MA1101 MATEMATIKA 1A file2.3 ATURAN TURUNAN Menggunakan aturan turunan untuk menentukan turunan...
Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A file2.3 ATURAN TURUNAN Menggunakan aturan turunan untuk menentukan turunan...
MA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2019/2020
13 September 2019
Kuis 7 Menit
Diketahui
𝑓 𝑥 = ⋯ (akan dituliskan di papan tulis).
a. Buktikan bahwa f kontinu di ...
b. Periksa apakah f mempunyai turunan di ...
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 2
Sasaran Kuliah Hari Ini
2.3 Aturan Turunan
Menggunakan aturan turunan untuk menentukanturunan fungsi yang merupakan jumlah/selisihatau hasil kali/hasil bagi dua fungsi sederhana.
2.4 Turunan Fungsi Trigonometri
Menentukan turunan fungsi trigonometri.
2.5 Aturan Rantai
Menentukan turunan fungsi yang merupakankomposisi dari dua fungsi sederhana denganAturan Rantai.
9/12/2019 3(c) Hendra Gunawan
2.3 ATURAN TURUNANMenggunakan aturan turunan untukmenentukan turunan fungsi yang merupakanjumlah/selisih atau hasil kali/hasil bagi duafungsi sederhana
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 4
Aturan Turunan
3. Aturan Pangkat: Jika f(x) = xn (n bil. asli), makaf ’(x) = nxn – 1. [Sudah dibahas pd kuliah yl.]
4. Aturan Kelipatan Konstanta: (kf )’(x) = k.f ’(x).5. Aturan Jumlah: (f + g)’(x) = f ’(x) + g’(x).6. Aturan Hasilkali:
(f.g)’(x) = f ’(x).g(x) + f(x).g’(x).
7. Aturan Hasilbagi:
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 5
.)]([
)(')()()(')()'(
2xg
xgxfxgxfx
g
f
Bukti: Aturan Hasil Kali
Misalkan F(x) = f(x)g(x). Maka
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 6
).(')()(')(
)()(lim)(
)()(lim)(lim
])()(
)()()(
)([lim
)()()()()()()()(lim
)()()()(lim
)()(lim)('
000
0
0
00
xfxgxgxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
xgxfxghxfxghxfhxghxf
h
xgxfhxghxf
h
xFhxFxF
hhh
h
h
hh
Contoh Penggunaan Aturan Turunan
Dengan menggunakan Aturan Turunan (yang sesuai), tentukan turunan fungsi berikut:1. f(x) = x(x2 + 1).2. g(x) = (5x – 4)/(3x2 + 1).
Jawab:
1. Dengan Aturan Pangkat, Jumlah, dan Hasil kali: f ’(x) = 1.(x2 + 1) + x(2x) = 3x2 + 1.
2. Dengan Aturan 3, 4, 5 dan 7 (utk Hasil bagi):
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 7
.)13(
52415
)13(
)6)(45()13(5)('
22
2
22
2
x
xx
x
xxxxg
Latihan
1. Dengan menggunakan Aturan Turunan (yang sesuai), tentukan turunan fungsi berikut:a. f(x) = (x3 + 1)√x.
b. g(x) = (x2 – 1)/(x2 + 1).
2. Buktikan bahwa turunan dari f(x) = x–n (n bi-langan bulat positif) adalah f ’(x) = –nx–n – 1.
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 8
2.4 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIMenentukan turunan fungsi trigonometri
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 9
Turunan Fungsi Sinus
1. Jika f(x) = sin x, maka f’(x) = cos x.
Bukti:
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 10
.cos1)(cos0)sin(
)sin(lim)(cos
)cos(1lim)sin(
)sin(cos
)cos(1sinlim
sin)sin(.cos)cos(.sinlim
)sin()sin(lim)('
00
0
0
0
xxx
h
hx
h
hx
h
hx
h
hx
h
xhxhx
h
xhxxf
hh
h
h
h
Turunan Fungsi Cosinus
2. Jika f(x) = cos x, maka f’(x) = –sin x.
Bukti:
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 11
.sin1)sin(0)cos(
)sin(lim)(sin
)cos(1lim)cos(
)sin(sin
)cos(1coslim
cos)sin(.sin)cos(.coslim
)cos()cos(lim)('
00
0
0
0
xxx
h
hx
h
hx
h
hx
h
hx
h
xhxhx
h
xhxxf
hh
h
h
h
Turunan Fungsi Trigonometri LainnyaDengan Aturan Hasil bagi, kita peroleh:
3. Jika f(x) = tan x, maka f’(x) = sec2 x.
4. Jika f(x) = cot x, maka f’(x) = –csc2 x.
5. Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x tan x.
6. Jika f(x) = csc x, maka f’(x) = –csc x cot x.
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 12
Latihan
1. Buktikan turunan dari f(x) = tan x adalahf ’(x) = sec2 x.
2. Buktikan turunan dari f(x) = sec x adalahf ’(x) = sec x tan x.
3. Tentukan turunan dari:
a. f(x) = sin2 x.
b. g(x) = sin x.tan x.
c. h(x) = x2cos x.
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 13
2.5 ATURAN RANTAIMenentukan turunan fungsi yang merupakankomposisi dari dua fungsi sederhana denganAturan Rantai
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 14
Turunan Fungsi Komposisi
Bagaimana menghitung turunan dari
h(x) = (1 + 0,5x)12?
Bagaimana pula dengan G(x) = cos 3x?
Perhatikan bahwa kedua fungsi di atas dapatdipandang sebagai hasil komposisi dua fungsiyang kita ketahui turunannya.
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 15
Aturan Rantai
Jika g mempunyai turunan di x dan f mempunyaiturunan di u = g(x), maka f ◦ g mempunyai turunandi x dengan
(f ◦ g)’(x) = f ’(g(x)).g’(x).
Contoh:
Diketahui h(x) = (1 + 0.5x)12. Tentukan h’(x).
Jawab: Misalkan u = 1 + 0.5x = g(x) dan f(u) = u12. Maka h(x) = (f ◦ g)(x). Di sini g’(x) = 0.5 dan f ’(u) = 12u11. Menurut Aturan Rantai,
h’(x) = f ’(g(x)).g’(x) = 12[g(x)]11.(0.5) = 6(1 + 0.5x)11.9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 16
Latihan
1. Menggunakan Aturan Rantai, tentukan turunan dari:
a. f(x) =
b. G(x) = cos 3x.
2. Nyatakan h(x) = sin3 4x sebagaihasil komposisi dari beberapafungsi, kemudian tentukan h’(x).
9/12/2019 (c) Hendra Gunawan 17
.12 x