5

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangLimit merupakan teori yang mendasari kalkulus sehingga untuk selanjutnya limit selalu digunakan pada bagian-bagian lain dari kalkulus. Sedangkan kalkulus sendiri merupakan salah satu cabang matematika yang mempunyai peranan penting dalam kehidupan, misalnya perancangan bangunan, menghitung isi badan pesawat, dan menentukan laju perubahan kecepatan pada mobil. Maka dari itu pemahaman terhadap limit sangatlah penting. Oleh karenanya laporan ini disusun untuk lebih menajamkan pemahaman mengenai limit agar bisa diaplikasikan dalam kehidupan ini secara benar.

1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang di atas, didapat beberapa permasalahan diantaranya yaitu:1. Apakah pengertian dari limit?2. Apakah pengertian dari limit fungsi?3. Bagaimana cara menentukan nilai limit?4. Bagaimanakah sifat-sifat limit?

1.3 TujuanBerdasarkan rumusan msalah di atas, tujuan dari laporan ini adalah:1. Untuk mengetahui pengertian limit2. Untuk mengetahui pengertian limit fungsi3. Untuk mengetahui cara menentukan nilai limit4. Untuk mengetahui sifat-sifat limit

1.4 ManfaatManfaat yang diperoleh dari laporan ini adalah:1. Memberikan informasi tentang pengertian limit2. Memberikan informasi tentang pengertian limit fungsi3. Memberikan informasi tentang cara menentukan nilai limit4. Memberikan informasi tentang sifat-sifat limit

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi LimitSuatu barisan {cn} dikatakan mempunyai limit 1 bila untuk setiap bilangan > 0 dapat dicari suatu nomor indeks n0 sedemikian sehingga untuk n n0 berlaku l - < cn < l + (atau cn - l< ). Artinya jika l adalah limit dari {cn} maka cn mendekati l jika n mendekati tak hingga (Yusuf Yahya, Suryadi, Agus,1990).Secara matematis lim f(x) untuk xa = L berarti bahwa untuk semua bilangan positif E yang diberikan , terdapat >0 sedemikian sehingga jika 0 0 kita dapat menunjukkan bilangan > 0 sedemikian sehingga f(x) - l< E (Suharto, 1992:67-68).

2.3 Menentukan Nilai LimitBeberapa Cara dalam Menentukan Nilai Limit adalah sebagai berikut:1. Cara subtitusiMencari nilai limit dengan subitusi langsung caranya nilai x=a disubtitussikan ke dalam fungsi f(x). Nilai yang diperoleh merupakan nilai limit fungsi.2. Cara FaktorisasiJika dengan subtitusi nilai limit diperoleh bentuk tak tentu maka bentuk limit disederhanakan dengan menghilangkan faktor yang sama kemudian digunakan subtitusi untuk memperoleh hasilnya.

3. Cara Mengalikan Bentuk SekawanJika dengan subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka limit fungsi yang memuat bentuk akar disederhanakan dengan mengalikan memperoleh hasilnya.

2.4 Sifat-Sifat LimitBila limit f(x) = l dan limit g(x) = m maka:1. =l2. =l.m3. = = ; (bila m0)4. = ; (bila m0)Rumus: = e (Suharto, 1992:68).

BAB 3. METODOLOGI

3.1 Alat dan BahanAlat dan bahan yang diperlukan dalam praktikum ini adalah:3.1.1 AlatPerangkat komputer yang terdiridari layar monitor, CPU, keyboard, mouse. Juga bisa menggunakan laptop atau notebook.3.1.2 BahanWindows 7 untuk program maple 13 atau Windows XP untuk program maple 8 yang digunakan untuk praktikum matematika tantang limit.3.1.3 Cara KerjaCara kerja untuk mengoperasikan limit dalam maple ialah sebagai berikut:1. Tekan tombol power pada CPU2. Tunggu hingga komputer siap digunakan3. Klik aplikasi Maple yang sudah ada di layar komputer4. Klik restart terlebih dahulu5. Maple siap dioperasikan untuk mengerjakan soalsoal limit 6. Beri tanda ; pada akhir pengoperasian7. Jika telah selesai, klik tanda X pada bagian pojok kanan atas8. Jika ingin disimpan pilih dan klik Yes9. Jika tidak disimpan pilih dan klik No10. Klik start lalu pilih shutdown dan OK jika ingin mematikan komputer.

BAB 4. PEMBAHASAN

4.1 Pengertian LimitDalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

4.2 Pengertian Limit FungsiLimit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

4.3 Cara Menentukan Nilai LimitMenetukan nilai limit selain dengan cara subtiusi, faktorisasi, maupun dengan mengalikan dengan bentuk sekawan, juga bisa dicari dengan menggunakan aplikasi maple. Pada pengoperasiannya digunakan rumus-rumus tertentu misalnya dengan menggunakan value(%) maupun degan limit namun sebelumnya harus di definisikan terlebih dahulu agar nilai limit dapat diketahui. Berikut ini beberapa rumus yang digunakan untuk mengoperasikan limit dalam program maple:1. Mencai nilai limit> Limit((f(x)+g(x)),x=3);

> value(%);

> (limit(f(x),x=3))+(limit(g(x),x=3));

2. Operasi limit jika dihitung dari kanan> Limit(x+5,x=3,right);

3. Operasi limit jika dihitung dari kiri> Limit(x+5,x=3,left);

4. Operasi limit tak hingga> Limit(x+5,x=infinity);

5. Mencari batasan nilai yang memenuhi limit fungsi> discont(x+5/x,x);

6. Mengetahui harga limit dari batasan nilai tertentu> iscont(x+5,x=0..10);

4.1.1 Aplikasi Limit dalam Maple> restart;> f:=x->3*x+5;

> finv:=(x)->solve((f@g)(x)=x,g(x));

> finv(x);

> solve((f@g)(x)=x,g(x));

> restart;> g:=(x)->x^2+3;

> f:=(x)->x^2-4;

> Limit((f(x)+g(x)),x=3);

> value(%);

> (limit(f(x),x=3))+(limit(g(x),x=3));

> (limit(f(x),x=3))-(limit(g(x),x=2));

> (limit(f(x),x=3))*(limit(g(x),x=2));

> (limit(f(x),x=3))/(limit(g(x),x=2));

> f:=(x)->(x+5)/x;

> limit(x+5/x,x=0,left);

> limit(x+5/x,x=0,right);

> Limit(f(x),x=0,right);

> limit(f(x),x=0);

> discont(x+5/x,x);

> iscont(f(x),x=0..10);

4.2 Sifat-sifat limitUntuk n bilangan bulat positif, fungsi f dan g memiliki limit di a, berlaku sifat-sifat limit fungsi berikut:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. dengan 9. n

BAB 5. PENUTUP

5.1 KesimpulanDalam matematika konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinuan.

5.2 SaranMelihat manfaat limit dalam ilmu matematika terutama dalam pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari hari, maka perlu adanya pemahaman lebih dalam mengenai limit dalam ilmu matematika, hal ini bisa dilakukan dengan praktikum serta mengaplikasikan langsung dalam kehidupan nyata.

BAB 5. DAFTAR PUSTAKA

Yusuf Yahya, Suryadi, Agus. 1990. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Jakarta : Ghalia Indonesia.Suharto. 1992. Matematika Terapan Untuk Pergurun Tinggi. Jakarta : Rineka Cipta.Soemartojo. 1988. Kalkulus Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga.