Jurnal Its 2012

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6

1

Abstrak Magnetic Levitation Ball adalah sebuah sistem yang terdiri dari bola baja ferromagnetic yang disuspensi dalam sebuah medan magnet oleh tegangan listrik dengan cara mengendalikan arus pada saat mengalir pada kumparan elektromagnet dengan sejumlah lilitan tembaga didalamnya dan posisi kumparan tepat berada di atas bola baja. Sistem Magnetic Levitation Ball memiliki peranan yang penting dalam dunia industri dan transportasi, contohnya dapat diaplikasikan pada kereta api yang bergerak melayang diatas rel dengan kecepatan tinggi (kereta MAGLEV).

Pada sistem Magnetic Levitation Ball dibutuhkan suatu metode untuk mengestimasi posisi bola baja yang melayang agar bola baja dapat bergerak sesuai dengan posisi yang diinginkan. Dalam tugas akhir ini akan dilakukan pengestimasian posisi Magnetic Levitation Ball dengan menggunakan metode Ensemble Kalman Filter (EnKF), dimana metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) dipilih karena metode ini dapat digunakan untuk mengestimasi model dinamik linear maupun nonlinear.

Kata Kunci: Kalman Filter, Ensemble Kalman Filter, Magnetic levitation Ball.

I. PENDAHULUAN istem Magnetic Levitation Ball memiliki peranan yang penting dalam dunia industri dan transportasi, contohnya

dapat diaplikasikan pada kereta api yang bergerak melayang di atas rel dengan kecepatan tinggi (kereta MAGLEV). Magnetic Levitation Ball sendiri adalah suatu rangkaian sistem yang terdiri atas bola baja padat yang bersifat ferromagnetic (benda yang memiliki sifat kemagnetan yang paling kuat dan tahan lama) dimana akan melayang diatas permukaan suatu medium udara apabila diberi tenaga elektromagnet yang berasal dari kumparan elektromagnet. Karena bola baja ferromagnetic yang melayang agar bergerak sesuai dengan posisi yang diinginkan, maka diperlukan suatu metode estimasi variabel keadaan dari sistem dinamik stokastik linear diskrit yang meminimumkan kovarian error estimasi. Sebelumnya model dari Magnetic Levitation Ball ini pernah dikerjakan dengan menggunakan metode Sliding Mode Control (SMC) untuk perancangan dan simulasi sistem kendali posisi pada Magnetic Levitation Ball [1].

Untuk metode estimasi ini ada berbagai macam metode estimasi diantaranya, metode Kalman Filter, metode Ensemble Kalman Filter (EnKF), dan lain sebagainya. Metode Kalman Filter adalah suatu metode estimasi variebel

keadaan dari sistem dinamik stokastik linier diskrit yang meminimumkan kovarian error estimasi, dan metode Kalman Filter biasanya hanya bisa digunakan untuk mengestimasi model sistem linier saja, sedangkan metode Ensambel Kalaman Filter (EnKF) dapat digunakan untuk mengestimasi model sistem linier maupun nonlinier.

Karena model dari Magnetic Levitation Ball berbentuk nonlinier maka pada tugas akhir yang dikerjakan ini digunakan metode Ensemble Kalman Filter untuk mengestimasi suatu posisi pada Magnetic Levitation Ball. Algoritma Ensemble Kalman Filter merupakan bentuk pengembangan dan modifikasi dari algoritma Kalman Filter yang diperkenalkan pertama kali oleh R. E. Kalman pada tahun 1960 [2]. Metode EnKF dijalankan dengan membangkitkan sejumlah ensemble tertentu untuk menghitung nilai rata-rata dan kovariansi error variabel statenya. Ensemble tersebut mempunyai mean sesuai dengan tebakan awal.

