BILANGAN PECAHAN A.MENGENAL BILANGAN PECAHAN 1. PENGERTIAN BILANGAN PECAHAN 8llangan pecahan merupakan bllangan yang mempunyal [umlah kurang aLau leblh darl uLuh 1erdlrl darl pembllang dan penyebuL embllang merupakan bllangan yang Lerbagl Sedangkan penyebuL merupakan bllangan pembagl !enls[enls bllangan pecahan adalah pecahan blasa pecahan campuran pecahan deslmal persen dan permll Bilangan pecahan adalah bilanganyang dapat dinyatakan dalam bentuk ub dengan a, b bilangan bulat, b = 0, dan b bukan Iaktor dari a. Misalnya, kamu memiliki sebuah apel. Kemudian, apel tersebut dibagi menjadi dua bagian sama besar. Setiap satu bagian apel tersebut dinamakan 'satu per dua atau 'setengah dan dinotasikan 12. Kemudian, apabila setiap bagian apel tersebut dibagi kembali menjadi dua bagian sama besar maka setiap bagian apel tersebut dinamakan 'satu perempat atau 'seperempat dan dinotasikan 14. Bilangan 12 dan 14 tersebut dinamakan bilangan pecahan. Bilangan yang terletak diatas dinamakan pembilang. Adapun bilangan yang terletak dibawah dinamakan penyebut. CONTOH : 1. Manakah diantara bilangan-bilangan berikut yang merupakan pecahan? a.112 b. 32 c. 63 2. Tentukan pebilang dan penyebut pecahan-pecahan berikut! a.25 b. 712 c. 89 3. Panjang sepotong kayu adalah 50 cm. Tentukan panjang daria. Seperempat kayu tersebut. b. Tiga per lima kayu tersebut Penyelesaian : 1. a. 112 merupakan pecahan karena sesuai dengan deIinisi pecahan b. 32 merupakan pecahan karena sesuai dengan deIinisi pecahan c. 63 bukan pecahan karena 3 merupakan Iaktor dari 6.

2. a.Pembilang pecahan 25 adalah 2 dan penyebutnya adalah 5. b.pembilang pecahan 712 adalah 7 dan penyebutnya 12. c. Pembilang pecahan 89 adalah 8 dan penyebutnya adalah 9. 3. a.Panjang dari seperempat kayu tersebut adalah 14 x 50 12,5 cm. b.Panjang dari tiga perlima kayu tersebut adalah 35 x 50 30 cm. 2. ENISENIS BILANGAN PECAHAN A. Pecahan Murni Pecahan murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil daripada penyebutnya. Contoh-contoh dari pecahan murni antara lain 1112, 2347, dan 36. B. Pecahan Tidak Murni adalah pecahan yang penyebutnya lebih kecil dari pada pembilangnya. Contoh-contoh dari pecahan tidak murni antara lain 53, 227 , dan 314100. C. Pecahan Campuran Pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri atas bilangan bulat a, b, dan c yang bersiIat abc a bc, dengan bc adalah pecahan murni. Contoh-contoh dari pecahan campuran antara lain 123, 5811, dan 2137. Pecahan campuran dapat diperoleh dari pecahan tidak murni. Begitu pula sebaliknya,pecahan tidak murni dapat di peroleh dari pecahan campuran. 1) Mengubah Pecahan Tidak Murni Menjadi Pecahan campuran. Cara untuk mengubah pecahan tidak murni menjadi pecahan campuran adalah dengan melakukan pembagian antara pembilang dan penyebutnya. Contoh: Ubahlah penulisan pecahan tidak murni berikut dalam bentuk pecahan campuran! 1.83 2.135

3.274

Penyelesaian: 1. Lakukan operasi pembagian pada pecahan tersebut.

8 3 23 2. Lakukan operasi pembagian pada pecahan tersebut. 13 5 35 3. Lakukan operasi pembagian pada pecahan tersebut. 27 4 34 2) Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Tidak Murni. Untuk mengubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak murni, dapat menggunakan rumus berikut. Ibc =(u x c)+ bc, dengan c = 0. Contoh : Tuliskan pecahan campuran menjadi pecahan tidak murni! 1. 14 2. 27 3. 16 Penyelesaian : 1. 14 (2 x 4)+ 14 8 + 14

94 2. 27(3 x 7)+ 27 21 + 27

237

3. 16 (5 x 6)+ 16 30 + 16

316

3. PECAHAN SENILAI Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang mempunyai letak yang sama pada garis bilangan. Pecahan 14 senilai dengan 28 ditulis 14 28. Pecahan 12 senilai dengan 24 dan 48 ditulis 12 24 48. Pecahan 34 senilai dengan 68 ditulis 34 68. Bilangan yang membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan untuk mendapatkan pecahan senilai adalah Iaktor persekutuan dari pembilang dan penyebutnya. Cara untuk mendapatkan pecahan-pecahab senilai adalah dengan mengali atau membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bilangan yang tidak 0. Contoh : Tuliskan dua pecahan yang senilai dengan pecahan-pecahan berikut! 1)34

2)25 3)812 4)621 Penyelesaian : 1) Kalikan 34 dengan suatu bilangan yang tidak 0, misalnya 2 dan 3. 34 senilai dengan3 x 24 x 2 68. 3 4 senilai dengan 3 x 34 x 3 912. Dengan demikian, dua pecahan yang senilai dengan 34 adalah 68 dan 912. 2) Kalikan 25 dengan suatu bilangan yang tidak 0, misalnya 3 dan 4. 25 senilai dengan2 x 35 x 3 615. 2 5 senilai dengan 2 x 45 x 4 820.

