KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN DALAM …Solusi deret Taylor menawarkan penyelesaian yang...

KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN DALAM

PENYELESAIAN DERET TAYLOR UNTUK MASALAH

NILAI BATAS ORDE TIGA

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Magister Pendidikan

Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Disusun oleh:

Auxilia Maria Aroran

NIM: 161442027

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN DALAM

PENYELESAIAN DERET TAYLOR UNTUK MASALAH

NILAI BATAS ORDE TIGA

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Magister Pendidikan

Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Disusun oleh:


NIM: 161442027

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020


ii

MATHEMATICAL STUDY AND EDUCATIONAL ASPECTS

IN TAYLOR SERIES SOLUTION FOR A THIRD ORDER

BOUNDARY VALUE PROBLEM

THESIS

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree

of Master Education in Mathematics Education Study Program

Written by:


Student ID: 161442027

MAGISTER OF MATHEMATICS EDUCATION STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND SCIENCE EDUCATION

FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tesis ini saya persembahkan untuk

Tuhan Yesus dan Bunda Maria

Kedua Orang Tua, Nixon Aroran dan Maryke Pontoan

Adik Lafio Aroran & Adik ipar Cyprianus Warouw

Keponakan Karlen Junno Aquinas Warouw dan Kialen Jino Aquino Warouw

Kakek, Nenek, Keluarga Besar dan Sanak Saudara

Pastor Yong Ohoitimur dan keluarga besar Yayasan Pendidikan Lokon

Almamater tercinta, Universitas Sanata Dharma


viii

ABSTRAK

Auxilia Maria Aroran, 2020. Kajian Matematis dan Aspek Pendidikan

dalam Penyelesaian Deret Taylor untuk Masalah Nilai Batas.

Tesis.

Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Berbagai fenomena dalam kehidupan sehari-hari bisa dimodelkan secara

matematis. Terdapat bermacam-macam cara untuk menyelesaikan model yang

telah diperoleh. Solusi deret Taylor menawarkan penyelesaian yang relatif lebih

mudah dan lebih akurat.

Tesis ini bertujuan untuk memperoleh solusi deret Taylor untuk masalah nilai

batas orde tiga. Hasil penelitian juga menunjukkan bahwa solusi deret Taylor

untuk masalah nilai batas orde tiga bisa digunakan untuk mengolah keterampilan

berpikir tingkat tinggi siswa SMA.

Kata kunci: deret Taylor, deret Maclaurin, masalah nilai batas, keterampilan

berpikir tingkat tinggi.


ix

ABSTRACT

Auxilia Maria Aroran, 2020. Mathematical Study and Educational Aspects

on Taylor Series Solution for a Third Order Boundary Value Problem.

Thesis.

Magister of Mathematics Education Study Program, Department of

Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and

Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

Real world phenomenon could be described in a mathematical model. There

are many ways to solve the obtained model. Taylor series solution suggests a

relatively easier solution that is more accurate.

This thesis aims to achieve a Taylor series solution for a third order boundary

value problem. The result of this research also shows that Taylor series solution

for a third order boundary value problem is useful to explore high school students’

higher order thinking skills.

Keywords: Taylor series, Maclaurin series, boundary value problem, higher order

thinking skills.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan atas berkat dan penyertaannya sampai pada

saat penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Tesis yang berjudul “Kajian

Matematis dan Aspek Pendidikan dalam Penyelesaian Deret Taylor untuk

Masalah Nilai Batas Orde Tiga” ini disusun sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Magister Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma. Selama proses penyusunan, tentu saja

penulis menemui berbagai macam hambatan sampai akhirnya bisa selesai berkat

penyertaan Tuhan dan dukungan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih atas

berbagai dukungan yang diterima ingin disampaikan oleh penulis kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

tesis atas semua bentuk bimbingan, arahan dan saran yang diberikan baik

selama proses penyusunan tesis, maupun sejak penulis berada di Program

Studi Magister Pendidikan Matematika ini.

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Magister

Pendidikan Matematika atas semua bentuk saran dan dukungan yang

diberikan selama penulis menempu pendidikan di Program Studi Magister

Pendidikan Matematika ini.

3. Para Dosen yang telah membagikan ilmu pengetahuannya selama penulis

menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma, sejak menempuh

pendidikan sarjana sampai pendidikan magister.

4. Keluarga dan sanak saudara di Manado atas segala bentuk doa, dukungan,

dan dorongan sehingga penulis bisa menyelesaikan tesis ini.

5. Yayasan Pendidikan Lokon yang telah memberikan kesempatan kepada

penulis untuk menempuh pendidikan di USD, serta dorongan dan semangat

yang telah diberikan sampai penulis bisa menyelesaikan tesis.

6. Bapak/Ibu/Saudara/i rekan-rekan mahasiswa seangkatan yang juga

menempuh pendidikan magister di Prodi S2PMat USD atas semangat dan

dorongan selama penulisan, khususnya buat Kak Olive, Wike, Dian, Archa,


xi

Tya. Terima kasih juga atas waktu berdinamika bersama sebagai bagian dari

keluarga Prodi S2PMat USD.

7. Keluarga Besar Program Studi Magister Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma, kakak-kakak dan adik-adik angkatan, juga keluarga besar

JPMIPA, FKIP USD, khususnya karyawan dan staf sekretariat yang baik

secara langsung maupun secara tidak langsung memberikan bantuan kepada

penulis.

8. Clarisa, Valen, Vena, Cia, Rini, dan juga teman-teman Goldenness yang

memberikan semangat dan menjadi teman diskusi selama penulis

mengerjakan tesis.

9. Serta Bofie, Golcha, dan juga semua pihak yang tidak sempat disebutkan di

atas, yang secara tidak langsung telah menyemangati penulis sehingga bisa

menyelesaikan tesis ini.

Penulis menyadari, bahkan dengan bantuan dan keterlibatan dari berbagai

pihak, tulisan ini adalah karya dari penulis, manusia biasa yang tak luput dari

kesalahan. Oleh karena itu, penulis dengan tangan terbuka menerima segala

bentuk kritik dan saran dari pembaca sekalian. Semoga kiranya tulisan ini dapat

bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, Juli 2020

Penulis


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .............................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................ vii

ABSTRAK ........................................................................................................... viii

ABSTRACT ............................................................................................................. ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................. x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL .................................................................................................. xv

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah.................................................................................... 1

B. Tinjauan Pustaka ............................................................................................... 4

C. Rumusan Masalah ............................................................................................. 5

D. Tujuan Penulisan ............................................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ............................................................................................. 5

F. Metode Penelitian ............................................................................................. 5

G. Kebaruan Penelitian .......................................................................................... 6

H. Sistematika Penulisan ....................................................................................... 6

BAB II LANDASAN TEORI .................................................................................. 8

A. Deret Pangkat .................................................................................................... 8

B. Deret Taylor dan Deret Maclaurin .................................................................. 12

C. Teorema-Teorema Pendukung ........................................................................ 20

D. Higher Order Thinking Skill (HOTS).............................................................. 21

BAB III PENYELESAIAN MASALAH NILAI BATAS ..................................... 24

A. Deret Taylor untuk Masalah Nilai Batas Orde Tiga ....................................... 24


xiii

B. Contoh Masalah .............................................................................................. 25

BAB IV ASPEK KEPENDIDIKAN MATERI DERET TAYLOR ...................... 29

A. Deret Taylor untuk Mengolah Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi

Siswa SMA ..................................................................................................... 29

B. Refleksi ........................................................................................................... 30

BAB V PENUTUP ................................................................................................. 34

A. Kesimpulan ..................................................................................................... 34

B. Saran ............................................................................................................... 35

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 36


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Proses Pemodelan ............................................................................... 1

Gambar 2.1 Perbandingan fungsi eksponensial dengan polinomial Taylor

untuk , , .............................................................................. 16

Gambar 3.1 Perbandingan solusi pendekatan dengan solusi eksak ...................... 27


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Error mutlak pada beberapa titik. .......................................................... 27


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Bermacam-macam permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat

melahirkan berbagai konsep matematika. Model matematika adalah deskripsi

matematis (sering kali dalam bentuk fungsi atau persamaan) dari fenomena

dalam kehidupan sehari-hari seperti permintaan konsumen untuk suatu

produk, kecepatan jatuhnya sebuah objek, konsentrasi dari suatu unsur dalam

reaksi kimia, atau biaya pengurangan emisi. Tujuan dari model matematika

adalah untuk memahami suatu fenomena, bahkan mungkin untuk membuat

perkiraan tentang bagaimana perilaku dari fenomena yang dimodelkan di

masa yang akan datang.

