LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL - CORE · Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan...

1

LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL

KARAKTERISASI SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY

Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun

TIM PENGUSUL

Karyati, S.Si, M.Si NIDN : 0022067205 Dr. Dhoriva Urwatul Wutsq

NIDN : 0031036607

Dibiayai oleh: Direktorat Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat

Direktorat Jenderal Pendididkan Tinggi Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan

Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Penugasan Penelitian Fundamental Nomor: 009/APID-BOPTN/UN34.21/2013, tanggal 18 Juni 2013

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA November 2013

2

HALAMAN PENGESAHAN

Judul : Karakterisasi Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial Dalam Batasan Subhimpunan Fuzzy

Peneliti/Pelaksana Nama Lengkap : Karyati, M.Si NIDN : 0022067205 Jabatan Fungsional : Lektor Kepala Program Studi : Matematika Nomor HP : 085290093366 Alamat surel (e-mail) : [email protected] Anggota (1) Nama Lengkap : Dr. Dhoriva Urwatul Wutsqa, MS NIDN : 0031036607 Perguruan Tinggi : Universitas Negeri Yogyakarta Institusi Mitra (jika ada) Nama Institusi Mitra : - Alamat : - Penanggung Jawab : - Tahun Pelaksanaan : Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun Biaya Tahun Berjalan : Rp. 40.000.000,00 Biaya Keseluruhan : Rp.

Yogyakarta, 20 November 2013

Mengetahui, Dekan/Ketua Ketua Peneliti,

(Dr. Hartono) (Karyati, M.Si ) NIP 196203291987021002 NIP 197206221998022001

Menyetujui,

Ketua Lembaga Penelitian

Prof. Dr. Anik Ghufron NIP 196211111988031001

3

RINGKASAN

Penelitian ini bertujuan untuk melahirkan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy-nya. Dalam hal ini yang dimaksud dengan subhimpunan fuzzy meliputi ideal (kiri/kanan) maupun quasi ideal (kiri/kanan) dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial tersebut. Penelilitian ini merupakan penelitian tahap pertama atau tahun pertama dari rancangan dua tahapan selama dua tahun. Pada tahun pertama, penelitian ini dikonsentrasikan pada penyelidikan untuk mendapatkan teori baru tentang karakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy dan ideal (kiri/kanan) fuzzy sebagai bentuk khusus dari subhimpunan fuzzy. Beberapa hasil telah diperoleh dan telah dipublikasikan. Publikasi pertama mempublikasikan hasil awal dari penelitian ini. Hasil tersebut meliputi karakteristik dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial terkait dengan suatu subhimpunan fuzzy dari semigrup tersebut. Diperoleh hasil bahwa: Jika (S(B), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat elemen satuan dan α�, α�, β

�, β

� subhimpunan fuzzy dari semigrup S(B)

yang memenuhi sifat α� ≼ β� dan α� ≼ β

� maka α� ∘ α� ≼ β

�∘ β

�. Semigrup bentuk bilinear

terurut parsial (S(B), ≤) membentuk semigrup regular jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]. Jika � ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � ideal kiri fuzzy pada �(�), maka � ∘ � ≼ � ∧ � dan berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.

Selanjutnya setelah publikasi pertama dilanjutkan pada publikasi ke dua, yang merupakan lanjutan dari hasil penelitian sebelumnya. Hasil dari penelitian lanjutan tersebut diantaranya diperoleh sifat-sifat semigrup bentuk bilinear terurut parsial sebagai berikut: Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �, ekuivalen dengan, � ∧ � = � ∘ �. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ∘ 1 = �. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku 1 ∘ � = �. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ≼ � ∘ �. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ≼ � ∘ �. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal kanan fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.

4

PRAKATA

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas selesainya

penelitian dengan judul: “KARAKTERISASI SEMIGRUP BENTUK BILINEAR

TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY “ serta atas

terselesaikannya penyusunan laporan ini. Laporan penelitian ini disusun sebagai bentuk

tanggung jawab tim pelaksana kegiatan terhadap Universitas Negeri Yogyakarta, LPPM

UNY dan Fakultas MIPA serta sebagai sarana untuk mempublikasikan hasil yang

diperoleh dari kegiatan penelitian ini.

Kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian kegiatan

penelitian ini dan tersusunnya laporan penelitian ini disampaikan banyak terima kasih,

terutama kepada:

1. Rektor Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberi kesempatan untuk

melakukan penelitian ini.

2. Ketua LPPM yang telah memberikan kepercayaan, kesempatan dan fasilitas dalam

melalukan penelitian ini terkait dengan hal dana dan administrasi.

3. Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kepercayaan

dan kesempatan dalam melalukan penelitian ini.

4. Bapak / Ibu peserta seminar Proposal, Instrumen maupun Laporan Penelitian, yang

telah memberikan masukan kepada tim peneliti demi kesempurnaan hasil penelitian

ini.

5. Semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan penelitian ini.

Peneliti menyadari bahwa laporan penelitian ini masih jauh dari sempurna.

Untuk itu kami sangat mengharapkan saran maupun kritik yang dapat menyempurnakan

laporan ini.

Yogyakarta, November 2013

Peneliti

5

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL 1

HALAMAN PENGESAHAN 2

RINGKASAN 3

PRAKATA 4

DAFTAR ISI 5

DAFTAR LAMPIRAN 5

BAB 1. PENDAHULUAN 7

1.1. Latar Belakang 7

1.2. Batasan dan Rumusan Masalah 8

1.3. Target Hasil Penelitian 8

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 9

2.1. Semigrup Terurut Parsial 9

2.2. Semigrup Bentuk Bilinear 10

2.3. Semigrup Fuzzy 11

BAB 3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN 13

BAB 4. METODE PENELITIAN 14

BAB 5. HASIL DAN PEMBAHASAN 16

BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA 26

BAB 7. KESIMPULAN DAN SARAN 28

7.1. Kesimpulan 28

7.2. Saran 29

DAFTAR PUSTAKA 30

6

DAFTAR LAMPIRAN

Personalia Tenaga Peneliti dan Kualifikasinya

Publikasi:

a. Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan

Subhimpunan Fuzzy

b. Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy

Right and Left Ideals

7

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Istilah subhimpunan fuzzy dari suatu himpunan pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Rosenfeld adalah peneliti yang pertama kali memperkenalkan konsep struktur fuzzy. Banyak peneliti lain yang mengembangkan hasil penelitian dari Rosenfeld ini, termasukKuroki yang mendefinisikan tentang subsemigrup fuzzy. Beberapa penelitian terhadap struktur subsemigrup fuzzy telah dilakukan oleh Karyati, dkk. Di antara penelitiannya adalah tentang ideal kiri fuzzy, ideal kanan fuzzy dan ideal fuzzy pada semigrup beserta sifat-sifat yang melekat padanya.

Semigrup bentuk bilinear adalah semigrup yang elemen-elemennya adalah

pasangan adjoin relatif terhadap pemetaan �. Karyati, dkk telah menyelidiki sifat dari

semigrup bentuk bilinear ini baik terkait dengan relasi biasa sampai dengan relasi fuzzy

yang didefinisikan kepadanya.

Semigrup (�, . ) yang di dalamnya dilengkapi urutan parsial (partial order) ′ ≤ ′,

sedemikian sehingga (�, ≤) membentuk poset dan untuk setiap �, �, � ∈ � dengan

� ≤ � berlaku �� ≤ �� dan �� ≤ �� , maka (�, . ) disebut semigrup terurut parsial.

Beberapa penelitian terkait dengan semigrup terurut parsial ini telah banyak

dikembangkan oleh banyak peneliti. Pendefinisian urutan parsial ini sangat berpengaruh

pada definisi-definisi ideal (kiri/kanan), quasi ideal (kiri/kanan), relasi, ideal (kiri/kanan)

fuzzy, quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy yang selanjutnya akan memunculkan sifat-sifat dan

teori-teori yang baru.

Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan dikembangkan teori baru tentang

struktur aljabar fuzzy yang dilengkapi dengan urutan parsial sebagai dasar dalam

mengembangkan penyelidikan selanjutnya pada bidang teknologi fuzzy seperti teknologi

informasi (khususnya automata), (Kehayopulu; 2012). Dalam hal ini khususnya dalam

mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan

fuzzy. Penelitian ini dirancang untuk dilaksanakan dalam dua tahap (dua tahun). Pada

tahun pertama, penelitian akan dikonsentrasikan pada penyelidikan dalam batasan

subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal kiri fuzzy maupun pada ideal kanan fuzzy.

Sedangkan pada tahun ke dua, berdasarkan hasil penelitian pada tahun pertama,

penelitian akan dilanjutkan dengan mendefinisikan quasi ideal fuzzy pada semigrup

8

bentuk bilinear. Berdasarkan hasil teori baru ini, selanjutnya diselidiki tentang

karakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal

(kiri/kanan) fuzzy.

1.2.Batasan dan Rumusan Masalah

Untuk tahap pertama maka permasalahan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan

subhimpunan fuzzy?


ideal kiri fuzzy?


ideal kanan fuzzy?

1.3.Target

Target penelitian untuk tahun pertama ini adalah:

1. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear

terurut dalam batasan subhimpunan fuzzy.


terurut dalam batasan ideal (kiri/kanan) fuzzy.

3. Publikasi nasional pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, yang diselenggarakan oleh Prodi Magister Pendidikan Matematika, Program Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, tanggal 3 Juli 2013.

4. Publikasi internasional yang direncanakan pada The South East Asian Conference on Mathematics and Its Application, yang diselenggarakan oleh Departemen Matematika, ITS, Surabaya, tanggal 14-15 November 2013.

9

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Penelitian mengenai semigrup fuzzy berkembang sangat pesat. Beberapa peneliti

konsisten meneliti tentang struktur aljabar fuzzy ini. Mordeson, dkk terus menyelidiki

tentang semigrup dalam versi fuzzy. Banyak sekali penelitian yang dihasilkan, antara

lain: berbagai jenis ideal fuzzy, aplikasi fuzzy pada ilmu komputer, teori pengkodean

fuzzy. Demikian halnya dengan Shabir, M dkk menghasilkan karya-karya yang menarik

terkait dengan semigrup fuzzy teruatama terkait dengan pengembangan intuistik dari

ideal semigrup fuzzy dan sejenisnya.