Dengan demikian, dua pecahan yang senilai dengan 25 adalah 615 dan 820. 3) bagikan812 dengan suatu bilanganyang tidak 0 dan merupakan Iaktor persekutuan dari 8 dan 12 misalnya 3 dan 4. 812 senilai dengan8 2122 46. 8 12 senilai dengan 8 4124 23. Dengan demikian, dua pecahan yang senilai dengan 812 adalah 46 dan 23. 4) Kalikan 621 dengan suatu bilangan yang tidak 0 atau bagikanlah 621 dengan Iaktor persekutuan dari 6 dan 21. 6 21 senilai dengan 6 x 221 x 2 1242. 621 senilai dengan 6 3213 27. Dengan demikian, dua pecahan yang senilai dengan 621 adalah 1242 dan 27. Pecahan senilai biasanya disebut juga pecahan ekuivalen. Untuk menentukan pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. 1. Peragaan dengan benda kongkret Kita akan menunjukan contoh bahwa 12 24 48 dengan menggunakan 3 lembar kertas yang berbentuk persegi panjang. Anggap selembar kertas itu sebagai 1 bagian utuh. Satu lembar kertas dilipatmenjadi dua bagian yang sama sehingga diperoleh 12. Kemudian 1 lembar yang lain dilipat menjadi 2 bagian yang sama, kemudian dilipat lagi menjadi 2, sehingga diperoleh 24. 2. Peragaan dengan garis bilangan Pecahan senilai dapat pula ditunjukan dengan menggunakan alat peraga garis bilangan. 12 24 36 48 14 28, 34 68 13 26, 23 461 22 33 44 66 88 dan seterusnya. 3. Dengan memperluas pecahan

Pecahan yang senilai dengan 14 dapat diperoleh dengan jaln memperluas dari pecahan 14 menjadi 28, 312, dan seterusnya, dengan menggunakan alat peraga tabel pecahan senilai yang diperoleh dari tabel perkalian. 4. MENYEDERHANAKAN PECAHAN Menyederhanakan pecahan adalah mengubah suatu pecahan menjadi pecahan lain yang senilai yang pembilang dan penyebutnya tidak lagi memiliki Iaktor persekutuan slain 1. Cara untuk menyederhanakna suatu pecahan atau mendapatkan pecahan senilai yang paling sederhana adalah dengan membagi pembilang dan penyebut dengan FPB dari pembilang dan penyebut tersebut. Caranya yaitu dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari keduanya : Misalnya : Bentuk sederhana dari1215 Faktor prima dari 12 2 x 2 x 3 2 x 3 Faktor prima dari 15 3 x 5 FPB dari 12 dan 15 adalah 3 Sehingga bentuk sederhananya dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan 3 1215 123153 45 Contoh : Tuliskan pecahan-pecahan berikut dalam bentukyang paling sederhana! 1)936 2)1824 3)3264 4)2545 Penyelesaian : 1) Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 9 dan 36 adalah 9.

Untuk mendapatkan bentuk pecahan yang paling sederhana dari 936, bagilah pembilang dan penyebut dengan 9. Diperoleh, 936 9 936 9 14. Dengan demikian, bentuk pecahan yang paling sederhana dari936 adalah 14. 2) Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 18 dan 24 adalah 6. Pecahan yang paling sederhana dari1824 adalah 18 624 6 34. 3) Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 32 dan 64 adalah 32. Pecahan yang paling sederhana dari3264 adalah 32 3264 32 12. 4) Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 45 adalah 5. Pecahan yang paling sederhana dari2545 adalah 25 545 5 59. 5. MEMBANDINGKAN DAN MENGURUTKAN PECAHAN a. Membandingkan Pecahan Misalnya, kamu diberi dua pecahan, yaitu 1 4 dan 34. Cara untuk membandingkannya adalah dengan menggambar. Cara lain untuk membandingkan dua pecahan yang berpenyebut sama adalah membandingkan pembilangnya. Akan tetapi, jika pecahan-pecahan yang harus kamu bandingkan tersebut memiliki pemyebut yang berbeda, maka penyebut dari pecahan-pecahan tersebut harus disamakan terlebih dahulu dengan mencari kelipatan pesekutuan terkecil (KPK) dan penyebut-penyebut itu. Contoh : Lengkapi pecahan berikut dengan tanda , ~, atau agar menjadi pernyataanyang benar! 1)3 7 ... 18 7

Penyebut kedua pecahan tersebut telah sama. Dengan demikian, kamu cukup membandingkan pembilangnya. 3 7 memiliki pembilang 3 18 7memiliki pembilang 18

elas bahwa 3 18. adi3 7 18 7 . 2)2 4 ... 4 8 Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 4 dan 8 adalah 8. Tentukan pecahan senilai dari 2 4 yang memiliki penyebut 8. Kamu peroleh 2 x 2 4 x 2 4 8. Oleh karena 2 4 senilai dengan 4 8, dapat disimpulkan 2 4 4 8. 3)1 5 ... 3 7 KPK dari 5 dan 7 adalah 35. Tentukan pecahan senilai dari 1 5 yang memiliki penyebut 35. Kamu peroleh 1 x 7 5 x 7 15 35. Oleh karena 7 15 sehingga 7 35 15 35, dapat disimpulkan 1 5 3 7. b. Mengurutkan Pecahan Menentukan bilangan yang lebih besar atau lebih kecil dari beberapa bilangan disebut mengurutkan bilangan. ika kamu akan mengurutkan pecahan berpenyebut sama, maka urutkan pecahan-pecahan tersebut berdasarkan urutan pembilangnya. Akan tetapi, jika pecahan-pecahan yang akan diurutkan tersebut mempunyai penyebut yang beda, maka kamu harus menentukan pecahan-pecahan senilainya terlebih dahulu. Contoh : Urutkanlah pecahan-pecahan 1315,9 10, 11 20, dan 3 5 mulai dari yang terkecil. Perhatikan penyebut setiap pecahan, yaitu 5, 10, 15, dan 20. Kelipatan persekutuan terkecil dari 5, 10, 15, dan 20 adalah 60. 13 15 senilai dengan 52 60 11 20 senilai dengan 33 60 9 10 senilai dengan54 60

