Masalah Harga Awal Persamaan Differensial Biasa Satu Dimensi (bagian 2)
description
Transcript of Masalah Harga Awal Persamaan Differensial Biasa Satu Dimensi (bagian 2)
Masalah Harga AwalPersamaan Differensial Biasa
Satu Dimensi (bagian 2)Metode Numerik
Prodi Teknik Sipil
Metode Finite Difference (Beda Hingga)
• Diskritasi daerah fisik kontinu ke dalam sebuah grid beda hingga diskrit
• Mendekati turunan eksak di dalam PDB masalah harga awal dengan aproksimasi beda hingga (ABH) aljabar
• Substitusikan ABH ke dalam PDB untuk mendapatkan persamaan beda hingga (PBH) aljabar
• Selesaikan PBH aljabar yang dihasilkan
Grid Beda Hingga
• Penyelesaian beda hingga dari PDB didapatkan pada titik-titik grid ini. • Subscript n digunakan untuk menyatakan (grid points) titik-titik grid
fisik, yaitu tn (atau xn)• Titik grid n bersesuaian dengan lokasi tn (atau xn) di dalam daerah
penyelesaian D(t) [atau D(x)]• Jumlah total titik grid dinyatakan oleh nmax• Fungsi y(t) pada titik grid n dinyatakan oleh
D(t) [atau D(x)]
• Hal yang sama juga digunakan untuk menyatakan turunan sebagai berikut
Simbol untuk solusi eksak dan solusi pendekatan
solusi eksak
solusi pendekatan
Pendekatan beda maju orde satuDeret taylor untuk menggunakan titik grid n sebagai titik basis
Penyelesaian untuk menghasilkan
Jika dihentikan setelah suku pertama di ruas kiri akan didapatkan
adalah kesalahan pemotongan pada deret taylor
pendekatan beda maju orde satu dari
pada n
menyatakan orde dari pendekatan
Pendekatan beda mundur orde satu
Pendekatan beda mundur orde satu untuk pada titik grid n+1 didapatkan dg
menuliskan deret Taylor untuk menggunakan titik grid n+1 sebagai basis
kemudian diselesaikan untuk sehingga
Pendekatan beda tengah orde dua
Pendekatan beda tengah orde dua untuk pada titik grid n+1/2 didapatkan dg
menuliskan deret Taylor untuk menggunakan titik grid n+1/2
sebagai basis
dan
pengurangan kedua persamaan menghasilkan
Persamaan Beda Hingga
Solusi beda hingga dari persamaan differensial didapatkan dengan diskritasi daerah solusi kontinu dan menggantikan turunan eksak dalam persamaan differensial dengan aproksimasi beda hingga (ABH) untuk mendapatkan persamaan beda hingga (PBH)
Contoh
PBH eksplisit krn fn tergantung kepada yn+1
Menggunakan pendekatan beda maju orde satu
Menggunakan pendekatan beda mundur orde satu
Masalah harga awal
PBH implisit krn fn+1 tergantung kepada yn+1
Soal
Berikut adalah persamaan differensial dan solusi eksaknya. Selesaikan persamaan differensial dengan mendekati turunan eksak dengan beda maju orde satu untuk titik grid 1, dan titik grid 2. Bandingkan dengan solusi eksaknya. t = 0,5
Soal 1
Soal 2
Aproksimasi Beda Hingga (ABH)Aproksimasi beda hingga terhadap turunan eksak dalam PDB diselesaikan dengan pendekatan deret taylor