REPRESENTASI BILANGAN BULAT SEBAGAI JUMLAH DARI DUA ...digilib.unila.ac.id/30014/3/SKRIPSI TANPA BAB...
Transcript of REPRESENTASI BILANGAN BULAT SEBAGAI JUMLAH DARI DUA ...digilib.unila.ac.id/30014/3/SKRIPSI TANPA BAB...
REPRESENTASI BILANGAN BULAT SEBAGAI JUMLAH DARI DUABILANGAN KUADRAT DALAM RING BILANGAN BULAT MODULO
(Skripsi)
Oleh
NEVI SETYANINGSIH
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG
2018
ABSTRAK
REPRESENTASI BILANGAN BULAT SEBAGAI JUMLAH DARI DUABILANGAN KUADRAT DALAM RING BILANGAN BULAT MODULO
Oleh
Nevi Setyaningsih
Ring bilangan bulat modulo adalah salah satu ring dalam struktur aljabar yangdikembangkan dari ring dengan penggunaan konsep modulo . Penelitian inimembahas tentang representasi bilangan bulat sebagai jumlah dari dua bilangankuadrat dalam ring bilangan bulat modulo .Metode yang digunakan padapenelitian ini adalah mencari 25 nilai pertama yang memenuhi bahwa setiapelemen dalam ring ℤ dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadratdengan menggunakan software matlab berdasarkan teorema dan konsep modulo.Pembahasan dalam penelitian ini dibagi menjadi dua kasus representasi elemenring ℤ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat yaitu: harus solusi nontrivial dan boleh solusi trivial.
Kata Kunci: Ring ℤ , modulo , bilangan bulat, penjumlahan dua bilangankuadrat, penjumlahan operasi biner.
ABSTRACT
REPRESENTING INTEGERS AS THE SUM OF TWO SQUARES IN THERING OF MODULO
By
Nevi Setyaningsih
The ring of integers modulo is also the ring one of in algebra structure isreconstructed from ring by using modular concept. This paper will discuss aboutrepresentation integers as the sum of two squares in the ring of modulo . Themethods of this paper are finding the first 25 values of which holds that everyelement ring of integers modulo can be represented as the sum of two squaresby using matlab software based on the theorems and concepts associated. Solvingin this paper is divided into two case are representation of element in ring ℤ asthe sum of two squares: must have non trivial solution and may have trivialsolution.
Keyword : Ring ℤ , modulo, integer, the addition of squares number, the additionof binary operation.
REPRESENTASI BILANGAN BULAT SEBAGAI JUMLAH DARI DUA
BILANGAN KUADRAT DALAM RING BILANGAN BULAT MODULO
Oleh
NEVI SETYANINGSIH
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA MATEMATIKA
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Negeri Batin, Kecamatan Blambangan Umpu pada tanggal
28 Maret 1996, sebagai anak pertama dari dua bersaudara, putri dari pasangan
Bapak Agus Setiyanto dan Ibu Suliyem.
Pendidikan Taman Kanak – Kanak (TK) Xaverius Metro pada tahun 2002,
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 1 Negeri Batin pada tahun 2008, Sekolah
Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Way Jepara pada tahun 2011, Sekolah
Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Blambangan Umpu pada tahun 2014. Kemudian
penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai
mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung pada tahun 2014.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung menjadi anggota di
Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA). Selain itu penulis juga
pernah bergabung di Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) Unila yang
diamanahkan menjadi anggota Koordinator Internal 2015-2016.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari pada awal tahun 2017 di
Desa Sendang Mukti, Kecamatan Sendang Agung, Kabupaten Lampung Tengah.
Dan Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja, penulis telah
melaksanakan Kerja Praktik (KP) selama 40 hari pada bulan Juli hingga Agustus
2017 di Badan Pengelola Pajak dan Retribusi Daerah Kota Bandar Lampung.
KATA INSPIRASI
“Dia memberi kekuatan kepada yang lelah dan menambah semangatkepada yang tiada berdaya.”
(Yesaya 40:29)
“Ada tiga cara untuk mendapatkan kebijaksanaan. Pertama adalahrefleksi, yang merupakancara tertinggi. Kedua adalah pembatasan, yang
merupakan cara termudah. Ketiga adalah pengalaman, yangmerupakan cara terpahit”Confucius (Kong Hu Chu)
“Tetap sabar, semangat, dan tersenyum, karena kamu sedang menimbailmu di Universitas kehidupan. Allah menaruhmu di tempatmu yang
sekarang bukan karena kebetulan.”(Dahlan Iskan)
PERSEMBAHAN
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas
limpahan berkah dan rahmad-Nya skripsi ini dapat
diselesaikan.
Aku persembahkan karya sederhana penuh perjuangan dan
kesabaran ini sebagai ungkapan rasa sayang dan bakti kepada :
Bapak, Ibu, Kakung dan Uti tercinta yang selalu mecurahkan
kasih sayang, memberi semangat dan selalu memotivasi, serta
dalam doa dan sujud yang selalu menantikan keberhasilanku
dengan sabar dan penuh pengertian.
Almamater yang kucintai, Universitas Lampung.