3 5 senilai dengan 36 60

Dengan demikian, urutan pecahan-pecahan tersebut mulai dari yang terkecil adalah 11 20, 3 5, 13 15, dan 9 10. c. Menentukan Letak Pecahan Pada Garis Bilangan Pecahan murni terletak diantara bilangan 0 dan 1 pada garis bilangan. Cara untuk menentukan letak pecahan pada garis bilangan adalah sebagai berikut. 1) Bagilah jarak antara 0 dan 1 menjadi beberapa bagian sama besar sesuai penyebut pecahan yang akan ditentukan letaknya. Misalnya untuk 2 3 berarti jarak antara 0 dan 1 dibagi menjadi 3 bagian sama besar. 2) Kemudian, lakukan perbandingan antara 0, 1 3, 2 3, dan 3 3 1. 3) Kamu peroleh 0 1 3 2 3 1. dengan demikian, letak pecahan 2 3 pada garis bilangan adalah sebagai berikut. 0 1 3 2 31 Contoh : Tentukan letak pecahan 5 8 pada garis bilangan. Penyelesaian : Bagilah jarak antara 0 dan 1 menjadi 8 bagian sama besar. Lakukan perbandingan antara 1 8, 2 8, 3 8, 4 8, 5 8, 6 8,7 8, dan 8 8 1. Kamu peroleh 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1. Letak 5 8 pada garis bilangan dapat kamu lihat pada garis bilangan berikut. 0 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 81 1. Penanaman konsep a. Peragaan dengan menggunakan bangun-bangun geometri

Bangun-bangun geometri dapat digunakan sebagai alat untuk membandingkan dan mengurutkan pecahan biasa dan pecahan campuran. Bahan yang digunakan harus mudah dilipat, di warnai atau di potong-potong untuk mengurutkan luasan dari bangun-bangun tersebut sehingga dapat dilihat urutan dari luasan bangun yang mewakili urutan dari bilangannya. 12 34, 12 58 b. Dengan peragaan pita atau kepingan-kepingan pecahan Kepingan pecahan berguna untuk membadingkan pecahan biasa. Dari peragaan dan gambar siswa akan dapat membandingkan dan sekaligus mengurutkan bilangan-bilangan pecahanyang diinginkan. c. Dengan menyamakan penyebutnya Kita bandingkan 23 dan 34 dengan cara menyamakan penyebutnya atau menentukan pecahan senilainya lebih dulu. Kegiatan ini akan lancar dilakukan siswa bila penanaman konsep pecahan senilai pada bagian c dipahami dan telah dirapihkan keterampilanya oleh guru yaitu menentukan 23 812 ; 43 912. Setelah penyebutnya sama kita bandingkan pembilangnya karena 9 ~ 8 maka 912 ~ 812 jadi 34 ~ 23 2. Keterampilan atau teknik cepat a. Bila pembilangnya sama Dari peragaan-peragaan luasan maupun kepingan pecahan dapat dilihat bahwa 34 ~ 36 ~ 38, 23 ~ 24 ~ 26 ~ 28. Sehingga dapat ditentukan bahwa pada pecahan positiI, bila pembilangnya sama, maka pecahan yang lebih dari adalah pecahan yang penyebutnya angkanya bernilai lebih kecil. Sedangkan pada pecahan negatiI akan sebaliknya. b. Bila penyebutnya sama Pecahan yang penyebutnya sama mudah dibandingkan melalui peragaan-peragaan luasan maupun kepingan-kepingan pecahan. Contoh 37 dan 57

Pada pecahan positiI bila penyebutnya sama maka pecahan yang lebihdari adalah pecahan yang pembilangnya angkanya lebih dari yang lain. c. Bila pembilang dan penyebutnya tidak sama

Bila pembilang dan penyebutnya tidak sama maka bisa menggunakan tanda silang.43 ...25 34 ...25 berarti 1520 ... 820 sehingga 15 ... 8 tanda yang tepat adalah '~, maka 34 ~ 25. 6. PECAHAN DESIMAL Pecahan desimal merupakan bentuk lain penulisan pecahan. Pecahan desimal adalah pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan dari bilangan 10, misalnya: 0,2 2 101 2 10 1 angka dibelakang koma 0,5 15 10` 15 100 2 angka dibelakang koma 0,p p 10n dengan n banyaknya angka dibelakang koma. a. Mengubah Bentuk Pecahan Menjadi Pecahan Desimal Pecahan murni, pecahan tidak murni, dan pecahan campuran dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal. Misalnya:

810 (0 x 1) (8 x110), ditulis 0,8

47100 (0 x 1) (0 x110) (4 x1100) (7 x11.000), ditulis 0,047. 2 3 100 (2 x 1) (0 x110) (3 x1100), ditulis 2,03 Bentuk pecahan 0,8 dinamakan pecahan satu desimal. Bentuk pecahan 0,047 dinamakan pecahan tiga desimal. Adapun bentuk pecahan 2,03 dinamakan pecahan dua desimal. Bilangan desimal yang memuat angka berulang misalnya 0,111 ... disebut bilangan desimal berulang. Adapun bentuk 0,8; 2,03; atau 0,047 dinamakan bilangan desimal tidak berulang. Contoh: Tulislah pecahan-pecahan berikut dalm bentuk pecahan desimal! 1)5100 (0 x 1) (0 x110) (5 x1100) 0,05

