MAKALAH STATISTIKA DASAR

Disusun oleh :

1. Denti Oktaviani ( 06081181419065)

2. Endah Rizkiani ( 06081181419026)

3. Putri Handayani ( 06081181419018)

Dosen Pengasuh :

1. Prof.Dr.Ratu Ilma I.P, M.Si.

2. Puji Astuti, S.Pd, M.Sc.

Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sriwijaya

2015

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar.............................................................................................i

Daftar Isi....................................................................................................ii

ISI

BAB 1Pengertian, Jenis Statistika dan Macam-Macam Data .............................................1BAB IIPenyajian Data dan Aplikasi pada Data Penelitian ...............................................20BAB IIIDaftar Distribusi Frekuensi dan Aplikasi pada Data Penelitian ...............................27BAB IVUkuran Pemusatan.......................................................................................34BAB VUkuran Letak dan Ukuran Penyebaran .............................................................49BAB VIDistribusi Binomial dan Poisson......................................................................59BAB VIIDisrtribusi Normal.......................................................................................66BAB VIIIUji Normalitas dan Homogenitas.....................................................................77BAB IXUji Hipotesis..............................................................................................95BAB XUji Hipotesis satu Rata-rata..........................................................................104BAB XIUji Hipotesis 2 Rata-rata.............................................................................111

PENUTUPDaftar Pustaka ...........................................................................................112

ii

iii

BAB I

STATISTIKA DAN MACAM-MACAM DATA

A. Pengertian Statistik dan Statistika

Secara etimologi kata “statistik“berasal dari kata status (bahasa latin) yang

mempunyai persamaan arti dengan kata state (bahasa inggris)atau kata staat (belanda ),dan

yang dalam bahasa indonesianya diterjemakaan menjadi negara. Dalam kamus bahasa inggris

akan kita jumpai kata statistiks sebagai “ilmu statistik“. Kata statistik diartikan sebagai

“ukuran yang diperolehkan atau berasal dari sample,”yaitu sebagai lawan dari kata

“parameter”yang berarti”ukuranyang diperoleh atau berasal dari populasi .”

Dalam buku karangan narr herrhyanto dan h.m akib hamid (2007), kata statistik dapat

diartikan sebagai kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah, sehingga dapat

memberikan gambaran mengenai masalah tersebut.

Ditinjau dari segi termologi ,istilah “statistik” mengandung berbagai macam pengertian,

yaitu:

Pertama,

Istilah “statistik’ kadang diberi pengertian sebagai data statistik yaitu kumpulan bahan

keterangan yang berupa angka atau bilangan atau dengan istilah lain, “statistik “adalah

deretan atau kumpulan angka yang menunjukan keterangan cabang kegiatan hidup tertentu.

Kedua,

Istilah “statistik” juga sering diberi pengertian sebagai kegiatan “perstatistikan” atau kegitan

penstatistikan.

Ketiga,

Statistika adalah metode yang mempelajari pengumpulan, pengaturan, perhitungan,

penggambaran, dan penganalisaan data, serta penarikan kesimpulan yang valid berdasarkan

penganalisaan yang dilakukan dan pembuatan keputusan yang rasional, sehingga kumpulan

bahan keterangan yang berupa angka itu “dapat berbicara”atau dapat memberikan pengertian

dan makna tertentu.

Keempat,

Istilah “statistik” dewasa ini dapat diberi pengertian sebagai “ilmu statistik”.  llmu statisitk

tidak lain adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari dan mengembangkan secara ilmiah.

1

B. Penggolongan Statistik

Berdasarkan fungsinya, statistik sebagai ilmu pengetahuan dapat dibedakan menjadi

dua golongan, yaitu:

1. Statistik deskriptif,

Statistik deskriptif atau yang dikenal pula dengan istilah deduktif, ialah statistik yang

tingkat perkerjaanya mencakup cara-cara menghimpun , menyusun atau mengatur,

mengelolah, menyajikan dan menganalisis data angka agar dapat memberikan gambaran

teratur, ringkas, dan jelas mengenai suatu gejala, peristiwa atau keadaan.

Statistika Deskriptif hanya menggambarkan dan menganalisis kelompok data yang diberikan

tanpa penarikan kesimpulan mengenai kelompok data yang lebih besar.

2. Statistik inferensial

Statistik inferensial atau dengan istilah statistik induktif, merupakan statistik

lanjutan atau statistik mendalam yaitu statistik yang menyediakan aturan atau cara yang dapat

dipergunakan sebagai alat dalam rangka menarik kesimpulan yang bersifat umum,dari

kesimpulan data yang telah di susun dan diolah. Dalam statistika inferensial biasanya

memasukan unsur peluang dalam menarik kesimpulannya.

C. Ciri Khas Stastistik

Pada dasar-nya statistik sebagai ilmu pengetahuan memiliki tiga ciri khusus yaitu:

a) Statisitik selalu bekerja dengan angka atau bilangan (dalam hal ini adalah data

kuantitatif).

b) Statistik bersifat objektif, Ini mengandung pengertian bahwa statistik selalu bekerja

menurut objeknya atau bekerja apa adanya.

c) Statistik bersifat universal,Ini mengandung pengertian bahwa ruang lingkup atau

ruang gerak dan bidang garapan statisitk tidaklah sempit.

D. Permasalahan Statistik

Hanartanto Sigit, B, S.T, dalam bukunya statistik suatu pengantar (1996) mengemukakan ada

tiga permasalahan dasar dalam statistik, yaitu:

1. Permasalahan tentang rata-rata(average).Betapa tidak, kita sering mengunakan

pengertian “rata-rata” (average)dalam kehidupan kita sehari-sehari. Semua telah

mengenal konsep ”rata rata” ini baik digunakan untuk hal yang sepele atau sederhana.

2.  Permasalahan tentang pemencaran atau penyebaran (variability atau dispersion),

Dengan sederhana disini kita telah mengenal kata yang sudah diindonesiakan ,yaitu

2

”variasi” yang artinya ”banyak ragamnya”. Dalam statistik justru kita biasanya

mengusahakan supaya sesuatu itu tidak banyak variasinya supaya varibilitasnya kecil.

3. Permasalah tentang saling-hubungan (korelasi). Tiga persoalan statistik: ”rata-rata”,

“varibilitas” dan “korelasi” inilah yang merupakan persoalan dasar statistik-suatu

persoalan yang sudah pasti tidak asing lagi.

E. Statistik Pendidikan

Pengertian

Pada setiap lapangan pekerjaan, baik pemerintah, pendidikan pertanian, perdagangan,

maupun lapangan pekerjaan lain, setiap pimpinan instansi (manajer) selalu berhadapan

dengan masalahatau persoalan yang antara lain dinyatakan dengan angka-angka. Dari

kumpulan angka ini, ia berusaha menarik kesimpulan yang dianggap atau diharapkan cukup

beralasan untuk memberikan gambaran atau penjelasan inilah mengenai persoalan itu.

Untuk memberikan kesimpulan itu, Pemimpin (manajer) menyusun dan menyajikan

angka-angka tersebut dalam sebuah daftar atau table yang disebut dengan statistic. Untuk

memperoleh sekumpulan informasi yang menjelaskan masalah menarik kesimpulan yang

benar tentu saja harus melalui beberapa proses, yaitu meliputi proses pengumpulan informasi,

pengelolahan informasi, dan proses penarikan kesimpulan. Dan kesemuanya itu memerlukan

pengetahuan tersendiri yang disebut statistika.

Begitupun dalam dunia pendidikan yang dikenal dengan istilah statistic pendidikan

yang merupakan cabang dari ilmu statistika. Di dalam statistic pendidikan banyak dibahas

dan dikembangkan  prinsip-prinsip, metode, dan prosedur yang digunakan sebagai cara

pengumpulan, menganalisis, serta menginterpretasikan sekumpulan data yang berkaitan

dengan dunia pendidikan. Wujudnya bisa berupa kegiatan mengumpulkan data-data yang

berkaitan dunia pendidikan, seperti kegiatan mengolah dan menganalisis data-data

pendidikan untuk kemudian dintrepetasikan dalam diagram grafik yang menggambarkan

kondisi suku suatu data statistic pendidikan.

Kata statistik dalam istilah statistik pendidikan diartikan sebagai ilmu pengetahuan

yaitu ilmu pengetahuan yang membahas atau mempelajari atau mengembangkan prisip-

prinsip atau metode dan prosedur yang ditempuh atau dipergunakan,dalam rangka

pengumpulan,penyusunan penyajian,penganalisaan bahan keterangan yang berwujud

angka, mengenali hal-hal yang bekaitan dengan pendidikan dan penarikan

kesimpulan, serta perkiraan.

3

Fungsi Dan Kegunaan Statistik Dalam Dunia Pendidikan

Fungsi yang dimiliki oleh statistik dalam dunia pendidikan adalah menjadi

alatbantu,maka berlandasan pada data eksak itu ia akan dapat:

a. Memperoleh gambaran baik gambaran secara khusus maupun gambaran secara umum

tentang suatu gejala, dan keadan suatu peristiwa.

b. Mengikuti perkembangan atau pasang surut mengenai gejala.

c. Melakukan pengujian.

d. Mengetahui.

e. Menyusun laporan yang berupa data kuantitatif dengan teratur, ringkas, dan jelas.

f. Menarik kesimpulan secara logis, mengambil kesimpulan secara tepat dan mantap.

Data Statistik dan Data Statistik Pendidikan

Data Statistik

Pengertian

Data  adalah sejumlah informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu

keadaan atau masalah, baik yang berupa angka-angka (golongan) maupun yang berbentuk

kategori, seperti, baik, buruk, tinggi, rendah dan sebagainya. Dalam menarik suatu

kesimpulan atau membuat sutu keputusan seorang peneliti memerlukan data yang benar.

Apabila data yang salah digunakan untuk membuat keputusan, keputusan yang dihasilakan

menjadi tisak tepat atau dengan istilah yang lain data yang salah akan menyesatakan, begitu

halnya dengan data statistic pendidikan.

Misalnya berdasarkan penelitian, mata pelajajaran matematika siswa SMU adalah 4,5.

Kemudian dilaporkan kepada pihak yang hendak membuat sutu keputusan atau kesimpulan

bahwa rat-rata mata pelajran matematika SMU adalah 5 sehingga kesimpulan maupun

kebijakan yang ditetapkan menjadi salah.

Agar tidak terjadi kesalahan yang mengakibatkan kerugian besar, data yang baik

harus memenuhi beberapa persyaratan berikut ini:

Objektif

Data yang diperoleh dari hasil penelitian harus menggambarkan keadaan sebenarnya.

Misalnya apabila dalam sebuah penelitian, jumlah lulusan SLTP yang melanjutkan ke SLTA

60%, data yang akan diperoleh harus 60%.

Relevan

Data yang diperoleh harus ada kaitannya dengan permaslahan yang akan diteliti.

Misalnya kita ingin mengetahui penyebab hasil penjualan barang menurun maka data yang

4

dianggap relevan untuk dikumpulakan adalah mutu barang, daya beli, pesaing, barang

lain  yang sejenis, harga barang, biaya advertensi, dll.

Sesuai zaman (Up to Date)

Data tidak boleh tertinggal zaman (usang) sebab adanya perkembangan waktu dan

teknologi ,menyebabkan suatu kejadian dapta mengalami perubahan dengan cepat.

Representetif

Data yang diperoleh dari hasil penelitian smapel harus memiliki atau menggambarka

keadaa populasinya.Misalnya kita ingin mengetahui minat baca masyarata yang haru diteliti

siswa.SD, siswa SMP, siswa SMA, mahasiswa, dan umumnya.

Dapat dipercaya

Sumber data (narasumber) harus diperoleh dari sumber yang tepat.Misalnya data tentang

harga sayur diambil dari tukang sayau, data tentang pencari diambil dari Depnaker, dan

sebagainya.

Statistik dalam dunia pendidikan dapat dirasakan manfaatnya oleh para pemakai

(seperti peserta didik, mahasiswa, peneliti, dll) apabila banyak para menunjang kelancaran

tugas para “petugas” pendidikan tadi. Misalnya dipakai dalam kegiatan evaluasi, statistic

menjadi alat bantu untuk menganalisis dan menyimpulakn data hasil evaluasi. Sebagai

contoh, ketika para guru mengevaluasi ketercapaian hasil pendidikan, biasaynya data yang

terkumpul berbentuk data kuantitatif sebelum diinterpretasikan menjadi data kualitatif.

Data statistic yang ditemukan/dianalisi dalam dunia pendidikan biasanya berupa:

a) Data prestasi siswa (misalnya, nilai hasil tes, nilai rapor, nilai intelengensi dan

kepribadian, dll)

b) Data tentang peserta didik, tenaga pengajar, pegawai dan lulusan (misalanya, jumlah

siswa, guru berkualifikasi tertentu, lulusan yang melanjutkan/tidak melanjutakan,

presensi, dll)

c) Data tentang anggaran pendidikan (misalnya, belanja rutin pegawai, dana kesiswaan,

dll)

d) Data tentang kepustakaan, administrative, danperlengkapan (misalnya, jumlah buku

menurt kategori tertentu, jumlah alat sekolah, dll)

Dalam sebuah penelitian, data statistika yakni berupa populasi maupun sampel.

Peneliti dapat melaksanakan penelitian yang bersifat penelitian populsia maupun penelitian

sampel.

5

Secara sederhana, populasi dapat diartikan sebagai berikut:

a. Populasi adalah keseluruhan subjek penelitian (Suharsimi, 1998)

b. Populasi adalah kumpulan dari individu dengan kualitas serta denga ciri-ciri yang

ditetapkan (Nazir, 1983)

c. Sekumpulan objek yang lengkap dan jelas (Vincent, 1980)

Berdasarkan pengertian tersebut, dapat disimpulkan bahwa populasi adalah

keseluruhan objek penelitian yang dapat terdiri dari manusia, benda, hewan, dan tumbuhan,

gejala, nilai tes, atau peristiwa sebgai sumber data yang mewakili karakteristik tetentu dalam

suatu penelitian (Nawawi, 1983).

Berdasarkan jumlahnya populasi dapat digolongkan menjadi populasi terbatas dan

populasi tidak terbatas.

1. Populasi terbatas

Populasi terbatas adalah sumber data yang jelas batasnya secra kuantitatif sehingga

relative dapat dihitungkan jumlahnya.

2. Populasai tak terbatas

Populasi tak terbatas adalah sumber data yang tidak dapat ditentukan batasnya sehingga

realtif tidak dinyatakan dalam bentuk jumlah.

Berdasarkan sifatnya, populasi dapat digolongkan menjadi populasi homogen dan

populasi heterogen.

1. Populasi homogen

Populasi homogen adalah sumber data yang unsunrnya memiliki sifat yang sama sifat

yang sam sehingga tidak perlu mempersoalkan jumlahnya yang kuantitatif.

2. Populasi heterogen

Populasi heterogen adalah sumber datanya yang memiliki sifat atau keadaan yang

bervariasi sehingga perlu ditetapkan batas-batasnya, baik secara kualitatif maupun

kuantitaif.

Hasil dari objek pada populasi yang diteliti harus dianalisis untuk ditarik kesimpulan

itu berlaku untuk seluruh pola.

Dalam melaksanakan penelitian, walaupun tersedia populasi yang terbatas dan

homogeny adakalanya peneliti tidak melakukan pengumpulan data secara populasi, teatapi

mengambil sebagian dari populasi yang dianggap mewakili populasi (reprenstatif). Hal ini

berdasarakn pertimbangan yang logis, sperti kepraktisan, keterbatasan biaya, waktu , dan

adanya percobaan yang bersifat merusak, misalnya untuk mengetahui daya tahan lampu pijar

kemudian mencatat lamanya waktu hidup.

6

Macam Data

Kualitatif

Kuantitatif

Kortinum

Ratio

Interval

Ordinal

Nominal

Dengan meneliti sebagian dari populasi (sampel) dapat diharapkan bahwa hasil yang

diperoleh akan memberikan gambaran yang sesuai dengansifat populasi yang bersangkutan.

Jadi, penelitian hanya dilakukan terhadap sampel, tetapi kesimpulan yang diperoleh akan

digeneralisasikan terhadap populasi

F. Macam-Macam Data

Macam-macam data 2 yaitu :

1. Menurut Sifatnya,

a. Data Kualitatif

Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka. Misalnya penjualan merosot, mutu

barang naik, karyawan resah, harga daging naik, dan sebagainya atau data yang berbentuk

kategori atau atribut.

Contoh:

• Harga emas hari ini, mengalami kenaikan.

• Sebagian dari produksi barang “A” pada perusahaan “x” rusak.

b. Data Kuantitatif

Data kuantitatif ialah data yang berbentuk bilangan (angka).

Contoh:

• Luas bangunan hotel itu 5700.

• Tinggi badan Sandy mencapai 170 cm

•

Data kualitatif dibagi menjadi 2 yaitu :

1. Data Diskrit

Data Diskrit adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung atau

membilang.Datayang diperoleh tidak mungkin berbentuk pecahan.

7

Contoh:

• Banyaknya kursi yang ada di ruangan ini ada 75 buah

• Jumlah siswa yang mengikuti mata kuliah ini mencapai 110   orang

2. Data Kontinu

Data Kontinu adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Pada

data ini, angka-angkanya merupakan deretan angka yang sambung menyambung.

Contoh:

• Panjang benda itu adalah 15 cm.

