makalah fungsi   linear

Posted on Agustus 21, 2011 by jenerlumonang

BAB IPENDAHULUAN

A. Latar BelakangApabila kita cermati, hampir semua fenomena yang terjadi di jagad raya ini mengikuti hukum sebab akibat. Adanya pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran matahari pada porosnya. Jarak (S) yang ditempuh oleh suatu mobil misalnya, dipengaruhi oleh waktu tempuhnya (t). Demikian juga demand (d) konsumen dipengaruhi oleh quantity (q) barang dan price(p) nilai harga yang ada di pasaran. Dalam bahasa matematika dapat dinyatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu, demand merupakan fungsi dari jumlah dan harga barang. Ini berati begitu pentingnya pemahaman fungsi dalam menjelaskan fenomena jagad raya ini.Namun demikian apabila kita lihat pembelajaran di sekolah, tidak sedikit siswa yang menemui kesulitan dalam pembelajaran konsep-konsep tentang fungsi linear sehingga kami ditugaskan membuat makalah yang diberikan oleh Guru kepada kelompok kami yaitu pembuatan makalah tentang ”FUNGSI LINEARB. Tujuan1. Makalah ini dibuat dengan tujuan meningkatkan wawasan dan kemampuan siswa agar tidak mendapatkan kesulitan dalam pemelajaran matakuliah tentang relasi dan fungsi.2. untuk mendapat tambahan nilai tugas matakuliah logika matematika.C. Ruang LingkupRuang lingkup materi yang dibahas dalam makalah ini adalah fungsi linear

BAB IIPEMBAHASANFungsi linearDalam matematika, istilah fungsi linear dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep berbeda namun berhubungan:• Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;• Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalianGeometri analitis

Tiga fungsi linear geometris — garis merah dan biru memiliki gradien yang sama (m), sementara garis merah dan hijau memotong sumbu y di tempat yang sama (b).Artikel utama untuk bagian ini adalah: Persamaan linearDalam geometri analitis, istilah fungsi linear kadang-kadang digunakan dengan maksud fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya pada bidang Cartesius adalah garis lurus.Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:f(x) = mx + b(y − y1) = m(x − x1)0 = Ax + By + Cdengan m dan b adalah konstanta riil dan x adalah variabel riil. Konstana m disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan b memberikan titik perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu y. Mengubah y membuat garis tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah b akan menggerakkan garis ke atas atau ke bawah.

Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:• f1(x) = 2x + 1• f2(x) = x / 2 + 1• f3(x) = x / 2 − 1.Grafiknya ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.Ruang vektorDalam matematika lanjut, sebuah fungsi linear berarti fungsi yang merupakan pemetaan linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar.Contohnya, bila x dan f(x) direpresentasikan sebagai vektor koordinat, maka fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:f(x) = Mx,dengan M adalah matriks. Sebuah fungsif(x) = mx + badalah peta linear jika dan hanya jika b = 0. Untuk nilai lain dari b, fungsi ini tergolong dalam kelas yang lebih umum, yaitu peta afinFungsi Linier Pada Poligonal

Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qydimana (x,y)’, memenuhi syarat-syarat sebagai berikutax + by £ cdx + ey £ fpx + qy £ rHal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.DALILJika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).Contoh :Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sydengan syarat : x + 2y £ 4x- y£ 4x ³ 1y ³ -1Langkah :Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalahA(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnyaf(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).Model MatematikaMasalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;

yang secara garis besar dibagi 2 bagian :- constraint ( Persyaratan )- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)Langkah- Tentukan variabelnya (x=… ; y = ….)- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya- Tentukan titik esktrim daerah tersebut- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan- Bandingkan nilai yang didapat- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)contoh :MASALAH MAKSIMUM1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

TabelKue A Kue B TersediaTepungMentega 15050 7575 22501750KEUNTUNGAN 100 125Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi :Maksimumkan :f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)dengan syarat (ds):150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 …(1)50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 …(2)x,y ³ 0catatan : bentuk persyaratan £Titik EkstrimA(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)f(x,y) = 100x + 125yf(A) = 100(0) + 125(23) = 2875(dalam hal ini roti tidak pecahan)f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m.Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntunga pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.

Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?TabelModel I Model II TersediaKatunSuteraWool 211 123 161115KEUNTUNGAN 3000 5000Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = xmodel II yang dibuat = yMaksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000yds : 2x + y £ 16 (1)x + 2y £ 11 (2)x + 3y £ 15 (3)x;y ³ 0Titik EkstrimA(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-xB(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-yf (x,y) = 3000x + 5000yf(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.MASALAH MINIMUM3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?TabelA B KebutuhanProteinKarbohidratLemak 4122 226 1624

15HARGA 1700 800

Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kgBanyaknya makanan B yang dibeli adalah y kgMinimumkan f (xy) = 1700x + 800yds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (22x + 6y ³ 18 ® x + 3y ³ 9 (3)(Catatan : Bentuk persyaratan ³ )Titik EkstrimA (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.f (x,y) = 1700x + 800yf(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B. Garis delidikUntuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya.Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya.Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + byGaris Selidik ax + by = kUntuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut.Kemungkinan-kemungkinan1) k=0 ® ax +by=0Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0.2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri (masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimum dari fungsi didapat.contoh :Maksimumkan f(x,y) = x + 2yds : x + 3y £ 9…(1)2x + y £ 8…(2)x ; y ³ 0Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan terakhir mencapai titik ekstrim E.Maksimum dicapai pada titik E, yaitu f(E) = f(3,2) = 1(3) + 2(2) = 7Keterangan :Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan.Nilai EkstrimBENTUK UMUMy = f(x) = ax2 + bx + c

x variabel bebas; y variabel tak bebas;a,b,c konstanta ; a ¹ 0NILAI EKSTRIMBentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² – D/4aDapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2aDapat disimpulkan :y = a(x – x ekstrim)² + y ekstrimKet: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimu tergantung dari nilai a.Tanda dari aa Parabola Terbuka Grafika > 0 Ke atasMempunyai nilai minimuma 0 2 akar berlainan 2 titik potongD = 0 akar kembar 1 titik potong (titik singgung)D 0 c 0 a<0Ket :Untuk D 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).Persamaan Linear dan Fungsi LinearTentu kita sudah mengetahui tentang suatu persamaan. Atau kita masih bingung mengenai perbedaan suatu persamaan dengan kesamaan. Apa itu persamaan dan apa iu kesamaan? Coba kita perhatikan dua hal ini.danManakah yang merupakan persamaan dan manakah yang merupakan suatu kesamaan? Dengan contoh tersebut kita akan lebih mudah mengetahui perbedaannya. adalah merupakan suatu persamaan. Mengapa? Ini karena didalamnya ada suatu variable. Sedangkan yang kedua adalah suatu kesamaan. Karena sudah sangatlah jelas bahwa ruas sebelah kanan sama dengan ruas di sebelah kiri. Atau bisa juga dikatakan karena didalamnya tidak ada suatu variable. Sudah jelas perbedaan antara persamaan dengan kesamaan. Tentunya kita pasti akan mengetahuinya secara tidak langsung mengenai pertidaksamaan, pertaksamaan, atau ketaksamaan.Sekarang bagaimana menyelesaikan suatu persamaan?pada awalnya kita hanya akan menuliskan untuk suatu persamaan dengan pangkat tertinggi yaitu . Dan tentu nantinya kita akan belajar untuk suatu persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi . Persamaan dengan pangkat tertinggi disebut persamaan linear. Untuk menyelesaikan suatu persamaan linier, perhatikan masalah di bawah ini!