II. URAIAN PENELITIAN

A. Magnetic Levitation Ball Magnetic levitation Ball adalah sebuah sistem yang terdiri

atas bola baja ferromagnetic yang disuspensi dalam sebuah medan magnet oleh tegangan listrik dengan cara mengendalikan arus pada saat mengalir pada kumparan elektromagnet yang terdiri dari sejumlah lilitan tembaga dan posisi kumparan tepat berada diatas bola baja. Pada sistem ini bola baja diasumsikan bergerak secara vertikal yaitu naik-turun dan berhenti tepat pada posisi melayang dari posisi bola saat diletakkan dalam kondisi awal. Gambar rancangan sistem Magnetic Levitation Ball dapat ditunjukkan seperti gambar berikut:

Gambar 1 Sistem Magnetic Levitation Ball

ESTIMASI POSISI MAGNETIC LEVITATION BALL MENGGUNAKAN METODE ENSEMBLE KALMAN FILTER

(EnKF)

Arief Rachman., Erna Apriliani. Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: [email protected]

S


2

Bagian-bagian dari Magnetic Levitation Ball, yakni: 1. Bola baja : Bagian yang dikontrol

posisinya 2. Kumparan elektromagnet : Bagian yang

menghasilkan medan magnet 3. Sumber tegangan magnet : Bagian yang

menghasilkan arus listrik 4. Sensor cahaya (Light Sensor) : Bagian yang

mengukur ketinggian bola

B. Model Dinamika Magnetic Levitation Ball Model dinamika Magnetic Levitation Ball diberikan

sebagai berikut [3]:

vdtdp

(1)

Vdt

ipLdRi ))((

(2)

2

piCmg

dtdvm (3)

dengan : p : Posisi bola yang dikontrol (ketinggian bola)

dengan satuan meter v : Kecepatan bola baja ketika bergerak vertikal

dengan satuan m/s i : Arus yang mengalir pada kumparan

elektromagnet dengan satuan Ampere V : Tegangan listrik dengan satuan Volt R : Hambatan kumparan dengan satuan Ohm L : Induksi Kumparan dengan satuan Henry C : Konstanta gaya magnet m : Massa Bola Baja dengan satuan kg g : Konstanta gravitasi Bumi dengan satuan

m/s2

Kemudian dimisalkan beberapa variabel yang ada pada model Magnetic Levitation Ball yaitu variabel:

danvxixpx ,,, 321 Vu dengan

pCLpL 2 sehingga model Persamaan dari sistem

Magnetic Levittion Ball dapat ditulis sebagai:

31 x

dtdx

(4)

uLx

xxLCx

LR

dtdx 12

21

322

2

(5)

2

1

23

xx

mCg

dtdx (6)

Model (4), (5), dan (6) ini akan diaplikasikan untuk metode EnKF, dengan parameter dari Magnetic Levitation Ball dapat dilihat pada Tabel 1: Tabel 1

PARAMETER SIMBOL NILAI Resistansi kumparan R 28,7 Ohm Induksi kumparan L 0,65 Henry Konstanta gaya magnet C 1,4x10 4 Massa bola baja m 11,87 g Konstanta gravitasi bumi g 9,8 m/s 2

C. Metode Kalman Filter Kalman Filter merupakan suatu metode estimasi variabel

keadaan dari sistem dinamik stokastik linear diskrit yang meminimumkan kovarian error estimasi.

Kalman Filter pertama kali diperkenalkan oleh R. E. Kalman pada tahun 1960. Bentuk umum dari suatu sistem dinamik stokastik linear diskrit sebagai berikut [4]:

kkkkkkk wGuBxAx 1

kkkk vxHz 0x ~ ),( 00 xPxN ; kw ~ ),0( kQN ; kv ~ ),0( kRN

D. Metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) Metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) merupakan

modifikasi dari algoritma Kalman Filter yang dapat digunakan untuk mengestimasi model sistem linear maupun nonlinear. Metode EnKF diperkenalkan oleh Evensen dengan membangkitkan atau menggunakan sejumlah ensemble pada tahap prediksi untuk mengestimasi kovarian error_nya. Beberapa contoh aplikasi EnKF yang pernah dilakukan adalah implementasikan EnKF pada model populasi plankton [5], dan Estimasi Harga European Call Option pada Model Black-Scholes [6].

Algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF) Model sistem dan model pengukuran

kkkk wuxfx ,1 kkk vHxz

kkkk RNvQNw ,0~,,0~ Inisialisasi Bangkitkan N ensemble sesuai dengan tebakan awal 0x

Ni xxxxx ,03,02,01,0,0 .... Tentukan nilai awal:

N

tixN

x1

,001

Tahap Prediksi: ikkkik wuxfx ,11, , dengan kk QNw ,0~

Estimasi:

N

tikk xN

x1

,1


3

Kovariansi error:

TktkN

tkikk xxxxN

P

11

,1

,

Tahap Koreksi:

tkktk vzz ,, dengan ktk RNv ,0~, Kalman gain: 1 kTkTkk RHHPHPK Estimasi: ikikkikik xHzKxx ,,,,

N

iikk xN

x1

.1

Kovariansi error: kkk PHKP 1

Kemudian algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF) digunakan untuk mengestimasi penyelesaian model dari persamaan sistem dinamik Magnetic Levitation Ball.

III. METODE PENELITIAN Langkah-langkah yang digunakan dalam mengestimasi

posisi Magnetic Levitation Ball dengan menggunakan metode Ensemble Kalman Filter. Adapun metode penelitian yang digunakan adalah sebagai berikut:

1. Studi Penunjang 2. Pemodelan Sistem Magnetic Levitation. 3. Estimasi pada Sistem Magnetic Levitation Ball. 4. Analisis Hasil Simulasi. 5. Penyimpulan Hasil dan Pemberian Saran

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Diskritisasi Model Magnetic Levitation Ball Pendiskritan menggunakan metode beda hingga maju,

menurut deret Taylor. Maka model dari Magnetic Levitation Ball setelah di diskritisasi dengan metode beda hingga maju, dapat ditulis:

2

3

2

1

2

21

322

13

13

2

1 12.

xt

xtxx

mCg

uLx

xxLCx

LR

xtx

xxx

k

(7)

B. Penambahan Faktor Stokastik Model pada persamaan (4), (5), dan (6) digunakan untuk

sistem bola baja yang bergerak secara vertikal dengan tepat pada Magnetic Levitation Ball. Tetapi pada kenyataan tidak demikian, artinya terdapat pergerakkan bola baja yang tidak sesuai, yang disebut dengan noise atau gangguan sistem.

Model persamaan waktu diskrit pada model Magnetic Levitation Ball dapat ditulis sebagai berikut:

kkk uxfx ,1 (8) Kemudian sistem tersebut ditambahkan faktor stokastik dalam noise menjadi:

kkkk wuxfx ,1 (9) Dengan kw adalah noise sistem Untuk pengukuran ditambahkan faktor stokastik dalm noise menjadi:

kkk vHxz (10)

Dengan kv adalah noise pengukuran Noise sistem dan noise pengukuran berdistribusi normal

yang mempunyai nilai rata-rata atau mean nol dibangkitkan melalui bantuan komputer. Secara umun variansi noise sistem dinyatakan dengan

kQ dan variansi noise pengukuran

dinyatakan dengan kR . Keduanya bergantung pada waktu dan nilainya diasumsikan konstan.

C. Implementasi Model Magnetic Levitation Ball pada Metode EnKF

Untuk mengestimasi posisi dari model yang ditunjukkan pada persamaan (7) pada metode Ensemble Kalman Filter, diperlukan model sistem dan model pengukuran.

Dalam algoritma EnKF, model stokastik (11) disebut sebagai model sistem sedangkan model stokastik (12) disebut sebagai model pengukuran.