• Jarak antara kota Bandung dengan kota Cirebon adalah 130    km

Data ini terbagi menjadi 3 yaitu :

a. Data Ordinal, yaitu data yang berbentuk rangking atau peringkat. Contohnya juara 1,

2, 3 dan seterusnya. Data ini dinyatakan dalam bentuk skala

b. Data Interval, yaitu data yang jaraknya sama tetapi tidak mempunyai nol absolut atau

mutlak. Contoh skala termometer, walaupun ada nilai 0 derajat celcius namun tetap

ada nilainya.

c. Data Ratio, yaitu data yang jaraknya sama dan mempunyai nilai nol mutlak. Contoh

berat 0 kg berarti tidak ada bobotnya.

2. Menurut Cara Memperolehnya

Dalam hal ini dibagi menjadi dua bagian yaitu:

a. Data Primer

Data Primer adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu organisasi serta

diperoleh langsung oleh objeknya atau bersumber dari tangan pertama (first hand data).

Contoh:

Pemerintah melalui Biro Pusat Statistik (BPS) ingin mengetahui  jumlah penduduk Indonesia,

maka BPS mengirimkan petugas-petugasnya untuk mendatangi secara langsung rumah

tangga-rumah tangga yang ada di Indonesia.

b. Data Sekunder

Data Sekunder adalah data yang diperoleh dalam bentuk sudah jadi, sudah dikumpulkan

dan diolah oleh pihak lainatau bersumber dari tangan kedua(scond hand data). Biasanya data

itu dicatat dalam bentuk publikasi-publikasi.

Contoh:

Misalkan seorang peneliti memerlukan data mengenai jumlah penduduk di sebuah kota dari

tahun 1960 sampai 1970, maka orang itu dapat memperolehnya di BPS.

8

3. Menurut cara menyusun angka.

Ditinjau dari segi cara menyusun angkanya data statistik dapat dibagi menjadi tiga

macam,yaitu:

a. Data Nominal

Data Nominal adalah data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas

pengolongan atau klasifikasi tertentu..

Contoh :

Data statistik tentang jumlah siswa SMP N dalam tahun ajaran 2014/2015, dilihat dari segi

tingkat kelas dan jenis kelaminnya, seperti terterah pada tabel di bawah ini,

Kelas Jenis kelamin Jumlah

Pria Wanita

III 50 34 84

II 48 44 92

I 72 52 124

Jumlah 170 130 300

b. Data ordinal, juga disebut data urutan

Data Ordinal adalah data statistik yang cara menyusun angkanya berdasarkan urutannya.

Contoh :

Misalkan dari sejumlah 5 orang finalis dalam lomba menyanyi diperoleh skor hasil penilaian

dewan juri, sebagaimana tertera pada tabel. Angka 1,2,3,4,5 yang tercantum pada kolom

terakhir kita sebut data ordinal ( urutan 1 = juara pertama, urutan 2 = juara kedua, dst. )

Nomor urut Nomor undian Nama SkorUrutan

kedudukan

1 031 Endah 451 4

2 115 Lia 497 2

3 083 Denti 427 5

4 024 Putri 568 1

5 056 Anita 485 3

9

c. Data interval, ialah data statistik dimana terdapat jarak yang sama diantara hal-hal

yang sedang diselidiki atau dipersoalkan.

4. Menurut bentuk angkanya,

Ditinjau dari segi angkanya,data statistik dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu:

a. Data Tunggal,

Data Tunggal adalah data statistik yang masing-masing angka merupakan satu unit,

dengan kata lain data tungal adalah data statistik yang angka-angkanya tidak dikelompok-

kelompokan.

Contoh :

Data hasil nilai ulangan harian 10 orang siswa :

78, 80, 87, 68, 79, 85, 83, 91, 84, 76

Nilai tersebut angkanya merupakan satu unit, masing-masing angka tersebut berdiri sendiri

dan tidak dikelompokan

b. Data kelompok

Data Kelompok adalah data statistik yang tiap-tiap unit terdiri dari kelompok angka.

Contoh :

Data hasil nilai ulangan harian 10 siswa, tetapi angkanya dikelompokkan misalnya :

5. Menurut waktu pengumpulannya,

Ditinjau dari segi waktu pengumpulannya data statistik dapat dibedakan menjadi dua

golongan,yaitu:

a. Data seketika,

Data Seketika adalah data statistik yang mencerminkan keadaan pada suaktu waktu (at a

poin of time).

Contoh :

Data statistik tentang jumlah tenaga pengajar di sebuah SMA tahun ajaran 2011/2012 ( hanya

1 tahun ajaran saja ).

10

Nilai

95-91

90-86

85-81

80-76

b. Data urutan waktu,

Data urutan waktu adalah data statistik yang mencerminkan keadaan atau perkembangan

suatu hal, dari satu waktu kewaktu lain secara berurutan.

Contoh :

Data statistik tentang jumlah tenaga pengajar di sebuah SMA tahun ajaran 2004/2005 sampai

dengan tahun 2012/2013.

G. Sifat Data Statistik

Data statisttik adalah data yang berwujud angka. Sebagai data angka,data statistik

memiliki beberapa sifat tertentu yaitu:

a) Data statistik memiliki nilai relatif atau nilai semu.

b) Data statistik memiliki nilai nyata atau nilai sebenarnya.

c) Data statistik memiliki batas bawah relatif, batas atas relatif batas bawah nyata dan

batas atas nyata.

d) Data statistik yang berbentuk data kelompokan memiliki nilai tengah atau titik tengah

(midpoint).

e) Data statistik sebagai data angka, dalam proses penghitungannya tidak menggunakan

sistem desimal (sistem perpuluhan)

f) Data statistik sebagai data angka dalam proses penghitungan menggunakan sistem

pembulatan angka tertentu

H. Teknik Pengumpulan Data

Teknik pengumpulan data merupakan teknik pengambilan sampel dari sebuah

populasi yang menjadi sebuah objek teliti.

1. Teknik pengambilan sampel

Teknik pengambilan sampel atau teknik sampling adalah suatu teknik atau cara

mengambil smpel yang reprsentetif dari populasi. Pengambilan sampel ini harus dilakukan

sedemikian rupa sehingga diperoleh sampel yang benar-benar berfungsi sebagai contoh atau

dapat menggambarkan keadaan opulasi yang sebenarnya.

Beberapa cara pengambilan sampel penelitian yang lazim dilakukan adalah berikut ini:

a) Sensus

Cara pengumpulan data, jika setiap anggota populasi diteliti satu persatu.Sensus adalah

pencatatan data secara menyeluruh (complete enumenation) terhadap elemen yang menjadi

objek penelitian, tanda perkecualian keuntungan menggunakan hasil yang diperoleh

11

merupakan nilai karateristik yang sebenarnya (true value) karena sasaran penelitian

mencakup keseluruhan objek yang berada dalam populasi.

Adapun kelemahannya ialah, sensus merupakan cara pengumpulan data yang memakan

waktu, tenaga, biaya dan peralatan.

Contoh :

Misalkan Kepala SMA “X” ingin mengetahui rata-rata tingi badan siswa-siswa di sekolahnya

yang berjumlah 600 orang. Apabila setiap siswa diukur tinggi badannya, kemudian dicatat,

maka cara pengumpulan data seperti ini dinamakan sensus.

b) Cara Random

Cara pengambilan sampel dengan teknik random disebut dengan random sampling, dan

sampel yang diperoleh disebut sampel random. Teknik random sampling memungkinkan

peneliti dapat mengambil sampel secara objektif karena setiap unit dalam yang menjadi

anggota populasi mempunyai kesempatan yang sama utnuk dipilih menjadi anggota sampel.

Random yang digunakan dalam teknik ini bisa dalam bentuk undian, ordinal, dan randomisasi

dari table bilangan random.

Cara undian dilakukan dengan memberikan nomor pada unit sampling dalam

populasi, kemudian dilakukan pengundian satu persatu sampai diperoleh jumlah yang sesuai

dengan ukuran sampel yang ditentukan.

Cara ordinal dilakukan dengan membuat daftar secara berurutan dari unit sampling

yang pertama sampai yang terakhir, kemudian diambik satu per satu dengan pola tetentu,

misalnya diambil yang bernomor genap atau yang bernomor ganjil atau mengguanakan

kelipatan lima, sepulauh, lima belas, dan sebagainya.

Cara ketiga yaitu dengan menggunakan table bilangan random. Pengguanaan tabel

bilangan random untuk mencari sampel dari polpulasi dapat dilakukan sebagai berikut: 

1. Berilah nomor pada semua unit yang menjadi anggota populasi. Misalnya untuk polpulasi

sebesar 500, diberi nomor dari 000 sampai 500. Sampel yang akan diambil misalnya 20.

2. Pilihlah secara  random baris dan kolom dari daftar bilangan random yang akan digunakan,

misalnya baris 2 kolom 10-14. Dari baris kedua pada kolom 10-14, pilih secara berurutan ke

bawah digit yang ketiga pertamanya sesuai dengan nomor populasi.

3.  Bilangan yang terambil dengan table random, adalah 414, 268, 164, 364, 243, 460, dan

seterusnya sampai diperoleh jumlah sampel yang diinginkan.

12

Sampling ialah cara pengumpulan data dengan jalan mencatat atau meneliti sebagian kecil

saja dari seluruh element yang menjadi objek penelitian. Dengan kata lain, sampling adalah

cara mengumpulkan data dengan mencatat atau meneliti sampelnya saja.

Kebaikan sampling ialah, pekerjaan dan pengumpulan data akan dapat dilaksanakan dengan

waktu, tenaga, biaya dan alat yang relatif lebih kecil jika dibandingkan dengan sensus.

Kelemahannya ialah jika sampel tersebut tidak bersifat representatif, maka kesimpulan yang

dikenakan terhadap populasi akan tidak sesuai dengan kenyataan yang terdapat pada

populasi.

Tidak semua anggota populasi yang diteliti, tetapi hanya sebagian anggota populasi saja yang

diteliti.Akan tetapi yang sebagian itu harus menggambarkan keadaan populasi yang

sebenarnya.Dengan demikian sebagian dari anggota populasi itu dikatakan bersifat

representatif.

Contoh:

Apabila jumlah siswa yang diukur tinggi badannya hanya 60 orang saja, dengan perincian:

Kelas I diambil 20 orang siswa,

Kelas II diambil 20 orang siswa,

Kelas III diambil 20 orang siswa,

Maka cara pengumpulan data seperti ini dinamakan sampling.

c) Cara strata

Penarikan secara strata ini terutama ditujukan untu yang berkelompok (memiliki stratum),

dengan tujuan agar anggota populasi terpilih secara acak dan setiap kelompok yang ada paada

populasi dapat tewakili. Pada sampling itu, banyaknya sampel pada setiap strata itu sama.

Misalnya kiat akan meneliti penugasan siswa terhadap matematika.  30.000 siswa disebuah

kabupaten, yang terdiri dari 15.000 siswa SD, 10.000 siswa SMP, dan siswa SMA, samp[el

yang dibuthkan misalnya 600 orang.

Perhitungan sampelnya dapat dilakukan sebagai berikut:

Anggota sampel sebanyak 600 siswa dari 30.000 siswa adalah 1/50. Maka untum siswa SD

diambil 1/50 x 15.000= 300 siswa, untuk siswa SMP diambil 1/50 x 10.000 = 200 siswa, dan

untuk siswa SMA diambi 1/50 x 5.000= 100 siswa.

d) Cara Quota

Pengambilan data dengan cara quota (quota sampling) didasari pada pertimbanagan-

pertimbangan tertentu dari peneliti. Jika peneliti mengambil sampel dari suatu penelitian

13

denga cara menentukan sejumlah anggota sampel secara quantum atau jatah, tekni sampling

semacam itu disebut dengan quota sampling.

Langkah-langkah pengambilan sampel adalah menetapkan besarnya jumlah sampel yang

diperlukan, kemudian menetapaka jumlah atau banyaknya jatah, maka jatah atau quantum

itulah yang dijadikan dasar untuk mengambil unit sampel yang diperlakan.

e) Cara sistematik

Cara sistematik hampir sama dengan cara random, anmaun dilakuakan secara sistematik,

yaitu mengikuti suatu pola tertentu dari momor anggota polpulasi yang dipilih secara random,

berdasarakan jumlah sampel yang sudah ditetapakan sbelumnya.

Misalkan kiat menghendaki sebuah sampel yang berukuran dari 60 ari sebuah populasi

yang berukuaran 600. Setelah setiap individu dari populasi diberi nomor urut 001 sampai

600, bagilah individu out menjadi 60 kelompok (subpopulasi), yang setaiap kelompoknya

trdiri dari 10 individu. Subpopulasi pertama beris individu bernomor 001 sampai dengan 010,

subpopulasi kedua berisi individu bernomor 011 sampai dengan 020, dan seterusnya sampai

subpopulasi yang ke-60 berisi individu yang bernomor 591 sampai dengan 600.

I. Prinsip Pengumpulan Data Statistik Kependidikan

Prinsip umum yang harus dipegang oleh siapa saja yang bermaksud menghimpun data

statistik  ialah dengan waktu, tenaga, biaya dan alat yang sehemat mungkin, dapat

menghimpun data yng lengkap, tepat dan dapat dipercaya.

a. Lengkap Datanya

“Lengkap” di sini mengandung pengertian bahwa volume data sebagaimana yang

direncanakan, dapat dicapai dengan sebaik-baiknya; tidak ada data tercecer atau terlupakan

untuk dihimpun sehingga mengakibatkan kesulitan dalam pnganalisisannya.

b. Tepatnya Data

Yakni tepat dalam hal :

1. Jenis atau macam datanya,pai dengan sebaik-baiknya, diperlukan adana perencanaan yang

tuntas.

2. Waktu pengumpulannya,

3. Kegunaan sesuai dengan tujuan pengumpulan data,

4.  Alat atau instrumen  untuk menghimpun data.

14

Kebenaran Data yang Dihimpun

Di samping data itu merupakan dat yang benar, juga merupakan data yang bersumber

dari pihak yang memeng berkompeten untuk dimintai datanya. Jika tidak, kesimpulan yang

akan ditarik dengan mendasarkan diri pada data tersebut, akan menjadi jauh menyimpang

dari keadaan yang sebenarnya atau kurang sesuai dengan kenyataan yang ada.

a. Ditilik dari segi bentuk pelaksanaan kegiatan pengumpulan datanya, pengumpulan

data statistik kependidikan dapat berbentuk:

Pengamatan mendalam, yaitu pengamatan terhadap objek yang akan dicatat

datanya dengan persiapan yang matang, dilengkapi dengan instrumen tertentu.

Wawancara mendalam, yaitu pengumpulan data berbentuk pengajuan pertanyaan

secara lisan.

Angket, yaitu cara pengumpulan data berbentuk pengajuan pertanyaan tertulis

melalui sebuah daftar pertanyaan yang sudah dipersiapkan sebelumnya.

Pemeriksaan dokumentasi yang ada dan mempunyai relevansi dengan tujuan

penelitian.

Tes, seperti: tes belajar, tes kepriabdian, tes kecerdasan, tes minat dan perhatian.

Alat Atau Instrumendata Statistik Pendidikan

Data yang dikumpulakan dalam penelitian digunakan untuk menguji hipotesis atau

menjawab pertanyaan-pertanyaan telah dirumuskan. Karena data yang diperoleh akan

dijadikan landasan dalam mengambil kesimpulan, data yang dikumpulkan haruslah data yang

benar.

Agar data yang dikumpulkan baik dan benar, instrument atau alat pengumpulannya

haruslah yang baik.

Ada beberapa instrument atau alat pengumpualan data yang akan dibahas berikut ini

sesuai dengan teknik pengumpulan data.

a. Tes

Tes sebagai alat pengumpul dta adlah serangkaian pertanyaan-pertnyaaan atau latihn yang

digunakan untuk mengukur keterampilanpengeytahuan, intelegensi, kemampuan atau

individu yang dimilki oleh individu atau kelompok.

Ada beberapa macam tes instrument pengumpul data, antara lain:

Tes kepribadian

Tes kepribadian adalah tes yang digunakan untuk mengungkapkan kepribaidan orang.

Tes bakat

15

Tes bakat atau talent adalah tes yang digunakan untuk mengukur atau untuk mengetahui

bakat seseorang.

Tes prestasi

Tes prestasi atau achievement test adalah tes yang digunakan untuk mengukur pencapaian

seseorang setelah mempelajari sesuatu

Tes intelegensi

Tes intelengensi adalah tes yang digunakan untuk membuat penaksiran atau perikiraan

terhadap tingkat intelektual seseorang denga cara memberikan tugas kepada orang yang

di ukur intelegensinya.

Tes sikap

Tes sikap atau attitude test adalah tes yang digunakan untuk mengadakan pengukuran

terhadap berbagai sikap seseorang.

b. Wawancara

Wawancara adalah instrument pengumpul data yang digunakan untuk memperoleh

informasi langsung dari sumbernya. Ada beberapa faktor yang akan mempengaruhi arus

informasi dalam wawancara, yaitu: pewawancara, responden, pedoman wawancara, dan

situasi wawancara.

Pewawancara adalah petugas pengumpul imformasi yang diharapan dapat

menyampaiakan pertanyaan dengan jelas dan merangsang responden untuk menjawab semua

pertanyaan dan mencatat semua informasi yang dibutuhkan dengan benar.

