INTEGRASI NUMERIK

Nana Ramadijanti

INTEGRASI NUMERIK Di dalam kalkulus, terdapat dua hal

penting yaitu integral dan turunan(derivative)

Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIK Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal :

dxexx x5.0

2

0

23

sin5.01)1cos(2

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaadxbax

Cbaadxbax

Caedxe

Cnaxdxax

axax

nn

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

INTEGRASI NUMERIK Perhitungan integral adalah perhitungan

dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai

fungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

ii

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

x0 x1 xnxn-1x

f(x)

0

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

Dasar Pengintegralan Dasar Pengintegralan NumerikNumerik

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dxxfdxxfIb

a n

b

a )()(

Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

nn

1n1n10n xaxaxaaxf

)(

Dasar Pengintegralan Dasar Pengintegralan NumerikNumerik

fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat

fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi

Polinomial dapat didasarkan pada data

INTEGRASI NUMERIK Luas daerah yang

diarsir L dapat dihitung dengan :

L =

b

a

dxxf

Metode Integral Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann Luasan yang dibatasi y = f(x) dan

sumbu x Luasan dibagi menjadi N bagian

pada range x = [a,b] Kemudian dihitung Li : luas setiap

persegi panjang dimana Li=f(xi).ix

Metode Integral Reimann Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan

dituliskan :

Dimana Didapat

i

n

ii

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxfLLLLL

0

3221100

210

.....

n

ii

b

a

xfhdxxf0

hxxxx n ...210

Contoh Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan

sumbu x untuk range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

1

0

2dxxL =

Contoh Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

Secara kalkulus :

Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052

385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

i

ixfhL

.....3333,0|31 1

03

1

0

2 xdxxL

Algoritma Metode Integral Reimann: Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas

ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung

N

iixfhL

0)(.

Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus (linier)

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0ii

b

a

xfxf2h

xfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

L(x)

Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2h

xfxf2hxfxf

2hxfxf

2h

dxxfdxxfdxxfdxxf n

1n

2

1

1

0

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h x4

nabh

Metode Integrasi Trapezoida

iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

.21

.21

1

1

1

0

iiLL

nn

n

iii fffffhffhL

1210

1

01 2...22

221

n

n

ii fffhL

1

10 2

2

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan

batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung

n

n

ii fffhL

1

10 2

2

Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi

parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0ii

b

a

xfxf4xf3h

xfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

1 xx0 xx

1 xxh

dxd h

xx 2

abh

2ba x bx ax let

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx xfxxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

21202

10

12101

200

2010

21

,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()())((

))(()(

)()()()()()()( 212

0 xf2

1xf1xf2

1L

Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3

)()()()()()()( 212

0 xf2

1xf1xf2

1L

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

21

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2

)()1)(

)1(2

)()()(

ξξhxf

ξξhxfξξhxf

dξξξhxfdξξ(hxf

dξξξhxfdξLhdxxfb

a

)()()()( 210

b

axfxf4xf

3hdxxf

Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Aturan Komposisi SimpsonSimpson

x0 x2x

f(x)

x4h h xn-2h xn

nabh

…...

hx3x1 xn-1

Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson,

luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

atau dapat dituliskan dengan:

nnnn ffhffhffhffhffhffhL 11243322110 23

23

...23

23

23

23

n

genapii

ganjilii ffffhL

0 24

3

N = 0 – nL = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

02

20002

2002 !2)()(

!2)()()( f

hhxxf

hxfxf

hhxxxf

hxxfxp

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

02

00

02

00

02

2

2

3

0

2

0

200

22

2

2

3

0

2

0

2

00

2200

2

02

2

0

322

3422

44

68

242

|462

!2)(

)(

fhfhxhfL

fhhfhxhfL

fhh

hhf

hhxhfL

fhx

hxf

hxxfL

dxfhhxxf

hxfL

xdxpdxxfL

hxx

h

hh

Cara II (Buku Rinaldi Munir) Mengingat

Maka selanjutnya

010 fff

)4(3

334

3

332

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffhL

fhfhfhL

fhfhfhhfhfxhfL

fffhffhxhfL

01201120102 2)()( ffffffffff

Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik

)()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0ii

b

a

xfxf3xf3xf8h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

)())()((

))()(()())()((

))()((

)())()((

))()(()())()((

))()(()(

3231303

2102

321202

310

1312101

3200

302010

321

xfxxxxxx

xxxxxxxfxxxxxx

xxxxxx

xfxxxxxx

xxxxxxxfxxxxxx

xxxxxxxL

)()()()( 3210

b

a

b

a

xfxf3xf3xf8h3

3abh ;L(x)dxf(x)dx

Error Pemenggalan

3abh ;f

6480abfh

803E 4

545

t

)()()( )()(

Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8

Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida,

Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

H sama Luas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.

Metode Integrasi Gauss Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan

selang [-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih

nilai tersebut sehingga error integrasinya min

2

)1()1()1()1(2

)(1

1

h

ffffhdxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

Metode Integrasi Gauss Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah

ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

0

32

0

21

1

1

3322

311

1

1

2222

211

1

12211

1

121

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

31

31

1

21

21

xx

cc

Metode Integrasi Gauss Persamaan dibawah ini dinamakan

metode Gauss Legendre 2 titik

)31()

31()(

1

1

ffdxxf

Transformasi

Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u) dx du

b

ai dxxfL )(

1

1

)( duugLi

Transformasi

duabdx

uabbax

aububax

aabuxabuax

uabax

2

2)()(

2

2))(1(2))(1(22

21

a bx

-1 1u

Transformasi

duuabbafabduug

1

1

1

1 2)()()(

21)(

1

1

)( duugLi

)()()(21)( 2

121 abuabfabug

Analisa Dibandingkan dengan metode Newton-

Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi

1

1

)( duug

Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel :

Tentukan fungsi g(u) dengan:

Hitung

)(21

21 abuabx

)()()(21)( 2

121 abuabfabug

31

31 ggL

Contoh Soal

Metode Gauss Legendre 3 Titik

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

Dengan cara yang sama didapat

)()()()( 332211

1

1

xfcxfcxfcdxxfI

543

2

)(;)(;)(

)(;)(;1)(

xxfxxfxxf

xxfxxfxf

53;0;5395;

98;

95

321

321

xxx

ccc

Metode Gauss Legendre 3 Titik

53

950

98

53

95)(

1

1

gggduug

Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

Metode Gauss n-Titik

Beberapa Penerapan Integrasi Numerik Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar Menghitung Luas dan Volume

Benda Putar

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 105

6

3

15

9

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar Dari tabel di atas, luas area dapat

dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5.7322

15

1160

iiyyyhL

5.7316

0

i

iyhL

74243 160

genapii

ganjilii yyyyhL

Menghitung Luas dan Volume Benda Putar Luas benda putar:

Volume benda putar:b

ap dxxfL )(2

b

ap dxxfV 2)(

Contoh :

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali. Bagian I:

Bagian II:

4 cm

6 cm

7 cm

12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

satuan dalam cm

56)7)(4(2 IL

196)7)(4( 2 IV

288)12(122 IIL

345612122 2 IIV

Contoh : Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan

pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

10822

2)(4

150

iiIVII yyyhLL

5.118722

4

1

225

20

iiIVII yyyhVV

IVII LL IVII VV

Contoh : Luas permukaan dari botol adalah:

Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah:

Volume = 18924.78 cm3

4.1758560

10828810856

IVIIIIII LLLLL

60245.118734565.1187196

IVIIIIII VVVVV