Kaidah Pencacahan

1. Aturan pengisian tempat yang tersediaContoh:

Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).

Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?

~ Aturan pengisian tempat yang tersedia

jawab

Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu:

AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.

Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:

Langkah 1:

Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama.

Langkah 2:

Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.

Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 (susunan pemenang yang mungkin terjadi)

Contoh 2

Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap?

Jawab:

Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.

Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 24 cara amelia dapat berpakain lengkap

Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :

Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi.n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dannk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat- tempat sebelumnya terisi.

Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah

Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian.

n1 x n2 x n3 x … x nk.

Definisi dan Notasi faktorial

Definisi:

Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!.

jd n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

dengan 1! = 1 dan 0! = 1

Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.

Jawab:

Menurut Prinsip Perkalian

= 3×2

1

123 )!23(

!3

nrP )!rn(

!n

=3

2P32P

ObyekEksp.

A

B

C

Cara Eksp.

Diundi untuk

memperebutkan 2 hadiah

A

B

C

B

C

A

C

A

B

(B,A) = permutasi ke-3 = p3

(A,B) = permutasi ke-1 = p1

(A,C) = permutasi ke-2 = p2

(C,A) = permutasi ke-5 = p5

(C,B) = permutasi ke-6 = p6

(B,C) = permutasi ke-4 = p4

...

...

...

...

...

...

S, n(S) =

3 cara 2

cara

32P

Banyaknya cara: n(S) =

= 3×2 = 6

==

Permutasi

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?.

Jawab

MMAAMAMAAMMAAMAMAAMMMAAM

Ada 6 cara

cabang) 4 memuat anggota 6 dari anggota masing-(masing 4

berlainan) huruf 4 dari huruf 4 permutasi (banyaknya 4!

= ) Adan Adari (permutasi 2! )M dan M dari (permutasi 2!

4!

2121 = 2! !2

!4=

6=cabangmemuatindeksdiberisetelahanggotadarigsinmagsinMa

hurufbanyaknyasesuaiindekasdiberiAdanMsetelahpermutasiSeluruh

46

Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?

Jawab

!1!.2!.4

!7

=2471C

74C × ×47

2C

1! 2! !4

!7

1! 2! !4

2).(1) . (3 . 4) . 5 . 6 . 7(=7

)1,2,4(P

Secara umum,

dengan

n1= + n2 + + nkn

.Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada , dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada

Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada:

74C

472C

2471C

Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =

!n...!n.!n

!n

k21=

n)n,...,n,n( k21

P

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

7)1,2,4(P = = 105 cara

Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada

Permutasi Siklis

A

C B

C

B A

B

A C

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

nsiklisP

Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar

Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis.

Maka berarti ketiga permutasi siklis tersebut sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa:

CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n –

1)!

Permutasi berulang

Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.

Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara.

Secara umum:

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut:

dengan r < n P (berulang) =nr

No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir

1 O = {A,B,C,D}

Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga

AB = c1

AC = c2

AD = c3

BC = c4

BD = c5

CD = c6

2 O = {A,B,C,D}

Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga

ABC = c1

ABD = c2

ACD = c3

BCD = c4

Kombinasi

42P

42C

42C

42P

Perhatikan bahwa

= x 2! 12 = 6 x 2!

6 × 2! Total = = 12 = 6 × 2 = 6

2!2!2!2!2!2!

AB dan BAAC dan CAAD dan DABC dan CBBD dan DBCD dan DC

c1 = AB

c2 = AC

c3 = AD

c4 = BC

c5 = BD

c6 = CD

Banyaknya Permutasi

Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan

Macam Kombinasi

Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama

Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.

Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama.

Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.

Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn

Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n.

Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k.

Banyak cara pengambilan adalah:

n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke

Peluang KejadianPercobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian

)A(frlimn

Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan :1.Cara mendatar2.Membuat tabel3.Membuat diagram pohon

Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.

P(A)=

Eksperimen (Percobaan Acak) Ada Obyek Eksperimen Ada Cara Eksperimen Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)

ObyekEksp.

Cara Eksp.

Hasil-hasilYang Mungkin

s1

s2

s3

s4

s5

S

S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }

= Himpunan semua hasil yang mungkin

dalam eksperimen itu

s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing

disebut titik sampel

s2

Ss1

s3 s4 s5

sn

S

As3

s2s1sm

S = Ruang Sampel

= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu

= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}

A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S

= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}

Prinsip Penjumlahan

P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})

= jumlah peluang masing-masing titik sampel

yang ada di dalamnya

Peluang Berdasar Pengambilan Sampel

Pengambilan Sekaligus → KombinasiPengulangan obyek eksp. tidak

dimungkinkan dan urutan tak

diperhatikan (tak punya makna)

Pengambilan Satu Demi Satu

1. Tanpa Pengembalian → PermutasiPengulangan obyek eksp. tidak

dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna)

2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi

Banyaknya Eksp.

Frek. Munculnya

s1 =s2 s3

300 kali3.000 kali

15.000 kali30.000 kali

banyak kali

921.0124.989

10.012

Fr (s1) ≈

105991

5.0079.984

Fr (s2) ≈

93997

5.00410.004

Fr (s3) ≈

3

1

3

1

1. Pengambilan Sekaligus

Hasil-hasil yang mungkinObyek Eksp

Cara Ekp.

1 2 3

Eksp1: ambil acak

2 bola sekaligus

… s1

… s2

… s3

1 2

1 3

2 3

S

A

Ambil acak 2 bola sekaligus.Hasil-hasil yang mungkin?

3

1

A

Ss2

s1 s3

P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) = Maka S berdistribusi seragam

3

1

S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3 } , n(A) = 2.

n(S) =

= 3 .32C

P(A)

= )S(n

)A(n3

2

2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian

Obyek Eksp

Cara Ekp.

1 2 3

Eksp 2 : ambil acak

2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian

Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin?

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1 2 … s1…

1 3 … s2…

2 1 … s3…

2 3 … s4…

3 1 … s5…

3 2 … s6…

S

A

3 cara2 cara

Hasil-hasil yang

mungkin

A

S

s6

s5

s4

s2

s1

s3

P({s1}) = P({s2}) = … =

P({s6}) = Maka S berdistribusi seragam.

6

1

S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3, s4 , s6 } P(A) = = = .

n(S) = = =

)S(n

)A(n6

4

3

2

3 × 2 6..ekspobyekdari

obyekP 32

3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian

Eksp2:ambil acak2 bola 1-1 dengan

pengemb.

Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang

mungkin?

I

Hasil-hasil yang mungkin

S

II A

2

3

1 2 3

1

1 … s11 1…

2 … s21 2…

3 … s31 3…

1 … s73 1…

2 … s83 2…

3 … s93 3… 3 cara

3 cara

A

Ss7

s2s6

s3

s4

s8

s1

s5s9

S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.

n(S) = 3 × 3 = 9

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8 }

P(A) = = .)S(n

)A(n

9

4

P({s1}) = P({s2}) = … =

P({s9}) = Maka S berdistribusi seragam.

9

1

Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.

Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan

Contoh:Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?Jawab:P(kenapolio) = 0,01, n= 8000Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio

)( 1 )(

1

)(

'

'

APAP

n

an

a

n

nn

anAP

A’

S

A

Jika A mempunyai a elemen, dan S

mempunyai n elemen maka A’ mempunyai

n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang

tidak terjadinya A.

Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis

dengan simbol A’ (atau Ac) disebut

komplemen dari A.

1. Komplemen

2.Dua Kejadian Saling Lepas

.1.4

A .2 .5 .7 .3 .11

B .6 .8 .9 .10 .12

S

Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Sehingga

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}A={kejadian mendapatkan bilangan

prima}B={kejadian mendapatkan sedikitnya

bilangan 5}

Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapatirisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh

6

5

12

10 B) (A P

)( BAP

12

3 ) ( BAP dan

)( )( )( )(

12

3

12

8

12

5

12

3 8 5

12

10 ) (

BAPBPAPBAP

BAP

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing)

)( )( )( BPAPBAP

Maka = P(Ø) = 0

) ( BA

Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

Contoh Soal :

1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali, Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3

2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?

DUA KEJADIAN SALING BEBAS

6

1

)(

)(

Sn

An

Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B)Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) =

Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =

Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =

6

1

)(

)(

Sn

An

6

1

)(

)(

Sn

Bn

36

1

6

1.

6

1

1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)

)( )( )( BPAPBAP

Rangkuman

2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka

)( )( )( BPAPBAP

SEKIAN

TERIMA KASIH

SAMPAI JUMPA LAGI