SANWACANA
Penulis ucapkan puji dan syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah
melimpahkan berkat dan kasih karunia kepada penulis sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini. Skripsi dengan judul “Representasi Bilangan Bulat
sebagai Jumlah dari Dua Bilangan Kuadrat dalam Ring Bilangan Bulat
Modulo ” disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Matematika ( S. Mat.) di Universitas Lampung.
Selesainya penulisan skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta
bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati
penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Amanto, S,Si., M,Si. selaku Pembimbing I, atas segala bantuan dan
waktunya untuk membimbing, memberi arahan, nasehat, dan juga
motivasi dalam menyelesaian skripsi ini;
2. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing II atas
bimbingan dan saran selama penyusunan skripsi ini;
3. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. selaku Pembahas atas saran yang
membangun dalam proses penyelesaian skripsi ini;
4. Ibu Dian Kurniasari., S.Si.,M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Akademik;
5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A.,Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika;
6. Seluruh Dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Lampung;
7. Ibu, Bapak dan Uti, Kakung tercinta yang telah membesarkan penulis,
juga atas doa, cinta, semangat, pengorbanan yang luar biasa, serta Adik
tersayang yang selalu memberikan kasih sayang kepada penulis;
8. Yohan Abram Kardela yang selalu memberikan waktu, semangat dan
motivasi kepada Penulis;
9. Sahabat-sahabat satu perjuangan Vindi, Fara, Shelvi, Tewe, Kurdes,
Abror, Rahmad, Indri, Lucia, Darma, Nandra, Riya, Susan, Kasandra,
Septi, Rere, Otin, Vivin, Ketut, Agus serta yang lainnya terima kasih
banyak atas dukungan, doa, dan semangatnya, juga atas kebersamaan
yang luar biasa selama ini;
10. Sahabat-sahabatku Meli, Okta, Putri, Mbak Intan, Mbak Karina, Mbak
Tia, Mbak Klara, dan Siska atas kebersamaan selama ini juga atas
semangat yang telah diberikan kepada penulis;
11. Teman-teman Matematika 2014 atas kebersamaan serta keceriaan yang
telah diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan di
Universitas Lampung.
Bandar Lampung, Januari 2018Penulis
Nevi Setyaningsih
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR SIMBOL.........................................................................................i
I PENDAHULUAN
1.1 LatarBelakang .................................................................................... 1
1.2 TujuanPenelitian ................................................................................ 2
1.3 ManfaatPenelitian .............................................................................. 3
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Keterbagiandan Modulo..................................................................... 4
2.2Ring BilanganBulat Modulo ............................................................. 18
2.3TeoremadalamAritmatika Modulo....................................................... 27
III METODE PENELITIAN
3.1 TempatdanWaktuPenelitian............................................................. 31
3.2 MetodePenelitian ............................................................................. 32
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konsep Modulo dalamPenjumlahanDuaBilanganKuadrat ................. 33
4.2 BilanganAsliPertama yang Memenuhi Elemen dalam Ringℤ ........ 47
4.3 RepresentasibilanganKuadratpadanilaiℤ .......................................... 55
V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 103
5.2 Saran .................................................................................................. 103
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR SIMBOL
: a membagi habis b atau b habis dibagi a
: {0, 1, 2, …., n-1}
: a tidak membagi habis b
: himpunan semua bilangan bulat
Mod : Modulo
: Kongruen
a ≡ b (mod m) : a berelasi kongruen dengan b modulo m
: Anggota
≤ : lebih kecil atau sama dengan
≥ : lebih besar atau sama dengan
: Sedemikian sehingga
FPB : faktor persekutuan terbesar
: untuk setiap
: Terdapat
: Penjumlahan terhadap modulo n
: Perkalian terhadap modulo n
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu mengenai besaran pola, struktur, ruang, dan perubahan.
Matematika pada umumnya dapat dibagi menjadi matematika murni dan terapan.
Matematika murni terfokus pada pembentukan teori-teori yang lebih bersifat abstrak
dan tidak secara langsung dapat menggambarkan realita kehidupan, sedangkan
matematika terapan merupakan pengembangan dari matematika murni sehingga dapat
menjelaskan dan menginterpretasikan fenomena yang terjadi dalam kehidupan nyata.
Salah satu cabang matematika murni adalah teori bilangan. Teori bilangan lebih
terfokus pada sifat-sifat dan pola bilangan bulat. Dalam teori bilangan dikenal istilah
keterbagian, modulo, bilangan prima dan masih banyak lagi lainnya. Bilangan prima
merupakan salah satu objek yang dipelajari teori bilangan dan memiliki sifat yang
unik yaitu hanya dapat dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima juga
merupakan faktor penyusun bilangan bulat positif. Setiap bilangan bulat positif dapat
dinyatakan secara unik sebagai hasil perkalian dari satu atau beberapa bilangan bulat
tanpa memperhatikan urutannya. Bilangan prima memiliki sifat yang khas dalam teori
bilangan baik dalam keterbagian, modulo, ataupun materi lainnya. Sehingga konsep
2
bilangan prima dapat menghasilkan teorema-teorema yang penting dan mendorong
berkembangnya konsep teori bilangan.
Penerapan sifat-sifat dan teorema dalam keterbagian dan modulo dapat
mempermudah dalam mengkaji salah satu topik dalam teori bilangan yaitu
representasi bilangan bulat positif sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat.