2) 1 710 (0 x 1) (7 x110) 1,7 b. Mengubah Bentuk Desimal Menjadi Bentuk Pecahan Contoh: 0,775 sebagai suatu pecahan murni dlam bentuk yang paling sederhana. Pecahan desimal 0,775 dapat ditulis dalam bentuk (0 x 1) (7 x 1 10) (7 x1 100) (5 x1 1.000). jadi pecahan desimal 0,775 dapat ditulis menjadi775 1.000. Kemudian, sederhanakan pecahan tersebut dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan Iaktor persekutuan terbesar dari 775 dan 1.000, yaitu 25. Akan peroleh, 775 1.000 775 251.000 25 3140 Dengan demikian, bentuk pecahan murni yang paling sederhana dari 0,775 adalah 3140. 7. PERSEN DAN PEMIL a. Persen Kata persen berasal dari kata per cent yang artinya perseratus. Persen adalah pecahan yang penyebutnya seratus. Persen dilambangkan . a u100 dan a dibaca a persen. 36 bermakna 36100 36 4100 4 925. adi 36 925. 50 bermakna 50100 50 50100 50 12. adi 50 12. 100 bermakna 100100 1. adi 100 1. Contoh: 1) Ubahlah pecahan berikut ke dalam bentuk persen a.35 35 x 100 3005 60 b.720

c. 720 x 100 70020 35 2) Ubahlah bentuk persen berikut ke dalam bentuk pecahan murni a. 75 75100 75 25100 25 34(25 adalah FPB dari 75 dan 100) b. 62,5 62,5100 6251.000 625 1251.000 125 58 b. PermilPermil adalah pecahan yang penyebutnya seribu atau pecahan perseribu. Permil dilambangkan dengan . a u1.000 dan a dibaca a permil. Misalnya: 5 51.000 11.000 ; 150 1501.000 320 Pecahan permil antara lain digunakan untuk menyatakan salinitas (kadar garam) air laut. Misalnya, kadar garam Laut Merah adalah 41. Artinya, terdapat 41 gram garam pada setiap 1.000 gram air di Laut Merah. Contoh: 1) Ubahlah bentuk pecahan berikut menjadi bentuk permil! a.14 14 x 1.000 250 b. 2 310 (2 x 10)+ 310 2310 x 1.000 2.300 2) Ubahlah bentuk berikut dalam bentuk pecahan murni! a. 750 7501.000 750 2501.000 250 34 (250 adalah FPB dari 750 dan 1.000) b. 215 2151.000 215 51.000 5 43200 (5 adalah FPB dari 215 dan 1.000)

B. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN PECAHAN 1. PENUMLAHAN Dalam menyelesaikan opersasi penjumlahan, harus memperhatikan penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dijumlahkan. ika pecahan-pecahan itu berpenyebut sama, cukup menjumlahkan pembilangnya. ub bc u+bc, dengan c = 0 Akan tetapi, jika penyebut kedua pecahan berbeda, maka terlebih dahulu disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, jumlahkan pembilang-pembilangnya. SiIat-siIat Penjumlahan : 1. SiIat AsosiatiI ( a b ) c a ( b c ) Contoh : (5 3 ) 4 5 ( 3 4 ) 12 2. SiIat KomutatiI a b b a Contoh : 7 2 2 7 9 3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan a 0 0 a Contoh : 6 0 0 6 4. Unsur invers terhadap penjumlahan Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a Invers jumlah (lawan) daria adalah a a (-a) (-a) a contoh : 5 (-5) (-5) 5 0 5. BersiIat tertutup Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah

bilangan bulat juga. a dan b bilangan bulat maka a b c ; c bilangan bulat contoh : 4 5 9 ; 4,5,9 bilangan bulat Contoh: Hitunglah hasil penjumlahan pecahan berikut! 1)38 28 3+ 88 58 2) 317 537 317 (3 x 7)+ 17 21 + 17 287

537 (5 x 7)+ 37 35 +37 387

adi, 317 537 227 387

22+387 607 847 3)34 17 2128 428 1728 4) 1,37 2,18 1,37 (1 x 1) 110 11002,18 (2 x 1) 110 % 1100 1 310 7100 2 110 80100 100100 30100 7100 200100 10100 8100 137100 218100 adi, 1,37 2,18 137100 218100 355100 (3 x 1) 110 1100 3,55 Pecahan campuran abc dapat ditulis dalam bentuk pecahan tidak murni (u x c)+ bc.

