MAKALAH Teori Himpunan

8/16/2019 MAKALAH Teori Himpunan

1/10

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Penggunaan himpunan dalam Matematika dimulai pada Akhir abad ke-19.

Orang pertama yang menemukan konsep himpunan adalah Georg Cantor (18!-1918"

seorang ahli Matematika berkebangsaan #erman. $ahun 19%& konsep himpunan

digunakan se'ara luas dalam beberapa 'abang matematika.

alam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar istilah kelompok)

kumpulan) gerombolan) paguyuban) regu) dan lain-lain. *stilah-istilah tersebut dalam

matematika disebut himpunan.

B. Rumusan Masalah

Makalah ini hanya dibatasi mengenai +$eori ,impunan dalam ilmu

matematika.

Adapun rumusan masalahnya yaitu sebagai berikut

1. Apakah yang dimaksud dengan himpunan /

%. 0agaimana 'ara menentukan anggota himpunan dan mengenal

berbagai ma'am bilangan /

. Apa sa2a 2enis-2enis ,impunan /

. Apa yang dimaksud dengan *risan dan Gabungan /

!. 0agaimana 'ara menentukan 3omplemen dan 4elisih /

C. Tujuan Penulisan

TEORI HIMPUNAN 1


2/10

Penulisan makalah ini dimaksudkan untuk menyelesaikan tugas mata kuliah

$eri ,impunan yang diberikan oleh 0apak Abdul Mu2ib 5idho) 4.Pd selaku dosen

pengampu kami.

4elain itu) se'ara khusus penulisan makalah ini bertu2uan untuk• Mendeskripsikan arti dari ,impunan.

• Men2elaskan bagian-bagian di dalam $eori ,impunan.

• Men2elaskan kegunaan $eori ,impunan dalam kehidupan sehari-hari.

D. Manfaat Penulisan

engan dibuatnya makalah ini) diharapkan agar dapat memberikan man6aat

bagi kehidupan kita dan memberikan nilai tambah terhadap pengetahuan kita terutama

tentang materi teori himpunan dalam ilmu matematika.

Man6aat 7man6aat yang telah terangkum dalam penulisan makalah ini antara

lain ) yaitu

apat lebih mengenal dan memahami makna dari himpunan.

apat menun2ukkan bagian-bagian utama dalam teori himpunan.

apat mengetahui man6aat teori himpunana dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II

PEMBAHAAN

A. HIMPUNAN

!. Pengertian Him"unan

,impunan adalah kumpulan benda (ob2ek" yang dide6inisikan se'ara 2elas.

Maksud dide6inisikan se'ara 2elas adalah diketahui 'iri khas yang dihimpunnya

sehingga dapat ditentukan baha suatu ob2ek merupakan anggota himpunan atau

bukan. 0enda-benda (ob2ek" tersebut dapat berupa orang) binatang) buah-buahan)

bilangan dan lain sebagainya.

Contoh-'ontoh himpunan adalah sebagai berikut

a. 3umpulan sisa kelas A 4MA :egeri % 3otabaru yang gemar menari.

TEORI HIMPUNAN 2


3/10

b. 3umpulan bilangan asli yang kurang dari !.

'. 3umpulan huru6 hidup dalam ab2ad ;atin.

d. 3umpulan nama-nama bulan dalam satu tahun pada tahun Masehi.

Contoh-'ontoh bukan himpunan adalah sebagai berikut

a. 3umpulan anaka-anak ke'il.

b. 3umpulan anak-anak bodoh.

'. 3umpulan bunga-bunga yang indah.

d. 3umpulan mahasisa 4$3*P yang pandai.

Contoh-'ontoh ini bukan merupakan himpunan) 3arena anggota himpunannya

tidak dide6inisikan se'ara 2elas. an 2ika dalam 'ontoh tersebut terdapat kata

si6at) 2uga bukan merupakan himpunan ke'uali kata si6at itu mengandung 'iri <

kuantitas.#. Cara Mem$entuk Him"unan

4uatu himpunan diberi lambang dengan sebuah huru6 kapital (huru6 besar"

misalnya A) 0) C) ) dan seterusnya. Penulisan suatu himpunan demhgan kurung

kuraal buka dan kurung kuraal tutup yaitu += >. Penulisan anggota-anggota suatu

himpunan dipisahkan dengan tanda koma ()".

Contoh

a. A adalah himpunan bilangan asli kurang dari !

A ? himpunan bilangan asli kurang dari !

A ? = bilangan asli kurang dari ! >,impunan ini ditulis A ? = 1) %) ) >.

b. 0 adalah himpunan huru6 hidup dalam ab2ad ;atin.

