General market equilibrium

PAGE 47Silvester Ansel Urep, SE, MSc, Matematika Ekonomi, 2008

Literatur :

1. Jan Jaques, Mathematics for Economics and Business, Addison Wesley Longman Inc, New York2. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods Of Mathematical Economics, McGraw Hill Inc3. Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi, UGM Yogyakarta4. Kemeny, Finite Mathematic, McGraw Hill Inc. New York5. Supranto, Pengantar Matrik, Lembaga Penerbit Univeritas Indonesia6. Robert Markland and James Sweigart : Quantitative Methods, Application to Managerial Decision Making, Mc Draw HillANALISIS PENAWARAN DAN PERMINTAAN (SUPPLY AND DEMAND ANALYSIS)

Ilmu ekonomi mikro merupakan ilmu yang terkonsentrasi menganalisis tentang analisis teori dan kebijakan ekonomi individu, perusahaan dan pasar. Pada bagian ini membahas tentang menentukan ekuilibrium pasar dengan keseimbangan antara penawaran dan permintaan.

Fungsi (f)

Contoh : Y=2x+3

Jadi, f(x) = 2x+3

5

13

In

out

-17

-31

f(5) = 13

f(-17) = -31

Keterangan : x = incoming value

y = outgoing value

Example :

Gambarkan kurva fungsi permintaan : P = -2Q + 50. Tentukan nilai dari :

a) P jika Q = 9b) Q jika P = 10

Solusi :

Jika P = 0, maka Q = 25

Jika Q = 0, maka P = 50a. P = -2Q + 50

P = -2(9) + 50

P = -18 + 50

P = 32, (9,32)

b. P = -2Q + 50

10 = -2Q + 50

-40 = -2Q

Q = 20 (20,10)

P 50

32

10

9 20 25

QModel Fungsi Permintaan Konsumen

Keterangan :

Q = Jumlah barang yang diminta

P = Harga barang

Y = Pendapatan konsumen

Ps = Harga barang substitusi

Pc = Harga barang komplementer

A = Biaya iklan

T = Selera konsumen

Example : Diketahui fungsi penawaran dan fungsi permintaan sebagai berikut :

P = -2Qd + 50

P = 1/2Qs + 25

Tentukan :

a. Harga barang dan jumlah barang equilibriumb. Efek pada equilibrium pasar jika pemerintah menetapkan pajak $5 untuk setiap barang

Solusi :

Fungsi Permintaan P = -2Qd + 50

Jika P = 0, maka Q = 25

Jika Q = 0, maka P = 50

Fungsi Penawaran P = 1/2Qs + 25

Jika P = 0, maka Q = -50

Jika Q = 0, maka P = 25

a. Equilibrium Pasar

Permintaan = Penawaran

-2Qd + 50 = 1/2Qs + 25

-4 Qd + 100 = Qs + 50

-5Q = -50

Q = 10

Substitusikan nilai Q untuk mendapatkan nilai P

P = -2Q + 50

P = -2(10) + 50

P = -20 + 50

P = 30, Titik Equilibrium (10,30)

b.Jika pemerintah menetapkan pajak sebesar $5 untuk setiap barang, maka fungsi penawaran menjadi:

P - 5 = 1/2Qs + 25

P = 1/2Qs + 30b. Equilibrium Pasar

Permintaan = Penawaran

-2Qd + 50 = 1/2Qs + 30

-4 Qd + 100 = Qs + 60

-5Q = -40

Q = 8

Substitusikan nilai Q untuk mendapatkan nilai P

P = -2Q + 50

P = -2(8) + 50

P = -16 + 50

P = 34, Titik Equilibrium (8,34)

Supply curve after tax

50

Supply curve before tax

30

25

25

QExample :

Diketahui fungsi penawaran dan permintaan untuk 2 komoditi sebagai berikut :Qd1 = 10 2P1 + P2Qd2 = 5 + 2P1 2P2Qs1 = -3 + 2P1Qs2 = -2 + 3P2Tentukan : harga barang dan jumlah barang equilibrium untuk model persamaan 2 komoditi tersebut !

Solusi :

Qd1 = Qs1 dan Qd2 = Qs2Qd1 = Qs110 2P1 + P2 = -3 + 2P1-4P1 + P2 = -13.(a)

Qd2 = Qs25 + 2P1 - 2P2 = -2 + 3P22P1 - 5P2 = -7(b)

Persamaan (a) dan (b) di eliminasi :

-4P1 + P2 = -13

2P1 - 5P2 = -7

-4P1 + P2 = -13

4P1 - 10P2 = -14 + -9 P2 = -27

P2 = 3

Substitusikan nilai P2 ke salah satu persamaan

-4P1 + P2 = -13

-4P1 + 3 = -13

-4P1 = -16

P1 = 4

Maka diperoleh :

Qd1 = 10 2P1 + P2Qd1 = 10 2(4) + (3)

Qd1 = 10 8 + 3

Qd1 = 5

Qd2 = 5 + 2P1 2P2Qd2 = 5 + 2(4) 2(3)

Qd2 = 5 + 8 6

Qd2 = 7

Qs1 = -3 + 2P1Qs1 = -3 + 2(4)

Qs1 = -3 + 8

Qs1 = 5

Qs2 = -2 + 3P2Qs2 = -2 + 3(3)

Qs2 = -2 + 9

Qs2 = 7

General Market EquilibriumDalam model pasar tertutup, kondisi ekuilibriumterdiri dari satu persamaan Qd = Qs atauE = Qs Qd = 0, dimana E adalah ekses demand.

Jika terjadi satu set harga Pi pada jumlah Qi yang sesuai, s.r.s semua persamaan yang berada dalam kondisi ekulibrium akan memenuhi persamaan simultan.Model pasar dua komoditi (Two commodity market model )

Sebagai ilustrasi akan dianalisis satu model sederhana dengan dua komoditi yang saling berhubungan. Misalkan fungsi demand dan fungsi suplai dengan dua komoditi yang diasumsikan linier. Dalam persamaan matematis, modelnya dapat ditulis sbb :

Untuk produk 1

Qs1 Qd1= 0

Qd1 = ao + a1 P1 + a2 P2Qs1 = bo + b1 P1 + b2 P2Untuk produk 2Qs2 Qd2= 0

Qd2 = o + 1 P1 + 2 P2Qs2 = o + 1 P1 + 2 P2Dimana : a dan b adalah koefisien fungsi demand dan supply dari barang pertama

dan adalah koefisien fungsi demand dan supply dari barang kedua

Selanjutnya dapat dilakukan eliminasi

(ao - bo) + (a1 b1)P1 + (a2 - b2)P2 = 0(o - o) + (1 - 1) P1 + (2 - 2)P2 = 0

i = ai - bi

i = i - i (dimana i = 0, 1, 2)1P1 + 2P2 = - 0 ......... 1)1P1 + 2P2 = - 0 ........ 2)dari persamaan pertama diperoleh P2 = - (0 + 1P1)/ 2sehinggaP1 = (20 - 02)/ (12 - 21), dan

P2 = (01 - 10)/ (12 - 21)Dalam kasus ini 12 21Contoh :Qd1 = 10 2P1 + P2

Qs1 = -2 + 3 P1

Qd2 = 15 + P1 P2

Qs2 = -1 + 2P20 = 10 - (-2) = 12

1 = -2 - 3 = -5

2 = 1- 0 =1

0 = 15 - (-1) = 16

1 = 1 - 0 = 1

2 = -1 - 2 = -3P1 = 52/ 14

P2 = 92/ 14

Q1 = 64/ 7

Q2 = 85/ 7Untuk kasus n komoditi (n commodity case)

Qdi = Qdi (P1, P2, P3, ........... Pn)Qsi = Qsi (P1, P2, P3, ............ Pn)

dimana i = 1, 2, 3, ............. n

Ini berarti Qsi Qdi= 0

Jika persamaan ini ditambahkan dengan persamaan di atas maka akan diperoleh n persamaan simultan

Qdi (P1, P2, P3, ........... Pn) - Qsi (P1, P2, P3, ............ Pn) = 0

Ei = Qdi QsiEi (P1, P2, P3, ......... Pn) = 0Penyelesaian secara simultan terhadap n persamaan ini akan menentukan n harga equlibrium Pi. Sedangkan kuantitas Qi bisa diturunkan dari fungsi demand dan fungsi supplyAnalisis keseimbangan pendapatan nasional (Equilibrium in national income analysis)

Y = C + Io + Go, sedangkan C = a + bY

Y = a + bY + Io + Go

Y bY = a + Io + Go

Y (1 b) = a + Io + Go

Dengan demikian, nilai Y (equlibrium national income)

Y = (a + Io + Go)/ (1-b)

C = a + bY

C = a + [ b(a + Io + Go) / (1 b) ]

C = [a(1- b) + b(a + Io + Go] / (1-b)

C = [a + b(Io + Go)] / (1 b)dimana b = marginal propensity to consumpt

Analisis Investasi Pada Suatu Proyek.

Untuk proyek-proyek yang belum ada, analisis kelayakan ekonomis (economic feasibility analysis) menjadi dasar pertimbangan apakah proyek tersebut layak dibangun atau dikembangkan. Misalnya, suatu proyek mungkin saja memiliki keunggulan fisik, tapi hanya memberikan manfaat yang kecil secara ekonomis, maka dalam kasus seperti ini harus dibuat pertimbangan yang matang dari pimpinan perusahaan sehingga dapat diambil keputusan apakah proyek tersebut bisa dijalankan atau dibatalkan. Demikian pula untuk proyek-proyek yang sudah ada, pertimbangan-pertimbangan ekonomi sangat perlu dilakukan dan menjadi dasar untuk analisis kelayakan operasional dari suatu proyek.

Dalam operasional proyek, banyak rancangan alternatif yang dapat dibuat untuk penerimaan (manfaat ekonomi) dan pengeluaran berupa biaya-biaya, sepanjang umur proyek. Oleh karena itu, untuk memaksimumkan keuntungan maka penerimaan total dan biaya total perlu dikendalikan selama umur proyek tersebut. Analisis inivestasi ini dapat diterapkan untuk proyek-proyek baru seperti pembangunan suatu industri baru dan pembangunan areal pertanian baru, atau proyek pengembangan dari suatu indstri yang sudah ada seperti : pengembangan kapasitas pabrik sebagai akibat adanya kenaikan permintaan pasar terhadap produk yang dihasilkan industri manufaktur tersebut.

Analisis proyek investasi ini pada dasarnya merupakan suatu pengkajian manfaat ekonomi yang dilakukan secara komprehensif, yang meliputi : analisis pasar, analisis teknik, dan analisis ekonomi. Alternatif pemilihan suatu proyek didasarkan pada dua aspek utama, yaitu :

a. Aspek teknis, meliputi studi yang berkaitan dengan proses produksi, karakteristik produksi, sistem usaha, dan lokasi dari unit produksi. Aspek teknik ini perlu diperhatikan pada tahap awal proyek dijalankan, seperti : memilih mesin dan peralatan yang sesuai dengan karakteristik pekerjaan, yang tentunya berkaitan dengan proses produksi dan skala output (returns to scale) yang diharapkan. Juga perlu dipilih proses produksi dan cara memproduksi yang tepat dari beberapa alternatif yang ada, serta memilih lokasi proyek yang tepat

b. Aspek ekonomis, berkaitan dengan pendugaan penerimaan total dan biaya total per satuan waktu. Pendugaan penerimaan total dan biaya total pada masa datang dapat menggunakan pendekatan peramalan (forecasting)

Pembahasan lebih lanjut akan diarahkan pada analisis investasi proyek yang bertujuan untuk memilih proyek investasi yang paling menguntungkan. Metode analisis yang biasa digunakan untuk memilih alternatif proyek investasi ini adalah : nilai bersih sekarang (net present value = NPV), rasio manfaat biaya (benefit cost ratio = BCR), tingkat pengembalian hasil internal (internal rate of returns = IRR), analisis pulang pokok (break event point = BEP), dll

Tujuan Analisis Proyek

Dalam aktivitas bisnis, ada dua kenyataan yang selalu dihadapi yaitu :

a. Sumber daya yang terbatas/ langka

b. Kegiatan-kegiatan yang berbeda atau kegiatan yang sama dalam lingkungan yang berbeda bisa memberikan hasil yang yang berbeda

Seorang pengusaha akan membatalkan rencana investasinya dalam suatu proyek jika sejak awal ia sudah memperhitungkan bahwa proyek tsb tidak menguntungkan.