2. PENGURANGAN PECAHAN Operasi pengurangan pada pecahan merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan pada pecahan. Untuk melakukan pengurangan pada pecahan berpenyebut sama, cukup mengurangkan pembilangnya. uc - bc ubc , dengan c = 0. Apabila penyebutnya sama, pembilang bisa langsung dikurangkan Apabila penyebut kedua pecahan tersebut berbeda, maka terlebih dahulu penyebut-penyebutnya disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya kemudian kurangkan pembilang-pembilangnya. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang tidak sama : uc - bd u x dc x d - c x bc x d Rumus 1 uc - bd (KPK)c x uKPK - (KPK)d x bKPK Rumus 2 Misalnya : 57 - 23 5 x 37 x 3

7 x 27 x 3 1521 - 1421 121 Untuk pengurangan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu dengan dua cara sama seperti dengan penjumlahan: 1. dengan mengalikan kedua penyebut rumus 1 2. dengan menentukan KPK nya rumus 2 Contoh: Hitunglah pengurangan pecahan berikut! 1)47 - 37 437 17 2) 568 - 338 568 (5 x 8) + 6 8 40+68 468 338 (3 x 8) + 3 8 24 + 38 278 adi, 568 - 338 468 - 278 198 238 3) 238 - 157 238 (2 x 8) + 3 8 16 + 38 198

157 (1 x 7) + 5 7 7 + 57 127 Maka, 238 - 157 198 - 127 13356- 9656 3756 4) 6,280,37 6,28 (6 x 1) 110 % 11000,37 (0 x 1) 110 1100 6 210 8100 310 7100 628100 30100 7100 37100 adi, 6,280,37 628100 - 37100 591100 (5 x 1) % 110 1100 5,91 3. PERKALIAN PECAHAN Dalam perkalian bilangan pecahan : pembilang dikalikan dengan pembilang ; penyebut dikalikan dengan penyebut O Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan bulat : Rumusuc x b u x bc ; c = 0

57 x 4 57 x 41 5 x 47 207

O Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan : Rumus uc x bd u x bc x d ; c dan d = 0 57 x45 5 x 47 x 5 2035 O Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan campuran : 235 x 23 (5 x 2)+ 35 x 23 135x 23 13 x 25 x 3 3615 2615 Untuk menghitung perkalian pecahan ub dan cd dengan b = 0 dan d = 0, dapat menggunakan rumus berikut. ub x cd u x cb x c , b = 0 dan d= 0 Pada perkalian pecahan, berlaku siIat-siIat berikut. 1) KomutatiI

a x b b x a, dengan a dan b bilangan pecahan. 2) AsosiatiI(a x b) x c a x (b x c), dengan a, b, dan c bilangan pecahan. 3) DistributiI A x (b c) (a b) (a c), dengan a, b, dan c bilangan pecahan. Contoh: 1)38 x 58 3 x 58 x 8 1564 2) -315 x 211 -315 -(3 x 5)+ 15 -15+15 -165

-7 211 -(7 x 11)+ 211 -77+211 -7911 adi, 315 x 211 -165x 711 16 x (79)5 x 11 1.26455 225455 3) 0,35 x 1,42 0,35 351000,42 42100 adi, 0,35 x 0,42 35100 x 42100 35 x 42100 x 100 4.97010.000 0,497 4. PEMBAGIAN PECAHAN O Pembagian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan Rumus uc :bd uc x db u x dc x b Menjadi perkalian dengan bilangan keduanya (pembilang dan penyebutnya ditukar) Untuk menghitung pembagian pecahan ub terhadap cd dengan b = 0 dan d = 0, dapat menggunakan rumus berikut. ub cd ub x dc, dengan b = 0 dan d = 0 Contoh: Hitunglah hasil operasi pembagian berikut! 1) 6 18 61 18 61 x 81 6 x 81 x 1 48

2)18 6 18 x 16 1 x 18 x 6 148 3)32 15 32 x 51 3 x 52 x 1 152 712 4) 9 325 325 (3 x 5)+ 2 5 175

adi,9 325 9 175 91 x 517 9 x 51 x 7 4517 21117 5) 0,05 0,31 5100 31100 5100 x 10031 5 x 100100 x 31 5003.100 500 1003.100 100 531 5. PERPANGKATAN PECAHAN Bilangan berpangkat dapat ditulis dalam bentuk ubn. ubn ub x ub x ub.xub

_____________ n Iaktor u x u x u x.x ub x b x b x.x b_________ n Iaktor unbn SiIat-siIat yang dimiliki oleh perpangkatan bilangan bulat, yaitu sebagai berikut. 1) ubm x ubn ubm+ n um + n bm + n 2) ubm ubn um- nbm- n, dengan m ~ n 3) ubm n ubm x n um xn bm xn Contoh:Hitunglah perpangkatan pecahan berikut! 1) 133 x 132 133+2 135 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x 3 x 3 x 3 x 3 1243 2)12S122

1252 1 x 1 x 12 x 2 x 2 18 3) 132 ]3 132 x 3 136 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 1729 C. BENTUK BAKU Bentuk baku biasanya digunakan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar atau sangat kecil agar penulisannya lebih eIisien. Sebagai contoh kecepatan cahaya sekitar 300.000.000 m/detik dapat ditulis 3 x 8 m/detik. Aturan penulisan bilangan baku adalah sebagai berikut. 1. Untuk bilangan yang lebih besar dari 10 maka penulisan bentuk bakunya adalah a x n dengan 1 _ a 10 dan n bilangan asli. 2. Untuk bilangan di antara 0 dan 1 maka penulisan bentuk bakunya adalah a x n dengan 1 _ a 10 dan n bilangan asli. Contoh: Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku! 1) 2.732 2.732 adalah bilangan yang lebih besar dari 10. Oleh karena itu, gunakan aturan a x n dengan 1 _ a 10 dan n bilangan asli. Diperoleh, a 2,732 dan n 3. Dengan demikian, bentuk baku dari 2.732 adalah 2,732 x 3. 2) 1.750.000.000 1.750.000.000 adalah bilangan yang lebih besar dari 10. Oleh karena itu gunakan aturan a x n dengan 1 _ a 10 dan n bilangan asli. Diperoleh, a 1,75 dan n 9. Dengan demikian, bentuk baku dari 1.750.000.000 adalah 1,75x 9. 3) 0,000253 0,000253 adalah bilangan yang terletak di antara 0 dan 1. Oleh karena itu, gunakan aturan a x n dengan 1 _ a 10 dan n bilangan asli. Diperoleh, a 2,53 dan n 4. Dengan demikian, bentuk baku dari 0,000253 adalah 2,53 x 4. 4) 0.0000000062

