Ltm Gabungan

Click here to load reader

  • date post

    18-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    70
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Ltm Gabungan

LTM KELOMPOK 5I. STATISTIK DESKRIPTIF DAN MANAJEMEN DATAII. DISTRIBUSI FREKUENSI

Distribusi FrekuensimemilikiBentukberupaDistribusi Tak SimetrikarakteristikPola frekuensi kiri dan kanan titik pusat bedaDistribusi SimetriPola frekuensi kiri dan kanan titik pusat samaDistribusi SeragamPola dari datamenunjukkankarakteristikberupaDistribusi NormalDistribusi Bimodal SimetriDistribusi MiringDistribusi Bimodal Tak Simetrimerupakanmerupakan

Distribusi dengan frekuensi yang samaDistribusi dengan nilai mean, modus, median yang sama Gabungan 2 distribusi normal (nilai kedua puncak tidak harus sama)Gabungan 2 distribusi tak simetri (nilai kedua puncak tidak sama)Distribusi dengan frekuensi yang menun-jukkan kecenderunganDistribusi dengan frekuensi yang semakin besar atau semakin kecil

1. Distribusi frekuensi dapat digunakan untuk mempelajari pola suatu data untuk menentukan analisa terhadap data tersebut. Pola suatu data dilihat dari kesimetrian distribusi frekuensinya.2. Secara umum bentuk distribusi frekuensi terdiri dari distribusi simetri dan distribusi tidak simetri. Perbedaan keduanya adalah dengan melihat kesimetrian pola frekuensi di sebelah kanan dan kiri titik pusat pada grafik distribusi frekuensi.3. Distribusi simetri memiliki distribusi frekuensi data yang sama di sebelah kiri dan kanan titik pusat. Sedangkan distribusi tidak simetri memiliki distribusi frekuensi data yang berbeda di sebelah kiri dan kanan titik pusat.

Distribusi SimetriDistribusi Tak Simetri4. Distribusi simetri terdiri dari tiga bentuk yaitu distribusi seragam, distribusi normal, dan distribusi bimodal simetri.

5. Distribusi seragam disebut juga distribusi rektangular di mana semua nilai memiliki frekuensi yang sama; menandakan besar probabilitas yang sama. Contoh: pada pelemparan dadu, frekuensi munculnya angka 1-6 memiliki frekuensi yang sama.6. Distribusi normal disebut juga distribusi Gaussian, berbentuk seperti lonceng. Distribusi ini memiliki nilai mean, modus, dan median yang sama di tengah distribusi data. Pola ini digunakan dalam berbagai aspek kehidupan untuk memprediksi sifat suatu populasi, seperti waktu hidup baterai, panjang dan berat bayi baru lahir.7. Distribusi bimodal simetri merupakan gabungan dari dua distribusi normal dengan tinggi kedua puncak frekuensi yang tidak harus sama. Contoh : berat pria dan wanita; waktu hidup lampu pijar cacat dan baik.8. Distribusi tidak simetri terdiri dari tiga bentuk pula yaitu distribusi bentuk J, distribusi miring, dan distribusi bimodal tidak simetri.

9. Distribusi bentuk J merupakan distribusi yang memberikan nilai frekuensi semakin membesar atau mengecil. 10. Distribusi miring memberikan letak frekuensi puncak yang tidak di tengah distribusi datanya; menunjukkan kecenderungan miring ke kanan atau ke kiri.11. Distribusi bimodal tak simetri merupakan gabungan dari dua distribusi tidak simetri dengan dua puncak frekuensi yang tidak sama. 12. Dengan demikian salah satu kegunaan dari distribusi frekuensi adalah pengaplikasiannya untuk analisa pola data dengan melihat kesimetrian distribusi frekuensi data tersebut.

