LAPORAN modul 2B Distribusi Statistik

Laporan Praktikum Teori Probabilitas

Modul 2B- Distribusi Statistik

Kelompok 17

1

Program Studi Teknik Industri

Universitas Diponegoro

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu cara untuk mengetahui bahwadata memiliki distribusi baik atau tidak

adalah dengan menggunakan cara distribusi statistik. Banyak kegunaan dari distribusi

statistic, salah satu penerapannya adalah dalam pengambilan keputusan terhadap suatu

masalah. Dalam suatu masalah pasti banyak kemungkinan-kemungkinan dalam

penyelesaian masalah membuat distribusi statistik. Hal itu lah yang membuat distribusi

statistik berguna untuk membantu dalam pencarian jalan keluar untuk memutuskan

suatu masalah.

Distribusi statistik memiliki banyak macam, yaitu uniform, exponensial, gamma,

weibull, normal, lognormal, beta, pearson type v, pearson type vi, log-logistic,

triangular, dan lain sebagainya. Masing-masing macam distribusi statistic memiliki

fungsi dan parameternya.

Pada laporan kali ini, praktikan akan menganilisis suatu data kontinu dan akan

melakukan pengolahan data dengan uji goodness of fit. Uji goodness of fit sendiri

adalah suatu pengujian untuk menguji apakah keragamannya cocok dengan distribusi

atau tidak. Dalam laporan ini, praktikan juga akan menampilkan beebrapa grafik hasil

dari pengolahan data dengan software Easyfit.

1.2 Tujuan Praktikum

Melalui Praktikum Teori Probabilitas Distribusi Statistik ini, praktikan

diharapkan:

1. Mengerti dan memahami macam-macam distribusi statistik

2. Memahami parameter-parameter distribusi statistik

3. Memahami fungsi atau kegunaan dari distribusi statistik



Kelompok 17

2



4. Mengenal dan mampu menganalisis distribusi statistik dengan software

Arena dan Easyfit

1.3 Pembatasan Masalah

Pada praktikum Teori Probabilitas Distribusi Statistik ini praktikan mengambil

data kontinu dari panjang rentang tangan 40 mahasiswa Teknik Industri Universitas

Diponegoro 2013. Setelah mendapatkan data, praktikan lalu melakukan uji goodness

of fit. Setelah itu praktikan mencari data dengan distribusi terbaik dan menyajikan

grafiknya. Lalu praktikan akan melakukan analisis data dari hasil pengolahan data.



Kelompok 17

3



1.4 Metodologi Praktikum

Gambar 1.1 Flowchart Metodologi Praktikum

Penutup

Identifikasi dan Perumusan

Pengolahan Data:

1. Software Arena

2. Uji Goodness of

Fit

Analisa

Studi Pustaka

Observasi

Pengumpulan

Selesai

Identifikasi masalah

Start



Kelompok 17

4



1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan laporan praktikum Teori Probabilitas Distribusi

StatistikModul 2B adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Membahas tentang latar belakang praktikum, tujuan praktikum, perumusan

masalah, metodologi dalam praktikum, dan sistematika penulisan laporan

praktikum.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Berisi tentang dasar-dasar teori distribusi statistik, yang meliputi parameter

statistik, statistika deskriptif, distribusi kontinu, dan uji Goodness of Fit. Selain

itu juga membahas mengenai software Arena dan juga software Easyfit

BAB III PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

Berisi pengumpulan dan pengolahan data. Selain itu juga berisi output software

Easyfit dan uji Goodness of Fit.

BAB IV ANALISIS DATA

Menganalisa hasil pengolahan data dari hasil perhitungan yang diperoleh dan

membandingkan hasil perhitungan manual dengan software. Selain itu juga

menganalisa output yang dari software.

BAB V PENUTUP

Berisi kesimpulan dan saran mengenai praktikum yang telah dilakukan dan juga

membahas isi laporan dalam bentuk ringkasan.



Kelompok 17

5



BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Parameter Statistik

Parameter statistik dalam suatu distribusi statistik ada tiga jenis, yaitu location

parameter, scale parameter, dan shape parameter. Setiap distribusi statistik

mempunyai minimal satu dari ketiga parameter tersebut.

Location parameter digunakan untuk menentukan lokasi titik axis dari suatu

nilai dari distribusi. Biasanya adalah midpoint (contohnya mean untuk distribusi

normal) atau lower endpoint. Location parameter sering disebut shift parameter . Jika

distribusi random variabel X mempunyai location parameter 0, kemudian distribusi dari

random variabel Y = x + mempunyai location parameter.

Scale parameter digunakan untuk menentukan unit dari ukuran nilai dalam

suatu distribusi. Standar deviasi adalah salah satu contoh scale parameter dalam

distribusi normal. Suatu perubahan dalam menekan atau memperluas pengelompokan

distribusi tanpa merubah bentuk bentuk dasarnya. Jika distribusi dengan random

variabel X mempunyai scale parameter 1, kemudian distribusi random variabel Y = X

mempunyai scale parameter .

Shape parameter menentukan, membedakan location dan scale parameter,

bentuk dasar dari distribusi dengan memperhatikan kelompok distribusi secara umum.

Perubahan di dalam secara umum merubah isi distribusi (misalnya skewness) lebih

mendasarkan pada perubahan location dan scale parameter. Beberapa distribusi seperti

distribusi eksponensial dan normal tidak mempunyai shape parameter namun distribusi

beta mempunyai 2 buah.

(Kelton,2000)



Kelompok 17

6



2.2 Statistika Deskriptif

Statistka adalah ilmu yang mempelajari tentang cara pengumpulan, pengolahan,

penyajian, dan penganalisisan data serta penarikan kesimpulan dan pembuatan

keputusan berdasrakan fakta atau data dan hasil analisis yang telah dialakukan.

Sedangkan statistika deskriptif adalah statistika yang menjelaskan atau menggambarkan

berbagai karakteristik data, sperti rata-ratanya, seberapa jauh data-data bgervariasi dan

sebagainya.Seperti telah disebutkan bahwa statistika deskriptif lebih berhubungan

dengan pengumpulan dan peringkasan data, serta penyajian hasil peringkasan tersebut.

Data statistik yang biasa diperoleh dari hasil sensus ,survei, atau pengamatan lainnya

umumnya masih acak, dan tidak terorganisir dengan baik. Data tersebut harus diringkas

dengan baik dan teratur, baik dalam bentuk tabel atau presentasi grafis sebagai dasar

untuk berbagai pengambilan keputusan.

(Kelton,2000)

2.3 Distribusi Kontinu

Distribusi Uniform

Distribusi ini terdiri dari dua nilai yaitu nilai maksimum dan minimum.

Bentuk distribusinya adalah

xbjika

bxajikaab

ax

axjika

xF

,1

,

,0

)(

……….(1)

U(0,1) adalah kasus spesial dari distribusi beta (ketika 𝛼1 = 𝛼2).

Parameternya adalah a dan b angka real dengan ; a adalah location

parameter, b – a adalah scale parameter.



Kelompok 17

7



Aplikasinya adalah digunakan sebagai model pertama untuk kuantitas yang

dirasa bervariasi secara acak antara a dan b tapi sedikit yang lain diketahui.

Distribusi U (0,1) terutama dalam nilai acak umum dari semua distribusi yang

lain.

(Kelton, 2000)

Distribusi Exponensial

Distribusi ini banyak diaplikasikan dalam waktu antar kedatangan konsumen

suatu system yang dianggap konstan, waktu kerusakan dari komponen suatu

mesin.

Distribusi :

lainyangxuntuk

xjikaexF

x

,0

01

)(

……….(2)

Parameternya adalah Scale parameter β>0

Aplikasinya adalah waktu antar kedatangan dari “pelanggan” suatu sistem

yang konstan, waktu rusaknya bagian dari suatu perlengkapan

(Kelton, 2000)

Distribusi Gamma

Distribusi ini banyak diaplikasikan untuk waktu pengerjaan suatu tugas

misalnya waktu pelayanan kepada pelanggan yang memperbaiki mobil.

Distribusi ini sama dengan distribusi eksponensial ( ), jika gamma (1, ).

Sedangkan m integer positif, distribusi gamma (m, ), disebut dengan distribusi

m-Erlang.

Bentuk distribusinya adalah:

lainyangxuntuk

xjikaj

xxe

xF j

j

0

0!

)/(/1

)(

1

0

……….(3)



Kelompok 17

8



Aplikasiya adalah waktu untuk menyelesaikan suatu pekerjaan, seperti

customer service pada reparasi mesin

Parameternya adalah Shape parameter α > 0 , scale parameter β > 0

(Kelton, 2000)

Distribusi Weibull

Aplikasi dari distribusi weibull sama dengan penerapan distribusi gamma.

Hal ini disebabkan parameter distribusi ini sama dengan distribusi gamma.

Hanya bentuk distribusinya yang berbeda.


xF =

lainyangxuntuk

xjikae x

0

01

……….(4)

Parameternya adalah shape parameter 0, scale parameter β > 0

Aplikasinya adalah waktu untuk menyelesaikan suatu pekerjaan, waktu

untuk rusaknya bagian dari perlengkapan.

(Kelton, 2000)

Distribusi Normal atau Distribusi Gauss

Distribusi peluang kontinyu yang terpenting dalam bidang statistika adalah

distribusi normal. Bentuk kurvanya seperti lonceng. Aplikasi distribusi normal

sangat banyak. Dengan fungsi padatan:

222

22

1

xexf ...........(5)

Parameternya adalah Location parameter dan scale parameter

Aplikasinya adalah data dengan kesalahan dari beberapa tipe.

(Kelton, 2000)

Distribusi Lognormal

Distribusi ini mirip dengan distribusi normal. Grafik fungsi padat dari

distribusi ini adalah:



Kelompok 17

9



lainyangxuntuk

xjikax

xxf

0

02

)(lnexp

2

1

)( 2

2

2

……….(6)

Aplikasinya adalah Waktu untuk mennjkkan suatu tugas(kepadatannya akan

mempunyai bentuk yang mirip dengan gamma ( αβ ) dan Weibull ( αβ) dengan

α>1, namun bisa mempunyai “paku” besar yang mendekati x = 0 yang sering

berguna);produk

Parameternya adalah Shape parameter α >0, scale parameter

(Kelton, 2000)

Distribusi Beta

Distribusi beta banyak digunakan untuk proporsi jumlah cacat, waktu

pengerjaan tugas seperti halnya jaringan kerja PERT.

Fungsi padatnya adalah:

……….(7)

Dengan B (𝛼1, 𝛼2) adalah fungsi beta.

Aplikasinya adalah digunakan untuk model yang tak beraturan dalam hal

kekurangan data; distribusi dari bagian yang random, seperti bagian barang yang

cacat pada saat pengiriman; waktu untuk menyelesaikan tugas, misal: dalam

sebuah jaringan kerja PERT.

Parameternya adalah Shape parameter α1 > 0 dan α2 > 0

(Kelton, 2000)

Distribusi Pearson Type V

Bentuk distribusinya adalah :

lainyangxuntuk

xjikaxF

0

0)x1(F -1)(

G

……….(8)

lainyangxuntuk

xjikaB

xx

xF

0

10),(

)1(

)(21

1121



Kelompok 17

10



Dengan FG adalah fungsi distribusi gamma (𝛼, 1/𝛽) random variabel.

Parameternya adalah shape parameter α>0, scale parameter β>0.

Aplikasinya adalah waktu untuk menyajikan suatu tugas (kepadatan

mempunyai bentuk yang mirip dengan lognormal, tapi bisa mempunyai lebih

besar “paku” yang dekat dengan x = 0)

(Kelton, 2000)

Distribusi Pearson Type VI


lainyangxuntuk

xjikax

xF

xFB

0

0)()(

……….(9)

Dimana FB(x) adalah fungsi distribusi beta (𝛼1,𝛼2) variabel random.