0,0000000062 adalah bilangan yang terletak di antara 0 dan 1. Oleh karena itu, gunakan aturan a xndengan 1 _ a 10 dan n bilangan asli. Diperoleh, a 62 dan n 9. Dengan demikian, bentuk baku dari 0,0000000062 adalah 6,2 x 9. D. PEMBULATAN PECAHAN DESIMAL Pembulatan pada pecahan desimal berguna untuk menyederhanakan penyajian agar lebih mudah diamati. Aturan pembulatan pecahan desimal adalah sebagai berikut. 1. ika angka yang akan dibulatkan tersebut lebih dari atau sama dengan 5 maka lakukan pembulatan ke atas. 2. ika angka yang akan dibulatkan tersebut kurang dari 5 maka tidak dilakukan pembulatan ke atas. Contoh: 1. Bulatkan 6,321 sampai dua tempat desimal. 6,321 memiliki tiga tempat desimal. Angka terakhir pada 6,321 adalah 1. Oleh karena 1 5, maka pembulatannya adalah 6,32. Dengan demikian, pembulatan 6,321 sampai dua tempat desimal adalah 6,32. 2. Bulatkan 7,461 sampai satu tempat desimal. 7,461 memiliki tiga tempat desimal. O Angka terakhir pada 7,46 adalah 6. O Oleh karena 6 ~ 5, maka pembulatannya adalah 7,5. Dengan demikian, pembulatan 7,46 sampai satu tempat desimal adalah 7,5. 3. Bulatkan 5,25 sampai satu tempat desimal. 5,25 memiliki dua tempat desimal. Angka terakhir pada 5,25 adalah 5 sehingga pembulatannya adalah 5,3. adi, pembulatan 5,25 sampai satu tempat desimal adalah 5,3. 4. Bulatkan 2,455 sampai dua tempat desimal. 2,455 memiliki tiga tempat desimal. Angka terakhir pada 2,455 adalah 5 sehingga pembulatannya adalah 2,46. adi, pembulatan 2,455 sampai dua tempat desimal adalah 2,46 .

1. Pengurangan Bilangan Bulat a. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat positiI dengan bilangan bulat positiI maka: 1. Bilangan bulat positiI dikurangi dengan bilangan bulat positiI yang lebih kecil maka hasilnya dalah bilangan bulat positiI Contoh : 8 5 4 2. Bilangan bulat positiI dikurangi dengan bilangan bulat positiI yang lebih besar maka hasilnya adlah bilangan bulat negatiI Contoh : 36 -3 b. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat negatiI dengan bilangan bulat negatiI maka: 1. Bilangan bulat negatiI dikurangi dengan bilangan bulat negatiI yang lebih kecil maka hasilnya adalah bilangan bulat positiI Contoh : -6 - (-8) -6 8 2 (ingat - 8 -6 ) 2. Bilangan bulat negatiI dikurangi dengan bilangan bulat negatiIyang lebih besar maka hasilnya adalah bilangan bulat negatiI Contoh : -5(-3) -5 3 -2 ( -3 ~ -5 ) 3. Bilangan bulat negatiI yang dikurangi sama dengan bilangan bulat negatiI yang mengurangi maka hasilnya adalah 0 (nol) Contoh : -4 - (-4) -4 4 0 c. Pengurangan bilangan bulat positiI dengan bilangan bulat negatiI hasilnya selalu bilangan bulat positiI contoh :

8(-4) 8 4 12 d. Pengurangan bilangan bulat negatiI dengan bilangan bulat positiI hasilnya selalu bilangan bulat negatiI contoh : -84 - 12 e. Pengurangan dilakukan dengan cara bersusun contoh : 212 - 19 ? Proses perhitungan 1. Kurangi 2 dengan 9, karena 2 kurang dari 9 maka pinjam puluhan dari angka disampingnya, sehingga menjadi 12 dikurang 9 hasilnya 3 2. Karena angka 1 (puluhan) pada 212 sudah dipinjam 1 maka sekarang menjadi 0, karena 0 dikurang 1 dari angka 19 tidak bisa maka pinjam 1 angka ratusan dari 2 (ratusan) menjadi 10 kemudian dikurangi 1 hasilnya 9 3. Karena angka 2 (ratusan) pada 212 sudah dipinjam 1, maka sekarang menjadi 1, kemudian dikurangi dengan tidak ada angka dibawahnya (0) menjadi 1 4.Hasilnya adalah 193 Pengurangan dan SiIat-siIatnya 1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : ab a (-b) a(-b) a b contoh: 85 8 (-5) 3 7(-4) 7 4 11 2. SiIat KomutatiI dan asosiatiI tidak berlaku ab b - a (ab )c a( bc ) Contoh : 73 3 -7 4 - 4 (94)3 9(4-3) 2 8

3. Pengurangan bilangan nol mempunyai siIat : a0 a dan 0a -a 4. BersiIat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga a dan b bilangan bulat maka a - b c ; c bilangan bulat contoh :7 - 8 -1 ; 7,8,-1 bilangan bulat 3. Perkalian Penjumlahan berulang a) Perkalian Bilangan Cacah 1. Cara mendatar - pekalian dua bilangan dengan 1 angka : 4 x 2 4 4 8 - pekalian bilangan 1 angka dengan bilangan 2 angka : 3 x 13 puluhan dan satuan dipisahkan : 3 x 13 3 x (10 3) (3x10) (3 x 3 ) 30 9 39 - perkalian dua bilangan dengan 2 angka : 14 x 15 14 x 15 14 x (105) (14x10) (14x5) 14 x 5 (104) x 5 (10x5)(4x5) 5020 70 140 70 210 - perkalian bilangan kelipatan sepuluh (puluhan, ratusan, ribuan,.) yang dikalikan hanya bilanganyang bukan nol, jumlah puluhannya dijumlahkan dan ditulis di belakang hasilnya : 30 x 60 (3 x 6) 00 1800 2. Cara bersusun

12 x 68 Proses perhitungan : 1.kalikan 8 dan 2 (dari angka12), hasilnya 16: tulis angka 6 dan simpan 1 2.kalikan 8 dan 1 (dari angka12), hasilnya 8, ditambah angka simpanan 1 96 hasilnya 9 (dibaris pertama hasilnya 96) 3.kalikan 6 dan 2, hasilnya 12 : tulis angka 2 dan simpan 1 (di bawah angka 9 bergeser 1 kolom ke kiri)) 4.Kalikan 6 dan 1, hasilnya 6, ditambah angka simpanan 1 hasilnya 7 5. Ditambahkan hasil (1,2) dan (3,4) 816 b) Perkalian Bilangan Bulat - hasil perkalian dua bilangan bulat positiI adalah bilangan bulat positiI () x () () Contoh: 7 x 6 6 x 7 42 -hasil perkalian bilangan bulat positiI dan negatiI hasilnya adalah bilangan bulat negatiI () x (-) (-) Contoh : 3 x -4 -12 -hasil perkalian dua bilangan bulat negatiI hasilnya adalah bilangan bulat positiI (-) x (-) () Contoh : -4 x -5 20 c) Perkalian dan SiIat-siIatnya 1. SiIat AsosiatiI (a x b) x c a x (b x c) Contoh: (2 x 3) x 4 2 x (3x4) 24 2. SiIat komutatiI a x b b x a Contoh : 5 x 4 4 x 5 20 3. SiIat distributiI a x (bc) (a x b ) (a x c) Contoh : 3 x ( 2 6) (3 x 2) (3 x 6) 24

4 Unsur identitas untuk perkalian - hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol a x 0 0 - hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga a x 1 1 x a a 5. BersiIat tertutup ika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b c ; a, b, c bilangan bulat 4. Pembagian Pembagian dan SiIat-siIatnya 1. Hasil bagi dua bilangan bulat positiI adalah bilangan positiI () : () () Contoh : 8 : 2 4 2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatiI adalah bilangan positiI (-) : (-) () Contoh : -10 : -5 2 3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatiI () : (-) (-) (-) : () (-) Contoh : 6 : -2 -3 -12 : 3 -4 4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdeIinisi a : 0 tidak terdeIinisi (~) 0 : a 0 (nol) Contoh : 05 ~ (Tidak terdeIinisi) 5. Tidak berlaku siIat komutatiI dan asosiatiI a : b b : a (a:b):c a : (b:c)

Contoh : 4 :2 2 : 4 2 12 (8:2) : 4 8 : (2:4) 1 16 6. BersiIat tidak tertutup ika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga contoh : 6 : 2 3 bilangan bulat 7 : 2 332 bukan bilangan bulat (bilangan pecahan) 5. Pemangkatan bilangan bulat an I I I . I ___________ Sejumlah n Iaktor Contoh : 43 4 x 4 x 4 64 35 3 x 3 x 3 x 3 x 3 24 E.PENAKSIRAN HASIL OPERASI HITUNG BILANGAN PECAHAN Cara termudah untuk melakukan penaksiran pada bilangan pecahan adalah dengan membulatkan bilangan pecahan tersebut ke bilangan bulat yang paling dekat. Perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh: Taksirkan hasil operasi bilangan pecahan berikut! 1.23 617 Bilangan bulat yang terdekat dengan 23 adalah 1. Bilangan bulat yang terdekat dengan 617 adalah 6. Dengan demikian, taksiran dari 23 617 adalah 1 6 7. Dapat ditulis, 23 617 7. 2. 315 - 149 Bilangan bulat yang terdekat dengan 315 adalah 3. Bilangan bulat yang terdekat dengan 149 adalah 1. Dengan demikian, taksiran dari 315 - 149 adalah 31 2

Dapat ditulis, 315 - 149 2 3. 612 x 2 110 Bilangan bulat yang terdekat dengan 612 adalah 7. Bilangan bulat yang terdekat dengan 2 110 adalah 2. Dengan demikian, taksiran dari 612 - 2110 adalah 7 x 2 14 Dapat ditulis, 612 x 2 110 14 4. 934 : 239 Bilangan bulat yang terdekat dengan 934 adalah 10. Bilangan bulat yang terdekat dengan 239 adalah 2. Dengan demikian, taksiran dari 934 : 239 adalah 10 : 2 5 Dapat ditulis, 934 : 239 5 Konsep dan Operasi Hitung Bilangan Operasi dasar aritmetika adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, walaupun operasi-operasi lain yang lebih canggih (seperti persentase, akar kuadrat, pemangkatan, dan logaritma) kadang juga dimasukkan ke dalam kategori ini. Perhitungan dalam aritmetika dilakukan menurut suatu urutan operasi yang menentukan operasi aritmetika yang mana lebih dulu dilakukan. Aritmetika bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real umumnya dipelajari oleh anak sekolah, yang mempelajari algoritma manual aritmetika. Namun demikian, banyak orang yang lebih suka menggunakan alat-alat seperti kalkulator, komputer, atau sempoa untuk melakukan perhitungan aritmetika. Operasi Hitung Bilangan BulatBilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan negatiI, nol, dan bilangan positiI. Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, .) dan negatiInya (-1, -2, -3, .; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Apabila dalam suatu soal cerita terdapat suatu bilangan yang didahului atau diikuti kata-kata; mundur, turun, kalah, rusak, mati, rugi, dibawah, dipakai, diminta, atau utang, maka maknanya sebagai bilangan negatiI. Contoh Suhu di kota Tokyo 6 dibawah nol, artinya suhu di kota Tokyo -6 Operasi Pecahan 1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa dan pecahan campuran Menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya dan menyesuaikan pembilangnya, selanjutnya hasil dari penjumlahan atau pengurangan pecahannya adalah dengan menjumlahkan atau megurangkan pembilang-pembilangnya dan penyebut tetap sama. 2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Perkalian dan pembagian pecahan biasa dan pecahan campuran. Perkalian pecahan campuran harus diubah menjadi perkalian pecahan biasa. Selanjutnya hasil perkalian pecahan biasa adalah hasil perkalian pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. 3. Operasi Campuran Menyelesaikan operasi campuran pada bilangan pecahan dapat menggunakan aturan operasi campuran seperti pada bilangan bulat. F.TERAPAN PERHITUNGAN DENGAN MENGGUNAKAN PECAHAN Perhitungan dengan menggunakan pecahan banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contoh1. Pak toba bekerja sebagai pembuat tongkat. Untuk membuat sebatang tongkat diperlukan kayu yang panjangnya 34 m. ika pak toba mempunyai kayuyang panjangnya 3 m, berapa batang tongkat yang dapat dibuat? awab:

3 : 34 3 x 43 123 4 2. Ani akan membuat hiasan bingkisan lebaran dari pita. Setiap bingkisan memerlukan pita yang panjangnya 212 m. Berapa m pita yang diperlukan untuk membuat hiasan 5 bingkisan? awab: (5 x 2 12)m 5x (2 12) }m (5 x 2) (5 x 12) }m (10 212)m 1212m. adi pita yang diperlukan 1212m. G.PECAHAN SEBAGAI PERBANDINGAN (RASIO) Sebuah pecahan yang menujukan rasio tidak sama dengan pecahan yang mewakili bagian dari keseluruhan (utuh). Bila pecahan bisa digunakan untuk menunjukan rasio akan mempunyai interpretasi yang berbeda di bandingkan pecahan sebagai bagian yang utuh. Sebagai contoh: pembilang dari sebuah pecahan sebagai rasio mungkin menyatakan obyek dalam kumpulan obyek. Oleh karena itu konsep pecahan sebagai rasio harus jelas bagi anak. Untuk memahami mengapa pecahan merupakan perbandingan (rasio) dapat dipikirkan dalamsituasi seperti ini. Contoh : 1. 'dinda dan dita membagi tanggung jawab mengelola toko kelontong. Dinda dalam 1 minggu menjaga toko selama 4 hari, sedangkan dita 3 hari. Apabila dinda telah menjaga toko selama 20 hari, berapa harikah dita telah menjaga tokonya. Rasio untuk masalah diatas adalah 4 : 3, sebuah pernyataan dapat digunakan untuk memecahkan masalah itu 34 20ndengan perkalian akan didapat, 34 x 3 20nx 3 4 20nx 3 4 x n 20nx 3 x n 4n 60 4n : 4 60 : 4n 15 jadi dita telah menjaga tokonya 15 hari.

2. Tinggi badan dhiar dan dhika masing-masing 150 cm dan 180 cm. Maka perbandingan tinggi dhiar dan dhika adalah 150 : 180 atau 5 : 6 dengan masing-masingdibagi 30 yang dikatakan sebagai pembanding. Sehingga dapar dikatakan bahwa tinggi dhiar : tinngi dhika 5 : 6 atau tinngi dhiar adalah 56 tinggi dhika. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa perbandingan 5 : 6 dapat dinyatakan sebagai pecahan 56, dan perbandingan 6 : 5 dapat dinyatakan sebagai pecahan 65. 3. Panjang dan lebar suatu persegi panjang mempunyai perbandingan 5 : 3, jika luas persegi panjang itu 240cm, maka tentukan ukuran panjang dan lebar dari persegi panjang itu Penyelesaian: Diketahui: P:1 5 Luas pp 240cm awab: Luas pp 240cm Misal perbadingannya n maka panjang dan lebar dari persegi panjang itu adalah 5n : 3n Luas persegi panjang p x l 240cm adi 5n x 3n 240 15n 240 15n : 15 240 : 15 n 16 n 4 jadi panjang 5n (5 x 4)cm 20cm lebar 3n (3 x 4)cm 12cm

DAFTAR PUSTAKA Rasyidin, Lucky Iajar dan Farid Maulana. 2008 . Cara Mudah Menaklukan Olimpiade Matematika SMP. akarta: Wahyumedia. Wilcox, S. M. 1968. Geometri: A Modern Approach. CaliIornia: Addison-Wesley Publishing Company. Millington, T.A and Millingtong, W. 1966. Distionary oI Matematics. New York: Barnas & Noble Books. Hong, Tay Choon, et al. 2004. New Mathematics counts. Singapore: Federal Publications. Vance, E.P. 1962. Modern Algebra and trigonometri. London: Eddision-Wesley Publishing Company.