BAB 1

PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

1. Bilangan Berpangkat

Contoh bilangan berpangkat:

Perpangkatan Bentuk Perkalian Hasil Perkalian

24 2 x 2 x 2 x 2 16

33 3 x 3 x 3 27

65 6 x 6 x 6 x 6 x 6 7776

74 7 x 7 x 7 x 7 2401

107 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 10.000.000

Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan

pokok dalam suatu perpangkatan disebut basis dan banyaknya bilangan pokok yang

digunakan dalam perkalian berulang disebut eksponen. Sehingga bentuk umum dari

perpangkatan adalah:

xn = x × x × x × … × x (n bilangan bulat positif)

x sebanyak n

Berikut ini diberikan suatu besaran yang dituliskan dalam perpangkatan. Untuk

masing-masing objek ditulis kembali dalam bentuk biasa (tidak dalam perpangkatan).

a. Kisaran luas total daratan Indonesia

adalah 1,8 x 1012 m2 =

1.800.000.000.000 m2

Gambar 1. Daratan Indonesis

b. Kisaran panjang tembok besar (great

wall) di Tiongkok adalah 2 x 107m =

20.000.000 m

Gambar 2. Tembok besar di Tiongkok

1

1.1. Menuliskan Perpangkatan

Menyatakan perkalian berikut dalam perpangkatan.

a. (-2) x (-2) x (-2)

Karena (-2) dikalikan berulang sebanyak tiga kali, maka (-2) x (-2) x (-2)

merupakan perpangkatan dengan basis (-2) dan pangkat 3.

Jadi (-2) x (-2) x (-2) = (-2)3

b. y x y x y x y x y x y

Karena y dikalikan berulang sebanyak enam kali maka y x y x y x y x y x y

merupakan perpangkatan dengan basis y dan pangkat 6.

Jadi y x y x y x y x y x y = y6

1.2. Menghitung Nilai Perpangkatan

a. Menyatakan perpangkatan (-0,3)2 dan (0,3)2 dalam bentuk bilangan biasa.

(-0,3)2 = (-0,3) x (-0,3) Ditulis kembali dalam bentuk perkalian berulang

= 0,09 Sederhanakan

(0,3)2 = (0,3) x (0,3) Ditulis kembali dalam bentuk perkalian berulang

= 0,09 Sederhanakan

b. Menyatakan perpangkatan (-2)3 dan (-2)4 dalam betuk bilangan biasa.

(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) Ditulis kembali dalam bentuk perkalian berulang

= -8 Sederhanakan

(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) Ditulis kembali dalam bentuk perkalian berulang

= 16 Sederhanakan

1.3. Operasi yang melibatkan perpangkatan

Menghitung nilai pada operasi perpangkatan berikut:a. 3 + 2 x 52 = 3 + 2 x 25 Menghitung hasil tiap-tiap perpangkatan

= 3 + 50 Dilakukan operasi perkalian= 53 Dilakukan operasi penjumlahan

b. 43 : 8 + 32 = 64 : 8 + 9 Menghitung hasil tiap-tiap perpangkatan= 8 + 9 Dilakukan operasi perkalian= 17 Dilakukan operasi pernjumlahan

2

2. Perkalian pada Perpangkatan

2.1. Mengalikan Dua Perpangkatan Dengan Basis yang Sama

Melengkapi tabel berikut.

Operasi Perkalian pada Perpangkatan

Operasi Perkalian Perpangkatan

63 x 62 6 x 6 x 6 x 6 x 6 65

4,22 x 4,23 4,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 4,25

74 x 74 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 78

( 13 )2 x ( 1

3 )5 ( 13 ) x ( 1

3 ) x ( 13 ) x ( 1

3 ) x ( 13 ) x ( 1

3 ) x ( 13 ) ( 1

3 )7

(−13 )2 x (−1

3 )4 (−13 )x (−1

3 ) x (−13 ) x (−1

3 ) x (−13 ) x (−1

3 ) ( 13 )6

Kesimpulan berdasarkan tabel di atas, cara untuk mendapatkan hasil operasi

perkalian pada perpangkatan dengan basis yang sama yaitu dengan menjumlahkan

pangkatnya. Secara matematis dituliskan dengan:

am x an = a m+n

2.2. Memangkatkan Suatu Perpangkatan

Melengkapi tabel berikut.