Pertama yang harus dilakukan adalah mendefinisikan X, yaitu:

TxxxX 321 (11) kemudian memberikan nilai awal untuk masing-masing variabel yaitu nilai posisi bola )( 0,1x arus )( 0,2x , dan

kecepatan )( 0,3x . Hal ini bisa ditulis

TxxxX 0,30,20,10 (12) Model Sistem

kkkk wuxfx ,1 (13) Dengan kw adalah noise sistem yang berdistribusi normal

dengan mean (rata-rata) nol dan varians kk QNwQ ,0~, . Model Pengukuran

Jika posisi merupakan variabel yang bisa diukur maka digunakan matriks pengukuran H sebagai berikut:

001H (14) Sehingga diperoleh persamaan pengukuran z adalah

kkk vHXz (15)

kk vxxx

z

3

2

1

001 (16)

Dengan kv adalah noise sistem yang berdistribusi normal dengan mean (rata-rata) nol dan varians kk RNwR ,0~, .


4

Tahap Inisialisasi

Tahap inisialisasi pada EnKF terlebih dahulu dilakukan pembangkitan sejumlah ensemble sesuai dengan tebakan nilai awal untuk masing-masing state dengan memberikan noise sistem.

i

i

i

i

www

xxx

X

,3

,2

,1

0,3

0,2

0,1

,0 i= 1,2, ... ,N (17)

Kemudian dari nilai 1,0X hingga NX ,0 akan dikumpulkan sehingga didapat sebuah matriks berukuran (3xN). NXXX ,02,01,0 ... (18)

Selanjutanya adalah mencari nilai rata-rata setiap state dari pembangkitan ensemble.

N

iiXN

X1

,001 (19)

Nilai kX pada persamaan (19) akan digunakan pada tahap selanjutnya yaitu tahap prediksi.

Tahap Prediksi

Tahap prediksi pada EnKF pertama-tama dihitung nilai prediksi dengan mengunakan nilai kX pada persamaan (19) kemudian ditambahkan noise sistem kw .

ikkkik wuXfX ,11, , Untuk i= 1,2, ... , N (20)

Menghitung nilai estimasi pada tahap prediksi ditentukan keadaan estimasi sebagai berikut:

N

iikk XN

X1

,1 (21)

Nilai estimasi pada tahap prediksi didapat dengan menghitung rata-rata dari setiap state dalam matriks yang telah dibentuk pada persamaan (20). Perhitungan ini mengikuti persamaan (21) kemudian dicari nilai error estimasi dengan cara menghitung selisih antara nilai prediksi dengan rata-rata estimasi.

Dengan kovarians error sebagai berikut:

TiN

ii XXXXN

P

1,11

1,11

11 (22)

Selanjutnya nilai estimasi dan kovarian error yang sudah di hitung akan dikoreksi keakuratannya. Tahap Koreksi

Pada tahap ini diawali dengan penghitungan data pengukuran ikz , yang merupakan duplikasi dari data pengukuran pada sistem real yaitu kz pada persamaan (15) ditambah noise pengukuran. Secara sederhana ditulis sebagai berikut:

ikkik vzz ,, dengan kik RNv ,0~, (23)

ikv , merupakan vektor random berdistribusi normal dengan mean sama dengan nol dan kovarian sama dengan kovarian pengukuran.

kkik vXHz , dan i= 1,2, ..., N Selanjutnya menentukan ikkik vzz ,, dengan

100010001

H

Untuk k=1 ii vzz ,11,1

Diperoleh persamaan data pengukuran dengan jumlah ensemble N dan waktu ke k.

Nik zzzz ,12,11,1, ... (24) Selanjutnya ditentukan Kalman Gain yang ditulis sebagai berikut:

11111 RHHPHPK TT (25) Matriks Kalman Gain digunakan untuk menentukan

estimasi ensemble sebagai berikut: iiii XHzKXX ,1,11,1,1 (26)

Dari persamaan diatas diperoleh mean estimasi, yaitu:

N

iiXN

X1

,111 (27)

Kovarian error dihitung dengan persamaan yang ditulis sebagai berikut:

111 1 PHKP (28)

D. Simulasi dan Evaluasi Simulasi dilakukan dengan menerapkan algoritma EnKF

pada persamaan Magnetic Levitation Ball, simulasi dilakukan dengan menggunakan software MATLAB. Magnetic Levitation Ball diasumsikan sistemnya terkendali dan bergerak secara vertikal.

