IRISAN KERUCUT

Materi Pembelajaran

A. Macam-macam Irisan Kerucut

Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai benda-benda yang cukup

besar kegunaannya bagi perkembangan kemajuan peradaban manusia. Benda-

benda itu misalnya antena yang berbentuk parabola (antena parabola) untuk

menangkap siaran televisi lewat satelit komunikasi, sarana atau lapangan olah raga

berbentuk elips, serta paling banyak kita jumpai adalah benda-benda dengan

bangun lingkaran seperti roda maupun ban kendaraan, baik kendaraan bermotor

maupun yang tidak bermotor. Hiperbola adalah seperti bangun dua buah parabola

yang sama saling berhadapan. Bangun-bangun di atas dapat digolongkan ke dalam

bangun irisan kerucut.

Dalam bahasan berikut, kita akan mempelajari irisan kerucut antara lain

pengertian tentang parabola, lingkaran, elips dan hiperbola.

1. Pengertian Irisan Kerucut

Perhatikan definisi berikut ini.

Definisi 2.1 :

Irisan kerucut adalah himpunan (tempat kedudukan) dari semua titik pada

bidang datar yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik tertentu

mempunyai nilai yang tetap.

Titik tertentu itu disebut fokus dan garis tertentu ini disebut direktriks.

Sedangkan nilai perbandingan yang tetap itu dinamakan eksentrisitas disingkat e.

Secara geometris bentuk irisan kerucut dapat diperoleh dengan cara

mengiriskan sebuah bidang datar terhadap kerucut lingkaran tegak berselimut

ganda. Jika bidang pengirisnya tidak melalui puncak kerucut, ada empat

kemungkinan irisan kerucut, seperti diperhatikan pada gambar 2.1

Gambar 2.1 (a) adalah irisan kerucut berbentuk lingkaran. Terlihat bahwa bidang

datarmya mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut dan tegak lurus sumbu

kerucut.

Gambar 2.1 (b) adalah irisan kerucut bentuk elips. Terlihat bidang datarmya

mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut kerucut dan tegak lurus sumbu

kerucut.

Gambar 2.1 (c) adalah irisan kerucut berbentuk Parabola. Terlihat bidang datarmya

sejajar dengan salah satu garis pelukis.

Gambar 2.1 (d) adalah irisan kerucut berbentuk hiperbola. Terlihat bidang datarmya

memotong kedua selimut kerucut.

2. Rumus Jarak di antara Dua Titik

Gambar 2.2 memperlihatkan jarak di antara dua titik P1 dan P2 yang dihitung

dari koordinat-koordinatnya

Jika d adalah jarak antara titik P1 (x1,

y1) dan P2(x2,y2) maka berdasarkan

Gambar 2.2 kita dapat mendefinisikan

jarak di antara titik P1(x1,y1) dan

P2(x2,y2) adalah

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Contoh 1

Tentukan jarak antara titik A(2,3) dan B(5,0).

Jawab

|𝑎𝑏̅̅ ̅| = 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

√(5 − 2)2 + (0 − 3)2

√9 + 9 = √18 = 3√2

Jadi, jarak titik A dan B adalah 3√2

B. Parabola

Perhatikan definisi berikut ini

Definisi 2.3 :

Parabola tempat kedudukan titik titik di dalam bidang yang jaraknya ke sebuah titik

tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu dalam bidang tersebut.

Titik tertentu itu dinamakan fokus parabola dan garis tertentu dinamakan direktriks.

1. Parabola yang terbuka ke atas

Kita misalnya garis g sebagai garis tetap (garis direktriks) dan titik F sebagai titik

F sebagai titik tetap (fokus) atau titik api. Jika F tidak terletak pada g, maka kita

dapat memilih sebuah sistem koordinat yang menghasilkan sebuah persamaan

yang sederhana untuk parabola dengan mengambil sumbu Y melalui F dan

tegak lurus garis g, dan dengan mengambil titik asalnya di titik tengah antara F

dan g.

Lihat Gambar 2.15

Jika titik F dan garis g adalah 2p, maka

kita dapat menetapkan koordinat titik F,

yakni (0, p). Dengan demikian

persamaan garis g menjadi y=-p. Titik

P(x,y) terletak pada parabola jika dan

hanya jika pF=PQ ….(16)

Dengan rumus jarak, persamaan (16)

menjadi

√𝑥 2 + (𝑦 − 𝑝)2 = √(𝑦 + 𝑝)2

⇔ 𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2 = (𝑦 − 𝑝)2

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑝𝑦 + 𝑝2 = 𝑦2 + 2𝑝𝑦 + 𝑝2

⇔ 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 ……(17)

Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(0,p) didefinisikan

dengan persamaan

𝑥 2 = 4𝑝𝑦

a. Sumbu dan Puncak Parabola

Karena p merupakan bilangan bulat positif dalam persamaan (17), maka y tidak

mungkin negative. Ini artinya parabola tersebut akan terletak pada atau di atas

sumbu X. Parabola tersebut akan simetris terhadpa sumbu Ykarena x berderajat

dua dalam persamaan (17).

Selanjutnya sumbu simetri parabola itu dinamakan sumbu parabola. Sumbu

parabola pada persamaan (17) adalah garis x = 0 (lihat gambar 2.15). Titik pada

sumbu ini yang berada di tengah-tengah antara focus dan direktriks akan berbeda

pada parabola tersebut, karena titik itu berjarak sama dari focus dan dari direktriks.

Titik itu dinamakan puncak (vertex) p arabola. Dalam persamaan (17) titik

puncaknya adalah titik O (0,0) lihat gambar 2.15.

Ruas garis CC’ yang melalui titik focus F dan tegak lurus sumbu simetri dinamakan

latus rectum (lihat gambar 2.15). Panjang latus rectum untuk parabola dengan

persamaan (17) adalah 4p.

Contoh 18.

Carilah focus dan direktris dari parabola x2 = 8y

Pandang persamaan x2 = 8y dan x2 =

4py, maka didapat p = 2.

Fokusnya berada pada sumbu Y yang

jauhnya p = 2 satuan dari puncak, yakni

F(0,p) = F(0,2).

Direktriksnya y = -p adalah garus y = -2.

Gambar 2.16 memperlihatkan parabola

x2 = 8y.

