Makalah AljabarPolinomial (Suku Banyak)

Disusun Oleh :Kelompok 21. Qonitha Amalia (06081281419030)2. Desty Rupalestari ( 0608128419031)3. Sholihatun Nisa (06081281419033)

Program Studi Pendidikan MatematikaFakultas Keguruan dan Ilmu pendidikanUniversitas Sriwijaya

Polinomial ( Suku Banyak )1. Pengertian dan Nilai Suku BanyakA. Pengertian Suku BanyakSuku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan: + + + .... + Dengan syarat n bilangan cacah disebut koefesien-koefesien suku banyak, disebut suku tetap dan 0.Contoh :1) 6 3+ 4x 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien adalah 6, koefisien adalah 3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya 8.2) 2 5x + 4 adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatif yaitu atau 7dengan pangkat 1 bukan anggota bilangan cacah.

B. Nilai Suku BanyakSuku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.

di mana n bilangan cacah dan 0. Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.

1) Cara substitusiMisalkan suku banyak . Jika nilai x diganti k, makanilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah . Agar lebihmemahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soalHitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.1. untuk x = 32. untuk x = 4

Penyelesaian :1.

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.

2.

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 4 adalah 45.

2) Cara Horner/bangun/skema/sintetikMisalkan suku banyak . Jika akan ditentukan nilai suku banyak , maka:

Sehingga Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut:

bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1. Tulis koefisiennya saja harus runtut dari koefisien xn, xn 1, hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)Contoh: untuk 4 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk , , x, dan konstanta)2. Jika koefisien derajat tertinggi P(x) 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x) Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1 dan seterusnya.Contoh soalHitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.1. untuk 2. untuk x = Penyelesaian :

Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.

2.

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = adalah 16.

3) Cara koefisien tak tentuF(x) = P(x).H(x) + S(x)contoh soal dibagi 2-x-1 menggunakan cara koefesien tak tentu karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, makaH(x) berderajat 3 2 = 1S(x) berderajat 2 1 = 1Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + dMaka: + x + 5 = ( x 1).(ax + b) + (cx + d)Ruas kanan:= 2 + 2 a bx ax b + cx + d= 2 + (2b a) + (b a + c)x + (b + d)Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan: 2 = 2a a = 2/2 = 1 3 = 2b a 2b = 3 + a = 3 + 1 = 2 b = 2/2 = 1x 1 = b a + c c = 1 + b + a = 1 1 + 1 c = 1Konstanta 5 = b + d d = 5 + b = 5 1 d = 4Jadi:H(x) = ax + b = 1.x 1 = x 1S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

C. Operasi Antar Suku Banyak1. Penjumlahan, Pengurangan, dan Pembagian Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis dari kedua suku banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak itu.Dalam mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.

Contoh:Diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan dan a) Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya b) Tentukan f(x) - g(x) serta derajatnyac) Tentukan f(x). g(x) serta derajatnyaPenyelesaian:a) = = Jadi, dan berderajat 3

b) = = Jadi, dan berderajat 2 c) = = = = Jadi, dan f(x).g(x) berderajat 6 2. Kesamaan suku banyakSuku banyak f(x) memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x) , jika kedua suku banyak itu mempunyai nilai yan sama untuk semua variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku banyak f(x) dan g(x) itu ditulis sebagai

Dengan lambang Misalkan diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) yan dinyatakan dalam bentuk umum.f(x) = + + + .... + g(x) = + + + .... + Jika f(x) mempunyai kesamaan dengan g(x), ditulis f(x) g(x), maka berlaku hubungan, , , dan

Contoh Tentukan nilai a pada kesamaan Penyelesaian: Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan

Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh :

Jadi, nilai a pada kesamaan 3. Pembagian suku banyak A. Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagianSebagai ilustrasi, misalkan bilangan 4369 dibagi dengan 14 dapa diselesaikan dengan metode bersusun pendek seperti diperlihatkan pada bagan dibawah. Dari bagan ini terlihat bahwa 4369 dibagi dengan 14 memberikan hasil 312 denan sisa pembagian 1.

yang dibagi Pembagi hasil bagi sisa pembagianDengan demikian dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.

Ternyata pembagian bilangan bersusun pendek dapa diaplikasikan pada pembagian suku banyak. Sebagai ilustrasi, misalnya suku banyak dibagi dengan akan diselesaikan dengan metode bersusun pendek.

hasil bagi yang dibagi

pembagi

Contoh : sisa pembagianDengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak oleh

Penyelesaian Hasil bagi

Yang dibagi

Pembagi

Sisa pembagian Dari bagan diatas,diperoleh hasil baginya

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear Pembagian suku banyak dengan pembagi yang telah kamu pelajari, dapatdijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi .Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini.Suku banyak dibagi menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k)sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga . Pembagiansuku banyak f(x) dibagi (ax + b), dapat diubah menjadi bentuk dibagi Berarti, nilai , sehingga pada pembagian suku banyak tersebutdapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.

Suku banyak dibagi menghasilkan sebagai hasil bagi dan sebagai sisa pembagian, sehingga . Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh soal berikut ini. Contoh Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.

Penyelesaian1. dibagi dengan cara horner sebagai berikut.

2. dibagi dengan cara horner sebagai berikut.

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (a+ bx + c)Pembagian suku banyak dengan , di mana dapat dilakukan dengan cara biasa apabila tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika a+ bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Misalkan, suatu suku banyak dibagi a dengan dan dapat difaktorkan menjadi Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

Contoh soal :1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika dibagi oleh Karena dapat difaktorkan , maka ada 2 cara penyelesaiannya : 1. cara susun biasa 2. cara horner

= cara susun Jadi hasil dari pembagian oleh ialah dan sisanya 2. Pembagian ( + 4x 4) oleh ( 1) dapat dituliskan sebagai berikut: P(x) = (x 1 ) H(x) + sisa = (x + 1) (x 1) H(x) + (A1x + A0)untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(1) ) = A1 + A0untuk x = 1 diperoleh, P(1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(1)) = A1 + A0Dari pembagian Horner ini diperoleh :

Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1x, yaitu 5 + 5x.3. Tentukan cara Horner dibagi 2-x-1P(x) = x 1 = (2x + 1)(x 1)P1: 2x + 1 = 0 x = P2: x 1 = 0 x = 1Cara Hornernya:

H(x) = 1.x 1 = x 1S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + + 7/2 = x + 4

Teorema Faktor Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x k) adalah 0)Catatan: jika (x k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)Tips: Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa = 0Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1Contoh:1. Tentukan penyelesaian dari x + 2 = 0 Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah 1 dan 2Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 2 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x + 2 = (x 1)( x 2)= (x 1)(x 2)(x + 1)x = 1 x = 2 x = 1Jadi himpunan penyelesaiannya: {1, 1, 2}

Menguraikan Dalam FaktorIa. ab + ac ad = a (b+c-d) Ib. ac+ ad+bc+bd = a (c+d) + b(c+d) = (a+b) (c+d) II. = (A+B) (A-B) III. = IVa. + 3 = IVb. - 3 = Va. - = (A-B) () Vb. + = (A+B) () VIa. = (A-B) ( ) VIb. VIc. )VII.

Sifat Akar-Akar Suku Banyak1. Pada persamaan berderajat 3 :+ + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3dengan sifat-sifat:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = 2. Pada persamaan berderajat 4: + + + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4dengan sifat-sifat:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya(amati pola: b/a, c/a, d/a , e/a, )

Pembagian Istimewa :

Latihan Soal :1. Hitunglah!a. ; b. .2. Buktikanlah bahwa 3. 4. Tetapkan harga k dan l agar, dapat dibagi oleh 5. Tentukan harga A dan B, agar berlaku :A(2x-3)+ B(x+2)= 5x-116. Buktikan bahwa dapat dibagi dengan , tanpa melakukan pembagian tersebut.7. Hitunglah sisa pembagian oleh Djabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini :8. 9. Tetapkanlah hasil bagi-hasil bagi yang berikut :10.

Kunci Jawaban :1. A. 0B.

=1

1) (-1) = 13. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

DAFTAR PUSTAKA

Usodo,budi dan Sutrima.2009.Wahana MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengan Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam.Jakarta: CV.HaKa MJ.

Widjenes,P.1968.Aljadbar Rendah. Djakarta: PradnjaPramita

Wirodikromo,sartono.2007.Matematika untuk Sma Kelas XI.Jakarta: Erlangga..