TESIS

IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN

FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN

DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG

Oleh:

ADNAN SAUDDIN

NRP. 1304 201 008

PROGRAM STUDI MAGISTERJURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

2006

IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGANFAKTORIAL FRAKTIONAL TANPA PENGULANGANDENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG

Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syaratmemperoleh gelar Magister Sains (M.Si.)

di

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Oleh:

ADNAN SAUDDINNRP. 1304 201 008

Tangal Ujian : 31 Juli 2006Periode Wisuda: September 2006

Disetujui Oleh Tim Penguji Tesis:

1. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D (Pembimbing 1)NIP. 130 368 808

2. DR. Drs. Purhadi, M.Sc (Pembimbing 2)NIP. 131 843 382

3. Prof. Drs. Nur Iriawan, MIkom., Ph.D (Penguji)NIP. 131 782 011

4. DR. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Sc (Penguji)NIP. 131 843 382

5. DR. Drs. Sony Sunaryo, M.Si (Penguji)NIP. 131 883 380

6. Ir. Mutiah Salamah, M.Kes (Penguji)NIP. 131 283 368

Direktur Program Pascasarjana

Prof. Ir. Happy Ratna S., M.Sc., Ph.D.NIP. 130 541 829

IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGANFAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN

DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG

Oleh : Adnan Sauddin

Pembimbing : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D

Co. Pembimbing : Dr. Purhadi, M.Sc

ABSTRAK

Rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang sangat besar tidak memungkin-kan untuk diterapkan didunia industri atau di bidang lainnya. Untuk mengatasihal tersebut, digunakan rancangan faktorial fraktional. Dalam penelitian, penen-tuan faktor mana dari sejumlah faktor yang dinyatakan potensial memberikaninformasi terhadap masalah yang diteliti menjadi lebih sulit jika pengukurannyadilakukan tanpa pengulangan untuk setiap kombinasi perlakuan. Hal tersebutdisebabkan oleh tidak adanya rata-rata kuadrat error yang dapat diperoleh padasebagian besar rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Untuk meng-atasi hal tersebut, dalam penelitian ini dihasilkan statistik uji metode Bissell,Lenth, dan Fang beserta penaksir-penaksirnya yang memberikan suatu analisisformal tentang bagaimana menentukan suatu faktor signifikan atau tidak dalamrancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Juga diperoleh funsi powerdari ketiga metode tersebut, yang digunakan untuk membandingkan kekuatan ujimasing-masingnya. Power uji menunjukkan metode Lenth dan Fang lebih kuatbanding metode Bissell, dan antara metode Lenth dan Fang tidak memberikanindikasi adanya perbedaan kekuatan uji.

Kata kunci : Fraksional Faktorial, fungsi power, metode Lenth, metode Fang,metode Bissell.

iii

IDENTIFICATION SIGNIFICANT FACTORS OFUNREPLICATED FRACTIONAL FACTORIAL DESIGNBY USING BISSELL, LENTH, AND FANG METHODS

By : Adnan Sauddin

Supervisor : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D

Co. Supervisor : Dr. Purhadi, M.Sc

ABSTRACT

Factorial design with number of factors very large is impossible to be apply inindustrial world. To avoid such a problems, fractional factorial design is usedinstead. However, to select the right factor which should be used in order tosupply information about the problem being analyzed will be difficult when werunning each treatment combination without replication. That is causes by dueto absence of mean square error in any analysis of most unreplicated fractionalfactorial design. In this research, statistical test of Bissell, Lenth, and Fangmethods, including their estimation and the power function are resulted. Thepower function that resulting used to comparing power test of these methods,the result are Lenth and Fang method more powerfull than Bissell method, andLenth and Fang methods showed with no indication of resulting different powertest.

Key words : fractional factorial, power function, unreplicated, Bissel method,Lenth method, Fang method.

iv

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN iii

ABSTRAK iii

ABSTRACT iv

DAFTAR TABEL vii

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR LAMPIRAN ix

KATA PENGANTAR x

BAB I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Batasan Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 4

2.1 Model Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Estimasi Kontras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Distribusi dari β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Penaksir σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4 Pengujian Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Rancangan Fraksional Faktorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Identifikasi Struktur Alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Identifikasi Struktur Alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan . . 21

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 27

3.1 Bahan dan Alat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

v

BAB IV. PEMBAHASAN 31

4.1 Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya 31

4.1.1 Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya . . . . . . . . 31

4.1.2 Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth . . . . . . . . 33

4.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Fang . . . . . . . . 37

4.1.4 Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . 39

4.2 Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . 41

4.2.1 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level . . . . . . . 42

4.2.2 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level . . . . . . . 45

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 49

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

DAFTAR PUSTAKA 53

LAMPIRAN 54

Lampiran A. Matriks Rancangan dan Data 55

1.1 Data Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2 Data Pembakaran pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Lampiran B. Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57

2.1 Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Lampiran C. Hasil Penghitungan Power dan Kurva Kuasa Metode

Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf 62

Lampiran D. Listing Program 66

4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . . . . . 68

vi

DAFTAR TABEL

2.1 Susunan Rancangan Faktorial 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Susunan Rancangan Faktorial 23−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Algoritma Yate untuk Rancangan 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.1 Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . 55

1.2 Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . 55

1.3 Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler . . . . . . . 55

1.4 Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaran

pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan

Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . . . 60

2.3 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . . . 61

3.1 Power Metode Bissell untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Power Metode Lenth untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Power Metode Fang untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . 64

vii

DAFTAR GAMBAR

4.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan

Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk Permainan Golf 65

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A: Matrik Rancangan dan Data 55

1.1 Data Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2 Pembakaran pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Lampiran B: Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57

2.1 Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Kasus Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . . . . . . . . . . . . . 58

Lampiran C: Hasil Perhitungan Power dan Kurva Kuasa Metode

Bissell, Lenth, dan Fang 62

Lampiran D : Listing Program 66

4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . . . . . 68

ix

Kata Pengantar

Segala puji hanya milik Allah, hanya kepada-Nya kami berlindung dan

hanya kepada-Nya kami memohon ampunan, kami berlindung kepada-Nya dari

keburukan diri kami dan kejelekan amalan-amalan kami. Bahwa, barang siapa

diberi petunjuk oleh Allah SWT, tidak seorang yang dapat menyesatkannya dan

barang siapa yang disesatkan oleh-Nya, tidak seorang yang dapat memberinya

petunjuk. Saya bersaksi bahwa tidak ada illah yang berhak diibadahi kecuali Al-

lah SWT, dan aku bersaksi bahwa Muhammad rasulullah SAW adalah rasul-Nya.

Alhamdulillah, penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul ”Identifikasi

Faktor signifikan Rancangan Faktorial Fraksional tanpa Pengulangan Dengan

Metode Bissell, Lenth, dan Fang”. Tesis ini merupakan salah satu syarat un-

tuk mendapatkan gelar Magister Sains (M. Si.) pada Jurusan Statistika, Pro-

gram Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut

Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa

tesis ini masih sangat jauh dari kesempurnaan dan dalam penyelesaiannya tidak

terlepas dari bantuan, bimbingan, dan arahan dari berbagai pihak, oleh kare-

nanya pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan

yang setinggi tingginya kepada yang terhormat:

1. Bapak Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S. selaku Koordinator Pro-

gram Studi S2 Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya.

2. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D, selaku pembimbing satu

yang telah meluangkan waktu memberikan arahan dan bimbingan kepada

penulis.

x

3. Dr. Purhadi, M.Sc, selaku pembimbing dua yang telah meluangkan waktu

memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis.

4. Para staf dosen Program Studi Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Novem-

ber Surabaya yang telah membekali penulis dengan ilmu pengetahuan.

5. Semua pihak yang telah banyak membantu dan tidak sempat penulis se-

butkan namanya satu persatu.

Surabaya, Maret 2006

Penulis

xi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Penggunaan rancangan faktorial fraksional telah diperkenalkan oleh Tip-

pett (Box dan Meyer, 1986), dan sejak Tahun 1980 - an telah menjadi perha-

tian. Voelkel dan Rochester (2004), dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa

rancangan ini relatif lebih efisien.

Eksperimen yang didasarkan pada rancangan faktorial, dimaksudkan un-

tuk menentukan faktor mana diantara sejumlah faktor yang secara potensial

memberikan efek pada respon. Namun, pada rancangan faktorial dengan jum-

lah faktor yang besar dan diikuti oleh jumlah kombinasi perlakuan yang besar,

eksperimen menjadi tidak efisien untuk dilakukan. Untuk menurunkan jumlah

kombinasi perlakuan, digunakan rancangan faktorial fraksional.

Jika terdapat lebih dari satu unit eksperimen untuk setiap perlakuan, maka

digunakan analisis varian untuk menguji efek utama dan efek interaksi dalam

model. Semua uji tersebut memerlukan rata-rata kuadrat error (mean squares

error, MSE), sebab estimasi dari varians error didasarkan pada variabilitas

data yang diperoleh dari hasil pengukuran atau pengamatan yang dilakukan se-

cara berulang-ulang untuk setiap perlakuan. Pertanyaan yang kemudian muncul

adalah, bagaimana jika hanya terdapat satu pengamatan pada tiap-tiap per-

lakuan?.

Kelemahan eksperimen tanpa pengulangan adalah tidak terdapat derajat

bebas untuk mengestimasi σ2, tidak ada error dalam setiap perlakuan, yang ber-

akibat pada sulitnya melakukan interpretasi terhadap efek yang dimungkinkan

berpengaruh, dan semua yang berkaitan dengan rata-rata kuadrat untuk uji sig-

nifikan statistik.

