai . Bila tiap-tiap

partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam bentuk : ( )V f x y Aii

n

i i ii

n

= = =

1 1

, .

Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan volume bangun ruang yang dibatasi diatas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila diambil sebanyak tak hingga partisi atau

n , yakni :

( )V f x y An i

n

i i i= =

lim ,1

Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut:

Y

d

yi

c

a xi bX


113/145

172Matematika Dasar

Danang Mursita


( ) ( )f x y dA f x y AD n i

n

i i i, lim , = =1

Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut :1. ( ) ( )[ ] ( ) ( )a f x y b g x y dA a f x y dA b g x y dA

D D D

, , , ,+ = +

2. Bila D = B C dan B C = maka ( ) ( ) ( )f x y dA f x y dA f x y dAD B C

, , , = +

Iterasi Integral

Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah berbentuk persegi

panjang D kita lakukan sebagai berikut.

Luas penampang benda yang tegaklurus terhadap sumbu Y dengan

c y d , misal A(yi) adalah

( )A y f x y dxia

b

( ) ,= .

Volume bangun ruang merupakan

jumlah volume : ( )A y yii

n

=

1

untuk

n .Oleh karena itu, integral rangkap duadari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat

diselesaikan dengan cara berikut :

( ) ( ) ( )f x y dA A y dy f x y dy dxc

d

a

b

c

d

D

, ,= =

.

Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua dari z

= f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut :

( ) ( )f x y dA f x y dx dyc

d

a

b

D

, ,=

Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi.

Z

z

c d

a Y

b

X y


114/145

173Matematika Dasar

Danang Mursita


Contoh 10.1

Hitung integral f x y dAD

( , ) bila

1. { }f x y xy D x y x y( , ) ( , ) ,= = < < <


115/145

174Matematika Dasar

Danang Mursita


2. Tipe II, ( ){ }R x y g y x h y c y d= , ( ) ( ),Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan :

( ) ( )f x y dA f x y dx dyR g y

h y

c

d, ,

( )

( ) =

Contoh 10.2

Hitung integral f x y dAR

( , ) bila

1. { }f x y x R x y x x y x( , ) ( , ) ,= = < < <


116/145

175Matematika Dasar

Danang Mursita


Untuk R2 , f x y dA y dx dy y dx dyR y y

( , )

2

2 232

5

2

0

4 2

0

4

= =

=

Perubahan Urutan Integrasi

Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan kepada

bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan secara langsung seperti apa yang

diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat

dilakukan dengan iterasi yang diberikan ( dengan mengintegralkan terhadap y

kemudian terhadap x ).

e dy dxy

x

2

2

2

0

4

Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral

dituliskan dalam bentuk :

e dAy

R

2

maka ( )R x y xx

y=

, ,0 42

2 . Daerah R digambarkan berikut :

Daerah R dapat juga dinyatakan dengan :

( ){ }R x y y x y= , ,0 2 0 2

Oleh karena itu, nilai integral dari :

e dy dx e dx dyy yy

x

2

2

22

0

4

0

2

0

2

=

Contoh 10.3

Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut

1. f x y dx dy

y

( , )00

22

Y

2

R

O 4 X


117/145

176Matematika Dasar

Danang Mursita


2. f x y dy dx

x

x

( , )

2

2

1

0

Mate Ma Tika Dasar

Documents

Transcript of Mate Ma Tika Dasar