1

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb

Puji syukur kami panjatkan kepad Allah SWT, karena kami dapat menyelesaikan

makalah tentang Bilangan Kompleks. Adapun makalh ini kami buat dalam memenuhi tugas

Teori Bilangan dan juga untuk menambah ilmu pengetahuan dan pemahaman kita pada dunia

pendidikan.

Tidak lupa juga kami ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu

dalam pembuatan makalah ini. Serta tidak lupa juga kami ucapkan terima kasih kepada

Dosen Mata Kuliah Teori Bilangan Nurul Hikmah, S.Si atas bimbingannya.

Kami mohon maaf apabila ada kekurangan dan kesalahan dalam penulisan kata-kata

dalam makalah kami, seperti kata pepatah “tak ada gading yang tak retak”. Semoga makalah

ini bermanfaat bagi para pembaca.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb

Hormat kami,

Tim

Penyusun

2

DAFTAR ISI

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang …..…………………………………………………………….. 3

1.2 Perumusan Masalah …………………………………………………………..... 3

1.3 Tujuan Penulisan ………………………………………………………………. 3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Sejarah Bilangan ………………………………………………………………. 4

2.2 Bilangan Kompleks ……………………………………………………………. 5

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan …………………………………………………………………….. 6

3.2 Saran ……………………………………………………………………………. 7

DAFTAR PUSTAKA

3

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner.

Bilangan kompleks mempunyai bilangan konjugat yang digunakan pada operasi arimatik

pembagian.

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang

mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks,

dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b

adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

1.2 Perumusan Masalah

2.1 Sejarah Bilangan

2.2 Bilangan Kompleks

1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan dari pembuatan makalah ini untuk memenuhi tugas Teori Bilangan dan selain

itu juga untuk menambah wawasan dan pengetahuan para pembaca.

4

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Sejarah Bilangan

Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat

menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan linear

dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita akan sampai

pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat, dan sistem bilangan

rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai pada kesimpulan bahwa

harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana, sejarah bilangan dapat

kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali

dikenal manusia. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu

aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa  bukan anggota bilangan asli. Oleh karena itu,

sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini

kemudian dikenal sebagai bilangan Cacah.

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada

bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Dengan adanya

bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah. Bilangan nol

pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian dipopulerkan oleh Bangsa

Arab pada era keemasan Islam.

Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya

merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan

bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana

dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal

ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan

bulat.

Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan

cacah. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah

5

dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2

masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan

cacah.

Selanjutnya gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian

membentuk bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota

bilangan bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. Terhadap penjumlahan bilangan bulat

bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan

komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif,

dan mempunyai unsur identitas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.

Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai dengan m dan

n bilangan bulat dan n≠0. Miringnya (hypotenusa) adalah . Namun, tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 berarti ada bilangan

lain di luar bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional.

Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real.

Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur.

Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut dan lengkap.

Perluasan himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan

bilangan kompleks dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat

Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang

kuadratnya adalah -1. Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena

itu, muncul himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan

dengan dan $latex  i= \sqrt{-1}} $.

2.2 Bilangan Kompleks

MENGENAL BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan Bulat? Itu sudah biasa.. Kalau bilangan bulat dikembangkan lebih luas maka

bilangan bulat itu masuk di himpunan bilangan rasional. Nah, bilangan rasional dan irasional itu

termasuk dalam rumpun bilangan REAL.

6

Lalu, gabungan antara himpunan REAL dan IMAJINER adalah himpunan BILANGAN

KOMPLEKS.

Lingkaran yang paling besar itu menunjukkan himpunan bilangan kompleks, memperlihatkan

betapa luasnya himpunan bilangan kompleks.

BAGAN BILANGAN KOMPLEKS

7

BAGIAN IDEFINISI BILANGAN KOMPLEKS

Dari prakata sebelumnya, kita tahu bahwa bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan Real dengan bilangan Imajiner.

Sekilas tentang bilangan imajiner.

Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif. Misalnya,√−5 , √−7 , √−100 , dan masih banyak lagi.. Lalu, di sini kita akan berurusan dengan bilangan i. Kita definisikan bahwa i=√−1 , maka: Oleh karena itu, √−5 , dapat kita tulis juga menjadi √−1 √5 , maka dapat ditulis sebagai √5 i.