Relasi fuzzy merupakan topik yang sangat penting dalam pembahasan tentang

teori fuzzy. Relasi fuzzy mempunyai aplikasi yang sangat luas pada bidang pemodelan

fuzzy, metode kontrol fuzzy maupun dalam hal diagnosis fuzzy. Murali adalah salah satu

ilmuwan yang konsisten dalam pengembangan disiplin ilmu tentang relasi fuzzy ini, baik

relasi ekuivalensi fuzzy maupun relasi kongruensi fuzzy. Beberapa peneliti juga

melanjutkan apa yang telah dilakukan oleh Murali, di antanya adalah N. Kuroki.

1.1. Semigrup Terurut Parsial (po_semigrup)

Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner dan

bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut:

Definisi 2.1. Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi biner ′. ′ disebut semigrup jika: i. (∀�, � ∈ �) �. � ∈ � ii. (∀�, �, � ∈ �) (�. �). � = �. (�. �)

Misalkan � adalah semigrup dan � ∈ � . Elemen � disebut elemen regular jika

terdapat �′ ∈ � sedemikian sehingga � = ��′�. Semigrup � disebut semigrup regular

jika setiap elemen � merupakan elemen regular. Elemen � disebut regular lengkap jika

terdapat elemen �′ ∈ � sedemikian sehingga � = ��′� dan ��′ = �′�. Semigrup �

disebut semigrup regular lengkap jika setiap elemen � adalah regular lengkap.

10

Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan

definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut:

Definisi 2.2. Himpunan tak kosong � disebut terurut parsial ′ ≤ ′ jika memenuhi: i. Refleksif : (∀� ∈ �)� ≤ � ii. Antisimetri : (∀�, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � = � iii. Transitif : (∀�, �, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � ≤ �

Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari Partial

Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya.

Definisi 2.3 . Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi

biner ′. ′ dan ′ ≤ ′ disebut semigrup terurut parsial jika:

i. (�, . ) membentuk semigrup ii. (�, ≤) membentuk himpunan terurut parsial (poset)

iii. (∀�, �, � ∈ �)� ≤ � ⟹ �� ≤ �� dan �� ≤ ��

Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam

semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah:

Definisi 2.4. Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial, maka Subhimpunan tak kosong

� disebut ideal dari semigrup � jika: i. (∀� ∈ �)(∀� ∈ �) � ≤ � ⟹ � ∈ �

ii. �� ⊆ � �� ⊆ �

1.2. Semigrup Bentuk Bilinear

Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen

khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai

berikut:

Himpunan ℒ(�) dan ℒ(�) adalah himpunan semua operator linear � dan �. Jika

� ∈ ℒ(�), maka diperoleh subruang vektor �:

�(�) = {� ∈ � |�(�) = 0�} dan �(�) = {� ∈ �|�(�) = �, untuk suatu � ∈ � }

Elemen � ∈ ℒ(�) dikatakan pasangan adjoin dari � ∈ ℒ(�) relatif terhadap

bentuk bilinear � dan sebaliknya jika �(�, �(�)) = �(�(�), �) untuk semua � ∈ � dan

� ∈ �. Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut:

ℒ�(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�

11

ℒ�(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�

�(�) = {(�, �) ∈ ℒ�(�) × ℒ′(�)��|(�, �) pasangan adjoin }

Karyati, dkk mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup terhadap

operasi biner berikut: (�, �)(��, �′) = (��, �′�). Semigrup �(�) ini selanjutnya

disebut semigrup bentuk bilinear.

Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh

Nambboripad dkk , yang dilanjutkan oleh Karyati dkk. Penelitian dilanjutkan dalam

versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk.

Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari semigrup bentuk bilinear

maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.

1.3. Semigrup Fuzzy

Merujuk pada tulisan Asaad (1991), Kandasamy (2003), Mordeson & Malik

(1998), Ajmal (1994), Shabir (2005) , maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy �

pada himpunan � adalah suatu pemetaan dari � ke [0,1], yaitu �: � → [0,1]. Berikut

diberikan definisi subsemigrup fuzzy.

Definisi 2.5. Misalkan � adalah semigrup. Pemetaan �: � → [0,1] disebut subsemigrup

fuzzy jika berlaku �(��) ≥ ��{�(�), �(�)} untuk setiap �, � ∈ �.

Definisi 2.6. [Mohanraj,dkk, 2011] Misal � adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup �,

maka: (i) � disebut ideal kiri fuzzy jika (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

(ii) � disebut ideal kanan fuzzy jika (∀�, � ∈ �)�(��) ≥ �(�)

(iii) � disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy, yaitu: (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �� {�(�), �(�)}

Apabila � merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy,

ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari � didefinisikan sebagai berikut:

12

Definisi 2.7. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial.

Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kiri fuzzy jika :

i. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�) ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)


Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kanan fuzzy jika :

i. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)

Definisi 2.9. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial

dan � adalah subhimpunan fuzzy dengan sifat �(�) = 1 untuk setiap � ∈ �.

Subhimpunan fuzzy � dari � disebut quasi ideal fuzzy jika:

i. (� ∘ �) ∩ (� ∘ �) ⊆ �

ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)

13

BAB 3

TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

3.1. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

i. Menemukan teori baru semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan

subhimpunan fuzzy.

ii. Menemukan teori baru semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan

ideal kiri (kanan) fuzzy.

3.2. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:

i. Memberikan kontribusi penemuan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear

terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy, sehingga dapat digunakan dan

dikembangkan oleh peneliti-peneliti lain

ii. Memberikan kontribusi penemuan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear

terurut parsial dalam batasan ideal kiri (kanan) fuzzy

14

BAB 4

METODE PENELITIAN

Penelitian ini merupakan penelitian research and development yaitu dimulai dari

mengkaji dan meneliti teori-teori yang sudah ada, kemudian mengembangkan

(mengeneralisasi). Diawali dengan mendefinisikan semigrup terurut parsial, yaitu

dengan mengklasifikasi semigrup-semigrup bentuk bilinear dan menambahkan operasi

urutan parsial ′ ≤ ′ .

Sesuai dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti-peneliti

sebelumnya, terkait dengan sifat suatu struktur aljabar dalam batasan ideal kanan

maupun ideal kirinya, maka langkah-langkah pentahapan penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Mempelajari hasil utama penelitian yang dilakukan oleh Kovacs yang bekerja pada

ring regular dan Iseki yang bekerja pada semigrup regular.

2. Mempelajari teori tentang semigrup terurut parsial

3. Mempelajari teori tentang semigrup bentuk bilinear

4. Mempelajari teori tentang semigrup fuzzy

5. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu suatu komposisi dua subhimpunan

fuzzy lebih kecil dari komposisi dua subhimpunan fuzzy pada semigrup bentuk

bilinear terurut parsial.

6. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu suatu semigrup bentuk bilinear terurut

parsial membentuk semigrup regular terkait dengan ideal utama kanan dan ideal

utama kiri-nya.

7. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu suatu fungsi karakteristik dari

subhimpunan semigrup bentuk bilinear terurut parsial membentuk ideal kanan (kiri)

fuzzy.

8. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu agar komposisi dua subhimpunan

fuzzy lebih kecil dari nilai maksimum dari keduanya

9. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu agar komposisi dua subhimpunan

fuzzy lebih kecil dari nilai maksimum dari keduanya

15

10. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu komposisi dua subhimpunan fuzzy dari

semigrup bentuk bilinear terurut parsial sama dengan nilai maksimum dari

keduanya, dan menyelidiki akibat-akibatnya.

11. Menyelidiki syarat perlu dan atau syarat cukup komposisi fungsi karakteristik dua

subhimpunan semigrup bentuk bilinear terurut parsial sama dengan fungsi

karakteristik dari hasil kali kedua himpunan tersebut.

12. Menyelidiki syarat perlu dan atau syarat cukup komposisi suatu subhimpunan fuzzy

dengan pemetaan satuan dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial lebih kecil

dari subhimpunan fuzzy-nya

13. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu suatu ideal kanan (kiri) fuzzy suatu

semigrup bentuk bilinear terurut parsial merupakan idempoten.

Tahap-tahap tersebut beserta indikatornya dapat diperlihatkan pada skema

berikut:

Tahap I: Membentuk dan menyelidiki sifat semigrup

bentuk bilinear terurut parsial

INDIKATOR: Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial

Tahap III: Mengarakterisasi

semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan ideal kiri fuzy

INDIKATOR: Diperoleh teori baru lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dlm batasan ideal ( kiri/kanan) fuzy

Tahap II: Membentuk dan menyelidiki sifat ideal (kiri/kanan) fuzzy semigrup


INDIKATOR: Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial

TAHUN I

16

BAB 5

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam tulisan ini notasi ⟨�⟩� dan ⟨�⟩� masing-masing menotasikan ideal kanan

dan ideal kiri dari semigrup � yang dibangun oleh elemen � ∈ �. Selalu dipenuhi

hunbungan bahwa ⟨�⟩� = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��}. Semigrup terurut parsial

(�, ≤) disebut regular jika untuk setiap elemen � ∈ � terdapat � ∈ � sedemikian

sehingga berlaku � ≤ ��. Semigrup terurut parsial � disebut poe-semigrup jika �

memuat elemen terbesar �. Dengan demikian berlaku semigrup � merupakan semigrup

regular jika dan hanya jika � ≤ ��, untuk setiap � ∈ �. Untuk suatu � ⊆ �, maka

dinotasikan (�] = {� ∈ �|� ≤ ℎ �� ℎ ∈ ��}. Dari definisi tersebut diperoleh

� ⊆ (�]. Jika � ⊆ �, maka (�] ⊆ (�]. Berlaku juga (�](�] ⊆ (��] dan �(�]� = (�].

Dengan demikian dipenuhi ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} =

(� ∪ ��]. Untuk suatu himpunan fuzzy � pada semigrup terurut parsial (�, ≤),

didefinisikan suatu himpunan: �� = {(�, �) ∈ � × �|� ≤ ��}. Misalkan �, � adalah

subhimpuna fuzzy dari semigrup �, sehingga � ≼ � jika dan hanya jika berlaku

�(�) ≤ �(�) untuk setiap � ∈ �.

Proposisi 3.1. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat

elemen satuan dan ��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi

sifat �� ≼ �� dan �� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.

Bukti:

Ambil sebarang �� ∈ �(�), dengan �� = (�, �), � ∈ �′(�) dan � ∈ �′(�). Selanjutnya

dibuktikan (��°��)(��)≤ (��°��)(��)

a. Untuk kasus �� = ∅, maka berlaku:

(��°��)(��)= 0 ≤ 0 = (��°��)(��)

Maka diperoleh �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.