Tugas kita adalah mencari nilai yang memenuhi persamaan diatas. Semesta pembicaraan kita adalah seluruh bilangan real. Sebelum mencari nilai , kita perhatikan dulu hal-hal yang boleh dilakukan pada suatu persamaan atau kesamaan. Misalkan persamaan atau kesamaan tersebut berbentuk . yang boleh dilakukan yaitu :1. Menambahkan atau mengurangi bilangan yang sama di ruas kanan dan ruas kiri. Untuk semua bilangan z, berlaku :2. Mengalikan bilangan yang sama di ruas kanan dan ruas kiri. Untuk semua bilangan p berlaku :Terkadang kita menyalah-artikan membagi ruas kanan dan ruas kiri dengan angka yang sama.

Padahal ini artinya sama dengan point nomor 2, yaitu mengalikan dengan bilangan yang sama. Hanya saja pengalinya berbentuk pecahan. Konsep untuk membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama itu adalah kurang aman. Karena tentu kita sudah tahu bahwa membagi dengan nol adalah hal yang tidak diperbolehkan di matematika. Sehingga untuk lebih amannya kita gunakan point 2. Yaitu mengalikan kedua ruas dengan , dengan n tidak sama dengan 0.Kembali pada menyelesaikan suatu persamaan. Untuk menyelesaikan . Kita ikuti langkah-langkah berikut :5x+7=25x+7–7=2–7 (kedua ruas dikurangi 7)5x=–55x(1/5)=–5(1/5) (kedua ruas dikalikan (1/5)x=–1Diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah -1. Ketika kita sudah sangat terbiasa dengan proses seperti ini. Kita bisa menganggap proses-proses seperti langkah pertama yaitu kedua ruas dikurangi 7. Kita bisa menganggap dengan memindahkan angka tujuh dari ruas kiri ke ruas kanan dan member tanda negative. Tentunya ketika pemindahan kita melewati tanda sama dengan, maka wajib bagi kita untuk merubah tanda. Yang semula positif menjadi negative. Dan yang semula negative menjadi positif.Coba selesaikan persamaan-persamaan berikut :1.2.3.4.5.Fungsi LinearFungsi linear adalah suatu fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi yaitu 1. Misalnya f(x)=5x, g(x)=2x+4, dll. Gambar grafik dari suatu fungsi linear merupakan garis lurus. Perhatikan gambar dibawah :Gambar tersebut adalah gambar dari fungsi y=x–2. Gambarnya berupa garis lurus yang memotong sumbu x dan memotong sumbu y. Perhatikan bahwa gambar grafik tersebut memotong sumbu x di 2 dan memotong sumbu y di -2. Untuk menggambarkan suatu fungsi linear. Kita hanya perlu mencari 2 titik yang memenuhi persamaannya dan menarik garisnya. Misalnya gambar grafik dari y=x–2 seperti gambar di atas. Kita masukkan nilai x (sebarang, asalkan tidak mempersulit kita dalam perhitungan). Untuk , maka nilai y=1–2 atau y=–1. Sehingga gambar grafiknya melewati koordinat (1, -1). Untuk x=0 diperoleh y=-2 yaitu koordinat (0, -2). Sehingga untuk menggambarkan grafik dari fungsi y=x–2 kita hanya perlu menarik garis lurus dari kedua titik tersebut.Beberapa hal yang perlu diketahui pada suatu fungsi linear adalah :1. Gambar dari suatu fungsi linear pasti merupakan suatu garis lurus.2. Domain pada suatu fungsi linear adalah (-∞,∞).3. Kemiringan grafik pada suatu fungsi linear adalah konstanta dari x. Misalnya y=2x. kemiringan dari grafik y=2x adalah 2. Ini dapat dicari menggunakan turunan pertama.4. Dua garis yang mempunyai kemiringan sama, pasti kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan.5. Dua garis yang mempunyai kemiringan berbeda, pasti akan berpotongan.6. Jika kemiringan dilambangkan m, maka dua garis tegak lurus jika m1*m2=-1

BAB IIIPENUTUP

Fungsi linear adalah suatu fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi yaitu 1. Misalnya f(x)=5x, g(x)=2x+4, dll. Gambar grafik dari suatu fungsi linear merupakan garis lurus. Perhatikan gambar dibawah :Gambar tersebut adalah gambar dari fungsi y=x–2. Gambarnya berupa garis lurus yang memotong sumbu x dan memotong sumbu y. Perhatikan bahwa gambar grafik tersebut memotong sumbu x di 2 dan memotong sumbu y di -2. Untuk menggambarkan suatu fungsi linear. Kita hanya perlu mencari 2 titik yang memenuhi persamaannya dan menarik garisnya. Misalnya gambar grafik dari y=x–2 seperti gambar di atas. Kita masukkan nilai x (sebarang, asalkan tidak mempersulit kita dalam perhitungan). Untuk , maka nilai y=1–2 atau y=–1. Sehingga gambar grafiknya melewati koordinat (1, -1). Untuk x=0 diperoleh y=-2 yaitu koordinat (0, -2). Sehingga untuk menggambarkan grafik dari fungsi y=x–2 kita hanya perlu menarik garis lurus dari kedua titik tersebut.Beberapa hal yang perlu diketahui pada suatu fungsi linear adalah :1. Gambar dari suatu fungsi linear pasti merupakan suatu garis lurus.2. Domain pada suatu fungsi linear adalah (-∞,∞).3. Kemiringan grafik pada suatu fungsi linear adalah konstanta dari x. Misalnya y=2x. kemiringan dari grafik y=2x adalah 2. Ini dapat dicari menggunakan turunan pertama.4. Dua garis yang mempunyai kemiringan sama, pasti kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan.5. Dua garis yang mempunyai kemiringan berbeda, pasti akan berpotongan.6. Jika kemiringan dilambangkan m, maka dua garis tegak lurus jika m1*m2=-1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1             Latar belakang masalah

Matematika merupakan salah satu pelajaran pokok yang di ujikan dalam 

Ujian Nasional untuk itu matematika salah satu mata pelajaran yang wajib di pelajari,

dan matematika merupakan permasalahan dunia sehingga matematika tidak  hanya

berkaitan dengan angka .Untuk itu banyak sekali bidang kajian yang di pelajari di

program  studi matematika, bagi anda yang ingin melatih daya nalar dan

kemampuan mengalisa, program studi ini media yang tepat untuk mengembangkan

diri, melalui program  studi ini, anda juga akan mengetahui manfaat matematika

dalam kehidupan sehari- hari misaya masalah- masalah yang bebrkaitan dengan

telekomukasi asuransi dan perbankan, keuangan dan pengkodean, kendali,

stabilisasi, optimisasi dll.

