PENDAHULUAN TEORI BILANGAN

1.1 Notasi dan Simbul

Matematika selalu berkenaan dengan ide-ide dan konsep, oleh karena

itu untuk memudahkan uraian, penjelasan, atau keterangan diperlukan

seperangkat kesepakatan bersama sebagai dasar dalam memahami

matematika sehingga apa yang ingin diketahui menjadi lebih mudah dan

sederhana. Disamping itu dalam matematika diperlukan lambang-

lambang tertentu. Lambang-lambang yang telah disepakati tersebut

mempunyai makna tertentu, dan makna tersebut dinamakan dengan

notasi.

Istilah lain dari notasi adalah simbul. Penggunaan notasi haruslah

disepakati bersama oleh pengguna matematika. Notasi-notasi yang ada

dalam matematika dapat berkaitan dengan himpunan misalnya

penggunaan huruf kapital latin, operasi atau pengerjaan misalnya

penjumlahan beruntun atau perkalian beruntun, hubungan antara unsur

misalnya kesamaan atau ketidaksamaan, atau pernyataan yang

menunjukkan penunjuk misalnya kelipatan persekutuan terkecil, pembagi

persekutuan terbesar dan sebagainya.

Berikut ini dituliskan beberapa notasi dengan artinya.

Notasi yang berkaitan dengan operasi

+ : jumlah

- : selisih

x : perkalian

: : pembagian

: akar kuadrat

: Penjumlahan beruntun

: Perkalian beruntun

: integral

Notasi yang berkaitan dengan hubungan

= : sama dengan

: tidak sama dengan

> : lebih besar daripada

< : lebih kecil daripada

: lebih kecil atau sama dengan

: lebih besar atau sama dengan

: ekuivalen

: sama dan sebangun

: gabungan

: Irisan

: anggota

: bukan anggota

Notasi yang berkaitan dengan petunjuk atau tujuan

KPK : kelipatan persekutuan terkecil (low commond multiple)

FPB : pembagi persekutuan terbesar (great commond devisor)

: implikasi ( jika ... maka ... )

: biimplikasi ( ... jika dan hanya jika ... )

Teori Bilangan 2

┴ : tegak lurus

└ : sudut 90o

║ : sejajar

: himpunan kosong

∆ : segitiga

bujur sangkar (persegi) : ٱ

Notasi yang berkaitan dengan himpunan

a. Himpunan bilangan Nol yaitu {0}

b. N = himpunan bilangan Asli (Natural)

= { 1,2,3,4,5, ... }

c. W = himpunan bilangan Cacah (Whole)

= { 0,1,2,3,4, ... }

d. Z = himpunan bilangan Bulat (Zahlen)

= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } , sehingga dalam bilangan bulat terdapat

bilangan bulat positip (Z+), bulat negatip (Z-) dan bilangan nol

e. Q = himpunan bilangan rasional (Q = Quotient) yaitu bilangan yang

dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a,b Z, b 0 . Bilangan

rasional juga dinamakan dengan bilangan desimal berulang.

Q = { x : x = , a,b Z, b 0 }

f. = himpunan bilangan tak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk dengan a,b Z. b 0 Bilangan tidak

Teori Bilangan 3

rasional juga disebut dengan istilah lain yaitu bilangan desimal tak

berulang.

g. R himpunan bilangan nyata (R = Real) yaitu gabungan dari bilangan-

bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan tidak Rasional. Dengan kata

lain:

R = { N W Z Q }

h. Himpunan bilangan tidak nyata (i = imajiner ) yaitu bilangan yang

dinyatakan dengan i dimana i = .

i. C = himpunan bilangan komplek yaitu bilangan yang dinyatakan dalam

bentuk C = {x : x = a + bi, a,b Z, i = }.

Notasi-notasi tersebut dapat digunakan dengan tujuan untuk

penyimbulan konsep dalam matematika yang sudah disepakati bersama.

Contoh:

1. Jika kita ingin menyatakan jumlah 10 suku pertama dari bilangan

genap adalah dengan menggunakan simbul

2. Diberikan dua bilangan bulat berbeda, misal x dan y. Kita akan

menggunakan simbul > atau < sehingga didapat x > y atau x < y.

3. Untuk menyatakan dua garis lurus L1 dan L2 yang sejajar cukup

menggunakan simbul L1 ║ L2.

Terlihat dari contoh di atas maka penggunaan simbul dalam matematika

memberikan makna singkat dan lugas.

Teori Bilangan 4

1.2 Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan suatu metode yang penting dalam

pembuktian dan sering digunakan dalam berbagai buku. Induksi

matematika merupakan suatu metode yang digunakan untuk membangun

kevalidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli

(N). Walaupun kegunaannya agak dibatasi dalam konteks yang agak

khusus, namun keberadaannya merupakan suatu alat yang sangat

diperlukan dalam cabang-cabang matematika.

Dianggap bahwa kita sudah mengenal bilangan asli N = { 1,2,3, ... },

baik operasi biasa pada penjumlahan dan perkalian dan arti dari suatu

bilangan asli yang satu lebih kecil dari yang lain. Juga dianggap kita sudah

mengenal dengan sifat-sifat dasar dari bilangan asli berikut ini:

Sifat terurut baik dari N menyatakan bahwa setiap subset tidak kosong

dari N mempunyai unsur terkecil. Sifat yang lebih mendetail dari sifat

terurut baik bilangan asli adalah sebagai berikut:

Teorema 1.1

Jika S adalah subset dari N dan jika S , maka terdapat suatu m S

sedemikian sehingga m k, untuk setiap k S.

Prinsip Induksi Matematika

Misal S subset dari N, maka berlaku sifat-sifat:

(1)1 S

Teori Bilangan 5

(2)jika k S, maka (k+1) S, dan S = N

Bukti:

Anggaplah berlaku sebaliknya S N. Maka himpunan N – S tidak kosong

dan selanjutnya dengan sifat terurut dengan baik ia akan memuat suatu

unsur terkecil. Misal m adalah unsur terkecil dari N-S. Karena 1 S, maka

menurut hipotesis (1), kita tahu bahwa m 1. Selanjutnya untuk m > 1

mengakibatkan bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli, Karena m – 1

< m dan karena m adalah unsur terkecil dari N sedemikian sehingga m

S, ia mestilah merupakan kasus bahwa m-1 S.

Selanjutnya kita gunakan hipotesis (2) untuk unsur ke ke k = m – 1 dan

menyimpulkan bahwa k+1 = (m-1) + 1 = m S. Kesimpulan ini

bertentangan dengan pernyataan bahwa m S. Karena m diperoleh

dengan mengasumsikan bahwa N-S tidak kosong, hal ini juga

bertentangan dengan kesimpulan bahwa N-S kosong. Dengan demikian

kita telah menunjukkan bawa S = N.

Bentuk lain dari prinsip Induksi Matematika dinyatakan sebagai berikut:

Untuk setiap n N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang

n, anggaplah bahwa:

(1) P(1) benar

(2) P(k) benar maka P(k+1) benar,

Maka P(n) adalah benar untuk setiap n N.

Contoh

Teori Bilangan 6

Untuk setiap n N, buktikan rumus penjumlahan berikut dengan induksi

matematika.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + n =

Jawab

Untuk n = 1 1 = , sehingga 1 S,

Andaikan untuk n = k diasumsikan bahwa k S, sehingga

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... k =

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 benar, maka

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + k + (k+1) =

, karena n = k+1, maka:

Karena rumus ini terpenuhi untuk n = k+1, kita menyimpulkan bahwa k+1

S. Jadi dari Induksi matematika terpenuhi. Oleh karena itu dengan

Teori Bilangan 7

prinsip induksi matematika kita menyimpulkan bahwa S = N dan rumus

tersebut adalah benar untuk semua n N.

1.3 Prinsip Urutan

Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau

landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip

dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan”

kembali untuk digunakan pada bagian lain suatu konsep yang

memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip urutan

(Well Ordering Principle).

Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara

bilangan-bilangan real. Sebagaimana halnya dalam Struktur Aljabar dari

sistem bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat

urutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan

menggunakan gagasan “kepositipan”.

Definisi 1.1

Misal P subset R dan P . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real

positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

(1) Jika a,b P, maka (a+b) P

(2) Jika a,b P, maka (a.b) P

(3) Jika a R, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi

a P, a = 0, -a P

Teori Bilangan 8

Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi

penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut

sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda.

Dinyatakan bahwa himpunan {-a: a P} dari bilangan real negatip tidak

mempunyai unsur persekutuan dengan P, dan selanjutnya himpunan R

merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.

Definisi 1.2

a. Jika a P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip

kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan a > 0, Jika a P {0},

maka a disebut bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam

bentuk a 0.

b. Jika -a P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real

negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a < 0, Jika -

a P {0}, maka a disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan

dalam bentuk a 0.

c. Jika a, b R dan jika a – b P maka dituliskan dalam bentuk a > b

atau b < a.

d. Jika a,b R dan jika a – b P {0}, maka a b atau b a

Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan a < b < c yang

berarti a < b dan b < c

Demikian juga jika a b dan b c maka a b c. demikian seterusnya.

Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan

Teori Bilangan 9

Teorema 1.2

Misalkan a,b,c R

a. Jika a > b dan b > c maka a > c

b. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi

a > b, a = b , a < b

c. Jika a b dan b a maka a = b

Bukti

a. a > b maka menurut definisi a – b > 0 atau a – b P

b > c maka menurut definisi b – c > 0 atau b – c P

Karena a – b P dan b – c P maka menurut definisi diperoleh

(a-b) + (b-c) P.

Sehingga a – c P atau a > c

b. Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat

salah satu dari yang berikut mungkin terjadi

a – b > 0, atau a-b = 0, atau –(a-b) = 0 sehingga

a > b atau a = b atau a < b.

c. Jika a b, maka a – b 0, sehingga dari bukti (b) kita dapatkan a – b P

atau b-a P yakni a > b atau b > a. Dalam kasus lainnya salah satu

dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a = b.

Teorema 1.3

1. Jika a R dan a 0, maka a2 > 0

2. 1 > 0

Teori Bilangan 10

3. Jika n N, maka n > 0

Bukti

1. Dengan sifat trikotomi jika a 0, maka a P atau –a P. Jika a P

maka dengan definisi kita mempunyai a2 = a, untuk a P. Dengan

cara yang sama Jika -a P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh

bentuk (-a)2 = (-a)(-a) P. Dari teorema sebelumnya berakibat bahwa:

(-a)(-a) = ((-1)a)((-1)a) = (-1)(-1)a2 = a2. Akibatnya bahwa a2 P. Jadi

kita simpulkan bahwa jika a 0, maka a2 > 0.

2. Karena 1 = (1)2, menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa

1 > 0.

3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan

pernyataan ini.

Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita

anggap benar untuk n = k, dengan k bilangan asli.

Karena 1 > 0 dan 1 P, maka k + 1 P, sehingga pernyataan di atas

benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.

Teorema 1.4

Misalkan a,b,c R

1. Jika a > b, maka a+c > b+c

2. Jika a > b, dan c > d maka a+c > b+d

3. Jika a > b, c>0 maka ca > cb

4. Jika a > b, c<0 maka ca < cb

Teori Bilangan 11

5. Jika a >0 maka 1/a > 0

6. Jika a < 0 maka 1/a < 0.

Bukti

1. Karena a > b berarti menurut definisi sebelumnya a – b > 0. Karena a-

b > 0 sehingga a – b P.

(a – b ) = (a-b) + (c-c)

(a – b ) + (c – c ) = (a+c) – (b+c)

Sehingga (a+c) – (b+c) P. Dengan kata lain (a+c) – (b+c) > 0

Karena (a+c) – (b+c) > 0 berarti (a+c) > (b+c)

2. Karena a > b, dan c > d berarti a – b > 0 dan c – d > 0.

Hal ini berarti a - b P dan c – d P.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh

(a-b) + (c-d) P. Dengan kata lain (a-c) + (c-d) > 0, atau

(a+c) – (b+d) > 0 sehingga berlaku (a+c) > (b+d)

3. Karena a > b, dan c > 0 berarti a – b > 0 dan c > 0.

Hal ini berarti a - b P dan c P.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh

(a-b) c P. Dengan kata lain (ac – bc) P, atau

(ac) – (bc) > 0 sehingga berlaku ac > bd

4. Karena a > b, dan c < 0 berarti a – b > 0 dan c < 0 atau –(c) > 0.

Hal ini berarti a - b P dan -c P.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh

(a-b)(-c) P. Dengan kata lain (bc – ac) P, atau

Teori Bilangan 12

(bc) – (ac) > 0 sehingga berlaku bc > ac

5. Jika a > 0, maka a 0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a > 0,

berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1/a 0. Jika 1/a < 0,

berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

1/a > 0.

6. Jika a < 0, maka a 0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a < 0,

berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1/a 0. Jika

1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

1/a < 0.

Teorema 1.5

Jika a,b R, maka a > (a+b) > b.

Bukti.

Karena a > b, maka dapat diperoleh a + a > a + b atau 2a > a + b.

Demikian pula

a > b maka dapat diperoleh a + b > b + b atau a + b > 2b

Dari ketaksamaan 2a > a + b dan a + b > 2b didapatkan

2a > a+b > 2b

a=1/2(2a) > ½(a+b) > ½(2b)=b

a > ½(a+b) > b.

Akibat dari teorema di atas adalah:

Teori Bilangan 13

jika a R dan a > 0 maka a > 1/2a > 0.

1.4 Prinsip Proporsi

Dalam setiap komunikasi, setiap orang penting untuk mempunyai

pikiran yang tepat dalam benaknya. Pernyataan “Setiap mahasiswa IKIP

Budi Utomo mempunyai cita-cita menjadi guru” belumlah merupakan

informasi yang khusus jika ternyata teman yang diajak berkomunikasi

melihat beberapa mahasiswa IKIP Budi Utomo ternyata setelah lulus tidak

menjadi guru.

Dalam matematika, terutama di kelas kita dapat menyampaikan konsep

x2 = 1 di papan tulis, hal ini dimaksudkan apa yang dimaksudkan oleh

penulis dengan huruf x dan angka 1. Apakah x bilangan bulat? Apakah

bukan bilangan? Apakah angka 1 merupakan bilangan asli? atau 1

merupakan konsep yang lain. Dalam matematika seringkali juga muncul

istilah “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk sesuatu”, “ada”, dan

seterusnya.

Misalnya:

1. Untuk setiap bilangan bulat x, x2 = 1.

2. Terdapat suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x2 = 1.

Dari contoh di atas, jelaslah bahwa contoh 1 salah, akan tetapi

contoh 2 adalah benar karena kita dapat memilih a = 1 atau x = -1.

Teori Bilangan 14

Berdasarkan contoh di atas, jika konteks yang dibicarakan adalah

bilangan bulat, maka pernyataan di atas akan menjadi lebih aman jika

disingkat dengan:

Untuk setiap x, x2 = 1 dan terdapat suatu x sedemikian sehingga

x2 = 1. Pernyataan pertama merupakan Universal Quantifier “untuk

setiap”, dan yang membuat pernyataan ini salah adalah pernyataan “

setiap bilangan bulat”. Pernyataan kedua merupakan Existential

Quantifier “terdapat suatu”, dan yang membuat pernyataan ini benar

adalah “ palingb sedikit satu bilangan bulat”. Kedua quantifier ini sering

terjadi sehingg para pengguna matematika menggunakan simbul untuk

menyatakan pernyataan untuk setiap dan simbul untuk menyatakan

terdapat atau ada.

1.5 Konjektur

Teori bilangan penuh dengan masalah-masalah yang belum

terselesaikan atau belum ditemukan jawabnya. Masalah yang belum

terselesaikan tersebut dinamakan konjektur yang diambil dari kata

“conjecture” yang berarti dugaan atau perkiraan. Dalam tulisan ini

diperkenalkan beberapa konjektur, antara lain:

1. Terdapat definisi suatu bilangan perfek, yaitu suatu bilangan bulat

positip yang jumlah pembaginya yang positip adalah dua kali bilangan

dimaksud.

Contoh.

Teori Bilangan 15

Pembagi positip 6 adalah 1, 2, 3, 6

Jumlah pembagi positip bilangan 6 adalah 1 + 2 + 3+ 6 = 12 = 2 x 6.

Pembagi positip bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, 28

Jumlah pembagi positip bilangan 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 =

56 = 2 x 28

Selain 6 dan 28 bilangan perfek yang lain adalah 496, 8.128, dan

33.500.336.

Berkaitan dengan bilangan perfek terdapat konjektur

- Banyaknya bilangan perfek adalah tak hingga.

- Semua bilangan perfek adalah genap.

- Jika (2n – 1) bilangan prima maka 2n-1(2n -1) adalah bilangan perfek.

2. Terdapat definisi suatu pasangan dua bilangan yang sekawan

(amicable), yaitu pasangan dua bilangan bulat positip yang masing-

masing jumlah pembaginya positip (tidak termasuk bilangannya) sama

dengan bilangan yang lain.

220 dan 284 adalah bilangan sekawan, karena:

Jumlah pembagi positip 220 adalah

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Jumlah pembagi positip 284 adalah

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Pasangan bilangan sekawan yang lain adalah 1184 dan 1210, 17296

dan 18416.

Teori Bilangan 16

Suatu konjektur yang berkaitan dengan pasangan dua bilangan

sekawan adalah terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan

bersekawan.

3. Terdapat definisi tentang pasangan bilangan prima (twine prime), yaitu

dua bilangan prima berurutan yang berselisih dua. Beberapa pasangan

pasangan bilangan prima adalah 3 dan 5, 5 dan 7, 17 dan 19, 29 dan

31, 41 dan 43.

Konjektur tentang pasangan bilangan prima menyatakan bahwa

banyaknya pasangan prima adalah tak hingga.

4. Berdasarkan pasangan bilangan prima Goldbach mempunyai 2

konjektur yaitu:

- Setiap bilangan bulat positip genap lebih dari 4 merupakan jumlah

dua bilangan prima ganjil.

Contoh

6 = 3 + 3 14 = 3 + 11

8 = 3 + 5 12 = 5 + 7

10 = 3 + 7 30 = 23 + 7

- Setiap bilangan bulat positip ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah

tiga bilangan prima ganjil.

Contoh

9 = 3 + 3 + 3 13 = 5 + 5 + 3

101 = 11 + 43 + 47 19 = 5 + 7 + 7

11 = 3 + 3 + 5 37 = 11 + 13 + 13

Teori Bilangan 17

5. Selain Goldbach, Pierre Fermat juga mempunyai dua konjektur terkenal

yaitu:

a. + 1 adalah bilangan prima

Untuk n = 0, diperoleh 2 + 1 = 3

Untuk n = 1, diperoleh 4 + 1 = 5

Untuk n = 2 , diperoleh 17

Untuk n = 3, diperoleh 257

Untuk n = 4, diperoleh 65.537

Untuk n = 5, diperoleh 4.294.967.297

b. Untuk n 3, tidak ada bilangan-bilangan bulat positip x,y,z yang

memenuhi hubungan xn + yn = zn

Meskipun masih merupakan konjektur, pernyataan ini sering disebut

sebagai teorema terakhir Fermat. (Fermat’s last theorem)

Soal-soal

1. Tunjukkan formula berikut ini benar.

a. 1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n-1) = n2.

b. 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ..... + n(n+1) =

c. 12 + 32 + 52 + 72 + ..... + (2n-1)2 =

d. 13 + 2 3+ 33 + 43 + ..... + n3 =

2. Jika r 1, tunjukkan bahwa:

Teori Bilangan 18

a + ar + ar3 + ar4 + ..... + arn-1 = , untuk sebarang bilangan

bulat positip n.

3. Misalkan a,b.c. d R, buktikan pernyataan berikut:

a. Jika a < b, b < c maka ad+bc < ac+bd

b. Jika a b dan c < d, maka a+c < b+d

c. a2 + b2 = 0 jika dan hanya jika a=0 atau b=0

4. Carilah bilangan a,b,c,d R yang memenuhi 0 < a < b dan a < d < 0

dan berlaku

(a) ac < bd (b) ac > bd.

5. Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga:

d. x2 > 3x +4

e. 1 < x2 < 4

f. < x

Teori Bilangan 19