TUGAS KULIAH TEORI OPTIMISASI

FUNGSI KUASIKONVEKS DAN OPTIMALISASINYA

Disusun oleh :

Yuan Aeni Fathonah 13/347910/PA/15391

Umnia Syahida Zulfa 13/347969/PA/15405

Reynaldo Christian 13/350258/PN/13396

Mega Pangastuti 13/348018/PA/15421

Agus Putantri 13/347950/PA/15401

Dosen Pengampu : Dr. Salmah, M.Si

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2016

I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada dasarnya, fungsi kuasikonveks merupakan generalisasi dari fungsi konveks.

Kuasikonveksitas merupakan perluasan dari konsep unimodalitas (sifat matematika yang

memiliki mode unik) menjadi konsep yang lebih multidimensi dan memperbolehkan

adanya tipe saddle point (titik pelana) tertentu, yang merupakan masalah dalam

optimimisasi turunan pertama seperti metode gradient descent (Hazan et al,2014). Sifat

konveks juga dimiliki oleh fungsi kuasikonveks, tetapi apabila fungsi merupakan

kuasikonveks, belum tentu fungsi tersebut bersifat konveks. Sifat konveks yang diminati

adalah sifat titik optimum lokalnya yang juga merupakan titik optimum global, artinya

titik optimum global dari suatu fungsi hampir bisa dipastikan untuk ditemukan melalui

pencarian titik minimum lokalnya. Sifat tersebut terkadang di dapat ditemukan pada

fungsi kuasikonveks, yang merupakan fungsi dengan persyaratan yang lebih longgar dan

meluas dibandingkan dengan fungsi konveks. Permasalahan optimisasi di kehidupan

sehari – sehari tentunya akan sulit untuk memenuhi persyaratan fungsi konveks, sehingga

akan lebih mudah untuk melakukan optimisasi pada fungsi kuasikonveks.

Penerapan fungsi kuasikonveks dan optimalisasinya dapat dilakukan untuk mesh

smoothing (langkah penting dalam banyak permasalahan komputasi yang dapat

persamaan difrensialnya digunakan untuk menjelaskan aliran udara, perpindahan panas,

penerangan global, dan permasalahan yang serupa), pembentukan grafik, gamut warna

yang dioptimalkan, statistic robust, dan lain-lain (Eppstein,2005).

B. Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

1. Himpunan Konveks, Fungsi Konveks, Epigraph, dan Sub-level.

2. Fungsi Kuasikonveks.

3. Contoh dari fungsi kuasikonveks

4. Hubungan Antara Fungsi Konveks dan Fungsi Kuasikonveks

II. PEMBAHASAN

A. Himpunan Konveks, Epigraph, dan Himpunan Level Bawah

1. Himpunan Konveks

DEFINISI 1

a. Himpunan S ⊑ ℝn konveks jika setiap titik pada ruas garis yang menghubungkan

sebarang dua titik di dalam juga berada di dalam S. Atau dapat dituliskan juga

dalam bentuk b di bawah ini.

b. Himpunan S ⊑ ℝn konveks jika diambil dua titik sebarang di dalam himpunan S

kombinasi konveksnya juga berada di dalam S. Diberikan 𝜆 ∈ [0,1]

(∀x1 , x2 ∈ S) (1 - 𝜆) x1 + 𝜆 x2 ∈ S S himpunan konveks

Himpunan Konveks

Himpunan Non Konveks

2. Fungsi Konveks

DEFINISI 2

Fungsi ƒ : S → ℝ dikatakan konveks pada himpunan konveks S ⊑ ℝn jika

ƒ (𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≤ 𝜆 ƒ(x) + (1 - 𝜆) ƒ(y)

untuk semua 𝜆 𝜖 [0,1] dan x, y 𝜖 𝑆.

3. Epigraph

DEFINISI 3

Epigraph dari fungsi ƒ : S → ℝ, S ⊑ ℝn himpunan konveks, didefinisikan sebagai

Epi ƒ = {(x,z)|f(x) ≤ 𝑧}

Dengan x 𝜖 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑧 𝜖 ℝ.

4. Himpunan Sublevel

DEFINISI 4

Himpunan level bawah dari fungsi ƒ : S → ℝ, S ⊑ ℝn himpunan konveks,

didefinisikan sebagai

L𝛼 = {x| x 𝜖 𝑆, ƒ(x) ≤ 𝛼},

Untuk sebarang 𝛼 𝜖 ℝ.