Banyak sekali orang yang keliru mengoperasikan bilangan imajiner. Misalnya: √−5 ×√−5=√−5 ×−5=√25=5 (ini salah!!)Seharusnya: √−5 ×√−5=√5 i×√5 i=5 . i2=(−1 ) .5=−5

Untuk menghindari kesalahan, selalu konversikan bilangan imajiner ke dalam bentuk i (ini dinamakan sebagai bentuk standar).Simbol i mempunyai sifat i2=(√−1

2 )=−1 . Untuk pangkat yang lebih tinggi, kita tinggal ngotak-ngatik. Misalnya, i3=i2× i=−i . Lalu, i4=i2 ×i2=1 ,dst.

NOTASI

Bilangan kompleks (z) terdiri dari gabungan bilangan Real dan Imajiner. Oleh karena itu, dapat kita notasikan dengan hubungan penjumlahan.

Notasi di atas menunjukkan bahwa x adalah bagian REAL, sedangkan y adalah bagian imajiner murni. Bilangan x dan y, keduanya adalah bilangan REAL.

Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks, dan suatu bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks. (Lebih mudahnya, ini seperti menggambar titik pada koordinat x dan y, di mana x merupakan bagian REAL, sedangkan y adalah bagian IMAJINER.)

Contoh Soal 1:

Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan z1, z2, z3, dan z4.

z1 = 3 + 6 .

z=x+ y i

8

z2 = -3+2 .

z3 = -2-2 .

z4 = 4 - 3 .Gambarkan titik-titik z1, z2, z3, dan z4 di bidang kompleks!

Jawab:Kita buat koordinat x dan y, di mana z=x + y . 4 titik itu digambar sebagai berikut.

Contoh Soal 2:Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y ).

Jika z=5+ 7i−¿ , tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan..

z=5+ 7i−¿

z=5+ 7i

×ii−(√3 ×√2 ×i )−1

z=5+ 7 i

i2+√6 i

z=5−7 i+√6 iz=5+(√6−7 ) iNah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = (√6−7 ) .

Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks

9

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.

Contoh Soal 3 (pemahaman):Bisakah kamu memberi contoh bilangan yang bukan bilangan kompleks?

Jawab:Bilangan yang bukan kompleks adalah bilangan yang mengandung bilangan yang tidak imajiner dan tidak real juga.. Misalnya √ i , 3√−1 , dan masih banyak lagi.

Contoh Soal 4 (pemahaman):Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y ).Tentukan nilai x dan y dari bilangan:(i) 0(ii)5(iii)

Jawab:(i) 0 = 0+ o . Jadi, x=0 dan y=0.(ii) 5 = 5+0 . Jadi, x=5 dan y=0.(iii) = 0+ . Jadi, x=0 dan y= .

Contoh Soal 5:

Jika z1 = z2 = z3.

z1 = c + a .

z2 = b + 2c .

z3 = a+2 - d .

Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!

10

Jawab:

Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika dan

hanya jika p = r DAN q = s.Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.

z1 = z2 = z3c + a = b + 2c = a+2 - d .

c = b = a+2 ... (i)a = 2c = -d ... (ii)

c= a+2Substitusikan nilai c ke persamaan 2a = 2(a+2)a = 2a + 4a = -4Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4 .

BAGIAN II

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Di sini akan dijelaskan operasi bilangan kompleks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Langsung ke contoh soal :

Contoh Soal 6 (penjumlahan):(3+2 )+(-2+7 ) =....Jawab:(3+2 )+(-2+7 ) = 3 + 2 -2 + 7 = 1 + 9 .

Contoh Soal 7 (pengurangan):(2-3 )-(8-2 )=....Jawab:Dikerjakan sama seperti penjumlahan..(2-3 )-(8-2 ) = 2 -3 -8 +2 = -6 - .

Contoh Soal 8 (perkalian):(3+4 )(2-5 ) = ....Jawab:Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.(3+4 )(2-5 ) = 6 -15 + 8 -20 .

11

Lalu ubah menjadi 1.(3+4 )(2-5 ) = 6 -15 + 8 +20 = 26 -7 .

Contoh Soal 9 (pembagian):

= ....Jawab:Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).

=

=

=

=

=

Contoh Soal 10 (pemangkatan Sederhana):Jika z = 3- . Tentukan .Jawab:Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.

= (3- )(3- )(3- ) = (9-6 -1)(3- )=(8-6 )(3- )=24-8 -18 -6=18-27 .