Kemudian dapat dikembangkan dari objek yang semula bilangan bulat menjadi
bilangan bulat ℤ . Ring ℤ merupakan salah satu ring yang istimewa dengan operasi
biner penjumlahan dan perkalian terhadap modulo . Ring ℤ adalah salah satu ring
dalam struktur aljabar yang dikembangkan dari ring dengan penggunaan konsep
modulo.
Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis akan mengkaji tentang bilangan bulat
yang dapat di representasikan sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat dalam
ring ℤ .
1.2 Tujuan Penelitian
1. Memperoleh 25 bilangan asli pertama dimana 1 ≤ ≤ 100, ∈ ℤ dari setiap
elemen dalam ring ℤ yang dapat di representasikan sebagai jumlah dari dua
bilangan kuadrat.
2. Mendapatkan representasi dari setiap elemen dalam ring ℤ dimana1 ≤ ≤ 100, ∈ ℤ sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat.
3
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:
1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan
ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2. Mempelajari lebih dalam lagi tentang konsep konsep modulo dalam
penjumlahan dua bilangan kuadrat dan representasi untuk nilai khusus dari
bahwa setiap elemen dalam ring ℤ dapat ditulis sebagai jumlah dari dua
bilangan kuadrat.
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep keterbagian dan modulo, Ring bilangan
bulat pada modulo n dan aritmatika modulo yang akan digunakan dalam pembahasan
hasil penelitian.
2.1 Keterbagian dan Modulo
Definisi 2.1.1
Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis | ) jika dan hanya jika ada
bilangan bulat k sehingga = ∙ . Jika a tidak membagi habis b maka ditulis ∤(Dudley, 1969).
Istilah lain untuk | adalah a faktor dari , pembagi b atau b kelipatan dari a.
Bila a pembagi b maka − juga pembagi b, sehingga pembagi suatu bilangan selalu
terjadi berpasangan. Jadi dalam menentukan semua faktor dari suatu bilangan bulat
cukup ditentukan faktor-faktor positifnya saja, kemudian tinggal menggabungkan
faktor negatifnya. Fakta sederhana yang diturunkan langsung dari definisi adalah
sebagai berikut:
5
|0, 1| , dan | untuk ≠ 0Fakta |0 dapat dijelaskan bahwa bilangan 0 selalu habis dibagi oleh bilangan apapun
yang tidak nol. Fakta 1| berarti bahwa 1 merupakan faktor atau pembagi dari
bilangan apapun termasuk bilangan 0. Fakta | berarti bahwa bilangan tidak nol
selalu habis membagi dirinya sendiri dengan hasil baginya adalah 1.
Berdasarkan pengertian keterbagian bilangan terdapat pada Definisi 2.1.1, maka
berikut ini akan diberikan Teorema tentang keterbagian.
Teorema 2.1.1
Untuk setiap , , ∈ ℤ berlaku pernyataan berikut :
1. |1 jika dan hanya jika = 1 atau = −1.2. Jika | dan | maka | .
3. Jika | dan | maka | .
4. | dan | jika dan hanya jika = atau = − .
5. Jika | dan ≠ 0,maka | | < | |.6. Jika | dan | , maka |( + ) untuk sebarang bilangan bulat x dan y.
(Sukirman, 1997)
Bukti.
1. Jika = 1 atau = −1, maka jelas bahwa |1, sesuai penjelasan sebelumnya.
Sebaliknya, diketahui |1 berarti ada ∈ ℤ sehinga 1 = ka. Persamaan ini hanya
dipenuhi oleh dua kemungkinan berikut: k = 1, a = 1 atau = −1, = −1.
6
Jadi berlaku jika |1maka = 1 atau = −1. Jadi terbukti|1 jika dan hanya jika = 1 atau = −1,2. Diketahui | dan | yaitu ada , ∈ ℤ sehingga = dan = .
Dengan mengalikan kedua persamaan tersebut diperoleh := ( ) ,yaitu | .
3. Diketahui | dan | ,maka terdapat , ∈ ℤ sehingga= (2.1)
dan = (2.2)
Substitusi persamaan (2.1) ke persamaan (2.2), diperoleh= = ( ) = ( ).4. Diketahui = (2.3)
dan = (2.4)
Persamaan (2.3) dikalikan dengan persamaan (2.4), diperoleh = ( )( ).Diperoleh = 1, yakni = = 1 atau = = −1, jadi terbukti= atau = − .
5. Diberikan b = ac untuk suatu ∈ ℤ. Diambil nilai mutlaknya | | = | | =| || |. Karena ≠ 0 maka | | ≥ 1. Sehingga diperoleh | | = | || | ≥ | |.
7
6. Diketahui | dan | , maka terdapat , ∈ ℤ sedemikian sehingga =dan = . Untuk sebarang , ∈ ℤ berlaku+ = + = ( + )yang berarti |( + ). ∎
Pernyataan terakhir Teorema ini berlaku juga untuk berhingga banyak bilangan yang
dibagi oleh a, yaitu | , = 1,⋯ , yaitu:|( + +⋯+ )untuk setiap bilangan bulat , , ⋯ , .Definisi 2.1.2
Sebuah bilangan bulat > 1 disebut bilangan prima, jika dan hanya jika p habis
dibagi dengan 1 dan bilangan sendiri (Burton,1980).