Tentukan persamaan parabola yang mempunyai titik focus di (0,3) dan persamaan

direktrisnya y = -3

Jawab :

Titik fokusnya di F(0,3), maka p = 3

4p = 12

Persamaan parabolanya x2 = 4py

X2 = 12y

2. Parabola yang terbuka ke bawah

Jika gambar parabola itu terbuka ke bawah seperti dalam gambar 2.17, dengan

fokusnya di F(0,p) dan direktriksnya adalah garis y = p maka persamaan

parabolanya adalah

X2 = -4py.

Gambar 2.17

3. Parabola yang terbuka ke kanan

Jika parwabola tersebut terbuka ke kanan, seperti di dalam gambar 2.19 dengan

fokusnya di F (p,0) dan dengan persamaan direktrisnya x = -p, maka persamaan

parabolanya adalah

y2 = 4px

Gambar 2.19

Contoh 21.

Tentukanlah koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat focus,

persamaan direktrisnya, serta panjang latus rectum parabola y2, = 12x. Kemudian

gambarkanlah sketsa grafiknya.

Jawab :

Pandang y2 = 12x dan y2 = 4px, maka p = 3. Koordinat puncak adalah (0,0)

Persamaan sumbu simetrinya adalah garis y = 0

Koordinat focus F(p,0) adalah F(3,0).

Persamaan direktriksnya x = -p adalah x = -3 atau x + 3 = 0

Panjang latus rectum 4p = 12.

Sketsa grafiknya dapat dilihat dalam gambar 2.20

Gambar 2.20

4. Parabola yang terbuka ke kiri

Jika parabola tersebut terbuka ke kiri, seperti di dalam gambar 2.21, dengan

fokusnya di F)-p,0) dan dengan persamaan direktriksnya x = p, maka persamaan

parabolanya adalah y2 = -4px

Contoh 22

Tentukanlah titik focus dan persamaan direktriks parabola y2 = -12x, kemudian

gambarlah sketsa grafiknya!

Jawab :

Pandang y2 = -4px dan y2 = -12x, maka p = 3, Koordinat focus F(-p,0) adalah F(-

3,0).

Persamaan direktriksnya x = p adalah x = 3 atau x -3 =0

Sketsa grafiknya dapat dilihat dalam Gambar 2.22

Gambar 2.22

5. Translasi Sumbu-Sumbu

Bila puncak parabola berada di titik V (a,b), maka kita dapat menentukan

persamaan parabola dengan memperkenalkan sebuah system koordinat baru,

dengan titik asal O’ yang berada di titik V (a,b). Sistem koordinat baru ini kita

namakan system koorinat X’O’Y’. Sumbu X’ sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y’

sejajar dengan sumbu Y.

Perhatikan Gambar 2.23 di bawah ini.

Gambar 2.23

Titik P mempunyai koordinat (x, y) di dalam system semula (XOY) dan (x’, y’)

system baru (X’O’Y’). Untuk bergerak dari O ke P, kita mempunyai pergeseran

hborisontal x dan pergeseran vertical y.

NIlai x akan didapatkan dari dua pergeseran horizontal, yakni a dari O ke O’ dan x’

dari O’ ke P. Demikian pula, y akan didapatkan dari dua pergeseran vertical, yakni b

dari O ke O’ dan y’ dari O’ ke P. Sehingga kedua koordinat tersebut akan

dihubungkan sebagai berikut.

{𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑦′ + 𝑏

} (18𝑎) 𝑎𝑡𝑎𝑢 {𝑥′ = 𝑥 + 𝑎𝑦′ = 𝑦 + 𝑏

} … (18𝑏)

Persamaan (18) dinamakan persamaan-persamaan untuk translasi sumbu-sumbu

Selanjutnya pandang sebuah parabola dengan puncaknya di V(a,b) dan yang

membuka ke atas, seperti diperlihatkan di dalam Gambar 2.24. Bila kita menyatakan

persamaan parabolanya dalam system koordinat X’O’Y’, maka persamaannya

adalah

(x’)2 = 4py’ ………..(19)

Gambar 2.24

Dengan mensubtitusikan persamaan (18a) ke dalam persamaan (19), kita dapat

menyatakan persamaan parabola di dalam system koordinat XOY, yakni

(x – a)2 = 4p (y – b) ……………….. (20a)

Sehingga persamaan parabola dengan puncak di V(a,b), focus F (a, b + p) dan

dengan persamaan direktriksnya y = b – p didefinisikan dengan persamaan.

(x – a)2 = 4p (y – b)

Grafik dari persamaan (20a) simetri terhadap garis x = a.

Bentuk-bentuk lain dari persamaan parabola dengan puncak di V (a,b) adalah

(x – a)2 = -4p (y – b) ….. (20b)

(y – b)2 = 4p(x – a) ….. (20c)

(y – b)2 = -4p (x-a) ….. (20d)

Persamaan (20b) mempunyai sebuah grafik yang simetris terhadap garis x = a, dan

yang membuka ke bawah

Perhatikan gambar 2.25

Fokusnya F(a, b – p) dan garis direktrisknya

y = b + p

Gambar 2.25

Persamaan (20c) mempunyai sebuah grafik yang simetris terhadap garis y = b dan

yang membuka ke kanan.

Perhatikan gambar 2.26.

Fokus F(a + p, b) direktriksnya garis x = a – p

Gambar 2.26

Persamaan (20d) mempunyai sebuah grafik yang simetris terhadap y = b, dan yang

membuka ke kiri.

Perhatikan gambar 2.27. Fokusnya f( a-p, b).

Persamaan direktrisknya adalah x = a + p.

Contoh 23.

Tentukan persamaan parabola dengan titik focus (5,4) dan titik puncaknya di (2,4).

Kemudian gambarkanlah sketsa grafiknya dan tentukan persamaan direktriksnya !

Jawab :

Puncak (a,b) adalah (2,4).

Fokus F(a+p, b) adalah F( 2+ 3, 4) = F (5,4).

Sehingga parabola terbuka ke kanan. Bentuk baku persamaan parabola ini adlaha

(y-b)2 = 4px (x – a) (y-4)2 = 4 (3) ( x – 2)

(y-4)2 = 12 ( x – 2)

y2 – 8y + 16 = 12x – 24

y2 – 8y – 12x + 40 = 0

Sketsa grafiknya tampak di dalam Gambar 2.28.

Persamaan direktrisknya adalah

X = a – p

x = 2 – 3

x = - 1

x + 1 = 0

Gambar 2.28

Contoh 24

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (1, -3) dan titik fokusnya (0,30.

Selanjutnya tentukan persamaan direktriksnya dan gambarkan sketsa grafiknya!