Aplikasinya adalah waktu untuk menyajikan suatu tugas.

Parameternya adalah Shape parameter α1 >0 dan α2 >0,

scale parameter β>0.

(Kelton, 2000)

Distribusi Log-logistic

Bentuk distribusinya adalah :

lainyangxuntuk

xjikaxxF

0

0)/(1

1

)(

……….(10)

Aplikasinya adalah waktu untuk menyajikan suatu tugas.

Parameternya adalah Shape parameter α>0, scale parameter β>0

(Kelton, 2000)

Distribusi Johnson SB

Distribusi ini adalah distribusi dengan parameter paling lengkap. Distribusi

ini mempunyai tiga parameter yang ada:

Location parameter , scale parameter, dan shape parameter



Kelompok 17

11




lainyangxuntuk

bxajikaxb

ax

xF

0

ln)(

21

……….(11)

dimana x adalah fungsi distribusi dari peubah acak normal dengan 0

dan 12 .

(Kelton, 2000)

Distribusi Johnson SU


1ln

2

21

yxyx

xF

……….(12)

Distribusi ini mempunyai tiga parameter yang ada:

Location parameter , scale parameter, dan shape parameter

(Kelton, 2000)

Distribusi Triangular

Distribusi ini mempunyai tiga parameter. Dengan a, b, dan c adalah bilangan

real. Distribusi ini menggambarkan model secara kasar dimana terjadi absence

data.


0

,2

,2

)( bxcjikacbab

xb

cxajikaacab

ax

xF

………(13)

Aplikasinya adalah digunakan sebagai model kasar dalam suatu absen data



Kelompok 17

12



a, b, dan c adalah bilangan real dengan . a adalah location parameter, b-a adalah

scale parameter, c adalah shape parameter.

(Kelton,2000)

2.4 Uji Goodness of Fit

Pengujian hipotesis kompatibilitas (goodness of fit) merupakan pengujian

hipotesis untuk menentukan apakah suatu himpunan frekuensi yang diharapkan sama

dengan frekuensi yang diperoleh dari suatu distribusi. Uji goodness of fit pada

prinsipnya bertujuan untuk mengetahui apakah sebuah distribusi teoritis tertentu

ataukah tidak. Sebagai contoh, jika sebuah dadu dilempar, maka kemungkinan

mendapat angka 5 adalah 1/6, juga kemungkinan untuk angka yang lain. Inilah yang

disebut distribusi teoritis sebuahd adu, karena terdiri atas 6 mata dadu yang mempunyai

kemungkinan seimbang untuk muncul dalam sekali pelemparan. Seandainya dilakukan

pelemparan 120 kali, seharusnya tiap mata dadu secara teoritis akan muncul masing-

masing 1/6 x 120= 20 kali(angka 1 muncul 20 kali,angkan 2 muncul 20 kali dan

seterusnya). Namun tentu kenyataan tidaklah persissama, bisa saja angka 1 muncul

hanya 10 kali, tapi angka 3 muncul 24 kali dan kemungkinan lain. Untuk mengetahui

apakah kenyataan tersebut masih bisa dianggap selaras(fit) dengan distribusi teoritis,

akan digunakan uji goodness of fit.

Dengan demikian,goodness of fit test akan membandingkan dua distribusi data,

yakni yang teoritis(frekuensi harapan) dan yang sesuai kenyataan (frekuensi observasi).

(Singgih,2010)

2.3.1 Chi-Square

Uji ini ialah suatu uji test hipotesis tertua yang ditemukan oleh K.Pearson(1900).

Langkah untuk melakukan pengujian ini adalah dengan membagi data kedalam interval

serta menentukan frekuensi amatan dan harapan. Bentuk uji statistik ini adalah:

X2= (oi-ei)^2

ei

k

i=1……….(14)

(Modul Praktikum Teori Probabilitas 2014)



Kelompok 17

13



2.3.2 Kolmogorov Smirnov

Uji Kolmogorov-Smirnov (Chakravart, Laha, dan Roy, 1967) biasa digunakan

untuk memutuskan jika sampel berasal dari populasi dengan distribusi spesifik/tertentu.

Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk menguji „goodness of fit‟ antar distribusi

sampel dan distribusi lainnya. Uji ini membandingkan serangkaian data pada sampel

terhadap distribusi normal serangkaian nilai dengan mean dan standar deviasi yang

sama. Singkatnya uji ini dilakukan untuk mengetahui kenormalan distribusi beberapa

data.

Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan uji yang lebihkuat dari pada uji chi-square

ketika asumsi-asumsinya terpenuhi. Uji Kolmogorov-Smirnov juga tidak memerlukan

asumsi bahwa populasi terdistribusi secara normal.

(https://www.academia.edu/)

2.4.3 Anderson Darling

Metode Anderson-Darling digunakan untuk menguji apakah sampel data berasal

dari populasi dengan distribusi tertentu. Anderson-Darling merupakan modifikasi dari

uji Kolmogorv-Smirnov (KS). Nilai-nilai kritis dalam uji KS tidak tergantung pada

distribusi tertentu yang sedang diuji sedangkan uji Anderson-Darling memanfaatkan

distribusi tertentu dalam menghitung nilai kritis. Ini memiliki keuntungan yang

memungkinkan tes yang lebih sensitif, tetapi kelemahannya adalah nilai-nilai kritis

harus dihitung untuk setiap distribusi. Tabel nilai-nilai kritis untuk normal, lognormal,

eksponensial, Weibull, nilai ekstrim tipe I, dan distribusi logistic dapat dilihat di

Anderson dan Darling (1954), Law danKelton (1991). Misalkan𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛 adalah data

yang akan diuji distribusi normalnya dengan tingkat signifikan α maka uji Anderson-

Darling dapatdiperoleh dengan menggunakan rumus sebagai berikut:



Kelompok 17

14



……….(15)

(http://eprints.uny.ac.id/10838/1/S%20-%2019.pdf)

2.5 Software Arena

Software Arena adalah sebuah software pengolah dan penganalisa suatu data

statistika. Software Arena ini memiliki spesialisasi untuk menyelesaikan masalah pada

system diskrit. Fungsi dari software ini pun beragam, yaitu untuk mengolah data

statistik, menganalisa suatu aliran proses data, dan juga dapat menyajikan hasil

pengolahan dalam bentuk grafik. Kegunaan lainnya juga untuk identifikasi data,

mengetahui penyebaran, dan penjadwalan.

