MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com

MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

20 November 2019

Sasaran Kuliah Hari Ini

6.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial

- Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.

6.6 Fungsi Trigonometri Invers

- Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).

11/20/2019 2(c) Hendra Gunawan

6.5 PERTUMBUHAN DAN PELURUHANEKSPONENSIAL

MA1101 MATEMATIKA 1A

11/20/2019

- Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.

3(c) Hendra Gunawan

Pertumbuhan Eksponensial

Misalkan pertambahan suatu populasi sebesar∆y dalam waktu ∆t, sebanding dengan banyak-nya penduduk pada waktu itu dan dengan lebarselang waktu ∆t, yakni

∆y = k y ∆t.

Dalam hal ini

11/20/2019

Δ 0

Δlim

Δ

.

t

dy yky

dt t

dyk dt

y

4(c) Hendra Gunawan

Integralkan kedua ruas, kita peroleh

Misalkan diketahui jumlah populasi awal y(0) = y0. Maka y0 = Ae0 = A, sehingga

y = y0 ekt.

Nilai k dapat ditentukan apabila kita mempunyaiinformasi tambahan, misalnya y(10) = 2y0 (waktumelipat ganda = 10 satuan waktu).11/20/2019

ktCkt Aeey

Ckty

ln

5(c) Hendra Gunawan

Contoh

Misalkan suatu koloni bakteri berkembang biakdengan laju sebanding dengan banyaknya bak-teri pada saat itu. Bila pada awal pengamatanterdapat 10.000 bakteri dan setelah 10 hariterdapat 24.000 bakteri, berapa banyaknyabakteri setelah 25 hari?

Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyabakteri pada saat t. Maka (seperti tadi)

11/20/2019

ktAeykydt

dy

6(c) Hendra Gunawan

Pada saat t = 0, diketahui y = 10.000. Jadi

10.000 = A.e0 = A,

sehingga y = 10.000ekt.

Pada saat t = 10, diketahui y = 24.000. Jadi

24.000 = 10.000e10k,

sehingga

Pada saat t =25,

11/20/2019

.4,2ln

4,2ln10

4,2

101

10

k

k

e k

7(c) Hendra Gunawan

.)4,2(000.10000.10 5,24,2ln)5,2( ey

Peluruhan Eksponensial

Mirip dengan pertumbuhan eksponensial yang terjadi pada suatu populasi, peluruhaneksponensial terjadi pada zat radioaktif.

Zat radioaktif meluruh dengan laju sebandingdengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu.

Jika y = y(t) menyatakan banyaknya zat yang tersisa pada saat t, maka


)0(; kAeykydt

dy kt

Latihan

Misalkan suatu zat radioaktif meluruh denganlaju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Diketahui pada awal peng-amatan terdapat 20 gram dan setelah 1 tahuntersisa 15 gram. Tentukan waktu paruh zat tsb.

Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyazat pada saat t. Maka …


Hukum Pendinginan Newton

Suatu objek dgn suhu awal T0 dimasukkan kedalam ruangan dgn suhu ruang T1 (konstan).

Jika T0 > T1, maka suhu benda akan turun dgn lajusebanding dgn selisih suhunya dgn suhu ruang.

Jika diketahui setelah 10 menit, suhu bendaturun menjadi (T0+T1)/2, berapa suhu benda tsbsetelah t menit?

11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 10

Hukum Pendinginan Newton

Jawab: Misal T = T(t) menyatakan suhu bendatsb setelah t menit. Maka

dT/dt = k(T – T1) atau dT/(T – T1) = k dt.

Integralkan kedua ruas, kita peroleh

ln(T – T1) = kt + C,

sehingga T = T1 + Aekt.

Nilai A dan k dapat dicari dari informasi suhuawal dan suhu pd saat t = 10.


6.6 FUNGSI TRIGONOMETRI INVERSMA1101 MATEMATIKA 1A

11/20/2019

- Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).

12(c) Hendra Gunawan

Fungsi Trigonometri Invers

Fungsi y = sin x naik pada [-π/2, π/2], karena itumempunyai invers x = sin-1 y pada [-1, 1].

x = sin-1 y j.h.j. y = sin x, -π/2 ≤ x ≤ π/2.

Fungsi y = cos x turun pada [0, π], karena itumempunyai invers x = cos-1 y pada [-1, 1].

x = cos-1 y j.h.j. y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.


Fungsi Trigonometri Invers

Fungsi y = tan x naik pada (-π/2, π/2), karena itumempunyai invers x = tan-1 y pada (-∞, ∞).

x = tan-1 y j.h.j. y = tan x, -π/2 < x < π/2.

Fungsi y = sec x 1-1 pada [0, π] – π/2, karena itumempunyai invers x = sec-1 y pada {y : |y| > 1}.

x = sec-1 y j.h.j. y = sec x, 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.


Grafik Fungsi Trigonometri Invers


1

-1

1-1 x

y

y = sin x

y = sin-1 x

Contoh

11/20/2019

.)1(sec

4)1(tan

3)(cos

4)2(sin

1

1

211

211


Beberapa Kesamaan

11/20/2019

)1:;1:(

1)tan(sec

1)sec(tan

1)cos(sin

1)sin(cos

21

21

21

21

xjikaxjika

xx

xx

xx

xx


Contoh

11/20/2019

.9

54

3

2.)(12

)cos(cos)sin(cos2)cos2sin(.1

2

32

321

321

321


.1)cos(sin

)sin(sin)tan(sin.2

21

11

x

x

x

xx

Turunan Fungsi Trigonometri Invers


1||,1||

1sec

,1

1tan

11,1

1cos

11,1

1sin

2

1

2

1

2

1

2

1

xxx

xdx

d

xx

xdx

d

xx

xdx

d

xx

xdx

d

Bukti bahwa

Misal y = sin-1 x. Maka x = sin y. Turunkan keduaruas secara implisit terhadap x, diperoleh

1 = cos y.(dy/dx).

Jadi


2

1

1

1sin

xx

dx

d

.1

1

cos

1

2xydx

dy

Integral yang Menghasilkan FungsiTrigonometri Invers


Cxdxxx

Cxdxx

DxCxdxx

||sec1

1

tan1

1

cossin1

1

1

2

1

2

11

2

Contoh

Hitung

Jawab:

11/20/2019

.1

11

1

2

dx

x


.2

)4

(4

)1(tan)1(tantan1

1 111

1

1

1

1

2

xdxx

Latihan

Seseorang yg tingginya ~1,60 mberdiri di tepi atas tebing, melihatke laut yang berada ~18,40 m dibawahnya. Pada saat itu terdapatperahu yang menjauhi tebingdengan laju 5 m/det. Bila θmenyatakan besar sudut pandang-nya (terhadap garis horisontal), berapakah besarnya laju perubahanθ terhadap waktu, pada saatperahu tsb berjarak 50 m daritebing?11/20/2019 23(c) Hendra Gunawan

θ

Sepeda Beroda Persegi


DapatkahAnda

menentukanpersamaan

lintasannya?

MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com

Documents

Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com