MAKALAH

METODE TRANSFORMASI

METODE FOURIER

Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas

Metode Transformasi

Dosen : Dananjaya Ariateja

Jurusan Teknik Elektro

Universitas Teknologi Yogyakarta

2016

1

Disusun oleh :

Ruly Apriyanto (5150711032)

Andre Satyo Bagus (5150711010)

Wulan Anggraini (5150711018)

Ahmad Miqdad Ma’ali (5150711015)

Damarjati Widiyasa (5150711040)

Suban (5150711024)

Very wela (5150711004)

Lugman Aji Saputra (5150711030)

Tujuan

1. Mahasiswa dapat memahami cara mencari koefisien deret fourier

fungsi trigonometri

2. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret fourier fungsi

trigonometri

3. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret Fourier fungsi

Genap dan Fungsi ganjil.

2

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul ”Metode Fourier”.

Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: Kedua orang tua dan segenap keluarga besar penulis (Pak barlan taufik) yang telah memberikan dukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar. Dari sanalah kami bisa menjabarkan rumus Metode Fourier.

Meskipun penulis berharap isi dari makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar makalah ini dapat lebih baik lagi.Akhir kata penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca.

Yogyakarta, Oktober 2016

Penyusun

3

DAFTAR ISI

1. Metode Deret Fourier Trigonometri 1.1 Penjelasan ........................................................................1.2 Rumus .............................................................................. 1.3 Contoh Soal ......................................................................

2. Fungsi Ganjil dan Genap1.1 Penjelasan dan Rumus fungsi Ganjil .................................1.2 Contoh Soal fungsi Ganjil ................................................1.3 Penjelasan dan Rumus fungsi Genap ..............................1.4 Contoh Soal fungsi Genap ................................................

4

Metode Deret Fourier Trigonometri

1.1 Penjelasan

Tinjau suatu fungsi eriodik f(t),yaitu f(t+T), di mana T adalah periode. diasumsikan bahwa f(t) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

1. f(t) berharga tunggal di manapun, jadi f(t) memenuhi definisi matematika dari sebuah fungsi.

2. Integral ∫t0

t0 +T

|f ( t )|dt ada (yaitu tidak terhingga )untuk setiap harga t 0 yang di pilih

3. F(t) mempunyai sejumlah berhingga diskontinuitaskan dalam setiap satu periode

4. F(t) mempunyai sejumlah berhingga maksima dan minima dalam setiap satu periode

Jika di berikan fungsi periodik f(t),teorema Fourier menyatakan bahwa f(t) dapat disrepresentasikan oleh deret tak terhingga dengan :

F(t) = a0

2 + a1cos ω0t +a2 cos ω0t+.......................

+b1sin ω0t +b2 sin 2 ω0 t+.......................

5

Bila diringkas, bentuk fungsi deret Fourier adalah:

Dimana syarat Dirichlet adalah :

1. Periodik, dan mempunyai perioda 2 π atau T2. Bernilai tunggal3. Dalam periode mempuntai maksimal dan minimal tertentu4. Jika fungsi itu tidak continue ,maka dalam 1 peride harus

mempunyai discontinuitas yang tertentu jumlahnya 5. Dalam 1 periode mempunyai harga rata-rata tak terhingga

1.2 Rumus

Perhatikan persamaan deret Fourier berikut:

f (t )=12

a0+∑n=1

∞

(ancos (nωt )+bn sin (nωt ) )

Untuk mencari nilai fungsi pada persamaan tersebut, masih terdapat

koefisien yang belum kita ketahui nilainya yaitu : a0 , an, dan bn.

Untuk menemukan nilai koefisien tersebut dapat dilakukan dengan

langkah-langkah seperti yang akan dijelaskan :

6

a. Mencari a0.

