Limit Dan Kontinuitas Serta Turunan Berarah Dan Gradien

8/16/2019 Limit Dan Kontinuitas Serta Turunan Berarah Dan Gradien

1/19

imit dan kontinuitas serta

Turunan berarah dan gradien

Kelompok II:

Luh Putu Arya Melyana Setiawati (1413011007) I Dewa Made Krisna Yasa (1413011116) I Ketut Suartika (1413011117)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

SINGARAJA

2015


2/19

POKOK BAHASAN : Subbab 15.3 Limit dan Kontinuitas

Subbab 15.5 Turunan Berarah dan Gradien

PRASYARAT :1. Konsep Limit2. Sketsa Grafik3. Turunan Parsial4. Vektor5. Persamaan Satu Peubah

STANDAR KOMPETENSI

Mampu memahami limit dan turunan berarah serta mengaplikasikannya dalammasalah yang berkaitan.

KOMPETENSI DASAR :

1. Memahami berbagai permasalahan terkait limit dan kekontinuan.2. Memahami berbagai permasalahan terkait turunan berarah dan gradien.

INDIKATOR

1. Mahasiswa mampu menentukan nilai limit suatu fungsi dua peubah yangdiberikan.

2. Mahasiswa mampu memeriksa kekontinuan suatu fungsi dua peubah yangdiberikan.

3. Mahasiswa mampu menentukan vektor gradien dari fungsi dua peubah.

BAHAN DISKUSI

1. Bagaimana menentukan nilai limit suatu fungsi dua peubah?2. Bagaimana membuktikan nilai limit suatu fungsi dua peubah?3. Bagaimana memeriksa kekontinuan suatu fungsi dua peubah?4. Bagaimana menentukan vektor gradien fungsi dua peubah? 5. Bagaimana menentukan turunan berarah dari suatu fungsi? 6. Bagaimana menentukan laju perubahan maksimum atau minimum?


3/19

1

15.3 Limit dan Kontinuitas

Konsep mengenai limit telah dipaparkan pada sejumlah subbabsebelumnya, namun kita memerlukan konsep mengenai limit yang bersifatlebih umum sehingga pembahasannya dapat dipahami lebih dalam.

Tujuan dari pembahasan kali ini adalah untuk memberikan pengertian mengenai simbol berikut

L y x f

ba y x

,lim,,

Limit ini mempunyai pengertian umum, yaitu nilai - nilai dari y x f , akan semakin mendekati bilangan L ketika ( x,y) mendekati ( a,b ).Masalahnya adalah bahwa ( x,y) dapat mendekati ( a,b ) dengan cara yangtakterhingga banyaknya. Seperti ilustrasi pada Gambar 1.1 , dimana suatu

titik ( a,b ) didekati dari berbagai arah oleh karena melibatkan dua buahsumbu yaitu sumbu x dan sumbu y, hal ini berbeda dengan limit fungsisatu peubah dimana limitnya hanya didekati dari kanan dan kiri karenamelibatkan satu buah sumbu saja. Oleh karena pada fungsi dua peubahterdapat takterhingga banyaknya lintasan ( x,y) yang mendekati ( a,b ),sehingga kita harus menentukan sebuah definisi yang dapat menyatakan L sama.

Gambar 1.1

DefinisiUntuk mengatakan bahwa

L y x f

ba y x

,lim,,

berarti bahwa setiap

0 (tidak peduli seberapapun kecilnya), terdapat 0 yang

bersesuaian, sedemikian rupa sehingga ,, L y x f asalkan ba y x ,,0 .


4/19

2

Untuk menginterpretasikan ,,, ba y x perlakukan ( x,y) dan(a,b ) sebagai vektor, maka

22,, b ya xba y x dan titik – titik yang memenuhi ba y x ,,0 adalah titik – titik didalam lingkaran berjari – jari tidak termasuk titik pusat ( a,b ) (Gambar1.2 ).