Memang pelajaran matematika  di anggap sebagian sebagian siswa sebagai

pelajaran yang sangat sulit, bahkan  kadang ada yang membenci  pelajaran

matematika. Untuk itu sebagian orang matematika  untuk itu sebagian  orang 

matematika di anggap sebagi musuh yang sulit di takhlukkan  sehingga para pelajar

yang membenci pelajaran matematika ini sebagian mendapat  nilai di bawah KKM,

namun dengan adanya kesadaran guru pelajaran matematika di MAN (_________)

ini menggunaka Remidial untuk memberikan perbaikan nilai siswa di bawah KKM

Namun tidak semua siswa membenci pelajaran matematika  bahkan ada

yang menyukai terhadap pelajaran ini hingga mengibaratkan  sehari tanpa

matematika dunia secara sunyi tak berpenghuni karena mereka menganggap

rumus- rumus itu adalah

Nyanyian dan mereka bangga sehingga tidak heran jiaka siswa yang menyukai

pelajaran ini mampu memperoleh nilai di atas KKM

1.2             Rumusan masalah

Masalah yang terjadi dapat di rumuskan sebagai berikut :

1. Apa sebabnya siswa kelas xc pada pelajaran  matematika ini mendapatkan di

bawah  KKM?

2. Apa sebabnya siswa kelas xc pada pelajaran  matematika ini mendapatkan di

atas  KKM?

1.3             Tujuan penelitian

                  Penelitian ini bertujuan untuk :

1.           Mengetahui Penyebab siswa kelas XC pada pelajaran   matematika ini mendapatkan

di bawah   KKM?

2.      Mengetahui Penyebab siswa kelas XC pada pelajaran  matematika ini mendapatkan

di bawah  KKM?

1.4             Rancangan masalah

Penelitian ini menggunakan data dengan metode wawancara  dengan guru

yang sesuai bidang studi, dan data yang valid dari petugas TU MAN (_________).

1.5     Data

Hasil yang di peroleh dari penelitian ini berupa:

1.      Daftar nilai kognitif

2.      Daftar nilai psikomotorik

3.   Daftar nilai afektif

4.      Hasil wawancara

BAB II

KAJIAN TEORI

Matematika berasal dari bahasa yunani kuno yang berarti pengkajian,

pembelajaran ilmu yang ruang lingkupnya menyempit dari arti teknisnya  menjadi 

“pengkajian  matematika , bahkan demikian juga pada jaman kuno. Matematika

meliputi,  studi besaran , struktur ruang dan perubahan, dan matematikawan

mencari pola, merumuskan  konjektur baru dan membangun kebenaran melalui

metode deduksi yang kaku dari aksloma – aksloma dan definisi- definisi  yang

bersesuaian.

Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang

dari pencacahan perhitungan pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap

bangun dan lpergerakan  manusia semenjak adanya rekaman tertulis . Argumentasi

kaku pertama muncul di dalam matematika Yunani, matematika selalu berkembang 

misalnya  di cina pada tahun 300 SM di India pada tahun 100 M dan di arap pada

tahun 800 M . Sekarang matematika dapat di gunakan di seluruh dunia sebagai alat

penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik kedokteran/ medis dan ilmu

sosial seperti ilmu ekonomi dan psikologi.

Definisi matematika menurut  para matematikawan sebagai berikut:

1.      Carl Friedrich gauss mengatakan  matematika sebagai Ratunya il mu pengetahuan”,

di dalm bahasa aslinya latin” regina scientiarum, jugadi dalam bahasa jerman

konighnder Wissentiarum, juga di dalam bahas a  jerman konighnder

wissenschaften, kata yang  bersesuaian dengan  ilmu pengetahuan, berarti

(lapangan) penegetahuan, Jelas inipun arti asli di dalam bahasa inggris dan tiada

keraguan bahwa pengkhukusan yang mempersempit makna menjadi ilmu

pengetahuan alam adalah dimasa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu

pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika maka matematika sekurang-

kurangnya matematika murni , bukan ilmu Pengetahuan.

2.      Albert Einstein mmenyatakan bahwa “ Sejauh hukum- hokum matematika merujuk

pada kenyataan “ maka mereka tidaklah pasti dan sejauh mereka pasti  mereka

tidak merujuk kepada kenyataan.

3.      Karl Popper menyimpulkan bahwa, sebagian besar teori matematika seperti halnya

fisikA dan biolgi adalah hipotis, deduktife, oleh karena itu matematika menjadi lebih

dekan dengan ilmu pengetahuan alam hipotetis, hiippotisnya adalah konjekture

(dugaan) lebih dari sebagai hal yang baru

4.      Benjamin poirce menyebutkan matematika sebagai “ ilmu yang menggambarkan

simpulan – simpulan yang penting

Pendapat- pendapat para matemikawan terhadap matematika sebagai ilmu

pengetahuan ini adalah beraneka ragam .Banyak matematikawan merasa bahwa

untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuansama saja dengan

menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya dan sejarahnya di dalam tujuh seni

liberal tradisional yang lainya merasa bahwa pengabdian pranata ini dengan ilmu

pengetahuan sama saja dengan memutar- memutar mata yang buta terhadap fakta

bahwa antar muka antar matematika dan penerapanya di dalam ilmu pengetahuan

dan rekayasa telah  mengemudikan  banyak pengembangan di dalam matematika.

Namun banyak filosof yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan

percobaan dan dengan demikian bukanlah kilmu pengetahuan perdefinisi:

Bidang- bidang matematika terdiri dari :

1.      Besaran

Pengkaajian besaran di mulai dengan bilangan , pertama bilangan asli dan bilangan

bulat dan loperasi aritmatika di ruang bilangan itu.

2.      Ruang

Pengkajian ruang bermula pada kajian geometri: khususnya geometri euloid

3.      Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam kilmu

Apengetahuan alam , dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh daya

untuk menyelidikinya

. Fungsi- fungsi muncul di sini sebagaikonsep penting untuk menjelaskanbesaran

yang berubah

4.      Struktur

Banyak objek matematika semisal  bilangan  dan fungsi, memamerkan struktur

bagian dalam

Contoh Makalah CTL Mata Pelajaran Matematika

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang aplikasinya sangat mempengaruhi perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Kemampuan matematika selalu dibutuhkan, tidak hanya dibidang matematika saja, tetapi juga mempengaruhi cabang ilmu lainnya. Selain itu, banyak fenomena yang selalu kita jumpai dan itu menerapkan prinsip-prinsip matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Matematika dapat membentuk seseorang mempunyai daya nalar yang tinggi dalam pemecahan masalah dan mampu menjabarkannya secara logis dan sistematis. Cronbach dalam Riyanto, (2009 : 5) mengemukakan bahwa : “Belajar merupakan perubahan perilaku sebagai hasil dari pengalaman.”

Agar perubahan perilaku itu memberikan hasil sesuai dengan tujuan pembelajaran matematika maka dituntut keaktifan siswa dalam belajar. Siswa harus menyenangi matematika karena matematika memberikan mereka tantangan dalam proses pengerjaannya. Seharusnya siswa penuh semangat, kreatif, gigih, dan antusias dalam belajar matematika

Kenyataan yang ditemui penulis di lapangan belum menunjukkan pembelajaran matematika di sekolah sesuai dengan apa yang diharapkan. Hal ini terlihat dari berbagai aktivitas-aktivitas lain yang dilakukan siswa dalam proses belajar-mengajar. Bagi siswa matematika hanyalah pelajaran yang terdiri dari sekelumit angka-angka, serta tidak tahu untuk apa sebenarnya mereka mempelajari dan memecahkan persoalan matematika tersebut. Siswa juga kurang memahami konsep pelajaran sehingga saat guru menanyakan mengenai materi yang telah dipelajari sebelumnya, siswa banyak yang sudah lupa. Hal ini disebabkan siswa tidak memahami konsep dengan baik

Sebenarnya permasalahan yang dihadapi siswa tersebut adalah mereka belum bisa menghubungkan antara apa yang mereka pelajari dan bagaimana pengetahuan itu akan digunakan. Hal ini dikarenakan cara mereka memperolah informasi dan motivasi diri belum tersentuh oleh metode yang betul-betul bisa membantu mereka. Seorang guru harus mampu mencobakan berbagai inovasi dalam pembelajaran. Hal ini bertujuan untuk merangkul siswa terlibat secara aktif dalam belajar dan membangkitkan minat siswa dalam pembelajaran matematika.

