Standar Kompetensi:

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar:

1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah

2. Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi Lulusan:

1. Menentukan sudut antara dua vektor2. Menentukan panjang proyeksi dan vektor

proyeksi.

PENGERTIAN VEKTOR

Skalar dan VektorDalam pelajaran fisika kita selalu berhu-

bungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan.

Besaran Skalar: besaran yang dinyatakan dengan nilai (harga atau magnitude) dan satuannya. Contoh besaran skalar : , massa, waktu, laju, kerja dan energi.

Besaran Vektor : besaran yang dinyatakan dengan nilai, satuan dan arahnya.

Contoh besaran vektor : posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, berat, dan momentum.

Notasi GeometrisBesaran vektor dituliskan dengan tanda panah diatas besaran tersebut atau dengan huruf tebal. Besaran atau nilai dinyatakan dengan harga mutlaknya.

Vektor dapat direpresentasikan secara grafik dengan menggunakan anak panah, arah anak panah menyatakan arah vektor tersebut, dan panjang anak panah sebanding dengan nilai vektornya.

Vektor dalam ruangMisal titik P(x, y, z) berada dalam ruang, maka ada ruas garis berarah OP dengan vektor posisi p, di mana p = xi + yj +zk.

Vektor satuanVektor satuan adalah vektor yg panjangnya 1. Misalkan vektor a adalah vektor satuan maka

dituliskan , dimana

Vektor i,j, dan k berturut-turut adalah vektor satuan dalam arah x, y, dan z.Setiap vektor u memiliki vektor satuan , di

mana

Notasi AnalitisNotasi analitis digunakan untuk menganalisa vektor tanpa menggunakan gambar. Pada dimensi dua (R2), sebuah vektor a dapat

dinyatakan dalam komponen-komponennya

sebagai berikut .

Pada dimensi dua (R3), sebuah vektor a dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya

sebagai berikut .

ax : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x

ay : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y

az : besar komponen vektor a dalam arah sumbu z

Notasi i, j, kDalam koordinat kartesian vektor arah/vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan. Dalam koordinat kartesian i, j, k. yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z.Sehingga:

Vektor dapat ditulis a

Vektor dapat ditulis=

OPERASI DALAM VEKTORModulus vektorModulus vektor merupakan panjang vektor.

a

bu

a

bu

Menurut aturan Pythagoras, panjang dari sisi miring sebuah segitiga adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Sehingga:

Panjang vekator adalah

Panjang vekator adalah

Contoh 1:

Dua vektor yang samaVektor a dikatakan sama dengan vektor b bila besar dan arahnya sama. Dengan demikian komponen kedua vektor juga sama.

Vektor negatifVektor a dikatakan vektor negatif dari vektor b bila besar sama tetapi arahnya berlawanan dan ditulis a = -b

Penjumlahan vektorHasil penjumlahan dua vektor dinamakan resultan. Resultan vektor a dan b secara

geometris dapat dilakukan dengan dua cara, yakni cara segitiga dan cara jajargenjang.

Miasal: u = a + b

Komponen vektor hasil penjumlahanKomponen hasil penjumlahan vektor a dan b diartikan sebagai berikut:

atau

Contoh 2:

Jika

Jika

Panjang vektor hasil penjumlahanSecara analitik, panjang vektor hasil penjumlahan dapat ditentukan dengan aturan cos:

tetapi apabila komponen hasil penjumlahan diketahui, maka panjang vektor hasil penjumlahan diperoleh:

PenguranganSelisih dua buah vektor a dan b didefinisikan sebagai a – b = a + (-b). Proses geometrinya dapat menggunakan aturan segitiga maupun aturan jajargenjang.Secara komponen, vektor hasil pengurangan dapat dirumuskan:

atau

Aturan Segitiga Aturan jajargenjang

Panjang hasil pengurangan dua vektorSecara analitik, panjang vektor hasil pengurangan dapat ditentukan dengan aturan cos:

tetapi apabila komponen hasil penjumlahan diketahui, maka panjang vektor hasil penjumlahan diperoleh:

Contoh 3:

Diketahui vector a dan b di R2. Jika , , dan , tentukan

Jawab:

Dimisalkan

+

2.25+ 2.49 = 105 + x2

50+ 98 = 105 + x2

x2 = 148 105 x2 = 43 x = 43

Jadi

Perkalian vektor dengan skalarVektor a= mb adalah sebuah vektor yang panjangya |m| kali panjang vektor b dan

arahnya sama bila m positif dan berlawanan bila m negatif. Jika m=0, maka diperoleh vektor nol yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu.