Gambar 1.2

Berikut beberapa aspek dari definisi di atas :

1. Lintasan yang mendekati ( a,b ) tidak relevan. Ini berarti bahwa

jika lintasan pendekatan yang berbeda menuju nilai L yang

berbeda, maka limitnya tidak ada.2. Sifat dari y x f , di ba , tidak relevan; fungsi tersebut bahkan

tidak harus terdefinisi di ba , . Hal tersebut didasarkan pada

pembatasan ba y x ,,0 sehingga pasti ( x,y) tidak sama

dengan ( a,b ).

3. Definisi di atas dapat disusun sehingga dapat dengan mudah

didefinisikan pada fungsi – fungsi dengan tiga peubah (atau

lebih). Cukup dengan mengganti ( x,y) dan ( a,b ) dengan ( x,y,z )

dan ( a,b,c ) kapanpun perubahan ini dikehendaki.

Terkadang penentuan nilai limit cukup sederhana. Misalnya,

82.32.1]3[ 22

2,1,lim y y x y x

543 2222

4,3,lim y x y x


5/19

3

Kenyataannya, seluruh teorema limit normal juga berlaku untuk jenis limitini. Tetapi, kita harus tetap berhati-hati, misalnya dalam mengerjakancontoh berikut.

CONTOH 1.Tunjukan bahwa fungsi f yang dapat didefinisikan sebagai

2244

, y x y x

y x f

tidak mempunyai limit di titik asal ( Gambar 1.3 )

Gambar 1.3

Penyelesaian.

Fungsi f tersebut didefinisikan dimanapun pada bidang xy kecuali di titikasal.

Di seluruh titik pada sumbu x atau sepanjang garis y = 0 selain titikasal, nilai f adalah

224

00

0, x x x

x f

Jadi, limit dari f ( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) di seluruh titik padasumbu y atau sepanjang garis x = 0 adalah

2

2

4

0,00,0,00, 0

0

0, limlim x x x

x f x x

Dengan cara serupa, limit dari f ( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) disepanjang sumbu y adalah

22

2

0,0,00,0,0 00

,0 limlim y y y

y f y y

Dengan demikian, kita memperoleh nilai yang berbeda bergantung pada

bagaimana ( x,y)→ (0,0). Kenyataannya, memang terdapat sebarang titik –

titik yang berada dekat (0,0) di mana nilai f adalah x2 dan titik – titik


6/19

4

lainnya yang dekat dengan nilai di mana f adalah – y2. Dengan demikian,

limitnya tidak ada di (0,0).

Kontinuitas pada Sebuah Titik

Untuk mengatakan bahwa f ( x,y) kontinu (continuous ) di titik ( a,b ),

kita memerlukan:

1. f mempunyai nilai di ( a,b ).

2. f mempunyai limit di ( a,b ).

3. Nilai f di ( a,b ) sama dengan limitnya di titik tersebut.

Singkatnya, kita memerlukan

ba f y x f

ba y x

,,lim ,,

Persamaan ini secara esensial sama dengan persyaratan untuk

kontinuitas dari sebuah fungsi satu peubah. Secara intuitif, hal ini berarti

bahwa f tidak memiliki batasan di ( a,b ).

Seperti pada fungsi satu peubah, penjumlahan, perkalian, dan

pembagian fungsi kontinu bersifat kontinu (asalkan pada kasus yang

terakhir, kita menghindari pembagian dengan 0). Artinya bahwa fungsi

polinomial dengan dua peubah akan kontinu di manapun, karena fungsitersebut adalah hasil penjumlahan dan hasil kali dari fungsi – fungsi

kontinu ax, by dan c di mana a, b , dan c adalah konstanta. Contohnya f(x,y)

= 5 x2 y – 2 xy3 + 4 kontinu di seluruh titik pada bidang xy.

Fungsi rasional dengan 2 peubah adalah hasil bagi dari fungsi –

fungsi polinomial sehingga akan kontinu di manapun asalkan penyebutnya

bukan 0. Untuk mengilistrasikannya, f ( x,y) = (2 x + 3 y)/(y2 – 4 x) , kontinu

di manapun pada bidang xy, kecuali di titik pada bidang y2 = 4 x.

Seperti pada fungsi dengan satu peubah, suatu fungsi kontinu dari

fungsi kontinu bersifat kontinu.