Penerapan model pembelajaran Contextual Teaching and Learning (CTL) dalam pembelajaran matematika akan mampu menarik perhatian siswa untuk berpartisipasi aktif dalam belajar. CTL mengapresiasikan mata pelajaran dengan realita-realita yang telah diketahui siswa dalam kehidupan sehari-hari. CTL akan menuntun siswa untuk memperoleh pengetahuan yang bermakna sehingga siswa merasa akrab dengan matematika dan menimbulkan minat serta motivasi

dalam penguasaan materi. Hal ini sesuai dengan pengertian pembelajaran CTL menurut Yatim Riyanto, (2009 : 161 ) bahwa: “pendekatan Contekstual Teaching and Learning (CTL) merupakan konsep belajar yang membantu guru mengaitkan antara materi yang diajarkan dengan situasi dunia nyata siswa dan mendorong antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sebagai anggota keluarga dan masyarakat.”

CTL merupakan suatu konsep belajar dimana guru menghadirkan situasi dunia nyata ke dalam kelas dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sebagai anggota keluarga dan masyarakat. Dengan konsep ini, hasil pembelajaran diharapkan lebih bermakna bagi siswa. Proses pembelajaran berlangsung lebih alamiah dalam bentuk kegiatan siswa bekerja dan mengalami, bukan transfer pengetahuan dari guru ke siswa

Berdasarkan uraian diatas, maka Penerapan model pembelajaran Contextual Teaching and Learning (CTL) dalam pembelajaran matematika merupakan salah satu solusi untuk menjadikan mata pelajaran matematika lebih menarik.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan persoalan yang di temui dilapanagan, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah untuk menjawab pertanyaan berikut: “Bagaimana Penerapan model pembelajaran Contextual Teaching and Learning (CTL) dalam pembelajaran matematika?”

C. Tujuan

Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui penggunaan model pembelajaran Contextual Teaching and Learning (CTL) dalam pembelajaran matematika

D. Manfaat

1. Sebagai pengalaman dan sebagai bekal dalam mengajar matematika bagi penulis

2. Sebagai variasi dan pengalaman belajar baru bagi siswa dalam pembelajaran

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Pengertian Metode Pembelajaran

Istilah pembelajaran sama dengan proses belajar mengajar. Dalam konteks pembelajran terdapat dua komponen penting, yaitu guru dan peserta didik yang saling berinteraksi. Dengan demikian, pembelajran didifinisikan sebagai pegorgaisasian atau penciptaan atau pengaturan suatu kondisi lingkungan yang sebaik-baiknya yang memungkinkan terjadinya belajar pada peserta didik.

Model pembelajaran

Model pembelajaran adalah kerangka konseptual yang melukisakan prosedur yang sistematis dalam mengorgannisaikan pengalaman belajar peserta didik untuk mencapai tujuan

belajar tertentu, dan berfungsi sebagai pedoman bagi perancang pembelajaran dan guru dalam merencanakan dan melaksanakan aktivitas mengajar ( Syaiful Sagala, 2005)

Sedangkan menurut Joyce dan Well (2000:13) menjelaskan secara luas bahwwa model pembelajaran merupakan deskripsi dari lingkungan belajara yang menggambarkan perencanaan kurikulum, kursus-kursus, rancangan unit pembelajaran, perlengkapan belajar, buku-buku pelajaran, program multimedia ddan bantuan belajar melalaui program komputer. Masih menurut Joyce dan Weil hakekat mengajaar adalah membantu pelajar (peserta didik) memperoleh informasi, ide, ketrampilan, nilai-nilai, cara berfikir, dan belajar bagaimana belajar.

Merujuk pada pendapat di atas, penulis memaknai model pembelajaran dalam makalah ini sebagai suatu rencana yang memperlihatakna pola pembelajaran tertentu, dalam pola tersebut dapat terlihat kegiatan guru dan peserta didik di dalam mewujudkan kondisi belajar atau sistem lingkungan yang menyebabkan terjadinya belajar pada peserta didik. Di dalam pola pembelajaran yang dimaksud terdapat karakteristik berupa rentetan atau tahapan perbuatan/kegiatan guru peserta didik yang dikenla dengan istilah sintaks. Secara implisist di balik tahapan pembelajaran terrsebut terdapat karakteristik lainnya dari sebuah model dan rasional yang membedakan antara model pembelajaran yang satu dengan model pembelajaran yang lainnya.

Karakteristik Model Pembelajaran

Menurut Rangke L tobing, dkk (1990: 5 ) mendefinisikan lima karakteristik suatu medel pembelajaran yang baik, yang meliputi berikut ini.

1. Prosedur ilmiah

Suatu model pembelajaran harus memeiliki satu prosedur yang sisitematis untuk mengubah tingkah laku peserta didik atau memiliki sintaks yang merupakan urutan langkah-langkah pemebelajaran yang dilakukan guru dan peserta didik

2. Spesifikasi hasil belajar yang direncanakan

Suatu model pembelajaran menyebbutkan hasil-hasil belajar secara rinci mengenai penampilan peserta didik.

3. Spesifikasi ruang lingkup belajar

Suatu model pembelajran menyebutkan secara tegas kondisi lingkungan dimana respon peserta didik diobservasi

4. Kriteria penampilamn

Suatu model pembelajaran merujuk pada kriteria penerimaan penampilan yang diharapkan dari peserta didik. Model pembelajaran merencanakan tingkah laku yang diharapkan dari peserta didik yang dapat didemonstrasikan setelah langkah-langkah mngajar tertentu.

5. Cara –cara pelaksanaannya

Semua model pembelajaran menyebutkan mekanisme yang menunjukan reaksi peserta didik dan interaksinya dengan lingkungan.

Bruce dan weill mengidentifikasikan karakteristik model pembelajaran ke dalam aspek-aspek berikut.

1. Sintaks

Suatu model pembelajaran memiliki sintask atau urutan atau tahapan-thapan kegiatan belajra yang diistilahkan dengan fase yang menggambarkan bagaimana model tersebut bekerja dalam prakteknya, misalnya bagaiamana memulai pelajaran, bagaimana memfasilitasi peserta didik dalam menggunakan sumber belajar.

2. Sisitem sosial

Sistem sosial menggambarkan bentuk kerja sama antara guru-peserrta didk dalam pembelajaran atau peran-peran guru dan peserta didik dan hubungannya satu sama lain serta jenis-jenis aturan yang harus diterapkan.

3. Prinsip reaksi

Prinsip reaksi menunjukan bahwa kepada guru bagaimana cara menghargai atau menilai peserta didik dan bagaimana menanggapi apa yang dilakukan oleh peserta didik.