17

b. Untuk kasus �� ≠ ∅, maka berlaku:

(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈��

dan

(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈��

Akibatnya dimiliki:

min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)} untuk setiap (��, �) ∈ �� (1)

Selanjutnya, misalkan (��, �) ∈ �� . Karena ��, � ∈ �(�), �� ≼ ��

dan �� ≼ �� sehingga berlaku ��(��) ≤ ��(��) dan ��(�) ≤ ��(�),

maka berlaku:

min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)}

Berdasarkan Persamaan (1), berlaku:

� min{��(��), ��(�)}

(��,��)∈��

≤ � min{��(��), ��(�)}

(��,��)∈��

Akibatnya berlaku:

(��°��)(��)= (��°��)(��) untuk setiap �� ∈ �(�)

Atau berlaku:

�� ∘ �� ≼ �� ∘ ��

▄

Lemma 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup

regular jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]

Bukti:

(⇒) Diketahui �(�) semigrup reguler, menurut sifat dari ideal semigrup berlaku untuk

setiap ideal kanan � dan setiap subhimpunan � pada semigrup �(�), maka :

� ∩ � ⊆ �(� ∩ �)�(� ∩ �)� ⊆ �(��)�� ⊆ (��]

Selanjutnya, misalkan �� ∈ �(�). Karena ⟨��⟩� ideal kanan dari �(�), maka dipenuhi:

⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�].

18

(⟸) Ambil sebarang �� ∈ �(�), maka diperoleh:

�� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�] = ((�� ∪ ��](�� ∪ ��]] ⊆ (�(�� ∪ ��)(�� ∪ ��)�]

= �(�� ∪ ��)(�� ∪ ��)� = (�� ∪ �� ∪ ��] = (�� ∪ �� ]

Dengan demikian �� ≤ �� atau �� untuk suatu �� ∈ �(�). Jadi �(�) semigrup reguler.

▄

Jika (�(�), ≤) suatu semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan dan

� ⊆ �(�), subhimpunan fuzzy �� dari �(�) adalah fungsi karakterik dari �

didefinisikan sebqgqi berikut:

��: � ⟶ [0,1]

��(�) = �1, � ∈ �0, � ∉ �

�

Misalkan (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan.

Subhimpunan fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kanan fuzzy pada � jika: i)

�(��) ≥ �(�) untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan

fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika:i) �(��) ≥ �(�) untuk

setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada

semigrup � disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika � membentuk ideal kanan fuzzy

sekaligus ideal kiri fuzzy pada �. Hal ini ekuivalen dengan mengatakan � pada semigrup

� disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika dan hanya jika berlaku: i) �(��) ≥ �(�)

untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada

semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika : i) �(��) ≥ max{�(�), �(�)} untuk

setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Berdasarkan definisi tersebut,

berlaku sifat sebagai berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan.

Subhimpunan tak kosong � dari semigrup � merupakan ideal kiri dari � jika dan hanya

jika fungsi karakteristik �� ideal kiri fuzzy pada �. Secara sama juga dipenuhi sifat

berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan. Subhimpunan tak kosong �

19

dari semigrup � merupakan ideal kanan dari � jika dan hanya jika fungsi karakteristik ��

ideal kanan fuzzy pada �.

Proposisi 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan

elemen satuan. Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy

pada �(�), maka � ∘ � ≼ � ∧ �

Bukti:

Ambil sebarang elemen �� ∈ �(�) selanjutnya dibuktikan (� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).

Untuk kasus �� = ∅ :

(� ∘ �)(��) = 0. Karena �� ∈ �(�) dan � ∧ � merupakan subhimpunan fuzzy dari

semigrup bentuk bilinear �(�), sehingga (� ∧ �)(��) ≥ 0. Kondisi ini berakibat

(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).

Untuk kasus jika �� ≠ ∅,

(� ∘ �)(��) = � min{�(��), �(�)}

(��,��)∈��

Selalu berlaku:

min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��), untuk setiap (��, �) ∈ ��

Sehingga dipenuhi:

� min{�(��), �(�)}

(��,��)∈��

≤ (� ∧ �)(��)

maka akibatnya:

(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��)

Diketahui (��, �) ∈ �� , maka min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��). Selanjutnya, karena

(��, �) ∈ �� , dimiliki ��, � ∈ �(�) dan �� ≤ ��. Diketahui � ideal kanan fuzzy pada

�(�), sehingga berlaku �(��) ≥ �(��), dan �(��) ≥ �(��). Karena � ideal kiri dari

�(�), sehingga berlaku: �(��) ≥ �(��) dan �(��) ≥ �(�). Akibatnya berlaku �(��) ≥

�(�). Dengan demikian diperoleh hasil:

20

min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}

Sehingga berlaku:

(� ∧ �)(��) = min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}

▄

Proposisi 3.4 Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk

setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari semigrup �(�),

berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.

Bukti:

Misalkan � ideal kanan fuzzy dan � subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�).

Selanjutnya dibuktikan (� ∧ �)(��) ≼ (� ∘ �)(��), untuk setiap �� ∈ �(�). Diketahui

untuk setiap �� ∈ �(�) terdapat �� ∈ �(�) sedemikian sehinnga berlaku �� ≤ �� =

(��)��. Dengan demikian (��, ��) ∈ �� , yang berarti bahwa �� ≠ ∅, sehingga berlaku

(� ∘ �)(��) = � min{�(��), �(�)}

(�,� ��)∈��

Disamping juga berlaku (� ∧ �)(��)= min{�(��), �(��)}. Diketahui � ideal kanan fuzzy

dari �(�), maka berlaku: �(��) ≥ �(��). Sehingga diperoleh hubungan

min{�(��), �(��)} ≥ min{�(��), �(��)}. Dengan demikian berlaku : (� ∧ �)(��) ≤

min{�(��), �(��)}. Karena (��, ��) ∈ �� , sehingga berlaku:

min{�(��), �(��)} ≤ � min{�(��), �(�)}

(�,� ��)∈��

Sehingga dimiliki hubungan:

(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)} ≥(�,� ��)∈��min{�(��), �(��)} ≥ (� ∧ �)(��).

Dengan demikian diperoleh � ∧ � ≼ � ∘ �.

▄

Sebagai akibat dari Proposisi 3.4 tersebut, diperoleh proposisi sebagai berikut:

21

Proposisi 3.5. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk

setiap subhimpunsn fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup �(�), berlaku

� ∧ � ≼ � ∘ �.

Bukti. Bukti dari proposisi ini sejalan dengan bukti pada Proposisi 3.4.

▄

Theorem 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup

reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari

semigrup (�(�), ≤) berlaku:

� ∧ � ≼ � ∘ �, ekuivalen dengan, � ∧ � = � ∘ �

Bukti.

(⟹) Misalkan (�(�), ≤) semigrup regular, � ideal kanan fuzzy dan � ideal kiri

fuzzy dari semigrup �(�). Berdasarkan Proposisi 3.4, Maka berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �. Di

lain pihak berdasarkan Proposition 3.3 , berlaku � ∘ � ≼ � ∧ �. Dengan demikian

berlaku � ∧ � = � ∘ �.

(⟸) Misalkan berlaku � ∧ � ≼ � ∘ � untuk setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap

ideal kiri fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤), sehingga berdasarkan on Lemma 2.1,

berlaku:

⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩� ⟨��⟩�], ∀�� ∈ �(�)

Untuk �� ∈ �(�), �� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩�, maka berlaku �� ∈ (⟨��⟩� ⟨��⟩�]. Diketahui ⟨��⟩�

ideal kanan dari semigrup �(�), berdasarkan Lemma 2.3, fungsi karakteristik �⟨��⟩�

membentuk ideal kanan dari semigrup �(�). Berdasarka Lemma 2.2 fungsi

karakteristik �⟨��⟩� membentuk ideal kiri dari semigrup �(�). Sehingga dengan

mneggunakan hipotesanya, berlaku :

��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�

�(��) ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�(��)

Diketahui ��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�

�� = min��⟨��⟩� ��, �⟨��⟩�

��, sehingga diperoleh:

min��⟨��⟩� ��, �⟨��⟩�

�� ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�(��)

22

Diketahui juga �� ∈ ⟨��⟩� dan �� ∈ ⟨��⟩�, maka diperoleh ⟨��⟩�� = 1 dan ⟨��⟩�� = 1.

Dengan demikian berlaku min��⟨��⟩� ��, �⟨��⟩�

�� = 1 dan

1 ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�(��) (1)

Jika �� = ∅, maka ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�� = 0, yang tidak mungkin berdasarkan

persamaan (1). Sehingga diperoleh �� ≠ ∅.

Dibuktikan bahwa terdapat (��, �) ∈ �� sehingga berlaku �� ∈ ⟨��⟩� dan � ∈ ⟨��⟩�.

Sehingga dipunyai �� ≤ �� ∈ ⟨��⟩�⟨��⟩� dan �� ∈ (⟨��⟩�⟨��⟩�].

Andaikan setiap (��, �) ∈ �� dipunyai �� ∉ ⟨��⟩� or � ∉ ⟨��⟩�, sehingga:

min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�

(�)� = 0, ∀(��, �) ∈ �� (2)

Misalkan (��, �) ∈ �� , jika �� ∉ ⟨��⟩� maka �⟨��⟩� (��) = 0. Karena � ∈ �(�), maka

dipunyai �⟨��⟩� (�) ≥ 0. Dengan demikian diperoleh min��⟨��⟩�

(��), �⟨��⟩� (�)� = 0.

Berdasarkan pada Persamaan (2), berlaku ⋁ min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�

(�)� = 0(��,��)∈��.

Dengan �� ≠ ∅, maka berlaku:

��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�� = � min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�

(�)�

(��,��)∈��

Sehingga berlaku ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�� = 0. Berdasarkan persamaan (1) , suatu hal yamg

tidak mungkin.

▄

Akibat 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup

reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy �

dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.

Bukti :

Berdasarkan Proposisi 3.1. dan Teorema 3.1, maka terbukti Akkibat 3.1. ini.

▄

23

Akibat 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup

reguler jika dan hanya jika setiap subhimpunan fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy �

dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.

Bukti :

Berdasarkan Proposisi 3.2. dan Teorema 3.1, maka terbukti Akkibat 3.2. ini.

▄

Theorem 3.2. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan

elemen satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku

� ∘ 1 = �.

Bukti.