Responden adalah pemberi informasi yang diharapakan dapat menjawab pertanyaan

dengan jelas dan lengakap.Dalam pelaksanaaan wawancara, diperlukan kesediaan dari

responden dan pewawancara.

Situasi wawancara ini berhubungan dengan waktu dam tempat wawancara. Waktu dan

tempat wawanara yang tidak tepat dapat menjadikan pewawancara akan merasa canggung

dan responden pun merasa enggan untuk menjawab pertanyaan.

Berdasarkan sifat pertanyaan, wawancara dapat dibedakan menjad:

1. Wawancara terpimpin

Dalam wawancara ini, pertanyaan diajukan menurut daftar pertanyaan yang telah disusun.

2. Wawancara bebas

Pada wawancara ini terjadi tanya-jawab bebas antara pewawancara dan responden, teatapi

pewawancara mnggunakan tuhiuan penelitian sebagai pedoman. Kebalikan wawancara ini

adalah respomden  tidak menyadari sepenuhnya bahwa ia sedang diwawancarai.

16

3. Wawancara bebas terpimpin

Wawancara ini merupakan gabungan dari wawancara bebas dan wawancara terpimpin.

Dalam pelaksanaanya, pewawancara membawa pedoman yang hanya merupakan garis besar

tentang hal-hal yang akan ditanyakan.

c. Angket

Angket atau kuisioner adalah instrument pengumpul data yang digunakan dalam teknik

komunikasi tak langsung, artinya responden secara tidak langsung menjwab daftar

pertanyaan tertulis yang dikirim melalui media tertentu.

Tujuan penyebaran angket adalah mencari informasi yang lengkap mengenai suatu

masalah adri esponden tanpa merasa khwatir bila responden memberikan jawaban yang tidak

sesuai dengan kenyataan dalam pengisian daftar pertanyaan.

Ada beberapa angket yang sering digunakan:

1. Angket berstruktur

Dalam angket berstruktur jawaban yang diajaukan sudah di sediakan. Responden diminta

untuk memilih satu jawaban yang sesuai dengan dirinya (pertanyaan bersifat tertutup)

2. Angket tak berstruktur

Pada angket ini, pertanyaan yang diajukan dalam bentuk pertanyaan terbuka.Jadi,

responden diberikan kebebasan untuk menjwab pertanyaan sesuai pendapatnya sendiri.

J. Beberapa Macam Contoh Data Statistik Dalam Dunia Pendidikan

Dalam dunia pendidikan dapat dijumpai bermacam-macam dasar statistik yang dapat

dianalisis dengan tekhnik statistik. Diantaranya dapat dikemukakan sebagai contoh disini

misalnya:

a. Data statistik yang berkaitan dengan prestasi belajar anak didik,

Nilai hasil ulangan harian ( nilai hasil tes formatif )

Nilai hasil ulangan umum ( nilai hasil tes sumatif ).

Nilai hasil ujian semester dan mid semester

b. Data statistik yang berkaitan dengan keadaan anak didik,

Jumlah anak didik secara keseluruhan dari tahun ke tahun.

Jumlah luusan / abiturient / alumnus

c. Data statistik yang berkaitan dengan staf pengajar

d. Data statistik yang berkaitan dengan staf administrasi

e. Data statistik yang berkaitan dengan anggaran pendapatan dan belanja

17

f. Data statistik yang berkaitan dengan bidang perlengkapan

g. Data statistik yang berkaitan dengan bidang perpustakaan

Data statistik tentang angka prestasi anak didik, staf pengajar dan staf administrasi

18

KESIMPULAN

Data adalah bentuk jamak dari datum. Data merupakan keterangan-keterangan tentang

suatu hal, dapat berupa suatu yang diketahui atau yang dianggap atau anggapan. Atau suatu

fakta yang digambarkan lewat angka, simbol, dan lain-lain. Data juga terdiri atas berbagai

jenis. Jenis data secara garis besarnya dapat dibagi atas dua macam, yaitu data dikotomi/

diskrit dan data kontinum.

  Tingkatan data jika diurutkan dari yang terendah ke yang tertinggi, yaitu: 1)data

nominal, 2) data ordinal, 3) data interval, dan 4)data rasio.

Berdasarkan sumber pengambilannya, data dibedakan atas dua, yaitu data primer dan data

sekunder. Data Primer merupakan data yang diperoleh atau di kumpulkan langsung di

lapangan oleh orang-orang yang melakukan penelitian atau yang bersangkutan yang

memerlukannya. Sedangkan data sekunder merupakan data yang diperoleh atau di

kumpulkan oleh orang yang melakukan penelitian dari sumber-sumber yang telah ada.

Berdasarkan waktu pengumpulannya, data dibedakan atas dua, yaitu data berkala dan

data seketika. Data Berkala (time series data) adalah data yang terkumpul dari waktu ke

waktu untuk memberikan gambaran perkembangan suatu kegiatan atau keadaan. Sedangkan

data seketika (cross section data) merupakan data yang terkumpul pada suatu waktu tertentu

untuk memberikan gambaran perkembangan suatu kegiatan atau keadaan pada waktu itu.

19

BAB II

PENYAJIAN DATA DAN APLIKASI DALAM PADA

PENELITIAN

A. Penyajian Data

Data adalah sejumlah informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu

keadaan atau masalah baik berupa angka maupun dalam bentuk kata.

Data yang diperoleh secara langsung dari hasil penelitian atau sumber-sumber lain

(data sekunder) biasanya masih dalam bentuk kasar atau mentah (raw data) dan tidak

tersusun secara sistematis. Agar dapat dibaca dan dipahami dengan mudah, suatu data dapat

disajikan dalam bentuk tabel, grafik atau diagram. Penyajian data bertujuan untuk

memudahkan pengolahan data dan memahami data yang diperlukan oleh pembaca.

Data yang baik itu harus memenuhi beberapa syarat, yaitu :

1. Objektif

Data yang diperoleh dari hasil penelitian harus menggambarkan keadaan yang

sebenarnya.

2. Relevan

Data yang diperoleh harus ada kaitannya dengan permasalahan yang akan diteliti.

3. Sesuai Zaman

Data tidak boleh tertinggal zaman atau usang sebab adanya perkembangan waktu

dan teknologi menyebabkan suatu kejadian mengalami perubahan dengan cepat.

4. Representatif

Data yang digunakan harus menggambrkan keadaan suatu populasi.

5. Dapat Dipercaya

Sumber data (narasumber) harus diperoleh dari sumber yang tepat.

B. Macam – macam Data

Data dapat digolongkan menjadi beberapa cara yaitu :

1. Menurut Sifatnya

a. Data Kuantitatif

Adalah data yang berbentuk bilangan (angka). Misalnya nilai rata-rata nilai UH

2 Matematika SMP N 1 Indralaya meningkat 25% dari rata-rata nilai UH 1.

20

b. Data Kualitatif

Adalah data yang tidak berbentuk angka atau dalam bentuk kalimat. Misalnya

rata-rata nilai ulangan ke-2 siswa SMP N 1 Indralaya meningkat dari rata-rata nilai

pada ulang pertama.

2. Menurut Cara Memperoleh

a. Data Primer

Adalah data yang dikumpulkan atau diolah sendiri oleh suatu pihak yang

membutuhkan data tersebut.

b. Data Sekunder

Adalah data yang diperoleh dari pihak lain.

3. Menurut Sumbernya

a. Data Internal

Adalah data yang menggambarkan keadaan dalam suatu organisasi.

b. Data Eksternal

Adalah data yang menggambarkan keadaan luar suatu organisasi

4. Menurut Cara Penyusunannya

a. Data Nominal

Adalah data statistik yang memuat angka yang tidak mengandung arti apa-apa.

Angka yang terdapat pada data ini hanya sebagai simbol dari objek yang akan

dianalisis. Misalnya simbol 1 untuk laki-laki dan simbol 2 untuk perempuan.

Dalam hal ini angka satu dan dua bukanlah suatu perbandingan nilai, tapi hanya

sebagai simbol saja.

b. Data Ordinal

Adalah data statistik yang mempunyai daya berjenjang, tapi perbedaan antara

angka yang satu dengan yang lainnya tidak konstan atau tidak mempunyai interval

yang tetap. Misalnya juara kelas pada semester ini adalah sebagai berikut

Nina rangking ke-1

Mery rangking ke-2

Rifa rangking ke-3

Dari data diatas perbedaan kemampuan antara rangking 1 dan 2 serta rangking 2

dan 3 mungkin saja tidak sama. Jadi terdapat interval yang berbeda pada setiap data.

21

c. Data Interval

Adalah data yang jarak antara data yang satu dengan yang lainnya sama dan

telah ditetapkan. Misalnya suhu m

d. Data Ratio

Adalah jenis data yang memiliki tingkatan tertinggi. Data ini selain mempunyai

interval yang sama, juga mempunyai nilai nol (0) mutlak. Jadi dalam data ini, nilai 0

benar-benar tidak mempunyai nilai. Misalnya nol km tidak mempunyai panjang

C. Bentuk Penyajian Data

Secara garis besar ada 2 cara penyajian data yaitu dengan menggunakan daftar atau

tabel dan grafik atau diagram. Kedua cara penyajian data tersebut saling berkaitan karna pada

dasarnya sebelum pembuatan diagram diperlukan tabel.

1. Tabel

Adalah kumpulan angka yang disusun menurut kategori atau karakteristik data

sehingga memudahkan untuk analisis data. Macam-macam penyajian data dalam bentuk tabel

yaitu :

a. Tabel satu arah

Tabel satu arah adalah tabel yang memuat keterangan mengenai satu hal atau satu

karakteritik saja. Karakteristik yang ditunjukkan bisa berupa jumlah, ukuran,

kadar/persentasi, dan lain-lain.

b. Tabel 2 arah 

Tabel dua arah adalah tabel  yang menunjukkan hubungan antara dua hal atau

karakteristik. Misalnya data mahasiswa menurut kelompok usia dan jenis kelamin, asal

daerah dan agama, jurusan dan jenis kelamin, dan lain-lain.

c. Tabel 3 arah

Tabel tiga arah adalah tabel yang menunjukkan hubungan antara tig hal atau tiga

karakteristik. Misalnya data mahasiswa menurut jenis kelamin, asal daerah, dan jurusan, dan

data petani menurut luas lahan, usia, dan jenis kelamin.

2. Grafik atau diagram

Penyajian data dengan grafik dianggap lebih komunikatif karena dalam waktu singkat

dapat diketahui karakteristik dari data yang disajikan. Terdapat beberapa jenis grafik yaitu :

22

a. Grafik garis (line chart)

Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik

garis dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda. Line chart (diagram

garis) merupakan diagram yang digunakan untuk menggambarkan keadaan yang serba terus

atau berkesinambungan.

Jenis-jenis diagram grafik garis (line chart) antara lain sebagai berikut :

a) single line chart (grafik garis tunggal)

b) multiple line chart (grafik garis berganda)

c) multiplecompanent line chart (grafik garis komponen berganda)

d) multipleprecentage component line chart (grafik garis presentase komponen

berganda)

Kelebihan Penguunaan Line Chart adalah sebagai berikut :

Diagram garis digunakan untuk menaksir atau memperkirakan data berdasarkan

pola-pola yang telah diperoleh.

Diagram garis ada yang tunggal dan majemuk, diagram garis majemuk yaitu

dalam satu gambar terdapat lebih dari satu garis. Diagram garis majemuk biasanya

digunakan untuk membandingkan dua keadaan atau lebih yang mempunyai

hubungan.

Kekurangan Pengunaan Line Chart adalah sebagai berikut :

Hanya digunakan untuk data yang berkala, tidak bisa data yang lainnya.

Harus sangat teliti dalam membaca diagram ini.

35-44 45-54 55-64 65-74 75-84 85-9405

101520

Diagram Garis

Data Nilai

Frek

uens

i

23

b. Grafik batang

Grafik batang pada dasarnya sama fugsinya dengan grafik garis yaitu untuk

menggambarkan data berkala. Grafik batang juga terdiri dari grafik batang tunggal dan grafik

batang ganda. Bar chart (grafik batang) umumnya digunakan untuk menggambarkan

perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu.

Contoh :

35-45

45-55

55-65

65-75

75-85

85-95

05

101520

Diagram Batang

Frekuensi

c. Grafik Lingkaran

Adalah grafik yang menggambarkan perbandingan nilai-nilai dari suatu karakteristik.

Adapun kelebihan penggunaan pie chart adalah:

Tempat untuk membuat diagram lingkaran tidak terlalu besar.

Diagram lingkaran sangat berguna untuk menunjukkan dan membandingkan

proporsi dari data.

Sedangkan kekurangan dari penggunaannya adalah karena diagram lingkaran tersebut

tidak dapat menunjukkan frekuensinya.

7%11%16%

22%33%

11%

Diagram Lingkaran

35-4445-5455-64

d. Grafik Histogram dan poligon

24

Histogram merupakan grafik dari distribusi frekuensi suatu variable. Tampilan

histogram berupa petak-petak empat persegi panjang. Sebagai sumbu horizontal boleh

memakai tepi-tepi kelas, batas-batas kelas atau nilai variabel yang diobservasi, sedang sumbu

vertical menunjukkan frekuensi. Sedangkan poligon berupa garis yang ditarik pada titik

tengah dari suatu data kelompok.

35-44 45-54 55-64 65-74 75-84 85-9402468

10121416

Histogram dan Poligon Frekuensi

Nilai Data

Frek

uens

i

e. Grafik Lambang (pictogram)

Grafik ini berupa gambar atau lambang untuk menunjukkan jumlah benda yang

dilambangkan.

Nilai Data Frekuensi

35-44

45-54

55-64

65-74

75-84

85-95

Catatan : = 1

KESIMPULAN

25

Dalam pembuatan laporan suatu penelitian, data sangat diperlukan. Agar dapat

memberikan hasil yang bermakna, suatu data harus disajikan dengan sistematis. Secara garis

besar terdapat 2 cara penyajian data yaitu dengan tabel atau daftar dan grafik atau diagram.

Penyajian data ini bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-

peristiwa yang merupakan hasil penilitian/observasi, data lebih cepat ditangkap dan

dimengerti, memudahkan dalam analisis data, membuat proses pengambilan keputusan

kesimpulan lebih tepat, cepat dan akurat.

26

BAB III

DISTRIBUSI FREKUENSI DAN APLIKASI PADA

PENELITIAN

A. Pengertian Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi adalah suatu susunan data mulai dari data terkecil sampai data

terbesar yang membagi banyaknya data kedalam beberapa kelas.

Fungsinya untuk membuat data menjadi lebih sederhana dan mudah dibaca sebagai

bahan informasi bagi yang memerlukan.

Hal-hal yang harus diperhatikan dalam pembuatan table frekuensi adalah :

1. Range atau Jangkauan

Daerah jangkauan atau range adalah selisih dari data terbesar (maksimum) dengan

data terkecil (minimum).

2. Banyak Kelas

Banyaknya kelass harus ditentukan dengan baik agar semua data terpenuhi. Jika

jumlah kelas terlalu sedikit, informasi-informasi yang ada tidaklah lengkap. Sebaliknya

jika terlalu banyak, perhitungan tidak pratis.

Dalam menetapkan banyak kelas digunakan aturan Struges yang diciptakan oleh H.

A STRUGES yaitu :

Keterangan :

K = banyaknya kelas

n = bnyaknya data (frekuensi)

3,3 = bilangan konstan

3. Kelas Interval

Interval kelas adalah selisih data terbesar dengan data terkecil dibagi dengan

banyaknya kelas. Interval kelas ditentukan dengan rumus :

27

R= Xmaks - Xmin

K = 1 + 3,3 log n

Keterangan :

P = panjang kelas

R = jangkauan

K = banyaknya kelas

4. Batas Kelas

Batas kelas suatu interval adalah nilai-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas.

Nilai ujung bawah pada suatu kelas interval disebut batas bawah kelas, sedangkan nilai

ujung atas pada suatu interval disebut batas atas kelas.

5. Titik Tengah Kelas

Titik tengah atau nilai tengah kelas adalah nilai yang terletak ditengah-tengah suatu

kelas yang dianggap mewakili suatu interval tertentu.

B. Tabel Distribusi Frekuensi

1. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi

Table distribusi frekuensi adalah alat penyajian data statistic yang terdiri dari baris

dan kolom yang memuat angka-angka untuk menggarkan distribusi atau pembagian

frekuensi dari variable yang sedang menjadi objek penelitian.

2. Jenis Tabel Distribusi Frekuensi

Ada beberapa jenis table distribusi frekuensi yang sering digunakan dalam statistic

yaitu :

Table Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Table Distribusi Frekuensi Data Kelompok

Table Distribusi Frekuensi Kumulatif

Table Distribusi Frekuensi Relative

Table Distribusi Frekuensi Kumulatif Relative

28

P = RK

Titik Tengah = batasbawah kelas+batas atas kelas

2

a. Table Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Contoh :

Berikut ini adalah data nomor sepatu mahasiswa pendidikan matematika angkatan

2014

36, 37, 40, 38, 39, 36, 36, 40, 39, 38

38, 38, 39, 39, 40, 37, 37, 37, 38, 38,

39, 38, 39, 39, 39, 40, 39, 39, 39, 39,

37, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 39, 39, 39

b. Table Distribusi Frekuensi Data Kelompok

Contoh :

1. Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa

berikut ini.