Hasil simulasi akan dievaluasi dengan cara membandingkan keadaan real dengan hasil estimasi EnKF, yang dilakukan dengan beberapa simulasi pada kondisi nilai yang telah ditentukan. Dengan nilai 0001.0t , estimasi dilakukan sebanyak 100 kali iterasi dan jumlah ensemble (N) yang digunakan dalam masing-masing simulasi sebanyak 100, 200, dan 500 ensemble. Noise sistem )( kw dan noise pengukuran )( kv dicari yang paling sesuai. Nilai awal yang digunakan adalah

05.01 x ; 787.22 x ;

03 x ; Dalam simulasi ini, nilai dari varians Q dan R yang

digunakan adalah sebagai berikut: 00001.01 Q ; 01.02 Q ; 001.03 Q ;


5

3

2

1

000000

QQ

QQ

;

00001.01 R ; 01.02 R ; 001.03 R ;

3

2

1

000000

RR

RR

;

Sedangkan nilai parameter setiap variabel yang digunakan sesuai dengan yang tertuang pada Tabel 1.

Dari hasil simulasi yang telah dilakukan, didapatkan kondisi yang cocok untuk mengestimasi posisi bola baja yang bergerak secra vertikal dengan menggunakan metode Ensemble Kalman Filter. Kondisi yang cocok ini dilihat dari besar error RMS yang kecil serta kemampuannya untuk mengestimasi nilai dari setiap parameter.

Gambar 2 memperlihatakan hasil estimasi posisi bola baja dengan asumsi alat ukur diberikan pada posisi. Simulasi ini dilakukan dengan membangkitkan sebanyak 100, 200, dan 500 ensemble. Nilai error RMS dari simulasi ini terdapat pada Tabel 2 kasus ke-1.

Gambar 2. Posisi bola baja sebagai parameter yang bisa diukur, N=100 Selanjutnya Gambar 3 memperlihatkan hasil estimasi

posisi bola baja dengan asumsi alat akur diberikan pada arus. Simulasi ini dilakukan dengan membangkitkan sebanyak 100, 200, dan 500 ensemble. Nilai error RMS dari simulasi ini terdapat pada Tabel 2 kasus ke-2.

Gambar 3. Arus sebagai parameter yang bisa diukur, N=100.

Selanjutnya pada Gambar 4 diperlihatkan hasil estimasi posisi bola baja dengan asumsi kecepatan sebagai alat ukur. Simulasi ini dilakukan dengan membangkitkan sebanyak 100, 200 dan 500 ensemble. Nilai error RMS dari simulasi ini terdapat pada Tabel 2 kasus ke-3.

Gambar 4. kecepatan bola baja sebagai parameter yang bisa diukur, N=100.

Pada Gambar 5 memperlihatkan estimasi posisi bala baja dengan asumsi posisi dan arus sebagai alat ukur. Simulasi ini dilakukan dengan membangkitkan 100, 200, dan 500 ensemble. Nilai error RMS dari simulasi ini terdapat pada Tabel 2 kasus ke-4.

Gambar 5. Posisi dan arus sebagai parameter yang bisa diukur, N=100.

Pada Gambar 6 memperlihatkan estimasi posisi bala baja dengan asumsi posisi, arus , dan kecepatan sebagai alat ukur. Simulasi ini dilakukan dengan membangkitkan 100, 200, dan


6

500 ensemble. Nilai error RMS dari simulasi ini terdapat pada Tabel 2 kasus ke-5.