Gambar 1.1. Proses pemodelan

Gambar 1.1 menjelaskan proses dari pemodelan matematika. Misalkan

terdapat suatu masalah nyata, hal pertama yang perlu dilakukan yaitu

merumuskan model matematika dengan mengidentifikasi dan menamai

variabel-variabel bebas dan tak bebas, dan membuat asumsi yang

menyederhanakan fenomena terkait sehingga bisa membuatnya mudah

dikerjakan secara matematis. Selanjutnya dengan pengetahuan tentang

hukum-hukum fisika dan matematika yang ada, variabel-variabel dan asumsi-


2

asumsi yang telah dikemukakan kemudian disatukan untuk memperoleh suatu

persamaan. Jika tidak ada hukum-hukum yang bisa dijadikan acuan, maka

yang bisa dilakukan yaitu dengan mengumpulkan data dari mana saja,

kemudian mengolah data tersebut dalam bentuk tabel untuk memperoleh

suatu pola. Selain mendapatkan representasi numeris untuk pola yang

diperoleh, data-data yang dikumpulkan juga bisa diolah dalam bentuk grafik.

Grafik yang diperoleh bisa mengacu pada suatu fungsi atau rumus aljabar

yang cocok.

Tahap kedua yaitu menerapkan teori matematika (seperti kalkulus) ke

dalam model yang telah diperoleh untuk mengambil kesimpulan matematis.

Selanjutnya pada tahap ketiga, kesimpulan tersebut diinterpretasikan sebagai

informasi tentang fenomena nyata yang dimodelkan, bisa sebagai suatu

penjelasan tentang fenomena itu, maupun berupa sebuah prediksi. Langkah

akhir yaitu menguji prediksi yang telah diperoleh dengan data-data baru. Jika

prediksi tersebut tidak cocok dengan data-data baru dari fenomena yang sama,

atau dengan kata lain tidak cocok dengan realitas, maka model yang diperoleh

perlu diperbaiki, dengan demikian mengulang kembali prosesnya.

Tidak ada model matematika yang merupakan representasi akurat dari

situasi nyata, karena model merupakan suatu idealisasi. Model yang baik

menyederhanakan kenyataan, cukup untuk memungkinkan perhitungan

matematis, tetapi juga cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang

berarti.

Terdapat banyak masalah dalam bidang teknik (engineering) yang bisa

dimodelkan dengan persamaan diferensial orde tinggi, yang bisa dituliskan

secara umum dalam bentuk

( )( ) ( ( ))

dimana adalah fungsi nonlinear dari dan turunannya.

Untuk suatu syarat batas yang ditentukan, persamaan di atas dapat

diselesaikan secara numerik atau analitik. Sebagai contoh, perhatikan gerak

dinamik dari suatu batang meruncing (tapered beam). Persamaan pengaturnya

yaitu


3

(

)

dengan melambangkan perpindahan, melambangkan kekakuan,

melambangkan masa jenis, dan melambangkan luasan bagiannya.

Dengan pemisahan variabel, asumsikan

( )

Subsitusikan ke persamaan pengatur, dengan mempertimbangkan bahwa

dan adalah fungsi koordinat, diperoleh persamaan diferensial orde empat

yaitu

( )( ) ( )

Persamaan di atas bisa mendeskripsikan bermacam-macam masalah nilai

batas yang muncul dalam bidang teknik arsitektur, dari pembelokan balok

sampai getaran struktur berskala nano. Terdapat berbagai metode analitik

untuk menyelesaikan persamaan ini, misalnya metode perturbasi homotopi,

metode iterasi variasional, dan lain-lain.

Dalam penelitian ini, yang menjadi pokok bahasan yaitu persamaan

diferensial biasa orde tiga yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) , -

dengan , , dan merupakan konstanta.

Tesis ini membahas pendekatan analitis dengan deret Taylor untuk

persamaan di atas. Lebih jauh lagi, tesis ini membahas penyelesaian deret

Taylor untuk masalah nilai batas orde tiga berkaitan dengan persamaan

diferensial biasa orde tiga di atas.

Selain membahas penyelesaian deret Taylor untuk masalah nilai batas

orde tiga, tesis ini juga memuat eksplorasi aspek pendidikan dari deret Taylor

bagi keterampilan berpikir tingkat tinggi siswa SMA. Konsep berpikir tingkat

tinggi ini berdasar pada Taksonomi Bloom, yang membagi kemampuan

dalam ranah kognitif menjadi enam aspek. Keenam aspek kemampuan

tersebut mencakup aspek mengingat, memahami, menerapkan, menganalisa,

mengevaluasi, dan mencipta. Aspek-aspek yang menjadi bagian dari

kemampuan berpikir tingkat tinggi yaitu aspek menganalisa, mengevaluasi,


4

dan mencipta. Akan dilihat bagaimana deret Taylor bisa digunakan untuk

mengolah kemampuan berpikir tingkat tinggi siswa SMA.

B. Tinjauan Pustaka

Pada bagian ini dituliskan beberapa hasil penelitian yang berkaitan

dengan topik penelitian tesis ini, baik yang berkaitan dengan solusi deret

Taylor, masalah nilai batas, maupun yang berkaitan dengan meningkatkan

keterampilan berpikir tingkat tinggi.

Ji-Huan He dalam tulisannya Taylor Series Solution for a Third Order

Boundary Value Problem Arising in Architectural Engineering berhasil

menerapkan solusi deret Taylor untuk masalah nilai batas orde tiga dengan

proses penyelesaian yang relatif sederhana dan hasil yang lebih akurat. Hasil

penelitian ini mengatakan bahwa metode ini dapat dikembangkan juga untuk

masalah nilai batas lainnya, dan untuk masalah nilai awal. Diperoleh juga

beberapa keuntungan metode ini yaitu selain prosedurnya yang sederhana dan

bisa diterapkan untuk masalah nilai batas dan masalah nilai awal, metode ini

bisa dikembangkan untuk syarat batas yang lebih kompleks. Keuntungan

lainnya yaitu solusi deret Taylor konvergen ke solusi eksaknya, dan bisa

dicari untuk berbagai tingkat akurasi.

Selain solusi deret Taylor, terdapat penelitian yang menggunakan metode

yang lain. Misalnya penelitian oleh Arora dkk. yang dipublikasikan pada

tahun 2018 menggunakan metode hibrid untuk menemukan solusi masalah

nilai batas dengan orde yang lebih tinggi. Tahun 2019, El-Kalla dkk.

menggunakan metode dekomposisi Adomian. Sementara Abdelrahim

mengemukakan solusi numeris dari masalah nilai batas orde tiga

menggunakan metode blok hibrid satu langkah. Solusi deret Taylor juga

pernah digunakan oleh Ji-Huan He dkk. untuk menyelesaikan fractal Bratu-

type equation.