Definisi 2.1.3 ( Relatif Prima)
Bilangan bulat a dan b disebut coprima atau relatif prima jika fpb( , ) = 1(Dudley, 1969).
Teorema 2.1.2
Bilangan a dan b relatif prima jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat x, y
sehingga + = 1 (Sukirman, 1997).
8
Bukti.
Karena a dan b relatif prima maka fpb( , ) = 1. Identitas Bezout menjamin adanya
bilangan bulat x, y sehingga 1 = + . Sebaliknya, misalkan ada bilangan bulat+ = 1. Dibuktikan fpb( , ) = = 1. Karena | dan | maka |( += 1), jadi |1. Karena itu disimpulkan d =1. ∎Berdasarkan pengertian relatif prima yang terdapat pada Definisi 2.2.2, maka berikut
ini akan diberikan teorema tentang relatif prima.
Teorema 2.1.3
Jika fpb( , ) = 1, maka berlaku pernyataan berikut
1. Jika | dan | maka |2. Jika | maka | (Lemma Euclid)
(Sukirman, 1997).
Bukti.
1. Diketahui | dan | . Artinya terdapat , ∈ ℤ ∃ = ∙ = ∙ . Berdasarkan
hipotesis, fpb( , ) = 1. Oleh karena itu dapat dituliskan + = 1 untuk
suatu bilangan bulat x dan y. Akibatnya= 1 ∙ = ( + ) ∙= += ( ) + ( )= ( + )
9
Karena terdapat bilangan bulat + sedemikian sehingga | . Terbukti
bahwa, jika | dan | maka | .
2. Diketahui | , fpb( , ) = 1. Oleh karena itu dapat dituliskan + = 1untuk suatu bilangan bulat x, y. Akibatnya= 1 ∙ = ( + ) ∙= +Karena diketahui | dan faktanya | maka |( + ) karena= + jadi terbukti | ∎
Definisi 2.1.3 (Modulo)
Misalkan a , m > 0 bilangan bulat. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”)
memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga
a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m. Bilangan m disebut modulo, dan hasil aritmatika modulo
m berada di dalam himpunan {0, 1, …, m – 1} (Grillet, 2007).
Definisi 2.1.4 (Relasi Kongruensi)
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m > 0, a dinyatakan kongruen dengan b
modulo m atau ditulis a ≡ b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak
kongruen dengan b dalam modulo m, maka ditulis a ≢b (mod m) (Grillet, 2007).
Kekongruenan a ≡ b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan
a = b + km
yang dalam hal ini k adalah bilangan bulat.
10
Contoh.
16 ≡ 4 (mod 3) dapat ditulis sebagai 16 = 4 + 4 ∙3Sehingga , dapat dituliskan a mod m = r sebagai :
a ≡ r (mod m)
Teorema 2.1.4
Misalkan m adalah bilangan bulat positif
1. Jika a ≡ b (mod m) dan c adalah sebarang bilangan bulat maka
(i) (a + c) ≡ (b + c) (mod m)
(ii) ac ≡ bc (mod m)
(iii) ap ≡ bp(mod m) untuk suatu bilangan bulat tidak negatif p.
2. Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka
(i) (a + c) ≡ (b + d) (mod m)
(ii) ac ≡ bd (mod m) (Grillet, 2007).
Bukti .
1. (i) a ≡ b (mod m) berarti = + untuk suatu ∈ ℤuntuk sebarang ∈ ℤ, diperoleh+ = ( + ) +⇔ + ≡ ( + )(mod )
(ii) a ≡ b (mod m) berarti:= +⇔ − =
11
⇔ ( − ) =⇔ = + , dengan =⇔ ≡ ( )(iii) a ≡ b (mod m) berarti = + untuk suatu ∈ ℤ∈ ℤ ∪ {0}= ( + )⇔ = + + ( ) + ⋯+ ( ) +( )
= + { 1 + 2 +⋯+ − 1+ }⇔ ≡ (mod m)2. (i) a ≡ b (mod m) ⇔ = +
c ≡ d (mod m) ⇔ = +Jadi,( + ) = ( + ) + ( + )⇔ ( + ) = ( + ) + ( = + )⇔ ( + ) = ( + )( )
(ii) a ≡ b (mod m)⇔ = + , untuk suatu ∈ ℤc ≡ d (mod m)⇔ = + , untuk suatu ∈ ℤ⇔ ∙ = ( + )( + )⇔ ∙ = + + +⇔ ∙ = + ( + + )
12
⇔ ∙ ≡ (mod ) ■
(Grillet, 2007).
Teorema 2.1.5 (Teorema Fermat)
Jika p adalah bilangan prima dan adalah bilangan bulat positif dimana ∤ , maka≡ 1 (mod ) (Burton, 1980).
Bukti.
Diasumsikan ( − 1) bilangan positif pertama kelipatan dari , yaitu bilangan bulat.