Jawab :

Puncak (a, b) adalah (1, -3)

Fokus F(a-p, b) adalah F(1 – 1, -3) = F(0,-3)

Sehingga parabola terbuka ke kiri. Bentuk persamaan parabola ini adalah

(y-b)2 = -4px (x – a) (y-(-3))2 = -4 (1) ( x – 1)

(y+ 3)2 = -4 ( x – 1)

y2 – 6y + 9 = -4x – 4

y2 – 6y – 4x + 5 = 0

Sketsa grafiknya tampak di dalam Gambar 2.29.

Persamaan direktrisknya adalah

X = a + p

x = 1 + 1

x = 2

COntoh 25

Suatu parabola mempunyai persamaan x2 + 6x – 8y – 31 = 0. Tentukan :

a. Koordinat titik puncaknya

b. Koordinat titik fokusnya

c. Persamaan direktriksnya

d. Gambarkan sketsa grafiknya

Jawab :

x2 + 6x – 8y – 31 = 0

x2 + 6x = 8y + 31

x2 + 6y + 9 = 8y + 31 + 9

(x + 3)2 = 8 ( y + 5 )

Persamaan di atas merupakan persamaan parabola yang terbuka ke atas dengan a

= -3, b = -5, dan 4p = 8 sehingga p = 2

a. Koordinat titik puncaknya (a, b) adalah (-3, -5)

b. Koordinat titik fokusnya F (a, b + p) adalah F (-3, -5 +2), sehingga F (-3, -3).

c. Persamaan direktriksnya y = b – p adalah y = -5-2, sehingga y = -7.

d. Sketsa grafiknya tampak dalam gambar 2.30.

Gambar 2.30

6. Perpotongan antara Garis dengan Parabola

Pandang parabola dengan persamaan

Y2 = 4px

Dan garis h dengan persamaan …(21)

y = mx + n …(22)

Bila persamaan (22) disubtitusikan ke dalam persamaan (21), diperoleh

(mx + n)2 = 4px

m2x2 2mnx + n2 – 4px = 0

m2x2 + (2mn – 4p) x + n2 = 0 …(23)

Persamaan (23) merupakan persamaan kuadrat dalam x.

Diskriminan dari persamaan ini adalah

D = (2mn – 4p)2 – 4m2n2

D = 4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2

D = 26p (p-mn) …(24)

Kedudukan garis h terhadap parabola ditentukan oleh nilai D di atas, sehingga ada

tiga kemungkinan hubungan antara garis dan parabola, seperti diperlihatkan di

dalam Gambar 2.31

Gambar 2.31

Gambar 31 (a) menunjukkan bahwa garis h tidak memotong maupun menyinggung

parabola. Hal ini terjadi bila D < 0.

Gambar 31 (b) menunjukkan bahwa garis h menyinggung parabola. Hal ini terjadi

bila D = 0

Gambar 31 © menunjukkan bahwa garis h memotong parabola di dua titik yang

berlainan. Hal ini terjadi bila D > 0.

Contoh 26

Tentukan kedudukan garis y = x + 2 terhadap parabola y2 = 8x

Jawab :

Y = x + 2

Y2 = 8x

Dari persamaan (a) dan (b), diperoleh

(x + 2)2 = 8x

x2 + 4x + 4 – 8x = 0

x2 – 4x + 4 = 0

D = (-4)2 – 4.1.4 = 16 – 16 = 0

Ternyata D = 0, sehingg dapat disimpulkan bahwa garis y = x + 2 merupakan garis

singgung parabola y2 = 8x.

7. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Parabola

Syarat garis menyinggung parabola adalah D = 0. Sehingga dari persamaan (24),

kita dapat menuliskan persamaan

16p (p – mn) = 0 16p2 – 16 pmn = 0

16 pmn = 16 p2

n = 16𝑝2

16𝑝𝑚

n =𝑝

𝑚

Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4px didefinisikan dengan

persamaan

Y = mx + 𝑝

𝑚

Contoh 27

Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 =4

3𝑥 dengan gradient sama

dengan 2.

y2 = 4

3𝑥, maka 4 p =

4

3, sehingga p =

1

3

Gradien = 2, maka m = 2

Persamaan garis singgungnya adalah

y= mx + 𝑝

𝑚

y = 2x +

1

3

2

y = 2x + 1

6

8. Persamaan Garis Singgung melalaui sebuah titik pada parabola

Perhatikan gambar 2.32 yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung

parabola y2 = 4px di titik P (x1, y1).

Garis h yang melalui titik P (x1, y1), sehingga persamaan garis h adalah

y-y1 = m (x – x1) …(25)

Secara geometri gradient garis singgung di titik (x1, y1) pada kurva (dalam hal ini

parabola) didefinisikan dengan persamaan

m = 𝑑𝑦

𝑑𝑥]

(𝑥1,𝑦1)

Selanjutnya pandang parabola

y2 = 4px x = 𝑦2

4𝑝

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

2𝑦

4𝑝=

𝑦

2𝑝, maka

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

2𝑝

𝑦

Sehingga gradient garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik (x1, y1) adalah

m = 𝑑𝑦

𝑑𝑥]

(𝑥1,𝑦1)=

2𝑝

𝑦1

Dari persamaan (25) dan (26), diperoleh

Y – y1 = 2𝑝

𝑦1 (x – x1)

yy1 – y1 = 2p(x – x1)

Titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = 4px, maka

y12 = 4px

Dari persamaan (27) dan (28), diperoleh

Yy1 – 4px1 = 2px – 2px1 yy1 = 2px + 2px1

yy1 = 2p (x + x1)

Jadi, persamaan garis singgung parabola y2 = 4px di titik (x1, y1) didefinisikan

dengan

Yy1 = 2p (x + x1)

Contoh 28

Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (18,12).

Jawab :

Y2 = 8x, maka 4p = 8, sehingga [ = 2.

(x1, y1) adalah (18, 12).

Persamaan garis singgungnya adalah

Yy1 = 2p (x + x1) y (12) = 2.2 (x + 18)

12y = 4 (x + 18)

y = 1

3 x + 6.

Contoh 29

Tentukanlah persamaan garis singgung yang melalui titik potong antara garis x – y =

3 dan parabola y2 =4x.