Apabila komponen vektornya diketahui, maka:

atau

Contoh 3:

Jika

Vektor posisiApabila terdapat titik A(ax, ay, az), maka terdapat ruas garis berarah OA dengan vektor a = axi + ayj + azk, dimana kemudian vektor a merupakan vektor posisi dari titik A.

Ruas garis berarahBila a dan b masing-masing adalah vektor posisi dari titik A dan B maka ruas garis berarah AB dapat diartikan sebagai berikut:

Contoh 4:

Diketahui titik A(7, 3, 6), B(1, 0, 0), dan C(3, 2, 1). Tentukan panjang, vektor AB, AC dan BCJawab:

maka

maka

maka

Pembagian ruas garisTitik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka vektor posisi p dapat diperoleh:

Contoh 5:

A BP

m

n

Tentukanlah koordinat suatu titik pada garis hubung A(2, 3, 4) dan B(6, 7, 8) di dalam dan di luar dengan perbandingan 1 : 3.

Jawab:

Misalkan titik tersebut adalah P(x,y,z) maka:

Maka koordinat titik P (3, 4, 5)

Contoh 6:

Diketahui segitiga ABC dengan AB = a dan AC = b.Titik D pada sisi BC dgn perbandingan BD : DC = 1 : 2 dan titik E pada AC dengan AE : EC = 2 : 1. Nyatakan vektor AE dan AD dalam vektor a dan b.

Jawab: Misalkan OB = p ; OC = q dan OA = r

AB = OBOA = pr a = pr p = a+r

AC = OCOA = qr b = qr q = b+r

AE = OEOA dan AD = ODOA

Dot productPerkalian skalar didefinisikan sebagai

dengan adalah sudut yang diapit oleh a dan b. Hasil perkalian ini berupa skalar bukan vektor dan disebut perkalian skalar.

Sifat-sifat perkalian dot product:

1.2.

Jika dinyatakan dalam bentuk pasangan berurutan, perkalian skalar dua vektor ini didefinisikan sebagai berikut: Jika

Maka:

Sudut antara Dua VektorUntuk menghitung sudut antara vektor a dan vektor b dapat digunakan dot product kedua vektor.

Contoh 6:

Diketahui Vektor vektor Tentukan sudut yang dibentuk

oleh vektor a dan b

Jawab:

Maka sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah 135o

Hukum orthogonalitasDua vektor a dan b saling tegak lurus jika sudut yang dibentuk 90o. Dengan demikian hukum orthogonalitas (ketegaklurusan) vektor a dan b adalah:

A

B

C

D

E

P = Proyeksi vektor a terhadap b

Proyeksi SkalarBila vektor a diproyeksikan pada vektor b, maka panjang vektor hasil proyeksi p disebut skalar dan dinyatakan | p |.

proyeksi skalar a terhadap b

Proyeksi VektorProyeksi vektor adalah vektor hasil proyeksi. Bila vektor a diproyeksikan pada vektor b, maka vektor hasil proyeksi p adalah:

dan

Contoh 7:

Diketahui Vektor vektor Tentukan Panjang proyeksi

vektor a pada vektor b dan tentukan vektor proyeksi a pada vektor b

Jawab:

Panjang proyeksi vektor a pada vektor b

Vektor proyeksi a pada vektor b

Cross productBerlainan dengan perkalian skalar dua vektor, hasil perkalian silang adalah vektor. Perkalian silang vektor a and b adalah sebuah vektor dan besarnya diberikan oleh:

,

Menuju Ujian Nasional:STANDAR KOMPETENSI LULUSAN:

1. Menentukan sudut antara dua vektor2. Menentukan panjang proyeksi dan vektor

proyeksi.

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan ko-ordinat titik sudut A(3, 0, 0), C(0, , 0), D(0, 0, 0), F(3, , 4), dan H(0, 0, 4). Besar sudut antara vektor dan adalah ….a. 150 d. 600

b. 300 e. 900

c. 450

Jawab:

Sudut antara vektor adalah

Maka besar sudutnya adalah 45o

Diketahui koordinat A(–4,2,3), B(7,8, –1) dan C(1,0,7). Jika wakil vektor , wakil vektor maka proyeksi pada adalah ….

a.

b.

c.

d.

e.

Jawab:

proyeksi pada adalah

Diketahui vector ,

, dan . Jika

vector tegak lurus maka nilai 2t =

….

a. – 2 atau d. 2 atau 2

b. 2 atau e. – 3 atau 2

c. 2 atau

Jawab:

tegak lurus

Maka:

Jadi .

Nilai 2t = – 2 atau

Diketahui vektor dan Jika

panjang proyeksi vector pada adalah ,

maka salah satu nilai x adalah ….

a. 4 d. 4b. 6 e. 6c. 2

Jawab:

Panjang proyeksi vektor pada

Jika dikuadratkan maka:

x = 4