Perpangkatan Suatu

PerpangkatanBentuk Perkalian Berulang Perpangkatan

(74)3

(74) x (74) x (74) = (7 x 7 x 7 x 7) x (7 x 7 x 7 x 7) x (7 x 7 x 7 x 7)

= 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 712

(73)4

(73) x (73) x (73) x (73) = (7 x 7 x 7) x (7 x 7 x 7) x (7 x 7 x 7) x (7 x 7 x 7)

= 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 712

(t4)3

(t4) x (t4) x (t4) = (t x t x t x t) x (t x t x t x t) x (t x t x t x t)

= t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t t12

(t3)4

(t3) x (t3) x (t3) x (t3) = (t x t x t) x (t x t x t) x (t x t x t) x (t x t x t)

= t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x tt12

Secara umum bentuk (am)n dapat diubah menjadi:

3

(am)n = (an)m = a mxn

2.3. Memangkatkan Suatu Perkalian Bilangan

Melengkapi tabel berikut.

Perpangkatan Pada

Perkalian BilanganBentuk Perkalian Berulang Perpangkatan

(7 x 11)3(7 x 11) x (7 x 11) x (7 x 11)

= 7 x 11 x 7 x 11 x 7 x11= 7 x 7 x 7 x 11 x 11 x 11

73 x 113

(13 x 7)5(13 x 7) x (13 x 7) x (13 x 7) x (13 x 7)

= 13 x 7 x 13 x 7 x 13 x 7 x 13 x 7 x 13 x 7= 13 x 13 x 13 x 13 x 13 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7

135 x 75

(n x y)2(n x y) x (n x y)= n x y x n x y= n x n x y x y

n2 x y2

(6 x t)3(6 x t) x (6 x t) x (6 x t)

= 6 x t x 6 x t x 6 x t= 6 x 6 x 6 x t x t x t

63 x t3

(2 x 7)4(2 x 7) x (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x 7)

= 2 x 7 x 2 x 7 x 2 x 7 x 2 x 7= 2 x 2 x 2 x 2 x 7 x 7 x 7 x 7

24 x 74

Secara umum bentuk (a x b)m dapat diubah menjadi:

(a x b)m = am x bm

3. Pembagian pada Perpangkatan

3.1. Membagi Dua Bentuk Perpangkatan

Melengkapi tabel berikut.

Pembagian pada Perpangkatan

Bentuk Perkalian Berulang Perpangkatan

4,210

4,254,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 x4,2x4,2x4,2

4,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 x 4,2 4,25

(-7)7

(-7)5(-7) x (-7) x (-7) x (-7) x (-7) x (-7) x (-7)

(-7) x (-7) x (-7) x (-7) x (-7) (-7)2

27

212 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

2 26

(-2,5)4

(-2,5)2(-2,5) x (-2,5) x (-2,5) x (-2,5)

(-2,5) x (-2,5) (-2,5)2

109

10310 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

10 x 10 x 10 106

4

Secara umum bentuk am

an dapat diubah menjadi:

am

an = am-n

3.2. Menyederhanakan Operasi pada Perpangkatan

Menyederhanakan bantuk 43 x 48

45 dan ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat.

43 x 48

45 = 43+8

45 Jumlahkan pangkat dari pembilang

= 411

45 Sederhanakan

= 411-5 Kurangkan pangkat dari basis 4

= 46 Sederhanakan

3.3. Operasi Perkalian dan Pembagian pada Perpangkatan

Menyederhanakan bentuk b4

b2 xb6

b3 dan ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat.

b4

b2 xb6

b3 = b4-2 x b6-3 Mengurangkan pangkat

= b2 x b3 Sederhanakan

= b2+3 Menjumlahkan pangkat

= b5 Sederhanakan

3.4. Penerapan Pembagian Pada Perpangkatan dalam Kehidupan Nyata

Berdasarkan data BPS tahun 2010 (www.bps.go.id) jumlah penduduk pulau

Jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan. Sedangkan luas pulau Jawa

130 x 103 km2. Maka kepadatan penduduk pulau Jawa tahun 2010 adalah:

Luas area = 1,3 x 103 km2

Kepadatan penduduk = Jumlah Penduduk

Luas Area

5

= 1,3 x 108

1,3 x 105 Substitusikan populasi penduduk dan luas area

= 1,31,3

x108

105 Ditulis dalam bentuk pembagian terpisah

= 1 x 108-5 Mengurangkan pangkat

= 1 x 103 Sederhanakan

Jadi, kepadatan penduduk pulau Jawa tahun 2010 adalah 1.000 jiwa/km2.

4. Notasi Ilmiah (Bentuk Baku)

Sebuah bilangan dikatakan tertulis dalam bentuk notasi ilmiah (baku) ketika:

Faktor pengali berada di antara 1 ≤ t ≤ 10

Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat bilangan bulat.