Tujuan analisis proyek, adalah :

1. Mengetahui tingkat keuntungan yang dapat dicapai melalui investasi dalam suatu proyek

2. Menghindari pemborosan-pemborosan sumber daya, yaitu dengan menghindari aktivitas dalam pelaksanaan proyek yang tidak menguntungkan

3. Mengadakan penilaian terhadap kesempatan investasi yang ada sehingga kita bisa memilih satu alternatif proyek yang paling menguntungkan

4. Menentukan prioritas investasi

Langkah langkah pemilihan proyek

Ada beberapa aspek yang perlu dipertimbangkan dalam pemilihan suatu proyek,

1. Aspek teknis dibagi dua yaitu penyediaan sumber daya dan pemasaran hasil produksi. Secara rinci aspek teknis meliputi pemilihan lokasi, prasarana jalan, persediaan air, tenaga listrik, ketersediaan bahan baku (lokal atau impor), tenaga kerja dengan kualifikasi ketrampilan tertentu, sumber pendanaan/ kredit, kemana hasil produksi dipasarkan, dan adakah fasilitas penyimpanan dan pengiriman hasil produksi2. Aspek institusional, meliputi masalah kebijakan pemerintah dan lembaga kemasyarakatan3. Aspek sosial, dimana pembangunan suatu proyek harus memberikan manfaat sosial yang khusus bagi masyarakat4. Aspek eksternalitas, berupa dampak positip dan dampak negatif dari proyek yang dibangun

Analisis Privat dan Analisis Sosial

Dalam analisis privat (analisis finansial), dihitung benefit dan biaya proyek dilihat dari sudut pandang individu yang berkepentingan dalam proyek. Sedangkan dalam analisis sosial (analisis ekonomi), dihitung benefit dan biaya-biaya proyek dari sisi kepentingan pemerintah dan masyarakat. Secara mendasar, kedua bentuk analisis ini berbeda dalam 5 hal, yaitu :

1. Jenis harga yang digunakan. dimana analisis sosial menggunakan shadow prices, sedangkan analisis privat menggunakan harga pasar

2. Pajak yang dikenakan, dalam analisis privat, pajak merupakan bagian keuntungan yang dibayakan kepada pemerintah. Dlm analisis sosial, pajak merupakan transfer, bagian dari benefit proyek yang diserahkan kepada pemerintah untuk digunakan demi kepentingan masyarakat

3. Subsidi, adalah transfer yang perhitungannya kebalikan dari pajak. Dlm analisis privat, subsidi yang diterima akan mengurangi biaya yang ditenggung pemilik proyek. Dalam analisis sosial, subsidi yang diberikan untuk proyek menjadi beban masyarakat, sehingga tidak mengurangi biaya proyek

4. Biaya investasi dan pelunasan pinjaman

5. Bunga, dalam analisis privat, bunga atas pinjaman merupakan biaya proyek. Sedangkan dalam analisis sosial, bunga dianggap sosial benefit

Pengukuran dan perhitungan benefit pada suatu proyekPada dasarnya, suatu proyek akan menggunakan banyak sekali jenis bahan baku, dan dapat menghasilkan lebih dari satu jenis hasil produksi. Untuk benefit ini ada 3 hal yang perlu dihitung,

a. Mengukur jumlah benefit

b. Menentukan harga hasil produksi

c. Hasil tidak langsung dan akibat sampingan

Dalam analisis perhitungan biaya proyek, dikenal beberapa jenis biaya, yaitu :

1. Modal

6. Penyusutan/ depresiasi2. Tanah

7. Sunk cost

3. Tenaga kerja

8. Salvage value

4. Bahan mentah dan bahan setengah jadi

9.Negative externalities/corporate social responsibility (CSR)5. Pelunasan hutang dan bunga

Pengaruh Waktu Terhadap Nilai Uang

Proyek adalah suatu kegiatan investasi yang berjangka panjang, sehingga aliran kas (cash flow) yang ada akan terdiri dari beberapa waktu sesuai dengan umur ekonomis dari proyek tersebut. Dalam kaitan ini perlu diperhatikan nilai uang sebagai manfaat ekonomis dari proyek tersebut yang diperkirakan akan diterima pada masa datang (future value), tidak sama dengan nilai uang yang diterima pada saat sekarang (present value), karena adanya factor interest rate tertentu. Oleh karena itu, untuk keperluan perhitungan, semua nilai uang tersebut harus dievaluasi pada satu waktu tertentu, yaitu waktu sekarang Dengan demikian, semua nilai uang, apakah sebagai penerimaan total atau sebagai biaya total sepanjang waktu umur proyek harus dievaluai pada nilai sekarang (present value of money). Pengaruh waktu dan interest rate menjadi fokus perhatian dalam analisis investasi suatu proyek.

Jika uang sejumlah yang diinvestasikan sekarang dengan interest rarte sebesar i per tahun, maka uang itu akan bertambah setiap tahun seperti ditunjukkkan dalam tabel berikut :TahunInvestasi pada awal tahunInterest yang diterimaNilai uang pada akhir tahun

1PPiP + Pi = P(1+ i)

2P(1+ i)[P(1+ i)] iP(1+ i) +[P(1+ i)] i = P(1+ i)2

3P(1 + i)2[P(1 + i)2] iP(1+ i) +[P(1 + i)2]i = P(1+ i)3

:::

:::

nP(1 + i)n-1[P(1 + i)n-1] iP(1+ i) +[P(1 + i)n-1]i = P(1+ i)n

Misal suatu modal pokok sebesar Rp 1.000 (P) dibungakan secara majemuk dengan suku bunga i = 10% per tahun, maka besarnya modal tersebut di masa datang (F) dapat dihitung sebagai berikut :

Setelah satu tahun : F1 = 1000 + (1000 x 0,10 ) = 1100

F1 = P + Pi = P(1 + i )

F2 = 1100 + (1100 x 0,10) = 1210

F2 = (P + Pi) + (P + Pi) i = P + Pi + Pi +Pii

= P + 2Pi + Pi2 = P (1 + 2i + i2)

= P (1 + i ) 2

Setelah tiga tahun : F3 = P (1 + i) 3 ; berarti setelah n tahun : Fn = P(1 + i)n

Dengan demikian, nilai uang yang diinvestasikan dan akan diterima dimasa datang dari suatu jumlah pada masa sekarang adalah :

Untuk rumus di atas diasumsikan bahwa bunga dibayarkan satu kali dalam 1 tahun. Tetapi jika bunga dibayarkan lebih dari satu kali (misal : m kali) dalam setahun, maka nilai dimasa depan menjadi :

nilai ( 1 + i ) dan (1 + )

Dalam ilmu ekonomi, bilangan bunga ini dinamakan bunga majemuk (Compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1 yang bisa dipakai untuk mengalikan suatu jumlah yang ada sekarang untuk menentukan nilai di masa datang.

Dari rumus di atas , dengan manipulasi matematis, dapat pula dihitung besarnya nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya di masa datang. Nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang adalah :

Selanjutnya, jika bunganya dibayarkan lebih dari satu kali (misal : m kali) dalam satu tahun, mka nilai sekarang tersebut menjadi :

Nilai

Dalam ilmu ekonomi nilai ini disebut faktor diskonto (Discount factor), yaitu bilangan lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk mengalikan suatu jumlah di masa datang demi menentukan nilainya pada saat sekarang.Catatan :

P = Nilai/ jumlah pada masa sekarang (present value) F = Nilai uang di masa datang (future value) i = suku bunga pertahun

n = jumlah tahu

m = frekuensi pembayaran dalam setahun

Bisnis yang dilakukan oleh setiap individu atau kelompok biasanya memanfaatkan peraturan dari fasilitas pinjaman dan peluang-peluang investasi yang ada. Dalam konteks ini perhitungan nilai uang yang diinvestasikan harus mempertimbangkan berbagai informasi yang dimiliki sehingga bisa dipilih satu alternatif di antara bermacam-macam kemungkinan yang ada.

Andaikata seseorang memberi anda pilihan menerima $500 sekarang atau $500 pada 3 tahun kemudian. Maka alternatif yang dipilih adalah akan mengambil uang tersebut sekarang. Dengan pilihan ini, maka anda dapat menggunakan untuk memenuhi kebutuhan saat itu, tetapi diakui juga bahwa $500 itu adalah harga hari ini lebih baik dibandingkan 3 tahun yang akan datang. Jika kita mengabaikan efek-efek investasi, maka secara pasti kita akan menambah nilai lebih selama 3 tahun. Dalam mengkaji permintaan modal investasi, maka kita perlu mengetahui tingkat suku bunga dan batas waktu dengan suatu perhitungan yang matang.

Contoh

Modal sebesar $ 500 diinvestasikan selama 3 tahun pada tingkat bunga majemuk 10%/ tahun. Hitunglah tingkat bunga dan bertambahnya jumlah nilai invest pada setiap akhir tahun. Jika jumlah awal adalah $ 500, setelah 1 ( satu ) tahun tingkat bunga adalah

10 % dari $ 500 ialah

10 % x $ 500 =

EMBED Equation.3 Selanjutnya jumlah $500 meningkat menjadi $ 550, apa yang di dapat dari jumlah pada akhir tahun ke 2 dengan bunga juga $50 ?

Inilah fakta dari persoalan yang harus dihadapi jika investasi dilakukan dengan bunga tidak majemuk, artinya jika jumlah bunga diterima 1 kali untuk semua tahun investasi. Dengan bunga majemuk kita akan memperoleh bunga di atas bunga. Pada umumnya investasi keuangan akan selalu menggunakan bunga majemuk daripada bunga tidak majemuk. Karena investor memerlukan penghargaan jika ia memutuskan untuk tidak mengambil / menarik pembayaran bunga dari dananya setiap tahun.

Pada bunga majemuk tahunan memperoleh pada akhir tahun ke 2 adalah 10% dari jumlah investasi awal tahun, ini tidak hanya terdiri dari $500 tetapi juga $50 siap diterima bunga pada tahun pertama invest konsekuensinya kita menerima tambahan

Selanjutnya jumlah total meningkat $ 55 menjadi $ 605Pada 3 tahun terakhir bunganya adalah

Maka jumlah investasi adalah $665.5, dan ini berarti investor akan menerima kelebihan $165.5 jika mengambil $500 sekarang untuk diinvestasikan selama 3 tahun.

Total kalkulasi investasi

Akhir tahunBungaInvestasi

1$50$550

2$55$605

3$60,5$665,5

Masalah 1 :

Hitung nilai investasi sebesar $1000 dalam 10 tahun dengan tingkat bunga majemuk tahunan sebesar 8%.

Penyelesaian :

Akhir thnBungaInvestAkhir thnBungaInvest

1(8/100)x $1000 = 8010806(8/100)x $1469,33 = 117,551586,88

2(8/100)x $1080 = 86,41166,47(8/100)x $1586,88 = 126,931713,83

3(8/100)x $1166,4 = 93,311259,718(8/100)x $1713,83 = 137,111850,94

4(8/100)x $1259,71 = 100,781360,499(8/100)x $1850,94 = 148,071999,01

5(8/100)x $1360,49 = 108,841469,3310(8/100)x $1999,01 = 159,922158,93

Perhitungan pendapatan bunga setiap tahun dan penambahan total akumulasi pada awal tahun, dapat diketahui pada soal di atas. Tentu saja, perhitungan akumulasi investasi akan menjadi agak sulit, jika investasi dilakukan dalam jangka waktu panjang. Dalam kondisi nyata, dibutuhkan metode perhitungan dengan menggunakan pendekatan skala faktor. Untuk ilustrasi perhitungan ini, lihat pada soal berikut.

Investasi $500 dengan tingkat bunga majemuk 10% per tahun. Nilai awal dari uang disebut pokok dan ditunjukkan dengan P1 (Present value) dan total akhir disebut nilai akan datang ditunjukkan dengan F (Future value).