Misalkan � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤). Pertama dimiliki 1 ∈ �(�) ,

dengan 1 subhimpunan fuzzy dari (�(�), ≤). Misalkan �� ∈ �(�), sehingga: (� ∘

1)(��) ≤ �(��), yaitu:

Jika �� = ∅, maka (� ∘ 1)(��) = 0. Diketahui � subhimpunan fuzzy dari �(�),

sehingga �(��) ≥ 0. Dengan demikian (� ∘ 1)(��) ≤ �(��).

Jika �� ≠ ∅, maka (� ∘ 1)(��) = ⋁ min{�(��), 1(�)}(�,� ��)∈��. Sehingga dipunyai:

min{�(��), 1(�)} ≤ �(��), ∀(��, �) ∈ ��

Misalkan (��, �) ∈ �� . Diketahui �� ≤ �� dan � ideal kanan fuzzy dari �(�), sehingga

diperoleh �(��) ≥ �(��) ≥ �(��) dan �(��) ≤ 1. Diketahui juga �(�) = 1, sehingga

min{�(��), 1(�)} = �(��) ≤ �(��). Dengan demikian diperoleh (� ∘ 1)(��) ≤ �(��).

▄

Akibat 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan

elemen satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku

1 ∘ � = �.

Bukti: Bukti analog dengan bukti Teorema 3.2.

▄

24

Teorema 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan

elemen identitas “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka

� ∘ � ≼ �.

Bukti:

Diketahui � ideal kanan fuzzy dari semigrup �(�). Berlaku pula � ≼ 1 dan � ≼ �.

Berdasarkan Proposition 3.1 berlaku � ∘ � ≼ � ∘ 1. Di pihak lain berdasarkan Teorema

3.2, berlaku � ∘ 1 = �. Dengan demikian berlaku � ∘ � ≼ �.

▄

Akibat 3.4. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan

elemen identitas “1”. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �.

Bukti. Bukti Akibat 3.4 ini analog dengan bukti Teorema 3.3.

▄

Theorem 3.4. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler.

Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ≼ � ∘ �.

Bukti:

Misalkan �� ∈ �(�), selanjutnya dibuktikan �(��) ≤ (� ∘ �)(��). Diketahui �(�) reguler

maka terdapat �� ∈ �(�) sedemikian sehingga berlaku �� ≤ ��. Dengan demikian

(��, ��) ∈ �� , sehingga �� ≠ ∅. Akibatnya berlaku:

(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)}(��,��)∈��≥ min{�(��), �(�)}, ∀(��, �) ∈ ��

Diketahui (��, ��) ∈ �� , sehingga diperoleh (� ∘ �)(��) ≥ min{�(��), �(��)}.

Diketahui pula �� ≤ �� dan � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), sehingga

dipenuhi: �(��) ≥ �((��)��) ≥ �(��) ≥ �(��)

Selanjutnya diperoleh �(��) = �(��), sehingga min{�(��), �(��)} = �(��) dan

�(��) ≤ (� ∘ �)(��).

▄

25

Akibat 3.5. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika

�ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤)., maka � ≼ � ∘ �.

Bukti. Bukti Akibat 3.5 analog dengan pembuktian Teorema 3.4.

▄

Suatu subhimpunan fuzzy � dari suatu semigrup disebut idempotent jika dan hanya jika

� ∘ � = �.

Akibat 3.6. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal

kanan fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.

Bukti:

Misalkan � sebarang ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤). Berdasarkan

Teorema 3.3 berlaku � ∘ � ≼ �. Berdasarkan Teorema 3.4. berlaku � ≼ � ∘ �.

Sehingga diperoleh � ∘ � = � atau � idempoten. Secara analog, untuk sebarang ideal

kiri fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤), sehingga diperoleh � ∘ � = �.

▄

26

BAB 6

RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA

Berdasarkan hasil dari penelitian tahun pertama ini, maka untuk tahapan

berikutnya akan dilanjutkan penelitian selanjutnya untuk memperoleh Teori Baru

dengan permasalahan yang diangkat sebagai berikut:


quasi ideal kiri fuzzy?


quasi ideal kanan fuzzy?

Berdasarkan pada permasalahan tersebut, maka target hasil penelitian tahun kedua

direncanakan seperti berikut:


terurut dalam batasan quasi ideal kiri fuzzy.


terurut dalam batasan quasi ideal kanan fuzzy.

3. Publikasi Nasional pada Konferensi Nasional Matematika ke 17, ITS Surabaya, pada

bulan Juni 2014.

4. Publikasi internasional direncanakan akan dilakukan pada Quaterly of applied

Mathematics, Brown University , Volume 72, USA. Online ISSN 1552-4485; Print

ISSN 0033-569X

Selanjutnya untuk mendapatkan teori baru karakterisasi semigrup bentuk bilinear

terurut parsial dalam batasan quasi ideal kiri (kanan) fuzzy, akan ditempuh dengan cara

sebagai berikut:

1. Membentuk dan menyelidiki quasi ideal kiri fuzzy pada semigrup bentuk bilinear

terurut parsial

27

2. Membentuk dan menyelidiki quasi ideal kanan fuzzy maupun ideal fuzzy pada

semigrup bentuk bilinear terurut parsial

3. Mengarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi

ideal kiri (kanan) fuzzy

Tahap-tahap tersebut beserta indikatornya dapat diperlihatkan pada skema

berikut:

INDIKATOR: Diperoleh teori baru lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dlm batasan quasi ideal fuzy

Tahap II: Mengarakterisasi

semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal fuzy

Tahap I: Membentuk dan menyelidiki sifat quasi ideal fuzzy semigrup


INDIKATOR: Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema quasi ideal semigrup bentuk bilinear terurut parsial

TAHUN

II

28

BAB 7

KESIMPULAN DAN SARAN

7.1. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan pada Bab 5, maka dapat

disimpulkan karakteristik dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) dalam

batasan subhimpunan fuzzy dari (�(�), ≤) diberikan sebagai berikut:

1. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat elemen satuan

dan ��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi sifat

�� ≼ �� dan �� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.

2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup regular

jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]

3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan.

Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy pada �(�),

maka � ∘ � ≼ � ∧ �

4. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap ideal

kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari semigrup �(�), berlaku

� ∧ � ≼ � ∘ �.

5. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap

subhimpunsn fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup �(�), berlaku

� ∧ � ≼ � ∘ �.

6. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler

jika dan hanya jika setiap ideal kanan � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup

(�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �, ekuivalen dengan, � ∧ � = � ∘ �


jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari

semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.

29


jika dan hanya jika setiap subhimpunan fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari

semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.

9. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen

satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku

� ∘ 1 = �.

10. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan

“1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku 1 ∘ � = �.


identitas “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �.


identitas “1”. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �.

13. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika � ideal

kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ≼ � ∘ �.

14. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika �ideal

kiri fuzzy dari (�(�), ≤)., maka � ≼ � ∘ �.

15. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal kanan

fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.

7.2. SARAN Dalam penelitian ini baru diperhatikan untuk subsemigrup fuzzy khusus yang

berupa ideal (kanan/kiri) fuzzy saja. Masih banyak terdapat subsemigrup fuzzy khusus

yang lain, seperti quasi ideal. Sehingga diharapkan pada penelitian yang lain dapat

diselidiki berdasarkan subhimpunan fuzzy khusus lainnya.

30

DAFTAR PUSTAKA

Asaad,M., 1999, Group and Fuzzy Subgroup, Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328.

Howie, J.M, 1976, An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London

Kandasamy, W.B.V, 2003, Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA

Karyati, 2002, Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta.

Karyati, Wahyuni, S. 2003. The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Quotient Semigroups Induced by Fuzzy Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Subsemigrup S(B) Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2012, The Fuzzy Regularity of Bilinear Form Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011”

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2013, Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada Semigrup Bentuk Bilinear, Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika, Universitas Sebelas Maret.

Kehayopulu, N, Ponizovskii, J.S and Tsingelis, M, 2002, Bi-ideals in Ordered Semigroups and Ordered Group. Journal of Mathematics Sciences, Volume 112, no 4, p 4353-4355.

Kehayopulu, N, 2005, Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8.

Kehayopulu, N, Tsingelis, M, 2007, Green’s Relation in Ordered Groupoids in Terms of Fuzzy Subsets, Soochow Journal of Mathematics, Volume 33, no.3, pp: 383-397.

Kehayopulu, N, 2012, Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499.

Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B, 1997, Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. Prentice-Hall, Inc. USA

31

Kuroki, N.,1992, Fuzzy Congruences and Fuzzy Normal Subgroup, Information Sciences, 60, 247-259.

Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R, 2011, On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9.

Mordeson, J.N, Malik, D.S, 1998, Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics

Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore

Murali, V.,1998, Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163.

Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S, 2000, Bilinear Form and a Semigroup of Linear Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616

Shabir, M, 2005, Fully Fuzzy Prime Semigroups. International Journal of Mathematics

and Mathematical Science1 p:163-168

Shabir, M, Khan, A, 2010, Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549.

Zimmermann, H.J, 1991, Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA.