Jawab :

X – y = 3 y = x – 3

y2 = 4x

Dari persamaan (a) dan (b), diperoleh

(x – 3)2 =4x x2 – 6x + 9 – 4x = 0

x2 – 10x + 9 = 0

(x – 9) (x – 1) = 0

X = 9 atau x = 1

Untuk x = 9, maka y = 9 – 3 = 6

Untuk x = 1, maka y = 1 – 3 = -2

Sehingga titik potongnya adalah (9,6) dan (1, -2).

y2 = 4x, maka 4p = 4, sehingga p = 1

Persamaan garis singgung parabola y2 = 4x di titik (9, 60 adalah

Yy1 = 2p (x + x1) 6y = 2(x + 9)

y = 1

3x + 3

Sedangkan di titik (1, -2) adalah

-2y = 2 (x + 1) y = -x -1

9. Persamaan Garis Singgung melalui sebuah titik di luar parabola

Contoh 30

Buktikan bahwa titik P (4, 3) terletak di luar parabola y2 = 2x. Kemudian tentukan

persamaan garis singgung parabola itu yang melalui titik P.

Jawab :

Subtitusikan P (4, 3) pada parabola y2 = 2x. Ternyata 32 > 2(4), ini artinya titik P

(4,3) terletak di luar parabola y2 = 2x.

Karena y2 = 4px dan y2 = 2x, maka

2 = 4p, maka p = 1

2

Persamaan garis singgung dengan gradient m pada y2 = 4px adalah y = mx + 𝑝

𝑚 ..(a)

Garis singgung tersebut melalui titik P( 4,3) pada parabola y2 = 2x, maka persamaan

(a) menjadi :

3 = 4m +

1

2

𝑚

3 = 4m + 1

2𝑚11 x 2m

6m = 8m2 + 1

8m2 – 6m + 1 = 0

(2m – 1) (4m – 1) = 0

M = 1

2, m =

1

4

Untuk m = 1

4 maka persamaan garis singgungnya adalah

y – 3 = 1

4 (x – 4) y =

1

4𝑥+ 2

g1 : y = 1

4𝑥+2

Sedangkan untuk m = 1

2 persamaan garis singgungnya adalah

y – 3 = 1

2 (𝑥 − 4) ≤> 𝑦 =

1

2 x + 1

g2 : y = 1

2𝑥+1

LATIHAN

1. Tentukan kedudukan garis berikut terhadap parabola y2 = 5x

2. Garis y = x + c menyinggung parabola y2 = 8x di titik P. TEntukan

3. Suatu garis dengan gradient I menyinggung parabola y2 = 4x di titik P, tentukan

4. Titik P yang berkoordinat 4 terletak pada parabola y2 = -8x. Tentukan

5. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang membentuk sudut

450 terhadap sumbu X.

6. Titik A dan B masing-masing berabsis 4 dan 1 terletak pada parabola y2 = 9x,

tentukan :

7. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4x yang tegak lurus

dengan garis y = 1

3√3𝑥+ 5.

C. ELIPS

1. Persamaan Elips yang pusatnya di O (0,0)

Perhatikan gambar 2.34 (a) yang memperlihatkan sebuah elips yang berpusat di

titik O (0,0).

Gambar 2.34

Titik P (x, y) terletak pada elips. Jika kedua titik tertentu tersebut, yang

dinamakan focus-fokus adalah F1(-c, 0) dan F2(c, 0), maka berdasarkan definisi

PF1 + PF2, adalah tetap, misalkan 2a.

Jadi, dapat ditulis

PF1 + PF2 = 2a …(29)

Berdasarkan rumus jarak dua titik, persamaan (29) menjadi

√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a

√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2 a - √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2

√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4a2 – 4 a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + (x – c)2 + y2

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + x2-2cx + c2 + y2

4a√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4a2 – 4vx

a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = a2 – cx

a2 ((x – c)2 + y2) = (a2 – cx)2

a2x2 -2a2 cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2 cx + c2x2

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2 (a2 – c2)

𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

(𝑎2−𝑐2 )= 1

Dari gambar 2.34 (b) diperoleh hubungan a2 = b2 + c2 atau a2 – c2 = b2

Dari persamaan (30) dan (31), diperoleh persamaan elips dengan pusat O(0,0),

yakni :

𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 =1

Sifat-sifat elips

1) Elips mempunyai sumbu mayor (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumber

pendek). Dalam gambar 2.34 (a), yang merupakan sumbu mayor adalah AA’

dan sumbu minor adalah BB’

2) Elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 =1 memotong sumbu X di titik (a, 0) dan (-a, 0), dan memotong

sumbu Y di titik (0, b) dan (0, -b). Sehingga panjang sumbu mayor = 2a dan

panjang sumbu minor = 2b.

3) Sumbu simetri elips adalha sumbu mayor dan sumbu minor. Sumbu mayor

dan sumbu minor berpotongan di titik pusat elips.

4) Sumbu mayor dan sumbu minor berpotongan dengan elips di puncak-puncak

elips. Dalam gambar 2.34 (a), yang merupakan puncak elips adalah titik A

(a,0), A’(-a, 0), B(0, b), dan B’(0, -b).

5) Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan garis

direktriks disebut eksentrisitas, disingkat e.

Besarnya eksentrisitas (e) adalah

e = 𝑐

𝑎 dengan 0 < e < 1.

Karena c = √𝑎2 − 𝑏2,maka e = √𝑎2−𝑏2

𝑎

Contoh 31

Diketahui persamaan elips adalah 9x2 + 25 y2 = 225

Tentukan titik-titik puncak elips, dan titik-titik fokusnya, kemudian sketsalah elips

tersebut!

Jawab :

9x2 + 25y2 = 225

9𝑥2

225 +

25𝑦2

225 =1

𝑥2

25 +

𝑦2

9 =1

Sehingga diperoleh

a2 = 25 a = ±5

b2 = 9 b = ± 3

Jadi puncak-puncak elips adalah A (5, 0),

A’ (-5, 0), B(0,3), dan B’ (0, -3).

Pada elips berlaku hubungan c2 = a2 – b2, sehingga

c2 =25- 9 =16 c = 4

Jadi, focus elips adalah F1 (-4, 0) dan F2 (4,0).

Sketsa elipsnya tampak dalam gambar 2.35

Gambar 2.35

2. Persamaan Elips yang Pusatnya di (p, q)

Perhatikan gambar 2.39 yang memperlihatkan sebuah elips dengan pusat di (p,

q). F1 dan F2 merupakan focus dengan koordinat (p + c, q) dan (p – c, q).

Titik-titik A, A’, B, dan B’ merupakan puncak-puncak elips dengan koordinat A (p

+ a, q)

A’ (p – a, q), B (p, q + b), dan B’ (p, q – b).