Skala faktor dengan pertambahan 10 % adalah 1 + (10/100)= 1,1

Selanjutnya pada akhir tahun pertama total invest adalah P (1,1),

setelah 2 tahun diperoleh

P (1,1) x (1,1) = P (1,1)2

dan nilai 3 tahun ke depannya adalah

F = P (1,1)2 x (1,1) = P (1,1)3

Untuk P = $ 500

Maka F = P (1,1)2 = 500 (1,1)3

= $ 665,5Rumus untuk tingkat bunga majemuk r % per tahun, dengan skala faktor :

; setelah n tahun maka nilai akan datang adalah :

EMBED Equation.3

Masalah 2 :

Gunakan Formula :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 n

Hitung nilai investasi $1000 dengan tingkat bunga majemuk 8% / tahun dalam jangka waktu 10 tahun.Jawab :

EMBED Equation.3 n

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 10

10

= 1000 ( 1,08 )10

= 1000 ( 2,15893 )

= 2.158,93

Contoh

Modal pokok sebesar $25.000 diinvestasikan dengan tingkat bunga majemuk sebesar 12% per tahun, setelah beberapa tahun nilai investasi awal menjadi $ 250.000. Hitung berapa tahun modal tersebut diinvestasikan ?

Jawab

Jika menerima simpanan sebesar $ 250.000 dengan invest awal $ 25.000, masalahnya berapa tahun di simpan dengan asumsi bunga tetap sebesar 12 % selama invest. Formula untuk bunga majemuk adalah :

n

Gunakan rumus tersebut dengan pendekatan logaritma ( log )

F = $ 250.000

P = $ 25.000

r = 12 %

n

250.000 = 25.000 (1 + ) n

10 = 1 (1 + 0,12 ) n

10 = 1 (1.12 ) n

Log 10 = log (1.12 )n

Log 10 = n log (1.12)

log 6x m = m log 6x

N =

=

= 20,3

Sekarang diketahui bahwa n itu adalah angka untuk jangka waktu investasi, karena bunga hanya bertambah pada setiap akhir tahun, diasumsikan pembayaran bunga pertama pada 12 bulan dari awal investasi, dan selanjutnya setiap 1 bulan kedepan, sedangkan jawaban n = 20.3 20. Artinya selama 20 tahun jumlah investasi bertambah menjadi

F = $ 25.000 ( 1.12 )20 = $ 241 157.33

Sedangkan pada waktu 21 tahun

F = $ 25.000 ( 1,12 )21 = $ 270 096.21

Jadi, nilai $250.000, adalah jumlah investasi selama 20,3 thn berada diantara F(20) dan F(21)Masalah 3 :

Sebuah perusahaan mengestimasi bahwa penjualannya akan naik 3% setiap tahun, dan untuk mencapai break event diperlukan penjualan paling sedikit sebesar 10.000 unit produk tiap tahun jika perusahaan berharap ingin memperoleh keuntungan. Diketahui juga bahwa realisasi penjualan saat ini hanya 9000 unit. Berapa tahun kondisi ini akan terjadi sebelum perusahaan mencapai BEP ?

Perhatikan soal-soal sebelumnya yang menggunakan tingkat bunga majemuk tahunan, dimana tingkat bunga akan terus menambah besarnya nilai investasi. Sebagai contoh, andaikata modal awal $500 di investasikan untuk 3 tahun pada tingkat bunga majemuk 10%, dengan perhitungan triwulan. Apa yang dimaksudkan dengan bunga majemuk triwulan 10% ? Jadi kita menerima bunga 10% setiap 3 bulan, artinya 10% di bagi atas 4 bagian, setiap bagian 3 bulan dari bunga yaitu :

Tiga bulan pertama menerima = $ 500 ( 1 + 0.025 )

= $ 500 (1.025)

Tiga bulan kedua menerima= $ 500 (1.025)2

Jika dalam jangka waktu 12 tahun = $ 500 (1.025)12 = $ 672.44

Contoh

Modal $10 diinvestasikan dengan bunga 12% selama 1 th. Tentukan bunga ke depan jika bunga yang dibayar adalah bunga majemuka. Setiap tahun

d. Tiap bulan

b. Tiap semester

e. Tiap minggu

c. Triwulan

Penyelesaian

Rumus untuk menghitung bunga majemuk adalah

n

a. Jika bunga adalah compounded setiap tahun maka r = 12 , n = 1 jadi

F = $ 10 (1.12 )1 = $ 11.20

b. Jika bunga adalah compounded semi setiap tahun maka bunga dari 12/2 = 6% adalah ditambah setiap 6 bulan dan maka dari itu masa 2 x 6 bulan dalam setahun.

F = $ 10 (1.06 ) 2 = $ 11.24

c. Jika bunga adalah compounded setiap triwulan maka bunga dari 12/4 = 3 % adalah ditambah setiap 3 bulan dan maka dari itu masa 4 x 3 bulan dalam setahun.

F = $ 10 ( 1.03 )4 = $ 11.26

d. Jika bunga adalah compounded tiap bulan maka bunga dari 12/12 = 1% adalah ditambah setiap bulan dan maka dari itu 12 bulan dalam setahun.

F = $ 10 ( 1.01)12 = $ 11.27

e. Jika bunga adalah compounded tiap minggu maka bunga dari 12/52 =0,23 % adalah ditambah setiap minggu dan maka dari itu 52 minggu dalam setahun.

F = $ 10 ( 1.0023 )52 = $ 11.27

Pada contoh diatas dapat dilihat kenaikan nilai pada masa datang dikarenakan kecepatan kenaikan bunga majemuk, karena dasar keistimewaan dari bunga majemuk adalah kita akan menerima bunga dari bunga pada waktu sebelumnya.

F = Pet i/100Dimana e adalah angka 2.718 281 828 atau e = 2,7182818Jika

r = 12

t = 1

P = 10

Lalu rumus ini memberikan

F = $ 10e12 x1/100 = $ 10e0.12 = $ 11.27

Nilai ini sesuai dengan nilai batas yang diperoleh dalam contoh sebelumnya.

Contoh

Biaya pokok dari $2000 dengan bunga majemuk 10% terus menerus, setelah beberapa hari investasi pertama akan melebihi $ 2100 ?

Penyelasaian

Kita akan menyimpan sebesar $2100 yang dimulai dengan investasi sebesar $2000, masalahnya menentukan angka membutuhkan berapa hari lamanya dengan asumsi tingkat bunga majemuk 10% kontinue (terus menerus). Formula untuk bunga majemuk terus menerus adalah : F = Pet r/100F = $2100

P = $ 2000

r = 10%2100 = 2000et.(0/100)1.05 = e10t/100

1.05 = e0.1t

Contoh di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan logaritma, misal :

M = en ; n = lnM1.05 = e 0.1t

M = 1.05 ; n = 0.1t

0.1t = ln (1,05) = 0.0487902

t = = 0.488

t adalah faktor tidak tetap yang terlihat pada formula majemuk yang kontinue. Selanjutnya kita kalikan dengan 365 hari (asumsikan 1 tahun = 365 hari) maka diperoleh : t = 365 x 0.488 = 178.1

Jadi dapat diketahui untuk investasi awal hingga mencapai $2100 adalah selama 179 hari.

Biasanya perusahaan menggunakan bunga majemuk tahunan, semua perusahaan yang melakukan investsi atau menggunakan fasilitas kredit diharuskan memberikan bunga tahunan efektif, ini sering disebut Annual Percentage Rate yang disingkat APR. APR adalah tingkat bunga yang apabila bunga majemuk tahunan menghasilkan sama dengan hasil tingkat bunga nominal.

Contoh

Menentukan tingkat bunga tahunan dari deposito yang mempunyai nominal bunga 8% bunga majemuk /bulan

Penyelesaian

APR adalah tingkat bunga secara keseluruhan yang dapat dihitung menggunakan skala faktor, jika pemilik modal menawarkan perputaran 8% bunga majemuk / bulan, maka setiap bulan bunganya adalah

8/ 12 = 2/ 3 = 0,67

1 + 0,67/ 100 = 1,0067

(1.0067)12 =1.0834

1 + 8,34/ 100

Jadi APR nya adalah 8,34 %

Kriteria Evaluasi Proyek

Kriteria yang biasa digunakan untuk mengevaluasi proyek ialah tingkat keuntungan ekonomis (profitability). Dengan demikian jika suatu proyek telah memenuhi persyaratan teknik, perlu ditentukan tingkat keuntungan ekonomis yang bisa diperoleh dari proyek tersebut. Dalam konsep ekonomi manajerial, suatu proyek dikatakan memiliki keuntungan ekonomis apabila memenuhi persamaan berikut :

= TR TC > 0

dimana = keuntungan ekonomis

TR = penerimaan total (total revenue)

TC = biaya total (total costs), merupakan jumlah biaya eksplisit (explicit costs) ditambah dengan biaya implisit (implicit cost or opportunity cost)

Untuk suatu proyek yang yang memiliki umur ekonomis t tahun (dimana t = 1, 2, 3, n), maka konsep penerimaan total (TR) dan biaya total (TC) dapat dinyatakan sebagai berikut :

TR = Bt

TC = Co + Ct (dimana t 1, 2, 3, n)

Note : Bt adalah penerimaan tahunan yang merupakan manfaat ekonomi dari suatu proyek. Co adalah biaya yang dikeluarkan pada awal investasi berupa pembuatan studi kelayakan, pembelian tanah, pembangunan pabrik, pembelian mesin, dll). Ct adalah biaya tahunan yang dikeluarkan untuk menjalankan aktivitas proyek.Dengan demikian konsep keuntungan ekonomis dari suatu proyek yang memiliki umur ekonomis tahunan dapat dinyatakan sebagai berikut :

= TR TC = Bt [Co + Ct], dimana :t = 1, 2, 3, . n

Persamaan keuntungan ekonomis ini bisa juga ditulis dalam bentuk :

= TR / TC

= Bt / [Co + Ct],Konsep keuntungan ekonomis di atas belum memperhitungkan faktor interest rate, padahal seorang investor ingin menginvestasikan modalnya pada sproyek karena adanya faktor interest rate dari investasi tersebut. Interest rate atau rate of return adalah konsep periodik yang mengukur tingkat pengembalian investasi (return of investment = ROI) relatif terhadap jumlah investasi selama periode waktu tertentu. Dengan demikian, interest rate merupakan rasio antara hasil yang diterima dengan jumlah dana yang diinvestasikan pada suatu peoyek.

Penentuan besarnya interest rate yang akan diperhitungkan dalam analisis investasi proyek dapat menggunaan infomasi berdasarkan tingkat suku bunga bank yang berlaku saat itu, atau berdasarkan tingkat pengembalian hasil atraktif minimum yang diharapkan oleh investor atau sering disebut MARR yang diharapkan (Expected minimum attractive rate of return =MARR) atau dapat juga berdasarkan tingkat diskon social (social discount rate) apabila proyek-proyek itu merupakan proyek untuk kepentingan masyarakat (public projects)

Analisis Investasi Proyek Untuk Pilihan Tunggal

Apabila investor hanya memiliki satu alternatif pilihan, misal : apakah proyek yang direncanakan bisa dilaksanakan atau tidak, atau apakah kapasitas pabrik perlu diperluas dengan penambahan mesin atau tidak, tanpa ada pilihan lain yang dijadikan sebagai pembanding, maka dapat dikatakan bahwa investor tersebut mempunyai pilihan tunggal.1. Kriteria Nilai Bersih Sekarang (NPV)

Kriteria nilai bersih sekarang (Net Present Value = NPV) untuk menganalisis investasi proyek yang memiliki umur ekonomis t (t = l, 2, 3, ..., n) tahun didasarkan formula berikut :di mana:

NPV(i)= Nilai bersih sekarang pada tingkat interest rate i per tahun

Bt= Penerimaan total (manfaat ekonomi) dari proyek industri pada

periode waktu ke-t (t = 1, 2, 3, .., n)

CO= Biaya investasi awal dari proyek industri

C-= Biaya total yang dikeluarkan untuk proyek industri pada

periode waktu ke-r_ (t = 1, 2, 3, .., n)

(1 + i)-t= Faktor nilai sekarang (PF) atau faktor diskon (DF) yang

merupakan faktor koreksi pengaruh waktu terhadap nilai uang

pada periode ke-t dengan interest rate i per tahun

Formula NPV(i) di atas dapat juga dinyatakan dalam bentuk lain, sebagai berikut:

NPV(i)= { PFt (Bt)} - { PFt (Ct)}

disini t= 0, l, 2, .., n, sedangkan PFc adalah faktor nilai sekarang,

yaitu: PFt = (1 + i)-t

Suatu proyek dikatakan memiliki keuntungan ekonomis, sehingga layak untuk dilaksanakan, apabila nilai NPV(i) lebih besar dari pada nol. Jika nilai NPV(i) lebih kecil dari nol maka proyek itu akan mengakibatkan kerugian ekonomis apabila dilaksanakan. Dalam kondisi ini, tentu saja setiap manajer harus menolak proyek yang memiliki keuntungan ekonomis negatif. Untuk menjelaskan implemnetasi konsep NPV dalam menganalisis investasi proyek, perhatikan kasus hipotesa berikut. Bayangkan bahwa PT. Ersa adalah perusahan industri manufaktur yang memproduksi suku cadang tertentu untuk satu jenis mobil. Misal PT. Ersa memperoleh penawaran kerja sama dengan perusahaan mobil tertentu untuk memasok suku cadangnya. Mengingat kapasitas produksi dari PT. Ersa pada saat ini telah penuh, maka apabila penawaran kerja sama itu diterima, berarti PT. Ersa harus melakukan investasi berupa penambahan mesin baru. Berdasarkan pertimbangan teknik, penambahan mesin baru dianggap layak dan memungkinkan, namun pertimbangan ekonomi harus dievaluasi. Manajemen PT. Ersa memperhitungkan umur ekonomis dari mesin baru adalah lima tahun, dengan biaya investasi awal berupa pembelian sebuah mesin berharga Rp. 50.000.000. Perkiraan aliran kas (cash flow) berupa penerimaan total dan biaya total selama lima tahun dari penambahan sebuah mesin produksi ditunjukkan dalam Tabel 1.