Untuk mendapatkan rumus mencari besar a0, maka langkah-

langkahnya adalah :

a. Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

f ( t )=12

a0+a1 cosωt+a2cos2ωt+a2cos3ωt+…+b1 sin ωt+b2 sin2 ωt+b3sin 3 ωt

b. Kemudian integralkan masing-masing ruas dengan batas 0

sampai T.II.

∫0

T

f ( t ) dt=∫0

T 12

a0dt +∫0

T

a1 cosωt dt+∫0

T

a2 cos2 ωt dt +∫0

T

a3 cos3 ωt dt+…+∫0

T

b1 sin ωt dt+∫0

T

b2sin 2 ωt dt+∫0

T

b3sin 3 ωt dt+…

Sehingga menjadi :

Pada resume sebelumnya telah di uraikan acuan penyelesaian

dari integral fungsi sinusoida sehingga mempermudah kita

dalam penyederhanaan persamman.

Nilai dari fungsi sinusoida :

f ( t )=∫0

t

sin (n¿¿ωt )dt=0¿¿

7

f (t )=∫0

t

cos (n¿¿ωt)dt=0¿¿

Dengan ω0 disebut Frekuensi sudut datar yang dinyatakan dengan ω0=

2πT

.deret pada persammandi atasdisebut deret fourier dalam bentuk

trigonometri untuk f(t),koefesien-koefesien a0,an dan bn disebut koefesien Fourier yang besarnya bergantung pada f(t).

Koefesien a0, andan bn dapat ditentukandengan persamaan berikut :

8

A. Untuk a0

Untuk mendapatkan nilai a0dilakukan cara :

∫0

T

f ( t ) dt=12

a0+a1 x0+a2 x0+a3 x0+…+b1 x0+b2 x0+b3 x0+…

∫0

T

f ( t ) dt=12

a0T

a. Maka dengan demikian, a0 dapat ditentukan :

a0 = 2T ∫

0

t

f (t )dt ……………………………

b. Untuk an

Untuk menemukan rumus mencari besar an, maka langkah-

langkahnya adalah :

a.Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

f ( t )=12

a0+a1 cosωt+a2cos2ωt+a2cos3ωt+…+b1 sin ωt+b2 sin2 ωt+b3sin 3 ωt

b. Kalikan dengan cos nωt kemudian integralkan kedua ruas dengan

batas 0 sampai T.

∫0

T

f ( t ) cosnωt dt=∫0

T 12

a0 cosnωt dt +∫0

T

a1 cosωt . cosnωt dt+∫0

T

a2cos2ωt . cosnωt dt+∫0

T

a3cos3 ωt . cosnωt dt+…+∫0

T

b1 sin ωt .cos nωt dt +∫0

T

b2 sin 2ωt .cosnωt dt+∫0

T

b3 sin3 ωt . cosnωt dt+…

Ingat nilai dari fungsi sinuisoda

9

f (t)= ∫0

t

cos (nωt )dt=0

f (t)= ∫0

t

cos2(nωt )dt=¿ πω

¿

f (t)= ∫0

t

sin (nωt )cos (nωt )dt=¿0 ¿

Sehingga,

∫0

T

f (t ) cosnωt dt=12

a0+a1 x0+a2 x0+…+an∫0

T

cos2 (nωt )dt +b1 x0+b2 x0+…+bn x0

∫0

T

f (t ) cosnωt dt=¿an∫0

T

cos2 (nωt ) dt ¿

∫0

T

f ( t ) cosnωt dt=¿an(πω

)¿

a. Dengan demikian, an dapat ditemukan dengan rumus :

an = 2T ∫

0

t

f (t ) cosnω0 t dt ……… ……………………

c. Untuk bn

10

Untuk menemukan rumus mencari besar an, maka langkah-

langkahnya adalah :

a.Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

f ( t )=12

a0+a1 cosωt+a2cos2ωt+a2cos3ωt+…+b1 sin ωt+b2 sin2 ωt+b3sin 3 ωt

b.Kalikan dengan sin nωt kemudian integralkan kedua ruas dengan

batas 0 sampai T.