TEOREMA A

Komposisi Fungsi-fungsi

Jika fungsi g dengan dua peubah kontinu di ( a, b ) dan fungsi f dengan

satu peubah kontinu di g (a,b ), maka fungsi komposit ( composite

function ) f o g yang didefinisikan dengan ( f o g) ( x,y) = f ( g ( x,y)) ,

kontinu di ( a, b ).


7/19


8/19

6

gambar 1.5 , A adalah titik dalam dan B adalah titik batas dari S . Jadi,

sebuah himpunan disebut terbuka (open ) jika seluruh titiknya merupakan

titik dalam, dan dikatakan tertutup (closed ) jika himpunan tersebut

mengandung seluruh titik batasnya.

Gambar 1.5

Jika S adalah sebuah himpunan terbuka, untuk mengatakan bahwa f

kontinu di S secara tepat berarti bahwa f kontinu di setiap titik di S . Di sisi

lain, jika S mengandung beberapa atau seluruh titik batas maka harus

berhati-hati dalam memberikan interpretasi yang benar tentang kontinuitas

di titik-titik seperti ini. Untuk mengatakan bahwa f kontinu di sebuah titik

batas P dari S berarti bahwa f (Q) harus mendekati f ( P ) ketika Q mendekati

P melalui titik S.

Berikut ini adalah sebuah contoh mengenai pemaparan di atas

(Gambar 1.6 ).

Gambar 1.6


9/19

7

Misalkan

{ Jika S adalah himpunan }, adalah benar mengatakan bahwa kontinu di S . Sebaliknya, tidak benar untuk mengatakan

bahwa kontinu di seluruh bidang.Sebagian besar fungsi dengan dua peubah memiliki nilai .

Dalam hal ini, urutan pendiferensialan dalam turunan parsial campuran

tidak mempunyai nilai (immaterial) .

15.5 Turunan Berarah dan GradienTurunan-turunan parsial dan mengukur laju

perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar dengan

sumbu x dan sumbu y. Tujuan pada subbab ini adalah mempelajari laju

perubahan f pada sebarang arah. Hal ini mengarah pada konsep turunan

berarah yang pada gilirannya berhubungan dengan gradien.

Misalkan , dan misalkan i dan j adalah vektor-vektor

satuan pada arah sumbu x dan sumbu y positif. Maka kedua turunan parisaldi p dapat ditulis sebagai berikut :

Untuk mencapai konsep tersebut, yang harus di lakukan adalah

menggantikan posisi i atau j dengan sebarang vektor satuan u .

Teorema B

Kesamaan pada Turunan Parsial campuran

Jika kontinu pada sebuah himpunan terbuka S , maka Di setiap titik di S .


10/19

8

Jadi,

dan

. Karena p = ( x, y), kita

juga menggunakan notasi . Gambar 2.1 menyatakan interpretasigeometrik dari . Vektor u menentukan sebuah garis L di bidang xy melalui . Bidang yang melalui L ini tegak lurus terhadap

bidang xy dan memotong permukaan pada kurva C .

Persinggungannya di titik mempunyai kemiringan

. Interpretasi berguna lainnya adalah bahwa mengukur laju perubahan f terhadap jarak dalam arah u .

Gambar 2.1

Hubungan Turunan Berarah dengan Gradien

Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan bahwa dapat dinyatakan

dengan

Definisi

Untuk sembarang vektor satuan u , misalkan :

Limit ini, jika ada, disebut turunan berarah (directional derivative )dari f di p pada arah u .


11/19

9

Bukti

karena f dapat didiferensialkan di p .

di mana ketika .sehingga,

Kesimpulan di atas benar dengan mengambil limit ketika

CONTOH 1

Jika , tentukan turunan berarah dari p = (-1,2) pada arah vektor a = 2 i - j .