Note: bilangan kompleks jika digunakan di koordinat polar dapat menjadi sangat fleksibel dan *luar biasa*. Di sini, akan muncul "Dalil Moivre" juga. Rumus-rumus euler dapat diturunkan dari definisi bilangan kompleks di koordinat polar.

12

BAGIAN III

BILANGAN KOMPLEKS DALAM POLAR

z = x+y dapat digambarkan dalam bidang kompleks. Artinya, kita dapat

menggambarkannya secara kartesius maupun polar. Lihat gambar di bawah untuk lebih jelasnya:

Jika titik z digambarkan secara kartesius tentunya kita akan mengatakan bahwa titik itu berada di koordinat (x,y). Namun, jika berbicara di koordinat polar, kita akan mengatakan bahwa titik z berada di (r, ), arah dengan panjang r. Di sini, adalah sudut yang dihitung dari sumbu x positif berputar berlawanan dengan arah jarum jam (tentunya ini materi SMA yang sebenarnya tidak perlu dijelaskan lagi). disebut sebagai argumen z, sedangkan r disebut sebagai modulus (panjang) z.

Notasi:

Kembali lihat gambar di atas.

cosθ=¿ xr

→rcos θ=x¿

mod.(z)=r

arg.(z) =

Oleh karena itu,z_= x+yz_= rcosθ+rsinθ. iz_= Disingkat menjadiz = Dapat dikatakan juga:

13

Lihat kembali pada gambar, bilangan kompleks z = x+y secara geometris dapat dinyatakan

dengan vektor posisi.

Operasi bilangan kompleks secara geometris dalam bentuk vektor dapat dilakukan sebagai

berikut (z1 dan z2 diketahui):

menggambar z1+z2 (menggunakan metode jajargenjang biasa.)

menggambar z1-z2 Ingat bahwa: z1-z2 = z1+(-z1)

menggambar z1.z2 Perkalian ini sedikit tricky.Gunakan metode perbandingan.misalkan z = z1.z2

z1.z2 = zz1.z2 = z.1

14

menggambar z1:z2 Gunakan metode perbandingan(seperti waktu kita mengalikan z1.z2)

Catatan: penggambaran perkalian dan pembagian bilangan kompleks dengan vektor tak ada

hubungannya dengan arah vektor... Di sini, yang dikaitkan (digunakan) adalah panjang vektor

itu.. (Ingat: pada vektor ada pengertian dot dan cross product).

BAGIAN IV

DALIL DE MOIVRE

Dengan sistem polar mempermudah perkalian dan pembagian bilangan-bilangan kompleks.

Misalkan kita punya bilangan kompleks z1 dan z2 dimana:

Sekarang, kita akan mencoba mengalikan keduanya...

Lihatlah bagian yang bisa digabung.... Lalu, persamaan itu *secara ajaib* menjadi:

Disingkat menjadi:

15

Dengan sendirinya, .Jika , maka kita akan menemukan dalil de Moivre:

Note: Bagaimana jika kita melakukan pembagian bilangan kompleks z1 dan z2? Maka, akan

menghasilkan rumus:

Catatan: Perkalian-perpangkatan/pengambilan akar-pembagian bilangan-bilangan kompleks akan

cepat dilakukan dengan menggunakan sistem polar, apabila argumen-argumen bilangan

kompleks tersebut merupakan sudut-sudut kelipatan dari atau .

Contoh Soal 1:.

Hitunglah .

Jawab:Seandainya kita tidak mau menggunakan dalil de Moivre pun, kita bisa mengerjakan soal ini secara *tradisional*. Yaitu dengan mengalikannya satu per satu.

= = = Nah, bagaimana jika kita ingin mengerjakannnya secara dalil de Moivre? Akan lebih mengerti jika kita menggambar titik z itu.

r = =

----> (karena terletak di kuadran 4)

n bilangan bulat

16

= .Hasilnya sama.

Contoh Soal 2:

Hitunglah .

Jawab:Soal di atas dapat dikerjakan dengan mengalikan z sebanyak 7 kali.. Tapi, itu sangat buang-buang waktu.. Jadi, kita akan menggunakan dalil de Moivre..Langkahnya sama seperti nomor 1. Hitung r dan , lalu tinggal masuk ke rumus.

Jadi,

.

Contoh Soal 3:

Tentukan nilai z.

Jawab:

Masih ingatkan notasi ini: .

17

Hal ini juga berlaku untuk , maka persamaan di atas menjadi

Soal di atas dapat ditulis dalam bentuk: .