∫0

T

f ( t ) sin nωt dt=∫0

T 12

a0 sin nωt dt+∫0

T

a1cosωt . sin nωt dt+∫0

T

a2cos2 ωt . sin nωt dt +∫0

T

a3 cos3 ωt .sin nωt dt +…+∫0

T

b1sin ωt . sin nωt dt +∫0

T

b2 sin 2ωt . sin nωt dt+∫0

T

b3sin 3 ωt .sin nωt dt +…

Ingat nilai dari fungsi sinuisoda

f (t)= ∫0

t

cos (nωt )dt=0

f (t)= ∫0

t

cos2(nωt )dt=¿ πω

¿

f (t)= ∫0

t

sin (nωt )cos (nωt )dt=¿0 ¿

Sehingga ,

∫0

T

f (t ) sin nωt dt=12

a0+a1 x0+a2 x0+…+an x0+b1 x0+b2 x0+…+bn∫0

T

sin2 (nωt ) dt

∫0

T

f (t ) sin nωt dt=¿bn∫0

T

sin2 (nωt )dt ¿

11

∫0

T

f ( t ) sin nωt dt=¿bn(πω

)¿

C.Dengan demikian, bn dapat ditemukan dengan rumus :

bn = 2T ∫

0

t

f ( t ) sin nω0 t dt ……………………………

Dengan n

12

1.3 Contoh Soal

Tentukan deret Fourier trigonometri seperti ditunjukan pada gambar di bawah ini

Penyelesaian

Persammaan pada gambar di atas adalah :

F(t)= v- Vt2π❑,0<t <2π ………………….

Periode T= 2π dan ω0=2 πT

=1 , sehingga koefisien untuk deret Fourier

pada persamaan di atas adalah :

13

Selanjutnya,menentukan koefisien an adalah sebagai berikut :

14

Dari persamman di atas di mana (sin n2π) untuk harga

N =1,2,3,4,............,adalah nol,sehingga menjadi :

an =-v

2 π2 [ 1n2 cosn2 π− 1

n2 ¿………………….

Untuk n=1,maka :

a1 =-v

2π2 [cos2 π−1¿=0

Untuk n=2,maka :

a2 =-v

2 π2 [ 14

cos 4 π−14

¿=0

Untuk n=3,maka :

a3 =-2

2 π2 [ 19

cos 6 π−19¿=0

Untuk n=4,maka:

15

a4 =-v

2 π2 [ 116

cos 8 π− 116

¿=0

Jadi untuk harga n =1,2,3,4,......., maka koefesien an=0.selanjutnya untuk menentukan koefesien bn sebagai berikut :

Dari persamaan di atas ,di mana (sin n2π) untuk harga n=1,2,3,4...., adalah nol, sehingga menjadi:

16

bn= Vnπ

..........................

Untuk n = 1, maka:

b1=Vπ

..........................

Untuk n = 2,maka:

b2= V2 π

..........................

Untuk n = 3, maka:

b3= V3 π

..........................

Untuk n = 4, maka:

b4= V4 π

..........................

Dari harga koefisien – koefisien di atas ,maka deret fourier berdasarkan persamaan di atas adalah

F(t)=V2 +V

π { sin ω0t + 12

sin 2ω0 t+¿ 13

sin 3ω0t +¿ 14

sin 4 ω0 t+¿¿¿¿ .....}

17

Pemahasan soal berikutnya :

Tentukan deret Fourier trigonometri seperti ditunjukan pada gambar di bawah ini .

Penyelesaian

Persamaan pada gambar di atas adalah :

f(t)=10,0<t< π12

……………………….

Di mana periode T = 2π dan ω0 =2π /T= 1 ,sehingga koefisien-koefisien untuk deret Fourier pada persamaan di atas adalah :

a0 = 2T ∫

0

t

¿ f ( t ) dt

18

= 10π ∫

0

π12

¿dt= 10π [t] = 10

π¿ – 0] =10

12

Selanjutnya,untuk menetukan koefesien an adalah sebagai berikut :

an = 2T ∫

0

t

¿ f ( t ) cosn ω0t dt

=10π ∫

0

π12

¿cosnω0t dt= 10π

¿ sin n t ]π

12❑0

= 10nπ [sin nπ

12 – sin 0]

= 10nπ (sin nπ

12 )

Selanjutnya untuk menentukan koefesien bn adalah sebagai berikut :

bn = 2T ∫

0

t

¿ f ( t ) cosn ω0t dt

=10π ∫

0

π12

¿ sin nt dt= 10π

¿ cos n t ]π

12❑0

= 10nπ [- cos nπ

12 – cos 0]

= 10nπ (1- cos nπ

12 )

Dari harga koefesien koefesien di atas , maka deret feourier berdasarkan persamaan adalah :

19

2.FUNGSI GANJIL dan FUNGSI GENAP

1.1 FUNGSI GANJIL Fungsi F(x) dikatakan ganjil (kew synnetric) bila :

f(-x) = -f(x)

Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi Ao dan An = 0.

bn= 1π ∫

−π

π

f (x)sin nx dx=2π∫0

π

f ( x )sin nx dx

1.2 Contoh Soal.

Perderetkan f(x)=x , 0<x<2

Dalam sinus ½ jangkauan , atau biasa disebut perderetan dalam deret sinus.

Penyelesaian ( hanya mencari bn )

bn=2L∫0

L

f ( x )sin nπxL

dx

¿ 22∫0

2

xsin nπx2

dx

¿∫0

2

xsin nπx2

dx

Untuk menyelesaikan integral dari funsi diatas maka diperlukan rumus yang berbeda dari sebelumnya.

Yakni ∫ x sin nπx2

=u . dv−∫ v . du

Sehingga diperoleh dua variabel yaitu, x=x dan dv= sin nπx2 . Dalam hal ini penyelesaiannya sebagai

berikut.

1. Mencari persamaan du.

u= x, sehingga du=dx.

2. Mencari persamaan dv.

20

: dv=sin nπx2

:∫ dv=¿∫ sin nπ2

. x¿ => x pada rumus disini adalah sebagai variabel. Sedangkan nx sbg

angka

:v= 2nπ

.−cos nπx2 sehingga telah diperoleh nilai v.

Kemudian masukkan hasil du dan dv kedalam rumus.

∫ x sin nπx2

=u .dv−∫ v .du

¿( x −2nπ

. cos nπx2 )−(∫−2

nπ. cos nπx

2.1)

¿(−2 xnπ

. cos nπx2 )−( −4

n2 π2 . sin nπx2 )

=(−2 xnπ

.cos nπx2 )+( 4

n2 π2 . sin nπx2 )|20

=

[(−2(2)nπ

. cos nπ (2)2 )−(−2(0)

nπ. cos nπ (0)

2 )]+[( 4n2 π 2 . sin nπ (2)

2 )−( 4n2 π 2 .sin nπ (0)

2 )]=[(−2(2)

nπ.cos nπ (2)

2 )−( 0 )]+[( 4n2 π2 . sin nπ (2)

2 )−(0 )]=−4nπ

.cos nπ2

+sin nπ2

¿∑n=1

∞ −4nπ

.cosnπ . sin nπx2

Atau,

¿sin πx2

−12

sin 2 πx2

+ 13

sin 3 πx2

−14

4 πx2

+…

1.3 FUNGSI GENAP Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila :

f(-x) = f(x) Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0

1.4 Contoh Soal:

Perderetkan f(x)=x2 , -π < x < π

21

Dalam sinus ½ jangkauan , atau biasa disebut perderetan dalam deret sinus.

(periode 2π dan L=π)

Penyelesaian:

22

DAFTAR PUSTAKA

Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta: Erlangga.

Cekmas C, Barlian taufik 2002. Rangkaian listrik.Yogyakarta: Andi

23