B. Fungsi Kuasikonveks

1. Fungsi Kuasikonveks

DEFINISI 5

Suatu fungsi 𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅 adalah kuasikonveks jika setiap himpunan sublevel

𝑆𝛼 = { x ∈ dom f |f(x) ≤ α }

adalah konveks.

Fungsi kuasikonveks mempunyai banyak fitur sama dengan fungsi konveks, namun juga

sejumlah perbedaan penting. Sifat-sifat kuasikonveks berikut membantu dalam

menentukan kekuasikonvekskan:

1. 𝑓 kuasikonveks jika dan hanya jika 𝑓 kuasi konveks pada garis, yaitu 𝑓(𝑥0 + 𝑡h)

kuasikonveks dalam 𝑡 untuk setiap 𝑥0, h

2. Modifikasi Ketaksamaan Jensen: 𝑓 kuasikonveks ⟺ untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓,

𝜃 ∈ [0,1],

(𝜃𝑥 +(1 – 𝜃) 𝑦) ≤ max {𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)};

3. Untuk 𝑓 terdiferensial, 𝑓 kuasikonveks ⟺ untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓

(𝑦) ≤ 𝑓(𝑥) ⟹ (𝑦 – 𝑥)𝑇 ∇𝑓(𝑥) ≤ 0

4. Perkalian positif

𝑓 kuasikonveks, 𝛼 ≥ 0 ⟹ 𝛼𝑓 kuasikonveks.

5. Supremum sepotong-sepotong: 𝑓1, 𝑓2 kuasikonveks ⟹ max {𝑓1, 𝑓2}

kuasikonveks. (merupakan perluasan ke supremum atas sebarang himpunan).

6. Transformasi affine dari domain, 𝑓 kuasikonveks ⟹ (𝐴𝑥 + 𝑏) kuasikonveks.

7. Transformasi fraksional linear dari domain, 𝑓 kuasikonveks ⟹ f((Ax+b)/(c^T

x+d)) kuasikonveks pada c^T x+d > 0.

8. Komposisi dengan fungsi naik monoton: 𝑓 kuasikonveks, 𝑔 monoton naik ⟹

(𝑓(𝑥)) kuasikonveks.

9. Jumlahan fungsi kuasikonveks secara umum bukan fungsi kuasikonveks.

10. 𝑓 kuasikonveks dalam 𝑥,𝑦 ⟹ 𝑔(𝑥) = inf𝑦𝑓(𝑥,𝑦) kuasikonveks dalam 𝑥.

2. Fungsi kuasikonveks di R

Dianggap fungsi bersifat kontinu, dikarnakan kondisi awal pada kondisi umum

diaanggap memberatkan dan tidak efisien. Sebuah fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 bersifat

quasiconvex jika dan hanya jika setidaknya mengikuti satu dari kondisi berikut:

𝑓 bersifat tidak menurun (nondecreasing)

𝑓 bersifat tidak menaik (nonincreasing)

Ada sebuah titik 𝑐 𝜖 𝒅𝒐𝒎 𝑓 sehingga untuk 𝑡 < 𝑐 (𝑑𝑎𝑛 𝑡 𝜖 𝒅𝒐𝒎 𝑓). 𝑓

bersifat nonincreasing dan untuk untuk 𝑡 ≥ 𝑐 (𝑑𝑎𝑛 𝑡 𝜖 𝒅𝒐𝒎 𝑓). 𝑓 bersifat

nondecreasing.

Titik c dapat dipilih dari titik mananpun yang merupakan optimim global 𝑓.

Grafik. Sebuah Fungsi quasiconvex di R. Fungsi bersifat nonincreasing untuk 𝑡 ≤ 𝑐

dan non decreasing di 𝑡 ≥ 𝑐

2. Fungsi Kuasikonkaf dan Fungsi Kuasilinear

Suatu fungsi 𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅 adalah kuasikonkaf jika – 𝑓 kuasikonveks, yaitu himpunan

superlevel {𝑥| 𝑓(𝑥) ≥ 𝛼} konveks.

Suatu fungsi yang merupakan fungsi kuasikonveks dan kuasikonkaf disebut

kuasilinear.