Untuk penelitian yang berkaitan dengan bidang pendidikan, pada tahun

2009 Lewy dkk. mengembangkan soal untuk mengukur kemampuan berpikir

tingkat tinggi siswa SMP dalam pokok bahasan Barisan dan Deret. Penelitian


5

ini memberikan indikator kemampuan berpikir tingkat tinggi untuk aspek

menganalisis, mengevaluasi, dan mencipta.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, masalah-masalah

yang akan dibahas dalam tulisan ini antara lain:

1. Bagaimana menerapkan turunan ke dalam deret Taylor untuk

menyelesaikan masalah nilai batas orde tiga?

2. Bagaimana eksplorasi aspek pendidikan dari turunan dan deret Taylor

bagi keterampilan berpikir tingkat tinggi siswa SMA?

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai oleh penulis selain untuk memenuhi syarat

tugas akhir dalam program studi Magister Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma, yaitu sebagai berikut:

1. Menerapkan konsep turunan ke dalam deret Taylor untuk menyelesaikan

masalah nilai batas orde tiga.

2. Mengeksplorasi aspek pendidikan dari turunan dan deret Taylor bagi

keterampilan berpikir tingkat tinggi siswa SMA.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Dari sisi keilmuan, penerapan konsep turunan ke dalam deret Taylor

untuk menyelesaikan masalah nilai batas orde tiga dapat dipelajari

penggunaannya untuk menyelesaikan masalah-masalah di bidang lain.

2. Dari sisi kependidikan, hasil eksplorasi bisa digunakan untuk

mengembangkan keterampilan berpikir tingkat tinggi siswa SMA.

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir yaitu

studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku dan/atau jurnal yang


6

membahas tentang deret Taylor dan masalah nilai batas, serta buku-buku

SMA yang memuat materi turunan fungsi.

G. Kebaruan Penelitian

Kebaruan penelitian ini yaitu mengimplementasikan hasil dan

pembahasan pada bab ketiga dalam pembelajaran di SMA untuk mengolah

keterampilan berpikir tingkat tinggi siswa.

H. Sistematika Penulisan

Tesis ini disusun dalam lima bab utama yang sistematika sebagai berikut.

1. BAB I PENDAHULUAN

Bab ini memuat latar belakang penelitian, tujuan penulisan, manfaat

penulisan, tinjauan pustaka, kebaruan penelitian, dan sistematika

penulisan. Dalam bab ini, dijelaskan bagaimana masalah sehari-hari

dimodelkan ke dalam model matematika yang bisa diselesaikan untuk

mempelajari perilaku suatu fenomena, lebih lanjut lagi untuk

memprediksi bagaimana perilaku fenomena tersebut di masa yang akan

datang. Model matematika ini yang biasanya berupa fungsi atau

persamaan akan diselesaikan menurut aturan-aturan matematis untuk

mencapai suatu kesimpulan. Penyelesaian model matematika bisa dengan

cara analitis maupun numeris. Dalam tesis ini, model matematika yang

dibahas yaitu masalah nilai batas, dengan penyelesaian melalui deret

Tayor. Tesis ini juga akan membahas eksplorasi aspek pendidikan deret

Taylor untuk mengolah keterampilan berpikir tingkat tinggi siswa SMA.

2. BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini memuat dasar-dasar teori yang berkaitan dengan

pembahasan pada bab selanjutnya. Bab ini mencakup teori tentang deret

pangkat, konvergensi dari deret pangkat, serta deret Taylor dan deret

Maclaurin. Juga terdapat landasan teori untuk aspek pendidikan yaitu

teori tentang keterampilan berpikir tingkat tinggi.


7

3. BAB III. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Bab ini memuat hasil penelitian tentang solusi deret Taylor untuk

masalah nilai batas orde tiga. Selain itu terdapat juga contoh masalah

yang menggunakan deret Taylor.

4. BAB IV. ASPEK KEPENDIDIKAN

Bagian pertama bab ini mengeksplorasi aspek pendidikan dari deret

Taylor yang bisa diterapkan untuk mengolah keterampilan berpikir

tingkat tinggi dari siswa SMA. Deret Taylor dari suatu fungsi

berhubungan erat dengan turunan-turunan dari fungsi bersangkutan.

Konsep turunan fungsi merupakan salah satu pokok bahasan di SMA.

Satu hal yang perlu diperhatikan dalam proses pembelajaran yaitu

keterampilan berpikir tingkat tinggi dari siswa. Keterampilan berpikir

tingkat tinggi mencakup tiga aspek yaitu analisis, evaluasi, dan mencipta.

Bagian pertama bab ini mengkaji bagaimana ketiga aspek tersebut bisa

dicapai selama mempelajari deret Taylor. Siswa akan melakukan analisis

tentang deret Taylor berkaitan dengan akurasi dari deret Taylor.

Selanjutnya siswa akan mengevaluasi apakah deret Taylor yang

diperoleh sungguh-sungguh mendekati fungsi yang dituju. Hasil dari

proses ini yaitu siswa bisa menciptakan suatu fungsi hampiran dalam

bentuk deret Taylor yang menghampiri fungsi asli. Hasil pendekatan

inilah yang kemudian bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah-

masalah nilai batas untuk orde berapapun.

Bagian kedua memuat refleksi dari penulis selama berkuliah di

Program Studi S2 Pendidikan Matematika USD, terutama selama

penyusunan tesis yang sampai beberapakali mengalami perubahan topik

dan judul.

5. BAB V. PENUTUP

Bab terakhir merangkum apa saja yang telah dibahas pada bab-bab

sebelumnya, khususnya bab III dan bab IV. Ada juga saran yang

dikemukakan penulis bagi para pembaca.


8

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini, terdapat subbab-subbab yang merupakan landasan teori yang

mendasari pembahasan pada bab selanjutnya. Bagian pertama membahas tentang

deret pangkat, bagian kedua tentang deret Taylor dan deret Maclaurin (kasus

khusus dari deret Taylor), dan bagian ketiga memuat teorema-teorema yang

sempat disebutkan pada bagian pertama dan kedua, tetapi tidak dibahas lebih

mendalam.

A. Deret Pangkat

Pada bagian ini akan dibahas tentang deret pangkat dan konvergensinya.

Deret pangkat yaitu deret yang berbentuk

∑

(2.1)

dengan merupakan variabel dan melambangkan koefisien suku ke- dari

deret tersebut. Deret pangkat dapat diuji apakah konvergen atau divergen.

Deret pangkat bisa konvergen untuk beberapa nilai dan divergen untuk nilai

lainnya.

Konvergensi dari suatu deret didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.1

Diberikan deret tak berhingga ∑ , misalkan

menotasikan jumlahan parsial deret tersebut, yaitu

∑

Jika barisan * + konvergen dan ada dan merupakan

bilangan real, maka deret ∑ disebut konvergen dan ditulis

atau


9

∑

Dalam hal ini, disebut jumlahan dari deret. Jika barisan * + divergen,

maka deret yang bersangkutan juga divergen.

(2.2)

Dengan demikian, jumlahan dari suatu deret merupakan limit dari barisan

jumlahan parsialnya. Atau bisa ditulis

∑

∑

Sebagai contoh sederhana, tinjau kembali deret geometri yang berbentuk

∑

Jika , maka yang hasilnya menuju

ketika menuju . Karena tidak ada, maka dikatakan bahwa

deret geometri dalam kasus ini divergen.

Jika , maka

dan

Dengan mengurangkan kedua ruas, diperoleh

( ) ( )

( )

Sedangkan bisa dicari bahwa jika , ketika ,

sehingga

( )


10

Jadi, ketika | | , deret geometri akan konvergen dan jumlahannya

adalah

. Sedangkan jika atau , bisa dibuktikan bahwa * +

divergen sehingga tidak ada. Dengan demikian deret geometri

menjadi divergen untuk kasus ini.

