BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk

pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk

mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam

matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas

untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan

irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan

dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris.

Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran

bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang

mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan

sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan,

perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang

mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Di dalam makalah ini saya akan membahas tentang sejarah

bilangan,sampai bagaimana proses perkambangan bilangan dari zaman dulu

sampai sekarang.

1

1.2 Rumusan masalah

a. Apakah sejarah bilangan itu ?

b. Bagaimana proses perkembangan bilangan?

1.3 Tujuan pembelajaran

a. Untuk memahami tentang sejarah bilangan

b. Untuk memahami proses perkembangan bilangan

2

BAB II

PEMBAHASAAN

2.1 SEJARAH BILANGAN

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat

(1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M.

Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann

(1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard

(1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona

terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia

menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.

Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi

juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan

teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode

kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah,

namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan

perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan

maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa

kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan

yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi,

sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.

3

Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu

benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki

cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

Simbol bilangan bangsa Babilonia:

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM:

Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir

Kuno:

Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai

hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia:

Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno:

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini:

Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah

manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-

Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol

bilangan yang kita pakai hingga saat ini, seperti yang tampak dalam gambar

berikut:

A. Perhitungan primitive pada bilangan

Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari jaman sebelum ada

sejarah (artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa

diperdebatkan, tapi diyakini sejak jaman paling primitif pun manusia memiliki

“rasa” terhadap apa yang dinamakan bilangan, setidaknya untuk mengenali mana

yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih sedikit” terhadap berbagai benda,

4

beberapa penelitian terhadap binatang menunjukkan binatakan juga memiliki

“rasa” itu. Suatu suku atau suku bangsa primitif, harus tau seberapa banyak

mereka memiliki teman dan seberapa banyak musuhnya.

Sementara proses berhitung kemungkinan dimulai dari metode pencocokan

sederhana, dengan prinsip korespondensi satu-satu. Sebagai contoh saat

menghitung jumlah benda, satu jari untuk satu benda bisa jadi adalah asal-

usulnya. Proses berhitung kemudian berkembang dengan pengumpulan tongkat

kayu atau kerikil, dengan menbuat coretan di tanah atau batu, dengan membuat

catatan di kulit pohon, membuat ikatan pada ranting. Dan kemungkinan pada

tahap berikutnya, mereka mulai mencocokan bilangan dengan suara tertentu.

B. System bilangan

Ketika bilangan maupun proses berhitung sudah semakin penting, maka suatu

suku bangsa mulai mensistematiskannya, ini dilakukan dengan mengurutkan

bilangan kedalam kelompok tertentu, ukuran kelompok ditentukan oleh proses

pemasangan anggota. Sederhana koq, ilustrasi metodenya begini. Misalkan

sebuah bilangan, namakan b, dipilih sebagai basis untuk berhitung dan nama

bilangan diurutkan oleh bilangan 1,2,….,b. Nama bilangan yang lebih besar dari

b diperoleh dari kombinasi bilangan yang sudah ada.

Karena jari manusia adalah alat yang baik untuk membant proses berhitung,

tidak aneh kalau paling tepat 10 dipilih sebagai basis, nyatanya tetap dipakai

sampai hari ini di sistem bilangan modern. Lihata saja 15 adalah kombinasi 1 dan

5, demikian juga bilangan lainnya yang lebih besar dari 10.

5

Tapi terdapat bukti-bukti bahwa bilangan lain dipakai sebagai basis. Sebagai

contoh, ada penduduk asli QUEENSLAND yang berhitung “one, two, two and

one, two twos, dan much” untuk bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, ini berarti 2

digunakan sebagai basis. Suku di Tierra del Fuego menggunakan 3 sebagai basis,

dan suatu suku di Amerika Selatan menggunakan 4 sebagai basis.

Mudah ditebak sistem bilangan dengan basis 5, lebih dikenal dengan skala

quinary (quinary scale), pernah digunakan cukup lama. Bahkan sampai hari ini,

beberapa suku di Amerika Selatan menghitung menggunakan tangan, ” satu, dua,

tiga, empat, tangan, tangan dan satu, tangan dan dua…” dan seterusnya. Para

petani Jerman menggunakan kalender dengan basis 5 sekitar tahun 1800.

