KETERBAGIAN-Teori Bilangan

8/11/2019 KETERBAGIAN-Teori Bilangan

1/11

KETERBAGIAN

1.Pendahuluan

Definisi 1 :

Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b, dengan a 0 (ditulis a | b)bila dan hanya bila k bilangan bulat sehingga b = a . k.Jika a tidak membagi habis b maka dituliskan a | b.

Contoh : 4 | 36 karena 4k = 36 sehingga k = 9.

5 | 27 karena tidak ada bilangan bulat k sehingga 5k = 27.

Dalam hal ini, a = faktor dari b atau pembagi b

b = kelipatan a

k = hasil bagi b oleh a atau faktor b komplemen a.

Pembagian Bersisa :

a | b dapat pula dituliskan bahwa b = a.q + r dengan 0 < r < a

q = hasil bagir = sisa pembagian a terhadap b.

Teorema ( Sifat-sifat Pembagian Habis )

1)

Jika a | b maka a | bd ( Sebaliknya belum tentu )

2)

Jika a | b dan b | c maka a | c ( Sifat Transitif )

3)

Jika a | b dan a | c maka a | ( bk+cl )

4) Jika a | b dan b | a maka a = b atau a = -b

5)

Jika a | b dengan a dan b bilangan bulat positif maka a b6) Jika a | b bila dan hanya bila ma | mb, dengan m 0.


3/11

2)

Buktikan bahwa : Jika a | b dan c | d maka ac | bd

Bukti :

a | b berarti m bilangan Bulat b = am

c | d berarti n bilangan Bulat d = cnSehingga diperoleh : bd = (am).(cn) = (ac).(mn)

Karena (mn) bilangan Bulat maka ac | bd. (Terbukti)

3)

Buktikan bahwa : Jika a | (b21) maka a | (b41)

Bukti :

a | (b

2

1) berarti n bilangan Bulat b2

1 = an.(*)Jika kedua ruas dari persamaan (*) masing-masing dikalikan b2 + 1, maka

diperoleh :

(b21)( b2 + 1) = an. (b2 + 1)

(b41) = a {n(b2 + 1)}.(**)

Dengan kata lain, dari persamaan (**) tampak bahwa a | (b41).

Terbukti

LATIHAN SOAL :

1. Buktikan bahwa jika d | a dan d | b maka d | (ab)

2. Buktikan bahwa 6 | ( a3a) , untuk setiap bilangan Bulat a

2.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)Definisi 2 :

Suatu bilangan bulat d adalah factor persekutuan dari a dan b bila dan

hanya bila d | a dan d | b.


4/11

Definisi 3 :

Bila a dan b bilangan-bilangan bulat yang tidak nol. d adalah factor

persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b, dituliskan (a,b) bila dan hanya

bila : (i) d > 0

(ii) d | a dan d | b

(iii) Jika c | a dan c | b maka c dSyarat (i)&(ii) menyatakan bahwa d adalah factor persekutuan dari a dan b.

Syarat (iii) menyatakan bahwa d adalah factor persekutuan terbesar (FPB).

Jika (a,b) = 1 maka a dan b adalah dua bilangan bulat prima relatif (Saling

koprim).

Contoh :

Faktor dari 4 dan 11 adalah {1,2,4} {1,11} = {1}Sehingga (4,11) = 1.

Teorema :

Jika (a,b) = d maka (a:d, b:d) = 1

CONTOH :

1) Jika a | b dan a > 0 maka (a,b) = a

Bukti :

Misalkan (a,b) = c maka c | a dan c | b ( ca dan c b )a | a dan a | b maka a factor dari a dan b atau F(a,b), dengan caMaka FPB dari a dan b atau (a,b) = a.

Terbukti.


5/11

2)

Buktikan bahwa (a,b) = (a+b, b)

Bukti :

Misalkan (a,b) = d maka d | a dan d | b.

Berdasarkan Teorema (3) Sifat Pembagian Habis, yaitu :

d | a dan d | b maka d | (a+b),

karena : d | (a + b) maka d adalah factor dari a+b dan b

d | a atau d F(a+b, b).Ambil sebarang c F(a+b, b) maka c | (a+b) dan c | b.Berdasarkan Teorema (3) Sifat Pembagian Habis, yaitu :

c | (a+b)c | b maka c | a

Karena c | a dan c | b maka c F (a,b) dan (a,b) = d maka c d.Sedangkan, c F(a+b, b) maka d = (a+b,b)Terbukti.

SOAL :

1.

Buktikan bahwa : Jika a | b dan a > 0 maka (a,b) = a

2. Buktikan bahwa : Jika (a,b) = (a - b, a), dengan b < a.

3. Buktikan bahwa : Jika ((a,b), b) = (a,b)

4.

Buktikan bahwa : (n, n+1) = 1, untuk semua bilangan bulat n.

ALGORITMA EUCLID

Algoritma Eucliddirumuskan sebagai berikut:

Misalkan akan dicari pembagi persekutuan terbesar (FPB) dari bilangan

bulat a dan b. Karena (|a|,|b|) = (a,b) dan misalkan a b > 0.