32

Lampiran 1.Personalia Tenaga Peneliti dan Kualifikasinya

Susunan Organisasi Tim Peneliti/Pelaksana dan Pembagian Tugas:

No Nama/NIDN Instansi

Asal Bidang

Ilmu

Alokasi Waktu (jam/ minggu)

Uraian Tugas

1 Karyati, S.Si, M.Si/ 0022067205

FMIPA, UNY

Aljabar, Terapan

15 1. Memimpin jalannya penelitian sehingga tercapai target

2. Melakukan analisis dan penyelidikan sebagai peneliti utama untuk mencapai target yang telah dicanangkan

3. Melakukan kegiatan publikasi nasional maupun internasional

4. Melakukan kegiatan administrasi keuangan

5. Menyusun materi untuk seminar proposal

6. Menyusun laporan kemajuan

7. Menyusunlaporan akhir 2 Dr. Dhoriva

Urwatul Wutsqa/ 0031036607

FMIPA, UNY

Statistika, Analisis

10 Membantu Penulis utama dalam melakukan kegiatan penelitian ini: 1. Memimpin jalannya

penelitian sehingga tercapai target

2. Melakukan analisis dan penyelidikan sebagai peneliti utama untuk mencapai target yang telah dicanangkan

3. Melakukan kegiatan publikasi nasional maupun internasional

4. Melakukan kegiatan administrasi keuangan

5. Menyusun materi untuk seminar proposal

6. Menyusun laporan kemajuan

7. Menyusun laporan akhir

33

Lampiran 2. Publikasi

a. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika (SNMPM) Pasca Sarjana

UNS

SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL

DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY

Karyati1), Dhoriva UW2) 1) Jurusan Pendidikan Matematika , FMIPA, UNY

Jl. Colombo No.1, Karangmalang, Yogyakarta, e-mail: [email protected]

2) Jurusan Pendidikan Matematika , FMIPA, UNY Jl. Colombo No.1, Karangmalang, Yogyakarta, e-mail: [email protected]

Abstrak

Penelitian terkait dengan Semigrup Bentuk Bilinear telah dilakukan oleh Rajendran dan Nambooripad. Penelitian ini selanjutnya dikembangkan oleh Karyati dan Wahyuni. Karakteristik semigrup bentuk bilinear fuzzy juga telah dikembangkan oleh Karyati, dkk. Berbagai aspek penyelidikan juga telah dilakukan oleh Karyati, dkk terkait dengan ideal fuzzy, relasi fuzzy, relasi kongruensi fuzzy dan relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear. Diinspirasi oleh penelitian yang dilakukan oleh Kehayopulu dan Tsengelis yang bekerja pada srtuktur aljabar semigrup terurut parsial, maka dalam penelitian ini akan dibangun suatu urutan parsial pada semigrup bentuk bilinear fuzzy. Terkait dengan penambahan operasi urutan parsial pada semigrup bentuk bilinear dan sifat khusus dari semigrup bentuk bilinear ini diperoleh beberapa sifat semigrup bentuk bilinear dalam batasan subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal (kiri/kanan) fuzzy dari semigrup bentuk bilinear tersebut.

Kata Kunci: Semigrup bentuk bilinear, urutan parsial, semigrup terurut parsial, ideal

PENDAHULUAN

Sejak teori subhimpunan fuzzy diperkenalkan oleh Zadeh, perkembangan teori

struktur aljabar fuzzy juga berkembang sangat pesat. Rosenfeld telah mengembangkan

teori subgrupoid fuzzy. Zimmerman (1991) juga telah banyak menyelidiki aplikasi

subhimpunan fuzzy ini. Mordeson & Malik (1998) telah banyak menyelidiki

pengembangan teori fuzzy pada struktur semigrup. Karyati, dkk (2012) telah

mailto:[email protected]

34

mengembangkan teori fuzzy ini pada semigrup khusus yang disebut dengan semigrup

bentuk bilinear. Teori baru telah banyak dilahirkan terkait dengan semigrup ini,

diantaranya adalah sifat regular fuzzy pada semigrup bentuk bilinear, ideal (kiri/ kanan)

fuzzy , ideal utama (kiri/kanan) fuzzy, relasi fuzzy sampai dengan relasi Green fuzzy pada

semigrup bentuk bilinear. Kehayopulu, dkk (2012) juga melakukan penelitian tentang

teori subhimpunan fuzzy yang didasarkan pada grupoid terurut parsial dan semigrup

terurut parsial.

Semigrup (�, . ) yang di dalamnya dilengkapi urutan parsial (partial order) ′ ≤ ′,

sedemikian sehingga (�, ≤) membentuk poset dan untuk setiap �, �, � ∈ � dengan � ≤ �

berlaku �� ≤ �� dan �� ≤ �� , maka (�, . ) disebut semigrup terurut parsial. Beberapa

penelitian terkait dengan semigrup terurut parsial ini telah banyak dikembangkan oleh banyak

peneliti. Pendefinisian urutan parsial ini sangat berpengaruh pada definisi-definisi ideal

(kiri/kanan), quasi ideal (kiri/kanan), relasi, ideal (kiri/kanan) fuzzy, quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy

yang selanjutnya akan memunculkan sifat-sifat dan teori-teori yang baru.

Aplikasi teknologi fuzzy dalam teknologi informasi sangat penting dan telah

berkembang dengan cepat. Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan dikembangkan

teori baru tentang struktur aljabar fuzzy yang dilengkapi dengan urutan parsial sebagai

dasar dalam mengembangkan penyelidikan selanjutnya pada bidang teknologi fuzzy

seperti teknologi informasi (khususnya automata), (Kehayopulu; 2012). Dalam hal ini

khususnya dalam mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam

batasan subhimpunan fuzzy.


berupa pasangan adjoin relative terhadap bentuk bilinear. Selama ini Karyati, baik

secara individu maupun berkelompok telah melakukan penelitian terkait dengan

semigrup ini dalam versi fuzzy. Hasil penelitian dari Kehayopulu, dkk melahirkan teori

yang dapat diaplikasikan pada teknologi informasi. Sedangkan hasil penelitian yang

telah dilakukan oleh Karyati dkk mempunyai aplikasi pada automata yang menjadi teori

mendasar pada ilmu komputer. Melihat kondisi demikian, maka sangat perlu

dikembangkan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear dan semigrup terurut parsial

ini. Dalam hal ini, pada semigrup bentuk bilinear akan ditambahkan operasi urutan

35

parsial ‘≤’ sedemikian sehingga membentuk semigrup terurut parsial. Selanjutnya akan

diselidiki karakteristik dari semigrup bentuk bilinier terurut parsial ini berdasarkan

subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal (kiri/kanan) fuzzy .

KAJIAN TEORI

Pada bagian ini akan diberikan beberapa pengertian dan sifat yang mendasari dalam

pembahasan makalah ini.

2.1 Semigrup Terurut Parsial (po_semigrup)

Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner dan

bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut:

Definisi 2.1. Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi biner ′. ′

disebut semigrup jika:

iii. (∀�, � ∈ �) �. � ∈ � iv. (∀�, �, � ∈ �) (�. �). � = �. (�. �)

Misalkan � adalah semigrup dan � ∈ � . Elemen � disebut elemen regular jika

terdapat �ʹ ∈ � sedemikian sehingga � = ��ʹ�. Semigrup � disebut semigrup regular jika

setiap elemen � merupakan elemen regular. Elemen � disebut regular lengkap jika terdapat

elemen �ʹ ∈ � sedemikian sehingga � = ��ʹ� dan ��ʹ = �ʹ�. Semigrup � disebut semigrup

regular lengkap jika setiap elemen � adalah regular lengkap.

Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan

definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut:

Definisi 2.2. Himpunan tak kosong � disebut himpunan terurut parsial ′ ≤ ′ jika

memenuhi:

iv. Refleksif : (∀� ∈ �)� ≤ � v. Antisimetri : (∀�, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � = � vi. Transitif : (∀�, �, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � ≤ �

36

Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari Partial

Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya.

Definisi 2.3 . Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi

biner ′. ′ dan ′ ≤ ′ disebut semigrup terurut parsial jika:

iv. (�, . ) membentuk semigrup

v. (�, ≤) membentuk himpunan terurut parsial (poset) vi. (∀�, �, � ∈ �)� ≤ � ⟹ �� ≤ �� dan �� ≤ ��

Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam

semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah:

Definisi 2.4. Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial, maka subhimpunan tak kosong � disebut ideal dari semigrup � jika:

iii. (∀� ∈ �)(∀� ∈ �) � ≤ � ⟹ � ∈ �

iv. �� ⊆ � �� ⊆ �

2.2. Semigrup Bentuk Bilinear


khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai

berikut:

Himpunan ℒ(�) dan ℒ(�) adalah himpunan semua operator linear � dan �. Jika

� ∈ ℒ(�), maka diperoleh subruang vektor �:

�(�) = {� ∈ � |�(�) = 0�} dan �(�) = {� ∈ �|�(�) = �, untuk suatu � ∈ � }

Elemen � ∈ ℒ(�) dikatakan pasangan adjoin dari � ∈ ℒ(�) relatif terhadap

bentuk bilinear � dan sebaliknya jika �(�, �(�)) = �(�(�), �) untuk semua � ∈ � dan

� ∈ �. Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut:

ℒ ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�

ℒ ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�

37

�(�) = {(�, �) ∈ ℒ ′(�) × ℒ′(�)��(�, �) pasangan adjoin }

Karyati, dkk (2002) mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup

terhadap operasi biner berikut: (�, �)(� ′, �′) = (�� ′, �′�). Semigrup �(�) ini

selanjutnya disebut semigrup bentuk bilinear.

Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh

Nambboripad dkk , yang dilanjutkan oleh Karyati dkk. Penelitian dilanjutkan dalam

versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk.

Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari semigrup bentuk bilinear

maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.

2.3.Semigrup Fuzzy

Merujuk pada tulisan Asaad (1991), Kandasamy (2003), Mordeson & Malik

(1998), Ajmal (1994), Shabir (2005), maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy �

pada himpunan � adalah suatu pemetaan dari � ke [0,1], yaitu �: � → [0,1]. Berikut

diberikan definisi subsemigrup fuzzy.

Definisi 2.5. Misalkan � adalah semigrup. Pemetaan �: � → [0,1] disebut subsemigrup

fuzzy jika berlaku �(��) ≥ ��{�(�), �(�)} untuk setiap �, � ∈ �.

Definisi 2.6. [Mohanraj dkk, 2011] Misal � adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup �,

maka:

(iii) � disebut ideal kiri fuzzy jika (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

(iv) � disebut ideal kanan fuzzy jika (∀�, � ∈ �)�(��) ≥ �(�)

(iii) � disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy,

yaitu: (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �� {�(�), �(�)}

Apabila � merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy,

ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari � didefinisikan sebagai berikut:

38


Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kiri fuzzy jika :

iii. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

iv. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)


Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kanan fuzzy jika :

iii. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

iv. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Dalam tulisan ini notasi ⟨�⟩� dan ⟨�⟩� masing-masing menotasikan ideal kanan

dan ideal kiri dari semigrup � yang dibangun oleh elemen � ∈ �. Selalu dipenuhi

hunbungan bahwa ⟨�⟩� = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��}. Semigrup terurut parsial

(�, ≤) disebut regular jika untuk setiap elemen � ∈ � terdapat � ∈ � sedemikian

sehingga berlaku � ≤ ��. Semigrup terurut parsial � disebut poe-semigrup jika �

memuat elemen terbesar �. Dengan demikian berlaku semigrup � merupakan semigrup

regular jika dan hanya jika � ≤ ��, untuk setiap � ∈ �. Untuk suatu � ⊆ �, maka

dinotasikan (�] = {� ∈ �|� ≤ ℎ �� ℎ ∈ ��}. Dari definisi tersebut diperoleh

� ⊆ (�]. Jika � ⊆ �, maka (�] ⊆ (�]. Berlaku juga (�](�] ⊆ (��] dan �(�]� = (�].