Sehingga terdapat barisan sebagai berikut:, 2 , 3 , … , ( − 1)Tidak ada satu pun suatu bilangan dari barisan diatas yang habis dibagi p, karena
barisan tersebut terbentuk dengan pola ka dimana 1 ≤ ≤ − 1. Oleh karena ∤dan ∤ , maka ∤ . Kemudian, dari barisan tersebut tidak ada dua bilangan yang
kongruen mod . Atau dengan kata lain, jika bilangan-bilangan tersebut dibagi
dengan p, maka sisa pembagiannya akan selalu berbeda satu sama lain.
Diasumsikan bahwa ada dua bilangan kongruen mod , yaitu ra dan sa dimana1 ≤ < ≤ − 1 ≡ (mod ) ;Karena fpb(a,p) = 1, maka ≡ (mod )Karena r dan s harus lebih besar 1 dan harus lebih kecil dari p, maka hal ini berakibat
13
r = s. Pernyataan ini kontradiksi dengan asumsi awal bahwa r dan s harus berbeda.
Oleh karena itu, bilangan bulat harus kongruen mod terhadap 1,2,3,4, … , − 1.Diambil semuanya , kemudian dikalikan semua kongruen, maka diperoleh sebagai
berikut . 2 . 3 . … ( − 1). ≡ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ ( − 1)(mod )Sehingga, ( − 1)! ≡ ( − 1)! (mod )Karena fpb ( − 1)!, = 1, maka ≡ 1 (mod ) ∎Contoh 2.1.5
Tunjukkan bahwa sisa pembagian 538 oleh 11 adalah 4.
Untuk menunjukkan hal di atas, dengan menggunakan relasi kongruensi cukup
ditunjukan bahwa 538 4 (mod 11).
Bukti.
538 = (510 x 3 + 8)
= (510) 3 (52)4
13. 34 (mod 11)
81 (mod 11) 4 (mod 11)
14
Definisi 2.1.5 (Teori Residu Kuadrat)
Diketahui bilangan prima ganjil dan fpb( , ) = 1. Jika kongruensi kuadrat≡ (mod ) memiliki solusi, maka disebut sebagai residu kuadrat . Selainnya
disebut bukan residu kuadrat dari (Burton, 1980).
Contoh 2.1.5
Selesaikan Kongruensi dari ≡ 36 (mod 45)Bukti.
1. Diketahui fpb (36,45) = 9 dan misalkan = 3 .≡ 36 (mod 45)(3 ) ≡ 36 (mod 45)9 ≡ 36 (mod 45)Dengan menggunakan salah satu sifat modulo yaitu jika ≡ (mod m) dan
fpb( , ) = maka ≡ (mod ) ≡ 4 (mod 5)− 4 ≡ 0 (mod 5)( + 2)( − 2) ≡ 0 (mod 5)+ 2 ≡ 0 (mod 5) ∨ = −2 ≡ (mod 5)− 2 ≡ 0 (mod 5)
15
≡ ± 2 (mod 5)3 ≡ ± 6 (mod 15)≡ ± 6 (mod 15)= 6, 21, 36= 9, 24, 39Jadi, diperoleh 6, 9, 21, 24, 36 dan 39 adalah solusi dari ≡ 36 (mod 45).
Definisi 2.1.6 (Simbol Legendre)
Misalkan adalah bilangan prima ganjil dan bilangan bulat. Simbol Legendre dari
dengan memenuhi didefinisikan oleh
= 1 jika (a, p) = 1 dan adalah residu kuadrat modulo−1 jika (a, p) = 1 dan bukan residu kuadrat modulo0 jika membagi(M. Nathanson, 2000).
Teorema 2.1.6 (Teorema Legendre)
Misalkan adalah bilangan prima ganjil untuk setiap bilangan bulat ,= ( )⁄ (mod ) (2.5)
Bukti.
Jika membagi , maka kedua ruas (2.5) kongruen terhadap 0. Jika tidak dapat
membagi , maka dengan Teorema Fermat diperoleh
( )⁄ ≡ ≡ 1 (mod ),
16
Sehingga
( )⁄ ≡ ±1 (mod )Kemudian diperoleh
( )⁄ ≡ 1(mod ) jika dan hanya jika = 1,( )⁄ ≡ −1(mod ) jika dan hanya jika = −1.
Contoh.
3 adalah residu kuadrat modulo bilangan prima 11 dan 13, dan bukan residu kuadrat
modulo bilangan prima 17 dan 19, karena311 ≡ 3 (mod 11) ≡ 1(mod 11) = 1,313 ≡ 3 (mod 13) ≡ 1 (mod 13) = 1,317 ≡ 3 (mod 17) ≡ −1 (mod 17) = −1,319 ≡ 3 (mod 19) ≡ −1 (mod 19) = −1.(M. Nathanson, 2000).
Teorema 2.1.7
Misalkan bilangan prima ganjil, dan misalkan dan bilangan bulat. Maka
= .
17
Bukti.
Jika membagi atau , maka membagi , dan
= 0 = .Jika tidak dapat membagi , maka dengan Teorema 2.4.1 diperoleh
≡ ( )( )⁄ (mod )≡ ( )⁄ ( )⁄ (mod )≡ (mod )
(M. Nathanson, 2000).
Teorema 2.1.8
Misalkan bilangan prima ganjil. Maka−1 = 1 jika ≡ 1 (mod 4),−1 jika ≡ 3 (mod 4).Ekuivalen dengan −1 = (−1)( )⁄ .Bukti.