Gambar 6. Posisi, arus dan kecepatan sebagai parameter yang bisa diukur,

N=100. Tabel 2 Nilai RMS Error dari Simulasi EnKF

Kasus ke-

Parameter yang bisa

diukur

Banyak ensemble

RMS error EnKF

1x 2x 3x

1 1x 100 0.00260 0.51315 0.23338 200 0.00251 0.58026 0.23316 500 0.00239 0.57694 0.16935

2 2x 100 0.01358 0.07446 0.25831 200 0.02144 0.07874 0.17194 500 0.02055 0.08110 0.18545

3 3x 100 0.01798 0.57853 0.02539 200 0.01751 0.72738 0.02496 500 0.01913 0.45892 0.02520

4 21, xx

100 0.00258 0.08198 0.22007 200 0.00241 0.08194 0.14847 500 0.00248 0.07785 0.16756

5 31, xx

100 0.00260 0.49923 0.02595 200 0.00262 0.51921 0.02700 500 0.00245 0.53720 0.02490

6 32 , xx

100 0.02440 0.08785 0.02734 200 0.02184 0.07980 0.02570 500 0.01780 0.09225 0.02876

7 21,xx

3x 100 0.00270 0.08451 0.02559 200 0.00255 0.08194 0.02524 500 0.00256 0.08151 0.02876

Dari Tabel 2 dapat diketahui bahwa nilai error RMS akan bernilai kecil jika terdapat alat ukur pada arus. Dengan demikian kondisi yang memungkinkan mengimplementasikan algoritma Ensemble Kalman Filter pada model Magnetic Levitation Ball adalah kasus ke-2 dengan arus sebagai parameter yang bisa diukur dan pada kasus ke-4 dengan posisi dan arus sebagai parameter yang bisa diukur.

Berdasarkan banyak ensemble yang dibangkitkan dan nilai error RMS pada simulasi, maka kondisi yang paling cocok untuk mengestimasi posisi Magnetic Levitation Ball dengan menggunakan metode Ensemble Kalman Filter

adalah dengan membangkitkan sebanyak 500 ensemble. Pada kondisi ini, nilai error RMS pada beberapa kasus lebih kecil jika dibandingkan dengan pembangkitan ensemble sebanyak 100 dan 200 ensemble.

V. KESIMPULAN Metode Ensemble Kalman Filter dapat digunakan untuk

mengestimasi posisi Magnetic Levitation Ball sehingga dapat diketahui gerak posisi bola baja. Hasil yang baik selama iterasi dengan menggunakan satu parameter pengukuran adalah pada arus. Dari penelitian ini penulis menyarankan untuk mengkaji lebih jauh tentang Magnetic Levitation Ball, karena masih diperlukan penyesuain parameter dalam pelaksanaan pada kondisi sesungguhnya.

UCAPAN TERIMA KASIH Penulis A.R mengucapkan terimakasih kepada kedua orang

tua dan Dosen pembimbing yang telah membantu penulis dalam penelitian tugas akhir ini.

DAFTAR PUSTAKA [1] Priyanto, A. 2009. Perancangan dan Simulasi

Sistem Kendali Posisi Magnetic Levitation Ball dengan menggunakan Metode Sliding Mode Control (SMC). Tugas Akhir. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopemnber.

[2] Welch, G., Bishop, G. 2006. An Introduction to the Kalman Filter. Department of Computer Science University of North Carolina.

[3] Al-Muthairi N,F dan Zribi,M. 2004. Sliding Mode Control Of A Magnetic Levitation System. Journal of.Mathematical Problem in Engineering 2004:vol.2. 93-107.

[4] Lewis, F. L. 1986. Optimal Estimation With an Introduction to Stochastic Control Theory. New York: John Willey & Sons.

[5] Purnomo, K. D. 2006. Aplikasi Metode Ensemble Kalman Filter pada Model Populasi Plankton. Tesis Jurusan Matematika. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

[6] Istiyana, A. 2009. Estimasi Harga European Call Option pada Model Black-Scholes Menggunakan Metode Ensemble Kalman Filter. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

[7] Evensen, G. 2003. The Ensemble Kalman Filter: Theoretical formulation and practical implementation. Ocean Dynamics, Vol 53, hal 343-367.

Jurnal Its 2012

Documents

Transcript of Jurnal Its 2012