Meninjau kembali deret pangkat pada persamaan (1), misalkan

untuk semua , deret pangkat ini menjadi deret geometri yang berbentuk

∑

(2.3)

Seperti pada contoh deret geometri, deret (2.3) akan konvergen ketika

dan divergen ketika | | .

Lebih umum, deret yang berbentuk

∑ ( )

( ) ( )

disebut deret pangkat di ( ) atau deret pangkat yang berpusat pada atau

deret pangkat di sekitar .

Selanjutnya untuk mengetahui nilai yang mana yang membuat deret

konvergen, bisa digunakan berbagai cara, salah satunya dengan tes rasio.

Berkaitan dengan konvergensi dari deret pangkat, terdapat teorema yang

mengemukakan tentang hal ini.

Teorema 1

Untuk suatu deret pangkat ∑ ( ) , hanya terdapat tiga

kemungkinan:

1. Deret konvergen hanya ketika .

2. Deret konvergen untuk semua .

3. Terdapat bilangan positif sedemikian hingga deret konvergen ketika

| | dan divergen ketika | | .

(2.4)


11

Lambang pada kasus ketiga disebut radius konvergensi dari deret

pangkat. Sering juga dikatakan untuk kasus pertama dan untuk

kasus kedua. Sedangkan selang konvergensi dari suatu deret pangkat adalah

selang yang memuat semua nilai yang membuat deret konvergen. Pada

kasus pertama, selang konvergensi hanya memuat satu titik yakni . Pada

kasus kedua, selang konvergensinya adalah ( ). Sedangkan pada kasus

ketiga, perhatikan bahwa | | dapat juga ditulis sebagai

. Ketika merupakan titik ujung dari selang, yakni , deret

bisa konvergen pada satu titik ujung atau keduanya, atau bisa juga divergen

pada kedua titik ujung. Dengan demikian, terdapat empat kemungkinan untuk

selang konvergensi pada kasus ketiga, yaitu

( ) ( - , ) , -

Setelah membahas konvergensi dari deret pangkat, selanjutnya akan

dibahas bagaimana menurunkan dan mengintegralkan deret pangkat.

Jumlahan dari deret pangkat merupakan sebuah fungsi ( ) yaitu

( ) ( ) ( ) ( )

∑ ( )

(2.5)

yang domainnya merupakan selang konvergensi dari deret pangkat. Teorema

berikut mengatakan bahwa penurunan dan pengintegralan deret pangkat dapat

dilakukan dengan menurunkan atau mengintegralkan masing-masing suku

pada deret pangkat seperti halnya pada polinomial. Hal ini disebut penurunan

dan pengintegralan suku demi suku.

Teorema 2

Jika suatu deret pangkat ∑ ( ) memiliki radius konvergensi

, maka fungsi yang didefinisikan dengan

( ) ( ) ( ) ∑ ( )

dapat diturunkan (dan karena itu fungsi kontinu) pada selang (

) dan bahwa


12

(i) ( ) ( ) ( ) ∑( )

(ii) ∫ ( ) ( )

( )

( )

∑

( )

Radius konvergensi deret pangkat pada persamaan (i) dan (ii) adalah .

(2.6)

Dengan catatan, persamaan (i) dan (ii) pada teorema di atas bisa juga

ditulis

(iii)

[∑ ( )

] ∑

, ( ) -

(iv) ∫[∑ ( )

] ∑ ∫ ( )

Juga walaupun Teorema 2 mengatakan bahwa radius konvergensi deret

tetap sama ketika deret pangkat diturunkan atau diintegralkan, bukan berarti

selang konvergensinya juga tetap sama. Hal ini bisa terjadi ketika deret awal

konvergen pada titik ujung, tetapi setelah diturunkan deret menjadi divergen

di titik tersebut.

B. Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Sub-bab ini akan membahas mengenai deret Taylor dan deret Maclaurin.

Misalkan sembarang fungsi yang bisa dinyatakan sebagai deret pangkat

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dimana | | . (2.7)

Akan dicari koefisien dinyatakan dalam . Perhatikan bahwa jika

, maka semua suku kecuali suku pertama pada persamaan (2.7) akan

menjadi 0, sehingga

( )


13

Berdasarkan Teorema 2, turunan dari persamaan (2.7) adalah

( ) ( ) ( ) ( ) (2.8)

Substitusi pada persamaan (2.8) diperoleh

( )

Selanjutnya dengan menurunkan kedua sisi pada persamaan (2.8),

diperoleh

( ) ( ) ( ) (2.9)

Substitusi lagi ke persamaan (2.9) diperoleh

( )

Proses ini dilakukan sekali lagi dengan menurunkan persamaan (2.9),

diperoleh

( ) ( ) ( ) (10)

Substitusi ke persamaan (2.10) diperoleh

( )

Bisa dilihat polanya, jika persamaannya diturunkan terus kemudian

substitusi , akan diperoleh

( )( )

sehingga koefisien ke- yakni bisa diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan tersebut, yaitu

( )( )

Bentuk ini tetap berlaku untuk , mengingat dan ( ) .

Hal ini membuktikan teorema berikut.

Teorema 3

Jika dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan perluasan di sekitar

, yaitu jika

( ) ∑ ( )

| |

maka koefisien-koefisiennya dinyatakan oleh


14

( )( )

(2.11)

Dengan substitusi kembali ke deret semula, terlihat bahwa jika dapat

dinyatakan dalam deret pangkat dengan perluasan di sekitar maka

bentuknya akan menjadi

( ) ∑ ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

(2.12)

Deret pada persamaan 6 ini disebut deret Taylor dari fungsi di sekitar .

Untuk kasus khusus , deret Taylor tersebut menjadi

( ) ∑ ( )( )

( ) ( )

( )

(2.13)

Kasus khusus ini diberi nama Deret Maclaurin.

Perlu diingat bahwa jika dapat dinyatakan dalam deret pangkat di

sekitar , maka nilai fungsi akan sama dengan jumlah dari deret Taylornya.

Contoh 1

Tentukan Deret Maclaurin dari fungsi ( ) dan radius

kovergensinya.

Penyelesaian

Jika ( ) , maka ( )( ) sehingga ( )( ) untuk

setiap . Diperoleh deret Taylor untuk di sekitar 0 (dengan kata lain deret

Maclaurin) yaitu

∑ ( )( )

∑


15

Untuk mencari radius konvergensinya, misalkan . Maka

|

| |

( )

|

| |

Dengan uji rasio, deret ini konvergen untuk semua maka radius

konvergensinya yaitu .

Kesimpulan yang bisa diambil dari Teorema 1 dan Contoh 1 yaitu jika

bisa dinyatakan dalam deret pangkat di sekitar 0, maka

∑

Selanjutnya akan dilihat apakah benar-benar bisa dinyatakan dalam

deret pangkat.

Ada baiknya untuk mencari tahu terlebih dahulu dalam keadaan yang

bagaimana suatu fungsi akan bernilai sama dengan jumlahan deret Taylornya.

Dengan kata lain, jika bisa diturunkan tak hingga banyak kali, akan dilihat

kapan

( ) ∑ ( )( )

( )

berlaku. Untuk deret konvergen, ( ) merupakan limit dari barisan jumlahan

parsialnya. Atau dalam kasus deret Taylor, jumlahan parsialnya yaitu

( ) ∑ ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

Perhatikan bahwa merupakan polinoial berderajat yang disebut

dengan polinomial Taylor derajat ke- dari di sekitar . Sebagai contoh,

untuk fungsi eksponensial ( ) , hasil pada Contoh 1 menunjukkan

polinomial Taylor di sekitar 0 (atau polinomial Maclaurin) dengan , ,

dan yakni


16

( )

( )

( )

Grafik fungsi eksponensial dan ketiga polinomial Taylor di atas

ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 2.1. Perbandingan fungsi eksponensial dengan polinomial

Taylor untuk , ,

Secara umum, ( ) merupakan jumlahan deret Taylornya jika

( )

( )

Jika dimisalkan ( ) ( ) ( ) sedemikian sehingga ( )

( ) ( ) , maka ( ) disebut sisa dari deret Taylor. Dapat

ditunjukkan bahwa jika ( ) , berlaku

( )

, ( ) ( )- ( )

( ) ( )

Dengan demikian, teorema berikut terbukti.


17

Teorema 4

Jika ( ) ( ) ( ) , dengan ( ) adalah polinomial Taylor

derajat ke- dari di sekitar dan ( ) untuk | | ,

maka sama dengan jumlahan dari deret Taylor pada interval | |

(2.14)

Untuk menunjukkan bahwa ( ) untuk fungsi tertentu,

digunakan teorema berikut.

Teorema 5. Ketaksamaan Taylor

Jika | ( )( )| untuk | | , maka sisa ( ) dari deret

Taylor memenuhi ketaksamaan

| ( )|

( ) | | untuk | |

(2.15)

Untuk melihat bahwa teorema ini berlaku untuk , asumsikan

| ( )| . Secara khusus, ( ) , sehingga untuk

diperoleh

∫ ( )

∫

Anti turunan dari adalah , sehingga dengan teorema fundamental

kalkulus diperoleh

( ) ( ) ( ) atau ( ) ( ) ( )

sehingga

∫ ( )

∫ , ( ) ( )-

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

Tetapi karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,

maka


18

( )

Menggunakan argumen serupa, dengan ( ) , bisa dicek bahwa

( )

( )

sehingga

| ( )|

| |

Meskipun asumsi awalnya , perhitungan yang sama akan

menunjukkan bahwa pertidaksamaan ini juga berlaku untuk .

Hal ini membuktikan ketaksamaan Taylor untuk kasus ketika .

Hasil untuk sembarang dapat diperoleh dengan cara yang sama, dengan

mengintegral kali.

Dalam menerapkan Teorema 2 dan 3, lebih sering digunakan fakta

berikut.

untuk setiap bilangan real (2.16)

Fakta ini berlaku karena berdasarkan Contoh 1, deret ∑ konvergen

untuk semua sehingga suku ke- deretnya mendekati 0.

Contoh 2

Buktikan bahwa sama dengan jumlahan dari deret Maclaurinnya.

Penyelesaian

Jika ( ) , maka ( )( ) untuk setiap . Jika sebarang

bilangan positif dan | | , maka | ( )( )| . Ketaksamaan

Taylor dengan dan mengatakan bahwa

| ( )|

( ) | | untuk | |

Perhatikan bahwa konstata berlaku untuk setiap nilai . Dari

persamaan (2.10),


19

( ) | |

| |

( )

( ) | |

| |

( )

Berdasarkan teorema apit (Squeeze Theorem), karena | ( )|

maka ( ) untuk semua . Dengan Teorema 2, sama

dengan jumlahan deret Maclaurinnya, yaitu

∑

untuk semua (2.17)

Secara khusus, substitusi ke persamaan (11), diperoleh nilai untuk

sebagai penjumlahan dari deret tak berhingga yang berbentuk

∑

(2.18)

Contoh 3

Tentukan deret Taylor untuk ( ) di sekitar .

Penyelesaian

Diketahui ( )( ) , sehingga substitusi ke persamaan (2.6)

menghasilkan

∑ ( )( )

( )

∑

( )

Bisa diperiksa bahwa seperti Contoh 1, radius konvergensinya yaitu

. Di Contoh 2 telah diperiksa bahwa ( ) sehingga

diperoleh

∑

( )

untuk semua (2.19)

Dari Contoh 2 dan 3, diperoleh dua deret pangkat untuk , yaitu deret

Maclaurin pada persamaan (2.11) dan deret Taylor pada persamaan (2.13).


20

Deret pertama lebih baik digunakan jika yang diamati yaitu ketika nilai

yang dekat dengan 0, sementara deret kedua lebih baik digunakan untuk nilai

yang dekat dengan 2.

C. Teorema-Teorema Pendukung

Pada bagian ini akan dipaparkan beberapa teorema yang sempat

disebutkan pada bagian sebelumnya.

1. Teorema Apit

Jika ( ) ( ) ( ) ketika dekat dengan (kecuali mungkin

pada ) dan

( )

( )

maka

( )

2. Teorema Fundamental Kalkulus

Misalkan kontinu pada selang , -.

1. Jika ( ) ∫ ( )

, maka ( ) ( )

2. ∫ ( )

( ) ( ), dengan sebarang anti turunan dari ,

yaitu .

Bagian 1 bisa ditulis dengan

∫ ( )

( )

yang sekaligus mengatakan bahwa jika punya integral dan integralnya

bisa diturunkan, maka hasilnya akan kembali lagi ke fungsi awal yaitu .

Dan karena ( ) ( ), bagian 2 bisa juga ditulis dengan

∫ ( )

( ) ( )

yang sekaligus mengatakan jika terdapat suatu fungsi yang diturunkan

kemudian diintegralkan kembali, maka hasilnya adalah fungsi itu


21

sendiri, tetapi dalam bentuk ( ) ( ). Dengan menyatukan keduanya,

bagian pertama bersama dengan bagian kedua menegaskan bahwa

penurunan dan pengintegralan merupakan proses yang berkebalikan.

D. Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi

Salah satu keterampilan berpikir adalah berpikir tingkat tinggi (higher

order thinking) atau HOT. Kemampuan berpikir tingkat tinggi merupakan

suatu kemampuan berpikir yang tidak hanya membutuhkan kemampuan

mengingat saja, namun membutuhkan kemampuan lain yang lebih tinggi,

seperti kemampuan berpikir kreatif dan kritis. Berpikir Tingkat Tinggi terjadi

ketika seseorang mengambil informasi baru dan informasi yang tersimpan

dalam memori dan saling terhubungkan atau menata kembali dan memperluas

informasi ini untuk mencapai tujuan atau menemukan jawaban yang mungkin

dalam situasi membingungkan. Tugas guru selanjutnya adalah bagaimana

mengajarkan keterampilan berpikir secara eksplisit dan memadukannya

dengan materi pembelajaran khususnya mata pelajaran matematika yang

dapat membantu para siswa untuk mengembangkan kemapuan berpikir

tingkat tingginya atau dengan kata lain guru harus bisa mengintegrasikan

level berpikir ini dalam proses belajar dan evaluasi.

Taksonomi Bloom dianggap merupakan dasar bagi berpikir tingkat tinggi.

Bloom membagi kemampuan dalam ranah kognitif menjadi enam aspek. Tiga

aspek diantaranya menjadi bagian dari kemampuan berpikir tingkat tinggi

atau higher-Level thinking. Ketiga aspek itu adalah aspek analisa (C4), aspek

evaluasi (C5) dan aspek mencipta (C6). Sedang tiga aspek lain dalam ranah

yang sama, yaitu aspek mengingat (C1), aspek memahami (C2), dan aspek

aplikasi (C3), masuk dalam bagian intilektual berpikir tingkat rendah atau

lower order thinking (LOT).