66 75 74 72 79 78 75 75 79 71

75 76 74 73 71 72 74 74 71 70

74 77 73 73 70 74 72 72 80 70

73 67 72 72 75 74 74 68 69 80

dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi sbb:

c. Table Distribusi Frekuensi Kumulatif

Contoh :

Data nilai matematika siswa kelas VIII SMA N Cendikia

Frekuensi kumulatif “kurang dari”

29

Nomor Frekuensi

36

37

38

39

40

3

5

8

18

6

Jumlah 40

Kelas Frekuensi

< 52

< 59

< 66

< 73

< 80

< 87

< 94

< 101

0

2

17

29

57

68

75

80

> 52 > 59 > 66 >73 > 80 > 87 > 94 > 1010

102030405060708090

Frekuensi kurang dari

Frekuensi

Frekuensi kumulatif “lebih dari”

Kelas Frekuensi

> 52

> 59

> 66

>73

> 80

> 87

> 94

> 101

80

78

63

51

23

13

5

0

30

> 52 > 59 > 66 >73 > 80 > 87 > 94 > 1010

102030405060708090

Frekuensi lebih dari

Frekuensi

d. Table Distribusi Frekuensi Relative

Adalah table yang menyajikan perbandingan antar frekuensi masing-masing kelas

dengan jumlah frekuensi seluruhnya yang dinyatakan dalam bentuk persentase.

Contoh : data nilai Bahasa Inggris siswa kelas X SMA Nusantara

Kelas Frekuensi Frekuensi Relatif (%)

52-58

59-65

66-72

73-79

80-86

87-93

94-100

2

15

12

28

10

8

5

2,50

18,75

15,00

35,00

12,50

10,00

6,25

Jumlah 80 100

e. Table Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif

Adalah table yang menyajikan jumlah frekuensi total kumulatif dibagi frekuensi

total dikalikan seratus persen. Dinyatakan dalam bentuk rumus :

Keterangan :

fkrel = frekuensi kumulatif relatif

fk = frekuensi kumulatif

Σf = frekuensi total

31

fkrel = fkΣf

× 100 %

Contoh :

Data nilai matematika siswa kelas VIII SMA N Cendikia

Frekuensi kumulatif “kurang dari”

Kelas Frekuensikum Frekuensirel

< 52

< 59

< 66

< 73

< 80

< 87

< 94

< 101

0

2

17

29

57

68

75

80

0

2,50

21,25

36,25

71,25

85,00

93,75

100,00

Frekuensi kumulatif “lebih dari”

Kelas Frekuensikum Frekuensirel

> 52

> 59

> 66

>73

> 80

> 87

> 94

> 101

80

78

63

51

23

13

5

0

100

97,50

78,75

63,75

28,75

16,25

6,25

0

32

KESIMPULAN

Distribusi frekuensi adalah suatu susunan data mulai dari data terkecil sampai data

terbesar yang membagi banyaknya data kedalam beberapa kelas. Fungsinya untuk membuat

data menjadi lebih sederhana dan mudah dibaca sebagai bahan informasi bagi yang

memerlukan. Terdapat beberapa hal yang harus diperhatikan dalam pembuatan tabel

distribusi frekuensi yaitu range, banyak kelas, kelas interval, batas kelas, titik tengah.

Tabel distribusi frekuensi relatif adalah sebuah tabel yang berisi nilai-nilai data

dengan nilai-nilai tersebut dikelompokkan ke dalam interval-interval dan setiap interval nilai

masing-masing mempunyai frekuensinya dalam bentuk persentase.

Tabel distribusi frekuensi kumulatif adalah sebuah tabel yang diperoleh dari tabel

distribusi frekuensi, dengan frekuensinya dijumlahkan selangkah demi selangkah. Tabel

distribusi frekuensi kumulatif terdiri atas 2 macam yaitu tabel distribusi frekuensi kumulatif

“lebih dari” dan distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari”.

33

BAB IV

UKURAN PEMUSATAN DATA DAN UKURAN

PENYEBARAN DATA

A. Ukuran Pemusatan Data1. Pengertian Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan

gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data.

Salah satu kegunaan dari pemusatan data adalah untuk membandingkan dua

populasi atau contoh, karna sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari

masing-masing populasi.

2. Macam-Macam Ukuran Pemusatan

A. Rata-rata (mean)

Adalah salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan

singkat tentang sekumpulan data yang nilainya paling dekat dengan hasil ukuran yang

sebenarnya. Mean dibedakan menjadi 3 macam yaitu :

a. Rata-rata hitung

Rata-rata hitung terbagi pula menjadi 2 bagian yaitu

Rata-rata hitung tunggal

Rata-rata hitung tunggal dapat dirumuskan :

Atau

X=∑i=1

n

X i

n

Keterangan :

X ¿ rata-rata

34

X=X1+ X2+X3+…+ Xn

n

∑i=1

n

X i ¿ jumlah seluruh data

N ¿ banyaknya data

Rata-rata hitung kelompok

Rata-rata hitung data yang dikelompokkan dapat dirumuskan :

Keterangan :

X = rata-rata hitung

fi = frekuensi data

xi = nilai tengah

Atau

Keterangan :

Xo = rata-rata sementara

P = panjang kelas

n = banyaknya kelas

b. Rata-rata Geometris

Rata-rata geometris dibagi pula menjadi dua bagian yaitu :

Rata-rata geometris data tunggal

Rata-rata geometris data tunggal dapat dirumuskan

Keterangan :

G = Rata-rata geometris

n = banyaknya data

Rata-rata geometris data kelompok

Rata-rata geometris kelompok dapat dirumuskan

35

X=∑ f i X i

f i

X=XO+ Pn ∑ f i ci

G= n√X 1 X2 X3 Xn

log G=∑ f i log x i

f i

Keterangan:

xi = nilai tengah data

fi = frekuensi data yg sesuai dengan xi

c. Rata-rata harmonis

Rata-rata harmonis juga dagi menjadi 2 yaitu :

Rata-rata harmonis data tunggal

Atau

Keterangan :

H = rata-rata harmonis

n = banyaknya data

Rata-rata harmonis data kelompok

Keterangan :

H = rata-rata harmonis

n = banyaknya data

fi = frekuensi data pada xi

xi = nilai tengah dari suatu interval kelas

B. Median

Adalah nilai tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan (disusun) dari data

terkecil sampai data terbesar. Secara matematis median dilambangkan dengan Me yang dapat

dicari dengan cara sebagai berikut.

a. Median untuk jumlah data (n) ganjil

36

H= n1x1

+ 1x2

+ 1x3

+…+ 1xn

H= n

∑i=1

n 1x1

H= n

∑ f i

x i

b. Median untuk jumlah data (n) genap

Keterangan:

Me = Median

n = jumlah data

x = nilai data

c. Rumus Median Data Kelompok

Keterangan:

Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median.

Me = nilai median.

n = banyaknya data.

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median.

f0 = frekuensi kelas yang memuat median.

c = panjang intreval kelas.

C. Modus

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya

paling besar.

a. Rumus Modus Untuk Data Tunggal.

Keterangan:

Mo = modus

b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang kelas interval

b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

37

b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

 

3. Hubungan Rata-Rata, Median Dan Modus

Pada suatu distribusi frekuensi, hubungan antara rata-rata, median dan modus adalah

sebagai berikut.

1. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata,

median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi.

Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk simetris.

2. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka

pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan,

sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva

distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kiri.

3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka

pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri,

sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva

distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kanan.

4. Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke kanan),

maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan modus

sebagai berikut.Rata-rata – Modus = 3 (Rata-rata – Median)

4. Contoh Soal Ukuran Pemusatan

1. Diketahui data sebagai berikut :

Tentukan median, mean dan modus dari data tersebut

Jawab :

38

39

B. Ukuran Penyebaran Data1. Pengertian ukuran penyebaran data

Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistik yang dapat

digunakan untuk mengetahui luas penyebaran data, atau variasi data, atau bomogenitas data,

atau stabilitas data.

2. Macam-macam ukuran penyebaran data

A. Kuartil

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat

bagian yang sama besar.

a. Cara menghitung kuartil untuk data yang tidak berkelompok

Nilai kuartil dari sebuah data dapat ditentukan jika data tersebut sudah diurutkan dari

nilai Nil

Jika nomor urutan tersebut bukan bilangan cacah maka harus digunakan interpolasi.

b. Kuartil untuk data berkelompok

Untuk mencari nilai kuartil data berkelompok dengan menggunakan rumus :

Keterangan :

b= tepi bawah kelas Q

P = panjang kelas

F= jumlah frekuensi sebelum kelas Q

f= frekuensi kelas Q

n= jumlah data

40

Letak Q1: n+1

4

Letak Q2 : 2(n+1)

4

Letak Q3 : 3(n+1)

4

Q1 = b + P 14

n−F

f

Q2 = b + P 12

n−F

f

Q3 = b + P 34

n−F

f

B. Persentil

Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama setelah

data disusun dari yang terkecil sampai ke terbesar.

a. Persentil data yang tidak berkelompok

Untuk mencari nilai persentil data yang tidak berkelompok dengan menggunakan

rumus :

b. Persentil data yang berkelompok

Untuk mencari nilai persentil data yang berkelompok yaitu dengan menggunakan

rumus :

c. Desil

Desil adalah ukuran letak yang membagi sekumupulan data yang sudah diurutkan dari

data terkecil ke data terbesar dapat dibagi menjadi sepuluh bagian. Masing-masing bagian

mengandung 10% data. Dengan demikian suatu sekumpulan data mempunyai 9 buah desil,

yaitu D1, D2, D3,..., D9.

1. Desil data yang tidak berkelompok

D1 letaknya pada data urutan ke 1

10(n + 1)

D2 letaknya pada data urutan ke 2

10(n + 1)

D3 letaknya pada data urutan ke 3

10(n + 1)

. .

. .

D9 letaknya pada data urutan ke 9

10(n + 1)

2. Desil data yang berkelompok

41

P1=i

100 (n+1)

Pi= b + Pri−F

f

Di= b + P i10

n−F

f

SR=∑i=1

n

|xI−X|n

d. Range/ jangkauan

Range/ Jangkauan adalah perbedaan antara nilai terkecil pada sekelompok data.

Sifat-sifat

Hanya dua nilai yang digunakan

Dipengaruhi oleh nilai yang ekstrem

Mudah dihitung dan dipahami

e. Simpangan Rata-Rata

Ukuran penyebaran yang hanya didasarkan pada nilai maksimum dan minimum saja

tidak memberikan gambaran yang baik untuk melhat penyebaran data. Untuk itu, dicari

ukuran penyebaran lainnya yang didasarkan pada seluruh nilai data dan dihitung terhadap

nilai-nilai rata-ratanya.

Jika nilai deviasi rata-rata kecil, nilai dta terkonsentrasi disekitar nilai pusat. Jika nilai

deviasi rata-rata besar, nilai data tersebar jauh dari nilai rata-ratanya. Jadi deviasi rata-rata

adalah suatu simpangan nilai unit observasi terhadap rata-rata.

Sifat-sifat

Tidak terlalu dipengaruhi oleh nilai besar atau kecil.

Seluruh pengamatan dilakukan dalam perhitungan.

Nilai absolute agak sulit digunakan.

3. Simpangan Rata-rata Data Tunggal

Rumus:

Keterangan:

SR= simpangan rata-rata

x = nilai rata-rata

Xi =data ke-i

n =banyak data

42

Range=xmax−xmin

4. Simpangan Rata-rata dari Data yang dikelompokan

Rumus:

f. Simpangan Standar (Standar Deviasi)

Simpangan Standar sebaga salah satu ukuran penyebaran absolute (mutlak) dapat

digunakan untuk membandingkan suatu rangkaian data dengan rangkaian data lainnya.

1. Simpangan Standar Data yang Belum Dikelompokkan

Jika x1, x2, x3,.....xn adalah nilai data x, dan x adalah rata-ratanya, maka:

atau

Keterangan :

S2 =Variasi

S = Simpangan Standar

X1 = Nilai ke –i

x =nilai rata-rata

n = banyak data

Cara lain untuk mencari simpangan standar adalah dengan menggunakan rumus :

atau

43

SR=∑ F i|x i−x|

∑ F I

s2=¿¿

s2=∑i =1

n

¿¿¿

s=√∑i=1

n

¿¿¿¿

s2=∑ ¿¿¿

S=√∑ ¿¿¿¿

Keterangan:

S2 =Variasi

Xi= nilai data

n = banyak data

S= Simpangan standar

X0 = nilai rata-rata dugaan

2. Simpangan Standar dari Data Berkelompok

Pada data yang telah dikelompokan, nilai datanya dianggap tersebar secara merata

sehingga nilai tengahnya dianggap nilai yang mewakili seluruh data pada masing-

masing kelasnya.

g. Koefisien Variasi

Koefisien variasi (KV) alah perbandingan anatara simpangan standar dan harga atau

nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase. Koefisien varians berguna untuk

mengamati variasi data atau sebaran data dari rata-rata hitungnya , jika koefisien semakin

kecil, datanya semakin seragam (homogen). Sebaliknya jka koefisien variasinya semakn

besar, datanya semakin heterogen.

Keterangan:

KV= Koefisien variasi

S =simpanagan standar

X =rata-rata

44

s=√∑ f i xi2−¿¿¿¿

KV = SX

× 100 %

3. Cara Menghitung Simpangan Standar dengan Kalkulator

Jumlah siswa yang masuk ke perpustakaan selama 10 hari berturut-turut sebagai

berikut :

1. Tekan SHIF AC ;menghapus semua data yang ada di kalkulator

2. Tekan MODE 3 ; Kalkulator diprogram menggunakan standar deviasi SD

3. Tekan

70 RUN

75 RUN

85 RUN

80 RUN

40 RUN

50 RUN

45 RUN

60 RUN

65 RUN

55 RUN

4. Tekan kout 3: mengecek bahwa data yang dimasukkan n=10

5. Tekan kout 2:∑ x=625

6. Tekan kout 1 :∑ x2=41.125

7. Tekan SHIFT 1: X=62,5

8. Tekan SHFT 3: S=15,14

4. Contoh Soal Penyebaran Data

45

46

47

KESIMPULAN

Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan

gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data.

Salah satu kegunaan dari pemusatan data adalah untuk membandingkan dua populasi atau

contoh, karna sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing

populasi.

Macam-macam ukuran data pemusatan yaitu rata-rata (mean), nilai tengah (median),

dan modus.

Sedangkan Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistik yang

dapat digunakan untuk mengetahui luas penyebaran data, atau variasi data, atau bomogenitas

data, atau stabilitas data.

Macam-macam ukuran data penyebaran yaitu kuartil, persentil, desil, range,

simpangan rata-rata, standar deviasi dan varians.

48

BAB VMomen, Kemiringan, & Kurtosis

1. MOMENMisalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika A =sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A, disingkatmr, didefinisikan oleh hubungan:

Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:

Dari rumus (2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata . Jika A = kita perolehmomen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr. Jadi didapat:

…...........................(3)Untuk r = 2, rumus (3) memberikan varians s2Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka dipakai simbul:mr dan mr’untuk momen sampel dan µr dan µr’untuk momen populasi.Jadi, mr dan mr’adalah statistik sedangkan µr dan µr’ merupakan parameter.Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus-rumus diatas berturut-turut berbentuk:

.................... (4)

..................(5)

............................(6)dengan n = ∑fi, xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan xi.Dengan menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:

Dengan, p = panjang kelas interval, ci  = variabel sandiDari mr’, harga-harga mr untuk beberapa harga r, dapat ditentukan berdasarkan hubungan:m2 = m2’ – (m1’)2

m3= m3’ – 3m1’m2’ + 2(m1’)3

m4= m4’ - 4 m1’m3’ + 6(m1’)2 m2’ - 3(m1’)4

49

contoh untung menghitung 4 buah momen sekitar rata-rata untk data dalam daftar distribusi frekuensi sbb:

2. Kemiringan (skewness)

Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi condong ke kanan atau condong ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :

50

1. Koefisien Kemencengan PearsonKoefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modusdibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :Sk = koefisien kemencengan pearson

Apabila secara empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:

Maka rumus kemenccengan diatas dapat dirubah menjadi:

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:1) Sk =0 kurva memiliki bentuk simetris2) Sk>0 Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah

kananMo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;

3) Sk<0 Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.

Contoh soal :1. Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah Universitas P.

Nilai Ujian Statistika pada Semester 1, 20152.

51

a) Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !b) Gambarlah kurvanya !

Penyelesaian:

Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri ataumenceng negatif.

a) Gambar kurvanya :   

52

3. Koefisien Kemencengan BowleyKoefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1,Q2 dan

Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secarapositif.

2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secaranegatif.

3) skB positif, berarti distribusi condong ke kanan.4) skB negatif, nerarti distribusi condong ke kiri.5) skB = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB> 0,30

menggambarkan kurva yang menceng berarti.

Contoh soal :1. Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi dari Nilai Ujian Matematika

Dasar I dari 111 mahasiswa, 2014

53

Penyelesaian :Kelas Q1 = kelas ke -3

Karena skB negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti.

4. Koefisien Kemencengan PersentilKoefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,P50 dan

P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :

Keterangan :skP= koefisien kemecengan persentil , P = persentil

5. Keofisien Kemencengan MomenKoefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan

pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.

Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3> ±0,50 adalah distribusi

yang sangat menceng5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi

yangmenceng.