Penyelesaian

Vektor satuan u pada arah a adalah √ √ . Demikian pula,

dan

; sehingga,

dan . Konsekuensinya, berdasarkan Teorema A, √ √ √ √ √ CONTOH 2

Tentukan turunan berarah dari fungsi f ( x,y,z ) = x + y sin z di titik (1,

1, ) pada arah vektor a = 2 i + 4 j + 4 k .Penyelesaian

Teorema A

Misalkan f dapat didiferensialkan di p . Maka f mempunyai turunan

berarah di p pada arah vektor satuan dan

Yakni,


12/19

10

Vektor satuan u pada arah a adalah . Demikian pula

, ,

. Kita dapat menyimpulkan

bahwa

Laju Perubahan Maksimum

Untuk sebuah fungsi f yang diketahui pada titik p yang diketahui,

adalah hal yang biasa untuk menanyakan ke arah mana fungsi ini berubah

paling cepat, yaitu ke arah mana D u f (p ) paling besar? Dari rumus geometri

untuk hasil kali titik ( subbab 14.2 ), kita dapat menuliskan

||| | || di mana adalah sudut antara u dan . Sehingga, Du f (p ) dapat

dimaksimumkan ketika dan diminimumkan ketika . Kita

dapat meringkasnya sebagai berikut :

CONTOH 3

Gambar 2.2

Teorema B

Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya

(dengan laju | |) dan menurun paling cepat pada arah yang berlawanan (dengan laju -| |).


13/19

11

Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik

di titik (1,1,0) seperti pada Gambar 2.2 . Ke arah manakah

seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang

paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut

mulai keluar?

Penyelesaian

Misalkan . Karena dan Jadi, serangga tersebut seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah -2 i + 2 j ,

di mana kemiringannya menjadi |-2 i+2 j | =

√ .

Kurva Ketinggian dan Gradien

Gambar 2.3

Seperti yang telah dipaparkan pada subbab 15.1, kurva ketinggian

(level curve ) dari permukaan z = f ( x, y) adalah proyeksi pada bidang xy

dari kurva-kurva perpotongan permukaan tersebut dengan bidang z = k

yang sejajar dengan bidang xy. Nilai fungsi di seluruh titik pada kurva

ketinggian yang sama adalah konstan ( Gambar 2.3 ).

Kurva ketinggian dari f(x,y) yang melalui titik yang dipilih secara

sebarang P(x 0 ,y0 ) pada daerah asal dari f dinotasikan dengan L; dan

misalkan vektor satuan u adalah persinggungan dengan L di titik P . Karena

nilai f adalah sama di seluruh titik pada kurva ketinggian L, maka turunan


14/19

12

berarah , yang merupakan laju perubahan f ( x,y) pada arah u ,adalah nol ketika u adalah persinggungan dengan L. Karena

maka kita dapat menyimpulkan bahwa dan u saling tegak lurus, suatu

hasil yang layak dari status teorema.

Contoh 4

CONTOH 4

Untuk paraboloid 4/22 y x z , tentukan persamaan kurva

ketinggian yang melalui titik P (1,4) dan sketsalah grafiknya. Tentukan

vektor gradien dari paraboloid tersebut di P , dan gambarlah gradiennya

dengan titik awal di P.

Penyelesaian

Kurva ketinggian dari paraboloid tersebut yang berhubungan

dengan bidang z = k mempunyai persamaan k y x 4/22 . Untuk

menentukan nilai k yang terdapat di kurva ketinggian yang melalui P , kita

dapat mensubstitusi (1,4) ke dalam ( x,y) dan memperoleh k = 5 . Jadi,

persamaan kurva ketinggian yang melalui P adalah elips.

1205

22 y x

Kemudian misalkan 4/, 22 y x y x f . Karena x y x f x 2, dan

, maka gradien paraboloid tersebut di P (1,4) adalah

Kurva ketinggian dan gradien di P ditunjukkan pada Gambar 2.4 .

Teorema C

Gradien f di titik P tegak lurus terhadap kurva ketinggian f yang

melalui P .


15/19

13

Gambar 2.4

Untuk memberikan ilustrasi tambahan mengenai Teorema B dan

Teorema C , kita akan memanfaatkan komputer untuk menggambarkan

permukaan xy z , berikut peta kontur dan medan gradiennya. Hasilnya

ditunjukkan pada Gambar 2.5 .

Gambar 2.5

Dimensi yang Lebih Tinggi

Konsep tentang kurva ketinggian untuk fungsi dua peubah dapat

diterapkan pada permukaan ketinggian untuk fungsi tiga peubah. Jika f

adalah fungsi tiga peubah, maka permukaan f ( x,y,z ) = k adalah konstanta,

disebut permukaan ketinggian (level surface ) untuk f . Di seluruh titik

pada sebuah permukaan ketinggian, nilai asalnya adalah vektor norma,

terhadap permukaan ketinggian dari f yang melalui P .