Tabel 1. Perkiraan Aliran Kas dari Penambahan Sebuah Mesin Baru

Tahun

Biaya Total C, Penerimaan Total Bt

(dalam jutan)

(dalam jutaan)

0

50

0

1

15

25

2

20

30

3

10

65

4

10

75

5

5

50

Jika biaya pembelian sebuah mesin baru itu merupakan pinjaman dari bank dengan tingkat bunga kredit sebesar 18% per tahun, apakah keputusan investasi berupa pembelian sebuah mesin baru itu layak berdasarkan pertimbangan ekonomi ?

Analisis menggunakan konsep NPV adalah sebagai berikut:

NPV (i=0.18) = {[ Bt / ( 1+0.18)t ] { Co + / (1+0.18 )t ] }

Hasil perhitungan ditunjukkan dalam Tabel 2Tabel 2 Lembar Kerja Perhitungan NPV (i=0.18)Tahun

(1)PFt

(2)Ct (3)Bt

(4)PFt(Ct)

(5) = (2) x (3)PFt(Bt)

(6)= (2) x (4)NPV

(7) = (6)-(5)

01,000050050,000,00-50,00

10,8475152512,7121,198,48

20,7182203014,3621,557,19

30,608610656,0939,5633,47

40,515810755,1638,6933,53

50.34715502.1921.8619.67

90,51142,85

NPV (i)=0,18) = NPVt = 52.34

Catatan: PFt = (1+i)-t = (1+0.18)-t ; t = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan konsep NPV diketahui bahwa keuntungan ekonomis dari pembelian sebuah mesin baru adalah 52,34 (Rp 52.340.000). Karena nilai NPV lebih besar dari nol, maka diputuskan untuk membeli mesin baru, karena layak berdasarkan pertimbangan ekonomi.

2. Kriteria Rasio Manfaat - Biaya ( BCR )

Kriteria rasio manfaat-biaya (Benefit-Cost Ratio = BCR) untuk menganalisis investasi proyek industri yang memiliki umur ekonomis t (t = 1, 2, 3, ..., n) tahun dilakukan berdasarkan formula berikut:

BCR (i)= {[ Bt / ( 1+i ) } / { Co +[ Ct / ( 1+i )t ] }

di mana :

BCR(i)= Nilai rasio manfaat-biaya pada tingkat interest rate (i) per tahun

Bc

= Penerimaan total (manfaat ekonomi) dari proyek industri pada

periode waktu ke-t (t = 1, 2, 3, .., n)

Co

= Biaya investasi awal dari proyek industri

Ct

= Biaya total yang dikeluarkan untuk proyek industri pada

periode waktu ke-t (t = 1, 2, 3, ..., n)

(1 + i)-t= Faktor nilai sekarang (PF) atau faktor diskon (DF) yang

merupakan faktor koreksi pengaruh waktu terhadap nilai

uang pada periode ke-t dengan interest rate i per tahun

Formula BCR(i) di atas dapat juga dinyatakan dalam bentuk lain, sebagai berikut :

BCR(i)= { PFt ( Bt ) } / { PFt ( Ct ) }

disini t = 0, 1, 2, .., n, sedangkan PFt adalah faktor nilai sekarang, yaitu: PFt = (1+i)-t.

Suatu proyek dikatakan memiliki keuntungan ekonomis, dan layak untuk dilaksanakan, apabila nilai BCR(i) lebih besar daripada satu. Jika nilai BCR(i) lebih kecil dari satu, maka proyek akan menimbulkan kerugian ekonomis apabila dilaksanakan. Dalam kondisi ini, tentu saja manajer harus menolak proyek industri yang memiliki keuntungan ekonomis negatif. Apabila kasus hipotesis dari PT Ersa tentang studi kelayakan pembelian sebuah mesin baru dilakukan dengan menggunakan konsep BCR, dengan perhitungan sbb :

'

PFt (Bt)= 21,19 + 21,55 + 39,56 + 38,69 + 21, 86 = 142,85

PFt (Ct)= 50,00 + 12,71 + 14,36 + 6,09 + 5,16 + 2,19 = 90,51

BCR(i)= { PFt (Bt)} / PFt (Ct)} = 142,85 / 90,51 = 1,58

Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan konsep BCR diketahui bahwa investasi pembelian sebuah mesin baru adalah layak berdasarkan pertimbangan ekonomi. Nilai BCR = 1,58 dapat diinterprestasikan sebagai nilai manfaat total ekonomi dari pembelian mesin baru ialah sebesar 1,58 kali lebih besar dari nilai biaya total, pada tingkat interest rate sebesar 18%. Dengan kata lain setiap rupiah yang diinvestasikan PT. Ersa pada pembelian mesin baru akan memberikan hasil sebesar 1,58 rupiah.3. Kriteria Internal Rate of Return (IRR)

Internal Rate of Return (IRR) atau sering juga disebut sebagai rate of return merupakan suatu indeks keuntungan (profitability index) yang telah dipergunakan secara luas dalam analisis investasi suatu proyek. Internal Rate of Return (IRR) dapat didefinisikan sebagai suatu interest rate (i) yang membuat nilai sekarang dari aliran kas proyek tersebut menuju nol. Dengan demikian IRR merupakan suatu interest rate yang membuat nilai NPV sama dengan nol. Dalam analisis investasi proyek, nilai IRR dapat dijadikan sebagai suatu kriteria untuk menunjukkan sejauh mana nilai IRR dari proyek industri itu berbeda dengan MARR yang diharapkan (expected minimum attractive rate of return) oleh investor. Suatu proyek dianggap memenuhi kelayakan ekonomi, dalam arti mampu memberikan keuntungan ekonomis, apabila nilai IRR lebih besar daripada MARR yang diharapkan oleh investor. Apabila semua dana untuk membiayai proyek industri diperoleh berdasarkan pinjaman dari bank, proyek industri itu dianggap memenuhi kelayakan ekonomi apabila nilai IRR dari proyek industri itu lebih besar daripada tingkat bunga pinjaman dari Bank.

Perhitungan nilai IRR dari suatu proyek industri dilakukan secara coba-coba (trial and error) melalui suatu proses bertahap, bukan secara langsung sebagaimana perhitungan NPV dan BCR. Hal ini disebabkan tidak bisa diketahui secara pasti interest rate yang membuat nilai NPV sama dengan nol, sehingga perhitungan harus dilakukan secara bertahap melalui perubahan nilai interest rate sampai memperoleh nilai NPV sama dengan nol. Penerapan konsep IRR dalam analisis investasi pembelian mesin baru oleh PT Ersa dilakukan secara bertahap, sebagai berikut :

Berdasarkan perhitungan pada interest rate sebesar 18%, diketahui hahwa nilai NPV = 52,34 (juta rupiah). Nilai NPV ini jauh lebih besar dari nol, sedangkan IRR adalah interest rate yang membuat nilai NPV sama dengan nol. Hal ini berarti nilai interest rate yang membuat nilai NPV = 0, harus lebih besar daripada 18%. Masalahnya adalah bagaimana menentukan nilai IRR itu. Dalam hal ini kita mencoba menggunakan interest rate yang lebih besar dari 18%, misalnya kita menggunakan interest rate sebesar 24% (i = 0,24). Perhitungan NPV menggunakan interest rate 24% dilakukan seperti perhitungan NPV pada interest rate 18%, dan ditunjukkan dalam Tabel 3.

Tabel 3. Lembar Kerja Perhitungan NPV(i = 0,24)Tahun

(1)PFt

(2)Ct (3)Bt

(4)PFt(Ct)

(5) = (2) x (3)PFt(Bt)

(6)= (2) x (4)NPV

(7) = (6)-(5)

01,000050050,000,00-50,00

10,8065152512,1020,168,06

20,6504203013,0119,516,50

30,524510655,2534,0928,84

40,423010754,2331,7327,50

50,34115501,7117,0615,32

NPV (i)=0,18) = NPVt = 36,22

Catatan: PFt = (1+i)-t = (1+0.24)-t ; t = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Oleh karena nilai NPV pada interest rate 24% sama dengan 36,22; masih jauh lebih besar dari nol, maka kita perlu melakukan perhitungan NPV lagi melalui meningkatkan interest rate, misalnya dengan menggunakan interest rate 36% (i = 0.,36). Perhitungan NPV dengan cara yang sama ditunjukkan dalam Tabel 4.

Tabel 4. Lembar Kerja Perhitungan NPV (i)=0,18)

Tahun

(1)PFt

(2)Ct (3)Bt

(4)PFt(Ct)

(5) = (2) x (3)PFt(Bt)

(6)= (2) x (4)NPV

(7) = (6)-(5)

01,000050050,000,00-50,00

10,7353152511,0318,387,35

20,5407203010,8116,225,41

30,397510653,9825,8421,86

40,292310752,9221,9219,00

50,21495501,0710,759,68

NPV (i)=0,18) = NPVt = 13,30

Catatan: PFt = (1+i)-t = (1+0.36)-t ; t = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Karena nilai NPV pada interest rate 36% sama dengan 13,30; masih jauh lebih besar dari nol, maka kita perlu melakukan perhitungan NPV lagi melalui meningkatkan interest rate, misalnya dengan menggunakan interest rate 45% (i = 0,45). Perhitungan NPV dengan cara yang sama ditunjukhan dalam Tabel 5.

Tabel 5. Lembar Kerja Perhitungan NPV (i = 0,45)Tahun

(1)PFt

(2)Ct (3)Bt

(4)PFt(Ct)

(5) = (2) x (3)PFt(Bt)

(6)= (2) x (4)NPV

(7) = (6)-(5)

01,000050050,000,00-50,00

10,6897152510,3517,246,89

20,475620309,5114,274,76

30,328010653,2821,3218,04

40,226210752,2616,9714,71

50,15605500,787,807,02

NPV (i)=0,18) = NPVt = 1.42

Catatan: PFt = (1+i) -t = (1+0.45)-t ; t = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Oleh karena nilai NPV pada interest rate 45% sama dengan 1,42; masih lebih besar dari nol, maka kita perlu melakukan perhitungan NPV lagi melalui meningkatkan interest rate, misalnya dengan menggunakan interest rate 48% (i = 0,48). Perhitungan NPV dengan cara yang sama ditunjukkan dalam Tabel 6.