54

Untuk mencari nilaiα3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.a. Untuk data tunggalKoefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :

Keterangana3 = koefisien kemencengan momen

b. Untuk data berkelompokKoefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :

3. Keruncingan (Kurtosis)Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang

biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut :

1) LeptokurtikMerupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.2) PlatikurtikMerupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar3) MesokurtikMerupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar

Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik ianggap sebagai distribusi normal.

55

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien kurtosis persentil.

1. Koefisien keruncinganKoefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan a4 (alpha 4). Jika

hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik

Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data kelompok.

a. Untuk data tunggal

1. Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !Penyelesaian :

Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.

b. Untuk data kelompok

2. Koefisien Kurtosis Persentil

Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusinormal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :

56

Contoh soal :1. Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa Universitas

Nusantara a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) !b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal !

Tinggi Mahasiswa Universitas Nusantara

57

KESIMPULANKemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau

kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki

rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan

terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor

yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan

atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih

panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau

memiliki kemencengan negatif.

Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang

biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan

keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu Leptokurtik,

merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi. Platikurtik, merupakan distribusi

yang memiliki puncak hampir mendatar. Mesokurtik, merupakan distribusi yang memiliki

puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.

58

BAB VI

DISTRIBUSI BINOMIAL DAN POISON

1. Distribusi Binomial

A. Definisi Bistribusi Binomial

Distribusi Binomial sering juga disebut Distribusi Bernoulli. Distribusi Binomial

adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling

dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping

uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi

angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila

kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam.

Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap

sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole).

B. Syarat Distribusi Binomial

1.      Jumlah trial merupakan bilangan bulat .

Contoh: melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali.

2.      Setiap eksperiman mempunya idua outcome (hasil).

Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan,

sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.                                                                 

3.      Peluang sukses sama setiap eksperimen.

Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada

lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima,

maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu

peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga

dilambangkan q, di mana q = 1-p.

C. Ciri-ciri Distribusi Binomial.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan

Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1.      Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang

dikehendakai, dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki)

59

2.      Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.

3.      Probabilitas sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p.

Sedangkan probabilitas gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama

dengan satu.

4.      Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

D. Penerapan  Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:

1.      Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar  dalam

ujian pilihan ganda.

2.      Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.

3.      Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Rumus Distribusi Binomial

a) Rumus binomial suatu peristiwa :

( x )=P ( X=x )=(C nx) px (q)n− x

dimana x = 0,1,2,3,…,n

n : banyaknya ulangan

x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p : peluang berhasil dalam setiap ulangan

q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Contoh Soal Distribusi Binomial Tunggal :

1. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari

peristiwa berikut!

a) Mata dadu 5 muncul 1 kali

b) Mata dadu genap muncul 2 kali

c) Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali

Penyelesaian:

a. Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki

probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 5 adalah 1/6, sehingga:

60

p=16 ; q=5

6 ; 𝑛 = 4; 𝑥 = 1 (muncul 1 kali)

p ( X=1 )=C14 . p1 q4−1

¿4 ×( 16 )

1

×( 56 )

3

¿0.3858

b. Mata dadu genap ada 3, yaitu 2, 4, 6, sehingga:

p=3.6

=12 ; q=1

2 ; n=4;x=2 (muncul 2 kali)

p ( X=2 )=C24 . p2 q4−2

¿6 ×( 12 )

2

×( 12 )

2

¿0.3750

c. Muncul mata dadu 2 atau 6 (ada 2), sehingga :

p=26=1

3 ; q=23 ; 𝑛 = 4; 𝑥 = 4 (muncul 3 kali)

p ( X=4 )=C44 . p4 q4−4

¿1 ×( 13 )

4

×( 23 )

0

¿0.0123

2. Sebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata terdapat 5% rusak. Jika

secara acak diambil 10 buah dari alat tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas

akan terdapat:

a. dua rusak,

b. tidak ada yang rusak?

Penyelesaian:

n=10; p=5 %=0.05; q=0.95

a. Jika 2 rusak, maka x=2;

p ( X=2 )=C210 . p2q10−2

¿45 ×(0.05)2×(0.95)8

¿0.075

61

b. Jika tidak ada yang rusak, maka x=0

p ( X=0 )=C010 . p0 q10−0

¿1 ×(0.05)0 ×(0.95)10

¿0.599

b) Probabilitas Binomial Kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari

satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

PBK=∑x=0

n

C xn × px × qn− x

PBK=∑x=0

n

P( X=x )

¿ P(X=0)+P ¿

Contoh Soal Distribusi Binomial Kumulatif

1. Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas

kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas:

a. paling banyak 2 orang lulus,

b. yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang,

c. paling sedikit 4 di antaranya lulus!

Penyelesaian:

a. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1, dan 2

p≤2=p ( X=0 )+ p ( X=1 )+ p ( X=2 )

¿C 05. p0 q5−0+C1

5 . p1 q5−1+C25 . p2q5−2

¿1 ×(0.7)0×(0.3)5+5 ×(0.7)1×(0.3)4+10 × (0.7 )2×(0.3)3

¿0.16

b. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 2 dan 3

2 ≤ p ≤ 3=p ( X=2 )+ p ( X=3 )

¿C 25. p2 q5−2+C3

5 . p3q5−3

¿10 × (0.7 )2×(0.3)3+10× (0.7 )3 ×(0.3)2

¿0.44

c. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5

p ≥ 4=p ( X=4 )+ p ( X=5 )

62

¿C 45 . p4 q5−4+C 5

5 . p5 q5−5

¿5 × (0.7 )4 ×(0.3)1+1× (0.7 )5×(0.3)0

¿0.53

2. Distribusi PoissonA. Definisi Distribusi Poisson

Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi

ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2,

3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk

peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam

situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan,

misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor.

Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

B. Ciri-ciri Distribusi Poisson

(1) Banyaknya hasil percobaan yang satu tidak tergantung dari banyaknya hasil percobaan

yang lain.

(2) Probabilitas hasil percobaan sebanding dengan panjang interval waktu.

(3) Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang

singkat dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

C. Penerapan Distribusi Poisson

(1) Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas,

panjang seperti:

Banyaknya penggunaan telpon per menit, banyaknya kesalahan ketik per halaman

sebuah buku, banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan, dsb.

(2) Menghitung disktribusi binomial apabila n-besar (n ≥ 30) dan p relatif kecil (p < 0,1) .

Rumus pendekatannya adalah :

P ( X )=P ( X=x )= λx . e−λ

x !

63

Keterangan : e = basis logaritma natural 2.71828

λ= bilangan riil positif sama dengan harapan peristiwa dalam interval tertentu

(misal, peristiwa yang terjadi 4 kali per menit dan akan dicari

probabilitasnya yaitu k kali interval 10 menit maka λ = 10x4 = 40)

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

p = probabilitas kelas sukses

Contoh Soal Distribusi Poisson:

1. Sebuah konveksi pakaian menggunakan 20 mesin jahit. Probabilitas sebuah mesin jahit

mengalami dan memerlukan perbaikan adalah 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin

yang akan mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan.

Penyelesaian

n = 20 p = 0,02 x = 3 λ = np

P ( X=3 )= 0,403 .(2.71828)−0,4

3 ! = 20(0,02) = 0,40

= 0,0072

2. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu R 40 W setiap hari 5 buah.

Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson, berapa probabilitas

untuk penjualan berikut?

a) 0 lampu R

b) 3 lampu R

Penyelesaian :

λ = 5 e−5 = 0,00674

a) P ( X=0 )= 50(2.71828)−5

0 !

= 0,00674

b) P ( X=0 )=53(2.71828)−5

3 !

= 0,14

64

KESIMPULANDistribusi Binomial sering juga disebut Distribusi Bernoulli. Distribusi Binomial

adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling

dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping

uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi

angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila

kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam.

Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap

sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole).

Sedangkan Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D.

Poisson. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang

mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan

peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan

probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah

kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam

kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan

waktu.

65

BAB VII

DISTRIBUSI NORMAL

A. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan

dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal merupakan salah satu distribusi teoritis

dan variabel random kontinu. Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama

pengembangnya, yaitu Karl Gauss pada abad ke-18, seorang ahli matematika dan astronomi

(Iqbal Hasan,2003 : )

B. Ciri-ciri Distribusi Normal

a. Berbentuk lonceng simetris terhadap x=μ.

Dirtibusi normal atau kurva normal disebut juga dengan nama distribusi Gauss,

karena persamaan matematisnya ditemukan oleh Gauss dengan rumus:

Keterangan :

π = nilai konstan yaitu = 3,1416

e = nilai konstan yaitu = 2,7183

66

f ( x )= 1σ √2 π

e−12 ( x−μ

σ )2

μ = parameter yang merupakan rata-rata distribusi

σ = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi

(Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:106).

Jika x mempunyai bentuk −∞<x<∞, maka disebut variabel acak X berdistribusi

normal. Rumus di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1. Kurva Normal

1) Grafiknya selalu berada di atas sumbu absis X.

2) Mempunyai modus, jadi kurva unimodal tercapai pada x=μ=0,3939σ .

3) Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu absis X dimulai dari x=μ+3σ ke kanan

dan x=μ−3 σ ke kiri.

4) Luas daerah grafik selalu = satu unit persegi

b. Bentuk Kurva Normal

1. Normal Umum

Di mana μ=rata−rata

σ=simpangan baku

μ−3σ μ−2σ μ−σ μ μ+σ μ+2σ μ+3 σ

Gambar 2. Kurva Normal Umum

67

2. Normal Baku (Standar)

Gambar 3. Kurva Normal Baku

Menurut Husaini Usman dan R. Purnomo (2006:107-108), perubahan dari bentuk

normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan langkah-langkah berikut:

1) Cari zhitung dengan rumus: z=X−μ

σ

2) Gambar kurvanya.

3) Tuliskan nilai zhitung pada sumbu X di kurva di atas dan tarik garis dari titik zhitung

ke atas sehingga memotong garis kurva.

4) Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara garis tegak ke titik

0 di tengah kurva.

5) Carilah tempat nilai z dalam tabel normal.

6) Luas kurva normal = 1, karenaμ=0, maka luas dari 0 ke ujung kiri = 0,5. Luas

dari 0 ke titik kanan = 0,5.

Jika z bilangan bulat, maka luas daerah (dalam %) adalah sebagai berikut:

Gambar 4. Kurva Normal Baku dalam %

68

Jika z bukan bilangan bulat, maka luas daerahnya dicari dengan menggunakan tabel

kurva normal baku.

c. Cara Menggunakan Tabel Kurva Normal Baku

Tabel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. Kolom paling kiri

menunjukkan nilai Z, tertera angka 0 sampai 3 dengan satu desimal dibelakangnya. Desimal

berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari 0 sampai 9.

Misalnya dari hasil perhitungan diperoleh nilai Z = 1,96

Maka di kolom kiri kita cari nilai1,9 dan baris atas kita cari angka 6

Dari kolom 6 bergarak ke bawah, hingga pertemuan titik yang menunjukkan angka

0,4750.

Berarti luas daerah di dalam kurva normal antara rata-rata dengan 1,96 SD ke kanan

adalah 0,475.

Karena luas kurva ke kanan dan ke kiri sama, maka luas penyimpangan 1,96 ke

kanan dan ke kiri dari rata-rata adalah 0,95 (95%).

Beberapa contoh di bawah ini diambil dari buku Husaini Usman dan R. Purnomo

(2006:108).

a. Berapa z = +2,34?

Jawab: 0,4904 atau 49,04% (ke kanan).

b. Berapa z = -2,34?

Jawab: 0,4904 atau 49,04% (ke kiri).

c. Berapa luas antara z = -2,34 dan z = +2,34 atau (-2,34< z <+2,34)?

Jawab: 49,04 + 49,04 = 98,08%

d. Berapa luas antara z = 1,23 dengan z = 2,34 atau (1,23 < z < 2,34)?

Jawab: z = +2,34 = 49,04%

z = +1,23 = 39,07 %9,97 %

e. Berapa luas z = +1,23 ke kanan?

Jawab: z = +1,23 ke kanan = 10,93%

f. Berapa luas z = + 1,23 ke kiri?

Jawab: 100% - 10,93% = 89,07%

g. Berapa nilai z untuk luas 49,60?

Jawab: 2,65.

69

Contoh Soal

1. Dari 100 peserta LCCM didapat nilai rata-rata pengerjaan = 75 dengan simpangan

baku = 4.

Ditanyakan:

1) Berapa jumlah peserta yang mendapat nilai 80 ke atas?

2) Berapa jumlah peserta yang mendapat nilai 70 ke bawah?

3) Berapa nilai peserta yang dapat dikualifikasikan 10% dari nilai tertinggi?

Jawab:

1) z= X−μσ

=80−754

=1,25

dari tabel kurva normal di dapat luas ke kanan = 10,56%

Jadi jumlah peserta = 10,56% x 100 = 11 orang.

2) ¿ 75−804

=−1,25

Dari tabel kurva normal didapat luas ke kiri = 10,56%.

Jadi jumlah peserta = 10,56% x 100 = 11 orang.

3) Batas kualifikasi 10% tertinggi = 50% - 10% = 40% dari tabel kurva normal di

dapat 1,28. Karena SD tertinggi = 4, maka untuk 1,28 SD = 1,28 x 4 = 5,12. Jadi

skor tertinggi = 75 + 5,12 = 80,12.

Distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan berbentuk genta atau

lonceng. Pada bentuk tersebut ditunjukkan hubungan ordinat pada rata-rata dengan

berbagai ordinat pada jarak simpangan baku yang diukur dari rata-rata.

Dalam bentuk diagram atau kurva (disebut kurva normal), distribusi normal

digambarkan:

Kurva tersebut dipengaruhi oleh rata (μ) dan simpangan baku (σ ). Jika rata-rata (μ)

besar dan simpangan baku (σ ) besar maka kurvanya makin rendah (platikurtik). Jika rata-

rata (μ) dan simpangan baku (σ ) kecil maka kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

Dari bentuk kurva distribusi normal dapat diketahui sifat-sifat distribusi normal,

yaitu;

a. Bentuk distribusi normal adalah bentuk genta atau lonceng dengan satu puncak

(unimodal).

b. Rata-rata (μ) terletak di tengah-tengah.

70

c. Nilai rata-rata sama dengan median sama dengan modus memberikan pola

simetris.

d. Ujung-ujung sisi kurvanya sejajar dengan sumbu horizontal dan tidak akan

pernah memotong sumbu tersebut.

e. Data sebagian besar ada di tengah-tengah dan sebagian kecil ada di tepi, yaitu;

i. Jarak ± 1σ menampung 68% atau 68,26 data,

ii. Jarak ± 2 σ menampung 95% atau 95,46 data,

iii. Jarak ± 1σ menampung 99% atau 99,74 data.

d. Distribusi normal standar

Macam-macam distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat

pengaruh rata-rata simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval

dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribusi

normal standar.

Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata (μ)= 0

dan simpangan baku (σ ) = 1. Bentuk fungsinya adalah,

Dalam bentuk diagram atau kurva (disebut kurva normal standar), distribusi normal

standar digambarkan:

Dari bentuk kurva distribusi normal standar tersebut, dapat diketahui sifat-sifat

distribusi tersebut yaitu:

a. Kurva simetris terhadap sumbu Y.

b. Mempunyai titik tertinggi (0,1

√2 π), dengan

1√2 π

= 0,4.

c. Cekung ke bawah untuk interval -1≤x ≤1 dan cekung ke atas untuk nilai x di

luar interval tersebut.

d. Meluas atau melebar tanpa batas ke kiri dan ke kanan serta mendekati sumbu X

secara cepat begitu bergerak dari X = 0 ke kiri maupun ke kanan.

e. Luas seluruh daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X sebesar 1 unit.

71

f ( Z )= 1√2 π

e−1

2 Z2

Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standar,

gunakan nilai Z (standard units).

Bentuk rumusnya yaitu,

Keterangan :

Z = variabel normal standar

X = nilai variabel random

μ = rata-rata variabel random

σ = simpangan baku variabel random

Nilai Z adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai

variabel random (X) dari rata-rata (μ) dihitung dalam satuan simpangan baku (σ ).

e. Penggunaan kurva normal standar

Untuk mencari luas daerah di bawah kurva normal standar, yaitu tabel luas kurva

normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu. Dengan daftar tersebut, bagian-bagian luas

dari distribusi normal standar dapat dicari.

Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap μ = 0 maka luas

dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5, dan diartikan: P(Z > 0)

= 0,5. Luas daerah di bawah kurva normal pada interval tertentu dapat dituliskan: P(0 < Z

< b).

Contoh:

1. Akan dihitung nilai P(0 < Z < 2,13), langkah-langkahnya adalah:

a. 2,13 = 2,1 + 0,03.

b. Dengan tabel luas kurva normal standar, dicari 2,1 pada kolom Z (kolom paling

kiri) dan 0,03 pada baris pertama (baris paling atas).

c. Pertemuan baris 0,03 dan kolom 2,1 merupakan nilai Z dari P(0 < Z < 2,13), yaitu

0,4834.

Beberapa bagian luas di bawah kurva untuk distribusi normal umum dengan rata-

rata μ dan simpangan σ tertentu, dapat ditentukan. Artinya, jika sebuah kejadian memiliki

distribusi normal maka dari kejadian itu:

72

Z = X−μσ

a. Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara μ ± σ.

b. Kira-kira 95,45% dari kasus ada dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara μ ±2σ .

c. Kira-kira 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara μ ±3 σ.

d. Sekalipun secara teoritis ujung kurva normal ke kanan dan ke kiri tak berhingga

jauhnya, namun praktis dalam jarak lebih dari tiga simpangan baku dari rata-

ratanya (μ ±3 σ ¿ luas kurva normal itu tidak berarti lagi (kurang dari 1%).

Untuk menentukan luas daerah kurva normal (yang bukan baku) dilakukan

transformasi dengan menggunakan nilai Z. Cara transformasinya adalah sebagai berikut.

a. Menghitung nilai Z sampai dua desimal.

b. Menggambar kurva normal standarnya.

c. Meletakkan nilai Z pada sumbu X, kemudian menarik garis vertikal yang

memotong kurva.

d. Nilai yang terdapat dalam daftar merupakan luas daerah antara garis tersebut

dengan garis vertikal di titik nol.

e. Dalam dafta distribusi normal standar, mencari tempat harga Z pada kolom paling

kiri hanya sampai satu desimal dan mencari desimal keduanya pada baris paling

atas.

f. Dari Z di kolom kiri maju ke kanan dan dari Z di baris atas trun ke bawah,

sehingga didapat bilangan yang merupakan luas daerah yang dicari.

2. Rata-rata produktivitas padi di Aceh tahun 2009 adalah 6 ton per ha, dengan

simpangan baku (s) 0,9 ton.  Jika luas sawah di Aceh 100.000 ha dan produktivitas padi

berdistribusi normal (data tentatif), tentukan :

a. Hitung nilai z dari nilai x=8 ton

b. Hitung luas sawah di bawah kurva normal pada z = 2,22

Pembahasan :

a. Hitung nilai z dari nilai x=8 ton dengan rumus berikut.

z= X−μσ =

8−60,9

=2,22

73

b. Caranya lihat table z dan lihat sel pada perpotongan antara baris ke 2,2 dan kolom

0,02 . Hasilnya adalah angka 0,98679 dan bila dibentuk dalam persen menjadi

98,679 %. Angka ini menunjukan luas dibawah kurva normal baku (standar) dari

titik kiri kurva sebesar 98,679 %. Karena luas seluruh di bawah kurva normal

adalah 100 %, maka luas dari titik 2,22 ke kanan kurva adalah

100 %−98,679 %=1,321 % (arsir daerah ini pada gambar). Oleh karena itu, luas

sawah yang di produksi lebih dari 8 ton adalah 1,321100

x100.000 h a=1321h a

(berikut ini hasil gambar kurvanya)

f. Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi normal

Distribusi normal memiliki rata-rata, varians, dan simpangan baku sebagai

berikut.

a. Rata-rata;

b. Varians;

c. Simpangan baku;

Tabel daftar distribusi normal standar untuk 0 – Z

74

μ=∑ Xn

σ 2=∑ (X−μ)2

n

σ=√∑ (X−μ)2

n

KESIMPULAN

Distribusi normal adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam

berbagai analisis statistika. Distribusi normal merupakan salah satu distribusi teoritis dan

variabel random kontinu. Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama

pengembangnya, yaitu Karl Gauss pada abad ke-18, seorang ahli matematika dan astronomi

(Iqbal Hasan,2003 : )

Distribusi normal merupakan salah satu distribusi teoritis dan variabel random kontinu.

Dimana kurvanya merupakan kurva normal. Jenis-jenis kurva untuk distribusi normal ada

tiga tergantung rentang nilai dan simpangan bakunya, yaitu Leptokurtik, merupakan bentuk

kurva normal yang meruncing tinggi karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang

mendekati rata-rata sangat kecil. Platykurtik, merupakan kurva normal yang mendatar rendah

karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil. Normal,

merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antara

leptokurtik dan platykurtik, karena penyebaran skor biasa dan tidak terjadi perubahan nilai

yang berarti.

75

BAB VIII

UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS

A. UJI NORMALITAS

Pengujian normalitas adalah pengujian tentang kenormalan distribusi data. Uji ini

merupakan pengujian yang paling banyak dilakukan untuk analisis statistic parametric.

Karena data yang berdistribusi normal merupakan syarat dilakukannya tes parametric.

Sedangkan untuk data yang tidak mempunyai distribusi normal, maka analisisnya

menggunakan tes non parametric.

Macam-macam Uji Statistik Normalitas

Uji statistik normalitas yang digunakan :

1. Chi-Square

2. Lilliefors

3. Kolmogorov Smirnov

4. Shapiro Wilk

1. Chi-Square

Menurut Prof.DR.Sugiono (2005, dalam buku “ Statistika untuk Penelitian “), salah

satu uji normalitas data yaitu chi kuadrat ( x2 ) merupakan pengujian hipotesis yang

dilakukan dengan cara membandingkan kurve normal yang terbentuk dari data yang telah

terkumpul (B) dengan kurve normal baku atau standar (A). Jadi membandingkan antara

(B/A). Bila B tidak berbeda secara signifikan dengan A, maka B merupakan data yang

berdistribusi normal.

Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi Normal menggunakan

pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang

diharapkan.

Keterangan :

X2 = Nilai X2

Oi = Nilai observasi

Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dikalikan N

(total frekuensi) (pi x N)

76

X2=∑ (Oi−Ei )Ei

N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi)

Persyaratan Metode Chi-Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal) :

a) Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam table distribusi frekuensi.

b) Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )

c) Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.

Kriteria

Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Contoh :

Interval prestasi Frekuensi

45-54

55-64

65-74

75-84

85-94

1

4

16

7

2

Jumlah 30

Selidikilah apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? (Mean =71,2; Standar

deviasi = 8,74)

Penyelesaian :

1) Hipotesis :

Ho : Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal

H1 : Populasi tinggi badanmahasiswa tidak berdistribusi normal

2) Nilai α

Nilaiα = level signifikansi = 5% = 0,05

Batas Interval

Kelas BawahZ=

X i−XSD

Pi Oi Ei( p x N )

44,5-54,5 -3.05 - -1.91 0.4989 – 0.4719 1 0.81

54,5-64,5 -1.91 - -0.77 0.4719 – 0.2794 4 5.8

64,5-74,5 -0.77 – 0.38 0.2794 – 0.1480 16 3.9

77

74,5-84,5 0.38 – 1.52 0.1480 – 0.4357 7 -8.6

84,5-94,5 1.52 – 2.67 0.4357 – 0.4962 2 -1.82

Jumlah

X2=∑ (Oi−Ei)Ei

¿(1−0.81)2

0.81+

(4−5.8)2

5.8+(16−3.9)2

3.9+(7−(−8.6))2

−8.6+(2−(−1.82))2

−1.82

¿1.83

3) Derajat Bebas

Df = ( k =panjang kelas) – 3 ) = ( 10 – 3 ) = 7

4) Nilai Tabel

X tabel2 =X1−∝ ,dk

2 =X0.95,42 =9,49

5) Daerah Penolakan

o Menggunakan Gambar

o Menggunakan Rumus

|1.83| < |9.49| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak.

2. Lilliefors

Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi

frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal

sebagai probabilitas komulatif normal.

78

Rumus:

Zi=X i−X

s

Keterangan :

Xi = data / nilai

X = rata- rata (mean)

s = standar deviasi

Hipotesis dari uji Liliefors:

Ho : Sampel berdistribusi normal

Hi : Sampel tidak berdistribusi normal

Kriteria:

Jika Lhitung, < L tabel maka terima Ho dan tolak Hi

Jika Lhitung, > L tabel maka tolak Ho dan terima Hi

Contoh :

Berikut ini adalah data nilai hasil belajar statistik siswa SMA Cendikia, yang terdiri dari

30 siswa:

No x i zi F ( zi ) S ( z i ) |F ( zi )−S ( zi )|1 45 0,13 0,0007 0,0011 0,0326

2 62 0,25 0,1446 0,0026 0,0779

3 63 0,38 0,1762 0,0025 0,0762

4 64 0,50 0,2119 0,1667 0,0452

5 64 0,63 0,2119 0,0015 0,0452

6 65 0,75 0,2482 0,2333 0,0149

7 65 0,88 0,2482 0,0005 0,0149

8 67 1,01 0,3336 0,3667 0,0331

9 67 1,13 0,3336 0,3667 0,0331

10 67 1,26 0,3336 0,3667 0,0331

11 67 1,38 0,3336 0,0011 0,0331

12 68 1,51 0,3783 0,4667 0,0884

13 68 1,63 0,3783 0,4667 0,0884

14 68 1,76 0,3783 0,0029 0,0884

15 69 1,89 0,4286 0,5333 0,1047

79

16 69 2,01 0,4286 0,0035 0,1047

17 71 2,14 0,5279 0,0013 0,0388

18 72 2,26 0,5793 0,0007 0,0207

19 73 2,39 0,6255 0,0003 0,0078

20 74 2,51 0,6736 0,7000 0,0264

21 74 2,64 0,6736 0,0009 0,0264

22 75 2,77 0,7157 0,7667 0.0510

23 75 2,89 0,7157 0,0017 0,0510

24 76 3,02 0,7580 0,8333 0,0753

25 76 3,14 0,7580 0,0025 0,0753

26 78 3,27 0,8289 0,9000 0,0711

27 78 3,39 0,8289 0,0024 0,0711

28 81 3,52 0,9082 0,0008 0,0251

29 85 3,65 0,9664 0,0000 0,0003

30 87 3,77 0,9812 0,0006 0,0188

Apakah nilai mata pelajaran tersebut berdistribusi normal?

Rata – rata

x=Σ x i

n=2113

30=70,43

Standar Deviasi

SD=√ ( xi−x )2

n−1=√ 1835,367

29=√63,28852=7,95

Dari kolom terakhir dalam tabel di atas didapat L0 = 0,0188 dengan n = 30 dan

taraf nyata α = 0,05. Dari tabel Nilai Kritis L untuk Uji Liliefors di dapat L = 0,161

yang lebih besar dari L0 = 0,0188 sehingga hipotesis H0 diterima.

Jadi data tersebut normal.

3. Kolmogorov Smirnov

Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-

langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang

berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding

Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding

metode Lilliefors.

80

No XiZi=

X i−Xs

FT Fs |FT−Fs|

1

2

3

4

Dst

Keterangan :

Xi = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi

pada distribusi normal

FT = Probabilitas kumulatif normal

FT = Probabilitas kumulatif empiris

Persyaratan:

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

Kriteria

Signifikansi uji, nilai |FT – Fs| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov

Smirnov.

Jika nilai |FT – Fs| terbesar < nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha

ditolak.

Jika nilai |FT – Fs| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha

diterima.

Contoh :

Suatu penelitian tentang berat badan mahasiswa yang mengikuti pelatihan kebugaran

fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data

sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97,

81

98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas

diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

Penyelesaian:

Hipotesis

Ho : Populasi berat badan mahasiswa berdistribusi normal

H1 : Populasi berat badan mahasiswa tidak berdistribusi normal

Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

Statistik Penguji

No X i Zi=X i−X

sFT Fs |FT−Fs|

1 67 -1,39020,0823 0,0741 0,0082

2 67 -1,3902

3 68 -1,2929 0,0985 0,1111 0,0126

4 69 -1,1957 0,1151 0,1481 0,0330

5 70 -1,09850,1357 0,2222 0,0865

6 70 -1,0985

7 72 -0,9040,1841 0,2963 0,1122

8 72 -0,904

9 77 -0,41780,3372 0,3704 0,0332

10 77 -0,4178

11 78 -0,3205

0,3745 0,5185 0,144012 78 -0,3205

13 78 -0,3205

14 78 -0,3205

15 80 -0,1261 0,4483 0,5556 0,1073

16 82 0,06843 0,5279 0,5926 0,0647

17 84 0,26291 0,6025 0,6025 0,0271

18 87 0,55463 0,7088 0,7088 0,0421

19 88 0,65188 0,7422 0,7422 0,0385

20 89 0,74912 0,7734 0,7734 0,0327

21 90 0,846360,8023 0,8148 0,0125

22 90 0,84636

82

23 95 1,33256 0,9082 0,5190 0,3892

24 97 1,52704

0,9370 0,9630 0,026025 97 1,52704

26 97 1,52704

27 98 1,62429 0,7474 1,0000 0,2526

Nilai |FT−Fs| tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1440

Derajat Bebas

Df tidak diperlukan.

Nilai Tabel

Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α= 0,05 ; N = 27 ; yaitu 0,254. Tabel Kolmogorov

Smirnov pada lampiran.

Daerah Penolakan

Menggunakan rumus

| 0,1440 | < | 0,2540| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

Kesimpulan

Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal α = 0,05.

4. Shapiro Wilk

Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel

distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk dikonversi

dalamShapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat

dihitung luasan kurva normal.

T 3=1D [∑i=1

k

ai ( Xn−i+1−X i )]2

D=∑i=1

n

( X i−X )2 G=bn+cn+ln( T 3−dn

1−T3)

D = Berdasarkan rumus di

bawah

ai = Koefisien test Shapiro Wilk

Xi = Angka ke i pada

data yang ke-i

G = Identik dengan nilai Z

distribusi normal

T3 = Berdasarkan rumus di

atas

83

X n-i+1 = Angka ke n – i + 1

pada data

X i = Angka ke i pada data

X = Rata-rata data

bn, cn , dn = Konversi Statistik

Shapiro-Wilk

Pendekatan Distribusi

Normal (lampiran

Persyaratan

• Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

• Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

• Data dari sampel random

Signifikansi

Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3

dibandingkan dengan nilai tabel ShapiroWilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya

(p).

o Jika nilai p < 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima

o Jika nilai p > 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal. Jika digunakan rumus G,

maka digunakan tabel 2 distribusi normal.

Hipotesis

Ho : Populasi usia balita berdistribusi normal

H1 : Populasi usia balita tidak berdistribusi normal

Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

Rumus Statistik Penguji

Langkah pertama dihitung nilai D, yaitu :

No X i X i−X ( X i−X )2

1 18 -18.7083 350.0005

2 19 -17.7083 313.5839

3 23 -13.7083 187.9175

4 24 -12.7083 161.5009

84

5 26 -10.7083 114.6677

6 27 -9.7083 94.25109

7 30 -6.7083 45.00129

8 32 -4.7083 22.16809

9 33 -3.7083 13.75149

10 33 -3.7083 13.75149

11 34 -2.7083 7.334889

12 35 -1.7083 2.918289

13 36 -0.7083 0.501689

14 36 -0.7083 0.501689

15 36 -0.7083 0.501689

16 37 0.2917 0.058089

17 40 3.2917 10.83259

18 41 4.2917 18.41869

19 46 9.2917 86.33569

20 48 11.2917 127.5025

21 55 18.2917 334.5863

22 56 19.2917 372.1697

23 58 21.2917 453.3365

24 58 21.2917 453.3365

Jumlah 3184.958

Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu:

i a i X n−i+1−X i a i ( X n−i+1−X i)

1 0.4493 58 - 18 = 40 17.972

2 0.3089 58 - 19 = 39 12.0822

3 0.2554 56 - 23 = 33 8.4282

4 0.2145 55 - 24 = 31 6.6495

5 0.1807 48 - 26 = 22 3.9754

6 0.1512 46 - 27 = 19 2.8728

7 0.1245 41 - 30 = 11 1.3695

8 0.0997 40 - 32 = 8 0.7976

85

9 0.0764 37 - 33 = 4 0.3056

10 0.0539 36 - 33 = 3 0.1617

11 0.0321 36 - 34 = 2 0.0642

12 0.0107 36 - 35 = 1 0.0107

Jumlah

T 3=1D [∑i=1

k

ai ( Xn−i+1−X i )]2

¿ 13187.958

(54.6894 )2=0,9391

Derajat Bebas

Db = n

Nilai Tabel

Pada lampiran dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) = 0,963

Daerah Penolakan

Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10

dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak

Kesimpulan

Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. Cara lain setelah nilai T3

diketahui dapat menggunakan rumus G, yaitu :

G=bn+cn+ln( T 3−dn

1−T3)

¿b24+c24+ ln( T3−d24

1−T3)

¿−5.605+1.862+ln( 0.9391−0.21061−0.9391 )

¿−1.2617

Hasil nilai G merupakan nilai Z pada distribusi normal, yang selanjutnya dicari

nilai proporsi (p) luasan pada tabel distribusi normal (lampiran). Berdasarkan nilai G

= -1,2617, maka nilai proporsi luasan = 0,1038. Nilai p tersebut di atas nilai α = 0,05

berarti Ho diterima Ha ditolak. Data benar-benar diambil dari populasi normal.

B. UJI HOMOGENITAS

86

Uji homogenitas merupakan uji perbedaan antara dua atau lebih populasi. Pengujian

homogenitas dilakukan dengan maksud memberikan keyakinan bahwa dua buah

kelompok data (distribusi) atau lebih yang dimanipulasi dalam serangkaian analisis

memang berasal dari populasi yang tidak jauh berbeda keragaman/variansnya.