Contoh Data 1: Survey dilakukankepada 20 orang siswakelas V Auntukmengetahuijumlahadik yang merekamiliki. Hasil survey adalahsebagaiberikut:0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4Untukmemudahkanmelihathasil survey, makadibuatlah table distribusifrekuensi, sebagaiberikut:Jumlahadik(hasil survey)Item DataJumlahanak(Frekuensi)FrekuensiRelatif

00, 0, 033/20x100% = 15%

1 1, 1, 1, 1, 155/20x100% = 25%

22, 2, 2, 2, 2, 2, 277/20x100% = 35%

33, 3, 3, 344/20x100% = 20%

4411/20x100 % = 5%

Jumlahanakataufrekuensi total:20

PadaTabeldiatasterdapatbeberapa term atauistilah yang harusdiketahui, seperti:Frekuensi total: Jumlah item data. Dalamhalinijumlah item data sesuaidenganjumlahanak yang disurveyyaitu 20FrekuensiRelatif:Nilaifrekuensidibagidenganfrekuensi total laludikali 100%DistribusiFrekuensiKelompokDistribusiFrekuensikelompokdigunakanbila data terlalubanyakdanberbeda-bedasehinggauntukmemudahkanpengorganisasiannyadibuatlahkelasataukelompok data.Padadistribusifrekuensikelompok, terdapatistilah-istilah yang harusdiketahui, diantaranya:1. Batas Kelas:Terdapatduabataskelas: batasbawahkelasadalahnilaiterkecilpadakelas intervalementarabataskelasatasadalahnilaiterbesarpadakelas interval1. Limit kelasLimit/tepikelasbawah (Tb) diperolehdenganmengurangisetengahsatuandaribataskelasbawah.Limit/tepikelasatas (Ta) diperolehdenganmengurangisetengahsatuandaribataskelasatas.1. Panjangkelas / LebarKelasPanjangkelasmerupakan limit kelasatasdikurangidengan limit kelasbawah. Misalkan, c merupakanpanjangkelas, makac = Ta Tb1. FrekuensiRelatifFrekuensirelatifadalahnilaifrekuensidibaginilaifrekuensitotal( f/n ) dikali 100%Untukmembuat table distribusifrekuensikelompok, makaadabeberapapanduan yang bisadigunakan.Beberapapanduantersebutadalahsebagaiberikut:1. Urutkan data dariangkaterkecilhinggaangkaterbesar1. Kelompokkan data menjadi 5 sampai 12 kelassaja1. Buattiapkelasmemilikilebarkelas yang sama1. Batas-batastiapkelastidakbolehtumpangtindih1. Tiap item data hanyabolehmasukpadasatukelassajaUntukmemudahkandalammemahamidistribusifrekuensikelompok, makaakandiberikancontohsebagaiberikut.

Contoh Data 2: DistribusiFrekuensiKelompokBerikutadalah data nilaiujianmatematikapada 40 anak:66 75 74 72 79 78 75 75 79 7175 76 74 73 71 72 74 74 71 7074 77 73 73 70 74 72 72 80 7073 67 72 72 75 74 74 68 69 80

Panduan no. 1 Urutkan data dari yang terkecilhingga yang terbesar66 67 68 69 70 70 70 71 71 71 72 72 72 72 72 72 73 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 76 77 78 79 79 80 80Dari data diatasbisakitalihatbahwajangkauan data adalahnilai data terbesardikurangidengannilai data terkecil = 80-66 = 14Panduan no. 2 dan 3 Mengelompokkan data menjadi 5-12 kelasKarenaterdapat 40 item data, makauntukmemudahkan, dibentuk 5 kelas, denganlebartiapkelas 3.Batas KelasData di KelasFrekuensi(f)FrekuensiRelatif (fr) = (f/n) x 100%

66-6866 67 68 3(3/40) x 100% = 7.5%

69-7169 70 70 70 71 71 71 7(7/40)x100% = 17.5%

72-7472 72 72 72 72 72 73 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 74 18(18/40)x100% = 45%

75-7775 75 75 75 75 76 77 7(7/40)x100% = 17.5%

78-8078 79 79 80 805(5/40)x100% = 12.5%

Total: n = 40

III. UKURAN PEMUSATAN DATA1. MeanMean sebagai rataan hitungan dari data diberi simbol x atau x bar. Mean dapat dibagi menjadi tiga, yaitu rataan dari data tunggal, rataan dari data distribusi frekuensi dan rataan dari data bergolong. Konsep yang dipakai sebenarnya sama yaitu mencari rataan hitungan dari data, namun yang berbeda-beda adalah jenis data yang diberikan.Rataan data tunggal adalah rataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data. Formula dari rataan data tunggal adalah:2. 3. Keterangan: = jumlah data4.