Diketahui bahwa
(−1)( )⁄ = 1 jika ≡ 1 (mod 4),−1 jika ≡ 3 (mod 4).Berdasarkan Teorema 2.4.1 dengan = −1, diperoleh
18
−1 = (−1)( )⁄ (mod )(M. Nathanson, 2000).
2.2 Ring Bilangan Bulat Modulo
Sebelum membahas tentang ring bilangan bulat modulo , akan diberikan terlebih
dahulu definisi tentang grup berikut.
Definisi 2.2.1
Suatu grup <G, *> adalah himpunan G yang dilengkapi dengan operasi biner * pada
G yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Operasi biner * asosiatif, yaitu a, b, c G berlaku : (a*b)*c = a*(b*c)
2. Terdapat elemen identitas e untuk * pada G, yaitu terdapat e G sedemikian
sehingga
e*a = a*e = a, a G
3. Untuk setiap a G mempunyai invers a-1, yaitu terdapat a-1 G sedemikian
hingga
a*a-1 = a-1 * a = e
(Dummit and Foote, 2004).
19
Definisi 2.2.2
Suatu grup G disebut abelian (komutatif) jika operasi biner * pada G adalah
komutatif, yaitu a,b G maka a * b = b*a.
Contoh :
Didefinisikan himpunan }1|{ xRxS . Selanjutnya didefinisikan * pada S,
dengan
a b = a + b + ab
Tunjukkan ,,S grup komutatif.
Bukti:
Harus dipenuhi aksioma grup berikut:
1.Tertutup, yaitu ( a, b S) (a b) S
Bukti :
Diketahui a b = a + b + ab. Akan dibuktikan dengan kontradiksi.
Andaikan a b = 1
a + b + ab = 1
a + ab = 1 – b
a (1 + b) = (1 + b), b 1
a = 1, kontradiksi.
Jadi pengandaian salah, yang benar a + b + ab 1 Dengan kata lain a b S. ∎2. Asosiatif, yaitu ( a, b, c S) (a b ) c = a (b c)
Bukti :
20
(a b ) c = (a + b + ab) c
= (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c
= a + b + ab + c + ac + bc + abc
= a + b + c + bc + ab + ac + abc
= a + (b + c + bc) + a(b + c + bc)
= a (b + c + bc)
= a (b c) . ∎3. Terdapat elemen netral / identitas, yaitu ( a S, y S) y a = a y = y
Bukti :
Misal y elemen netral untuk dari S, maka :
y a = a
y + a + ya = a
y + ya = 0
y(1 + a) = 0
y = 0 atau (1 + a) = 0
(1 + a) = 0 tidak mungkin, sebab a 1.
Oleh karena itu, satu – satunya penyelesaian persamaan di atas adalah y = 0
yang merupakan elemen netral pada S. ∎4. Terdapat invers, yaitu ( a S, z S) a z = z a = y
Bukti :
z a = 0
z + a + za = 0
21
z +za = a
z(1 + a) = a
a1
az
, apakah z S ? atau z 1 ?
Andaikan z = 1, maka
1a1
a
a = (1 + a)
a = 1 a
0 = 1, Kontradiksi.
Jadi yang benar z 1, dengan kata lain z S. ∎5. Komutatif, yaitu ( a, b S) a b = b a
Bukti :
a b = a + b + ab
= b + a + ba
= b a .
Berdasarkan (1) sd (5), maka disimpulkan ,S grup komutatif . ∎Selanjutnya diberikan definisi ring sebagai berikut.
Definisi 2.2.3
Himpunan R dengan dua operasi biner + (penjumlahan) dan • (perkalian) atau ditulis⟨ , +,• ⟩ merupakan ring jika memenuhi aksioma berikut:
22
1. ⟨ , +⟩ merupakan grup komutatif;
2. Opersi perkaliannya bersifat asosoatif, yaitu ( • ) • = • ( • ) untuk
setiap , , ∈ ;
3. Hukum distributif terpenuhi di R, yaitu untuk setiap , , ∈( + ) • = ( • ) + ( • ) dan • ( + ) = ( • ) + ( • )Contoh :
Didefinisikan himpunan }1|{ xRxS . Selanjutnya didefinisikan dua operasi
pada S, yaitu dan dengan definisi :
i. a b = a + b + ab
ii. a b = 0, a, b S
Pasangan ⟨ , +,• ⟩ membentuk ring (Dummit and Foote, 2004).
Definisi 2.2.4 (Ring ℤ )
Himpunan bilangan bulat modulo dituliskan denganℤ = {0, 1, 2, … , − 1}Pada ℤ didefinisikan operasi biner penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan
sebagai berikut + = ( + ) (mod ) dan∙ = (mod )Untuk setiap , ∈ ℤ . Himpunan < ℤ ,+ , ∙ >membentuk ring (Fraleight, 2000).
23
Bukti: ℤ = {0, 1, 2, … , − 1}Untuk sebarang , ∈ ℤ didefinisikan operasi biner + (penjumlahan) dan∙ (perkalian) pada ℤ + = ( + ) (mod )dan ∙ = (mod )Akan dibuktikan < ℤ ,+ ,∙ > membentuk ring.