+ (di mana n =0,1,2,3,...)

Ingat Dalil De Moivre .. Jika n=3, maka:

---> ---> ---> .

---> ---> = --->

Oleh karena itu, kita sekarang sudah mendapatkan z.

z = = = .

Dengan mensubstitusikan nilai n=0,1,2, maka kita akan mendapatkan 3 nilai z.

= = = 2

= = =

= = =

Ingat, dalil de Moivre hanya berfungsi jika n adalah bilangan bulat.

BUKTI PERSAMAAN EULER

18

Bukti ini terlalu banyak, oleh karena itu digunakan banyak singkatan atau permisalan:

z=x+ yi

Ingat konsep awal euler bahwa:

Dengan melihat konsep itu, cobalah untuk menguraikan bentuk .

= =

Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut.z = [mod.(z)] . cis[arg(z)]Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa:

Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:

Lanjut :

= Kita beri notasi mod. untuk kedua ruas.

= = = Kita dapatkan persamaan berikut:

= <----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Lalu, kita buat n mendekati tak hingga (agar bisa sesuai dengan konsep awal, konsep euler).

= = = =Oleh karena itu:

= <----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:

19

Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut. z = [mod.(z)] . cis[arg(z)] Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa: Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:

Nah, kita kembali ke persamaan awal, yaitu persamaan di bawah:

= Kita beri notasi arg. untuk kedua ruas.

= = Kita dapatkan persamaan berikut:

= <---------- diambil dari ruas paling kiri dan kanan.. Dekati n

hingga tak terhingga (agar sesuai dengan konsep awal, konsep euler). =

= = Oleh karena itu:

= <----- diambil ruas yang paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:

Kita sudah mendapatkan dan . Selanjutnya, kita kembali ke konsep awal.

Substitusikan dan , maka menjadi:

20

Terbukti

KEADAAN KHUSUS

Jika x=0, maka persamaan eulernya menjadi:

Seandainya y positif, maka: ... (i)

Seandainya y negatif, maka: ... (ii)

Lalu, kita lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan pada kedua persamaan:

Dari eliminasi tersebut menghasilkan 2 identitas berikut:

*)

*)

VARIABEL KOMPLEKS <REVIEW>

Ini adalah materi review dari materi-materi bilangan kompleks sebelumnya, yaitu :(i) Mengenal Bilangan Kompleks(ii) Dalil De Moivre(iii) Persamaan Euler

Kita akan me-review ketiga materi itu dalam contoh-contoh soal.

BAGIAN IREVIEW QUESTION

1.

Diketahui .

21

Tuliskan kembali dalam bentuk cartesius dan bentuk polar.

Gambarkan dalam diagram Argand.

Jawab:

= = =

Bentuk cartesius:

= = +

atau dapat ditulis saja tanpa i.

= .

Bentuk polar:

= =

= = =

= . (tidak dapat disederhanakan lagi.)

Note: adalah simbol lain dari , sedangkan adalah simbol lain dari .. Yang di

atas maksudnya hanya sebagai informasi saja. Jadi, jangan kaget apabila simbol yang sering

dipakai di sini adalah ataupun . Dipakai begitu karena penulisannya lebih singkat.

Gambar dalam diagram Argand:

22

2.

Diketahui .

Tuliskan kembali dalam bentuk polar.

Jawab:

.

=

Kita bisa saja mencari nilai dengan mengubah terlebih dahulu bentuk pembagian tersebut

menjadi bentuk = (dengan cara kali sekawan).. Namun, hal tersebut akan memakan

waktu sedikit lebih lama ketimbang jika kita menyelesaikannya dengan langsung. Ingat bahwa

ada rumus: .

Jadi,

= =

Ingatlah dalil de moivre: ...

So,

= = = .

Dengan konsep yang sama seperti di atas, kita akan mencari (atau )

=

__=

__=

__=

__= (di sini, kita bisa memanipulasi sudut, karena dalam konsep polar.)

23

Jadi, =

3. Diketahui .

Berapakah banyak akar kompleks dari persamaan tersebut? Tentukanlah hasil perkalian dari

semua akar kompleks tersebut.

Jawab:

Banyak akarnya sesuai dengan pangkat tertinggi dari . Karena pangkat tertingginya 4, maka

banyaknya akar kompleks juga 4.

Note: ini hanya berlaku dalam konsep bilangan kompleks.

Untuk mencari hasil kali akar-akarnya, kita tidak perlu mencari satu per satu nilai dari , ,

, dan . Kita cukup memakai cara cerdik.

Persamaan di atas terbentuk dengan proses sbb:

Dengan mengalikan seluruhnya, kita dapatkan sbb:

Maka, dengan menghubungkannya ke persamaan di soal, kita tahu bahwa:

Selesai.

4. Diketahui .

Tentukanlah .

Jawab:

Berhati-hatilah menjawab soal ini.

Bilangan kompleks dapat dioperasikan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian, dan pemangkatan. Namun, untuk pengakaran bilangan kompleks, hal ini masih

belum dapat dipastikan, karena bentuk akarnya sulit disederhanakan atau bahkan tidak bisa

disederhanakan, karena sudah menuju dimensi non-kompleks misalnya akar dari bukan lagi

bilangan kompleks karena akar pangkatnya 4...

24

Dengan demikian, jawaban dari soal di atas adalah:

.

SELESAI

5. Diketahui .

Tentukanlah .

Jawab:

Penjelasan: bentuk soal di atas merupakan perbaikan dari soal sebelumnya. Dengan demikian,

di sini kita diminta menemukan semua akar kompleks dari yang banyak akarnya ada 4.

Kita kerjakan soal ini seperti yang sudah kita pelajari sebelumnya, namun lebih cepat. ^^

Ruas kiri kita gunakan dalil de moivre.. Ruas kanan kita ubah menjadi polar.

Lalu, kita hubung-hubungkan ruas kiri dengan ruas kanan...

____

____ (berlaku untuk n bilangan bulat...)

Jadi, kita dapatkan keempat akarya sbb:

SELESAI.

6. Diketahui .

25

Tuliskan kembali nilai dalam bentuk cartesius dan polar.

Jawab:

Cukup mengingat persamaan euler, maka:

(bentuk polar)

(bentuk cartesius)

SELESAI

BAGIAN IIAPA YANG SALAH??

1. Dari persamaan euler , kita tahu bahwa:

Kita akarkan kedua ruas, maka:

Namun, jika kita gunakan persamaan euler untuk menyelesaikan ruas kiri, maka hasilnya

adalah -1, sehingga:

-1 = 1

Mana yang salah dari proses di atas?

Jawab:

Bentuk soal di atas mirip bentuk ini: Jika , maka: . Ketika kedua ruas

diakarkan, maka hasilnya yang kontradiksi dengan persamaan awal.

Kesalahannya adalah: operasi pengakaran pada suatu variabel atau bilangan yang nilainya

belum pasti, ataupun bilangan yang tanda positif negatinya belum diketahui, maka operasi

pengakaran kedua ruas itu dilarang..

Artinya, kita harus selalu menghindari operasi pengakaran ini, untuk menghindari kesalahan...

26

2. Dari persamaan euler , kita tahu bahwa:

... (i)

... (ii)

Dengan menggabungkan pers (i) dan (ii), kita dapatkan:

Kita ln-kan kedua ruas, maka:

Mana yang salah dari proses di atas?

Jawab:

Jawabannya mudah. Bentuk di atas mirip seperti fungsi sinus maupun cosinus.. Meskipun

, namun kita tidak boleh menganggap kalau , bukan??

Itu disebabkan karena fungsi merupakan fungsi PERIODIK, sama halnya seperti fungsi

sinus dan cosinus. Keperiodikan dapat dilihat dari adanya elemen sinus dan cosinus di

dalamnya..

Jadi, operasi menghilangkan e dari ke itu salah.. Namun, juga bisa

dianggap benar kalau kita menganggap persamaan akhirnya dilihat dalam sudut pandang

polar..

Jadi, dianggap benar karena dalam polar.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

3.2 Saran

27

DAFTAR PUSTAKA

http://suksmono.wordpress.com/2010/06/02/sinyal-kompleks-dan-penginderaan-kompresif/

http://ilmumatematika.com/bilangan-kompleks/

http://hendrydext.blogspot.com/2008/12/mengenal-bilangan-kompleks.html

http://hendrydext.blogspot.com/2008/12/bilangan-kompleks-ii-dalil-de-moivre.html

28

http://hendrydext.blogspot.com/2008/12/bukti-persamaan-euler.html

http://hendrydext.blogspot.com/2009/03/variabel-kompleks-iv-review.html

www.ariaturns.wordpress.com

Gazali, Wikaria. Kalkulus I. Graha Ilmu, Schaum Outline:Matematika Universitas.