Contohnya: Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6. Tentukan rataan dari data tersebut. Mean:

Rataan data distribusi frekuensi adalah rataan hitung dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi. Formula dari rataan data distribusi frekuensi adalah:

Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6, tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.

Rataan data bergolong adalah rataan hitung untuk data dalam tabel bergolong yang sebenarnya sama dengan menghitung rataan data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai xi. Contoh kasusnya seperti:

2. MedianUkuran pemusatan data adalah ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkat tentang data yang mana salah satunya adalah median. Median adalah nilai tengah atau mean aritmetik dari dua nilai tengah dari suatu deretan bilangan yang disusun berdasarkan urutan besarnya (array). Median dikatakan mean aritmetik dari dua nilai tengah apabila jumlah data pengamatan adalah genap. Karena median adalah nilai tengah, maka berarti 50% data terletak di bawah median dan 50% terletak di atas median. Secara geometri, median adalah nilai X (absis) yang berkorespondensi dengan garis vertikal yang membagi sebuah histogram menjadi dua bagian yang memiliki luas area yang sama. Median adalah nilai tengah yang tidak dipengaruhi oleh nilai yang ekstrim.Dalam menentukan median dengan data tunggal, maka digunakan rumus:

Contoh soal:Carilah median dari data 4, 29, 4, 3, 4, 11, 16, 14, 17, 3. Susunan : 3, 3, 4, 4, 4, 11, 14, 16, 17, 29. Jumlah data adalah 10, sehingga angka tengah adalah 4 dan 11, yang merupakan urutan 5 dan 6 dalam susunan. Median adalah rata-rata dari dua angka, yaitu: (4 + 11) / 2 = 15/2 = 7,5 Dalam menentukan median dengan data berkelompok, maka digunakan rumus:

Keterangan : TB = batas nyata bawah kelas medianFk = frekuensi kumulatif sebelum kelas medianF Me = frekuensi kelas mediani = panjang/interval kelasContoh soal:

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antara suku ke 29 dan suku ke 30 dan kelas letak median ada di kelas 30-34.

Median=29,5+[(30-37)/15]5=27,16Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,163. Modus ( Mode )Sekelompok nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi atau nilai yang paling sering muncul/banyak terjadi disebut Modus=Mod. Distribusi unimodal adalah distribusi yang punya 1 modus. Distribusi bimodal adalah distribusi yang mempunyai 2 modus, dan distribusi multimodal adalah distribusi yang mempunyai lebih dari 2 modus.Contoh : 1. Data terdapat angka 5, 4, 4, 4, 6, 5, 5, 5, 7. Frekuensi terbanyak adalah angka 5 yang muncul 4 kali, sehingga modus nya adalah 51. Data suatu perusahaan,123344444555666666666777777888991010101010111112

Berdasarkan data di atas, nilai 6 memiliki frekuensi sebanyak 9 sedangkan nilai lain memiliki frekuensi dibawah 9, sehingga Modusnya= 6.1. Jika pada data perusahan terdapat nilai 6 sebanyak 7 dan nilai 8 sebanyak tujuh, maka terdapat 2 modus dari data tersebut, mod1= 6 dan mod2=8.Pada data yang dikelompokkan, untuk mencari modus menggunakan rumus berikut:

Mo= Lo + x cKeterangan :Mo = ModusLo = Nilai batas bawah kelas interval yang berisi modusFmo= frekuensi kelas yang memuat modusF1= fmo f (mo-1) = selisih frekuensi kelas yang ada modusnya dengan kelas sebelumnya F2= fmo + f (mo-2) = selisih frekuensi kelas yang ada modusnya dengan kelas sesudahnya C= besar kelas yang ada modusnya Contoh :Data perusahaan Industri :DataFrekuensi

1-23-45-67-89-1011-122712973

jumlah40

Tentukan modus dari data perusahan pada tabel tersebut !