Persamaan elips pada gambar 2.39 adalah

(𝑥−𝑝)2

𝑎2 + (𝑦−𝑞)2

𝑏2 =1

Contoh 35

Diketahui elips dengan persamaan x2 + 4y2 -2x – 16y + 13 = 0

Tentukanlah

a. Pusat elips

b. Sumbu mayor dan sumbu minor

c. Koordinat titik focus

d. Koordinat titik puncak

e. Sketsa grafiknya

Jawab :

Ubahlah persamaan x2 + 4 y2 – 2x – 16y + 13 = 0 ke dalam bentuk

(𝑥−𝑝)2

𝑎2 + (𝑦−𝑞)2

𝑏2 =1, sebagai berikut :

x2 + 4y2 – 2x – 16y + 13 = 0

x2 – 2x + 1 + 4y2 – 16y + 16 – 4 = 0

(x2 – 2x + 1) + (4y2 – 16y + 16) =4

(𝑥2−2𝑥+1)

4 +

4(𝑦2 −4𝑦+4)

4 =1

(𝑥−1)2

4 +

(𝑦−2)2

1 =1

Dari persamaan terakhir, diperoleh a = 2, b = 1, p = 1 dan q = 2. Sehingga dpaat

ditentukan

a. Pusat elips di (p, q) adalah (1, 2)

b. Sumbu mayor 2 a adalah 4 dan sumbu minor 2 b adalah 2

c. C = √𝑎2 − 𝑏2 , = √22 − 12,= √3

Koordinat F 1 (p + c, q) dan F2 (p – c, q) adalah F1 (1 + √3, 3 dan F2 (1 - √3, 2)

d. Koordinat titik puncaknya A (p + a, q), A’(p-a, qA), B(p, q+ b), dan B’(p, q-b)

adalah A(3,2), A’(-1,2), B(1,3) dan B’(1,1).

e. Sketsa grafiknya tampak pada gambar 2.40

Gambar 2.40

Persamaan elips dengan pusat di (p, q) yang lalin diperlihatkan di dalam gambar

2.41.

Gambar 2.41

Koordinat titik fokusnya F1 (p, q + c) dan F2 (p, q – c). Koordinat titik puncaknya A

(p, q + a), A’(p, q – a), B(p + b, q) dan B’(p-b, q). Persamaan elips ini adalah.

(𝑥−𝑝)2

𝑏2 + (𝑦−𝑝)2

𝑎2 =1

Diketahui elips dengan persamaan 4x2 + y2 -8x – 4y + 4 = 0

Tentukanlah :

a. Pusat elips

b. Sumbu mayor dan sumbu minor

c. Koordinat titik fokus

d. Koordinat titik puncak

e. Sketsa grafiknya

Jawab :

4x2 + y2 -8x – 4y + 4 = 0

4x2 – 8x + 4 + y2 – 4y + 4 – 4 = 0

(4x2 – 8x + 4) + (y2 – 4y + 4) = 0

4(𝑥2−2𝑥 +1)

4 +

(𝑦2 −4𝑦+4)

4 = 1

(𝑥−1)2

4 +

(𝑦−2)2

1 =1

Dari persamaan terakhir , diperoleh b = 1, a = 2, p = 1 dan q = 2

Sehingg adapat ditentukan:

a. Pusat elips di (p, q) adalah (1,2).

b. Sumbu mayor 2 a adalah 4 dan sumbu minor 2b adalah 2.

c. c = √𝑎2 − 𝑏2 = √22 − 12 = √3, koordinat titik fokusnya F1 (1, 2 + √3 ) dan

F2 (1, 2 - √3 ).

d. Koordinat titik puncaknya A (p, q + a), A’ (p, q – a), B(p + b, q), dan B’ (p – b,

q) adalah A (1, 4), A’ (1, 0), B (2,2) dan B’ (0, 2).

e. Sketsa grafiknya tampak di dalam gambar 2.42

Gambar 2.42

3. Perpotongan antara Garis dengan Elips

Perhatikan gambar 2.43 yang memperlihatkan kedudukan sebuah garis lurus

terhadap elips.

Gambar 2.43

Bila persamaan garis h adalah y = mx + n dan persamaan elips adalah

𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2=1, maka dari kedua persamaan tersebut diperoleh

𝑥2

𝑎2 + (𝑚𝑥+𝑛)2

𝑏2 = 1

b2x2 + a2 (m2x2 + 2mx + n2 ) =a2b2

(b2 + a2m2)x2 + 2mna2 x + (a2n – a2b2) = 0

(b2 + a2m2)x2 + 2a2mnx + a2 (n2 – b2) = 0

Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat dalam x. Diskriminan

persamaan ini adalah :

D = (2a2mn2) – 4 (b2 + a2m2)a2 (n2 b2)

D = 4a4m2n2 – 4a2 (b2 n2 – b4 + a2m2n2 – a2b2m2)

D = 4a4m2n2 – 4a2 b2 n2 + 4a2m2n2 – 4a2b2m2 + 4a2b2m2

D = – 4a2 b2 (n2 – b2 + a2m2)

Kedudukan garis h terhadpa elips ditentukan oleh nilai diskriminan di atas,

sebagai berikut.

a. Jika D < 0, maka garis h tidak memotong maupun menyijnggung elips (lihat

gambar 2.43(a)).

b. Jika D = 0, maka garis h menyinggung elips (lihat gambar 2.43 (b)).

c. Jika D > 0, maka garis h memotong elips di dua titik yang berbeda (lihat

gambar 2.43 (c)).

4. Persamaan Garis Singgung dengan gradient m pada Elips

Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2=1, maka besarnya

diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan

kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah D = -4a2b2 (n2-b2 –

a2m2), sehingga diperoleh -4a2b22 (n2-b2 –a2m2) = 0

n2 - b2 – a2m2 = 0

n2 = b2 + a2m2

n = ± √𝑎2𝑚2 + 𝑏2

Jadi, persamaan garis singgung pada elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 =1 dengan gradient m

didefinisikan dengan persamaan :

y = mx ± √𝑎2𝑚2 + 𝑏2

5. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips

Perhatikan gambar 2.44 yang memperlihatkan sebuah garis h yang

menyinggung elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2=1 di titik P (x1, y1).