CONTOH 6

Logarithm. 𝑓(𝑥) = log 𝑥 , x ∈ R+

Karena setiap himpunan sublevel 𝑆𝛼 = { x ∈ dom 𝑓 | 𝑓(𝑥) = log 𝑥 ≤ α }

merupakan himpunan konveks, maka fungsi 𝑓(𝑥) = log 𝑥 kuasikonveks.

Karena setiap himpunan superlevel 𝑆𝛼 = { x ∈ dom 𝑓 | 𝑓(𝑥) = log 𝑥 ≥ α }

merupakan himpunan konveks, maka fungsi 𝑓(𝑥) = log 𝑥 kuasikonkaf.

Karena 𝑓(𝑥) = log 𝑥 kuasikonveks dan kuasikonkaf, maka 𝑓(𝑥) = log 𝑥

kuasilinear.

3. Contoh Fungsi Kuasikonveks

1. Diketahui Fungsi : 𝑓: ℝ+ → ℝ

𝑓(𝑥) {

𝑥3 𝑖𝑓 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,1 𝑖𝑓 1 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥3 𝑖𝑓 𝑥 > 2

Diketahui bahwa 𝑓 bersifat tidak menurun (non-decreasing), sehingga dikatakan

kuasikonfeks dan kuasikonkaf di ℝ. Tetapi 𝑓 bersifat diskontinu di x = 2. Sehingga

𝑓 konstan di (1,2) dan setiap titik dialam interval terbuka tersebut merupakan lokal

minimum sekaligus merupakan lokal maksimum. Tetapi tidak ada titik pada (1,2)

yang merupakan maksimum global maupun minimum lokal. Apabila diturunkan

𝑓′(0) = 0, sedangkan nilai 0 bukan merupakan minimum maupun maksimum

lokal.

2. √|𝑥| merupakan kuasikonfeks di ℝ , tetapi tidak konveks

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Contoh 1

3. Internal Rate of Return adalah satuan yang digunakan dalam anggaran modal untuk

mengukur keuntungan dari sebuah investasi . IRR merupakan angka pemotong

(discount rate) yang dapat mengurangi NPV dari seluruh aliran kas suatu proyek

menjadi 0. Misalkan 𝑥 = (𝑥0𝑥1 … 𝑥𝑛) merupakan serangkaian aliran kas yang terjadi

pada periode n, dimana 𝑥𝑖 > 0 berarti terjadi pendapatan pada periode i, sedangkan

𝑥𝑖 < 0 berarti terjadi pengeluaran pada periode i. Dapat didefiniskan present value

dari aliran kas dengan bunga 𝑟 ≥ 0 sebagai berikut

𝑃𝑉(𝑥,𝑟) = ∑(1 + 𝑟)−𝑖

𝑛

𝑖=0

𝑥𝑖

(Faktor (1 + 𝑟)−𝑖 merupakan faktor pengurang untuk pembayaran dari pihak lain

maupn pihak sendiri dalam periode i).

Anggap aliran kas untuk 𝑥0 < 0 dan (𝑥0𝑥1 … 𝑥𝑛) > 0, artinya dimulai investasi |𝑥0|

pada periode 0 dan jumlah dari aliran kas lainya, 𝑥1 + ⋯ 𝑥𝑛 (tanpa adanya faktor

pengurang pada jumlahnya) , melebihi investasi awal.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Contoh 2

Keadaan aliran kas tersebut dapat dituliskan dengan 𝑃𝑉(𝑥, 0) > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑃𝑉(𝑥, 𝑟) →

𝑥0 < 0 dengan 𝑟 → ∞, artinya untuk setidaknya satu 𝑟 ≥ 0, maka didapatkan

𝑃𝑉(𝑥, 𝑟) = 0. Dapat didefinikan IRR untuk aliran kas sebagai bunga terkecil 𝑟 ≥ 0

untuk nilai present value sama dengan 0, dengan persamaan :

𝐼𝑅𝑅(𝑥) = inf {𝑟 ≥ 0|𝑃𝑉(𝑥, 𝑟) = 0}

IRR dapat dibilang fungsi quasiconcave x (dibatasi dengan 𝑥0 < 0, (𝑥0𝑥1 … 𝑥𝑛) > 0)

. Untuk mengetahuinya, fungsi dituliskan

𝐼𝑅𝑅(𝑥) ≥ 𝑅 ↔ 𝑃𝑉(𝑥, 𝑟) > 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅

Bagian kiri fungsi menyatakan himpunan R-superlevel dari IRR. Sedangkan sisi

kanan fungsi merupakan perpotongan dari himpunan {𝑥|𝑃𝑉(𝑥, 𝑟) > 0} , dengan

index oleh r, dalam interval 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅. Untuk setiap r, 𝑃𝑉(𝑥, 𝑟) > 0 didefinikan

sebagai halfspace terbuka, sehingga sisi kanan fungsi menggambarkan sifat fungsi

konveks.

4. Sifat – Sifat Fungsi Kuasikonveks

a. Hubungan Fungsi Konveks dan Fungsi Kuasikonveks

TEOREMA 7

Jika fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑅 konveks pada himpunan konveks 𝑆 ⊆ ℝ𝑛, maka f kuasikonveks

di 𝑆.

Bukti :

Diketahui f konveks, artinya

𝑓(𝜆 + (1 − 𝜆)𝑦) ≤ 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦)

Ketaksamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦) ≤ 𝜆𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)} + (1 − 𝜆)𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)}

Misal

𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑦) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)} = 𝑓(𝑥)

Maka

𝜆𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)} + (1 − 𝜆){𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)} = 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥)

= 𝜆𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) − 𝜆𝑓(𝑥)

= 𝑓(𝑥)

= 𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)}

Artinya

𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦) ≤ 𝜆𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)}

Untuk setiap 𝜆 ∈ [0,1].

Jadi, terbukti fungsi f kuasikonveks ∎

CONTOH 8

𝑓(𝑥) = ln 𝑥 dengan 𝑓: (0, ∞) → ℝ adalah fungsi kuasikonveks, namun bukan fungsi

konveks.

Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa fungsi 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 merupakan fungsi

kuasikonveks namun bukan fungsi konveks.

b. Hubungan Fungsi Kuasikonveks dengan Himpunan Sublevel

TEOREMA 9

Fungsi 𝑓: 𝑆 → ℝ dikatakan kuasikonveks pada himpunan konveks 𝑆 ⊆ ℝ𝑛 jika dan

hanya jika himpunan level bawahnya, yaitu

𝐿𝛼 = {𝑥|𝑓(𝑥) ≤ 𝛼},

Konveks untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝛼 ∈ ℝ.

Bukti :

(⟹) Diketahui f kuasikonveks

Misal 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿𝛼, artinya 𝑓(𝑥) ≤ 𝛼 𝑑𝑎𝑛𝑓(𝑦) ≤ 𝛼, maka kita punya

𝑓(𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≤ 𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)} ≤ 𝛼.

Sehingga 𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦 ∈ 𝐿𝛼

Jadi, terbukti 𝐿𝛼 himpunan konveks.

(⟸) Diketahui 𝐿𝛼 konveks.

Tanpa menghilangkan keumuman, asumsikan 𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)} = 𝑓(𝑥) dan pandang

bentuk himpunan level bawah 𝐿𝛼 dengan 𝛼 = 𝑓(𝑥), yaitu

𝐿𝑓(𝑥) = {𝑢|𝑓(𝑢) ≤ 𝑓(𝑥)}.

Jelas, 𝑦 ∈ 𝐿𝑓(𝑥),

Karena 𝐿𝑓(𝑥) 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑠.

𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥) ∈ 𝐿𝑓(𝑥)

Untuk semua 𝜆 ∈ [0,1], yaitu

𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) ≤ 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)}.

Jadi, terbukti fungsi f kuasikonveks. ∎

c. Keterdiferensialan Funsi Kuasikonveks

TEOREMA 10

Misal f terdiferensial satu kali di ℝ𝑛. Maka f kuasikonveks di ℝ𝑛 jika dan hanya

jika 𝑓(𝑦) ≤ 𝑓(𝑥) menunjukkan bahwa ∇𝑓(𝑥)𝑇(𝑦 − 𝑥) ≤ 0.

Bukti :

∇f adalah gradien dari f

∇f = (∂f

∂𝑥1, … ,

∂f

∂𝑥𝑛 )

∇𝑓(𝑥)𝑇 = 𝑓′(𝑥)

(⟹) Diketahui f terdiferensialkan satu kali di ℝ𝑛 𝑑𝑎𝑛 f kuasikonveks.

Misalkan 𝑓(𝑦) ≤ 𝑓(𝑥), karena f kuasikonveks artinya f memenuhi ketaksamaan

berikut ini.

𝑓(𝜆𝑦 + (1 − 𝜆)𝑥) ≤ 𝑓(𝑥)

Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 ⊆ ℝ𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝜆 ∈ [0,1].

Bagi kedua sisi dengan 𝜆

𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) − 𝑓(𝑥)

𝜆≤ 0

Ambil limit 𝜆 ⟶ 0, didapat

lim𝜆⟶0

𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) − 𝑓(𝑥)

𝜆= 𝑓′(𝑥)(𝑦 − 𝑥) ≤ 0

Jadi, terbukti

∇𝑓(𝑥)𝑇(𝑦 − 𝑥) ≤ 0

(⇐) Diketahui f adalah fungsi yang terdiferensialkan satu kali di ℝ𝑛 dan memenuhi

𝑓(𝑦) ≤ 𝑓(𝑥), sedemikian sehingga

𝑓′(𝑥)(𝑦 − 𝑥) ≤ 0

⇔ lim𝜆⟶0

𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) − 𝑓(𝑥)

𝜆≤ 0

⇔𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) − 𝑓(𝑥)

𝜆≤ 0

⇔ 𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) − 𝑓(𝑥) ≤ 0

⇔ 𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) ≤ 𝑓(𝑥)

Karena 𝑓(𝑦) ≤ 𝑓(𝑥), 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑓(𝑥 + 𝜆(𝑦 − 𝑥)) ≤ 𝑚𝑎𝑥{𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)}

Jadi, terbukti fungsi f kuasikonveks. ∎

5. Optimalisasi Fungsi Konveks dan Fungsi Kuasikonveks

Perhatikan fungsi konveks pada ℝ berikut ini. Fungsi tersebut memiliki titik optimal lokal

x1 karena f’(x1) = 0 (kondisi optimalitas pada fungsi konveks).

Pada fungsi konveks, titik optimal local pastilah merupakan titik optimal global. Sehingga

titik x1 pada fungsi di atas merupakan optimal global.

Lalu apakah kondisi optimalitas yang berlaku pada fungsi konveks juga pasti berlaku pada

fungsi kuasikonveks?

Perhatikan fungsi kuasikonveks pada ℝ berikut ini.

Gambar Fungsi Kuasikonveks pada ℝ

Fungsi kuasikonveks di atas memiliki titik optimum local di x. Namun titik x1

bukanlah titik optimum global. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi optimalitas f’(x)

= 0 hanya berlaku untuk fungsi konveks dan tidak berlaku pada fungsi

kuasikonveks.

CONTOH 11

Diberikan suatu fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dengan definisi sebagai berikut

𝑓(𝑥) {

𝑥3 𝑖𝑓 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,1 𝑖𝑓 1 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥3 𝑖𝑓 𝑥 > 2

Fungsi 𝑓 merupakan fungsi kuasikonveks. Berikut grafiknya

Perhatikan bahwa :

Fungsi 𝑓 merupakan fungsi naik.

Fungsi 𝑓 konstan (𝑓′(𝑥) = 0) pada interval (1,2] , tetapi setiap titik pada interval

tersebut bukanlah titik maksimum global atau titik minimum global.

𝑓′(0) = 0 padahal titik 𝑥 = 0 bukanlah titik maksimum local atau titik minimum

local.

Dari uraian dan contoh di atas didapat bahwa :

1. Kondisi optimalitas fungsi konveks yakni 𝑓′(𝑥) = 0 tidak berlaku untuk fungsi

kuasikonveks.

2. Titik minimum/maksimum local pada fungsi kuasikonveks belum tentu

merupakan titik minimum/maksimum global.

DAFTAR PUSTAKA

Luenberger, D.G. 1969. Optimization by Vector Space Methods. John Wiley and Sons.

Mangasarian, O. 1994. Nonlinear Programming. Society for Industrial and Applied

Mathematics.

Hazan,E., K.Y. Levy, and S. Shalev-Shwartz.2014. Beyond Convexity: Stochastic Quasi-Convex

Optimization. https://arxiv.org/pdf/1507.02030.pdf. Diakses pada 6 Mei 2016.

Eppstein, David. 2005. Quasiconvex Programming. Combinational and Computational

Geometry Vol.25

Boyd,S.,Vndenberghe,L. 2004. Convex Optimization. Cambridge University Press.