(digilib.upnjatim.ac.id)

2.6 Software Easyfit

Software Easyfit adalah sebuah software statistic yang menggunakan dasar

statistik. Kegunaan dari software Easyfit ini adalah untuk menganalisa dasar simulasi.

Selain itu juga dapat memudahkan kita dalam analisa probabilitas data dan juga

pemilihan model terbaik. Software Easyfit ini juga dapat dengan cepat memilih

distribusi terbaik yang sesuai dengan data.

(respiratory.ipb.ac.id)

http://eprints.uny.ac.id/10838/1/S%20-%2019.pdf



Kelompok 17

15



BAB III

PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

3.1 Data Kontinu

Dalam praktikum Teori Probabilitas Modul 2B data yang digunakanadalah data

panjang rentang tangan 40 mahasiswa Teknik Industri 2013 UniversitasDiponegoro.

Data tersebut sebagai berikut:

Tabel 3.1 Data Panjang Rentang Tangan

No Jenis Kelamin Nama PRT

1 Perempuan Natalia Purba 167.2

2 Perempuan Anatashia Rosa F 164.5

3 Perempuan Pramudiastuti Ageng N 165.4

4 Perempuan Rizqi Rahmawati C 160.8

5 Perempuan Adinda Putri P 151.9

6 Perempuan Almira Puan R 160.4

7 Perempuan Laila Izzatunnisa 159.5

8 Perempuan Dhindi Oxiana Irawan 162.3

9 Perempuan Devi Amalia A 159.0

10 Perempuan Andina Pratiwi 160.0

11 Perempuan Wening Rahayuningtyas 165.4

12 Perempuan Bella Prima Novita Sari 176.7

13 Perempuan Octavia Putri W 158.8

14 Perempuan Siti Nur Azizah 161.9

15 Perempuan Octavia Rosari G 158.1

16 Perempuan Yuni Sartika 155.8

17 Perempuan Ulyvia Trisnawati 156.8

18 Perempuan Bedietra Adriz R 152.2

19 Perempuan Claudia Gita Pratiwi 153.8

20 Perempuan Tiara Ima Khota 164.6

21 Laki-laki David Kurnia S H 156.6

22 Laki-laki Deshtyan Erlangga Adi 168.2

23 Laki-laki Dhani Alfanda 176.2

24 Laki-laki Dhialma Yonathan Susilo 178.1

25 Laki-laki Donnie Cahya Gumilang Silalahi 179.8

26 Laki-laki Eko Satriyo Nugroho 171.2

27 Laki-laki Eko Sunarto 165.6



Kelompok 17

16



Lanjutan Tabel 3.1 Data Panjang Rentang Tangan

28 Laki-laki Eric Priambodo S 172.4

29 Laki-laki Fahmi Farid Priyatna 167.8

30 Laki-laki Faiz Hanif Kurniawan 170.3

31 Laki-laki Hanan Muhardiansyah 171.3

32 Laki-laki Hary Utama Kurniawan 184.2

33 Laki-laki Hilal Soleh Jolang Prakoso 163.9

34 Laki-laki Hilga Prawingga 175.2

35 Laki-laki Ilham Sudrajat Ramadhon 177.7

36 Laki-laki Joy Irfan Sembiring 187.6

37 Laki-laki Lutfi Setiawan 169.8

38 Laki-laki Mario Exaudia Purba 176.1

39 Laki-laki Maulana Arif U 181.6

40 Laki-laki Meikel Zekben S 165.8

Kemudian kami menguji data kami dengan Uji Anderson darling dengan cara

mengubah data kami menjadi 10 bagian data kombinasi.Kombinasi 1 dari data ke – 1

sampai data ke-30.Kombinasi 2 dari data ke-2 sampai data ke-31,begitu seterusnya

sampai data kombinasi ke-10.Berikut hasil dari uji Anderson Darling untuk sepuluh data

kombinasi.

Tabel 3.3 Rank dariUji Anderson Darling

Kombinasi Anderson Darling Statistik Rank

1 Wakeby 0,13408 5

2 Johnson SB 0,15432 8




6 Johnson SB 0,15665 10




10 Error 0,12347 4

Dari tabel diatas diketahui bahwa data kombinasi ke-8merupakan data yang

memiliki rank pertama,data kombinasi ke-8 merupakan kombinasi data dari data ke-8



Kelompok 17

17



sampai data ke-37 dari data kontinu.Oleh karena itu dalam grafik output software kami

menggunakan data kombinasi yang ke-8.