A. Akan dibuktikan < ℤ ,+ > grup komutatif
(i) Tertutup
Diberikan sebarang , ∈ ℤ maka+ = ( + ) (mod )≡ (mod )Karena pasti terdapat < yang memenuhi, maka+ = (mod ) ∈ ℤ
(ii) Asosiatif
Diberikan sebarang , ∈ ℤ( + )+ = ( + ) (mod )+= + + (mod )= + ( + ) (mod )= + ( + ) (mod )= + ( + ) (mod )
24
(iii) Terdapat elemen identitas
Akan dicari elemen identitas ∈ ℤ sedemikian sehingga+ = + = ∀ ∈ ℤ+ = + (mod ) =+ (mod ) = (mod )+ == 0+ = + 0 = + 0 (mod ) = (mod ) =Terbukti, bahwa terdapat elemen identitas = 0 ∈ ℤ sedemikian sehingga+ = + = ∀ ∈ ℤ
(iv) Invers
Untuk setiap ∈ ℤ terdapat invers yang tunggal∈ ℤSedemikian sehingga + = + =+ =( + )(mod ) = 0 ⟺ ( + ) ≡ 0 (mod )≡ −a (mod )≡ (n − a)(mod ) ⟹ = − ∈ ℤ .
(v) Komutatif
Diberikan sebarang , ∈ ℤ + = + mod
25
+ mod = + modB. < ℤ ,∙ > semigrup
(i) Tertutup
Diberikan sebarang , ∈ ℤ maka∙ = mod ∈ ℤ(ii) Asosiatif
Diberikan sebarang , , ∈ ℤ maka( ∙ ) ∙ c = a b mod ∙ c= (a b) c mod= a (b c) mod= ∙ mod= ∙ ( ∙ c)C. Akan dibuktikan untuk sebarang , , ∈ ℤ berlaku(i) ∙ (b+ c) = ∙ b+ ∙ c(ii) ( + ) ∙ c = ∙ c+ b ∙ c
(i) ∙ (b+ c) = ∙ (b + c) mod= (b + c) mod= a b + a c mod= a b mod + a c mod= (a b mod + a c mod ) mod= ( ∙ + ∙ )mod= ∙ + ∙
26
(ii) ( + ) ∙ c = (a + b) mod ∙ c= (a + b) c mod= ac + bc mod= ac mod + mod= ( ∙ + ∙ )mod= ∙ + ∙Teorema 2.2.1 (Fraleight, 2000)
Anggota himpunan ℤ∗ adalah elemen dalam ℤ sehingga pembagi persekutuan
terbesar dari dan adalah 1 atau = ( , ) = 1.Bukti:
Jika = 1 maka orde dari dalam ℤ sama dengan | = |1 = sehingga semua
anggota ℤ termasuk dalam 1 ∙ , 2 ∙ , … , ∙ = 0. Oleh karena itu, salah satunya
akan sama dengan 1, misalkan ∙ = 1 dengan 1 ≤ ≤ . Akibatnya dalam ℤ∗merupakan invers pergandaan dari . Pada sisi lain, misalkan sebarang anggota ℤ∗dengan invers pergandaan maka untuk bilangan bulat ∙ = 1. Akibatnya grup
bagian ( ) = {1 ∙ , 2 ∙ , … , ∙ , … ,0} dari ℤ memuat ∙ = 1 sehingga ( )Memuat (1) = ℤ . Oleh karena itu membangun ℤ dan mempunyai orde dalamℤ shingga ⁄ = dan = 1 (Fraleight, 2000).
27
Contoh:ℤ∗ memuat semua anggota dalam ℤ sehingga prima relatif dengan 15. Dalam
hal ini ℤ∗ = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} dan 9 ∉ ℤ∗ karena (9,15) = 3.2.3 Teorema dalam Aritmatika Modulo
2.3.1 Teorema (Chinese Remainder Theorem (Teorema Sisa China))
Misalkan , , … , adalah himpunan dari pasangan bilangan bulat relatif prima.
Maka sistem kongruen secara simultan dituliskan ≡ (mod )≡ (mod )⋮≡ (mod )Mempunyai solusi tunggal modulo = , , … , untuk setiap bilangan bulat
yang diberikan , , … , .
Bukti.
Misalkan = , , … , dan untuk setiap = 1, 2, … , misalkan = .Maka fpb( , ) = 1 untuk semua .Misalkan adalah invers dari modulo, untuk setiap .Maka dengan definisi invers diperoleh ≡ 1 (mod ).Misalkan = + +⋯+ .
28
Maka adalah solusi bersama untuk semua kongruensi.karena modulo, , … , adalah pasangan relatif prima, dua solusi bersama untuk sistemnya
harus kongruen modulo . Jadi solusinya adalah kongruen modulo yang khusus
dan nilai yang memenuhi (M. Nathanson, 2000).
Contoh.