4. Sistem pendukung

Sistem pendukung menggambarkan kondisi-kondisi yang diperlukan untuk mendukung keterlaksanaan moddel pembelajaran, termasuk sarana dan prasarana, misalnya alat dan bahan, kesiapan guru dan juga kesiapan peserta didik.

5. Dampak pembelajaran langsung dan iringan

Dampak pembelajaran langsung merupakan hasil belajra yang di capai dengan cara mengarahkan para peserta didik pada tujuan yang diharapkan sedangkan dampak iringan adalah hasil belajar lainnya yang dihasilkan oleh suatu proses pembelajran. Sebagai akibat terciptanya suasana belajar yang dialami langsung oleh peserta didik.

B. Pengertian Model Pembelajaran CTL

Pembelajaran kontekstual adalah terjemahan dari istilah Contextual Teaching Learning (CTL). Katacontextual berasal dari kata contex yang berarti “hubungan, konteks, suasana, atau keadaan”. Dengan demikian contextual diartikan ”yang berhubungan dengan suasana (konteks). SehinggaContextual Teaching Learning (CTL) dapat diartikan sebagi suatu pembelajaran yang berhubungan dengan suasana tertentu.

Pembelajaran kontekstual didasarkan pada hasil penelitian John Dewey (1916) yang menyimpulkan bahwa siswa akan belajar dengan baik jika apa yang dipelajari terkait dengan apa yang telah diketahui dan dengan kegiatan atau peristiwa yang terjadi disekelilingnya.

Pengajaran kontekstual sendiri pertama kali dikembangkan di Amerika Serikat yang diawali dengan dibentuknya Washington State Consortum for Contextualoleh Departemen Pendidikan Amerika Serikat. Antara tahun 1997 sampai tahun 2001 sudah diselenggarakan tujuh proyek besar yang bertujuan untuk mengembangkan, menguji, serta melihat efektifitas penyelenggaraan pengajaran matematika secara kontekstual. Proyek tersebut melibatkan 11 perguruan tinggi, dan 18 sekolah dengan mengikutsertakan 85 orang guru dan profesor serta 75 orang guru yang sudah diberikan pembekalan sebelumnya.

Penyelenggaraan program ini berhasil dengan sangat baik untuk level perguruan tinggi sehingga hasilnya direkomendasikan untuk segera disebarluaskan pelaksanaannya. Untuk tingkat sekolah, pelaksanaan dari program ini memperlihatkan suatu hasil yang signifikan, yakni meningkatkan ketertarikan siswa untuk belajar, dan meningkatkan partisipasi aktif siswa secara keseluruhan.

Pembelajaran kontekstual berbeda dengan pembelajaran konvensional, Departemen Pendidikan Nasional(2002:5) mengemukakan perbedaan antara pembelajaran Contextual Teaching Learning (CTL) dengan pembelajaran konvensional sebagai berikut:

CTL Konvensional

Pemilihan informasi kebutuhan individu siswa;

Pemilihan informasi ditentukan oleh guru;

Cenderung mengintegrasikan beberapa bidang (disiplin);

Cenderung terfokus pada satu bidang (disiplin) tertentu;

Selalu mengkaitkan informasi dengan pengetahuan awal yang telah dimiliki siswa;

Memberikan tumpukan informasi kepada siswa sampai pada saatnya diperlukan;

Menerapkan penilaian autentik melalui melalui penerapan praktis dalam pemecahan masalah;

Penilaian hasil belajar hanya melalui kegiatan akademik berupa ujian/ulang

Karakteristik Pendekatan Contextual Teaching Learning (CTL) Pembelajaran kontekstual melibatkan tujuh komponen utama dari pembelajaran produktif yaitu : konstruktivisme (Constructivism), bertanya (Questioning), menemukan (Inquiry), masyarakat belajar (Learning Community), pemodelan (Modelling), refleksi (Reflection) dan penilaian yang sebenarnya (Authentic Assessment) (Depdiknas, 2003:5).

1. Konstruktivisme (Constructivism)

Setiap individu dapat membuat struktur kognitif atau mental berdasarkan pengalaman mereka maka setiap individu dapat membentuk konsep atau ide baru, ini dikatakan sebagai konstruktivisme (Ateec, 2000). Fungsi guru disini membantu membentuk konsep tersebut melalui

metode penemuan (self-discovery), inquiri dan lain sebagainya, siswa berpartisipasi secara aktif dalam membentuk ide baru.

Menurut Piaget pendekatan konstruktivisme mengandung empat kegiatan inti, yaitu :

1) Mengandung pengalaman nyata (Experience);

2) Adanya interaksi sosial (Social interaction);

3) Terbentuknya kepekaan terhadap lingkungan (Sense making);

4) Lebih memperhatikan pengetahuan awal (Prior Knowledge).

Konstruktivisme merupakan landasan berpikir (filosofi) pendekatan kontekstual, yaitu bahwa pengetahuan dibangun oleh manusia sedikit demi sedikit, yang hasilnya diperluas melalui konteks yang terbatas.

Pengetahuan bukanlah seperangkat fakta-fakta, konsep atau kaidah yang siap diambil atau diingat. Manusia harus mengkonstruksi pengetahuan itu dan memberi makna melalui pengalaman nyata. Berdasarkan pada pernyataan tersebut, pembelajaran harus dikemas menjadi proses “mengkonstruksi” bukan menerima pengetahuan (Depdiknas, 2003:6).

Sejalan dengan pemikiran Piaget mengenai kontruksi pengetahuan dalam otak. Manusia memiliki struktur pengetahuan dalam otaknya, seperti kotak-kotak yang masing-masing berisi informasi bermakna yang berbeda-beda. Setiap kotak itu akan diisi oleh pengalaman yang dimaknai berbeda-beda oleh setiap individu. Setiap pengalaman baru akan dihubungkan dengan kotak yang sudah berisi pengalaman lama sehingga dapat dikembangkan. Struktur pengetahuan dalam otak manusia dikembangkan melalui dua cara yaitu asimilasi dan akomodasi.

2. Bertanya (Questioning)

Bertanya merupakan strategi utama dalam pembelajaran kontekstual. Kegiatan bertanya digunakan oleh guru untuk mendorong, membimbing dan menilai kemampuan berpikir siswa sedangkan bagi siswa kegiatan bertanya merupakan bagian penting dalam melaksanakan pembelajaran yang berbasis inquiry. Dalam sebuah pembelajaran yang produktif, kegiatan bertanya berguna untuk :

1)Menggali informasi, baik administratif maupun akademis;

2)Mengecek pengetahuan awal siswa dan pemahaman siswa;

3)Membangkitkan respon kepada siswa;

4)Mengetahui sejauh mana keingintahuan siswa;

5)Memfokuskan perhatian siswa pada sesuatu yang dikehendaki guru;

6)Membangkitkan lebih banyak lagi pertanyaan dari siswa;

7)Menyegarkan kembali pengetahuan siswa.