3.2 Output Software Easyfit

1. Beta

Gambar 3.1 Output Software Easyfit Beta



Kelompok 17

18



2. Chi-Square

Gambar 3.2 Output Software Easyfit Chi-Square



Kelompok 17

19



3. Erlang

Gambar 3.3 Output Software Easyfit Erlang



Kelompok 17

20



4. Error

Gambar 3.4 Output Software Easyfit Error



Kelompok 17

21



5. Eksponensial

Gambar 3.5 Output Software Easyfit Eksponensial



Kelompok 17

22



6. Gamma

Gambar 3.6 Output Software Easyfit Gamma



Kelompok 17

23



7. Johnson SB

Gambar 3.7 Output Software Easyfit Johnson SB



Kelompok 17

24



8. Laplace

Gambar 3.8 Output Software Easyfit Laplace



Kelompok 17

25



9. Log Pearson 3

Gambar 3.9 Output Software Easyfit Log Pearson 3



Kelompok 17

26



10. Logistic

Gambar 3.10 Output Software Easyfit Logistic



Kelompok 17

27



11. Lognormal

Gambar 3.11 Output Software Easyfit Lognormal



Kelompok 17

28



12. Normal

Gambar 3.12 Output Software Easyfit Normal



Kelompok 17

29



13. Pareto

Gambar 3.13 Output Software Easyfit Pareto



Kelompok 17

30



14. Pearson 5

Gambar 3.14 Output Software Easyfit Pearson 5



Kelompok 17

31



15. Pearson 6

Gambar 3.15 Output Software Easyfit Pearson 6



Kelompok 17

32



16. Student‟s

Gambar 3.16 Output Software Easyfit Student’s



Kelompok 17

33



17. Triangular

Gambar 3.17 Output Software Easyfit Triangular



Kelompok 17

34



18. Uniform

Gambar 3.18 Output Software Easyfit Uniform



Kelompok 17

35



19. Wakeby

Gambar 3.19 Output Software Easyfit Wakeby



Kelompok 17

36



20. Weibull

Gambar 3.20 Output Software Easyfit Weibull



Kelompok 17

37



3.3 Uji Goodness of Fit (chi square)

3.3.1 Output software arena

Gambar 3.21 Output Distribusi Normal pada Software Arena

Distribution Summary

Distribution: Normal

Expression: NORM(167, 9.14)

Square Error: 0.022042

Chi Square Test

Number of intervals = 3

Degrees of freedom = 0

Test Statistic = 1.17

Corresponding p-value < 0.005

Kolmogorov-Smirnov Test


Corresponding p-value > 0.15

Data Summary

Number of Data Points = 30

Min Data Value = 152

Max Data Value = 188

Sample Mean = 167

Sample Std Dev = 9.3

Histogram Summary

Histogram Range = 152 to 188

Number of Intervals = 5

3.3.2 Perhitungan Manual

K= 1+3,3 Log n

K= 1 + 3,3 Log 30



Kelompok 17

38



K= 5,87 ≈ 6

R = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

R = 187,6 − 152,2

R = 35,4 ≈ 36

I = 𝑅

𝑘

I = 36

6

I = 6

Tabel 3.4 Distribusi Frekuensi

Interval 𝑓 𝑓𝑘 𝑥𝑖 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2 152,2 – 158,1 6 6 155,15 930,9 167,3767 -12,2267 149,4922 896,9532

158,2 – 164,1 6 12 161,15 966,9 167,3767 -6,2267 38,77179 232,6308

164,2 – 170,1 6 18 167,15 1002,9 167,3767 -0,2267 0,051393 0,308357

170,2 – 176,1 5 23 173,15 865,75 167,3767 5,7733 33,33099 166,655

176,2 – 182,1 5 28 179,15 895,75 167,3767 11,7733 138,6106 693,053

182,2 – 188,1 2 30 185,15 370,3 167,3767 17,7733 315,8902 631,7804

Total 30 5032,5 16,6398 676,142 2621,381

Variansi

𝑆2 = 𝑓𝑖 (𝑥 − 𝑥 )2

𝑛 − 1=

2621,381

30 − 1= 90,3924

Standart Deviasi

𝑆 = 𝑓𝑖 (𝑥 − 𝑥 )2

𝑛 − 1

𝑆 = 2621,381

30 − 1

𝑆 = 9,50749



Kelompok 17

39



𝑍1 =Batas Bawah −Mean

Standar Deviasi

𝑍2 =Batas Atas −Mean

Standar Deviasi

PZ1 dan PZ2 merupakan nilai berdasarkan tabel L-3 Luas Wilayah dibawah

Kurva Normal pada Buku Walpole, nilai dilihat dari Z1 dan Z2.

Berikut tabel data hasil perhitungan keseluruhan

Tabel 3.5 Perhitungan Manual Kombinasi Terpilih

BB BA Z1 Z2 P(Z1) P(Z2) |P|=P(Z2)-P(Z1)

152,15 158,15 -1,60 -0,97 0,0548 0,166 0,1112

158,15 164,15 -0,97 -0,33 0,166 0,3707 0,2047

164,15 170,15 -0,33 0,29 0,3707 0,6141 0,2434

170,15 176,15 0,29 0,92 0,6141 0,8212 0,2071

176,15 182,15 0,92 1,55 0,8186 0,9394 0,1208

182,15 188,15 1,55 2,18 0,9394 0,9854 0,046

oi Fh oi ei oi-ei (oi-ei)^2

6 3,336 12 9,477 2,523 6,365529

6 6,141

6 7,302 6 7,302 -1,302 1,695204

5 6,213 5 6,213 -1,213 1,471369

5 3,624 7 5,004 1,996 3,984016

2 1,38

total 27,996 13,51612

Uji Goodness of Fit

1. H0= Data berdistribusi normal

2. H1= Data tak berdistribusi normal

3. Diketahui Taraf Signifikansi(α) = 0,05



Kelompok 17

40



4. Daerah Kritis x2>x

2 α

V = K-1

V = 4-1

V = 3

Berdasarkan tabel L-5 Nilai Kritik Sebaran Chi-Squared di buku Walpole

Tabel 3.6 Data Tabel L-5 Nilai Kritik Sebaran Chi-Squared

α

V 0,05

3 2,366

5. Perhitungan

𝑥2 = (𝑜𝑖 − 𝑒𝑖)2

𝑒𝑖

𝑥2 = (12−9,477 )2

9,477 +

(6−7,032 )2

7,032 +

(5−6,213 )2

6,213 +

(7−5,004 )2

5,004

𝑥2 = 2,0

6. Keputusan

Karena 𝑥2 hitung <𝑥2 tabel L-5,Maka jangan tolak H0

7. Kesimpulan

Maka ini termasuk distribusi normal.