6/11

Langkah pertama menerapkan algoritma pembagian terhadap a dan b

diperoleh :

a = q1b + r1 0 r1< b

Jika terjadi r1 = 0. maka b | a dan (a,b) = b. Jika r1 0, bagilah b oleh r1 dandiperoleh q2dan r2yang memenuhi :

b = q2r1+ r2 0 r2< r1Jika r2= 0, maka berhenti, sebaliknya jika r20 dengan cara yang samadiperoleh,

r1= q3r2+ r3 0 r3< r2

Proses pembagian ini dilanjutkan sampai sisa pembagian nol, katakanlah padalangkah ke (n+1) yang mana r n-1dibagi r ndengan b > r1 > r2 > 0.Proses di atas menghasilkan sistem persamaan berikut:

a = q1b + r1 0 r1< bb = q2r1+ r2 0 r2< r1r1= q3r2+ r3 0 r3< r2.

.

.

rn-2= qnrn-1+ r3 0 rn< rn-1rn-1= qn+1rn+ 0

Sisa pembagian yang terakhir yang bukan nol rn= (a,b).

Teorema :

Jika b = aq + r maka (b,a) = (a,r)

Berdasarkan teorema ini, dari sistem persamaan di atas diperoleh :

(a,b) = (b, r1) = (r1, r2) = = (rn-1, rn) = (rn, 0) = rn


7/11

Teorema :

Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat tidak nol, maka ada bilangan-bilangan

bulat x dan y sedemikian hingga ax + by = (a,b)

Untuk menentukan x dan y yang memenuhi (a,b) = ax + by adalah dengan

subsitusi balik algoritma Euclid.

rn = (a,b) dinyatakan sebagai kombinasi linear dari a dan b.

CONTOH :

Hitunglah (247,299) dan tentukan bilangan-bilangan bulat x dan y yang

memenuhi 247x + 299y = (247,299).

Jawab :

299 = 247.1 + 52

247 = 52.4 + 39

52 = 39.1 + 13

39 = 13.3

Jadi (247,299) = 13

Selanjutnya,

13 = 5239.1

= 52(247 - 52.4)

= 52. 5247

= (299247).5247

= 299.5 + 247. (-6)

Jadi x = -6 dan y = 5

SOAL LATIHAN :

1. Dengan Algoritma Euclides, tentukan FPB dari :

a.

(10587,534)


8/11

b.

(9800,180)

c. (1587645,6755)

2. Hitunglah (314,159) dan tentukan x dan y sehingga 314x + 159y = (314,159)

3.Kelipatan Persekutuan Terkecil ( KPK )

Definisi :

Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. m adalah kelipatan

persekutuan dari a dan b jika a | m dan b | m.

Definisi :

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat tidak nol a

dan b adalah suatu bilangan bulat positif m ditulis [a,b] = m, bila memenuhi:

(i) a | m dan b | m

(ii)a | c dan b | c maka m c.

Teorema :

Jika c adalah suatu kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat yang tidak

nol a dan b, maka KPK dari a dan b membagi habis c, yaitu [a,b] | c.

Bukti :

Misalkan [a,b] = m, maka harus ditunjukkan bahwa m | c.

Andaikan m | c maka menurut Algoritma Pembagian, bilangan-bilanganbulat q dan r c = qm + r , dengan 0 < r < m.Karena c adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, maka a | c dan b | c.

Dan karena [a,b] = m maka a | m dan b | m.

a | m maka a | qm dan karena a | c, maka a | (c-qm). Hal berarti bahwa a | r.

b | m maka b | qm dan karena b | c, maka b | (c-qm). Berarti bahwa b | r.


9/11

Oleh karena a | r dan b | r maka r adalah kelipatan persekutuan dari a dan b.

Tetapi karena [a,b] = m dan 0 < r < m, maka hal ini tidak mungkin

(Kontradiksi).

Jadi pengandaian di atas tidak benar. Berarti m | c atau [a,b] | c.

Terbukti

Ilustrasi dari teorema di atas adalah sebagai berikut :

Himpunan kelipatan persekutuan dari 6 dan 9 adalah {18,36,54,72,}.

Sedangkan KPK dari 6 dan 9, ditulis [6,9] = 18.

Tampak bahwa semua kelipatan persekutuan dari 6 dan 9 selalu terbagi oleh

18. Hal ini dapat dikatakan bahwa setiap kelipatan persekutuan dari dua

bilangan bulat selalu terbagi oleh KPK dari dua bilangan bulat tersebut.

Teorema :

Jika m > 0 maka [ma,mb] = m. [a,b]

Bukti :

Misalkan [a,b] = d berarti : a | d am | dm

b | d bm | dm

dm K (ma,mb) pm | dm p | dMisal : [ma,mb] = pm

Sedangkan [ma,mb] = pm ma | pm a | p

mb | pm b | p

a | p p K(a,b) d | p d p d = pb | p [a,b] = d p | d pdSehingga :

[ma,mb] = m.p = m.d = m. [a,b]


10/11

Terbukti

Ilustrasi dari Teorema di atas adalah sebagai berikut :

[6,9] = 18 dan [2.6,2.9] = [12,18] = 36

Tampaklah bahwa [2.6,2.9] = 2[6,9] = 2.18 = 36

Teorema :

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka :

[a,b] =

Bukti :

(a,b) = 1, berarti a & b saling koprim dan [a,b] = a.b

(a,b) = d ,= 1

[

[a,b] = [ ,= d. [

(

)

Sehingga : [a,b] =

Terbukti

Ingat bahwa :

1.

[a,b] = d maka a | d dan b | d

c [a,b] c d2. (a,b) = d maka d | a dan d | b.

c F(a,b) c d3.

(a,b,c) = ((a,b), c)

[a,b,c] = [[a,b],c]

4.

[a,b,c] = [[a,b],c] =[[

KETERBAGIAN-Teori Bilangan

Documents

Transcript of KETERBAGIAN-Teori Bilangan