Karena garis h melalui titik P (x1, y1), maka persamaan garis h adalah

y – y1 = m (x – x1) …(32)

Secara geometri gradient garis singgung di titik P (x1, y1) pada elips didefinisikan

dengan persamaan

m = 𝑑𝑦

𝑑𝑥]

(𝑥1,𝑦1)

Dengan mengambil diferensial pada elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2=1

d (𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 ) = d (1)

d (𝑥2

𝑎2) + d + (𝑦2

𝑏2) =0

2𝑥

𝑎2 dx + 2𝑦

𝑏2 = 0

2𝑦

𝑏2 dy = - 2𝑥

𝑎2 dx

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = -

2𝑥

𝑎2 𝑏2

2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑏2

𝑎2 𝑥

𝑦

Diperoleh gradient garis singgung pada elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 =1 di titik (x1, y1 adalah

m = 𝑑𝑦

𝑑𝑥]

(𝑥1,𝑦1) =

𝑏2

𝑎2 𝑥

𝑦

dari persamaan (32) dan (33), diperoleh

y – y1 = - 𝑏2

𝑎2 𝑥

𝑦 (x – x1)

a2yy1 – a2y12 = -b2xx1 + b2 x12

a2yy1 + b2xx1 = a2y12 + b2x12

𝑥𝑥1

𝑎2 + 𝑦𝑦1

𝑏2 =𝑦1

2

𝑏2 + 𝑥1

2

𝑎2

𝑥𝑥1

𝑎2 + 𝑦𝑦1

𝑏2 =𝑥1

2

𝑎2 + 𝑦1

2

𝑏2 …(34)

Titik P (x1, y1) terletak pada elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2=1, maka berlaku

𝑥12

𝑎2 + 𝑦1

2

𝑏2=1 …(35)

Dari persamaan (34) dan (35) diperoleh

𝑥𝑥1

𝑎2 + 𝑦𝑦1

𝑏2

Jadi, persamaan garis singgung elips 𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 =1 di titik P (x1, y1) didefinisikan

dengan persamaan.

𝑥𝑥1

𝑎2 + 𝑦𝑦1

𝑏2

D. HIPERBOLA

1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O(0,0)

Perhatikan gambar 2.45, yakni sebuah hiperbola yang berpusat di O (0, 0).

Gambar 2.45

Jika kita menentukan dua titik tertentu, yang dinamakan fokus, di F1 (-c, 0) dan

F2 (c, 0) dan jika konstanta tersebut sama dengan 2a, maka sebuah titik P (x, y)

terletak pada hiperbola itu jika dan hanya jika

√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

(√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 = (2𝑎 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2

(x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2+ (x – c)2 + y2

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 + 4a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + x2 – 2xc + c2 + y2

4a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = -4a2 + 4cx

a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = -a2 + cx

(a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 = (a2 + cx)2

a2 ((x – c)2 + y2 ) = a4 – 2a2cx + c2x2

a2 (x2 – 2cx + c2+ y2) = a4 – 2a2cx + c2x2

a2x2 – 2a2cx + a2c2+ a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a4 –a2c2

(c2 – a2) x2 – a2 y2 = a2(c2 –a2)

𝑥2

𝑎2 - 𝑦2

(𝑐2 − 𝑎2 ) = 1 …(36)

Karena c > 0, maka c2 > a2 , sehingga c2 – a2 > 0 . Misalkan kita tentukan c2 – a2

= b2, sehingga persamaan (36) menjadi

𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2=1 …(37)

Persamaan di atas adalah persamaan hiperbola

Sifat-sifat hiperbola:

a. Perpotongan antara sumbu koordinat dengan hiperbola disebut puncak.

Koordinat-koordinat puncak persamaan hiperbola (37) adalah (-a, 0) dan (a,

0).

b. Ruas garis yang menghubungkan kedua fokus disebut sumbu mayor. Pada

gambar 2.45 sumbu mayornya adalah AA, yang panjangnya 2a.

c. Ruas garis yang melalui titik pusat hiperbola dan memotong tegak lurus

sumbu mayor disebut sumbu minor. Pada gambar 2.45 sumbu minornya

adalah BB’ yang panjangnya 2b.

d. Sumbu simetri persamaan hiperbola (37) adalah sumbu X dan sumbu Y.

Sumbu simetri yang melalui F1 dan F2 disebut sumbu utama atau sumbu

nyata. Sumbu simetri yang melalui titik tengah F1 dan F2 serta tegak lurus

sumbu mayor disebut sumbu sekawan atau sumbu imajiner

e. Persamaan hiperbola (37) mempunyai asimtot :

y = 𝑏

𝑎 x dan y = -

𝑏

𝑎 x

Perhatikan gambar 2.46.

Garis g dan h adalah garis asimtot

g : y = - 𝑏

𝑎 x

h : y = 𝑏

𝑎 x

terlihat bahwa garis g dan h membatasi daerah grafik dari masing-masing

cabang hiperbola.

2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat di (p,q)

Perhatikan gambar 2.51 yakni sebuah hiperbola dengan pusat di (p,q)

Persamaan hiperbola dalam Gambar 2.51 adalah

(𝑥−𝑝)2

𝑎2 −(𝑦−𝑞 )2

𝑏2 = 1

Hiperbola ini mempunyai sifat:

a. Koordinat titik puncaknya A(p +a, q) dan A’(p – a,q)

b. Koordinat fokusnya F1 (p + c, q) dan F2 (p – c,q)

c. Koordinat titik ujung sumbu minor (p, q + b) dan (p, q – b)

d. Persamaan asimtotnya adalah

g : y = −𝑏

𝑎(𝑥 − 𝑝) + 𝑞 𝑑𝑎𝑛 ℎ ∶ 𝑦 −

𝑏

𝑎(𝑥 − 𝑝) + 𝑞

Contoh 44

Diketahui hiperbola dengan persamaan (𝑥−3)2

16−

(𝑦−2)2

9= 1

Tentukan :

a. Koordinat titik pusat

b. Koordinat titik puncak

c. Koordinat titik focus

d. Koordinat ujung sumbu minor

e. Persamaan asimtot

f. Sketsalah Grafiknya

3. Perpotongan antara garis dengan hiperbola

Diketahui hiperbola dengan persamaan

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1 …(38)

Dan garis h dengan persamaan

y = mx + n …(39)

Jika persamaan (39) disubtitusikan ke dalam persamaan (38), diperoleh

𝑥2

𝑎2 −(𝑚𝑥 +𝑛)2

𝑏2 = 1

b2x2 – a2 (m2x2 + 2mnx + n2) – a2 b2 = 0

(b2 – a2m2)x2 – 2a2mnx – a2 (n2 + b2) = 0

Persamaan yang terkahir merupakan persamaan kuadrat dalam x. Diskriminan

dari persamaan ini adalah

D = (-2a2mn)2 – 4 (b2 –a2m2) (-a2 (n2 + b2))

D = 4a4 m2n2 + 4a2 (b2n2 + b4 – a2 m2n2 – a2b2m2)

D = 4a2b2 (n2 + b2 –a2m2)

Kedudukan garis h terhadap hiperbola ditentukan oleh nilai D di atas, sehingga

ada tiga kemungkinan hubungan antara garis h dengan hiperbola, seperti

diperlihatkan dalam Gambar 2.55

Gambar 2.55

Gambar 2.55 (a) menunjukkan bahwa garis h tidak memotong maupun

menyinggung hiperbola. Hal ini terjadi bila D < 0/

Gambar 2.55 (b) menunjukkan bahwa garis h menyinggung hiperbola. Hal ini

terjadi bila D = 0.

Gambar 2.55 (c) menunjukkan bahwa garis h memotong hiperbola di dua titik

yang berbeda. Hal ini terjadi bila D > 0.

4. Persamaan Garis singgung dengan gradient m pada Hiperbola

Jika garis h menyinggung hiperbola, maka diskriminan D = 0, sehingga

4a2b2 (n2 + b2 – a2m2) = 0

n2 + b2 – a2m2 = 0

n2 = a2m2 – n2

n = ± √𝑎2𝑚2 − 𝑏2

Jadi persamaan garis singgung dengan gradient m pada hiperbola 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1

didefinisikan dengan persamaan

Y = mx ± √𝑎2𝑚2 − 𝑏2

Contoh 47

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 1 pada hiperbola

𝑥2

100−

𝑦2

64= 1

Jawab :

𝑥2

100−

𝑦2

64= 1 , maka a2 = 100, b2 = 64

Gradien m = 1

Persamaan garis singgungnya adalah :

Y = mx ± √𝑎2𝑚2 − 𝑏2

y = x ± √100.1 − 64

y = x ± √36

Y = X ± 6

5. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada hiperbola

Dari gambar 2.56 tampak sebuah garis h yang menyinggung hiperbola

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1 di titik P (x1, y1)

Garis h melalui titik (x1, y1) sehingga persamaan garis h adalah

y - y1 = m (x – x1) …(40)

Kita mengetahui bahwa m = 𝑑𝑦

𝑑𝑥]

(𝑥1,𝑦1)

Diferensialkan persamaan hiperbola sebagai berikut :

Gambar 2.56

d(𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 ) = 𝑑(1)

d(𝑥2

𝑎2) − d (𝑦2

𝑏2 ) = 0

2𝑥

𝑎2 𝑑𝑥 - 2𝑦

𝑏2 𝑑𝑦 = 0

2𝑦

𝑏2 𝑑𝑦 = 2𝑥

𝑎2 𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

2𝑥

𝑎2 𝑏2

2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑏2𝑥

𝑎2𝑦

Sehingga gradient garis singgung pada hiperbola 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1 di titik (x1, y1)

adalah

m = 𝑏2𝑥1

𝑎2𝑦1 …(41)

dari persamaan (4) dan (41), diperoleh

y – y1 = 𝑏2𝑥1

𝑎2𝑦1 (x – x1)

a2yy1 – a2y12 = b2xx1 – b2 x12

a2yy1 – b2xx1 = a2y1 – b2 x12

𝑦𝑦1

𝑏2 − 𝑥𝑥1

𝑎2 = 𝑦1

2

𝑏2 − 𝑥1

2

𝑎2

𝑥𝑥1

𝑎2 − 𝑦𝑦1

𝑏 =

𝑥12

𝑎2 − 𝑦1

2

𝑏2 …(42)

Titik P (x1, y1) terletak pada hiperbola 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1, maka berlaku

𝑥12

𝑎2 − 𝑦1

2

𝑏2 = 1 …(43)

Dari persamaan (42) dan (43), diperoleh

𝑥𝑥1

𝑎2 − 𝑦𝑦1

𝑏2 = 1

Jadi persamaan garis singgung hiperbola 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1 di titik (x1, y1) di definisikan

dengan persamaan

𝑥𝑥1

𝑎2 − 𝑦𝑦1

𝑏2 = 1

6. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik di luar hiperbola

Contoh 49

Tunjukkan bahwa titik P(0,0) terletak di luar hiperbola 𝑥2

9−

𝑦2

4= 1

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola tersebut yang melalui titik P.

Jawab:

Subtitusikan titik P (0,0) pada hiperbola 𝑥2

9−

𝑦2

4= 1, di dapat

02

9−

02

4< 1. Ini

artinya titik P terletak di luar hiperbola.

Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik P(0,)) dengan gradien m,

adalah y – 0 = m (x – 0)

y = mx …(a)

Persamaan hiperbolanya

𝑥2

9−

𝑦2

4= 1

4x2 – 9y2 – 36 = 0 …(b)

Subtitusikan persamaan (a) ke (b), diperoleh

4x2 – 9y2 – 36 = 0 4x2 – 9m2x2 – 36 = 0

(4-9m2) x2 – 36 = 0

Diskriminan dari persamaan terakhir di atas adalah

D = 02 – 4 (4 – 9m2) (-36) = 576 – 1296 m2

Karena garis menyinggung hiperbola, haruslah D = 0, sehingga

576 – 1296 m2 = 0

1296 m2 = 576

m = ± √576

1296= ±

24

36= ±

2

3

Persamaan garis singgung untuk m = 2

3 adalah y =

2

3 x sedangkan untuk m = -

2

3

adalah y = - 2

3 x

LATIHAN ULANGAN BAB 2

A. Pilihlah satu jawaban yang benar!

1. Persamaan lingkaran yang titik pusatnya P(-5, 4) dan melalui titik Q (2, -3)

adalah…..

a. x2 +y2 + 5x – 4y + 57 = 0

b. x2 + y2 – 10x + 8y + 9 = 0

c. x2 + y2 -10x + 8y -9 =0

d. x2 + y2 + 10x – 8y -57 = 0

e. x2 + y2 + 10x – 8y + 57 = 0

2. Lingkaran yang titik pusatnya P (-3, 4) dan menyinggung garis 6x – 8y + 25 = 0

mempunyai jari-jari r = …..satuan.

a. 1

10

b. 2 1

2

c. 5

d. 73

10

e. 10

3. Diketahui titik A(1, 1) dan B (5, 7). Persamaan lingkaran yang diameternya AB

adalah ….