Kelompok 17

41



BAB IV

ANALISA DATA

4.1 Analisa Output

1. Beta

Berdasarkan gambar distribusi beta data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan 2 parameter ,yaitu shape parameter 1(α1)= 1,1996 dan

shape parameter 2(α2= 1,6052. Distribusi beta juga menunjukkan lower

boundary(a) = 152,2 dan upper boundary (b) = 187,6.Distribusi beta data

kombinasi ini memiliki nilai skewness = 0,2373 dan kurtosis = - 0,96371. Data

tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari data tersebut condong

ke kiri. Nilai kurtosiss dari data tersebut < 0, oleh karena itu grafik datanya

landai atau disebut platykurtic. Nilai statistic chi squared pada data tersebut

sebesar 0,33333, pada data tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut

cocok untuk djadikan sampel.

2. Chi Squared

Berdasarkan gambar distribusi chi squared data kombinasi ke – 8 dari

data kombinasi menunujukkan deg. of freedom (ν) = 167 dan location parameter

(γ) = 0.Distribusi chi squared ini menunjukkan nilai skewness = 0,21887 dan

kurtosis = 0,07186. Data tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik

dari data tersebut condong ke kiri. Nilai kurtosiss dari data tersebut > 0, oleh

karena itu grafik datanya runcing atau disebut leptokurtic. Nilai statistic chi

squared pada data tersebut sebesar 3,4638, pada data tersebut tidak ada reject,

sehingga data tersebut cocok untuk djadikan sampel.

3. Erlang

Berdasarkan gambar distribusi erlang data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan shape parameter (m) = 323;scale parameter (β) =

0,51668 ; location parameter (γ) = 0.Distribusi erlang ini memiliki nilai



Kelompok 17

42



skewness = 0,11128 dan kurtosis = 0,01858. Data tersebut memiliki skewness

positif, sehinngga grafik dari data tersebut condong ke kiri. Nilai kurtosiss dari

data tersebut > 0, oleh karena itu grafik datanya runcing atau disebut

leptokurtic.Nilai statistic chi squared pada data tersebut sebesar 2,0499, pada

data tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut cocok untuk djadikan

sampel.

4. Exponential

Berdasarkan gambar distribusi exponential data kombinasi ke – 8 dari

data kombinasi menunjukkan inverse scale parameter (λ) = 0,00597 dan location

parameter (γ) = 0.Distribusi exponential ini memiliki nilai skewness = 2 dan

kurtosis = 6. Data tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari data

tersebut condong ke kiri. Nilai kurtosiss dari data tersebut > 0, oleh karena itu

grafik datanya runcing atau disebut leptokurtic. Nilai statistic chi squared pada

data tersebut sebesar 255,77, pada data tersebut ada reject, sehingga data

tersebut tidak cocok untuk djadikan sampel.

5. Error

Berdasarkan gambar distribusi error data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan shape parameter (k) = 3,3552;scale parameter (σ) =

9,2995;location parameter (μ) = 167,38.Distribusi error ini memiliki nilai

skewness = 0 dan kurtosis = -0,68386. Data tersebut memiliki skewness positif,

sehinngga grafik dari data tersebut condong ke kiri. Nilai kurtosiss dari data

tersebut < 0, oleh karena itu grafik datanya landai atau disebut platykurtic. Nilai

statistic chi squared pada data tersebut sebesar 0,24035, pada data tersebut tidak

ada reject, sehingga data tersebut cocok untuk djadikan sampel.

6. Gamma

Berdasarkan gambar distribusi gamma data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan shape parameter (α) = 323,95;scale parameter (β) =

0,51668;location parameter (γ) = 0.Distribusi gamma ini memiliki nilai



Kelompok 17

43





data tersebut > 0, oleh karena itu grafik datanya runcing atau disebut leptokurtic.

Nilai statistic chi squared pada data tersebut sebesar 2,1012, pada data tersebut

tidak ada reject, sehingga data tersebut cocok untuk djadikan sampel.

7. Johnson SB

Berdasarkan gambar distribusi Johnson SB data kombinasi ke – 8 dari

data kombinasi menunjukkan shape parameter (γ) = 0,45553;shape parameter (δ)

= 1,0454;scale parameter (λ) = 47,333;location parameter (ξ) = 147,98

.Distribusi Johnson SB ini memiliki nilai skewness = tidak ada dan kurtosis =

tidak ada. Nilai statistic chi squared pada data tersebut sebesar 1,0147, pada data

tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut cocok untuk djadikan sampel.

8. Laplace

Berdasarkan gambar distribusi Laplace data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan inverse scale parameter (λ) = 0,15207;;location

parameter (μ) = 167,38.Distribusi Laplace ini memiliki nilai skewness = 0 dan

kurtosis = 3. Data tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari data





9. Lognormal

Berdasarkan gambar distribusi Lognormal data kombinasi ke – 8 dari

data kombinasi menunjukkan scale parameter (σ) = 0,05433;location parameter

(μ) = 5,1188;location parameter (γ) = 0.Distribusi Lognormal ini memiliki nilai



data tersebut > 0, oleh karena itu grafik datanya runcing atau disebut



Kelompok 17

44



leptokurtic.Nilai statistic chi squared pada data tersebut sebesar 2,2167, pada

data tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut cocok untuk djadikan

sampel.

10. Log-Pearson 3

Berdasarkan gambar distribusi Log-Pearson 3 data kombinasi ke – 8 dari

data kombinasi menunjukkan shape parameter (α) = 86,955;scale parameter (β)

= 0,00593;location parameter (γ) = 4,6035.Distribusi Log-Pearson 3 ini

memiliki nilai skewness = 0,38498 dan kurtosis = 0,26825. Data tersebut

memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari data tersebut condong ke kiri.

Nilai kurtosiss dari data tersebut > 0, oleh karena itu grafik datanya runcing atau

disebut leptokurtic. Nilai statistic chi squared pada data tersebut sebesar 2,1834,

pada data tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut cocok untuk djadikan

sampel.