Tabel 6. Lembar Kerja Perhitungan NPV(i=0,48)Tahun

(1)PFt

(2)Ct (3)Bt

(4)PFt(Ct)

(5) = (2) x (3)PFt(Bt)

(6)= (2) x (4)NPV

(7) = (6)-(5)

0 1,0000 50 050,000,00-50,00

10,6757152510,1416,896,75

20,45652030 9,1313,704,57

30,30851065 3,0920,0516,96

40,20841075 2,0815,6313,55

50,1408550 0,70 7,04 6,34

NPV (i)=0,18) = NPVt = -1.83

Catatan: PFt = (1+i)-t = (1+0.48)-t ; t = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Oleh karena nilai NPV pada interest rate 48% sama dengan -1,83; telah lebih kecil daripada nol, maka kita menghentikan proses perhitungan NPV. Apabila hasil perhitungan NPV pada berbagai interest rate dikumpulkan, akan tampak sebagai berikut :

NPV ( i = 0.18 )= 52.34

NPV ( i = 0.24 )= 36.22

NPV ( i = 0.36 )= 13.30

NPV ( i = 0.45 )= 1.42

NPV ( i = 0.48 )= -1.83

Karena nilai NPV (i = 0,48) telah negatif, selang atau interval nilai interest rate 45% dan 48% telah mencakup nilai IRR proyek yang membuat NPV = 0. Perkiraan terhadap IRR proyek pembelian mesin baru dilakukan melalui penetapan satu nilai diantara selang interest rate 45% dan 48%. Dengan menggunakan interpolasi linear, nilai IRR dapat diperkirakan, sebagai berikut :

i= 0,45 > NPV = 1,42

i= 0,48> NPV = -1,83

IRR= 0,45 + {(1,42 0) / [1,42 - (-1,83)]} (0,48 - 0,45)

= 0,45 + 0,0131 = 0,4631 = 46,31 %

Dengan demikian dapat diperkirakan bahwa nilai IRR dari. proyek pembelian mesin baru adalah sekitar 46,31%, karena pada interest rate 46,31%, NPV sama dengan nol. Tampak bahwa penentuan nilai IRR dari proyek industri dilakukan secara bertahap dan merupakan nilai perkiraan (bukan merupakan nilai. yang unik). Secara matematik, perkiraan IRR berdasarkan interpolasi linear mengandung kelemahan, karena fungsi yang sesungguhnya antara NPV(i) dan interest rate (i) mengikuti bentuk fungsi non-linear (polinomial). Hal ini dapat ditunjukkan melalui hasil NPV yang diperoleh melalui perhitungan pada berbagai interest rate, sebagai berikut :

NPV (i = 0.18)= 52.34

NPV (i = 0.24)= 36.22

NPV (i = 0.36)= 13.30

NPV (i = 0.45)= 1.42

NPV (i = 0.45)= -1.83

Tampak melalui perbandingan antara NPV (i = 0.18) = 52,34 dan NPV (i = 0.24) = 36,22; dalam hal ini peningkatan interest rate sebesar 6% (dari 18% menjadi 24%) akan menurunkan NPV sebesar 52,34 - 36.22 = 16,12 (dalam juta rupiah). Perhatikan lagi nilai-nilai NPV (i = 0,24) = 36,22 dan NPV (i = 0,36) = 13,30 , di mana dalam hal ini peningkatan interest rate sebesar 12% (dari 24% menjadi 36%) menyebabkan penurunan nilai NPV sebesar 36,22 -13,30 = 22,92 (dalam juta rupiah). Tampak bahwa penurunan nilai NPV tidak berbanding lurus dengan peningkatan interest rate, sehingga menunjukkan bahwa hubungan antara nilai NPV dan interest rate adalah non-linear seperti ditunjukkan dalam Gambar 1.

Intrest Rest (Persen)

Gambar 1. Hubungan Imterest Rate dan NPV dari

Proyek Pembelian Mesin Baru

Dengan demikian berdasarkan kriteria IRR diketahui bahwa pembelian mesin baru akan memberikan IRR = 46,31%, dan karena nilai ini lebih besar daripada MARR yang diharapkan yaitu sesuai tingkat bunga pinjaman dari Bank sebesar 18%, maka disimpulkan bahwa pembelian mesin baru oleh PT Ersa adalah layak berdasarkan pertimbangan ekonomi. Berdasarkan analisis kelayakan ekonomi terhadap rencana investasi pembelian mesin baru dari PT Ersa diperoleh nilai-nilai : NPV(i = 0,18) = Rp. 52.340.000, BCR(i = 0,18) = 1,58 dan IRR = 46,31%. Semua kriteria menunjukkan bahwa pembelian mesin baru adalah layak berdasarkan pertimbangan ekonomi, sehingga manajer PT. Ersa seyogyanya melaksanakan keputusan pembelian mesin baru itu.

Inverse MatrikDalam Bab ini kita diharapkan mampu dan memahami :

Menuliskan matrik identitas 2 x 2 dan 3 x 3

Menentukan matrik singular atau non singular

Menghitung determinan dan invers natrik 2 x 2

Menghitung determinan dan invers matrik 3 x 3

Menggunakan kofaktor untuk menemukan determinan dan invers matrik 3 x 3

Menggunakan matrik invers dalam memecahkan persoalan persamaan linier yang muncul dalam kegiatan ekonomi.

Matrik Identitas

Dalam ilmu aljabar misalkan :

a. 1 = a dan 1.a = a a-1. a = 1 dan a.a-1 = 1

Jika ditemukan masalah matrik 2 x 2 , maka angka 1 diartikan matrik I = identitas

Maka :

AI = A dan IA = A

dimana I = maka matrik I disebut Matrik Identitas

A = maka A-1 =

Dari bentuk diatas ditemukan persamaan :

A-1A = I dan AA-1 = I

Matrik A-1 disebut matrik Invers dari A

disebut dengan skalar dan ad-bc disebut dengan determinan A Dituliskan dengan det (A) atau atau

Jika ditemukan = 0, maka matrik ini disebut dengan matrik singular sebaliknya jika 0 , maka matrik tersebut adalah matrik non singular

Contoh : Tentukan Invers matrik berikut ini A = B =

Jawabnya pertama dimulai dengan menentukan determinan matriknya, untuk

A = det (A) = = 1(4) 2 (3) = 4 6 = -2

Karena det (A) 0 , maka matrik ini disebut dengan matrik non singular dan kita akan mendapatkan A-1 dengan cara kita tukar posisi anggota diagonal dari kiri kekanan bawah matrik A yaitu 1 dan 4 , kemudian merubah tanda dari anggota diagonal dari kanan ke kiri bawah dari matrik A yaitu 2 dan 3, setelah itu kita bagi dengan determinannya -2 , sehingga kita dapat hasilnya sbb :

A-1 = =

Hasil menjadi benar jika matrik dikalikan dengan matrik A sendiri adalah matrik Identitas A-1A atau A A-1 adalah = I

A-1A = =

Untuk matrik :

B = , karena det (B) = = 2(10) 5(4) = 20 20 = 0

Maka dikatakan bahwa matrik B adalah matrik singular, karena det (B) = 0

Untuk memecahkan persoalan persamaan matrik dalam bentuk persamaan linear alajabar untuk matrik 2 x 2 berikut ini diberikan contoh :

ax + by = e

cx + dy = f

dapat dituliskan Ax = bdimana :

A = x = b =

Dari persamaan Ax = b jika dikalikan dengan A-1 maka

A-1 (A x) = A-1 b ---( ( A-1 A) x = A-1 b ( bentuk asosiatif perkalian )

Ix = A-1 b ( Matrik Invers) x = A-1 b (rumus)

Contoh :

Titik equilibrium Harga P1 dan P2 untuk dua jenis barang ditunjukkan oleh persamaan berikut :

-4P1 + P2 = -13

2P1 + 5P2 = -7

Dapat dituliskan sbb:

= ( Ax = b

Det (A) = = (-4)(-5) (1)(2) = 20 2 = 18Invers MatriknyaA-1 = -----( x = A-1 b maka didapatkan

x =

= = Dengan demikian P1 = 4 dan P2 = 3

Dalam model makro ekonomi untuk model 2 sektor dituliskan dalam persamaan

Y = C + I*

C = aY + b

Dimana a dan b parameter dengan besaran 0 < a < 1 dan b > 0, dan I* adalah besaran Investasi, maka formula dalam bentuk invers adalah sbb :

Y - C = I* . (1)

-aY + C = b ... (2)

Persamaan dalam bentuk matriknya menjadi

= ( x = A-1 bDet (A) = = 1(1) (-1)(-a) = 1 a nilai det (A) tidak mungkin 0

karena a < 1

maka A-1 = , akhirnya untuk menentukan nilai x

x = A-1 b

= ( =

sehingga :

Y = dan C =

Jika Investasi berubah dari I* menjadi I* atau I* + I*, dengan b konstan maka nilai

Y dan C menjadi : Y = C =

mengakibatkan perubahan nilai Y dan nilai C

Y = -

=

C = -

=

Dengan kata lain untuk mendapatkan perubahan nilai Y dan nilai C, masing-masing Investasi (I*) dikali dengan faktor pengali

perubahan investasi untuk Y perubahan investasi untuk C

A-1 =

Konsep Matrik Determinan, Invers Matrik dan Matrik Identitas untuk Matrik ordo 3 x 3

I = AI = A dan IA = A

Berbeda dengan matrik ordo 2 x 2, maka untuk matrik ordo 3 x 3 ini harus dipahami tanda masing-masing elemen dan mengenali kofaktor, tanda masing-masing elemen seperti berikut :

Misalkan tentukan kofaktor (A23) dari matrik A =

a23 tandanya adalah (-), maka kofaktornya adalah A23 = -

= - (a11a32 a12a31) ( = -a11a32 + a12a31Contoh Cari semua minor kofaktors dari matrik

A =

A11 = + = + [3(3)-7(1)] = 9 7 = 2

A12 = - = - [4(3)-7(2)] = -(12 14) = 2

Seterusnya :

A13 = + = -2 A21 = - = -11 A22 = + = 4

A23 = - = 6 A31 = + = 25 A32 = - = -10

A33 = + = -10

Untuk mencari determinan matrik 3 x 3 cukup kofaktors koresponding dari 3 elemen atau anggota misalnya Det (A) = a11A11 + a12A12 + a13A13,

Hasilnya akan sama jika kita mencari Det (A) = a12A12 + a22A22 + a32A32

Contoh : Tentukan Determinan dari matrik berikut ini

A =

Kita bebas menggunakan pilihan melalui baris atau kolom, misalkan kita gunakan baris kedua sebagai acuan. Kofaktor yang sesuai (corresponding) dari baris kedua 4, 3, 7 kita dapatkan -11, 4, 6 dengan demikian kita temukan nilai dari determinannya

Det (A) = = 4(-11) + 3 (4) + 7(6) = 10

Untuk menguji apakah dengan kolom sebagai acuan hasilnya akan sama berikut ini kita contohkan elemen kolom 1, 7, 3 dengan kofaktors -2, 6, -10, maka kita dapat hasilnya berikut ini : det (A) 1(-2) +7(6) + 3 (-10) = 10

Mencari Invers Matrik ordo 3x3

Invers matrik A =

A-1 =

Matrik disebut Adjoin Matrik disebut skalar

Invers Matrik tidak bisa dihitung atau dilanjutkan jika det (A) = 0

Adjoin Matrik diperoleh dengan memindahkan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris dari matrik minor kofaktor

Contoh :

Tentukan invers matrik dibawah ini :

Jawab Dari hitungan sebelumnya ditemukan minor kofaktor dari matrik di atas:

A11 = 2, A12 =2 A13 = -2

A21 = -11 A22 = 4 A23 = 6

A31 = 25 A32 = -10 A33 = -10

( lakukan transpose

Dari perhitungan sudah ditemukan bahwa determinan dari matrik tersebut adalah 10 maka :

A-1 = =

Untuk mengecek apakah invers matrik yang kita hitung itu sudah benar, maka dilakukan dengan pengalian A-1AA-1A =

EMBED Equation.3 = = I

AA-1 =

EMBED Equation.3 = = I

Penggunaan Matrik ordo 3x3 Pada Persamaan Linier

a11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2 dapat dituliskan seperti Ax = b, dimanaa31x + a32y + a33z = b3

A = x = b =

Koefisien x (vektor x) tidak diketahui, tetapi bisa dicari dengan mengalikan invers matrik A-1 dengan vektor b dituliskan seperti berikut : x = A-1 b

Misal : Tentukan Equilibrium Harga dari 3 jenis barang dari persamaan berikut :

2P1 + 4P2 + P3 = 77

4P1 + 3P2 + 7P3 = 114

2P1 + P2 + 3P3 = 48

Jawab: notasi matrik dituliskan seperti Ax = bA = x = b =

A-1 = dengan demikian

= =

Jadi besaran Harga (P) dari tiga jenis barang tersebut adalah :

P1 = 10, P2 =13 P3 = 5

Analisis Input Output

Tujuan dari bab ini kita akan dapat :

Mengerti apa yang dimaksud dengan koefisien matriks teknis (matriks teknologi)

Menghitung permintaan akhir

Menghitung total output

Menghitung angka pengganda di dalam model input output model

Model paling sederhana dari makro-ekonomi mengasumsikan bahwa hanya ada dua sektor yaitu sektor rumahtangga dan perusahaan. Aliran uang diantara kedua sektor ini diilustrasikan di dalam grafik 7.1

Kotak yang dinamai perusahaan melakukan sejumlah aktivitas ekonomi. Perusahaan menukar barang dan jasa diantara mereka sendiri demikian juga dengan barang dan jasa yang dikonsumsi rumahtangga. Contohnya, industri baja menggunakan bahan baku seperti biji besi dan batu bara untuk memproduksi baja. Pada putaran berikutnya, baja dibeli oleh perusahaan teknik untuk memproduksi mesin-mesin. Mesin-mesin ini digunakan oleh perusahaan lain termasuk industri yang memproduksi baja. Jadi sangat menungkinkan bagi sebuah usaha untuk menggunakan hasil atau outputnya sebagai input. Contohnya pada sektor pertanian, sebuah usahatani akan menggunakan tanah yang baik untuk ditanami untuk menghasilkan biji-bijian, yang sebagian diantaranya diolah kembali sebagai makanan ternak. Output yang ditujukan untuk rumahtangga disebut permintaan akhir. Output yang digunakan sebagai input oleh perusahaan lain disebut output antara. Upaya dalam mengidentifikasi perusahaan barang-barang individu dan perusahaan, dan menelusuri arus uang diantara perusahaan ini disebut dengan analisis input output.

