MA1101 M14-1 27-11-13

MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/201427 November 2013

Latihan (Kuliah yang Lalu)Latihan (Kuliah yang Lalu)

1 Tentukan )10(2xd

1. Tentukan

2 i l h

).10(dx

1

35 dx2. Hitunglah 0

3 .5 dxx

1ax

3. Buktikan bahwa monoton.

Tentukan inversnya

,1,11

aaay x

Tentukan inversnya.

11/27/2013 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

6 5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial6.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial

‐Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danberkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.

6 6 F i T i i I6.6 Fungsi Trigonometri Invers

‐Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).


6.5 PERTUMBUHAN DAN PELURUHANMA1101 MATEMATIKA 1A

EKSPONENSIAL‐Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.


Pertumbuhan EksponensialPertumbuhan Eksponensial

Misalkan suatu populasi bertambah sebesar ∆yp p ydalam waktu ∆t, dan pertambahan populasi tsbsebanding dengan banyaknya penduduk padawaktu itu dan dengan lebar selang waktu, yakni

∆y = k y ∆t.

dengan y = y(t) menyatakan jumlah populasi padasaat t, dan k konstanta. Jadi,

kyxy

dtdy

tlim

0

11/27/2013dtk

ydy .

5(c) Hendra Gunawan

I t lk k d kit l hIntegralkan kedua ruas, kita peroleh

Ckty lnktCkt Aeey

y

Misalkan diketahui jumlah populasi awal y(0) = y0. Maka y = Ae0 = A sehinggaMaka y0 = Ae = A, sehingga

y = y0 ekt.

Nilai k dapat ditentukan apabila kita mempunyaiinformasi tambahan, misalnya y(10) = 2y0 (waktumelipat ganda = 10 satuan waktu).11/27/2013 6(c) Hendra Gunawan

ContohContoh

Misalkan suatu koloni bakteri berkembang biakdengan laju sebanding dengan banyaknya bak‐teri pada saat itu. Bila pada awal pengamatanterdapat 10.000 bakteri dan setelah 10 hariterdapat 24.000 bakteri, berapa banyaknyabakteri setelah 25 hari?

Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyaJawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyabakteri pada saat t. Maka (seperti tadi)

kdy11/27/2013

ktAeykydtdy

7(c) Hendra Gunawan

P d t t 0 dik t h i 10 000 J diPada saat t = 0, diketahui y = 10.000. Jadi

10.000 = A.e0 = A,

sehingga y = 10.000ekt.

Pada saat t = 10, diketahui y = 24.000. JadiPada saat t 10, diketahui y 24.000. Jadi

24.000 = 10.000e10k,

hi 4210ksehingga

4,2ln104,210

ke k

Pada saat t =25,.4,2ln10

1k,


.)4,2(000.10000.10 5,24,2ln)5,2( ey

Peluruhan EksponensialPeluruhan Eksponensial

Mirip dengan pertumbuhan eksponensial yangMirip dengan pertumbuhan eksponensial yang terjadi pada suatu populasi, peluruhan ekspo‐nensial terjadi pada zat radioaktifnensial terjadi pada zat radioaktif.

Zat radioaktif meluruh dengan laju sebandingdengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itudengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu.

Jika y = y(t) menyatakan banyaknya zat yang i d ktersisa pada saat t, maka

)0(; kAeykydy kt


)0(; kAeykydt

Hukum Pendinginan NewtonHukum Pendinginan Newton

Jika suatu benda dimasukkan ke dalam ruanganJika suatu benda dimasukkan ke dalam ruangandengan suhu tetap T1, maka ‐‐menurut Newton‐‐benda tsb akan mengalami pendinginan denganbenda tsb akan mengalami pendinginan denganlaju sebanding dengan selisih suhunya (T) dengansuhu ruangan (T1) yaknisuhu ruangan (T1), yakni

1( ).dT k T Td

Jadi kita peroleh

1( )dt

1 .ktT T Ae

11/27/2013 (c) Hendra Gunawan 10

LatihanLatihan

Misalkan suatu zat radioaktif meluruh denganlaju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Diketahui pada awal peng‐amatan terdapat 20 gram dan setelah 1 tahuntersisa 15 gram. Tentukan waktu paruh zat tsb.

Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyazat pada saat t Makazat pada saat t. Maka …


6.6 FUNGSI TRIGONOMETRI INVERSMA1101 MATEMATIKA 1A

‐Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).( g y g )


Fungsi Trigonometri InversFungsi Trigonometri InversFungsi y = sin x naik pada [‐π/2, π/2], karena itumempunyai invers x = sin‐1 y pada [‐1, 1].

x = sin‐1 y, ‐1 ≤ y ≤ 1 j.h.j. y = sin x, ‐π/2 ≤ x ≤ π/2.y y j j y

Fungsi y = cos x turun pada [0 π] karena ituFungsi y = cos x turun pada [0, π], karena itumempunyai invers x = cos‐1 y pada [‐1, 1].

1 1 ≤ ≤ 1 j h j 0 ≤ ≤x = cos‐1 y, ‐1 ≤ y ≤ 1 j.h.j. y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.


Fungsi Trigonometri InversFungsi Trigonometri InversFungsi y = tan x naik pada (‐π/2, π/2), karena itumempunyai invers x = sin‐1 y pada (‐∞, ∞).

x = tan‐1 y, ‐∞< x <∞ j.h.j. y = tan x, ‐π/2 < x < π/2.y j j y

Fungsi y = sec x 1 1 pada [0 π] – {π/2} karena ituFungsi y = sec x 1‐1 pada [0, π] – {π/2}, karena itumempunyai invers x = sec‐1 y pada {y : |y| ≥ 1}.

1 | |≥ 1 j h j 0 ≤ ≤ /2x = sec‐1 y, |y|≥ 1 j.h.j. y = sec x, 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.


Grafik Fungsi Trigonometri InversGrafik Fungsi Trigonometri Invers

y y = sin‐1 x

1

y y = sin x

1

11 x

y = sin x

‐1

1‐1 x


ContohContoh

11 4

)2(sin 211

3)(cos 2

11

4)1(tan 1

.)1(sec4

1


Beberapa KesamaanBeberapa Kesamaan

1 2sin(cos ) 1x x 1 2

sin(cos ) 1

cos(sin ) 1

x x

x x

1 2

cos(sin ) 1

sec(tan ) 1

x x

x x 1 2tan(sec ) 1x x

( : 1; : 1)jika x jika x


ContohContoh

1 1 12 2 21 i (2 ) 2 i ( ) ( )1 1 12 2 23 3 3

2

1.sin(2cos ) 2sin(cos )cos(cos )

2 4 5

223

2 4 52 1 ( ) . .3 9

.1)cos(sin

)sin(sin)tan(sin.221

11 x

xxx

1)cos(sin 2xx


Turunan Fungsi Trigonometri InversTurunan Fungsi Trigonometri Invers

11,1sin2

1 xxdd

1111

1

2

dxdx

11,1

cos2

1

xx

xdx

,1

1tan 21

x

xx

dxd

1||,1sec

1

1

xxdxdx


1||,1||

sec2

xxx

xdx

Bukti bahwa 1 1sin xdBukti bahwa

Misal y = sin‐1 x Maka x = sin y Turunkan kedua

21sin

xx

dx Misal y = sin x. Maka x = sin y. Turunkan keduaruas secara implisit terhadap x, diperoleh

1 (d /d )1 = cos y.(dy/dx).

Jadi11dy .

11

cos1

2xydxdy


Integral yang Menghasilkan FungsiTrigonometri Invers

DxCxdxx

cossin1

1 11

2

Cxdx

x

tan11

12

Cd

Cxdxx

||1

tan1

1

2

Cxdxxx

||sec1

1

2


ContohContoh

Hitung11

dxHitung

b

.11

2

dxx

111 1 11 (1) ( 1)dJawab: 11 1 1

2 11

1 tan tan (1) tan ( 1)1

dx xx

( ) .4 4 2


LatihanLatihanSeseorang yang tingginya ~1,60 mb d d b l h

θ

berdiri di tepi atas tebing, melihatke laut yang berada ~18,40 m dibawahnya Pada saat itu terdapatbawahnya. Pada saat itu terdapatperahu yang menjauhi tebingdengan laju 5 m/det. Bila θg jmenyatakan besar sudut pandang‐nya (terhadap garis horisontal), b k h b l j b hberapakah besarnya laju perubahanθ terhadap waktu, pada saatperahu tsb berjarak 50 m dariperahu tsb berjarak 50 m daritebing?11/27/2013 23(c) Hendra Gunawan

MA1101 M14-1 27-11-13

Documents

Transcript of MA1101 M14-1 27-11-13