4.1. Menulis Notasi Ilmiah dalam Bentuk Biasa

Menyatakan bentuk ilmiah berikut ini menjadi bentuk biasa.

a. 2,16 x 105 = 2,16 x 100.000 Dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dari basis 10

= 216.000 Lakukan operasi perkalian dengan

memindahkan tanda desimal 5 tempat ke kanan.

b. 0,16 x 10-3 = 0,16 x 0,001 Dapatkan hasil dari perpangkatan (-3) dari basis 10

= 0,00016 Lakukan perkalian dengan memindahkan tanda

desimal 3 tempat ke kiri.

5. Pangkat Bilangan Pecahan

Jika mempertimbangkan amn sebagai (am)1/n , selanjutnya a

mn = n√am ,

Jika mempertimbangkan amn sebagai (a

1n ) , selanjutnya a

mn = ( n√a )m

amn = n√am = ( n√a )m , dengan a>0, dan m, n, bilangan bulat positif.

Menghitung bentuk pangkat pecahan dari 912 .

6

Metode 1 912 = √9 Bentuk dalam bentuk akar

= 3 Hitung hasil akarnya

Metode 2 912 = (32 )

12 Bentuk dalam bentuk kuadrat

= 32 x 1

2 Kalikan pangkat

= 31 Hitung hasil pangkatnya

= 3

Latihan Soal1. Nyatakan perkalian berulang berikut dalam perpangkatan

a. (-9) x (-9) x (-9)

b. t x t x t x 2 x 2 x 2

2. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis 10.

a. 1000

b. 10.000.000

3. Tim peneliti dari dinas kesehatan suatu daerah di Indonesia Timur meneliti suatu wabah

yang sedang berkembang di desa X. Tim peneliti tersebut menemukan fakta bahwa wabah

yang berkembang disebabkan oleh virus yang tengah berkembang di Afrika. Dari hasil

penelitian didapatkan bahwa virus tersebut dapat berkembang dengan cara membelah diri

menjadi 2 virus setiap setengah jam dan menyerang sistem kekebalan tubuh. Berapa

banyak virus dalam tubuh manusia setelah 10 jam?

4. Nyatakan hasil kali perpangkatan berikut dalam satu bentuk pangkat. Gunakan cara yang

lebih mudah.

83 x 76

5. Sederhanakan perpangkatan berikut ini.

a. 54 x 53 b. (-6)6 x (-6)3

6. Pada sebuah pasar tradisional perputaran uang yang terjadi setiap menitnya adalah Rp.

90.000.000,00. Pada hari Senin-Jumat proses perdagangan terjadi rata-rata 12 jam setiap

7

hari. Sedangkan untuk Sabtu-Minggu proses jual-beli terjadi rata-rata 18 jam tiap hari.

Berapa jumlah perputaran uang di pasar tradisional tersebut selama 1 minggu (Nyatakan

jawaban dalam bentuk perpangkatan.

7. Sederhanakan pembagian pada perpangkatan berikut ini. Tuliskan jawabanmu dalam

bentuk bilangan berpangkat.

a. (−6)5

(−6)2 b. 0,37

0,32

8. Sederhanakan operasi berikut ini. Tuliskan jawabanmu dalam pangkat.

a. 37 x 32

33 b. 3 w4

w2 x 5w3

9. Dapatkan nilai n dari bilangan berpangkat di bawah ini:

a. s2

s4 xs9

s3 = sn b. 36

32 = n x 9

10. Tuliskan dalam bentuk baku.

a. 0,00000045 b. 0,000123

11. Masa bumi adalah 5.972.190.000.000.000.000.000 kg. Tuliskan dalam bentuk baku.

12. Dinda membeli Flashdisk baru seharga Rp. 85.000,00, dengan kapasitas 8 GB. Berapa

Byte kapasitas flashdisk Dinda yang bisa digunakan, jika dalam suatu flashdisk kapasitas

yang dapat digunakan adalah 95% dari kapasitas totalnya.

13. Nyatakan perpangkatan di bawah ini dalam bentuk lain.

a. ( 15 )

12 b. 3

45

14. Sederhanakan bentuk operasi perpangkatan berikut ini. tuliskan jawabanmu dalam bentuk

pangkat.

a. √a3 √bc x3√abc b.

3√xyz3√x2 √ yz3

15.Setiap kali perayaan HUT RI, SMPN 1 Taman mengadakan lomba “kelas berhias”.

Seluruh siswa diwajibkan menghias kelas mereka semenarik mungkin dengan tema

kemerdekaan. Kelas 9A berencana menghias langit-langit kelas dengan deretan bendera

8

merah putih pada benang wool. Sesuai kesepakatan, benang bendera tersebut akan

dihiaskan memutari langit-langit kelas dan menyilang pada diagonalnya. Berapa anjang

bendera yang dibutuhkan kelas 9A jika kelasnya berukuran 6m x 8m ?

9