Dengan demikian dipenuhi ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} =

(� ∪ ��]. Untuk suatu himpunan fuzzy � pada semigrup terurut parsial (�, ≤),

didefinisikan suatu himpunan: �� = {(�, �) ∈ � × �|� ≤ ��}. Misalkan �, � adalah

subhimpuna fuzzy dari semigrup �, sehingga � ≼ � jika dan hanya jika berlaku

�(�) ≤ �(�) untuk setiap � ∈ �.

39

Proposisi 3.1. Jika (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang memuat elemen satuan dan

��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi sifat �� ≼ �� dan

�� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.

Bukti:

Ambil sebarang �� ∈ �(�), dengan �� = (�, �), � ∈ �′(�) dan � ∈ �′(�). Selanjutnya

dibuktikan (��°��)(��)≤ (��°��)(��)

c. Untuk kasus �� = ∅, maka berlaku:

(��°��)(��)= 0 ≤ 0 = (��°��)(��)

Maka diperoleh �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.

d. Untuk kasus �� ≠ ∅, maka berlaku:

(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈��

dan

(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈��

Akibatnya dimiliki:

min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)} untuk setiap (��, �) ∈ �� (1)

Selanjutnya, misalkan (��, �) ∈ �� . Karena ��, � ∈ �(�), �� ≼ ��

dan �� ≼ �� sehingga berlaku ��(��) ≤ ��(��) dan ��(�) ≤ ��(�),

maka berlaku:

min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)}

Berdasarkan Persamaan (1), berlaku:

� min{��(��), ��(�)}

(��,��)∈��

≤ � min{��(��), ��(�)}

(��,��)∈��

Akibatnya berlaku:

(��°��)(��)= (��°��)(��) untuk setiap �� ∈ �(�)

Atau berlaku:

�� ∘ �� ≼ �� ∘ ��

▄

40

Lemma 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup

regular jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]

Bukti:

(⇒)

Diketahui �(�) semigrup reguler, menurut sifat dari ideal semigrup berlaku untuk

setiap ideal kanan � dan setiap subhimpunan � pada semigrup �(�), maka :

� ∩ � ⊆ �(� ∩ �)�(� ∩ �)� ⊆ �(��)�� ⊆ (��]

Selanjutnya, misalkan �� ∈ �(�). Karena ⟨��⟩� ideal kanan dari �(�), maka dipenuhi:

⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�].

(⟸)

Ambil sebarang �� ∈ �(�), maka diperoleh:

�� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�] = ((�� ∪ ��](�� ∪ ��]] ⊆ (�(�� ∪ ��)(�� ∪ ��)�]

= �(�� ∪ ��)(�� ∪ ��)� = (�� ∪ �� ∪ ��] = (�� ∪ �� ]

Dengan demikian �� ≤ �� atau �� untuk suatu �� ∈ �(�). Jadi �(�) semigrup reguler.

▄

Jika (�(�), ≤) suatu semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan dan

� ⊆ �(�), subhimpunan fuzzy �� dari �(�) adalah fungsi karakterik dari �

didefinisikan sebqgqi berikut:

��: � ⟶ [0,1]

��(�) = �1, � ∈ �0, � ∉ �

�

Misalkan (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan.

Subhimpunan fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kanan fuzzy pada � jika: i)

�(��) ≥ �(�) untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan

fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika:i) �(��) ≥ �(�) untuk

41

setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada

semigrup � disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika � membentuk ideal kanan fuzzy

sekaligus ideal kiri fuzzy pada �. Hal ini ekuivalen dengan mengatakan � pada semigrup

� disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika dan hanya jika berlaku: i) �(��) ≥ �(�)

untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada

semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika : i) �(��) ≥ max{�(�), �(�)} untuk

setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Berdasarkan definisi tersebut,

berlaku sifat sebagai berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan.

Subhimpunan tak kosong � dari semigrup � merupakan ideal kiri dari � jika dan hanya

jika fungsi karakteristik �� ideal kiri fuzzy pada �. Secara sama juga dipenuhi sifat

berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan. Subhimpunan tak kosong �

dari semigrup � merupakan ideal kanan dari � jika dan hanya jika fungsi karakteristik ��

ideal kanan fuzzy pada �.

Proposisi 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan

elemen satuan. Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy

pada �(�), maka � ∘ � ≼ � ∧ �

Bukti:

Ambil sebarang elemen �� ∈ �(�) selanjutnya dibuktikan (� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).

Untuk kasus �� = ∅ :

(� ∘ �)(��) = 0. Karena �� ∈ �(�) dan � ∧ � merupakan subhimpunan fuzzy dari

semigrup bentuk bilinear �(�), sehingga (� ∧ �)(��) ≥ 0. Kondisi ini berakibat

(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).

Untuk kasus jika �� ≠ ∅,

(� ∘ �)(��) = � min{�(��), �(�)}

(��,��)∈��

Selalu berlaku:

42

min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��), untuk setiap (��, �) ∈ ��

Sehingga dipenuhi:

� min{�(��), �(�)}

(��,��)∈��

≤ (� ∧ �)(��)

maka akibatnya:

(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��)

Diketahui (��, �) ∈ �� , maka min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��). Selanjutnya, karena

(��, �) ∈ �� , dimiliki ��, � ∈ �(�) dan �� ≤ ��. Diketahui � ideal kanan fuzzy pada

�(�), sehingga berlaku �(��) ≥ �(��), dan �(��) ≥ �(��). Karena � ideal kiri dari

�(�), sehingga berlaku: �(��) ≥ �(��) dan �(��) ≥ �(�). Akibatnya berlaku �(��) ≥

�(�). Dengan demikian diperoleh hasil:

min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}

Sehingga berlaku:

(� ∧ �)(��) = min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}

▄

SIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil pembahasan di atas maka disimpulkan sifat-sifat semigrup

bentuk bilinear terurut parsial sebagai berikut:

1. Jika (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang memuat elemen satuan dan

��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi sifat �� ≼ ��

dan �� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.

2. Semigrup bentuk bilinear (S(B), ≤) terurut parsial regular jika dan hanya jika untuk

setiap a� ∈ S(B) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]

43

3. Misalkan (S(B), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan.

Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy pada �(�),

maka � ∘ � ≼ � ∧ �

DAFTAR PUSTAKA Asaad,M. (1999). Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 -

328. Howie, J.M. (1976). An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London Kandasamy, W.B.V. (2003). Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press

and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA Karyati. 2002. Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program

Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta. Karyati, Wahyuni, S. (2003). The Properties of Non-degenerate Bilinear Form.

Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, (2009). Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup

yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2009). Quotient Semigroups Induced by Fuzzy Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2009). Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2012). The Fuzzy Regularity of Bilinear

Form Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2013). Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada

Semigrup Bentuk Bilinear. Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika, Universitas Sebelas Maret.

Kehayopulu, N. (2005). Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups,

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8.

44

Kehayopulu, N. (2012). Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499.

Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. (1997). Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. Prentice-Hall, Inc. USA

Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R. (2011). On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9.

Mordeson, J.N, Malik, D.S, (1998,) Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics

Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore

Murali, V.,1998, Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163. Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S,( 2000, Bilinear Form and a Semigroup of Linear

Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616 Shabir, M, Khan, A, (2010), Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties

of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549.

Zimmermann, H.J, (1991,) Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic

Publishers. USA.

45

b. South East Asian Conference on Mathematics and Its Applications, ITS

Partial Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy Right

and Fuzzy Left Ideals

Karyati1 and Dhoriva Urwatul Wutsqa 2

1 Department of Mathematics Education [email protected] , [email protected] ,

2 Department of Mathematics Education [email protected]

Abstract. Research and development of Bilinear Form Semigroups have been introduced by Rajendran and Nambooripad. This research has been developed by Karyati and Wahyuni. The characteristics of the Fuzzy Bilinear Form Subsemigroup also has been developed by Karyati, at al. Many topics of research have been done by Karyati,at al. These are about fuzzy ideals, fuzzy relations, fuzzy congruences, fuzzy Green relation on Bilinear form semigroups. Inspired by the paper which is written by Kehayopulu and Tsengelis, who have studied about partial ordered semigroup, the aim of this research is to find the characteristics of the partial ordered bilinear form semigroup in term of their fuzzy right and fuzzy left ideals. We obtain some characteristics of the partial ordered bilinear form semigroup, i.e.: the necessary and sufficient condition an partial ordered bilinear form semigroup is a regular semigroup if and only if their fuzzy right � and fuzzy left � ideal, we have � ∧ � ≼ � ∘ �, equivalently, � ∧ � = � ∘ �, their fuzzy right � and fuzzy left � ideal, we have � ∧ � ≼ � ∘ �; if and only if their fuzzy right ideal � and fuzzy subset � , we have � ∧ � ≼ � ∘ �; if and only if their fuzzy subset � and fuzzy left � ideal, we have � ∧ � ≼ � ∘ � Keywords: partial ordered bilinear form semigroup, regular partial ordered semigroup,

fuzzy right ideal, fuzzy left ideal

1. Introduction and Prerequisites

Theory of fuzzy subset has been established by Zadeh. The developing of this theory

has been done by many researchers. Rosenfeld has been developed this theory to the

fuzzy subgroupoid theory. Zimmerman[20] has consider the application of the fuzzy

subsets. Mordeson & Malik[16] has developed the fuzzy subset theory on fuzzy




46

semigroup. Karyati, at al[9] have been developed the theory of Subsemigroup fuzzy

into the special semigroup called fuzzy bilinear form subsemigroup. The new theory has

been establish, i.e.: the characteristics of fuzzy right/left ideal, the fuzzy principle ideal,

fuzzy relation and Green relation on bilinear form semigroups. Kehayopulu, at al[13]

have established the theory of the partial ordered semigroup and groupoid.

A semigroup (�, . ) with a partial order operation ′ ≤ ′, such that (�, ≤) is a partial

ordered set (poset) and for every �, �, � ∈ � , with � ≤ � , we have �� ≤ �� and

�� ≤ �� , then (�, . , ≤) is called partial ordered semigroup. Many researchers have

reseach about this topic. Defining a partial order into a semigroup has many

consequences. These are related to the defining of (right/left) ideal, right/left) quasi-

ideal, fuzzy (right/left) ideal and fuzzy (right/left) quasi-ideal. Based on these

definitions, we can develope to get the new theories related to the partial ordered

semigroups. In this paper, we will find the characteristics of the partial bilinear form

semigroup in term their right and left ideals.