3. Menemukan (Inquiry)

Menemukan merupakan bagian inti dari pembelajaran berbasis CTL. Pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh siswa bukan hasil mengingat seperangkat fakta-fakta tetapi hasil dari menemukan sendiri (Depdiknas, 2003). Menemukan atau inkuiri dapat diartikan juga sebagai proses pembelajaran didasarkan pada pencarian dan penemuan melalui proses berpikir secara sistematis. Secara umum proses inkuiri dapat dilakukan melalui beberapa langkah, yaitu :

1)Merumuskan masalah ;

2)Mengajukan hipotesis;

3)Mengumpulkan data;

4)Menguji hipotesis berdasarkan data yang ditemukan;

5)Membuat kesimpulan.

Melalui proses berpikir yang sistematis, diharapkan siswa memiliki sikap ilmiah, rasional, dan logis untuk pembentukan kreativitas siswa.

4. Masyarakat belajar (Learning Community)

Konsep Learning Community menyarankan agar hasil pembelajaran diperoleh dari kerjasama dengan orang lain. Hasil belajar itu diperoleh dari sharing antarsiswa, antarkelompok, dan antar yang sudah tahu dengan yang belum tahu tentang suatu materi. Setiap elemen masyarakat dapat juga berperan disini dengan berbagi pengalaman (Depdiknas, 2003).

5. Pemodelan (Modeling)

Pemodelan dalam pembelajaran kontekstual merupakan sebuah keterampilan atau pengetahuan tertentu dan menggunakan model yang bisa ditiru. Model itu bisa berupa cara mengoperasikan sesuatu atau guru memberi contoh cara mengerjakan sesuau. Dalam arti guru memberi model tentang “bagaimana cara belajar”. Dalam pembelajaran kontekstual, guru bukanlah satu-satunya model. Model dapat dirancang dengan melibatkan siswa.

Menurut Bandura dan Walters, tingkah laku siswa baru dikuasai atau dipelajari mula-mula dengan mengamati dan meniru suatu model. Model yang dapat diamati atau ditiru siswa digolongkan menjadi :

1. Kehidupan yang nyata (real life), misalnya orang tua, guru, atau orang lain.;

2. Simbolik (symbolic), model yang dipresentasikan secara lisan, tertulis atau dalam bentuk gambar ;

3. Representasi (representation), model yang dipresentasikan dengan menggunakan alat-alat audiovisual, misalnya televisi dan radio.

6. Refleksi (Reflection)

Refleksi merupakan cara berpikir tentang apa yang baru dipelajari atau berpikir kebelakang tentang apa yang sudah kita lakukan di masa lalu. Siswa mengendapkan apa yang baru dipelajarinya

sebagai struktur pengetahuan yang baru. Struktur pengetahun yang baru ini merupakan pengayaan atau revisi dari pengetahuan sebelumnya. Refleksi merupakan respon terhadap kejadian, aktivitas, atau pengetahun yang baru diterima (Depdiknas, 2003).

Pada kegiatan pembelajaran, refleksi dilakukan oleh seorang guru pada akhir pembelajaran. Guru menyisakan waktu sejenak agar siswa dapat melakukan refleksi yang realisasinya dapat berupa :

1. Pernyataan langsung terhadap apa yang diterima hari ini

2. Catatan atau jurnal dibuku siswa

3. Kesan dan saran siswa mengenai pembelajaran hari itu

4. Diskusi

5. Hasil karya

7. Penilaian yang sebenarnya (Authentic Assessment)

Penilaian autentik merupakan proses pengumpulan berbagai data yang bisa memberikan gambaran perkembangan belajar siswa agar guru dapat memastikan apakah siswa telah mengalami proses belajar yang benar. Penilaian autentik menekankan pada proses pembelajaran sehingga data yang dikumpulkan harus diperoleh dari kegiatan nyata yang dikerjakan siswa pada saat melakukan proses pembelajaran.

Karakteristik authentic assessment menurut Depdiknas (2003) di antaranya: dilaksanakan selama dan sesudah proses belajar berlangsung, bisa digunakan untuk formatif maupun sumatif, yang diukur keterampilan dan sikap dalam belajar bukan mengingat fakta, berkesinambungan, terintegrasi, dan dapat digunakan sebagai feedback. Authentic assessment biasanya berupa kegiatan yang dilaporkan, PR, kuis, karya siswa, prestasi atau penampilan siswa, demonstrasi, laporan, jurnal, hasil tes tulis dan karya tulis. Menurut Elaine B. Johnson (2011 : 289) “penilaian autentik meningkatakan pembeljaran dalam banyak hal dan memberi keuntungan bagi siswa untuk:

1. Mengungkapkan secara total seberapa baik pemehaman akademik mereka

2. Mengungkapkan dan memperkuat penguasaan kompetensi

3. Menghubungkan pembelajaran dengan pengalaman

4. Mempertajam keahlian berfikir dalam tingkatan yang lebih tinggi

5. Menerima tanggung jawab dan membuat pilihan

6. Berhubungan dan bekerja sama dalammengerjakan tugas

C. Pembahasan

Guru harus bisa memberikan pelajaran matematika yang menyenangkan bagi siswanya sehingga mata pelajaran matematika tidak menakutkan seperti momok yang ada selama ini bagi siswa. Belajar matematika tidak hanya berhitung dan memecahkan soal-soal matematika, namun memberikan pemahaman kepada siswa bagaimana memecahkan persoalan yang ada di sekitar mereka.

Pembelajaran matematika dengan menerapkan model pembelajaran CTL berlangsung dengan pengaitan materi pelajaran dengan mengkaitkan materi tersebut dengan konteks kehidupan siswa sehari-hari sehingga siswa memiliki pengetahuan atau keterampilan yang secara fleksibel dapat diterapkan (ditransfer) dari satu konteks ke konteks lainnya.

CTL akan membuat materi pelajaran sampai ke siswa dengan melibatkan siswa sepenuhnya. Siswa merekonstruksi pengetahuan sehingga belajar lebih bermakna. Komponen-komponen dalam CTL: konstruktivisme, menemukan, bertanya, masyarakat belajar, pemodelan, refleksi, dan penilaian sebenarnya merupakan komponen yang komplit untuk menuntun siswa terlibat aktif dalam belajar dengan cara yang tidak kaku. Jika siswa memenuhi tujuh komponen CTL itu maka siswa akan mampu bekerja-sama dengan baik dalam belajar, berfikir kritis tentang masalah matematika yang ada, menemukan solusi dari permasalahn itu, melatih kecakapan dan keaktifan siswa untuk bertanya, dan sebagainya.

Dengan demikian, maka model pembelajaran berbasis pembelajaran CTL akan mampu menuntun dan membuat siswa mengerti akan materi dengan cara mereka sendiri dibanding dengan penyampaian materi dengan metode konvensional yang menuntut siswa untuk lebih banyak menerima. Hasil konstruksi siswa terhadap masalah matematika yang ada, tentu saja akan jauh lebih lama diingat, karena siswa dilibatkan langsung dalam proses pembelajaran dan bukan menghafal konsep, materi, ataupun rumus-rumus matematika

Suasana pembelajaran yang akrab seperti ini akan membuat siswa merasa nyaman dan pembelajaran bisa menghasilkan sesuatu yang maksimal, karena adanya peningkatan aktivitas dengan model CTL. Dengan meningkatnya aktivitas positif siswa dalam belajar, tentunya hal itu akan bisa membuat hasil belajar siswa turut menjadi lebih baik

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pemaparan sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

Pelaksanaan pembelajaran matematika dengan penerapan pembelajaran cooperative tipe contextual teaching and learning (CTL) akan dapat memberikan konstribusi dan sebagai salah satu strategi yang tepat dalam penyampaian materi yang melibatkan siswa secara aktif tanpa kesan bahwa matematika itu sulit dan kaku.