Pembahasan :Berdasarkan data,

Sehingga, Mo= 4,5 + x 2= 4,5 + 1,25= 5,75Lo = 4,5; kelas modusnya adalah (5-6)Fmo =12C = 2F1 = fmo f (mo-1) = 12 7 = 5F2 = fmo + f (mo-2) = 12 9 = 34. Hubungan antara Mean, Median, dan Modus1. Mean, median, dan modus berada pada satu titik pada distribusi simetris.1. Dengan adanya nilai ekstrim pada suatu data maka akan menyebabkan kecondongan data tersebut. Nilai ekstrim rendah menyebabkan kecondongan ke kiri, dan nilai ekstrim tinggi menyebabkan kecondongan ke kanan. Pada kurva negatif (condong ke kiri) posisi mean, median, dan modus terletak berturut-turut dari kiri ke kanan. Sedangkan pada kurva positif (condong ke kanan) posisi mean, median, modus terletak berturut-turut dari kanan ke kiri.

1. Secara empiris dapat dikatakan bahwa jarak antara modus dan median merupakan 2/3 jarak antara modus dan median.1. Nilai yang mengalami pergeseran terbesar adalah modus, kemudian dilanjutkan dengan mean dan median. Jadi median adalah nilai paling sedikit bergeser/ relatif stabil dibandingkan dengan modus dan mean. Namun, apabila dihitung rata-rata dari sampel ke sampel maka mean mempunyai fluktuasi terkecil.

IV. UKURAN VARIASI DATAUkuran variasi menunjukkan derajat pengelompokkan angka-angka individual di dekat ukuran kecenderungan berpusat, atau derajat penyimpangan angka-angka individual dari ukuran kecenderungan berpusat. Ukuran variasi digunakan bersama-sama dengan ukuran kecenderungan berpusat agar dapat mewakili data secara lebih akurat.Macam-macam Ukuran Variasi1. Rentang/Range1. Varians1. Simpangan rata-rata/Average deviation1. Simpangan baku/Average standard1. Koefisien variasi/Coefficient of variation1. Skewness dan Kurtosis

1. RangeRange adalah perbedaan angka terbesar dan terkecil dalam suatu kumpulan data. Range dari data tunggal dirumuskan dengan Range = Xmaks - Xmin dengan Xmaks = nilai data terbesar sedangkan Xmin = nilai data terkecil. Untuk menentukan range dari data tunggal lebih mudah dan sederhana. Ukuran penyebaran yang paling sederhana, terkadang di beberapa literatur diterjemahkan dengan istilahwilayah.Rangehanya memperhitungkan dua nilai, yaitu nilai maksimum dan nilai minimum dan tidak memperhitungkan semua nilai, sehingga sangattidak stabilatautidak dapat diandalkansebagai indikator dari ukuran penyebaran. Hal ini terjadi karena range sangat dipengaruhi oleh nilai-nilaiekstrim.1. Contoh:Berikut ini adalah nilai Quiz ke-1 dan ke-2 Matakuliah Statistik. Tentukan Range untuk masing-masing Quiz.Jawab:Quiz 1: range = 20-1 = 19Quiz 2: range = 19-2 = 17Quiz ke-1 lebih bervariasi di banding Quiz 2 karena nilai range Quiz 1 > Quiz 2.

Kelemahan lain dari Range adalah tidak menggambarkan sebaran data terhadap nilai pusatnya. Perhatikan contoh dan gambar berikut.1. Contoh:Tentukan Mean dan Range dari kedua Varietas berikut. Kesimpulan apa yang bisa Anda tarik berdasarkan nilai mean (rata-rata) dan range-nya?

1. Jawab:Varietas I: Mean = 42; range = 5Varietas II: Mean = 42; range = 5Kesimpulan:Kedua Varietas, I dan II mempunyai nilai mean dan range yang sama, yaitu mean = 42 dan range = 5.

1. VariansVarians didefinisikan sebagai kuadrat dari deviasi standar. Varians dinyatakan dengan s2 dan 2 (sigma). Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual thd rata-rata kelompok.Varian merupakan ukuran variabilitas data, yang berarti semakin besar nilai varian berarti semakin tinggi fluktuasi data antara satu data dengan data yang lain.

1. Simpangan Rata-rata/ Average DeviationMerupakan jumlah keseluruhan nilai mutlak penyimpangan nilai data terhadap nilai rata-rata dibagi dengan jumlah nilai frekuensi atau pengamatan. Nilai deviasi rata-rata lebih mampu menggambarkan seluruh variasi yang terjadi pada nilai data asli. Nilai ini juga tidak terpengaruh pada nilai ekstrem serta nilai ini tidak memandangapakah selisih antara nilai data terhadap nilai rata-rata negatif atau positif. Nilai deviasi rata-rata bisa didapatkan dari data non kelompok maupun data kelompok.standar deviasi atau simpangan baku.1. Deviasi rata-rata non kelompok

Pengolahan datanya diolah lebih lanjut sebagai:

Maka deviasi rata-rata tamu yang hadir di Red Shapire Resort selama tahun 1995 adalah:

1. Deviasi Rata-rata Kelompok

Sesuai rumus maka diperoleh deviasi mean kelompok untuk kasus ini adalah:

1. Simpangan Baku (Standard Deviation)Merupakan akar dari varians. Simpangan baku sering digunakan dalam analisa. Nilai standar deviasi pada dasarnya menggambarkan besaran sebaran suatu kelompok data terhadap rata-ratanya atau bisa juga gambaran keheterogenan suatu kelompok data. 1. Rumus Simpangan Baku:

Nilai rata-rataNilai deviasi baku

Nilai dataJumlah frekuensi

Contoh soal :Hitung nilai deviasi standard jumlah tamu Red Shapire Resort selama satu tahun terhitung bulan Januari hingga akhir Desember 1995.

Maka nilai deviasi standar adalah :

1. Koefisien Variasi:Merupakan ukuran variasi relaitif, satuannya adalah presentase. Menunjukkan nilai relatif terhadap mean. Digunakan untuk membandingkan dua atau lebih kumpulan data yang diukur dengan satuan yang berbeda.

1. Skewness dan KurtosisSkewness atau disebut juga ukuran kemiringan yaitu suatu bilangan yang dapat menunjukan miring atau tidaknya bentuk kurva suatu distribusi frekuensi.

Grafik skewness

Kurtosis adalah ukuran keruncingan atau yang disebut juga kurtosis adalah suatu bilangan yang dapat menunjukan runcing tidaknya bentuk kurva distribusi frekuensi.

Grafik Kurtosis

Referensi:1. Chandra, Budiman.1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC.1. Spiegel, Murray R. 2007. Statistik edisi 3.Jakarta : Erlangga.1. Amalliah, Iwany, dkk. 2001. Biostatistik Bahan Kuliah.Jakarta: Universitas Indonesia. 1. Gerstman, B. Burt. 2008. Basic Biostatistics.United States of America: Jones and Bartlett Publishers,Inc.1. Rasyad, Rasdihan (1998) , Metode Statistik Deskriptif, Grasindo : Jakarta 1. Notoadmojo, Soekidjo (2007), Kesehatan Masyarakat : Ilmu dan Seni, Rineka Cipta : Jakarta.1. Imawan C. MPKT B: Distribusi dan Ukuran Penyebaran Data. Universitas Indonesia1. Angel, R.A, Abbott, D.C, Runde, C.D. 2009, A Survey of Mathematics with Application, Ed. Ke-8, Boston, Pearson Addison Wesley. 1. Blitzer, R. 2008, Thinking Mathematically, Ed. Ke-4, New Jersey, Pearson Addison Wesley. 1. Miller, D.C, Heeren, E.V, Hornsby, J, Morrow, L.M, Newenhizen, V.J, 2008, Mathematical Ideas, Ed. Ke-11, Boston, Pearson Addison Wesley. 1. Pirnot, L.T, 2007, Mathematics All Around, Ed.Ke-3, Boston, Pearson Addison Wesley.1. Santosa, Purbayu Budi. Statiska Deskriptif dalam Bidang Ekonomi dan Niaga, edisi 10. Erlangga. Jakarta. 2007. (Google book)1. http://www.ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=198:skewness-dan-kurtosis&catid=36:statistika-deskriptif&Itemid=70 diakses Sabtu, 7 September 2013 pukul 22.301. http://www.investopedia.com/terms/s/skewness.asp diakses Sabtu, 7 September 2013 pukul 22.301. http://www.southalabama.edu/coe/bset/johnson/lectures/lec15_files/image014.jpg diakses Sabtu, 7 September 2013 pukul 22.301. http://www.ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=198:skewness-dan-kurtosis&catid=36:statistika-deskriptif&Itemid=70 diakses Sabtu, 7 September 2013 pukul 22.30