Terdapat juga bukti bahwa 12 pernah dipakai sebagai basis di jaman dulu,

utamanya dalam hubungan ke ukuran. Basis 12 ini diduga dipakai dasar dalam

membuat kalender. Pada gambaran lain ukuran jarak satu kaki sama dengan 12

inci, selusin itu 12, setahun 12 bulan dan lain sebagainya.

Sistem bilangan dengan basis 20 juga dipakai secara luas, sistem ini

digunakan oleh orang indian di amerika dan yang tidak kalah terkenal sistem

bilangan berbasis 20 ini digunakan oleh suku Maya (itu loh suku purba yang

ngeramal kiamat tahun 2012). Jejak-jekak penggunaan sistem bilangan skala 20

juga ditemukan di Prancis, Denmark dan Wales. Sistem bilangan basis 20 ini lebih

dikenal dengan nama skala vigesimal. Dan suku Babylonia (Irak jadul)

menggunakan sistem bilangan dengan basis 60, dan masih digunakan saat ini

untuk menghitung sudut, dan waktu. Sistem bilangan ini lebih dikenal dengan

skala sexagesimal.

6

C. Tokoh-tokoh sejarah bilangan

Adapun penjelasan dari pendapat para ahli terdahulu tentang bilangan, sebagai

berikut :

Menurut Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani

yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia

memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan

pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah

teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu

segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi

siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui

sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras

karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Menurut Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di

sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah

menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan

matematika.

Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama

berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh al-

Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang

memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang

berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

Selanjutnya menurut Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak,

yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah

7

orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap,

yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti

yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-

Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi

oleh p.

Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof

which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis

catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica

karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut

sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan

biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan

lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan

(dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak

pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh

Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah

segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan

kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi

rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi

rasional. Dalam simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga

bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema

Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari

pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan

prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq.

8

D. Sejarah Bilangan Prima

Dalam sejarah Yunani kuno tercatat nama besar Pythagoras (570 – 500 SM),

ia sangat terkenal lewat `Theorem of Pythagoras` dan memunculkan bilangan

ganda 3 atau dikenal dengan istilah Pythagorean Triples yang sebenarnya telah

ada sejak 1000 tahun sebelum masa Pythagoras. Menurut catatan sejarah bangsa

Babilonia telah mengenal ganda 3 tersebut, yang terkenal dengan nama

Babylonian Triples. Di dalam Babylonian tablet Plimton 322, yang diperkirakan

berasal dari tahun 1700 S M, tercatat Babylonian Triples tersebut ketenarannya

terkalahkan oleh ketenaran nama Pythagorean Triples. Sebenarnya, diantara

keduanya terdapat perbedaan. Pada Babylonian Triples disyaratkan bahwa u dan v

sebagai generator 2uv, u2 – v2 dan u2 + v2 yang merupakan ukuran sisi-sisi

segitiga siku-siku, harus relatif prima dan tidak mempunyai faktor prima selain 2,

3 atau 5. Sebagai contoh, tiga angka seperti (56,90,106) adalah Babylonian

Triples hal ini dimungkinkan karena jika u = 9 dan v = 5 dan disubstitusikan pada

generatornya akan menghasilkan bilangan 56, 90, 106, tetapi untuk ketiga

bilangan (28,45,53) adalah bilangan Pythagorian Triples tetapi bukan Babylonian

Triple, karena untuk u = 7, u memiliki faktor prima 7 bukan 2 atau 3 atau 5.

Bilangan Prima dalam Rumusan Bilangan Sempurna, sesuai karya Euclid

dalam buku IX Elements (300 SM) diberikan bukti dari sebuah proposisi, yaitu :

Jika 2n – 1 adalah prima maka 2n – 1.(2n – 1) adalah bilangan sempurna (perfect

number).

Bukti preposisi tersebut adalah sebagai berikut :

Karena 2m – 1 adalah prima maka 2m – 1 = p dengan p prima sehingga

9

Untuk n = 2m-1.(2m – 1) dan n = 2m-1. p, dengan pembagi-pembagi : 1, 2, 22,

…, 2m-1, p, 2p, …,

2m-1.p

Jumlah pembagi-pembaginya :

1 + 2 + 22 +… + p + 2p +

… + 2m-1.p

S(n) = (1+2+22+…+2m-1).(1+p) = ( 2m-1).(1+p) = p . (1+p),

dengan p = 2 m-1 dan p+1 = 2m- 1+1=2m = p . 2m, sementara

n = 2m-1. p maka 2n = 2.2m-1 . p = 2m . p = p . 2m

Pada masa itu bangsa Yunani telah menemukan 4 bilangan sempurna yaitu 6,

28, 496 dan 8128 (Kart : 458). Berkenaan dengan bilangan sempurna ini, sekitar

2000 tahun kemudian seorang matematikawan Euler pada tahun 1947 telah

mampu menunjukkan bahwa semua bilangan sempurna yang didapat dari

rumusan di atas adalah genap. Tidak diketahui sampai hari ini apakah ada

bilangan sempurna yang ganjil. Teorema ke-20 dari buku IX The Elements

Euclide menyatakan bahwa “ Tidak ada bilangan prima yang terakhir (There is no

last Prime)”. Pernyataan ini menunjukan ketakberhinggaan bilangan prima

(Infinitude of Prime) yang dibuktikan Euclid dengan menggunakan cara

pembuktian kontradiksi.

Untuk hal tersebut perhatikanlah definisi bahwa suatu bilangan p prima jika p ¹1

dan pembagi-pembaginya hanya 1 dan p dengan demikian hanya p½p dan 1½p.

Misalkan p1, p2, p3, …, pn adalah n prima berbeda maka bilangan prima dapat

dinyatakandengan:

10

a = p1 . p2 . p3 . ….pn + 1, maka p1 ½a , karena p1 ½ p1 . p2 . p3 . ….pn dan

andaikan p1½a maka p1 ½(a - p1 . p2 . p3 . ….pn ) atau p1 ½1, tentu hal ini tidak

mungkin terjadi karena hanya 1½1 , sementara p1 prima ( p1¹ 1 ), terjadi

kontradiksi, sehingga yang benar: p1½a dan p2½a, p3½a,…, pn½a

Dengan demikian ada suatu bilangan a yang tidak terbagi oleh bilangan prima

manapun dengan pengambilan suatu n. Dalam hal ini a adalah bilangan prima

yang besarnya ditentukan oleh n. Nilai n dapat membesar sampai tak hingga.

2.2 PERKEMBANGAN TEORI BILANGAN

Sejarah perkembangan sistem bilangan berawal dari zaman Paleolitikum

atau zaman batu tua sekitar 30.000 tahun yang lalu. Tanda yang digunakan untuk

mewakili suatu angka pada zaman tersebut yakni irisan-irisan atau ukiran yang

digoreskan pada dinding gua atau pada tulang, kayu, atau batu. Satu irisan

menandakan satu benda, oleh karena itu sepuluh rusa kutub ditandai oleh sepuluh

ukiran. Banyaknya tanda berkorespondensi satu-satu dengan banyaknya benda

yang dihitung. Karena sistem yang digunakan sangat tidak praktis untuk mewakili

suatu angka,

Di Persia, pada abad kelima sebelum masehi, terjadi suatu perkembangan

sistem bilangan yakni dengan digunakannya simpul-simpul yang disusun pada

tali. Pada abad ketiga belas, suku Inca menggunakan sistem yang sama dengan

mengembangkan quipu, suatu tali yang disusun secara horizontal dimana dari tali

tersebut digantung berbagai macam benang. Jenis simpul yang digunakan,

panjang dari tali, dan warna serta posisi benang menandakan tingkatan kuantitas

satuan, puluhan, dan ratusan. Beberapa peradaban juga menggunakan sistem

11

bilangan untuk merepresentasikan banyaknya obyek yang berbeda-beda yakni

dengan menggunakan berbagai macam bebatuan, seperti bangsa Sumeria yang

menggunakan batu tanah liat yang disebut calculi bahasa latin dari calculi yakni

calculus. Tanah liat bangsa Sumeria tersebut digunakan pada abad keempat

sebelum masehi. Batu tanah liat kecil yang berbentuk kerucut mewakili

banyaknya satu obyek, yang berbentuk bola mewakili banyaknya sepuluh, dan

batu tanah liat besar yang berbentuk kerucut mewakili enam puluh.

A. Penemuan Angka

Penulisan symbol matematika pertama muncul di zaman Babylonia (sekitar

3300 sebelum masehi). Mereka menulis atau menggambar bentuk paku untuk

mewakili satu, sedangkan bentuk V mewakili sepuluh. Sembilan paku dan satu V

berarti sembilan belas. Zaman berkembang dan melahirkan berbagai peradaban

yang juga menggunakan sistem bilangan yang sama dengan bangsa Babylonia.

Bangsa Maya misalnya menggunakan garis sebagai representasi dari angka lima

dan titik yang mewakili angka satu. Mereka menuliskan 19 dengan tiga garis dan

empat titik. Bangsa Mesir kuno menggunakan garis untuk mewakili satuan,

bentuk pegangan keranjang untuk puluhan, bentuk gulungan tali untuk ratusan,

dan bentuk bunga lotus untuk mewakili ribuan. Sistem bilangan tersebut adalah

contoh sistem bilangan penjumlahan, karena nilai dari suatu angka sama dengan

jumlah nilai dari simbol yang mewakilinya. Bangsa Romawi yang menemukan

sistem biilangan Romawi juga dianggap sebagai sistem bilangan penjumlahan.

Misalnya XI berarti 10 + 1 = 11. Keunggulan dari sistem bilangan romawi ini

yakni, apabila menempatkan angka yang lebih kecil di depan sebelum bilangan

12

yang lebih besar maka akan menandakan pengurangan misalnya IX berarti 10 – 1

= 9.

B. Penemuan Sistem Nilai Tempat

Pada sistem bilangan yang telah dituliskan di atas, nilai digit hanya

mempunyai sedikit hubungan bahkan tidak sama sekali terhadap posisi di mana

mereka dituliskan. Bahkan, pada sistem bilangan romawi, meski penempatan

tertentu dapat bermakna pengurangan. I tetap berarti satu meski ditempatkan

sebelum atau sesudah X. C selalu bernilai seratus dimanapun posisinya dituliskan;

MCI berarti seribu seratus satu.Bilangan yang bergantung pada tempat yang

merupakan ciri khas dari sistem bilangan sekarang merupakan gagasan penting

pada evolusi sistem bilangan. Ide dari sistem bilangan tersebut menggunakan

sistem perkalian.

Contohnya yakni digit 2 pada kolom kedua dari kiri menandakan dua kali

sepuluh, tetapi apabila ditempatkan pada kolom ketiga dari kiri berarti dua kali

seratus. Bilangan 1 sampai 9 muncul di India pada prasasti-prasasti di abad ke-13,

namun ide dari angka 0 pada saat itu belum ditemukan. Gabungan angka yang

bergantung tempat dan ide dari angka 0 di India pada abad kelima setelah masehi,

dalam perjalanannya dari Arab ke Eropa, menghasilkan sistem bilangan baru yang

handal. Sistem yang membawa kemajuan dalam perhitungan dan perkembangan

matematika modern. Pada abad ke-9, seorang matematikawan Persia, Muhammad

Ibn Musa al-Khwarismi menulis suatu buku yang berjudul “Buku Penjumlahan

dan Pengurangan dengan Cara Bangsa India” melahirkan ide baru. Buku tersebut

menjadi terkenal di Eropa dan selanjutnya diterjemahkan ke bahasa Latin pada

13

abad ke-12 yang melahirkan kolom aritmetika, yakni menggunakan sistem simpan

dan pinjam pada metode perhitungan. Dari waktu ke waktu kolom aritmetika

dikenal sebagai algorism – nama latin dari al-Khwarismi. Dan sekarang ini, kita

menggunakan istilah algoritma.

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan

oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan

peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama

kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban

helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir

untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan

Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting

pengkajian Matematika Islam.Bertentangan dengan langkanya sumber pada

Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih

daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis

dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku

atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya

rumahan.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun

peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit

metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria

menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan

latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan

Babilonia juga merujuk pada periode ini.Sebagian besar lempengan tanah liat

14

yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi

topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan

bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu

juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan

persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi

√2 yang akurat sampai lima tempat desimal.Matematika Babilonia ditulis

menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah

diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu

jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik

dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak

seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-

tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri

menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem decimal.

C. Perkembangan macam-macam bilangan

Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan

nol, dan bilangan negatif.

Misal : ….-2,-1,0,1,2….

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu)

sampai tak terhingga.

Misal : 1,2,3….

Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0

(nol) sampai tak terhingga.

Misal : 0,1,2,3,….

15

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu

bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

Misal : 2,3,5,7,11,13,…..

(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).

Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan

bilangan prima.

Misal ; 4,6,8,9,10,12,….

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu

pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a

dan b merupakan bilangan bulat).

Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai

pembagian dua bilangan bulat.

Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.

Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan

rasional dan bilangan irrasional

Misal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log2 dan sebagainya.

Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan

i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i = √(-1) maka

i2= -1

D. Lambang Bilangan dan Perkembanganya

Konsep bilangan pada awalnya hanyalah untuk kepentingan menghitung dan

mengingat jumlah. Lambat laun, setelah para ahli matematika menambah

16

perbendaharaan simbol dan kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan,

bahasa matematika ini menjadi sesuatu yang penting dalam setiap perubahan

kehidupan. Tak pelak lagi, bilangan senantiasa hadir dan dibutuhkan dalam sains,

teknologi dan ekonomi bahkan dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.

Berdasarkan fakta sejarah peradaban manusia, dahulu kala ketika orang

primitif hidup di Gua-gua dengan mengandalkan makanannya dari tanaman dan

pepohonan disekitar gua atau berburu untuk sekali makan, kehadiran bilangan,

hitung menghitung atau matematika tidaklah terlalu dibutuhkan. Tetapi, tatkala

mereka mulai hidup untuk persediaan makanan, mereka harus menghitung berapa

banyak ternak miliknya dan milik tetangganya atau berapa banyak persediaan

makanan saat ini, mulailah mereka membutuhkan dan menggunakan hitung

menghitung.

Pada awalnya cukuplah menggunakan konsep lebih sedikit dan lebih

banyak untuk melakukan perhitungan. Misalnya untuk membandingkan dua

kelompok ayam yang berbeda banyaknya seperti pada gambar 1.2, mereka hanya

bisa membandingkan banyak sedikitnya kedua kelompok ayam tersebut. Akan

tetapi, kepastian jumlah tentang milik seseorang atau milik orang lain mulai

dibutuhkan, sehingga mereka mulai mengenal dan belajar perhitungan sederhana.

Mula-mula, manusia menggunakan benda-benda seperti kerikil, sampul

pada tali, jari jemari, atau ranting pohon untuk menyatakan banyaknya hewan dan

kawanannya atau anggota keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar

pemahaman tentang konsep bilangan. Ketika seseorang berfikir bilangan dua,

maka dalam benaknya telah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua

17

buah. Misalnya, dalam gambar 1.3 terdapat dua buah katak dan dua buah kepiting

dan selanjutnya kata “dua” dilambangkan dengan “2”.

Perkembangan selanjutnya menyatakan bilangan dengan menggunakan

contoh benda tersebut di atas dirasakan tidak cukup praktis, maka orang mulai

berfikir untuk menggambarkan bilangan itu dalam suatu lambang. Lambang

(simbol) untuk menulis suatu bilangan disebut angka.

18

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Jika dilihat dari pembahasan di atas, maka pada sejarah telah membuktikan

bahwa matematika, khususnya sistem bilangan pada awalnya tidak seragam,

berbeda di tiap suku bangsa!! Jadi matematika dalam kasus ini sistem bilangan,

sangat mirip dengan bahasa, yakni berbeda di tiap suku bangsa, tapi pada

prinsipnya bisa diterjemahkan satu sama lain.

Dan sebagaimana bahasa inggris mendominasi bahasa yang digunakan di

dunia, maka sistem bilangan basis 10 adalah yang paling banyak disepakati suku

bangsa dan menjadi sistem bilangan internasional. Tapi seperti bahasa juga,

sistem bilangan ini juga mengalami asimilasi, jadi walaupun menggunakan sistem

bilangan basis 10 (desimal), 1 tahun tetap 12 bulan dan 1 jam tetap 60 menit.

3.2 Kritik Dan Daran

Mudah-mudahan tulisan ini bisa bermanfaat khusunya bagi penulis

umumnya bagi pembaca dibidang ilmu matematika.

Dan juga penulis berharap kreitik dan saranya dari pembaca sebagai

follow up dan revisi untuk makalah selanjutnya.

19

DAFTAR PUSTAKA

Anglin, W.S. (1994).Mathematics: A Concise History and Philosophy, Springer-

Verlag, New York.

Evans, P.J. (1970). Mathematics Creation and Study of Form California:Addison

Wesley.

Suryadi,pena,2007,sejarah bilangan, diambil : http://id.shvoong.com/social-

sciences/education/2068232-pengertian-bilangan.html. 28 september 2012

Saripudin,2006,perkembang sejarah bilangan,di ambil dari :

http://adit38.wordpress.com/2010/05/19/asal-usul-sistem-bilangan.html.

28 september 2012

20

21