Pembelajaran CTL melibatkan tujuh komponen utama yaitu: konstruktivisme, menemukan, bertanya, masyarakat belajar, pemodelan, refleksi, dan penilaian sebenarnya. Ketujuh komponen tersebut membangun kerangka berfikir, dimulai dari fakta, data dan konsep. Penggunaan

pendekatan kontekstual dalam pembelajaran matematika akan membantu siswa dan guru mencapai tujuan pembelajaran secara maksimal jika guru

memiliki persyaratan berikut :

1. menguasai dan memiliki kemampuan mengembangkan pendekatan

kontekstual dengan baik.

2. mempersiapkan pembelajaran dengan sungguh-sungguh.

3. menciptakan suasana pembelajaran yang aktif, inovatif, kreatif dan

menyenangkan.

4. selalu menghargai kemampuan siswa.

5. mampu menempatkan diri sesuai peran dan fungsinya.

B. Saran

Berdasarkan pemaparan diatas kami merekomendasikan kepada pengajar maupun calon pengajar matematika untuk menggunakan pembelajaran cooperative tipe contextual teaching and learning (CTL). Penerapan model pembelajaran CTL ini akan membuat siswa merasa lebih akrab dan tidak asing dengan matematika. Dengan demikian maka diharapkan hasil belajar matematika siswa meningkat sesuai dengan harapan kita.

Penerapan model pembelajaran Contextual Teaching and Learning (CTL) dapat dijadikan alternative untuk meningkatkan aktivitas dan hasil belajar siswa di setiap jenjang pendidikan.

HIMPUNAN PENYELASAIAN DAN GRAFIK FUNGSI

TRIGONOMETRI

Makalah

Disusun Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Trigonometri

Kelompok 4Kelas 3A

Prodi Pendidikan MatematikaNama NPM

Nur Handini 11.84.202.050

Husnul Khotimah 11.84.202.077

Liseu Taqillah 11.84.202.183

Nur Azizah 11.84.202.120

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

TANGERANG

2012

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. Yang telah memberikan nikmat-

Nya kepada penyusun sehingga dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dan dapat

terselesaikan sesuai waktunya.

Makalah ini, berjudul “HIMPUNAN PENYELASAIAN DAN GRAFIK FUNGSI”

yang merupakan salah satu tugas mata kuliah Trigonometri yang wajib di selesaikan oleh

seluruh mahasiswi Universitas Muhammadiyah Tangerang di keprodian Pendidikan

Matematika.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada pihak yang ikut berperan dalam

penyusunan penyusun ini, khususnya kepada:

1.    Bapak Drs. Haerul Saleh ,S.Pd.,M.Si. selaku Ka. Prodi Pendidikan Matematika Universitas

Muhammadiyah Tangerang.

2.    Ibu Yenni, M.Pd. selaku Dosen Mata Kuliah Trigonometri.

3.    Semua pihak yang telah memberi motivasi serta dukungannya kepada penyusun.

Semoga semua kebaikan yang telah di berikan akan mendapatkan balasan dan pahala

dari Allah SWt.

Akhirnya makalah ini pun tak luput dari kesalahan dan masih banyak kesalahan. Oleh

sebab itu kritik dan saran yang bersifat membangun penyusun harap dari pembaca guna

menjadi acuan bagi penyusun dalam membuat makalah serupa, dan penyusun berharap

makalah ini bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi penyusun.

Tangerang, 12 Oktober 2012

Penyusun,

  DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

ii

DAFTAR ISI iii

BAB I : PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang 1

B.     Perumusan Masalah 1

C.     Tujuan Penulisan 1

BAB II : HIMPUNAN PENYELASAIAN DAN GRAFIK FUNGSI

TRIGONOMETRI

A.    Himpunan Penyelesaian 3

1.        Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar 3

a.    Penyelesaian persamaan 3

b.    Penyelesaian persamaan 3

c.    Penyelesaian persamaan 4

2.        Penyelesaian persamaan trigonometri sin cos

tan = 4

B.     Grafik Fungsi 4

C.     Aplikasi Soal 9

BAB III : PENUTUP

Kesimpulan 12

DAFTAR PUSTAKA 13

  BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Suatu persamaan

trigonometri dapat diselesaikan dengan

menggunakan penyelesaian persamaan trigonometri dasar yang terdiri dari Penyelesaian

persamaan trigonometri , dan

, dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan – hubungan

yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Untuk menentukan Perubahan nilai fungsi trigonometri (sinus, kosinus dan

tangen) dapat diamati dengan menggunakan lingkaran satuan, yaitu lingkaran trigonometri

yang berjari-jari dan bernilai satuan. dimana Fungsi – Fungsi Trigonometri itu adalah f( )

= sin , f( cos f( = tan , f( = sec , f( = cesec , dan f( = cotan

, yang mempunyai persamaan grafik berturut - turut adalah sin , cos tan

, sec , cosec , dan cotan . Untuk lebih jelasnya pada makalah ini akan

di jabarkan pembahasan tentang Himpunan Penyelesaian dan Grafik Fungsi Trigonometri.

B.     Perumusan Masalah

Dari pernyataan diatas dapat di tarik sebuah perumusan masalah sebagai berikut:

1.    Apa yang dimaksud Himpunan Penyelesaian?

2.    Bagaimana cara menentukan Himpunan Penyelesaian dalam persamaan Trigonometri?

3.    Bagaimana menggambar suatu Grafik Fungsi?

C.    Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memberikan wawasan terhadap mahasiswa

tentang bagaimana:

1.    Untuk menentukan penyelesaian persamaan trigonometri.

2.    Mengetahui rumus sinus, kosinus dan tangen dalam penyelesaian

soal.

3.    Untuk mengetahui cara membuat gambar grafik fungsi trigonometri dengan

menggunakan tabel dan lingkaran satuan.

BAB II

HIMPUNAN PENYELASAIAN DAN GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

A.  Himpunan Penyelesaian

Himpunan Penyelesaian adalah Himpunan semua penyelesaian, dengan X terletak pada

suatu selang (interval).