Temukan semua bilangan bulat yang memberikan sisa 1, 2, 3, dan 4 bila dibagi
masing-masing 5, 7, 9, dan 11. Selesaikanlah sistem kongruensi:≡ 1 (mod 5)≡ 2 (mod 7)≡ 3 (mod 9)≡ 4 (mod 11)Perhatikan bahwa modulo pasangan relatif prima, seperti yang dipersyaratkan oleh
Teorema.2.7.1 diperoleh = 5 ∙ 7 ∙ 9 ∙ 11 = 3465= 5⁄ = 693,= 7⁄ = 495,= 9⁄ = 385,= 11 = 315.⁄Maka dapat diperoleh ≡ 1 (mod 5)693 ≡ 1 (mod 5) → = 2≡ 1 (mod 7)
29
495 ≡ 1 (mod 7) → = 3≡ 1 (mod 9)385 ≡ 1 (mod 9) → = 4≡ 1 (mod 11)315 ≡ 1 (mod 9) → = 8Oleh karena itu= 1 ∙ 693 ∙ 2 + 2 ∙ 495 ∙ 3 + 3 ∙ 385 ∙ 4 + 4 ∙ 315 ∙ 8 = 19056.Jadi = 19056 (mod M) = 1731 (mod M).Faktanya 1731 adalah solusi bilangan bulat positif terkecil. Solusi lengkap adalah≡ 1731 (mod ) (M. Nathanson, 2000).Teorema 2.3.2 (Teorema Dirichlet)
Misalkan , ∈ ℤ sedemikian sehingga fpb ( , ) = 1.Maka ada tak hingga
banyaknya bilangan prima sedemikian sehingga ≡ (mod )(M. Nathanson, 2000).
30
Teorema 2.3.3 (Hensel Lemma)
Misalkan bilangan prima dan ( ) polynomial derajat dengan koefisien bilangan
bulat dan sudah pasti koefisien tidak dapat membagi . Jika terdapat sedemikian
sehingga ( ) ≡ 0 (mod )Dan ′( ) ≢ 0 (mod ),Maka untuk setiap ≥ 2 terdapat sedemikian sehingga( ) ≡ 0 (mod )Dan ≡ (mod ).(M. Nathanson, 2000).
Teorema 2.3.4 (Teorema Wilson)
Jika adalah bilangan prima, maka ( − 1)! ≡ −1 (mod ) (Burton, 1998).
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun ajaran
2017/2018.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengkaji konsep modulo yang berkaitan dengan penjumlahan dua bilangan
kuadrat,
2. Mencari 25 bilangan asli pertama yang memenuhi bahwa setiap elemen
dalam ring ℤ dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat dengan
menggunakan software Matlab berdasarkan teorema bahwa misalkan ≥ 2adalah bilangan bulat. Maka, untuk setiap ∈ ℤ , pada persamaan +≡ ( ) memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika keempat
syarat berikut terpenuhi: (i) ≢ 0 (mod ) untuk sebarang bilangan prima≡ 3 (mod 4) jika ≡ 0 (mod ), (ii) ≢ 0 (mod 4), (iii) ≡ 0 (mod )untuk suatu bilangan prima ≡ 1 (mod 4), (iv) Jika ≡ 1 (mod 2),
32
diperoleh syarat tambahan berikut: misalkan = 5 , dimana ≢0 (mod 5).Maka salah satu dari pernyataan tersebut terpenuhi (a) ≥ 3,dengan tidak ada syarat lebih lanjut untuk atau, (b) ≤ 2 dan ≡0 (mod ) untuk suatu bilangan prima ≡ 1 (mod 4).Sedangkan untuk persamaan + ≡ ( ) memiliki solusi (boleh
trivial) jika dan hanya jika syarat (i) dan (ii) terpenuhi.
3. Merepresentasikan setiap elemen dalam ring ℤ untuk setiap yang
memenuhi.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
1. Terdapat 25 bilangan asli pertama yang memenuhi bahwa setiap elemen
dalam ring ℤ dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat tak nol
(solusi non trivial) yaitu [10, 13, 17, 26, 29, 30, 34, 37, 39, 41, 50,51, 53, 58,61, 65, 70, 73, 74, 78, 82, 85, 87, 89, 91].2. Terdapat 25 bilangan asli pertama yang memenuhi bahwa setiap elemen
dalam ring ℤ dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat (boleh
solusi trivial) yaitu [1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25,26, 29, 30, 31, 33, 34, 35,37].5.2 Saran
Pada penelitian ini hanya mencari 25 bilangan asli pertama yang memenuhi
bahwa setiap elemen dalam ring ℤ dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan
kuadrat (nilai n kurang dari 100). Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mencariℤ lainnya yang memenuhi syarat tersebut untuk nilai n lebih dari 100.
DAFTAR PUSTAKA
Burton, D.M. 1980. Elementary Number Theory. University Of NewHampshire.United State of Afrika.
Dummit, D.S., Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra . Third Edition. Y&Y. Unitedstates of America.
Dudley, U. 1969. Elementary Number Theory. W.H. Ferman and Company, SanFransisco.
Grillet, P.A. 2007. Graduate Text In Mathematics. Second Edition. Springer. NewYork
J. Harrington, L. Jones, and A. Lamarche. 2014. Representing integers as the sumof two squares in the ring Zn, Journal Integer Seq. 17, 4-10
M. Nathanson. 2000. Elementary Methods in Number Theory, Springer-Verlag.
Sukirman, M. P. 1997. Ilmu Bilangan. Universitas Terbuka. Jakarta.