Komputasi NumerikUtomo Pujianto, S.Kom.,

M.Kom

Deret Taylor• Bentuk Umum

• dengan penyederhanaan : (x-x0) = h

...)(!

)(....)(

!2

)()(

!1

)()()( )(''

2

0'

o

mm

oo

ooo xf

m

xxxf

xxxf

xxxfxf

...)(!

....)(!2

)(!1

)()( )(''2

0' o

mm

oo xfm

hxf

hxf

hxfxf

Contoh Kasus Deret Taylor

Hampiri persamaan-persamaan berikut dengan Deret Taylor dari titik x0 = 1

Untuk x = 4

Untuk x = 1

xxf )(

)cos()( xxf

Deret Taylor Terpotong

• Bentuk Umum

• Rn(x) adalah galat/sisa (residu)

)()(!

)(....)(

!2

)()(

!1

)()()( )(''

2

0' xRxf

n

xxxf

xxxf

xxxfxf no

nn

oo

ooo

)(/ );()!1(

)()( )1( residusisagalatdisebutxcxcf

n

xxxR o

non

Deret Taylor Terpotong• Bentuk Sederhana Deret Taylor terpotong

sampai suku orde ke-n

dimana

)()()( xRxPxf nn

)(!

)()(

1o

kn

k

ko

n xfk

xxxP

)()!1(

)()( )1(

)1(

cfn

xxxR n

no

n

Analisis Galat

• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.

• Semakin kecil galat, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan.

• Dua hal yang perlu dipahami :– Bagaimana menghitung galat– Bagaimana galat timbul (sumber galat)

Menghitung Galat• Galat Mutlak• Galat Relatif– Galat Relatif Sejati– Galat Relatif Hampiran

^

aaMutlak Galat

%100: xa

sejatirelatif Galat R

%100: ^ xa

hampiran relatif Galat RA

Pendekatan Lelaran (1)

• Nilai solusi sejati sering tidak diketahui– Kemungkinan penyebab: persamaan

fungsi tidak diketahui

– an = nilai hampiran lelaran ke-n

– an-1 = nilai hampiran lelaran sebelumnya

n

nnRA a

aa 1

Pendekatan Lelaran (2)

Proses lelaran dihentikan bila :

|єRA| < єS

єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan

Sumber Utama Galat Numerik

• Galat Pemotongan• Galat Pembulatan– Chopping– In rounding

Galat Pemotongan

• Timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak– ekspresi matematika yg lebih kompleks

diganti dengan formula yg lebih sederhana

– bergantung pada metode komputasi yg digunakan

• Disebut juga Galat Metode– Contoh : galat akibat pemotongan suku

orde ke-n pada deret taylor.

...!10!8!6!4!2

1)cos()(108642

xxxxx

xxf

Contoh Galat Pemotongan

)()!1(

)()( )1(

)1(

cfn

xxxR n

no

n

Nilai hampiran

Galat pemotongan

)cos(!7

)()!16(

)0()(

7)16(

)16(

6 cx

cfx

xR

Galat Pembulatan

• Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.

• Komputer memiliki keterbatasan dalam menyajikan bilangan riil !

• Bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer, akan menghasilkan galat yg disebut Galat Pembulatan.

Contoh Galat Pembulatan

• Perhitungan IPK : 3,0175425– Setelah “Chopping” = 3,01– Setelah “In-Rounding” = 3,01

• In-Rounding kasus khusus :– 3 angka di belakang koma = 3,018– 6 angka di belakang koma = 3,017542

Penyajian bilangan riil oleh komputer digital

• Bilangan titik tetap (fixed point)– Contoh: 62.358; 0,013; 1.000

• Bilangan titik kambang (floating point)– Contoh 1: 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03– Contoh 2: 0,1714 x 10-13 atau 0,1714E-13

• Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).

Angka Bena (Significant Figures)

• Menjadi dasar pemikiran Penyajian bilangan riil oleh komputer

• Contoh :43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)27.300 memiliki 5 angka bena (2,7,3,0,0)0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

Galat Total

• Galat Total = Galat Pemotongan + Galat Pembulatan

9800667,024

)2,0(

2

)2,0(1)2,0(

42

Cos

TERIMA KASIH