Jika dianggap hanya ada dua industri, I1 dan I2 dan bahwa output dari I1 sebesar $ 1 membutuhkan input sebesar 10 sen dari I1 dan 30 sen dari I2. Output dari I2 seharga $ 1 membutuhkan input sebesar 50 sen dari I1 dan 20 sen dari I2. Informasi ini dapat ditunjukkan dalam bentuk tabel berikut

A =

EMBED Equation.3 Matriks ini disebut koefisien matriks teknologi. Kolom pada A memberikan input yang diperlukan untuk memproduksi sebesar $1 output. Secara umum jika ada n industri dengan order matriks koefisien teknis n x n. Elemen aij memberikan input yang diperlukan dari industri ke i untuk memproduksi $1 output industri ke j.

Output

I1I2

InputI10,10,5

I20,30,2

1,01,0

Ada asumsi penting bahwa fungsi produksi untuk setiap industri di dalam model menunjukkan return to scale. Artinya bahwa koefisien teknis dapat diartikan sebagai proporsi yang mana independen terhadap level output. Contohnya, katakan bahwa kita akan memproduksi 500 output dari I1 . Kolom pertama dari A menunjukkan bahwa input yang diperlukan :

0,1 x 500 = 50 unit untuk I10,3 x 500 = 150 unit untuk I2Sejalan dengan itu, kita memproduksi 400 unit dari I2, kemudian kolom kedua dari A memperlihatkan bahwa kita menggunakan

0,5 x 400 = 200 unit untuk I10,2 x 400 = 80 unit untuk I2Dalam situasi ini, 500 unit I1 yang diproduksi kembali sebanyak 50 unit ke I1 dan 200 digunakan oleh I2. Ini artinya bahwa ada 250 unit tersisa yang tersedia untuk permintaan eksternal. Dengan cara yang sama, 400 unit I2 yang diproduksi, 230 unit digunakan sebagai output antara meninggalkan 170 unit yang digunakan untuk permintaan eksternal. Untuk kasus umum dari n industri kita dapat menggunakan matriks koefisien teknis untuk menjawab pertanyaan berikut.

Pertanyaan 1: Berapa banyak output yang tersedia untuk permintaan akhir yang

diberikan pada tingkat total output

Pertanyaan 2: Berapa banyak total output yang dibutuhkan untuk memenuhi tingkat

permintaan akhir

Pertanyaan 3: Berapa perubahan yang diperlukan untuk membuat total output ketika

Permintaan akhir berubah karena adanya sejumlah permintaan

Ketiga pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menggunakan satu persamaan matriks dasar yang sekarang kita dapatkan. Kita mulai dengan kembali ke model sederhana dua industri dengan matriks koefisien teknis

A =

EMBED Equation.3 Mari kita tunjukkan permintaan akhir untuk I1 dan I2 dengan d1 dan d2, berturut-turut dan menunjukkan total output dengan x1 dan x2. Output total dari I1 digunakan dalam tiga cara berbeda. Pertama, sebagian output dari I1 digunakan sebagai input untuk I1. Proporsi yang tepat di tunjukkan oleh elemen

a11 = 0,1

Jadi I1 menggunakan 0,1x1 unit dari outputnya sendiri. Kedua, beberapa output dari I1 digunakan sebagai input dari I2. Elemennya

a12 = 0,5

diberikan sejumlah I1 yang digunakan untuk membuat 1 unit I2. Kita membuat total x2 unit dari I2, jadi kita menggunakan 0,5x2 unit dari I1 dengan cara ini. Ketiga, beberapa output dari I1 digunakan untuk permintaan akhir, yang kita notasikan sebagai d1. Sejumlah total dari I1 yang digunakan menjadi

0,1x1 + 0,5x2 + d1

Jika kita asumsikan bahwa total output dari I1 dapat mencukupi permintaan ini maka

x1 = 0,1x1 + 0,5x2 + d1

Dengan cara yang sama, jika I2 memproduksi output yang dapat memenuhi permintaan input dari dua industri sebanyak permintaan akhir maka

x2 = 0,3x1 + 0,2x2 + d2

Di dalam notasi matriks kedua persamaan dapat ditulis sebagai

=

EMBED Equation.3 +

Sehingga

x = Ax + d

dimana x adalah vektor total output

dan adalah vektor permintaan akhir

Untuk kasus umum dari n industri kita dapat menulis x1 dan d1 untuk output total dan permintaan akhir. Dari x1 unit output industri yang diproduksi,

a11x1 digunakan sebagai input untuk industi 1

a12x1 digunakan sebagai input untuk industi 2

:

:

Ainxn digunakan sebagai input untuk industri n

dan

d1 digunakan sebagai permintaan eksternal

sebab itu

x1 = ai1x1 + ai2x2 + + ainxn + d1di dalam matriks, persamaan total yang didapatkan dengan seting i = 1,2.n,

dapat ditulis sebagai

=

EMBED Equation.3 +

yang merupakan

x = Ax + d

dimana A adalah n x n koefien matriks teknologi, x adalah n x 1 vektor total output dan d adalah n x 1 vektor permintaan akhir

Ketiga pertanyaan sekarang dapat terjawab

Pertanyaan 1: Berapa banyak output yang tersedia untuk permintaan akhir yang

diberikan pada tingkat total output

Jawaban 1

Dalam kasus ini vektor x diasumsikan telah diketahui dan kita ingin mengkalkulasikan vektor d yang tidak diketahui. Persamaan matriks

x = Ax + d

atau

d = x Ax

dan sisi kanan dengan mudah dievaluasi untuk mendapatkan d

contoh

tingkat output dari mesin-mesin, alat-alat listrik dan minyak dari suatu negara berturut-turut adalah 3000, 5000 dan 2000.

Setiap unit dari mesin-mesin membutuhkan input 0,3 unit alat-alat listrik dan 03, unit minyak.

Setiap unit dari alat-alat listrik membutuhkan input 0,1 unit mesin-mesin dan 0,2 unit minyak.

Setiap unit dari industri minyak membutuhkan input sebanyak 0,2 unit mesin-mesin dan 0,1 unit alat-alat listrik. Tentukan mesin-mesin, alat-alat listrik dan industri minyak yang tersedia untuk ekspor.

Solusi

Mari kita tentukan output total untuk mesin-mesin,alat-alat listrik dan indsutri minyak berturut-turut adalah x1, x2 dan x3 kemudian

x1 = 3000x2 = 5000x3 = 2000

Kalimat kedua dari pernyataan masalah, memperlihatkan detail input yang dibutuhkan untuk mesin-mesin. Untuk memproduksi 1 unit mesin-mesin kita menggunakan 0 unit mesin-mesin,0,3 unit alat-alat listrik dan 0,3 unit industri minyak. Kolom pertama dari koefisien matrik teknologi menjadi

Demikian juga, kalimat ketiga dan keempat menginformasikan kebutuhan input untuk alat-alat listrik dan industri minyak,jadi matriks yang lengkap menjadi

A =

Dari persamaan

d = x Ax

kita melihat bahwa vektor permintaan akhir adalah

= -

EMBED Equation.3 = -

=

Dengan demikian negara tersebut mempunyai berturut-turut 2100, 3900 dan 100 unit mesin-mesin, alat-alat listrik dan minyak yang tersedia untuk ekspor.

Pertanyaan 2

Berapa banyak output total yang dibutuhkan untuk memenuhi tingkat permintaan akhir yang diketahui ?

Jawaban 2

Dalam kasus ini vektor d diasumsikan diketahui dan kita ingin menghitung vektor x yang tidak diketahui.

Persamaan matriks

x = Ax + d

diubah menjadi

x Ax = d

atau sama dengan

(I A)x = d

Karena

(I A)x = Ix Ax = x Ax

Persamaan ini menggambarkan sebuah sistem dari persamaan linear yang berupa koefisien matriks I A dan pada sisi kanan vektor adalah d. Kita dapat menyelesaikan penghitungan ini dengan mengalikan invers dari matriks koefisien dengan sisi kanan vektor untuk mendapatkan

x = (I A)-1d

Dalam konteks analisis input output, matriks (I A)-1 disebut dengan invers Leontief.

Contoh

Diketahui matriks koefisien teknologi

A =

untuk tiga industri, I1, I2 dan I3. Tentukan output total yang diperlukan untuk memenuhi permintaan total berturut-turut 49, 106 dan 17.

Solusi

Untuk menyelesaikan problem ini kita ingin mengetahui invers matriks I A dan untuk mengalikan vektor permintaan akhir. Matriks I A adalah

- =

Invers dari matriks ini kemudian diketahui dengan menghitung co-faktornya. Jika kita sebut ini sebagai matriks B kemudian kofaktornya, Bij berhubungan dengan elemen bij yang berupa

B11 = 0,52B12 = 0,22B13 = 0,36

B21 = 0,09B22 = 0,45B23 = 0,18

B31 = 0,10B32 = 0,16B33 = 0,54

Dengan mengembangkan sepanjang baris pertama kita lihat bahwa

= 0,7(0,52) + (-0,1)(0,22) + (-0,1)(0,36) = 0,306

Selanjutnya

B-1 = (I A)-1 =

EMBED Equation.3 Kita ketahui bahwa

d =

jadi dari persamaan x = (I A)-1d

=

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 =

Pertanyaan 3

Perubahan apa yang harus dilakukan pada total output ketika permintaan akhir berubah ?

Jawab 3

Dalam kasus ini kita asumsikan bahwa vektor output total x, dipilih untuk memenuhi vektor permintaaan akhir eksisting d, dengan demikian

x = Ax + d atau sama dengan

x = (I A)-1d

Andaikan bahwa vektor permintaan akhir berubah karena tambahan d jadi vektor permintaan akhir yang baru adalah d + d. Untuk memenuhi permintaan yang baru maka vektor total output, x + x, menjadi

x + x = (I A)-1 (d + d)

= (I A)-1 d + (I A)-1 d

Bagaimanapun juga, dari persamaan di atas kita ketahui bahwa

x = (I A)-1d kemudian

x + x = x + (I A)-1 d

dan jika x dibagi dengan kedua sisi maka

x = (I A)-1 d

Catat bahwa persamaan ini tidak memiliki unsur d atau x . Ini memperlihatkan bahwa perubahan pada output, x, tidak tergantung pada permintaan akhir eksisting atau output total eksisting. Ia hanya tergantung pada perubahan d.

Contoh

Perhatikan tabel antar industri berikut ini

OutputPermintaan akhir

I1I2

InputI1200300500

I2100100300

Asumsikan bahwa output total cukup untuk memenuhi kebutuhan input dan permintaan akhir.