Masalah-masalah yang terkait dengan konduksi panas pada sebuah

benda homogen, di mana w = f ( x ,y, z ) menyatakan suhu di titik ( x, y, z ) ,

maka permukaan ketinggian f ( x, y, z ) = k disebut permukaan isotermal

(isothermal surface ) karena seluruh titik di sana mempunyai suhu yang


16/19

14

sama di k . Di titik tertentu pada benda tersebut, panas mengalir pada arah

yang berlawanan dengan gradien (yaitu dalam arah penurunan suhu

terbesar), sehingga panas tersebut tegak lurus terhadap permukaan

isotermal melalui titik tadi. Jika w = f ( x, y, z ) menyatakan potensial

elektrostatik (voltase atau tegangan) di titik tertentu pada sebuah medan

potensial listrik, maka permukaan ketinggian dari fungsi tersebut disebut

permukaan ekuipotensial (equipotensial surface ). Seluruh titik pada

sebuah permukaan ekuipotensial mempunyai potensial elektrostatik yang

sama, dan arah arus listrik adalah sepanjang gradien negatif, yaitu, dalam

arah perputaran potensial yang terbesar.

Contoh 5

Jika suhu di titik tertentu pada sebuah benda homogen dinyatakan dengan

z xy xyeT xy 32221

, berapakah arah penurunan suhu terbesarnya di

titik (2,-3,1)? Penyelesaian

Penurunan suhu terbesar di (2,-3,1) berada dalam arah gradien negatif dititik tersebut.

Karena

, kita dapat menentukan bahwa di (2,-3,1) adalah

( )


17/19

15

Latihan Soal

1. Tunjukkan bahwa

tidak ada dengan memperhatikan satu lintasan ke titik asal di sepanjang sumbu

x dan sebuah lintasan lainnya di sepanjang garis y = x .

Pembahasan

Limit dari f( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) di sepanjang sumbu x adalah

Limit dari f( x,y) ketika ( x,y) mendekati (0,0) melalui garis y = x maka

diperoleh

Dengan demikian diperoleh nilai berbeda bergantung pada bagaimana ( x,y)

(0,0). Dengan demikian, limitnya tidak ada.

2. Tunjukkan bahwa 0/lim 222)0,0(),(

y x xy y x

Pembahasan

Dengan menggunakan fakta bahwa

2222

2222

22

2

y x y x

y x y x

y x xy

sehingga

0lim 22)0,0(),(

y x y x

oleh karena 222

y x xy

selalu bernilai positif, maka nilai yang mungkin adalah

2222

2222

22

2

y x y x

y x y x

y x xy

yaitu 022

2

y x xy


18/19

16

maka

0lim 222

)0,0(),( y x xy

y x

Jadi, terbukti bahwa 0lim 222

)0,0(),( y x xy

y x

3. Misalkan

Jika f kontinu di seluruh bidang, tentukan sebuah rumus untuk g ( x).

Pembahasan

Jika x 2y, maka

y x

y x y x y x

y x y x

y x f 22

2224

),(22

Untuk x = 2 y, maka substitusi nilai x = 2 y atau y =2

x

, jadi

x x

x x g 22

2)(

4. Tentukan turunan berarah dari f ( x,y) = e xsin y di titik p (0, ) pada arah a = i

+√ j .Pembahasan

Vektor satuan u pada arah a adalah √ . Demikian pula , dan , sehingga 0, √ dan

√ . Jadi


19/19

17

√ √ √ √ √ √ √ 5. Ke arah manakah vektor u dimana f ( x,y) = 1 - x 2 – y2 menurun paling cepat di

p = (π/6,π/4)?

Pembahasan

Jadi arah penurunan vektor tercepat adalah , dimana

vektor satuan pada arah vektor tersebut adalah u = √

Limit Dan Kontinuitas Serta Turunan Berarah Dan Gradien

Documents

Transcript of Limit Dan Kontinuitas Serta Turunan Berarah Dan Gradien