2. Theoretical Review

On this section, we give many definitions, theorems, lemmas, propositions and

corollaries to support this research.

2.2 Partial ordered Semigroup (po_semigrup)

A semigroup is an algebra structure with an associative binary operation.

Definition 1. Let � be a non empty set. The set � with a binary operation ′. ′ is called a

semigroup if:

i. (∀�, � ∈ �) �. � ∈ �

ii. (∀�, �, � ∈ �) (�. �). � = �. (�. �)

47

Let � be a semigroup and � ∈ � . The element � is called a regular element if there

exist �′ ∈ � such that � = ��′�. A semigroup � is called a regular semigroup if and

only if every element of � is a regular element.

The following definition give a definition of the partial partial ordered.

Definition 2. A non empty set � is called partial ordered ′ ≤ ′ if and only if:

i. Reflective : (∀� ∈ �)� ≤ �

ii. Anti symmetry : (∀�, � ∈ �) � ≤ � and � ≤ � ⟹ � = �

iii. Transitive : (∀�, �, � ∈ �) � ≤ � and � ≤ � ⟹ � ≤ �

The partial partial ordered set is called poset. The following definition give a

definition about a partial ordered semigroup:

Definition 3 . Let � be a non empty set. The set � with a binary operation ′. ′ and a

partial ordered ′ ≤ ′ is called a partial ordered semigroup if and only if:

i. (�, . ) is a semigroup

ii. (�, ≤) is a partial ordered set

iii. (∀�, �, � ∈ �)� ≤ � ⟹ �� ≤ �� and �� ≤ ��

Definition 4. Let (�, . , ≤) be a partial ordered semigroup. Then a non empty subset �

is called an ideal of a semigroup � if :

i. (∀� ∈ �)(∀� ∈ �) � ≤ � ⟹ � ∈ �

ii. �� ⊆ � �� ⊆ �

2.4. Bilinear Form Semigroups

A bilinear form semigroup is a special semigroup. We give the following theory how

to construct a bilinear form semigroup. Let ℒ(�) and ℒ(�) be a set of all linear

operator � and �, respectively. If � ∈ ℒ(�), then we get a vector subspace of �:

�(�) = {� ∈ � |�(�) = 0�} and �(�) = {� ∈ �│�(�) = �, for any � ∈ � }

An element � ∈ ℒ(�) is called an adjoin pair with � ∈ ℒ(�)with respect to the bilinear form

�, and vice versa, if and only if �(�, �(�)) = �(�(�), �) for every � ∈ � and � ∈ �. The next,

we will denote the following sets:

48

ℒ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�

ℒ ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�

�(�) = �(�, �) ∈ ℒ ′(�) × ℒ′(�)��(�, �) an adjoin pair�

Karyati at al, (2002) have proved that the set �(�) is a semigroup with respect to the binary

operation which is defined as (�, �)�� ′, �′� = �� ′, �′��, [4]. This semigroup �(�) is called a

bilinear form semigroup.

The properties of this semigroup has been establish by Rajendran &

Nambboripad, [18]. Based on this properties, Karyati at al, [5], [6], [7], [8], [9], [10],

[11] have developed this theory included the fuzzy version.

2.5. Fuzzy Subsemigroups

Refer to the papers which are written by Asaad [1], Kandasamy [3], Mordeson &

Malik [16], Shabir [19], we have a definition of a fuzzy subset � of a semigroup � is a

mapping from � into [0,1],i.e. �: � → [0,1].

Definition 5. Let � be a semigroup. A mapping �: � → [0,1]is called a fuzzy

subsemigroup if and only if �(��) ≥ min {�(�), �(�)} for every �, � ∈ �.

Definition 6. [15] Let � be a fuzzy subsemigrup of a semigroup �. Then:

i. � is a fuzzy left ideal if (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

ii. � is a fuzzy rigth idea lif (∀�, � ∈ �)�(��) ≥ �(�)

iii. � is a fuzzy ideal if � is a fuzzy left ideal and a fuzzy right ideal, i.e.: (∀�, � ∈ �)

�(��) ≥ �� {�(�), �(�)}

Let � be a partial ordered semigroup. Then the definition of a fuzzy left ideal,

fuzzy right ideal and fuzzy ideal (two sided) of � are defined as follow:

Definition 7. [15] Let (�, . , ≤) be a partial ordered semigroup . Then a fuzzy suset � of

the partial ordered semigroup � is called fuzzy left ideal if :

i. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)

49

Definition 8. [15] Let (�, . , ≤) be a partial ordered semigroup . Then a fuzzy subset �

of the partial ordered semigroup � is called fuzzy right ideal if :

�. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)

ii.(∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)

2.6. Partial Ordered Bilinear Form Semigroup in Term of The Fuzzy Subset

Based on the paper written by Calais [12], one of the characteristics of a regular

semigroup �: A semigroup � is a regular semigroup if and only if the right and left ideals

of � are idempotent. Iseki [12] proved that a semigroup � is regular if and only if for

every right ideal � and every left ideal �, � ∩ � = ��. As a consequence, if � is a

commutative semigroup then � is a regular semigroup if and only if every ideal of � is

idempotent.

In this paper, ⟨�⟩� and ⟨�⟩� denote a right ideal and a left ideal of � generated by

� ∈ �, respectively. We always have ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} = (� ∪ ��] and ⟨�⟩� = {�} ∪

{��} = (� ∪ ��]. The partial ordered semigruop(�, ≤) is called regular if and only if for

every � ∈ � there exist � ∈ � such that � ≤ ��. If � ⊆ �, then we denote (�] =

{� ∈ �|� ≤ ℎ for any ℎ ∈ ��}. Based on this notation, so we have � ⊆ (�]. If � ⊆ �,

then (�] ⊆ (�], (�](�] ⊆ (��] and �(�]� = (�]. A fuzzy subset of a semigroup � is

defined as a mapping �: � ⟶ [0,1]. For a fuzzy subset � of a partial ordered

semigroup (�, ≤), we denote �� = {(�, �) ∈ � × �|� ≤ ��}. Let �, � be fuzzy subsets

of a semigroup �. Then � ≼ � if and only if �(�) ≤ �(�) for all � ∈ �. For two fuzzy

subsets � and � of a semigroup �, we define:

(� ∘ �)(�) = �� min{�(�), �(�)},

(�,�)∈��

�� ≠ ∅

0, �� = ∅

�

We denote by �(�) the set of all fuzzy set of all fuzzy subsets of �. On �(�) we defined

other binary operation ≼ defined as follow:

For every �, � ∈ �(�), � ≼ � if and only if �(�) ≤ �(�), for every � ∈ �. The set �(�)

is a partial ordered set with respect to the operation ‘≼’.

50

The following propositions will be developed to establish many characteristics of

the partial ordered bilinear form semigroups.

Proposition 1. [11] If (�(�), ≤) is a partial ordered groupoid and ��, ��, ��, �� are

fuzzy subsets of �(�) such that �� ≼ �� and �� ≼ ��, then �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.

By Proposition 1, the set �(�) of all fuzzy subsets of � endowed with the

multiplication “∘” and the order “≼” is a partial ordered groupoid.

Lemma 1.[11] A partial ordered bilinear form semigruop (�(�), ≤) is regular if and

only if ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�], for every �� ∈ �(�)

Let (�(�), ≤) be an partial ordered bilinear form semigroup which have a unity element

and � ⊆ �(�). Then a fuzzy subset �� of �(�) is a characteristics function of �

defined by:

��: �(�) ⟶ [0,1]

��(�) = �1, � ∈ �0, � ∉ �

�

A fuzzy subset � of a semigroup � is called a fuzzy right ideal if: i) �(��) ≥ �(�), for

every �, � ∈ �, ii) If � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). A fuzzy subset � of a semigroup � is

called a fuzzy left ideal of a semigroup � if: i) �(��) ≥ �(�) for every �, � ∈ �, ii) If

� ≤ �, then �(�) ≥ �(�). A fuzzy subset � of a semigroup � is called fuzzy ideal

(two sided) of � if � is a fuzzy right and left ideal of �. This is is equivalence with � is

a fuzzy ideal (two sided) of a semigroup � if and only if: i) �(��) ≥ �(�), for every

�, � ∈ �, ii) If � ≤ �, then �(�) ≥ �(�).

Lemma 2.[6] Let � be a semigroup with an identity (unit) element. Then a non empty

subset � of a semigroup � is a left ideal of a semigroup � if and only if the

characteristics function �� is a fuzzy left ideal of �.

51

Lemma 3.[6] Let � be a semigroup with an identity element . Then a non empty subset

� of a semigroup is a right ideal of � if and only if the characteristics fungtion �� is a

right ideal of �.

Proposition 2. [11] Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with a

unit element. If � is a right of �(�) and � is a fuzzy left ideal of �(�), then � ∘ � ≼

� ∧ �.

2. Main Results

Based on Proposition 2, we can weak the condition for � become a fuzzy subset and

without a unit element. Then we get the following proposition:

Proposition 3. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for

every fuzzy right ideal � and every fuzzy subset � of �(�), we have � ∧ � ≼ � ∘ �.

Proof. Let � be a fuzzy right ideal and � be a fuzzy left ideal of �(�). Then we must

prove that (� ∧ �)(��) ≼ (� ∘ �)(��), for every �� ∈ �(�). Since �(�) is a regular, there

exist �� ∈ �(�) such that �� ≤ �� = (��)��. Then (��, ��) ∈ �� . Since �� ≠ ∅, we

have:

(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)}(�,� ��)∈��

Besides (� ∧ �)(��)= min{�(��), �(��)}. Since � is a fuzzy right ideal of �(�), we have:

�(��) ≥ �(��). Then min{�(��), �(��)} ≥ min{�(��), �(��)}. Thus we have: (� ∧

�)(��) ≤ min{�(��), �(��)}. Since (��, ��) ∈ �� , we have:

min{�(��), �(��)} ≤ � min{�(��), �(�)}

(�,� ��)∈��

Hence we have:

(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)} ≥(�,� ��)∈��min{�(��), �(��)} ≥ (� ∧ �)(��).

Therefore � ∧ � ≼ � ∘ �.

▄

52

Proposition 4. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every

fuzzy subset � and every fuzzy left ideal � of �(�), we have � ∧ � ≼ � ∘ �.

Proof. The proof of this proposition is similar with the proof of the previous proposition.

▄

Theorem 1. A partial ordered bilinear form semigroup (�(�), ≤) is regular if and only

if for every fuzzy right ideal � and every fuzzy left ideal � of (�(�), ≤) , we have :

� ∧ � ≼ � ∘ �, equivalently, � ∧ � = � ∘ �

Proof.

(⟹)

Let (�(�), ≤) be a regular semigroup, � be a fuzzy right ideal and � be a fuzzy left

ideal of �(�). Based on Proposition 3, we have � ∧ � ≼ � ∘ �. On the other hand, based

on Proposition 2, we have � ∘ � ≼ � ∧ �. Then we have � ∧ � = � ∘ �.

(⟸)

Suppose � ∧ � ≼ � ∘ � for every fuzzy right ideal � and every fuzzy left ideal � of

(�(�), ≤). Based on Lemma 1, we have:

⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩� ⟨��⟩�], ∀�� ∈ �(�)

Let �� ∈ �(�), �� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩�. Then �� ∈ (⟨��⟩� ⟨��⟩�]. Since ⟨��⟩� is a right ideal of

�(�), by Lemma 3, the characteristics function �⟨��⟩� is a fuzzy right ideal of �(�).

Based on Lemma 2, the characteristics function �⟨��⟩� is a fuzzy left ideal of �(�). Then,

by hypothesis , we have:

��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�

�(��) ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�(��)

Since ��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�

�� = min��⟨��⟩� ��, �⟨��⟩�

��, so we have:

min��⟨��⟩� ��, �⟨��⟩�

�� ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�(��)

Since �� ∈ ⟨��⟩� and �� ∈ ⟨��⟩�, so we get ⟨��⟩�� = 1 and ⟨��⟩�� = 1, then we have

min��⟨��⟩� ��, �⟨��⟩�

�� = 1 and

53

1 ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�(��) (1)

If �� = ∅, then ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�� = 0, which is impossible by (1). So we have �� ≠

∅.

We prove that there exist (��, �) ∈ �� such that �� ∈ ⟨��⟩� and � ∈ ⟨��⟩�. Then we

have �� ≤ �� ∈ ⟨��⟩�⟨��⟩� and �� ∈ (⟨��⟩�⟨��⟩�].

Suppose for each (��, �) ∈ �� we have �� ∉ ⟨��⟩� or � ∉ ⟨��⟩�. Then

min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�

(�)� = 0, ∀(��, �) ∈ �� (2)

Let (��, �) ∈ �� , if �� ∉ ⟨��⟩� then �⟨��⟩� (��) = 0. Since � ∈ �(�), we have �⟨��⟩�

(�) ≥ 0.

Hence we have min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�

(�)� = 0. Based on the equation (2), we have

⋁ min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�

(�)� = 0(��,��)∈��. Since �� ≠ ∅, we have: ��⟨��⟩�

∘ �⟨��⟩�� =

⋁ min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�

(�)�(��,��)∈��

Then we have ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�

�� = 0. Based on (1), it is impossible.

▄

Corollary 1. A partial ordered bilinear form semigroup (�(�), ≤) is regular if and

only if for every fuzzy right ideal � and every fuzzy subset � of �(�), we have: � ∧ � ≼

� ∘ �.

Proof: Based on Proposition 3 and Theorem 1 we can prove this corollary.

▄

Corollary 2. A partial ordered bilinear form semigroup (�(�), ≤) is regular if and only

if for every fuzzy subset � and every fuzzy left ideal � of �(�), we have: � ∧ � ≼ � ∘ �.

Proof: Based on Proposition 4 and Theorem 1 we can prove this corollary

▄

54

In case of a partial ordered semigroup, a right or left ideal is called idempotent if

� = (��].

Theorem 2. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity

element and � a fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Then � ∘ 1 = �.

Proof. Let � be a right ideal of (�(�), ≤). The first we have 1 ∈ �(�) i.e. 1 is a fuzzy

subset of (�(�), ≤). Let �� ∈ �(�). Then (� ∘ 1)(��) ≤ �(��), i.e.:

If �� = ∅, then (� ∘ 1)(��) = 0. Since � is a fuzzy subset of �(�), we have �(��) ≥ 0.

So (� ∘ 1)(��) ≤ �(��).

If �� ≠ ∅. Then (� ∘ 1)(��) = ⋁ min{�(��), 1(�)}(�,� ��)∈��. We have

min{�(��), 1(�)} ≤ �(��), ∀(��, �) ∈ ��

Let (��, �) ∈ �� . Since �� ≤ �� and � is a fuzzy right ideal of �(�), we have �(��) ≥

�(��) ≥ �(��). Since � is a fuzzy subset in �(�), we have �(��) ≤ 1. Since �(�) = 1,

we have min{�(��), 1(�)} = �(��) ≤ �(��). Hence we have (� ∘ 1)(��) ≤ �(��)

▄

Corollary 3. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with identity

element and � a fuzzy left ideal of (�(�), ≤). Then 1 ∘ � = �.

Proof. The proof is similar with the proof of Theorem 2.

▄

Theorem 3. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity

element and � a fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Then � ∘ � ≼ �.

Proof. Let � be a fuzzy right ideal of �(�). Since � ≼ 1 and � ≼ � and based on

Proposition 1, we have � ∘ � ≼ � ∘ 1. On the other hand, based on Theorem 2, we have

� ∘ 1 = �. Thus we have � ∘ � ≼ �.

▄

55

Corollary 4. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an

identity element and � a fuzzy left ideal of (�(�), ≤). Then � ∘ � ≼ �.


▄

Theorem 4. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and �

be a fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Then � ≼ � ∘ �.

Proof. Let �� ∈ �(�), then we must prove that �(��) ≤ (� ∘ �)(��). Since �(�) is

regular, there exist �� ∈ �(�) such that �� ≤ ��. Then (��, ��) ∈ �� . Since �� ≠ ∅, we

have:

(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)}(��,��)∈��≥ min{�(��), �(�)}, ∀(��, �) ∈ ��

Since (��, ��) ∈ �� , we obtain (� ∘ �)(��) ≥ min{�(��), �(��)}. Since �� ≤ �� and � is

a fuzzy right ideal of (�(�), ≤), then we have:

�(��) ≥ �((��)��) ≥ �(��) ≥ �(��)

Hence we have �(��) = �(��), so min{�(��), �(��)} = �(��) and �(��) ≤ (� ∘ �)(��).

▄

Corollary 5. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and �

be a fuzzy left ideal of (�(�), ≤). Then � ≼ � ∘ �.


▄

A fuzzy subset � of a semigroup is called idempotent if and only if � ∘ � = �.

Corollary 6. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup. Then

the fuzzy right ideals and the fuzzy left ideals are idempotent.

56

Proof. Let � be an arbitrary fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Based on Theorem 3, we

have � ∘ � ≼ �. And based on Theorem 4 we have � ≼ � ∘ �. So we get � ∘ � = � or it

proves that � is idempotent. Similarly, for an arbitrary fuzzy left ideal � of (�(�), ≤),

we get � ∘ � = �

▄

3 Conclusion

In this paper, we considered characterizations of partial ordered bilinear form

semigroups in term their fuzzy right and left ideals. We obtained several properties of

this semigroup. These properties are the following:

i. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy

right ideal α and every fuzzy subset β of S(B), we have α ∧ β ≼ α ∘ β.

ii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy

subset α and every fuzzy left ideal β of S(B), we have α ∧ β ≼ α ∘ β.

iii. A partial ordered bilinear form semigroup (S(B), ≤) is regular if and only if for

every fuzzy right ideal α and every fuzzy subset β of S(B), we have: α ∧ β ≼ α ∘ β

iv. A partial ordered bilinear form semigroup (S(B), ≤) is regular if and only if for

every fuzzy right ideal α and every fuzzy left ideal β of (S(B), ≤) , we have :

α ∧ β ≼ α ∘ β, equivalently, α ∧ β = α ∘ β

v. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element

and α a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then α ∘ 1 = α.

vi. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with identity element and

β a fuzzy left ideal of (S(B), ≤). Then 1 ∘ β = β

vii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element

and α a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then α ∘ α ≼ α

viii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity

element and β a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then β ∘ β ≼ β

ix. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and α be a fuzzy

right ideal of (�(�), ≤). Then � ≼ � ∘ �

57

x. Let (S(B), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and β be a fuzzy

right ideal of (S(B), ≤). Then β ≼ β ∘ β

xi. Let (S(B), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup. Then the fuzzy

right ideals and the fuzzy left ideals are idempotent.

References

1. Asaad,M.: Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328.

(1999).

2. Howie, J.M.: An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press.

London(1976).

3. Kandasamy, W.B.V. : Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and

W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA. (2003).

4. Karyati. :Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program

Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta. (2002)

5. Karyati, Wahyuni, S.: The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding

of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.

(2003).

6. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji,: Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup

yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika,

Universitas Negeri Jember. (2009).

7. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. : Quotient Semigroups Induced by Fuzzy

Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on

Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111. (2009).

8. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. : Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding

Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY. (2009).

9. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. :The Fuzzy Regularity of Bilinear Form

Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” (2012).

58

10. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada

Semigrup Bentuk Bilinear. Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika,

Universitas Sebelas Maret. (2013).

11. Karyati, Dhoriva, U.W: Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan

Subhimpunan Fuzzy. Seminar Nasional MAtematika dan Pendidikan Matematika,

PPs Universitas Sebelas Maret . (2013)

12. Kehayopulu, N : Ideals and Green Relations in Partial ordered Semigroups,

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-

8. . (2005).

13. Kehayopulu, N.: Left Regular Partial ordered Semigroups in which the Fuzzy Left

Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499.

(2012).

14. Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. :Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications.

Prentice-Hall, Inc. USA. (1997).

15. Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R. : On Generalized Redefined Fuzzy

Prime Ideals of Partial ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and

Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9. (2011).

16. Mordeson, J.N, Malik, D.S. :Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics

Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore, (1998,)

17. Murali, V.: Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163.

(1998)

18. Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S. :Bilinear Form and a Semigroup of Linear

Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616 . (2000)

19. Shabir, M, Khan, A : Characterizations of Partial ordered Semigroups by the

Properties of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications,

Volume 59, pp: 539 – 549. (2010)

20. Zimmermann, H.J. : Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic

Publishers. USA. (1991 )

LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL - CORE · Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan...

Documents

Transcript of LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL - CORE · Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan...