Irsyad FatahillahIrsyad Fatahillah

Faras DhiaFaras Dhia

Latifa NabilahLatifa Nabilah

Nimas RayaNimas Raya

KombinatorialKombinatorial

• Studi tentang pengaturan objek-objek, yaitu pemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau penempatan objek- objek dengan karakteristik tertentu.

• Pembahasan mengenai kombinatorika diawali dengan pengenalan dua kaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian.

PenjumlahanPenjumlahan

•Kaidah penjumlahan (Rule of Sum) menganut prinsip umum bahwa keseluruhan sama dengan jumlah dari bagian-bagiannya.

•Secara umum, dijelaskan sebagai berikut:

“Jika  pekerjaan  jenis  pertama  dapat  dilakukan dengan m cara, pekerjaan jenis kedua dapat

dilakukan dengan n cara, dan kedua jenis pekerjaan itu tidak dapat dilakukan secara

simultan, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan tugas-tugas tersebut adalah m +

n  cara”

ContohContoh

Suatu perpustakaan memiliki koleksi 40 buku sosiologi dan 50 buku antropologi.

Dengan menggunakan kaidah penjumlahan dapat ditentukan banyaknya kemungkinan bagi siswa dalam memilih sebuah buku dari kedua jenis buku tersebut tanpa memperhatikan jenis buku.

40 + 50 = 90 cara40 + 50 = 90 cara

PerkalianPerkalian

•Kaidah perkalian (Rule of Product) dipahami sebagai kaidah pengisian tempat yang tersedia

•Secara umum dirumuskan sebagai berikut:

“Jika suatu prosedur dapat dipecah menjadi dua tahap, dan jika tahap pertama menghasilkan m

keluaran yang mungkin dan masing-masing  keluaran dilanjutkan ke tahap kedua dengan n

keluaran yang mungkin, maka prosedur tersebut akan menghasilkan m x n keluaran

yang mungkin”

Sebuah restoran menyediakan 3 jenis makanan: nasi goreng, sate ayam dan soto babat, dan 2 jenis minuman: es teh dan es jeruk. Jika setiap orang bebas memesan satu makanan dan satu minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan?

Dalam kasus ini, orang harus memilih makanan dan minuman, maka untuk menentukan jumlah

kemungkinan dapat digunakan kaidah perkalian,

3 x 2 = 6 kemungkinan.3 x 2 = 6 kemungkinan.

ContohContoh

Perluasan Kaidah DasarPerluasan Kaidah Dasar

• Dapat mengandung lebih dari dua percobaan.

• Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, p3,...pn, percobaan tidak bergantung pada percobaan sebelumnya:

(Rule of sum)– p1 x p2 x p3 ... x pn

(Rule of product) – p1 + p2 + p3 . . . + p4

Berapa banyak password dengan panjang 5 angka

yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4,

dan 5 jika tidak boleh ada angka berulang? (contoh:

12345, 23415, 54231, dsb.) Perhatikan bahwa

22341, 1234, atau 532441 bukan contoh password

dimaksud.

Cara: Kita sediakan 5 tempat yang dapat ditempati

5 angka yang disediakan. Tempat ke- 1 2 3 4 5

Banyak cara

5 4 3 2 1

Inklusi - EksklusiInklusi - Eksklusi

Banyaknya anggota himpunan gabungan

antara himpunan A dan himpunan B

merupakan jumlah banyaknya anggota

dalam himpunan tersebut dikurangi

banyaknya anggota di dalam irisannya.

|AB |=|A|+|B|-|AB ||AB |=|A|+|B|-|AB |

Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika

diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya

menyukai matematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa

terdapat dalam kelas tersebut ?

Jawab :

Misalkan A himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan

B himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier. Himpunan

mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan

sebagai himpunan A ∩ B. Banyaknya mahasiswa yang menyukai salah

satu dari kedua mata kuliah

 tersebut atau keduanya dinyatakan dengan |A ∪ B|. Dengan demikian

|A ∪ B| = |A|+|B| - |A ∩ B| = 25 + 13 – 8 = 30. |A ∪ B| = |A|+|B| - |A ∩ B| = 25 + 13 – 8 = 30.

Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.

ContohContoh

PermutasiPermutasi

• Mengabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan.

• Permutasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, ..., xn adalah pengurutan dari sub himpunan dengan r anggota dari himpunan {x1, x2, ..., xn}

• Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda:

P(n,r) = n!/(n-r)! P(n,r) = n!/(n-r)!

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang

berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan

7?

Jawab:

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda

dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama

dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang

dipilih dari 3 unsur P (3, 2)

P (3, 2) = 3!/(3-2)!P (3, 2) = 3!/(3-2)!

              = 3!/1!= 3!/1!

                          = 3 x 2 x 1!/1!= 3 x 2 x 1!/1!

                = 2 x 3= 2 x 3

    = 6= 6

KombinasiKombinasi

• Menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan

• Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, ..., xn adalah seleksi tak terurut r anggota dari himpunan {x1, x2, ..., xn}

• Banyaknya kombinasi-r dari n unsur dinotasikan C(n,r)