11. Logistic

Berdasarkan gambar distribusi Logistic data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan scale parameter (σ) = 5,1271;location parameter (μ) =

167,38.Distribusi Logistic ini memiliki nilai skewness = 0 dan kurtosis = 1,2.

Data tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari data tersebut

condong ke kiri. Nilai kurtosiss dari data tersebut > 0, oleh karena itu grafik

datanya runcing atau disebut leptokurtic. Nilai statistic chi squared pada data

tersebut sebesar 2,6707, pada data tersebut tidak ada reject, sehingga data

tersebut cocok untuk djadikan sampel.

12. Normal

Berdasarkan gambar distribusi Normal data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan scale parameter (σ) = 9,2995;location parameter (μ) =

167,38.Distribusi Normal ini memiliki nilai skewness = 0 dan kurtosis = -0. Data





Kelompok 17

45




sebesar 2,7196, pada data tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut cocok

untuk djadikan sampel.

13. Pareto

Berdasarkan gambar distribusi Pareto data kombinasi ke – 8 dari data


152,2.Distribusi Pareto ini memiliki nilai skewness = 2,7415 dan kurtosis =

13,856. Data tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari data



data tersebut sebesar 4,0923, pada data tersebut tidak ada reject, sehingga data

tersebut cocok untuk djadikan sampel.

14. Pearson 5

Berdasarkan gambar distribusi Pearson 5 data kombinasi ke – 8 dari data


56794,0;location parameter (γ) = 0.Distribusi Pearson 5 ini memiliki nilai



data tersebut > 0, oleh karena itu grafik datanya runcing atau disebut leptokurtic.



15. Pearson 6

Berdasarkan gambar distribusi Pearson 6 data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan shape parameter 1 (α1) = 25,651; shape parameter 2

(α2) = 9,5522E+8;scale parameter (β) = 6,3471E+9;location parameter (γ) =

0.Distribusi Pearson 6 ini memiliki nilai skewness = 0,3949 dan kurtosis =

0,23391. Data tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari data




Kelompok 17

46



grafik datanya runcing atau disebut leptokurtic.Nilai statistic chi squared pada



16. Student‟s t

Berdasarkan gambar distribusi Student‟s t data kombinasi ke – 8 dari

data kombinasi menunjukkan deg.of freedom = 2.Distribusi Student‟s t ini

memiliki nilai skewness = tidak ada dan kurtosis = tidak ada. Nilai statistic chi

squared pada data tersebut sebesar 2,4945E+6, pada data tersebut ada reject,

sehingga data tersebut tidak cocok untuk djadikan sampel

17. Triangular

Berdasarkan gambar distribusi Triangular data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan mode parameter (m) = 162,33;lower boundary

parameter (a) = 152,2;upper boundary parameter (b) = 187,6.Distribusi

Triangular ini memiliki nilai skewness = 0,37565 dan kurtosis = -0,6. Data




sebesar 3,6667, pada data tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut cocok

untuk djadikan sampel.

18. Uniform

Berdasarkan gambar distribusi Uniform data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan lower boundary parameter (a) = 151,27;upper boundary

parameter (b) = 183,48.Distribusi Uniform ini memiliki nilai skewness = 0 dan

kurtosis = -1,2. Data tersebut memiliki skewness positif, sehinngga grafik dari

data tersebut condong ke kiri. Nilai kurtosiss dari data tersebut < 0, oleh karena

itu grafik datanya landai atau disebut platykurtic. Nilai statistic chi squared pada


tersebut tidak cocok untuk djadikan sampel



Kelompok 17

47



19. Wakeby

Berdasarkan gambar distribusi Wakeby data kombinasi ke – 8 dari data

kombinasi menunjukkan shape parameter (α) = 25,09;scale parameter (β)

=1,5546;location parameter (γ) = 6,4568;shape parameter (δ) = -0,14239;

location parameter (ξ) = 151,9.Distribusi Wakeby ini memiliki nilai skewness =

tidak ada dan kurtosis = tidak ada . Nilai statistic chi squared pada data tersebut

sebesar 0,18747, pada data tersebut tidak ada reject, sehingga data tersebut

cocok untuk djadikan sampel.

20. Weibull

Berdasarkan gambar distribusi Weibull data kombinasi ke – 8 dari data


170,73;location parameter (γ) = 0.Distribusi Weibull ini memiliki nilai skewness

= -0,088163 dan kurtosis = 1,3158. Data tersebut memiliki skewness negatif,

sehinngga grafik dari data tersebut condong ke kanan. Nilai kurtosiss dari data

tersebut > 0, oleh karena itu grafik datanya runcing atau disebut leptokurtic.



4.2 Analisa Perbandingan Manual dan Software Uji Goodness of Fit

Tabel 4.1 Perbandingan Manual,Easyfit,dan Arena

Karakteristik

Data Manual Easyfit Arena

Mean 167,3767 167,38 167

Variansi 90,3924 86,48 86,49

Standar Deviasi 9,50794 9,2995 9.3

α 0,05 0,05 0,05

Derajat

Kebebasan 4 3 0

X2

2 2,7196 1,17



Kelompok 17

48



LanjutanTabel 4.1 Perbandingan Manual,Easyfit,dan Arena

Daerah Kritis 2,366 7,8147 7,8147

Keputusan Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Kesimpulan Diterima Diterima Diterima

Dalam data perbandingan ketiga metode diatas ada beberapa perbedaan dalam

hasil perhitungan antara metode manual,software easyfit,dan arena.

Mean

Dalam perhitungan manual nilai mean = 167,3767;Easyfit = 167,38;Arena =

167.Ada sedikit perbedaan dalam hasil perhitungan mean namun selisihnya sangat

sedikit,itu dikarenakan pembulatan nilai entah itu pada manual,Easyfit ataupun Arena.