1.        Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar

a.      Penyelesaian persamaan

Penyelesaian persamaan trigonometri dapat ditentukan dengan

menggunakan hubungan – hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut

berelasi.

dan

Dengan demikian persamaan trigonometri tersebut dapat di tetapkan sebagai berikut :

         Jika , maka

         Jika , maka

b.      Penyelesaian persamaan

penyelesaian persamaan trigonometri dapat ditentukan dengan

menggunakan hubungan – hubungan yang berlaku pada kosinus sudut – sudut berelasi

berikut :

dan

Maka penyelasaian persamaan trigonometri dapat ditetapkan sebagai

berikut:

         Jika maka

         Jika maka

 

c.       Penyelesaian

persamaan

penyelesaian persamaan trigonometri dapat ditentukan dengan

menggunakan hubungan – hubungan yang berlaku pada tangen sudut – sudut berelasi

berikut :

dan

maka penyelesaian persamaan trigonometri dapat ditetapkan sebagai

berikut:

         Jika

         Jika

2.        Penyelesaian persamaan trigonometri sin cos tan =

penyelesaian persamaan trigonometri sin cos tan = dapat ditentukan

dengan cara mengubah bentuk – bentuk persamaan tersebut mendaji persamaan trigonometri

dasar, dengan demikian :

         sin , diubah dulu menjadi

        cos , diubah dulu menjadi

   tan = , diubah dulu menjadi

B.  Grafik Fungsi

Fungsi – Fungsi Trigonometri f( ) = sin , f( cos f( = tan , f( = sec , f(

= cesec , dan f( = cotan , mempunyai persamaan grafik berturut - turut adalah

sin , cos tan , sec , cosec , dan cotan . Fungsi

Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalan

mensubtitusikan harga-harga x dan y kemudian buat gambar.Fungsi trigometri yang tidak

sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya. Untuk menggambarkan grafik

fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu :

1.         Sederhanakan fungsi itu

2.         Tentukan harga ekstrim

3.         Tentukan titik potong kedua sumbu

4.         Tentukan titik lainnya

5.         Kemudian digambarkan selengkapnya

Untuk menggambar grafik trigonometri diperlukan langkah – langkah sebagai berikut:

a.       Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara x dengan y dengan Pilihlah nilai

sudut X sehingga nilai mudah ditentukan.

b.      Titik – titik ( x,y ) yang diperoleh digambar pada bidang cartesius agar skala pada sumbu X

dan pada sumbu Y sama.

c.       Hubungkan titik – titik yang telah digambar pada bidang cartesius tersebut dengan kurva

yang mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri

Contoh:

1.        Gambarkan grafik dalam interval atau

X -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30

Y 0 1 0 -1

0,5 0,87 0,87 0,5 -0,5 - 0,87 -0,87 - 0,5

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Y 0 1 0 -1 0

0,5 0,87 0,87 0,5 -0,5 -0,87 -0,87 -0,5

Grafik Fungsi Sinus dalam interval

2.        Gambarkan grafik dalam interval atau

X -360 -330-300

-270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30

Y 1 0 -1 0

0,87 0,5 -0,5 -0.87 -0.87 -0,5 0,5 0,87

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Y 1 0 -1 0 1

0,87 0,5 -0,5 -0,87 -0.87 -0,5 0,5 0,87

Grafik Fungsi Cosinus dalam interval

3.        Gambarkan grafik dalam interval atau

X -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30

Y 0 - 0 -

X0

30 6090 120 150 180 210 240

270300 330 360

Y 0 - 0 - 0

 

Grafik Fungsi tg dalam interval

4.        Gambarkan grafik dalam interval atau

X -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30

Y 1 2 - -2 -1 -2 - 2

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Y 1 2 - -2 -1 -2 - 2 1

Grafik Fungsi Sekan dalam interval

5.        Gambarkan grafik cosec dalam interval atau

X -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30

Y - 1 - -1

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Y - 1 - -1 -

-

 

Grafik Fungsi cosekan dalam interval

6.        Gambarkan grafik cotan dalam interval atau

X -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30

Y - - - -

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Y - - - - -

Grafik Fungsi cotan dalam interval

C.  Aplikasi soal

contoh : untuk

1.        Tentukan himpunan penyelesaian dan grafik fungsi trigonometri dari

jawab :

sehingga

k = 0 x = 15

k = 1 x= 195

atau

k = 0 x = 75

k = 1 x= 255

Jadi, Hp { }

Tabel :

y = sin 2x

x 15 75 195 255

y

Grafik :

2.        Tentukan himpunan penyelesaian dan grafik fungsi trigonometri dari

Jawab :

sehingga

k = 0 x =

k = 1 x=

atau

sehingga

k = 0

k = 1

Jadi, Hp {

Tabel :

y = cos 2x

x 30 210 330

y

Grafik :

● ● ● ●

BAB IIIPENUTUP

A.    KesimpulanDari pernyataan dalam makalah ini telah dijelaskan dan dapat disimpulkan, bahwa

untuk menggambar grafik fungsi harus diketahui dahulu nilai dari suatu sudut yang telah di

ketahui untuk persamaan trigonometri yang akan dihitung, setelah itu kita akan dapat

membuat grafik fungsi dari hasil tersebut.

B.     Saran

Bagi para pembaca sebaiknya dalam membuat grafik trigonometri harus diperhatikan

terlebih dahulu nilai-nilai sudutnya yang telah didapat dan dalam menentukan nilai “y” itu

menggunakan persamaan trigonometri yang telah diketahui.

  DAFTAR PUSTAKA

Badruzzaman, Farid Hirji. 2009. Rumus Saku Matematika SMA. Bandung: Kawan Pustaka.

Johanes dkk. 2006. Matematika SMA 1B. Jakarta: Yudistira.

Non-person. 2012. Melukis Grafik Fungsi Trigonometri. From: http://yos3prens. wordpress.com/2012/10/06/melukis-grafik-fungsi-trigonometri/. Diakses 12 Oktober 2012.

Non-Person. 2009. Kombinasi Grafik dan Fungsi. From: http://aplikom-fisika.blogspot.com/2009/07/tugas-3-kombinasi-grafik-dan-fungsi.html. Diakses 16 Oktober 2012.

Tampomas, Husein. 2008. Seribupena Matematika SMA Kelas X. Bogor: Erlangga.

Materi Lengkap Fungsi Eksponen dan LogaritmaPosted On July 20, 2013 | Under Category: Fungsi Eksponen dan Logaritma

advertisements

Rumus matematika yang kali ini akan saya paparkan yaitu tentang eksponen  dan logaritma, pasti temen-temen sudah pernah mendengarnya, atau bahkan telah mempelajarinya disekolah.

1. Fungsi Eksponen

Bentuk an disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat. Eksponen memiliki sifat – sifat sebagai berikut :

Bentuk umum dari fungsi eksponen yaitu y = ax  dimana a ≥ 0 dan a ≠ 1

a. Grafik fungsi y = ax, untuk 0 < a < 1

Mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

1. Terdefinisi untuk semua x ϵ R2. Jika x mempunyai nilai kecil dan negatif maka sebaliknya y bernilai besar dan positif.

3. Jika x mempunyai nilai besar dan positif maka y mendekati nol dan positif.

4. untuk x = 0 maka kita peroleh y = 1.

Gambar Grafik Fungsinya sebagai berikut :

 

2. Fungsi Logaritma

Bentuk eksponen atau perpangkatan dapat kita tulis dalam bentuk logaritma. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

Jika ab = c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka alog c = b   dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan. Logaritma memuliki sifat-sifat sebagai berikut :

Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika ay = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =alog x

2.1. Grafik Fungsi y =alog x untuk 0 < a < 1

contoh :

mempunyai sifat-sifat :

1. semua x > 0 terdefinisi2. jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif

3. untuk x=1 maka y=o

4. untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.

Berikut ini gambar grafiknya.

 

2.2. Grafik Fungsi y =alog x untuk a > 1

contoh :

mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

1. untuk semua x > 0 terdefinisi2. jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif

3. untuk x=1 maka y=0

4. untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.

Berikut ini gambar grafiknya :

 

Itulah penjelasan tentang Materi Lengkap Fungsi Eksponen dan Logaritma semoga dapat bermanfaat, dan jangan lupa baca juga materi yang lain seperti Operasi Hitung Pada Pecahan atau Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima.