KASUS KHUSUS DALAM METODE SIMPLEKSSeperti pada penyelesaian pada metode grafik, pada metode simpleks juga dapat timbul kasus khusus yang mencakup: 1. Alternatif Penyelesaian 2. Penyelesaian tak terbatas 3. Soal tidak fisibel 4. Kemerosotan (Degenerasi) 5. Variabel penyusun tak bersyarat

1. Alternatif PenyelesaianKetika fungsi tujuan sejajar dengan satu batasan yang mengikat (yaitu, satu batasan yang dipenuhi dalam bentuk persamaan oleh pemecahan optimal), fungsi tujuan akan memiliki nilai optimal yang sama di lebih dari satu titik. Alternatif penyelesaian berarti adanya 2 penyelesaian atau lebih yang menghasilkan nilai optimal yang sama. Adanya alternative penyelesaian dalam metode simpleks dapat dilihat pada table optimalnya. Perhatikan elemen pada baris cj zj yang bernilai 0 pada table optimal. Nilai 0 pada baris cj zj selalu bersesuaian dengan variable bebas. Jika ck zk = 0 dalam table optimal, sedangkan variable pada kolom tersebut (= xk) bukanlah variable basis, maka hal ini menunjukkan adanya alternative penyelesaian. Alternatif penyelesaian didapat dengan memaksa variable xk menjadi basis (meskipun sebenarnya tabelnya sudah optimal).

Contoh: Selesaikan soal berikut ini dengan metode simpleks! Maksimumkan f(x1, x2)= 3x1 + x2 Kendala : x1 + 2x2 20 3x1 + x2 20 x1, x2 0 penyelesaian: Bentuk standar masalah tersebut adalah sebagai berikut:

Maksimumkan f(x1 x4) = 3x1 + x2 + 0x3 + 0x4 Kendala : x1 + 2x2 + x3 = 20 3x1 + x2 + x4 = 20 x1, x2,x3,x4 0 Cj (Cb)i 0 0(Xb)i

3 Xj X1 1 3 0 3 0 1 3 0

1 X2 2 1 0 1 5/3 1/3 1 0

0 X3 1 0 0 0 1 0 0 0

0 X4 0 1 0 0 -1/3 1/3 1 -1 bi 20 20 0 40/3 20/3 20 20 20/3

X3 X4 Zj Cj Zj

0 3

X3 X1 Zj Cj-Zj

Bukan basis tapi bernilai nol

Tampak bahwa pada table optimalnya, c2 z2 = 0 meskipun x2 bukan variable basis. Ini menunjukkan adanya alternative penyelesaian yang bisa diperoleh dengan memaksa x2 untuk menjadi basis. Cj (Cb)i 0 3(Xb)i

3Xj

1 X2 5/3 1/3 1 0 1 0 1 0

0 X3 1 0 0 0 3/5 -1/5 0 0

0 X4 -1/3 1/3 1 -1 -1/5 2/5 1 -1 bi 40/3 20/3 20 8 4 20 8 20

X1 0 1 3 0 0 1 3 0

X3 X1 Zj Cj Zj

1 3

X2 X1 Zj Cj Zj

Tampak bahwa table sudah optimal dengan penyelesaian optimal x1 = 4 dan x2 = 8. Perhatikan bahwa pada Tabel diatas juga mengandung alternative penyelesaian karena x3 bukan merupakan variable basis, tapi c3 z3 = 0. Jika kemudian table direvisi lagi dengan

cara memaksakan x3 untuk menjadi basis, maka akan diperoleh kembali table optimal pada Tabel diatas.

2. Penyelesaian Tak TerbatasPenyelesaian tak terbatas berarti f(x) bisa diperbesar (atau diperkecil) sampai titik tak berhingga. Setelah mendapatkan calon basis, langkah berikutnya adalah menguji apakah ada elemen aik (elemen dalam kotak vertical) yang > 0. Jika ada maka langkah berikutnya adalah menghitung nilai dan menentukan variable yang harus keluar dari basis. Akan tetapi apabila semua aik 0, maka berarti penyelesaiannya tak terbatas (bisa dikatakan juga bahwa soal tidak memiliki penyelesaian). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut,

Contoh 1: Maksimumkan f(x1, x2) = 2x1 + 3x2 Kendala: x1 2x2 4 x1 + x2 3 x1, x2 0 Penyelesaian: Bentuk standar simpleks: Maksimumkan f(x1 x5) = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Mx5 Kendala x1 2x2 + x3 =4 x1+ x2 - x4 + x5 = 3 x1 x5 0

Cj (Cb)i 0 -M(Xb)i

2Xj

3 X2 -2 1 -M 3+M 0 1

0 X3 1 0 0 0 1 0

0 X4 0 -1 M -M -2 -1

-M X5 0 1 -M 0 2 1 bi 4 3 -3M 10 3 3

X1 1 1 -M 2+M 3 1

X3 X5 Zj Cj Zj

0 3

X3 X2

Zj Cj Zj

3 -1

3 0

0 0

-3 3

3 -3-M

9

Pada iterasi kedua, c4-z4 = 3 > 0. Karena satu-satunya yang masih bernilai positif, maka x4 menjadi calon basis. Akan tetapi a14 =-2 < 0 dan a24 = -1 0 (untuk kasus memaksimumkan) atau Cj-Zj