a. x2 + y2 – 6x – 8y – 27 = 0

b. x2 + y2

4. Diketahui garis g dengan persamaan 2x + y = 2. Persamaan lingkaran yang

menyinggung garis g di titik (1, 0) dan berjari – jari 2√5 adalah ….

a. x2 + y2 + 10x + 4y + 9 = 0 d. x2 + y2 + 10x +4y – 9 = 0

b. x2 + y2 – 10x -4y + 9 = 0 e. x2 + y2 – 4x – 10y +9 = 0

c. x2 + y2 – 10x – 4y – 9 = 0

5. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 4x +6 – 45 = 0 melalui titik P

(_1, 4) adalah ….

a. 3x – 7y – 31 = 0 d. 7x – 3y – 31 = 0

b. 3x – 7y + 31 = 0 e. 7x – 3y + 31 = 0

c. 7x + 3y – 31 = 0

6. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 8x + 6y = 0 melalui titik (0, 0)

adalah ….

a. 4x – 3y = 0 d. 2x – 3y = 0

b. 3x – 4y = 0 e. 3x +4y = 0

c. 4x +3y = 0

7. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 24 yang di tarik dari titik P

pada lingkaran itu dengan ordinat – 4 di daerah kuadran III adalah ….

a. x√2 + 2y + 12 = 0 d. x + y √2 – 6 = 0

b. x√2 + 2y – 12 = 0 e. 2x + y√2 + 12 = 0

c. x + y √2 + 6 = 0

8. persamaan parabola dengan titik puncak ( 2,-3) melalui titik (4,1) dan sumbu

simetrinya sejajar sumbu x adalah…

a. 𝑦2 + 6y – 8x – 25 = 0 d. 𝑦2 + 6y – 2x + 13 = 0

b. 𝑦2 + 6y – 8x + 25 = 0 e. 𝑦2 + 6y – 2x + 13 = 0

c. 𝑦2 - 6y – 2x + 13 = 0

9. Koordinat titik fokus parabola (2x – 3)2 = 16 (y – 2) adalah….

a. (1

2, 1) d. (−1

1

2, 1)

b. (1

2, 3) e. (1

1

2, 4)

c. (−11

2, 3)

10. Parabola dibawah ini titik fokusnya di (0,3). Persamaannya adalah

Gambar parabola

a. (y + 3)2 = -8(x +2)

b. (y – 3)2 = 8(x – 2)

c. (y – 3)2 = -8(x – 2)

d. (x – 2)2 = -8 (y – 3)

e. (x + )2 = 8 (y + 3)

11. Persamaan parabola yang titik puncaknya (6,0) dan titik fokusnya (0,0) adalah…

a. y2 = -24 x + 144 d. y2 = 36 x - 216

b. y2 = 24x – 144 e. y2 = 4x - 24

c. y2 = -36x + 216

12. Titik fokus parabola y2 -12 x – 4y + 16 = 0 adalah…

a. (5,1)

b. (4,2)

c. (-1,1)

d. (-2,2)

e. (1,2)

13. Bentuk umum persamaan irisan kerucut Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 akan

berbentuk persamaan parabola yang menghadap ke kiri apabila…

a. A = 0 dan B = 0

b. A = B = 0, C > 0 dan D > 0, atau C < 0 dan D < 0

c. A = 0, C > 0, D < 0

d. B = C = 0, A > 0 dan E > 0 atau A < 0 dan E < 0

e. B = C = 0, A > 0 dan E < 0

14. Persamaan garis singgung pada parabola y2 – 8x – 4y + 12 = 0 di titik (3, 6)

adalah…

a. X – y + 3 = 0

b. 2x – y = 0

c. X – 2y + 9 = 0

d. X + y – 9 = 0

e. 3x + y – 15 = 0

15. Persamaan garis singgung pada parabola y2 – 8x – 6y + 1 = 0 yang tegak lurus

pada garis x + 2y = 0 adalah…

a. 4x – 2y + 10 = 0

b. 6x – 3y + 2 = 0

c. 2x – y + 8 = 0

d. 2x – y + 6 = 0

e. 8x – 4y + 5 = 0

16. Elips dengan titik titik puncak (27,2), (-23,2), (2,9) dan (2,-5) persamaannya

adalah…

a. (𝑥−2)2

729 +

(𝑦−2)2

81 = 1

b. (𝑥−2)2

81 +

(𝑦−2)2

729 = 1

c. (𝑥−2)2

625 +

(𝑦−2)2

49 = 1

d. (𝑥−2)2

49 +

(𝑦−2)2

625 = 1

e. (𝑥 + 2)2

729 +

(𝑦 + 2)2

81 = 1

17. Persamaan garis singgung pada elips x2 + 9y2 = 9 di titik (2, 1

3√5) adalah…

a. 2x + 2 √5𝑦= 9

b. 2 √5𝑦 + 2y = 9

c. 2x + 4√5𝑦= 9

d. 2x + 3 √5𝑦= 9

e. 3 √5𝑦 + 2y = 9

18. Persamaan irisan kerucut Ax2 +Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, akan berupa

persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu x atau y jika…

a. A = C, B = 0

b. A = B = 0

c. A > 0, C > 0, A > C, B = 0

d. A > 0, C < 0, B = 0

e. A ≠ C , B ≠ 0.

19. Persamaan hiperbola dengan pusat (0,0) asimtotnya Y = 3

4 x dan Y =-

3

4 x.

Panjang sumbu imajiner = 9 dan fokusnya pada sumbu x adalah…

a. X2 – y2 =81

b. 100x2 – 81y2 = 8100

c. 81 x2 – 100y2 = 8100

d. 144x2 -81y2 = 1166y

e. 81x2 – 144y2

20. Persamaan garis singgung hiperbola x2 – y2 = 9 di titik (5,4) adalah…

a. 2 x – y = 6

b. 3x – 2y = 7

c. X – y = 7

d. 5x – 4y = 9

e. X – 24 = -3

B. Kerjakan dengan singkat dan tepat!

1. Jika garis y = 4

3𝑥 + p menyinggung lingkaran x2 + y2 – 8x – 9 = 0 . Tentukanlah

nili-nilai p yang mungkin!

2. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x – 36 = 0

yang tegak lurus pada garis 2x – 3y + 10 = 0.

3. Tentukanlah koordinat titik focus parabola (2x + 3)2 = 16 (y + 2)

4. Tentukanlah koordinat titik – titik fokus elips 25x2 + 9y2+ 100x – 72y + 19 = 0

5. Tentukan persamaan asimtot hiperbola 9x2 – 16 y2 + 18x + 64 y – 199 = 0.