1. Uji Homogenitas Variansi

Adapun langkah-langkah yang perlu kita lakukan dalam uji homogenitas variansi ini

adalah sebagai berikut.

a) Menentukan nilai varians/standar deviasi untuk variabel X dan Y, yaitu dengan

rumus:

Sx2=√ n .∑ X2−(∑ X )2

n(n−1) Sy

2=√ n .∑ Y 2−(∑Y )2

n(n−1)

dengan: n = banyak data

b) Menentukan nilai Fhitung dari varians X dan Y, yaitu dengan rumus:

F=Sbesar

❑

Skecil❑

c) Menentukan hipotesis pengujian: Ho : σ 12=σ2

2 (varians data homogen)

Ha : σ 12 ≠ σ2

2 (varians data tidak homogen)

d) Menentukan level signifikan (α )

α bernilai 0,01 atau bernilai 0,05.

e) Membandingkan Fhitung dengan F tabel pada tabel distribusi F

Kriteria pengujian:

jika: Fhitung ≥ F tabel (α ;dk 1; dk2 ) , maka Tolak Ho

jika:Fhitung<F tabel ( α ;dk1 ;dk 2 ) , maka Terima Ho

dimana: dk=(n−1)

contoh :

87

Berikut adalah 10 data tentang hubungan antara nilai siswa ketika belajar dengan

metode pembelajaran ceramah (X) dan nilai siswa ketika belajar dengan metode

pembelajaran diskusi (Y).

No X Y X2 Y2

1 89 87 7921 7569

2 78 90 6084 8100

3 92 78 8464 6084

4 85 83 7225 6889

5 79 76 6241 5776

6 80 91 6400 8281

7 80 82 6400 6724

8 83 90 6889 8100

9 92 82 8464 6724

10 90 80 8100 6400

JUMLAH 848 839 72188 70647

Jawab:

a) Menentukan nilai varians/standar deviasi untuk variabel X dan Y, yaitu dengan

rumus:

Sx2=√ n .∑ X2−(∑ X )2

n ( n−1 )=√ (10 ) (72188 )−(848 )2

(10 ) (9 )=5,55

Sy2=√ n .∑ Y 2−(∑Y )2

n(n−1)=√ (10 ) (70647 )−(839)2

(10 )(9)=5,32

b) Menentukan nilai Fhitung dari varians X dan Y, yaitu dengan rumus:

Dari perhitungan di atas didapat, Sx>S y

F=Sbesar

❑

Skecil❑ =5,55

5,32=1,04

Dari perhitungan diatas, Fhitung=1,04 dan grafik daftar distribusi F dengan dk

pembilang = 10 – 1 = 9. dk penyebut = 10 – 1 = 9. Dan α = 0,05 dan F tabel = 3,18

Tampak bahwa Fhitung<F tabel. Hal ini berarti data variabel X dan Y homogen.

88

2. Uji Bartlett

Adapun langkah-langkah yang perlu kita lakukan dalam uji barlett ini adalah sebagai

berikut.

a) Misalkan sampel berukuran n1 , n2 ,… ,nk dengan data Y ij=¿ dan j=1 ,2 ,…, nk ¿ dan

hasil pengamatan lebih disusun seperi didalam tabel di bawah ini.

Data Populasi ke

1 2 ... K

Data

hasil

pengamatan

y11 y11 ... y11

y11 y11 ... y11

⋮ ⋮ ⋮

y11 y11 ... y11

b) Selanjutnya sampel-sampel dihitung variansnya masing-masing yaitu s12, s2

2, ... , sk2

dengan rumus

Si2=

n .∑ X2−(∑ X )2

n (n−1 )

c) Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji barlett lebih

baik disusun dalam sebuah tabel seperti berikut:

Sampel

kedk

1dk si

2 log si2 dk log (s i

2)

1 n1−1 1/(n¿¿1−1)¿ s12 log s1

2 (n¿¿1−1) log(s12)¿

2 n2−1 1/(n¿¿2−1)¿ s22 log s2

2 (n¿¿2−1) log (s22)¿

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

k nk−1 1/(n¿¿k−1)¿ sk2 log sk

2 (n¿¿k−1) log(sk2)¿

d) Menentukan hipotesis

Ho : σ 12=σ2

2=…=σ k2

H1 : σ 12 ≠ σ2

2≠ …≠ σk2

e) Menentukan nilai level signifikan (α )

α bernilai 0,01 atau bernilai 0,05.

89

f) Menghitung nilai-nilai statistik penguji, sebagai berikut:

Varians gabungan dari semua sampel

s2=∑ (ni−1)si2

∑ (n−1 )

Harga satuan B

B=( log s2)∑ ( ni−1 )

Statistik chi-kuadrat

X2=( ln10) {B−∑ ( n−1 ) log si2 }

dengan ln 10=2,3026

g) Membandingkan X2hitung dengan X2

tabel pada tabel distribusi chi-square

Kriteria pengujian: jika: X2hitung ≥ X2

tabel(1−α )(k−1 ) , maka Tolak Ho

jika:X2hitung<X2

tabel(1−α)(k−1) , maka Terima Ho

dimana jika X2tabel (1−α ) (k −1 ) didapatkan dari tabel distribusi chi-square dengan peluang

(1−α ) dan dk=(k−1 )

Contoh:

Berikut adalah data nilai siswa ketika diajarkan dengan tiga strategi pembelajaran

(ekpositori, inkuiri, dan konstektual) yang berbeda.

Data populasi ke

1 2 3

Data

hasil

pengamatan

92 89 80

84 82 87

87 86 90

79 87 85

83 76 80

Jawab:

Data populasi ke

90

1 2 3 X12 X2

2 X32

Data

hasil

pengamatan

92 89 80 8464 7921 6400

84 82 87 7056 6724 7569

87 86 90 7569 7396 8100

79 87 85 6241 7569 7225

83 76 80 6889 5776 6400

JUMLAH 425 420 422 36219 35386 35694

a) Variansi setiap sampel:

Si2=

n .∑ X2−(∑ X )2

n (n−1 )

S12=

5 (36219 )−(425)2

5 ( 4 )=23,5

S22=

5 (35386 )−(420)2

5 ( 4 )=26,5

S32=

5 (35694 )−(422)2

5 ( 4 )=19,3

b) Menentukan hipotesis

Ho : σ 12=σ2

2=σ32

H1 : σ 12 ≠ σ2

2≠ σ 32

c) Menentukan nilai level signifikan (α )

Nilai α=5%=0,05.

d) Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji barlett lebih

baik disusun dalam sebuah tabel seperti berikut:

Sampel

kedk

1dk si

2 log si2 dk log(si

2)

1 4 0,25 23,5 1,37 5,48

91

2 4 0,25 26,5 1,42 5,68

3 4 0,25 19,3 1,28 5,12

JUMLA

H

12 0,75 69,3 4,07 16,28

e) Menghitung nilai-nilai statistik penguji, sebagai berikut:

Varians gabungan dari semua sampel

s2=∑ (ni−1)si2

∑ (n−1 )=

4 (23,5 )+4 (26,5 )+4 (19,3)4+4+4

=23,1

Sehingga log s2=log23,1=1,36

Harga satuan B

B=( log s2)∑ ( ni−1 )=(1,36 ) (12 )=16,32

Statistik chi-kuadrat

X2=(ln 10 ) {B−∑ (n−1 ) log s i2 }=(2,3026 ) (16,32−16,28 )=0,0921

f) Membandingkan X2hitung dengan X2

tabel pada tabel distribusi chi-square

Kriteria pengujian: jika: X2hitung ≥ X2

tabel(1−α)(k−1 ) , maka Tolak Ho

jika:X2hitung<X2

tabel(1−α)(k−1) , maka Terima Ho

dk=4 ;

jika α=5% dari tabel distribusi chi-square dengan dk=4 didapat

X2tabel(0,95)(4)=9,48

Tampak bahwa X2hitung<X2

tabel. Hal ini berarti data tersebut homogen.

92

KESIMPULAN

Pengujian normalitas adalah pengujian tentang kenormalan distribusi data. Uji ini

merupakan pengujian yang paling banyak dilakukan untuk analisis statistic parametric.

Karena data yang berdistribusi normal merupakan syarat dilakukannya tes parametric.

Sedangkan untuk data yang tidak mempunyai distribusi normal, maka analisisnya

menggunakan tes non parametric.

Macam-macam Uji Statistik Normalitas yang digunakan adalah Chi-Square,

Lilliefors, Kolmogorov Smirnov dan Shapiro Wilk

Uji homogenitas merupakan uji perbedaan antara dua atau lebih populasi. Pengujian

homogenitas dilakukan dengan maksud memberikan keyakinan bahwa dua buah kelompok

data (distribusi) atau lebih yang dimanipulasi dalam serangkaian analisis memang berasal

dari populasi yang tidak jauh berbeda keragaman/variansnya.

93

BAB IX

UJI HIPOTESIS

A. Pengertian Pengujian Hipotesis

Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, Hupo  berarti Lemah atau kurang atau di

bawah ,Thesis berarti teori, proposisi atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti. Sehingga

dapat diartikan sebagai Pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan

atau dugaan yang sifatnya masih sementara.

Hipotesis juga dapat diartikan sebagai pernyataan keadaan populasi yang akan diuji

kebenarannya menggunakan data/informasi yang dikumpulkan melalui sampel, dan dapat

dirumuskan berdasarkan teori, dugaan, pengalaman pribadi/orang lain, kesan umum,

kesimpulan yang masih sangat sementara.

Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang

sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistik dapat berbentuk suatu

variabel seperti binomial, poisson, dan normal atau nilai dari suatu parameter, seperti rata-

rata, varians, simpangan baku, dan proporsi. Hipotesis statistic harus di uji, karena itu harus

berbentuk kuantitas untuk dapat di terima atau di tolak. Hipotesis statistic akan di terima jika

hasil pengujian membenarkan pernyataannya dan akan di tolak jika terjadi penyangkalan dari

pernyataannya.

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan

memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis itu. Dalam pengujian hipotesis,

keputusan yang di buat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bias benar atau salah,

sehingga menimbulkan risiko. Besar kecilnya risiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas.

Pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting dari statistic inferensi (statistic induktif),

karena berdasarkan pengujian tersebut, pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan

sebagai dasar penelitian lebih lanjut dapat terselesaikan.

B. Konsep hipotesis

Menurut Kerlinger (1973:18) dan Tuckman (1982:5) mengartikan hipotesis adalah

sebagai dugaan terhadap hubungan antara dua  variable atau lebih. Selanjutnya menurut

Sudjana (1992:219) mengartikan hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai suatu hal

yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya.

94

Atas dasar dua definisi diatas, maka dapat disimpulkan bahwa hipotesis adalah jawaban atau

dugaan sementara yang harus diuji lagi kebenarannya.

Hipotesis penelitian adalah hipotesis kerja (Hipotesis Alternatif Ha atau H1) yaitu

hipotesis yang dirumuskan untuk menjawab permasalahan dengan menggunakan teori-teori

yang ada hubungannya (relevan) dengan masalah penelitian dan belum berdasarkan fakta

serta dukungan data yang nyata dilapangan. Hipotesis alternatif (Ha) dirumuskan dengan

kalimat positif. Hipotesis nol adalah pernyataan tidak adanya hubungan, pengaruh, atau

perbedaan antara parameter dengan statistik. Hipotesis Nol (Ho) dirumuskan dengan kalimat

negatif). Nilai Hipotesis Nol (Ho) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter.

C. Prosedur  Pengujian Hipotesis

Prosedur pengujian hipotesis statistic adalah langkah-langkah yang di pergunakan

dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut. Berikut ini langkah-langkah pengujian

hipotesis statistic adalah sebagai berikut.

1. Menentukan  Formulasi Hipotesis

Formulasi atau perumusan hipotesis statistic dapat di bedakan atas dua jenis, yaitu

sebagai berikut;

a. Hipotesis nol / nihil (HO)

Hipotesis nol adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan di

uji. Hipotesis nol tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol dengan hipotesis

sebenarnya.

b.  Hipotesis alternatif/ tandingan (H1 / Ha)

Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang di rumuskan sebagai lawan atau tandingan

dari hipotesis nol. Dalam menyusun hipotesis alternatif, timbul 3 keadaan berikut.

1) H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih besar dari pada harga yang di

hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu pengujian

sisi atau arah kanan (uji satu pihak).

95

2) H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih kecil dari pada harga yang di

hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu pengujian

sisi atau arah kiri (Uji satu pihak).

3) H1 menyatakan bahwa harga parameter tidak sama dengan harga yang di

hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian dua sisi atau dua arah, yaitu pengujian

sisi atau arah kanan dan kiri sekaligus (uji dua pihak).

Secara umum, formulasi hipotesis dapat di tuliskan :

Apabila hipotesis nol (H0) diterima (benar) maka hipotesis alternatif (Ha) di tolak.

Demikian pula sebaliknya, jika hipotesis alternatif (Ha) di terima (benar) maka hipotesis nol

(H0) ditolak.

2. Menentukan Nilai Uji Statistik

Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dengan distribusi tertentu

dalam pengujian hipotesis. Uji statistik merupakan perhitungan untuk menduga parameter

data sampel yang di ambil secara random dari sebuah populasi. Misalkan, akan di uji

parameter populasi (P), maka yang pertama-tam di hitung adalah statistik sampel (S).

3. Menentukan Taraf Nyata (α)

Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis

terhadap nilai parameter populasinya (resiko kesalahan H0). Semakin tinggi taraf nyata yang

di gunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang di uji, padahal

hipotesis nol benar.

Besaran yang sering di gunakan untuk menentukan taraf nyata dinyatakan dalam %,

yaitu: 1% (0,01), 5% (0,05), 10% (0,1), sehingga secara umum taraf nyata di tuliskan

sebagai α0,01,α0,05, α0,1. Besarnya nilai α bergantung pada keberanian pembuat keputusan

yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan (yang menyebabkan resiko) yang akan di

96

tolerir. Besarnya kesalahan tersebut di sebut sebagai daerah kritis pengujian (critical region of

a test) atau daerah penolakan ( region of rejection).

Nilai α yang dipakai sebagai taraf nyata di gunakan untuk menentukan nilai distribusi

yang di gunakan pada pengujian, misalnya distribusi normal (Z), distribusi t, dan distribusi

X². Nilai itu sudah di sediakan dalam bentuk tabel di sebut nilai kritis.

4. Menentukan Kriteria Pengujian

Kriteria Pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak

hipotesis nol (Ho) dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya (nilai kritis)

dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya. Yang di maksud dengan

bentuk pengujian adalah sisi atau arah pengujian.

a. Penerimaan Ho terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar daripada

nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di luar nilai

kritis.

b. Penolakan Ho terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil daripada

nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di dalam nilai

kritis.

Dalam bentuk gambar, kriteria pengujian seperti gambar di bawah ini

5. Membuat Kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau

penolakan hipotesis nol (Ho)yang sesuai dengan kriteria pn setelah membandingkan nilai uji

statistik dengan nilai α tabel atau nilai kritis.

a. Penerimaan Ho terjadi jika nilai uji statistik berada di luar nilai kritisnya.

b. Penolakan Ho terjadi jika nilai uji statistik berada di dalam nilai kritisnya.

Kelima langkah pengujian hipotesis tersebut di atas dapat di ringkas seperti berikut :

Langkah 1 : Menentukan formulasi hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatifnya (Ha)

Langkah 2 : Memilih suatu taraf nyata (α) dan menentukan nilai table.

97

Langkah 3 : Membuat criteria pengujian berupa penerimaan dan penolakan H0.

Langkah 4 : Melakukan uji statistic

Langkah 5 : Membuat kesimpulannya dalam hal penerimaan dan penolakan H0.

D. Kesalahan atau Kekeliruan pengujian Hipotesis

Terdapat dua kesalahan dalam pengujian hipotesis, yaitu :

1. Kesalahan jenis I

Kesalahan jenis I adalah karena H0 ditolak padahal kenyataannya benar . Sehingga H0

harusnya tidak ditolak.

2. Kesalahan jenis II

Kesalahan jenis II adalah kesalahan karena H0 tidak ditolak padahal kenyataannya

salah. Sehingga H0 harusnya ditolak .

                              

E. Jenis-Jenis Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis dapat di bedakan atas beberapa jenis berdasarkan criteria yang

menyertainya.

1. Berdasarkan Jenis Parameternya

Didasarkan atas jenis parameter yang di gunakan, pengujian hipotesis dapat di bedakan

atas tiga jenis, yaitu sebagai berikut .

a. Pengujian hipotesis tentang rata-rata

Pengujian hipotesis tentang rata-rata adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata

populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis satu rata-rata

2.Pengujian hipotesis beda dua rata-rata

3.Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata

b. Pengujian hipotesis tentang proporsi

Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi

populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis satu proporsi

2.Pengujian hipotesis beda dua proporsi

3.Pengujian hipotesis beda tiga proporsi

98

c. Pengujian hipotesis tentang varians

Pengujian hipotesis tentang varians adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata

populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1.   Pengujian hipotesis tentang satu varians

2.   Pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians

2. Berdasarkan Jumlah Sampelnya

Didasarkan atas ukuran sampelnya, pengujian hipotesis dapat di bedakan atas dua jenis,

yaitu sebagai berikut.

a. Pengujian hipotesis sampel besar

Pengujian hipotesis sampel besar adalah pengujian hipotesis yang menggunakan sampel

lebih besar dari 30 (n > 30).

b. Pengujian hipotesis sampel kecil

Pengujian hipotesis sampel kecil adalah pengujian hipotesis yang menggunakan sampel

lebih kecil atau sama dengan 30 (n ≤ 30).

