INTEGRASI NUMERIS Pendahuluan Menurut definisi kamus, mengintegralkan berarti memadukan bersama, sebagian, ke dalam suatu keseluruhan; menyatukan; menunjukkan jumlah total. Secara matematis dapat dinyatakan dengan: I=

f ( x)dxa

b

Ysng diartikan sebagai integrasi fungsi f(x) terhadap variabel x, dievaluasi antara batas x=a sampai dengan x=b Fungsi yang akan diintegrasikan menurut jenisnya adalah salah satu dari ketiga bentuk sebagai berikut. 1. Fungsi kontinu sederhana, seperti sebuah polonomial, eksponensial, atau sebuah fungsi trigoneometri; 2. Suatu fungsi kontinu yang rumit, yaitu yang sukar atau bahkan tidak mungkin untuk mengintegrasikannya secara langsung; 3. Suatu fungsi yang ditabulasikan dengan nilai x dan f (x) diberikan oleh sejumlah titik diskrit, seperti yang sering dijumpai dalam data eksperimen. Untuk kasus pertama, bisa dievaluasi secara eksak dengan menggunakan teknik analitis yang telah dipelajari dalam kalkulus. Tetapi untuk dua kasus yang terakhir harus digunakan metode pendekatan atau aproksimasi. Rumus Newton-Cotes merupakan konsep integrasi numeris yang paling umum. Rumus ini didasarkan pada strategi penggantian sebuah fungsi yang rumit atau data yang ditabulasikan dengan beberapa fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan. I=

f ( x)dx = f ( x)dxn a a

b

b

(1)

Dengan f n (x) adalah sebuah polinomial berbentuk: f n (x) =a0 + a1x + a2x2+ ++ an-1x(n-1) + anxn Dengan n adalah orde polinomial. Polinomial orde pertama adalah garis lurus. A. Trapezoidal Rule Misalnya akan dilakukan integrasi sebagai berikut.

ydxx0

xn

Dengan y =f(x), dalam hal ini f(x) didekati dengan polinomial orde 1 atau garis lurus.

Interval dari x=x0 sampai x=xn dibagi menjadi bagian-bagian kecil yang masing-masing besarnya x, berjumlah n (lihat Gambar). Jumlah n makin besar yang berarti x makin kecil, akan memberikan hasil integrasi semakin baik. Batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2, .., n. Dengan demikian: Xi = x0 + ix Masing-masing bagian dianggap berbentuk trapesium. Nilai integral yang merupakan luasan di bawah kurva dari x0 sampai dengan xn didekati dengan jumlahan luas trapesium-trapesium itu (luas trapesium adalah x tinggi x jumlah sisi sejajar). Dengan demikian diperoleh persamaan sebagai berikut.

x0

xn

ydx =

x ( y 0 + y1 ) + x ( y1 + y 2 ) + x ( y 2 + y # ) + .............. + x ( y n 1 + y n ) 2 2 2 2

Atau

x0

xn

ydx =

x ( y 0 + 2 y1 + 2 y 3 +............. + 2 y n1 + y n ) 2

Atau dalam bentu yang lebih umum dapat ditulis: f ( x0 ) + 2 I = (b a ) lebar

f (x ) + f (x )i n i =1

n 1

2 n tinggi rata rata

Untuk memperoleh hasil yang mendekati kebenaran, perlu diambil interval yang kecil. Contoh:

Tentukan 0,1.

ydx dengan y = ex0

xn

x

+

x ; x0 = 1 xn =3; Gunakan x =1; 0,5; 0,25; dan

Penyelesaian: Dengan x =1: Nilai nilai y pada titik-titik batas: x 1 2 3 y

B. Integrasi dengan Cara Simpson Cara Simson menggunakan polinomial dengan orde yang lebih tinggi. Aturan Simpson 3 titik, atau 1/3 Aturan Simpson 3 titk, atau 1/3 dilakukan dengan mendekatkan fungsi yang diintegralkan (Persamaan 1) I=

f ( x)dx = f ( x)dx2 a a

b

b

(1)

sehingga menghasilkam rumus Simson 3 titik (1/3) sebagai berikut. I= h [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] 3

Dalam hal ini h=(b-a)/2. Rumus Simpson dapat ditulis dengan format sebagai berikut. I = ( ba )lebar

f ( x0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 6 tinggi rata rata

Dalam hal ini a=x0, b=x2, dan x1 adalah titik yang terletak di tengah a dan b atau (b+a)/2. Dari persamaan itu dapat dilihat bahwa titik yang di tengah diberi bobot 2/3 sedangkan masing-masing titik di ujung diberi bobot 1/6. Aturan Simson 3 titik dapat dikembangkan menjadi sejumlah interval yang lebarnya sama, berjumlah N dengan N bilangan genap dan batas-batas interval diberi indeks 0,1,2,.....,N. Selanjutnya setiap 3 titik atau setiap dua interval yang berturutan dikenakan rumus Simpson.

xN

x0

ydx =

x ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + x ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) + x ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) 3 3 3