MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/201420 November 2013

Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 5Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 5

1. Luas Daerah

2. Volume Benda Putar: Metode Cakram/Cincin

3 Volume Benda dengan Penampang Tertentu3. Volume Benda dengan Penampang Tertentu: Metode Irisan Sejajar

4. Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

5. Kerja dan Gaya Fluida

6. Momen dan Pusat Massa

11/20/2013

BAB 6. FUNGSI TRANSENDENMA1101 MATEMATIKA 1A

BAB 6. FUNGSI TRANSENDEN

11/20/2013

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

6 1 Fungsi Logaritma Natural6.1 Fungsi Logaritma Natural

‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmanatural dan variannyanatural dan variannya.

‐Menentukan integral tak tentu dari 1/u danivariannya.

‐Menurunkan fungsi secara logaritmik.

6.2 Fungsi Invers dan Turunannya

Menentukan invers dari suatu fungsi danMenentukan invers dari suatu fungsi danturunannya.

11/20/2013

6.1 FUNGSI LOGARITMA NATURALMA1101 MATEMATIKA 1A

‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmanatural dan variannya.‐Menentukan integral tak tentu dari 1/u danvariannya.

11/20/2013

‐Menurunkan fungsi secara logaritmik.

The Missing LinkThe Missing Link2

3

3

xx

dxd

12

3

xxd

dx

0

2

d

xdx

1

0

d

xxdx

21

1(?)

d

xdxd

11/20/2013

21)( xxdxd

Fungsi Logaritma Natural (ln)Fungsi Logaritma Natural (ln)

Definisi: x

xdtx 1 0:ln yDefinisi:

C il i l k l

t xdtx1

.0,:lny=1/t

Cttn. Nilai ln x menyatakan luasdaerah di bawah kurva y = 1/t, 1 K i

1 x t

1 ≤ t ≤ x. Karena itu,

ln x < 0 jika 0 < x < 1y

= 0 jika x = 1

> 0 jika x > 1

y=1/t

> 0 jika x > 1.

11/20/2013

1x t

Turunan dari ln xTurunan dari ln x

Menurut Teorema Dasar KalkulusMenurut Teorema Dasar Kalkulus,

01l d .0,ln x

xx

dx

11/20/2013

ContohContoh

1 Tentukan )ln( 2xd1. Tentukan

b22)(1)l (

).ln(

22 xdd

xdx

Jawab: .)()ln( 22

22

xxx

dxxx

dx

d2. Tentukan .||ln x

dxd

Jawab:

11/20/2013

Integral Tak Tentu dari 1/uIntegral Tak Tentu dari 1/u

||ln1 Cd

C h

.||ln1 Cuduu

Contoh:

1. Tentukan .

1dx

Jawab: Misal u = x + 1 Maka du = dx shg

1x

Jawab: Misal u   x + 1. Maka du   dx, shg

.|1|ln||ln1

CxCuudu

xdx

11/20/2013

1 ux

ContohContoh

2. Tentukan .dxx2. Tentukan

Jawab:

.

12 dxx

Jawab:

3 Hit 1

dx3. Hitung 0

2 .1

dxx

Jawab: 

11/20/2013

Teorema (Sifat‐Sifat Logaritma)Teorema (Sifat Sifat Logaritma)

• ln 1 = 0

• ln a.b = ln a + ln b

• ln a/b = ln a – ln bln a/b = ln a  ln b

• ln ar = r ln a

11/20/2013

ContohContoh

Tentukan dy/dx jika1ln

xyTentukan dy/dx jika

b k b l

.1

ln

x

y

Jawab: Menggunakan Teorema sebelumnya

)]1l ()1[l (11l1 x

1111

)]1ln()1[ln(21

ln2

dy

xxx

y

.1

11

11

121

2

xxxdxdy

11/20/2013

Penurunan LogaritmikPenurunan Logaritmik

Tentukan dy/dx bila .11

xyy/

Jawab: Ambil ln dari kedua ruas, lalu turunkan43 x

y

terhadap x:)4ln(

21)11ln(ln 3 xxy

3111

)(2

)(

2

xdy

y

1131

42112

3

xxdy

xxdxy

11/20/2013

.4

11)4(2

311

133

xx

xx

xdxdy

Grafik Fungsi y = ln xGrafik Fungsi y   ln x

Catat bahwa ln 1 = 0 yCatat bahwa ln 1 = 0,  dy/dx = 1/x > 0 dand2y/dx2 = ‐1/x2 < 0d y/dx =  1/x < 0sehingga grafik y = ln xmonoton naik dan 1 xmonoton naik dancekung ke bawah.

11/20/2013

LatihanLatihan

1 Tentukan )2tan( dxx1. Tentukan

2 k il i k i d i

.)2tan( dxx

2. Tentukan semua nilai ekstrim dari

f(x) = 2x2 ln x – x2 

pada daerah asalnya.

3. Tentukan dy/dx jika .2

)1()1( 222/3

x

xxy

11/20/2013

6.2 FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYAMA1101 MATEMATIKA 1A

Menentukan invers dari suatu fungsi danturunannya.

11/20/2013

Fungsi InversFungsi InversDalam hal tertentu, dari persamaan fungsi y = f(x)kita dapat memperoleh x sebagai fungsi dari y, sebutlah x = g(y). Fungsi g disebut invers dari f, dit liditulis

g = f ‐1.

Jadi:  y = f(x)  jika dan hanya jika x = f ‐1(y).

Contoh:

y = 2x + 3  jika dan hanya jika x = ½(y – 3).

Cttn. Grafik y = f ‐1(x) merupakan pencerminanCttn. Grafik y   f  (x) merupakan pencerminangrafik y = f(x) terhadap garis y = x.11/20/2013

Teorema (Eksistensi Invers)Teorema (Eksistensi Invers)

Jika f fungsi 1‐1 maka fmempunyai inversJika f fungsi 1 1, maka fmempunyai invers.

Akibatnya,

jik f j i k f i ijika fmonoton sejati, maka fmempunyai invers.

11/20/2013

Turunan dari Fungsi InversTurunan dari Fungsi Invers

Jika y = f(x) dan f’(x) ≠ 0 makaJika y = f(x) dan f (x) ≠ 0, maka

l i ib i.

)('1)()'( 1

xfyf

Dalam notasi Leibniz:.1

)(

dydydx

xf

dxdydy

11/20/2013

ContohContoh

Diketahui y = x5 + x + 1 = f(x) Tentukan (f ‐1)’(3)Diketahui y = x + x + 1 = f(x). Tentukan (f  ) (3).

Jawab: 3 = f(1). Lalu, fmonoton naik karena f ’(x) = 5x4 + 1 > 0 untuk setiap x Jadi f ‐1 ada= 5x4 + 1 > 0 untuk setiap x. Jadi, f 1 ada.

Menurut Teorema tadi,111 .61

11.51

)1('1)3()'( 4

1

ff

11/20/2013

LatihanLatihan

1 Hitung (f ‐1)’(2) apabila f(x) = 3x5 + x – 21. Hitung (f  ) (2) apabila f(x) = 3x + x  2.

2. Buktikan bahwa y = f(x) = ln x mempunyaiinvers sebutlah y = g(x) Kemudian buktikaninvers, sebutlah y = g(x). Kemudian buktikanbahwa g’(x) = g(x). 

11/20/2013