3. Berdasarkan Jenis Distribusinya

Didasarkan atas jenis distribusi yang digunakan, pengujian hipotesis dapat di bedakan

atas empat jenis, yaitu sebagai berikut.

a. Pengujian hipotesis dengan distribusi  Z

Pengujian hipotesis dengan distribusi  Z adalah pengujian hipotesis yang menggunakan

distribusi Z sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel normal standard. Hasil uji

statistik ini kemudian di bandingkan dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak

hipotesis nol (Ho) yang di kemukakan.

Contohnya :

1. Pengujian hipotesis satu dan beda dua rata-rata sampel besar

2. Pengujian satu dan beda dua proporsi

b. Pengujian hipotesis dengan distribusi t (t-student)

Pengujian hipotesis  dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan

distribusi t sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Hasil uji statistik

99

ini kemudian di bandingkan dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak hipotesis

nol (Ho) yang di kemukakan.

Contohnya :

1. Pengujian hipotesis satu rata-rata sampel kecil

2. Pengujian hipotesis beda dua rata-rata sampel kecil

c. Pengujian hipotesis dengan distribusi  χ2 ( kai kuadrat)

Pengujian hipotesis  dengan distribusi χ2 ( kai kuadrat) adalah pengujian hipotesis yang

menggunakan distribusi χ2 sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel χ2. Hasil uji

statistik ini kemudian di bandingkan dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau menolak

hipotesis nol (Ho) yang di kemukakan.

Contohnya :

1.  Pengujian hipotesis beda tiga proporsi

2. Pengujian Independensi

3. Pengujian hipotesis kompatibilitas

d. Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio)

Pengujian hipotesis  dengan distribusi F (F-ratio) adalah pengujian hipotesis yang

menggunakan distribusi F (F-ratio) sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel F.

Hasil uji statistik ini kemudian di bandingkan dengan nilai dalam tabel untuk menerima atau

menolak hipotesis nol (Ho) yang di kemukakan.

Contohnya :

1.  Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata

2. Pengujian hipotesis kesamaan dua varians

4. Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesisnya

Didasarkan atas arah atau bentuk formulasi hipotesisnya, pengujian hipotesis di

bedakan atas 3 jenis, yaitu sebagai berikut.

a. Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test)

Pengujian hipotesis dua pihak adalah pengujian hipotesis di mana hipotesis nol (Ho)

berbunyi “sama dengan” dan hipotesis alternatifnya (H1) berbunyi “tidak sama dengan”

(Ho = dan H1 ≠)

100

b. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri

Pengujian hipotesis pihak kiri adalah pengujian hipotesis di mana hipotesis nol (Ho)

berbunyi “sama dengan” atau “lebih besar atau sama dengan” dan hipotesis alternatifnya (H1)

berbunyi “lebih kecil” atau “lebih kecil atau sama dengan” (Ho = atau Ho ≥ dan H1 < atau

H1≤ ). Kalimat “lebih kecil atau sama dengan” sinonim dengan kata “paling sedikit atau

paling kecil”.

c. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan

Pengujian hipotesis pihak kanan adalah pengujian hipotesis di mana hipotesis nol

(Ho) berbunyi “sama dengan” atau “lebih kecil atau sama dengan” dan hipotesis alternatifnya

(H1) berbunyi “lebih besar” atau “lebih besar atau sama dengan” (Ho = atau Ho ≤ dan H1 >

atau H1 ≥). Kalimat “lebih besar  atau sama dengan” sinonim dengan kata “paling banyak

atau paling besar”.

F. Pengujian Hipotesis Rata-Rata

1. Pengujian Hipotesis Satu Rata-Rata

2. Pengujian Hipotesis Dua Rata-Rata

101

KESIMPULAN

Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, Hupo  berarti Lemah atau kurang atau di

bawah ,Thesis berarti teori, proposisi atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti. Sehingga

dapat diartikan sebagai Pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan

atau dugaan yang sifatnya masih sementara.

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan

memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis itu. Dalam pengujian hipotesis,

keputusan yang di buat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bias benar atau salah,

sehingga menimbulkan risiko.

Prosedur Pengujian hipotesis

Langkah 1 : Menentukan formulasi hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatifnya (Ha).

Langkah 2 : Memilih suatu taraf nyata (α) dan menentukan nilai table.

Langkah 3 : Membuat criteria pengujian berupa penerimaan dan penolakan H0.

Langkah 4 : Melakukan uji statistik

Langkah 5 : Membuat kesimpulannya dalam hal penerimaan dan penolakan H0.

Jenis-Jenis Pengujian Hipotesis

1.  Berdasarkan Jenis Parameternya

a.  Pengujian hipotesis tentang rata-rata

b. Pengujian hipotesis tentang proporsi

c. Pengujian hipotesis tentang varians

2. Berdasarkan Jumlah Sampelnya

a. Pengujian hipotesis sampel besar (n > 30).

b. Pengujian hipotesis sampel kecil (n ≤ 30).

3. Berdasarkan Jenis Distribusinya

a. Pengujian hipotesis dengan distribusi  Z

b. Pengujian hipotesis dengan distribusi t (t-student)

c. Pengujian hipotesis dengan distribusi  χ2 ( kai kuadrat)

d. Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio)

4. Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesisnya

a. Pengujian hipotesis dua pihak (two tail test)

b. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri

c. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan

102

BAB X

Pengujian Hipotesis Satu Rata-Rata

1. Pengujian Hipotesis Satu Rata-Rata

a. Sampel Besar ( n > 30 )

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sample besar (n > 30), uji statistiknya

menggunakan distribusi Z. Prosedur pengujian hipotesisnya adalah sebagai berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ = µo

H1 : µ > µo

b. Ho : µ = µo

H1 : µ < µo

c. Ho : µ = µo

H1 : µ ≠ µo

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z table (Zα)

Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian nilai Zα atau Zα/2ditentukan dari tabel.

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ > µo

Ho di terima jika Zo ≤ Zα

Ho di tolak jika Zo > Zα

b. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ < µo

Ho di terima jika Zo ≥ - Zα

Ho di tolak jika Zo < - Zα

c. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ ≠ µo

Ho di terima jika -  Zα/2  ≤  Zo ≤ Zα/2  

Ho di tolak jika Zo > Zα/2 atau Zo < - Zα/2  

4. Uji Statistik

    a. Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui : 

103

b. Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho (sesuai dengan kriteria pengujiannya).

a) Jika H0 diterima maka H1 di tolak

b) Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh Soal :

Suatu pabrik susu merek Good Milk melakukan pengecekan terhadap produk mereka, apakah

rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang di produksi dan di pasarkan masih tetap

400 gram atau sudah lebih kecil dari itu. Dari data sebelumnya di ketahui bahwa simpangan

baku bersih per kaleng sama dengan 125 gram. Dari sample 50 kaleng yang di teliti, di

peroleh rata-rata berat bersih 375 gram. Dapatkah di terima bahwa berat bersih rata-rata yang

di pasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5 % !

Penyelesaian :

Diketahui :

n = 50, X = 375, σ = 125, µo = 400

Jawab :

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ = 400

H1 : µ < 400

b. Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

 α       = 5% = 0,05

Z0,05  = -1,64 (pengujian sisi kiri)

c. Kriteria pengujian :

104

o   Ho di terima jika Zo ≥ - 1,64

o   Ho di tolak jika Zo < - 1,64

d. Uji Statistik

e. Kesimpulan

Karena Zo = -1,41 ≥ - Z0,05 = - 1,64 maka Ho tidak di tolak. Jadi, berat bersih rata-rata susu

bubuk merek GOOD MILK per kaleng yang di pasarkan sama dengan 400 gram

b. Sampel Kecil (n ≤ 30)

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel kecil (n ≤ 30), uji statistiknya

menggunakan distribusi t. Prosedur pengujian hipotesisnya adalah sebagai berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ = µo

H1 : µ > µo

b. Ho : µ = µo

H1 : µ < µo

c. Ho : µ = µo

H1 : µ ≠ µo

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai t- tabel

Menentukan nilai α sesuai soal, kemudian menentukan derajat bebas, yaitu db = n – 1, lalu

menentukan nilai tα;n-1 atau tα/2;n-1ditentukan dari tabel.

105

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ > µo

Ho di terima jika to ≤ tα

Ho di tolak jika to > tα

b. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ < µo

Ho di terima jika to ≥ - tα

Ho di tolak jika to < - tα

c. Untuk Ho : µ = µo dan H1 : µ ≠ µo

Ho di terima jika -  tα/2  ≤  to ≤ tα/2  

Ho di tolak jika to > tα/2 atau to < - tα/2 

 

4. Uji Statistik

    a. Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui :

b. Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho (sesuai dengan kriteria pengujiannya).

a)      Jika H0 diterima maka H1 di tolak

b)      Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh soal :

Sebuah sample terdiri atas 15 kaleng susu, memiliki isi berat kotor seperti yang di berikan

berikut ini.

( Isi berat kotor dalam kg/kaleng)

1,21                1,21                 1,23                 1,20                 1,21

1,24                1,22                 1,24                 1,21                 1,19

1,19                1,18                 1,19                 1,23                 1,18

106

Jika di gunakan taraf nyata 1%, dapatkah kita menyakini bahwa populasi cat dalam kaleng

rata-rata memiliki berat kotor 1,2 kg/kaleng ? (dengan alternatif tidak sama dengan). Berikan

evaluasi anda !

Penyelesaian :

Diketahui :

n = 15, α= 1%,  µo = 1,2

Jawab:

∑X = 18,13

∑X2 = 21,9189

·    X = 18,13 / 15

        = 1,208

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ = 1,2

H1 : µ ≠ 1,2

b. Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

 α       = 1% = 0,01

tα/2  = 0,005 dengan db = 15-1 = 14

t0,005;14 = 2,977

c. Kriteria pengujian :

o   Ho di terima apabila : - 2,977 ≤ to ≤ - 2,977

o   Ho di tolak : to > 2,977 atau to < - 2,977

d. Uji Statistik

107

e. Kesimpulan

Karena –t0,005;14 = -2,977 ≤ to = 1,52 ≤  t0,005;14 = - 2,977 maka Ho tidal di tolak. Jadi,

populasi susu dalam kaleng secara rata-rata berisi berat kotor 1,2 kg/kaleng.

108

KESIMPULAN

Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sample besar (n > 30), uji statistiknya

menggunakan distribusi Z. Sedangkan pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sample kecil

(n<30), menggunakan pengujian dengan uji T. Prosedur pengujian hipotesisna sama yaitu

dengan urutan formulasi hipotesis, Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z table (Zα),

kriteria penguji, uji statistic dan menarik kesimpulan dari data tersebut.

109

BAB XI

PENGUJIAN HIPOTESIS DUA RATA-RATA

1. Pengujian Hipotesis Beda Dua Rata-Rata

a. Sampel Besar ( n > 30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel besar (n > 30), uji

statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedur pengujian hipotesisnya adalah sebagai

berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ1 = µ2

H1 : µ1 > µ2 kekanan

b. Ho : µ1 = µ2

H1 : µ1 < µ2 kekiri

c. Ho : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2 dua arah)

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z tabel (Zα)

Mengambil nilai α sesuai soal, kemudian nilai Zα atau Zα/2ditentukan dari tabel.

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 > µ2

Ho di terima jika Zo ≤ Zα

Ho di tolak jika Zo > Zα

b. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 < µ2

Ho di terima jika Zo ≥ - Zα

Ho di tolak jika Zo < - Zα

c. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 ≠ µ2

Ho tidak ditolak jika -  Zα/2  ≤  Zo ≤ Zα/2  

Ho di tolak jika Zo > Zα/2 atau Zo < - Zα/2  

4. Uji Statistik

110

    a. Simpangan baku populasi ( σ ) di ketahui :

b. Simpangan baku populasi ( σ ) tidak di ketahui :

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho (sesuai dengan kriteria pengujiannya).

a) Jika H0 diterima maka H1 di tolak

b) Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh Soal :

Seseorang berpendapat bahwa rata-rata jam kerja buruh di daerah A dan B sama dengan

alternatif A lebih besar dari pada B. Untuk itu, di ambil sample di kedua daerah, masing-

masing 100 dan 70 dengan rata-rata dan simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu serta 35

dan 7 jam per minggu. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5% ! Untuk Varians/

simpangan baku kedua populasi sama besar !

Penyelesaian :

Diketahui :

n1 =  100                   X1  = 38                        s₁ = 9

n2 = 70                      X2  = 35                        s₂ = 7

Jawab:

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ₁ = µ₂

    H1 : µ₁ > µ₂

b. Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

 α       = 5% = 0,05

Z0,05  = 1,64 (pengujian sisi kanan)

111

c. Kriteria pengujian :

Ho di terima jika Zo ≤  1,64

Ho di tolak jika Zo > 1,64

d. Uji Statistik

e. Kesimpulan

Karena Zo = 2,44 >  Z0,05 =  1,64 maka Ho di tolak. Jadi, rata-rata jam kerja buruh di daerah

A dan daerah B adalah tidak sama.

b. Sampel kecil ( n ≤ 30 )

Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel kecil (n ≤ 30), uji

statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedur pengujian hipotesisnya adalah sebagai

berikut.

1. Formulasi hipotesis

a. Ho : µ₁ = µ2

H1 : µ₁ > µ2

b. Ho : µ₁ = µ2

112

H1 : µ₁ < µ2

c. Ho : µ₁ = µ2

H1 : µ₁ ≠ µ2

2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai t tabel (tα)

Mengambil nilai α sesuai soal, kemudian nilai tα atau tα/2ditentukan dari tabel.

3. Kriteria Pengujian

a. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 > µ2

Ho di terima jika to ≤ tα

Ho di tolak jika to > tα

b. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 < µ2

Ho di terima jika to ≥  tα

Ho di tolak jika Zo < - tα

c. Untuk Ho : µ1 = µ2 dan H1 : µ1 ≠ µ2

Ho di terima jika -  tα/2  ≤  to ≤ tα/2  

Ho di tolak jika to > tα/2 atau to < - tα/2  

4. Uji Statistik

Keterangan :

113

d  = rata-rata dari nilai d

sd = simpangan baku dari nilai d

n = banyaknya pasangan

db =  n-1

5. Kesimpulan

Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan Ho (sesuai dengan kriteria pengujiannya).

a) Jika H0 diterima maka H1 di tolak

b) Jika H0 di tolak maka H1 di terima

Contoh Soal :

1.      Sebuah perusahan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak 12 orang

dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir pelatihan di berikan

evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 75 dengan

simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternative keduanya

tidak sama! Gunakan taraf nyata 10%! Asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi

normal dengan varians yang sama!

Penyelesaian :

Diketahui :

n1 =  12            X1 = 80                        s₁ = 4

n2 = 10             X2 = 75                        s₂ = 4,5

Jawab:

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ₁ = µ₂

H1 : µ₁ ≠ µ₂

b. Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

 α        = 10% = 0,10

 = 0,05

db       = 12 + 10 – 2 = 20

t0,05;20 = 1,725

114

c. Kriteria pengujian :

o  Ho di terima apabila -1,725 ≤ t0  ≤  1,725

o  Ho di tolak apabila t0 > 1,725 atau t0 < -1,725

d. Uji Statistik

e. Kesimpulan

Karena t0 = 2,76 >  t0,05;20 =  1,725 maka Ho di tolak. Jadi, kedua metode yang digunakan

dalam pelatihan tidak sama hasilnya.

2. Untuk mengetahui apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa memiliki akibat baik

atau buruk terhadap prestasi akademik seseorang, diadakan penelitian mengenai mutu rata-

rata prestasi akademik. Berikut ini data selama periode 5 tahun.

T a h u n

1 2 3 4 5

A n g g o t a

B u k a n A n g g o t a

7 , 0

7 , 2

7 , 0

6 , 9

7 , 3

7 , 5

7 , 1

7 , 3

7 , 4

7 , 4

Ujilah pada taraf nyata 1% apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa berakibat buruk

pada prestasi akademiknya dengan asumsi bahwa populasinya normal !

Penyelesaian :

a. Formulasi hipotesisnya :

Ho : µ₁ = µ₂

115

H1 : µ₁ < µ₂

b. Taraf nyata dan nilai  tabelnya :

 α        = 1% = 0,01

  = 0,05

db       = 5 - 1 = 4

t0,01;4 = -3,747

c. Kriteria pengujian : 

o  Ho di terima apabila  t0  ≥ - 3,747

o  Ho di tolak apabila t0 < - 3,747

d. Uji Statistik :

A n g g o t a B u k a n A n g g o t a d d 2

7 , 0

7 , 0

7 , 3

7 , 1

7 , 4

7 , 2

6 , 9

7 , 5

7 , 3

7 , 4

- 0 , 2

0 , 1

- 0 , 2

- 0 , 2

0 , 0

0 , 0 4

0 , 0 1

0 , 0 4

0 , 0 4

0 , 0 0

J u m l a h - 0 , 5 0 , 1 3

e. Kesimpulan

Karena t0 = -1,6 >  t0,01;4 =  -3,747, maka Ho di terima. Jadi, keanggotaan organisasi bagi

mahasiswa tidak membeikan pengaruh buruk terhadap prestasi akademiknya.

KESIMPULAN

116

Untuk pengujian hipotesis dua rata-rata dengan sample besar (n > 30), uji statistiknya

menggunakan distribusi Z. Sedangkan pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sample kecil

(n<30), menggunakan pengujian dengan uji T. Prosedur pengujian hipotesisna sama yaitu

dengan urutan formulasi hipotesis, Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z table (Zα),

kriteria penguji, uji statistic dan menarik kesimpulan dari data tersebut.

117