Tuliskan

a) Vektor output totalb) Matriks koefisien teknis

Selanjutnya hitung vektor total output yang baru yang dibutuhkan ketika permintaan akhiruntuk I1 meningkat sebesar 100 unit

Solusi

a) Untuk menghitung output total yang baru untuk I1 dan I2, yang harus kita lakukan adalah menambah bersama-sama angka-angka sepanjang baris pada tabel. Baris pertama menunjukkan bahwa I1 menggunakan 200 unit I1 sebagai input, I2 menggunakan 300 unit I1 sebagai input dan 500 unit I1 digunakansebagai permintaan akhir. Jumlah unit I1 kemudian

200 + 300 + 500 = 1000

Asumsikan bahwa output total dari I1 secara tepat sama dengan permintaan

Dapat kita katakan

x1 = 1000

selanjutnya, dari baris kedua tabel

x2 = 100 +100 + 300 = 500

jadi vektor output total adalah

x =

b) Kolom pertama dari matriks koefisien teknis memperlihatkan input yang diperlukan untuk memproduksi 1 unit I1. Kolom pertama dari tabel arus antar industri memberikan input yang diperlukan untuk memproduksi output total yang baru dari I1, yang kita temukan dalam bagian a, sebesar 1000. Dalam semua model input output kita asumsikan bahwa produksi bersifat constant return to scale jadi kita membagi kolom pertama dari tabel arus antar industri dengan 1000 untuk mendapatkan input yang diperlukan untuk memproduksi 1 unit output. Dalam bagian a output total untuk I2 menjadi 500,jadi kolom kedua dari matriks koefisien teknis dihitung dengan membagi kolom tabel arus antar industri kedua dengan 500. Selanjutnya

A =

=

Jika permintaan untuk I1 meningkat sebesar 100 unit dan permintaan untuk I2 tetap, maka vektor yang memberikan perubahan pada permintaan akhir adalah

d =

Untuk menentukan hubungan perubahan pada output, digunakan persamaan berikut

x = (I A)-1 d

Dengan mengurangi A dari matriks indentitas memberikan

I A = - =

Yang memiliki determinan

= (0,8)(0,8) (-0,6)(-0,1) = 0,58

Invers dari I A kemudian

(I A)-1 =

EMBED Equation.3 Sehingga

x =

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 =

Ada terdapat penambahan pada total output I2 meskipun faktanya bahwa permintaan akhir untuk I2 tetap tidak berubah. Hal ini memang diharapkan karena untuk memenuhi pertambahan pada permintaan akhir untuk I1, diperlukan untuk menambah output dari I1 dalam putaran berikutnya diperlukan lebih banyak input baik I1 dan I2. Perubahan hanya pada satu industri mempunyai pengaruh pada semua industri di dalam model.

Dari bagian a, vektor total output yang baru menjadi

x =

jadi vektor total output yang baru menjadi

x + x = + =

Kita simpulkan bab ini dengan penenekanan kembali hubungan antara konsep multiplier dengan invers matriks. Andaikan bahwa kita memiliki tiga industri model dan invers Leontief, (I A)-1 , ditunjukkan dengan

Persamaan x = (I A)-1d

Kemudian menjadi

=

EMBED Equation.3 Sehingga

x1 = b11d1 + b12d2 + b13d3

x2 = b21d1 + b22d2 + b23d3x3 = b31d1 + b32d2 + b33d3 Persamaan pertama menunjukkan bahwa x1 adalah fungsi dari tiga variabel d1, d2 dan d3. Akibatnya kita dapat menuliskan tiga bagian turunannya

= b11 = b21 = b13

Dengan cara yang sama, persamaan kedua dan ketiga berupa

= b21 = b22 = b23

= b31 = b22 = b33

Diketahui dari bab 5 bahwa bagian turunan menentukan angka pengganda di dalam model ekonomi. Kesembilan bagian turunan memperlihatkan bahwa jika kita menghubungan permintaan akhir sebagai variabel eksogen dan output total sebagai variabel endogen maka angka pengganda adalah elemen di dalam matriks (I A)-1 Lebih tepatnya pengganda dari variabel xi karena perubahan di dalam dj adalah elemen bij yang tergantung pada baris ke I dan kolom ke j dari (I A)-1 Hasil ini dapat juga dilihat secara langsung dari persamaan

x = (I A)-1 d

Jika kita menaruh x = [x1 x2 x3]T dan d = [d1 d2 d3]T maka persamaan matriks ini menjadi

x1 = b11d1 + b12d2 + b13d3

x2 = b21d1 + b22d2 + b23d3x3 = b31d1 + b32d2 + b33d3 Kita lihat dari persamaan ke I bahwa kontribusi untuk mengubah xi karena perubahan dj adalah bijdj. Dengan kata lain, jika dj berubah karena dj dan semua permintaan akhir yang lain tetap maka kita dapat menghitung perubahan hubungan di dalam xi dengan mengalikan dj dengan bij.

Program Linier (Linier Progamming)Di dalam program linier terdapat 3 bagian

1. Fungsi tujuan (objective function) yang dinyatakan dengan notasi Z

Maximum Z, untuk mencari laba, penerimaan, harga jual, dll

Minimum Z, untuk mencari biaya, resiko, dll

2. Fungsi batasan (constraints) adalah sekelompok sumber daya bahan baku dan bahan pembantu yang terdiri dari berbagai jenis. Misalnya: berbagai jenis bahan baku untuk membuat kue, lemari dll

3. Fungsi batasan yang non negatif, artinya tidak ada produksi yang bernilai negatifDalam memformulasikan model program linier, ada beberapa asumsi dasar yang harus dipenuhi, yaitu :

1. Linearity

Parameter xj semuanya berpangkat 1

2. Deterministik

Semua parameter dalam model program linier seperti aij, bi, cj, dan xj dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang terjadi dengan tepat

3. Divisibility

Bahan baku yang digunakan dalam proses produksi dapat dibagi menjadi bilangan pecahan, dan output yang dihasilkan dapat berupa bilangan pecahan

4. Proporsionality

Turun naiknya penggunaan sumber yang tersedia akan merubah niai fungsi tujuan Z secara proporsional. Penggunaan satu unit aij akan menambah satu unit xj

5. Additivity

Kenaikan nilai fungsi tujuan Z diakibatkan oleh penambahan nilai dari produk yang dihasilkan

Formulasi Dasar Model Program Linier

Ada n macam barang yang masing-masing diproduksi sebanyak X1, X2 Xn Xj adalah banyaknya produksi barang ke j, dimana j = 1, 2 , 3 . n

Cj adalah harga/ profit/ biaya/ resiko per unit barang ke j

Ada m macam bahan baku. masing-masing tersedia sebanyak b1, b2, b3, . bm

bi adalah banyaknya persediaan bahan baku ke i, dimana i = 1, 2, 3 . m

aij adalah banyaknya bahan baku ke i yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit barang ke j.

Max Z / min Z = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 .. cn xn Objective function s/ t a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 .. a1n xn b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 .. a2n xn b2

:

: : Constraints

:

: :

:

: :

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 ... amn xn bm

xj 0 Non negative constraintDalam bentuk yang lebih sederhana bisa ditulis menjadi

Max Z / Min Z = cj xj

s/ t aij xj bj

xj 0

Dalam bentuk matrik ditulis menjadi

Max Z/ min Z = C X

s/ t Aij Xj bj

xj 0

Contoh 2.4

A farmer owns 200 pigs that consume 90 lb of special feed daily. The feed is prepared as a mixture of corn and soybean meal with the following compositions :

----------------------------------------------------------------------------------

Pounds per pound of feedstuff

Feedstuff calciumprotein fiber Cost (dollars lb)

Corn

0.001 0.09 0.02 0,20

Soybean meal 0.002 0.60 0.06 0,60

----------------------------------------------------------------------------------

The dietary requirements of the pigs are :

At most 1% calcium

At least 30% protein

At most 5% fiber

Determine the daily minimum cost feed mix

Jawab : Jagung = x1

Kedelai = x2

Min Z = 0.20 x1 + 0.60 x2

S/t 0.001x1 + 0.002 x2 1% (90) kalsium

0.09 x1 + 0.60 x2 30% (90) protein

0.02 x1 + 0.06 x2 5% (90) serat

x1 + x2 = 90

x1, x2 0

Contoh 2.28

Four products are processed successively on two machines. The manufacturing time in hours per unit of each product are tabulated for the two machines :

--------------------------------------------------------------------------------

Time per unit (hour)

MachineProduct 1 Product 2 Product 3Product 4

I

2

3 4

2

II

3

2 1

2

---------------------------------------------------------------------------------The total cost of producing 1 unit of each product is based directly on the machine time. Asume that the cost per hour machines 1 and 2 is $10 and $5, respectively. The total hours budgeted for all the products on machines 1 and 2 are 500 and 380. If the sales price per unit for product 1, 2, 3, and 4 are $65, $70, $55, and $45. Formulate the problem as a linier programming model to maximize the total net profit. Analyze the optimum solution

Misal : Produk 1 = x1

Produk 3 = x3

Produk 2 = x2

Produk 4 = x4

Produk 1 = 65 [ (2 x 10) + (3 x 5)]

65 35 = 30

Produk 2 = 70 [ (3 x 10) + (2 x 5)]

70 40 = 30

Produk 3 = 55 [ (4 x 10) + (1 x 5)]

55 45 = 10

Produk 4 = 45 [ (2 x 10) + (2 x 5)]

45 30 = 15

Dengan demikian, model program liniernya adalah :

Max Z = 30 x1 + 30 x2 + 10 x3 + 15 x4

S/t 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x4 500

3 x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 380

x1, x2, x3, x4 0Dr soal 2.28 yang sama, formulasikan model program linier jika perusahaan tsb ingin :

a. Menghitung biaya produksib. Meningkatkan pendapatan

Metode Aljabar

Max Z = 4x1 + 3x2s/t 5x1 + 3x2 45

2x1 + 2x2 26

x1, x2 0

Bentuk baku :

Max Z = 4x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2s/t 5x1 + 3x2 + s1 = 45

2x1 + 2x2 + s2 = 26

x1, x2, s1, s2 > 0

Jd-1

Misal : x1 = x2 = 0

Kendala 1 : 5x1 + 3x2 + s1 = 45

Kendala 2: 2x1 + 2x2 + s2 = 26

5(0) + 3(0) + s1 = 45

2(0) + 2(0) + s2 = 26

s1 = 45

s2 = 26

Max Z = 4x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 4(0) + 3(0) + 0(45) + 0(26) = 0 (tidak ada produksi)Jd-2

Misal : x1 = s1 = 0

Kendala 1 : 5x1 + 3x2 + s1 = 45

Kendala 2: 2x1 + 2x2 + s2 = 26

5(0) + 3x2 + 0 = 45

2(0) + 2(15) + s2 = 26

x2 = 15

s2 = -4 (infeasible)

Jd-3

Misal : x1 = s2 = 0

Kendala 1 : 5x1 + 3x2 + s1 = 45

*Kendala 2: 2x1 + 2x2 + s2 = 26

5(0) + 3(13) + s1 = 45

2(0) + 2x2 + 0 = 26

s1 = 3

x2 = 13

Max Z = 4x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 4(0) + 3(13) + 0(3) + 0(0) = 39Jd-4

Misal : x2 = s1 = 0

Kendala 1 : 5x1 + 3x2 + s1 = 45

Kendala 2: 2x1 + 2x2 + s2 = 26

5x1 + 3(0) + 0 = 45

2(9) + 2(0) + s2 = 26

x1 = 9

s2 = 8

Max Z = 4x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 4(9) + 3(0) + 0(0) + 0(8) = 36Jd-5

Misal : x2 = s2 = 0

Kendala 1 : 5x1 + 3x2 + s1 = 45

*Kendala 2: 2x1 + 2x2 + s2 = 26

5(13) + 3(0) + s1 = 45

2x1 + 2(0) + 0 = 26

s1 = -20 (infeasible)

x1 = 13

Jd-6

Misal : s1 = s2 = 0

a) 5x1 + 3x2 = 45 dikali 2: 10x1 + 6x2 = 90

b) 2x1 + 2x2 = 26 dikali 3: 6x1 + 6x2 = 78

Diperoleh x1 = 3 dan x2 = 10Max Z = 4x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 4(3) + 3(10) + 0(0) + 0(0) = 42Kondisi optimal diperoleh pada Z = 42

x1 = 3

s1 = 0

x2 = 10

s2 = 0

Note :

Untuk pembatas yang bertanda , diberi var. surplus S dgn tanda +

Untuk pembatas yang bertanda =, diberi var. artificial R dgn tanda +

Untuk pembatas yang bertanda , diberi var. surplus S dgn tanda

dan var. artificial R dgn tanda +

Metode Simplek

Algoritma metode Simplek

1. Buat tabel awal yang minimal terdiri dari m+1 baris dan n+ n+1 kolom

2. Cari pada baris fungsi tujuan Zj Cj, nilai yang positip terbesar untuk persoalan minimum atau nilai yang negatip paling jauh dari nol untuk persoalan maksimum. Kalau ada lebih dari satu nilai tersebut yang sama besarnya, pilih salah satu diantaranya. Kalau tidak ada lagi nilai tersebut berarti kondisi optimal sudah tercapai. Nyatakan kolom dgn nilai yang dipilih ini sebagai kolom basis

3. Cari rasio, caranya adalah membagi nilai pada kolom solusi dgn nilai pada kolom basis. Pilih rasio yang positip terkecil (berlaku untuk maximum atau minimum). Kalau ada dua nilai rasio yang sama besarnya, pilih salah satu diantaranya. Nyatakan baris dengan nilai rasio yang dipilih tersebut sebagai baris basis.