Stein dan Lane (dalam Thomson 2008) mendefinisikan berpikir tingkat

tinggi adalah menggunakan pemikiran yang kompleks, non algorithmic untuk

menyelesaikan suatu tugas, ada yang tidak dapat diprediksi, menggunakan

pendekatan yang berbeda dengan tugas yang telah ada dan berbeda dengan


22

contoh. Senk, et al (dalam Thomson 2008) menjelaskan karakteristik berpikir

tingkat tinggi adalah kemampuan untuk menyelesaikan tugas-tugas dimana

tidak ada algoritma yang telah diajarkan, yang membutuhkan justifikasi atau

penjelasan dan mungkin mempunyai lebih dari satu solusi yang mungkin

(Lewy, 2009). Dari definisi-definisi diatas disimpulkan bahwa pengukuran

kemampuan berpikir tingkat tinggi dalam penelitian ini mempunyai indikator

non algorithmic, cenderung kompleks, memiliki solusi yang mungkin lebih

dari satu (open ended approach), membutuhkan usaha untuk menemukan

struktur dalam ketidakteraturan.

Menurut Krathworl (dalam Lewy, 2009) dalam A revision of Bloom’s

Taxonomy: an overview – theory Into Practice, indikator untuk mengukur

kemampuan berpikir tingkat tinggi meliputi:

1. Menganalisis

a. Menganalisis informasi yang masuk dan membagi-bagi atau

menstrukturkan informasi kedalam bagian yang lebih kecil untuk

mengenali pola atau hubungannya.

b. Mampu mengenali serta membedakan faktor penyebab dan akibat

dari sebuah skenario yang rumit.

c. Mengidentifikasi/merumuskan pertanyaan.

2. Mengevaluasi

a. Memberikan penilaian terhadap solusi, gagasan, dan metodologi

dengan menggunakan kriteria yang cocok atau standar yang ada

untuk memastikan nilai efektivitas atau manfaatnya.

b. Membuat hipotesis, mengkritik dan melakukan pengujian.

c. Menerima atau menolak suatu pernyataan berdasarkan kriteria yang

telah ditetapkan.

3. Mencipta

a. Membuat generalisasi suatu ide atau cara pandang terhadap sesuatu.

b. Merancang suatu cara untuk menyelesaikan masalah.

c. Mengorganisasikan unsur-unsur atau bagian-bagian menjadi struktur

baru yang belum pernah ada sebelumnya.


23

Hasil penelitian Thompson (dalam Hobri, 2015:6-7) tentang interpretasi

guru di USA menunjukkan bahwa guru-guru Matematika mendefinisikan

HOT sebagai discoverinng pattern, solving word problems, interpreting

information, complex information, conceptual understanding, critical

thinking or analyzing. Dengan demikian, HOT dapat dipandang sebagai: (1)

menemukan pola/rumus, bukan langsung diberikan dan digunakan, (2)

menyelesaikan pemecahan masalah terutama pada soal cerita, (3)

menginterpretasi informasi dengan bahasanya sendiri atau menggunakan

bahasa/kalimat lain, (3) memahami informasi yang kompleks, (4) pemahaman

konseptual, bukan sekedar prosedural, (5) berfikir kritis, dapat menganalisis

secara detail unsur-unsur yang harus dikaji.


24

BAB III

PENYELESAIAN MASALAH NILAI BATAS

Bab ini dibagi dalam dua subbab yang akan membahas bagaimana solusi

deret Taylor untuk masalah nilai batas orde tiga beserta contohnya.

A. Deret Taylor untuk Masalah Nilai Batas Orde Tiga

Pada sub-bab ini, akan dicari solusi deret Taylor untuk masalah nilai

batas.

Perhatikan persamaan diferensial biasa orde tiga berikut.

( ) ( ) ( ) ( ) , - (3.1)

dengan , , dan adalah konstan.

Dengan menurunkan persamaan (1) kali terhadap , diperoleh

, ( )- (3.2)

kemudian dengan mengatur pada persamaan (2), bisa diperoleh nilai

dari ( )( ).

Asumsikan

( ) (3.3)

dengan suatu konstanta tidak diketahui. Solusi deret Taylornya adalah

( ) ∑

( )( )( )

(3.4)

Dengan syarat batas ( ) , dari persamaan (3.4), dapat ditentukan,

dan diperoleh solusi perkiraan. Solusi deret konvergen ke solusi eksak ketika

menuju tak hingga. Solusi deret dengan orde lebih tinggi memperkirakan

akurasi lebih tinggi dari solusi perkiraan, sehingga akurasi berapapun dapat

diperoleh.

Untuk menunjukkan proses penyelesaian, perhatikan contoh sederhana

(3.5)

dengan syarat awal


25

( ) (3.6)

Menurunkan persamaan (3.5) sebanyak dua kali, diperoleh

(3.7)

(3.8)

Dengan menetapkan pada persamaan (3.5), (3.7), dan (3.8),

diperoleh

( ) ( ) (3.9)

( ) ( ) ( ) (3.10)

( ) ( ) ( ) ( ) (3.11)

Solusi deret Taylor orde ketiganya yaitu

( ) ( ) ( )

( )

( )

(3.12)

Penyelesaian bisa diteruskan untuk memperoleh solusi perkiraan orde ke-

, yaitu

( ) ( ) (3.13)

Ketika menuju tak hingga, diperoleh

( )

(3.14)

yang merupakan solusi eksak.

Solusi deret Taylor konvergen ke solusi eksak, dimana solusi orde yang

lebih tinggi memperkirakan akurasi yang lebih tinggi, sehingga dapat

diperoleh solusi perkiraan untuk sembarang akurasi.

B. Contoh Masalah

Perhatikan persamaan berikut.

( ) ( ) ( ) (3.15)

Bentuk tersebut diberikan oleh Abdelrahim dalam artikelnya Maret 2019,

dan hasil akurat diperoleh dengan metode blok hibrid satu langkah.

Menurunkan persamaan (3.15) terhadap diperoleh

( ) (3.16)


26

( ) (3.17)

( ) (3.18)

( ) ( ) (3.19)

Asumsikan

( ) (3.20)

dimana konstanta tak diketahui yang nilainya akan dicari kemudian.

Dengan mengatur pada persamaan (3.15)-(3.19), dengan syarat

awal ( ) , ( ) , dan ( ) , diperoleh

( ) (3.21)

( )( ) (3.22)

( )( ) (3.23)

( )( ) (3.24)

( )( ) (3.25)

Solusi deret Taylor dapat dituliskan sebagai berikut

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

(3.26)

Menggunakan syarat batas ( ) , diperoleh

( )| {

( )

}|

( )

(3.27)

Dari persamaan tersebut, diperoleh nilai , yaitu

(3.28)


27

Solusi perkiraannya menjadi

( )

(3.29)

Perbandingan antara solusi eksak dan solusi perkiraan terlihat pada

Gambar 3.1, dengan error mutlak diberikan pada Tabel. 3.1 untuk titik-titik

berbeda.

Gambar 3.1. Perbandingan solusi pendekatan dengan solusi eksak.

Abs|Exa-App|

0 0.000000000000002

0.1 0.001549000715525

0.2 0.002135816866002

0.3 0.001973919783068

0.4 0.001284477260845

0.5 0.000296559425368

0.6 0.000750773107341

0.7 0.001603524000466

0.8 0.001983735685903

0.9 0.001574895753898

1 0.000000000000000

Tabel 3.1. Error mutlak pada beberapa titik.


28

Seperti pada Gambar 3.1, solusi numeris dan solusi perkiraan mencapai

maksimum pada dengan error relatif , yang menunjukkan

bahwa metode ini terpercaya dan efektif, dan akurasinya bisa ditingkatkan

lagi jika solusi deret dengan orde lebih tinggi diselesaikan.

Untuk memperjelas keuntungan metode diatas, akan dibandingkan

dengan metode iterasi variasional. Algoritma dari iterasi tersebut dapat

dituliskan dalam bentuk

∫

( ) ( ( ) )

(3.30)

Misalkan dugaan awal bentuknya

(3.31)

dengan konstata tidak diketahui.

Dengan menggunakan rumus

∫

( )

( )( ) (3.32)

diperoleh solusi pendekatan orde satu

∫

( ) (( ) )

( )

(3.33)

Iterasi dapat dilanjutkan tanpa kesulitan, tetapi penghitungan menjadi

lebih kompleks untuk solusi pendekatan dengan orde lebih tinggi. Jika iterasi

dihentikan sebelum iterasi kedua, dapat ditentukan dari ( ) , yang

menghasilkan

Jelas bahwa solusi pendekatan orde satu dengan cara ini memiliki akurasi

yang lebih rendah.


29

BAB IV

ASPEK KEPENDIDIKAN MATERI DERET TAYLOR

Materi pada bab sebelumnya telah menjabarkan bagaimana memperoleh

solusi deret Taylor untuk masalah nilai batas orde tiga dan juga contohnya. Pada

bab ini akan dibahas mengenai aspek pendidikan yang bisa dikembangkan dari

deret Taylor. Bab ini dibagi menjadi dua bagian yaitu bagian pertama yang

memuat eksplorasi aspek pendidikan turunan dan deret Taylor

A. Deret Taylor untuk Mengolah Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi

Deret Taylor berkaitan erat dengan turunan, karena deret Taylor

memuat hampiran suatu fungsi yang nilainya merupakan penjumlahan dari

tak hingga banyak suku-suku yang terdiri dari turunan-turunan fungsi yang

bersangkutan. Dalam pembelajaran di SMA, pembahasan mengenai turunan

fungsi dimulai dari gradien garis singgung.

Sesuai kurikulum 2013 yang menekankan pada pengalaman belajar

siswa untuk berpikir kritis dan kreatif dalam mempelajari suatu konsep, siswa

dituntut untuk menemukan dan mengembangkan konsep-konsep yang

berkaitan dengan hal yang menjadi pokok bahasan. Langkah awal bagi siswa

untuk mempelajari turunan yaitu dengan memahami bahwa dalam suatu

grafik fungsi, turunan fungsi pada suatu titik merupakan gradien garis

singgung kurva fungsi di titik terkait. Langkah selanjutnya yaitu memahami

turunan sebagai limit fungsi. Kemudian siswa akan mempelajari bagaimana

menentukan turunan dari bermacam-macam fungsi, sampai berlanjut pada

aplikasi konsep turunan untuk masalah maksimum dan minimum, juga

masalah sehari-hari lainnya.

Salah satu yang penting dibahas yaitu tentang turunan fungsi polinomial.

Penurunan deret Taylor sendiri mirip dengan teknik penurunan fungsi

polinomial, yaitu dengan menurunkan suku demi suku. Hal ini tentu bisa

dikerjakan siswa SMA, jika para siswa bisa mengerjakan soal-soal tentang

turunan fungsi polinomial.


30

Lebih lanjut lagi, jika diberi nilai batas, maka nilai dari fungsi hampiran

bisa dicari. Hasil ini kemudian bisa dibandingkan dengan nilai dari fungsi

yang asli. Pembelajaran ini bisa diawali dengan mengambil contoh-contoh

sederhana seperti fungsi eksponensial sebagai fungsi asli yang akan dihampiri.

Dalam praktek pembelajaran ini, bisa diteliti bahwa aspek-aspek keterampilan

berpikir tingkat tinggi berperan selama proses memperoleh fungsi hampiran

dengan deret Taylor. Aspek-aspek tersebut antara lain:

1. Menganalisis

Tahap analisis muncul ketika siswa memperoleh nilai hasil

perhitungan dari fungsi hampiran misalnya dengan berbagai orde,

kemudian membandingkannya dengan nilai dari fungsi yang asli. Dari

sini siswa akan menganalisis bahwa setiap orde memiliki tingkat akurasi

yang berbeda-beda, dimana semakin tinggi orde dari fungsi hampiran,

maka akan semakin akurat nilai yang diperoleh, dengan kata lain semakin

dekat nilainya dengan nilai dari fungsi aslinya.

2. Mengevaluasi

Dengan membandingkan hasil yang diperoleh masing-masing, para

siswa bisa melihat, dalam hal ini mengevaluasi apakah deret yang mereka

dapatkan benar-benar mendekati fungsi aslinya.

3. Mencipta

Dengan menemukan deret untuk menghampiri suatu fungsi, para

siswa sudah mengembangkan atau menciptakan rumusan baru untuk

menyelesaikan masalah, yang salah satunya jika dikaitkan dengan tesis

ini, yaitu masalah nilai batas.

Melalui pemaparan di atas, nampak bahwa pembelajaran deret Taylor

bisa mengolah keterampilan berpikir tingkat tinggi siswa, yakni mengasah

kemampuan menganalisis, mengevaluasi, dan mencipta.

B. Refleksi

Sejak awal, pilihan untuk kuliah di Program Studi S2 Pendidikan

matematika merupakan suatu tantangan tersendiri bagi saya. Melanjutkan


31

kuliah S2 hanya dalam kurun waktu sekitar 2 minggu setelah dinyatakan lulus

dari program s1 termasuk salah satu hal yang membuat saya kepayahan.

Mungkin bisa dikatakan juga kalau saat itu saya sebenarnya belum siap untuk

langsung meneruskan kuliah, apalagi dengan situasi yang membuat saya

'pindah jalur', karena harus mempelajari ilmu pendidikan. Bermodalkan tekad

untuk mengenali sekaligus mempelajari dunia pendidikan, saya menguatkan

diri untuk melanjutkan pendidikan saya di Program Studi S2 Pendidikan

Matematika ini.

Dengan tekad yang sama, saya mengambil mata kuliah pilihan yang

berkaitan dengan pendidikan, juga memutuskan untuk menyusun tesis untuk

bidang pendidikan. Ketika mulai menentukan topik penelitian di awal

semester, saya mengalami banyak kendala. Hambatan yang paling besar yaitu

untuk menentukan topik tesis berkaitan dengan pendidikan, sementara waktu

itu saya tidak tahu apa-apa soal teori-teori pembelajaran, atau ilmu

pendidikan secara umum. Mengatasi hambatan tersebut, saya berhasil

menentukan topik untuk menyusun tesis. Sayangnya, karena kurang inisiatif

untuk bertanya kepada dosen maupun teman-teman, topik yang saya ajukan

kurang matang. Karenanya, saya mencari topik lain untuk diteliti. Tidak jauh

berbeda dari saat mengerjakan topik yang pertama, saya masih kurang

inisiatif untuk konsultasi, bahkan kepada dosen pembimbing saya waktu itu.

Selama berbulan-bulan, proposal tesis saya tidak mengalami perkembangan

yang signifikan karena memang jarang konsultasi. Ditambah lagi, mencari

tempat untuk penelitian lapangan merupakan hambatan tersendiri bagi saya.

Sebelumnya ketika praktek untuk tugas mata kuliah, saya memiliki rekan satu

kelompok yang membuat hal-hal berkaitan dengan praktek menjadi tak

berkendala. Terjadinya masalah yaitu ketika saya harus memikirkan sendiri

segala hal yang berkaitan dengan penelitian, sementara saya belum pernah

melakukan penelitian sendiri, dan masih merasa belum berpengalaman untuk

bisa melakukan semuanya sendirian. Alhasil, sampai tahun 2018 berakhir,

saya belum mendapat data apapun sebagai hasil penelitian.


32

Pada awal tahun 2019, saya akhirnya bisa melakukan penelitian lapangan,

walaupun dipenuhi dengan macam-macam keterbatasan. Mulai dari perizinan

ke sekolah yang seadanya. Saya akhirnya melakukan penelitian di SMA

Lokon St. Nikolaus Tomohon, bukan di salah satu sekolah yang terletak di

daerah Yogyakarta. Dengan HLT (Hypothetical Learning Trajectory) yang

telah disusun sebelumnya, saya memulai penelitian awal di bulan Februari.

Karena satu dan lain hal, siswa kelas X yang menjadi subjek penelitian harus

mengalami perombakan kelas, jadi penelitian saya tertunda. Hal ini tentu saja

menjadi hambatan, tetapi di lain pihak justru menjadi kesempatan untuk

memperbaiki HLT dari hasil uji coba. Dari penelitian itu, saya merombak

HLT awal, yang menjadi salah satu keterbatasan penelitian. HLT yang baru

tidak dikonsultasikan ke dosen, jadi penelitian yang akhirnya terlaksana

dilakukan berdasarkan HLT seadanya. Pun ketika penelitian, kelas uji coba

dan kelas penelitian yang harusnya berselang beberapa waktu agar bisa

dilakukan perbaikan HLT, terpaksa dilakukan dengan jeda satu jam istirahat,

sehingga revisi HLT untuk kelas penelitian hanya punya waktu selama jam

istirahat.

Penelitian lapangan sudah terlaksana, tinggal mewawancarai siswa untuk

melengkapi data penelitian. Akan tetapi karena waktu itu sudah mulai banyak

libur, sedangkan pertemuan dengan siswa sulit diatur, data wawancara yang

penting menjadi tidak ada. Dengan dorongan dari dosen pembimbing, saya

akhirnya mulai menganalisis data seadanya, walaupun dengan berat hati

karena data tidak lengkap. Masalah lain muncul ketika data rekaman diskusi

di kelas yang tersimpan di SD card hilang. Niat untuk meneruskan analisis

menjadi semakin mengecil. Saya sempat berniat untuk menganti topik lagi

menjadi topik yang sempat saya presentasikan dalam sebuah seminar, tapi

saya sadar, dalam topik itu juga terdapat banyak kekurangan, sehingga saya

tetap bertahan dengan untuk melanjutkan analisis pada penelitian lapangan

yang saya lakukan.

Berbulan-bulan terlewatkan, saya masih belum bisa menyelesaikan

analisis untuk bab keempat tesis saya, sampai akhirnya Pak Sudi


33

menghubungi saya dan menawarkan topik untuk dijadikan tesis. Mengikuti

saran dan arahan Pak Sudi, saya akhirnya bisa menyusun tesis saya sampai

sejauh ini. Saya sungguh berterima kasih karena Pak Sudi bersedia membatu

saya menyelesaikan tesis. Secara garis besar penyusunan tesis ini

memberikan pelajaran bagi saya untuk lebih berinisiatif untuk bertanya kalau

kesulitan, tidak hanya diam saja dan akhirnya malah membuang-buang waktu.


34

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Bentuk umum dari deret Taylor yaitu

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Untuk kasus khusus , deret Taylor di atas menjadi

( ) ∑ ( )( )

( ) ( )

( )

dan disebut deret Maclaurin.

2. Solusi deret Taylor untuk persamaan diferensial biasa orde tiga berbentuk

( ) ( ) ( ) ( ) , -

dengan , , dan adalah konstan yaitu

( ) ∑

( )( )( )

3. Solusi deret Taylor konvergen ke solusi eksak, dimana solusi orde yang

lebih tinggi memberikan akurasi yang lebih tinggi.

4. Dibandingkan dengan metode iterasi variasional, untuk hasil dengan orde

yang lebih tinggi, perhitungan dengan metode iterasi variasional menjadi

lebih kompleks sehinggi solusi deret Taylor yang bisa dihitung sampai

orde yang lebih tinggi akan memiliki akurasi yang lebih tinggi.

5. Materi deret Taylor bisa digunakan untuk mengolah keterampilan

berpikir tingkat tinggi siswa SMA, yakni untuk menggali aspek-aspek

berpikir tingkat tinggi, antara lain:

Menganalisis

Semakin tinggi orde deret Taylor, semakin tinggi akurasi.

Mengevaluasi

Membandingkan fungsi hampiran dengan fungsi asli.

Mencipta


35

Menggunakan hasil yang diperoleh untuk menyelesaikan masalah,

salah satunya masalah nilai batas.

B. SARAN

Hal-hal yang bisa penulis kemukakan sebagai saran untuk penelitian

lanjutan yaitu untuk membuat suatu rancangan pembelajaran agar siswa bisa

memahami deret Taylor dan menggunakan deret Taylor untuk menghampiri

nilai suatu fungsi. Rancangan ini bisa dalam bentuk Hypothetical Learning

Trajectory (HLT) atau lintasan belajar, kemudian dikaji lebih dalam

bagaimana pencapaian siswa dalam tiap-tiap aspek keterampilan berpikir

tingkat tinggi.


36

DAFTAR PUSTAKA

Abdelrahim, R., 2019, Numerical Solution of Third Order Boundary Value

Problems Using One-Step Hybrid Block Method, Ain Shams Engineering

Journal, 10(1):179-83.

Arora, G., Kumar, R., & Kaur, H., 2018, A Novel Wavelet Based Hybrid Method

for Finding the Solution of Higher Order Boundary Value Problems, Ain

Shams Engineering Journal, 9(4):3015-31.

El-Kalla, I.L., El Mhlawy, A.M., & Botros, M., 2019, A Continuous Solution of

Solving a Class of Nonlinear Two Point Boundari Value Problems, Ain

Shams Engineering Journal, 10(1):211-6.

He, C.H., Shen, Y., Ji, F.Y., et al., 2019, Taylor Series Solution for Fractal Bratu-

Type Equation Arising in Electrospinning Process, Fractals, DOI:

https://doi.org/10.1142/S0218348X20500115

He, J.H., 2020, Taylor Series Solution for a Third Order Boundary Value Problem

Arising in Architectural Engineering, Ain Shams Engineering Journal, DOI:

https://doi.org/10.1016/j.asej.2020.01.016

He, J.H., Ji, F.Y., 2019, Taylor Series Solution for Lane-Emden Equation, Journal

of Mathematical Chemistry, 57(8):1932-4.

Hobri, 2015, Mengintegrasikan Higher Order Thinking (HOT) Dalam Scientific

Approach. Seminar Nasional Pendidikan, Jember.

Lewy. 2009, Pengembangan Soal untuk Mengukur Kemampuan Berpikir Tingkat

Tinggi Pokok Bahasan Barisan dan Deret Bilangan di Kelas IX Akselerasi

SMP Xaverius Maria palembang, Jurnal Pendidikan Matematika, volume

3.no.2, Desember 2009.

Lodhi, R.K., Mishra, H.K., 2018, Septic B-spline Method for Second Order Self-

Adjoint Singularly Perturbed Boundary Value Problems, Ain Shams

Engineering Journal, 9(4):2153-61.


https://doi.org/10.1142/S0218348X20500115

https://doi.org/10.1016/j.asej.2020.01.016

37

Stewart, J., 2016, Calculus: Early Transcendentals, Eight Edition. Boston:

Cengage Learning.

Thomas, G.B. Weir, M.D., & Hass, J., 2010, Thomas’ Calculus: Early

Transcendentals, Twelfth Edition. Boston: Pearson.

Thomson, T., 2008, Mathematics Teachers’ Interpretation of Higher-Order

Thinking in Bloom’s Taxonomy, International Electronic Journal of

Mathematics Education, Volume 3, No. 2, July 2008.

Varberg, D., Purcell., E.J., & Rigdon, S.E., 2007, Kalkulus, Edisi Kesembilan

Jilid I, diterjemahkan oleh: I Nyoman Susila, Ph.D., Jakarta: Erlangga


KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN DALAM …Solusi deret Taylor menawarkan penyelesaian yang...

Documents

Transcript of KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN DALAM …Solusi deret Taylor menawarkan penyelesaian yang...