0 ? himpunan huru6 hidup dalam ab2ad ;atin

0 ? = huru6 hidup dalam ab2ad ;atin >

,impunan ini ditulis 0 ? = a) i) u) e) o >.

B. AN%%&TA HIMPUNAN

!. Menentukan Angg'ta Him"unan

Anggota disebut 2uga @lemen < unsur dengan lambang +∈+ ( diba'a anggota "

sedangkan lambang +∉ dinyatakan bukan anggota.Contoh

a. p adalah anggota A ditulis p ∈ A

bukan anggota A ditulis ∉ A

b. , ? = hari yang beraalan 4 >

4enin ∈ ,

4elasa ∈ ,

5abu ∉ ,

3amis ∉ ,

#umat ∉ ,

4abtu ∈ ,

TEORI HIMPUNAN 3


4/10

Minggu ∉ ,

#adi) , ? = senin) selasa) sabtu >

#. Mengenal Ber$agai Bilangan

a. ,impunan 0ilangan Asli

A ? = 1) %) ) ) !) . . . >

b. ,impunan 0ilangan Ca'ahC ? = &) 1) %) ) ) . . . >

'. ,impunan 0ilangan Genap

: ? = . . . ) -) -%) &) %) ) . . .>

d. ,impunan 0ilangan Gan2il

; ? = . . . ) -) -1) 1) ) !) . . .>

e. ,impunan 0ilangan Prima

P ? = %) ) !) B) 11) . . .>

6. ,impunan 0ilangan 0ulat

0 ? = Positi6) :ol) :egati6 >

g. ,impunan 0ilangan 5eal (:yata"

5 ? = . . .%

? = . . . ) -) -%) &) %) ) . . .>

n(G" ? D

'. P ? = 0ilangan Prima antara 1 dan 1! >

? = >

n(P" ? &

*. Cara Men)atakan uatu Him"unan

Ada 'ara untuk menyatakan suatau himpunan yaitu dengan kata-kata)

dengan menda6tar) dengan notasi) dan dengan diagram Eenn.

a. engan kata-kata

Contoh A himpunan bilangan asli antara dan 1&

b. engan menda6tar

Contoh A ? = !) ) B) 8) 9 >

'. engan notasi

Contoh A ? = F| F 1&) F H A >

TEORI HIMPUNAN 4


5/10

d. engan iagram Ienn

iagram Eenn merupakan 'ara untuk menyatakan himpunan dengan

gambar (diagram". Pada diagram Eenn berlaku aturan berikut

a. 4etiap anggota himpunan dinyatakan dengan noktah (titik"

b. :ama anggota ditulis di dekat noktah

'. #ika anggota himpunan banyak noktah-noktahnya tidak perlu

digambar

d. 4emesta pembi'araan digambarkan dengan persegi pan2ang dan

diberi nama 4. 0iasanya 4 diletakkan di sudut kiri atas persegi

pan2ang

e. ,impunan yang di bi'arakan digambarkan dengan lingkaran atau

kurEa tertutup yang lain.

Contoh

• 4 himpunan bilangan primaA ? = %) ) !) B) 11 >

4

% ! A

B

11

C. +ENI,+ENI HIMPUNAN

!. Him"unan -'s'ng

,impunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota)

lambangnya = > atau ɸ

Contoh ? = bilangan prima antara ! dan B >

? = >

#. Him"unan emesta

,impunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggoat)

lambangnya huru6 4 yang artinya semesta atau J yang artinya JniEersal.

Contoh

a. A ? = %) ) !) B >

4 ? = 0ilangan Prima >

b. ; ? = 0umi) Mars) Ienus >

4 ? = F | F adalah nama-nama planet >

TEORI HIMPUNAN 5


6/10

(. Him"unan Bagian

,impunan bagian adalah himpunan dimana A merupakan himpunan

bagian dari 0 2ika setiap anggota A 2uga merupakan anggota 0. ;ambangnya

subset ⊂

Contoh

a. A ? = %) ) ) !) >

0 ? = 1) %) ) ) !) ) B) 8) 9) 1& >

A⊂ 0 ? 0 ⊃ A

*. Cara Menentukan Him"unan Bagian

5umus yang digunakan yaitu %n untuk mengetahui banyaknya

anggoata himpunan.

Contoh

a. K ? = 1) %) >

iketahui n ?

% ? 8

• & Anggota

= >

• 1 Anggota

= 1 >) = % >) = >

• % Anggota

= 1) % >) = 1) >) = %) >• Anggota

= 1) %) >

D. IRIAN DAN %ABUN%AN

a. Irisan

*risan atau interse'tion adalah himpunan semua elemen yang men2adi

anggota A dan 2uga Men2adi anggota 0. ;ambangnya ∩ se'ara matematika

irisan himpunan A dan 0 dideEinisian A∩ 0 ? = F | F ∈ A dan F ∈ 0 >

Contoh

a. #ika A adalah himpunan 6aktor dari dan 0 adalah himpunan lima

bilangan prima yang pertama

Maka) A ? = 1) %) ) >

0 ? = %) ) !) B) 11 >

A∩ 0 ? = %) >

iagram Ienn

TEORI HIMPUNAN 6


7/10

4A 0

1 % ! B

11

$. %a$ungan

Gabungan adalah himpunan semua ob2ek yang merupakan anggota A

atau anggota 0. ;ambangnya ∪ se'ara matematika A ∪ 0 dide6inisikan

sebagai = F | F ∈ A dan F ∈ 0>.

Contoh

A ? = 1) %) ) >

0 ? = ) !) >

A∪ 0 ? = 1) %) ) ) !) >

iagram Ienn

4

A 0

1 !

%

. ifat, sifat Him"unan

a. 4i6at 3omulati6

A∩ 0 ? A∩ A dan A∪ 0 ? 0 ∪ A

b. 4i6at Asosiatai6

A∩ ( 0 ∩ C " ? ( A ∩ 0 " ∩ C dan

A∪ ( 0 ∪ C " ? ( A ∪ 0 " ∪ C

'. 4i6at istributi6

A∩ ( 0 ∪ C " ? ( A ∩ 0 " ∪ ( A∩ C "

A∪ ( A∩ C " ? ( A∪ 0 " ∩ ( A∪ C "

TEORI HIMPUNAN 7


8/10

E. -&MPLEMEN DAN ELIIH

a. -'m"lemen

3omplemen A (A'" adalah himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan sebagai anggota pembi'araan tetapi bukan merupakan anggota

himpunan A dengan notasi pembentuk himpunan A' ? = F | F ∈ 4 dan F ∈ A>

Contoh

4 ? = 1) %) ) ) !) ) B) 8) 9) 1& >

A ? = %) ) ) 8 >

0 ? =1) %) ) >

#aab

A' ? = 1) ) !) B) 9) 1& >

$. elisih

4elisih (di66ren'e" himpunan A dan 0 adalah himpunan yang

anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari 0. 4elisih

himpunan A dan 0 dinotasikan dengan A-0 ? AL 0. engan notasi

pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut

A 7 0 ? = F | F ∈ A) F ∉ 0 >

0 7 A ? = F | F ∈ 0) F ∉ A >

Contoh

• iketaui

4 ? = 1) %) ) ) !) ) B) 8) 9) 1& >

P ? = %) ) !) B >

? = 1) ) !) B) 9 >

• $entukan selisih dari

1. 4 7 P

%. 4 7 . P 7

• #aab

1. 4 7 P

4 ? = 1) %) ) ) !) ) B) 8) 9) 1& >

P ? = %) ) !) B >

4 7 P ? = 1) ) ) 8) 9) 1& >

%. 4 7

4 ? = 1) %) ) ) !) ) B) 8) 9) 1& >

? = 1) ) !) B) 9 >

4 7 ? = %) ) ) 8) 1& >. P 7

TEORI HIMPUNAN 8


9/10

P ? = %) ) !) B >

? = 1) ) !) B) 9 >

P 7 ? = % >

. Penera"an him"unan /alam kehi/u"an sehari,hari

Contoh

• ari sekelompok sisa ternyata %! sisa suka makan bakso) %& sisa

suka makan soto) dan 1% sisa suka makan keduanya (bakso dan soto".

0erdasarkan keterangan diatas

a. Gambarlah diagram Ienn untuk menun2ukkan keadaan tersebut /

b. 0erapa banyak sisa dalam kelompok tersebut /

'. 0erapa banyak sisa yang suka makan bakso sa2a /

#aab

a. iagram Ienn

4A 0

A %! 1% %&

0 C

4A;A,

4 A 0

A 1 1% 8 0 C ?

0@:A5 b. 4 ? A N 0 N C N

? 1 N 1% N 8 N

? N

? 4isa

'. ang suka 0akso ? %!

ang suka bakso sa2a ? 1

ang suka bakso tapi tidak suka soto ? 1

TEORI HIMPUNAN 9


10/10

BAB III

PENUTUP

A. -esim"ulan

TEORI HIMPUNAN 10

MAKALAH Teori Himpunan

Documents

Transcript of MAKALAH Teori Himpunan