4. Cari arj = arj / ark , yang akan menjadi dasar perhitungan untuk baris-baris yang lainnya. Nilai ark adalah nilai sel perpotongan antara baris basis dan kolom basis

5. Cari nilai-nilai baru dari setiap baris, yaitu nilai lama dikurangi dengan hasil kali antara arj dengan nilai yg sesuai pd kolom basis

6. Ulangi step 2

Contoh

Max Z = 25x1 + 15x2s/t 3x1 + 3x2 24

2x1 + 4x2 20

3x1 21

x1, x2 0

Bentuk baku :

Max Z - 25x1 - 15x2 - 0s1 - 0s2 - 0s3 = 0

s/t 3x1 + 3x2 + s1 = 24

2x1 + 4x2 + s2 = 20

3x1 + s3 = 21

x1, x2, s1, s2, s2 > 0

Tabel 1

VD x1 x2 s1 s2 s3SolusiRasio

Zj-Cj -25 -15 0 0 00

s1s2

s3 3 3 1 0 0

2 4 0 1 0

3 0 0 0 124

20

2124:3 = 8

20:2 = 10

21:3 = 7

x1 masuk, s3 keluar

Cara mencari nilai-nilai pada table 2

Untuk kolom basis, pilih kolom x1Untuk baris basis, dipilih baris s3,arj = 3 0 0 0 1 21

ark = 3

arj = 1 0 0 0 1/3 7

arj1 -25 -15 0 0 0 0

+ (25 arj) 25 0 0 0 25/3 175 +

arj1 0 -15 0 0 25/3 175

arj2

3 3 1 0 0 24

- (3arj) 3 0 0 0 1 21

arj2 0 3 1 0 -1 3

arj3

2 2 0 1 0 20

- (2 arj) 2 0 0 0 2/3 14

arj3 0 2 0 1 -2/3 6

Tabel 2VD x1 x2 s1 s2 s3SolusiRasio

Zj-Cj 0 -15 0 0 25/3175

s1s2

x1 0 3 1 0 -1

0 4 0 1 -2/3

1 0 0 0 1/33

6

73 : 3 = 16 : 4 = 1,57 : 0 = (

x2 masuk, s1 keluar

Cara mencari nilai-nilai pada table 3

Untuk kolom basis, pilih kolom x2Untuk baris basis, dipilih baris s1,arj = 0 3 1 0 -1 3

ark = 3

arj = 0 1 1/3 0 -1/3 1

arj1 0 -15 0 0 25/3 175+ (15 arj) 0 -15 5 0 -5 15 +

arj1 0 0 5 0 10/3 190arj3

0 4 0 1 -2/3 6- (4arj) 0 4 4/3 0 -4/3 4

arj2 0 0 -4/3 1 2/3 2arj4

1 0 0 0 1/3 7- (0 arj) 0 0 0 0 0 0

arj3 1 0 0 0 1/3 7Tabel 3

VD x1 x2 s1 s2 s2Solusi

Zj-Cj 0 0 5 0 10/3 190

x2

s2x1 0 1 1/3 0 -1/3

0 0 -4/3 1 2/3

1 0 0 0 1/31

2

7

Karena nilai-nilai pada baris fs tujuan Zj Cj sudah positip ( 0) semua maka kondisi optimal dicapai pada :

Z = 190

x1 = 7

s2 = 2

s3 = 0

x2 = 1

s1 = 0

Note : angka penyebut pada satu baris harus sama atau bisa dibagi dengan angka yang sama.

Teknik Artificial (Metode Dua Phase dan Metode Big M)

a. Metode Dua PhaseMin Z = 4x1 + x2s/t 3x1 + x2 = 30

4x1 + 3x2 60

x1 + 2x2 40

x1, x2 0

Bentuk baku :

Min r = R1 + R2

s/t 3x1 + x2 + R1 = 30

4x1 + 3x2 S1 + R2 = 60

x1 + 2x2 + S2 = 40

x1, x2, s1, s2, R1, R2 0

Tahap 1 (Perhatikan pembatas-pembatas yang memiliki variabel artificial)

Kendala 1 :3x1 + x2 + R1 = 30

R1 = 30 - 3x1 - x2

Kendala 2 :4x1 + 3x2 S1 + R2 = 60

R2 = 60 - 4x1 - 3x2 + S1Substitusikan nilai-nilai R1 dan R2 ini ke

Min r = R1 + R2

= 30 - 3x1 - x2 + 60 - 4x1 - 3x2 + S1

= 90 - 7x1 - 4x2 + S1atau

Min r + 7x1 + 4x2 - S1 = 90

s/t 3x1 + x2 + R1 = 30

4x1 + 3x2 S1 + R2 = 60

x1 + 2x2 + S2 = 40

x1, x2, s1, s2, R1, R2 0

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2SolusiRasio

Zj - Cj 7 4 -1 0 0 090

R1R2S2 3 1 0 0 1 0

4 3 -1 0 0 1

1 2 0 1 0 030

60

4030 : 3 = 1060 : 4 = 15

40 : 1 = 40

x1 masuk, R1 keluar

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2SolusiRasio

Zj - Cj 0 5/3 -1 0 -7/3 020

x1R2S2 1 1/3 0 0 1/3 0

0 5/3 -1 0 -4/3 1

0 5/3 0 1 -1/3 010

20

3010 : 1/3 = 3020 : 5/3 = 1230 : 5/3 = 18

x2 masuk, R2 keluar

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2Solusi

Zj - Cj 0 0 0 0 -1 -10

x1x2s2 1 0 1/5 0 3/5 -1/5

0 1 -3/5 0 -4/5 3/5

0 0 1 1 1 -16

12

10

Karena nilai-nilai var. dasar (x1, x2) dan var. surplus (s1, s2) pada baris fungsi tujuan Zj Cj sudah nol semua maka perhitungan bisa dilanjutkan ke tahap 2. Pada tahap 2, kolom R1 dan R2 dibuang sehingga tabelnya menjadi :

VD x1 x2 s1 s2 Solusi

Zj - Cj 0 0 0 0 0

x1x2s2 1 0 1/5 0

0 1 -3/5 0

0 0 1 1 6

12

10

Ingat, yang memiliki variable artificial adalah pembatas 1 dan pembatas 2, sehingga dari tabel diatas diperoleh persamaan berikut :

Pembatas 1 : x1 + 1/5 s1 = 6

x1 = 6 1/5 s1Pembatas 2 : x2 3/5 s1 = 12

x2 = 12 + 3/5 s1Substitusikan nilai x1 dan x2 ini ke fungsi tujuan awal :

Min z = 4x1 + x2= 4 (6 1/5 s1) + 12 + 3/5 s1= 24 4/5 s1 + 12 + 3/5 s1= 36 1/5 s1, atau menjadi Min Z + 1/5 s1 = 36 (masukkan fungsi tujuan baru

ini ke dalam tabel), sehingga diperoleh :

VD x1 x2 s1 s2 SolusiRasio

Zj - Cj 0 0 1/5 0 36

x1x2s2 1 0 1/5 0

0 1 -3/5 0

0 0 1 1 6

12

106 : 1/5 = 30

12 : -3/5 = -2010 : 1 = 10

s1 masuk, s2 keluar

VD x1 x2 s1 s2 Solusi

Zj - Cj 0 0 0 -1/5 34

x1x2s1 1 0 0 -1/5

0 1 0 3/5

0 0 1 1 4

18

10

Karena nilai-nilai pada baris fungsi tujuan Zj Cj sudah negatif ( 0) semua, maka kondisi optimal dicapai pada Z = 34

x1 = 4

s2 = 0

x2 = 18

R1 = 0

s1 = 10

R2 = 0

b. Metode Big M

Lihat contoh yang sama untuk metode dua phase

Min Z = 4x1 + x2s/t 3x1 + x2 = 30

4x1 + 3x2 60

x1 + 2x2 40

x1, x2 0

Bentuk baku :

Min Z - 4x1 - x2 0s1 0s2 MR1 MR2 = 0

s/t 3x1 + x2 + R1 = 30

4x1 + 3x2 S1 + R2 = 60

x1 + 2x2 + S2 = 40

x1, x2, s1, s2, R1, R2 0

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2Solusi

Zj - Cj -4 -1 0 0 -M -M0

R1R2S2 3 1 0 0 1 0

4 3 -1 0 0 1

1 2 0 1 0 030

60

40

Tambahkan pembatas-pembatas yang memiliki variable artificial, kemudian dikali dgn M, dan gabungkan dengan nilai-nilai pada baris fungsi tujuan, sehingga menjadi

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2SolusiRasio

Zj - Cj 7M-4 4M-1 -M 0 0 090M

R1R2S2 3 1 0 0 1 0

4 3 -1 0 0 1

1 2 0 1 0 030

60

4030 : 3 = 10

60 : 4 = 15

40 : 1 = 40

x1 masuk, R1 keluar (Pada setiap iterasi, nilai M harus selalu dievaluasi dengan suatu bilangan konstanta 1, yang nilainya harus sama atau tidak boleh berubah sampai selesai perhitungan)

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2SolusiRasio

Zj - Cj 0 5/3M+1/3 -M 0 -7/3M+4/3 040 + 20M

x1R2S2 1 1/3 0 0 1/3 0

0 5/3 -1 0 -4/3 1

0 5/3 0 1 -1/3 010

20

3010 : 1/3 = 30

20 : 5/3 = 12

30 : 5/3 = 18

x2 masuk, R2 keluar

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2SolusiRasio

Zj - Cj 0 0 1/5 0 -M+8/5 -M-1/536

x1x2S2 1 0 1/5 0 3/5 -1/5

0 1 -3/5 0 -4/5 3/5

0 0 1 1 1 -16

12

106 : 1/5 = 30

12 : -3/5 = -20

10 : 1 = 10

s1 masuk, s2 keluar

VD x1 x2 s1 s2 R1 R2Solusi

Zj - Cj 0 0 0 -1/5 -M+7/5 -M34

x1x2s1 1 0 0 -1/5 2/5 0

0 1 0 3/5 -1/5 0

0 0 1 1 1 -14

18

10

Karena nilai-nilai pada baris fungsi tujuan Zj Cj sudah negatif ( 0) semua maka kondisi optimal dicapai pada Z = 34

x1 = 4

s2 = 0

x2 = 18

R1 = 0

s1 = 10

R2 = 0

Metode Revised Simplex

Contoh 1

Max Z = 3x1 + 2x2 + 5x3 s/t x1 + 2x2 + x3 430

3x1 + 2x3 460

x1 + 4x2 420

x1, x2, x3 0

Bentuk baku :

Max Z - 3x1 - 2x2 5x3 0s1 0ss 0s3 = 0

s/t x1 + 2x2 + x3 + s1 = 430

3x1 + 2x3 + s2 = 460

x1 + 4x2 + s3 = 420

x1, x2, x3, s1, s2, s3 0

Cj = 3 2 5 0 0 0

Tabel 1 VD X1 x2 x3 s1 s2 s3 Solusi

Zj - Cj -3 -2 -5 0 0 0 0

s1s2s3 1 2 1 1 0 0

3 0 2 0 1 0

1 4 0 0 0 1 430

460

420

Tabel 2

Tabel 4VD s1 S2s3Solusi

W1 0000-5

s11004301

s20104602

s30014200

x3 masuk, s2 keluar

Tabel 3

W1 aj 0 0 0 0 0 0

Cj 3 2 5 0 0 0 -

-3 -2 -5 0 0 0

Tabel 5

Tabel 7VD s1 S2s3Solusi

W2 05/201150-2

s11-1/202002

x301/202300

s30014204

x2 masuk, s1 keluar

Tabel 6W2 aj 15/2 0 5 0 5/2 0

Cj 3 2 5 0 0 0 -

9/2 -2 0 0 5/2 0

Tabel 8VD s1 S2s3Sol