Variansi

Dalam perhitungan manual nilai variansi = 90,3924;Easyfit = 86,48;Arena =

86,49.Perbedaan nilai variansi pada perhitungan manual dengan software itu

dikarenakan pada perhitungan manual kami menggunakan nilai pendekatan yang

berasal dari data kelompok yang pastinya memiliki error saat pembuatan data

kelompoknya.Sedangkan perbedaan nilai pada kedua software hanya dikarenakan cara

pembulatan nilai.

Standar Deviasi

Dalam perhitungan manual nilai standar deviasi = 9,50794;Easyfit = 9,2995;

Arena = 9,3.Perbedaan niali standar deviasi pada perhitungan manual dengan software

itu dikarenakan pada perhitungan manual kami menggunakan nilai mean pendekatan

yang berasal dari data kelompok yang pastinya memiliki error saat pembuatan data

kelompoknya.Sedangkan perbedaan nilai pada kedua software hanya dikarenakan cara

pembulatan nilai.

Nilai α

Untuk nilai α dalam perhitungan manual dan kedua software memiliki nilai yang

sama yaitu,0,05.



Kelompok 17

49



Derajat Kebebasan

Untuk derajat kebebasan dalam perhitungan manual nilainya = 4;Easyfit= 3;

Arena = 0.Perbedaan nilai pada perhitungan manual dan dengan Easyfit berbeda karena

syarat penentuan nilai derjat kebebasan yang berbeda antara manual dan dengan

software Easyfit.Sedangkan nilai derajat kebebasan pada Arena = 0,karena dalam input

data kami menggunakan nilai data yang sudah ada pada software notepad sehingga nilai

derajat kebebasannya = 0.

Statistik(x2)

Nilai x2

berbeda satu sama lain dalam ketiga metode perhitungan yaitu dengan

manual =2,0;Easyfit=2,7196;Arena1,17 disebabkan perbedaan macam-macam cara

perhitungan.Jika dalam perhitungan manual errornya dikarenakan nilai-nilai yang

digunakan berasal dari data berkelompok sedangkan dalam kedua software,perbedaan

nilai yang terjadi karena perbedaan cara dan input data.

Daerah Kritis

Nilai daerah kritis dengan cara manual = 2,366;Easyfit dan Arena = 7,8147.

Selisih perhitungan itu terjadi karena dalam menghitung daerah kritis pada cara manual

kami menggunakan nilai-nilai pendekatan dari data kelompok yang bukan nilai

sebenarnya dalam artian bukan nilai baku.

Sesuai dengan data yang ada,niali ketiga metode menunjukkan bahwa data bisa

diterima dan ketiga metode menunjukkan juga bahwa data berdistribusi normal.



Kelompok 17

50



BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari praktikum modul 2B yaitu mengenai distribusi statistik dapat diambil

beberapa kesimpulan yaitu :

1. Distribusi statistik dibagi menjadi 2 yaitu :

Distribusi Diskrit : Distribusi yang datanya diambil dari perhitungan

Distribusi Kontinu : Distribusi yang datanya diambil dari hasil

pengukuran

Dalam modul 2B ini kami menggunakan 20 macam distribusi kontinu

yaitu beta,chi squared,erlang,error,ekspoential,gamma,johnson SB,

laplace,log pearson 3,logistic,lognormal,normalpareto,pearson 5,pearson

6, student‟s t,triangular,uniform,wakeby,dan weibull.

2. Parameter distribusi statistic dibagi menjadi 3 yaitu:

Location parameter, untuk menentukan titik axis dari suatu nilai

distribusi

Scale parameter, menentukan nilai dari ukuran nilai dalam suatu

distribusi.

Shape parameter membedakan location dan scale parameter, bentuk

dasar dari distribusi dengan memperhatikan kelompok distribusi secara

umum.

Salah satu distribusi kontinu yang menggunakan ketiga parameter ini ialah

Log Pearson 3 dengan nilai Shape Parameter = 86,995;Scale Parameter =

0,00593;dan Location Parameter = 4,6035.

3. Distribusi statistik mempunyai fungsi menentukan jenis/tipe distribusi apa yang

paling cocok digunakan dalam suatu data yang telah diketahui.Sedangkan fungsi

dari goodness of fit adalah mengetahui keragaman suatu data.



Kelompok 17

51



4. Untuk mengolah data, menyajikan dan menganalisa data diskrit ini dipermudah

dengan penggunaan software-software pada komputer seperti easyfit dan Arena.

Perbedaan pada penggunaan software easyfit dan Arena yaitu:

Easyfit : penggunaan easyfit lebih mudah digunakan oleh user

Arena : penggunaan software Arena lebih sulit penggunaanya

dikarenakan input data dilakukan dengan langka-langkah yang sulit.

Dalam modul 2b ini kami menggunakan software Arena untuk melakukan Uji

Goodness of Fit dan hasilnya sebagai berikut:

Distribution Summary

Distribution: Normal

Expression: NORM(167, 9.14)

Square Error: 0.022042

Chi Square Test

Number of intervals = 3

Degrees of freedom = 0


Corresponding p-value < 0.005

Data Summary

Number of Data Points = 30

Min Data Value = 152

Max Data Value = 188

Sample Mean = 167

Sample Std Dev = 9.3



Kelompok 17

52



Sedangkan Easyfit kami gunakan untuk menyajikan grafik dan melihat nilai-nilai

tertentu yang dibutuhkan.Kemudian ditentukan bahwa uji Anderson Darling,pada

distribusi normal (chi squared) merupakan uji terbaik atau paling cocok.

5.2 Saran

Saran dari kelompok 17 untuk kelancaran praktikum selanjutnya adalah

1. Lebih baik bila modul 2A dan 2B dipisah saja pengerjaannya, karena materi

yang sama sekali berbeda.

2. Pemahaman tentang materi sebaiknya lebih diperdalam oleh para praktikan.

3. Praktikan dapat lebih memahami penggunaan softwareyang akan digunakan

untuk pengerjaan laporan praktikum

LAPORAN modul 2B Distribusi Statistik

Documents

Transcript of LAPORAN modul 2B Distribusi Statistik