Dalam menaksir efek faktor yang signifikan dari rancangan faktorial frak-

1

2

sional tanpa pengulangan, telah dikemukakan beberapa metode, diantaranya;

Lenth (1989) menggunakan nilai margin of error atau batas kesalahan, simul-

tan margin error dan pseudo sparsity of error untuk menentukan faktor yang

signifikan yang didasarkan pada distribusi t, Hamada dan Balakrishnan (1998)

mengemukakan bahwa kelemahan dari metode Lenth adalah lemah dalam me-

ngontrol kesalahan type I.

Dong (1993) memodifikasi metode Lenth, yaitu mengganti nilai s0 dengan

s1 yang merupakan trimmed median. Bissell (1989, 1992), mengadopsi uji dispersi

Cochran (1954) dalam mengkonstruksi uji statistik untuk mengidentifikasi fak-

tor yang signifikan. Menurut Hamada dan Balakrishnan (1998), kelemahan dari

metode Bissell adalah power ujinya akan mengalami penurunan tatkala terdapat

banyak faktor yang signifikan.

1.2 Permasalahan

Berdasarkan latar belakang yang dijelaskan di atas, rumusan masalah

dari penelitian adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana menentukan statistik uji dari metode Bissell, Lenth, dan Fang

serta penaksirnya dalam mengindentifikasi faktor yang signifikan dalam fak-

torial fraksional tanpa pengulangan

2. Bagaimana menentukan faktor yang signifikan dalam rancangan faktorial

fraksional 2k dan 3k tanpa pengulangan dengang menggunakan metode Bis-

sell, Lenth, dan Fang.

1.3 Tujuan Penelitian

Dari permasalahan yang dikemukakan di atas, tujuan penelitian dapat

dirumuskan sebagai berikut:

1. Menentukan penaksir dan statistik uji untuk mendapat faktor yang sig-

nifikan dengan metode Bissell, Lenth, dan Fang.

3

2. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam meng-

identifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 2k

tanpa pengulangan pada kasus permainan golf.

3. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam meng-

identifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 3k

tanpa pengulangan pada kasus pembakaran pada boiler.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Menambah wawasan keilmuan menyangkut masalah penaksiran efek faktor

pada rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan

2. Untuk memberikan alat analisis dalam menetapkan faktor yang signifikan

dalam eksperimen rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan.

1.5 Batasan Permasalahan

Karena keterbatasan waktu dan mengacu pada rumusan masalah, peneli-

tian ini dibatasi pada masalah pengidentifikasian faktor yang signifikan rancangan

faktorial fraksional dua level dan tiga level.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Linier

Diberikan variabel respon y dari rancangan faktorial fraksional yang penga-

matannya dilakukan tanpa pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, dan

x1, x2, . . . , xk, variabel input yang berkaitan dengan faktor independen. Hubungan

antara variabel-variabel tersebut dapat digambarkan dalam persamaan berikut:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + · · ·+ βkxk + ε (2.1)

Jika dilakukan pengamatan sebanyak n kali, maka persamaan (2.1) menjadi:

yi = β0 + β1x1i + β2x2i + · · ·+ βkxki + εi ; i = 1, 2, · · · , n

Model terakhir ini dapat dituliskan dalam model linear, sebagai berikut:

y = Xβ + ε (2.2)

dimana;

y = [y1 y2 · · · yn]T adalah vektor pengamatan berukuran n× 1,

β = [β0 β1 β2 · · · βk]T adalah vektor dari parameter

X adalah matriks berukuran n× (k + 1), dan

ε = [ε1 ε2 · · · εn]T adalah vektor error berukuran n × 1 dan berdistribusi

Nn(0, σ2I). Persamaan (2.2) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:y1

y2

...

yn

=

1 x11 x21 · · · xk1

1 x12 x22 · · · xk2

......

.... . .

...

1 x1n x2n · · · xkn

β0

β1

...

βk

+

ε1

ε2

...

εn

2.1.1 Estimasi Kontras

Pada analisis variansi dua arah rancangan faktorial fraksional dua faktor

tanpa pengulangan dengan model sebagai berikut:

yij = µ + τi + θj + εij; i = 1, 2; j = 1, 2 (2.3)

4

5

dengan syarat τ1 + τ2 = 0 ⇒ τ1 = −τ2 dan θ1 + θ2 = 0 ⇒ θ1 = −θ2.

Model tersebut juga dapat dituliskan dalam bentuk persamaan regresi linier,

yaitu

yi = β0 + β1x1 + β2x2 + εi; i = 1, 2, 3, 4 (2.4)

untuk x1 bernilai (−1, +1) dan x2 bernilai (−1, +1).

Keterkaitan antara kedua model tersebut dalam menetapkan kontras untuk pe-

naksir efek faktor dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Dari syarat τ1 = −τ2 dan θ1 = −θ2 serta nilai dari x1(−1, +1), dan x2(−1, +1),

selanjutnya

y11 = µ + τ1 + θ1 + ε11

y12 = µ + τ1 − θ1 + ε12

y21 = µ− τ1 + θ1 + ε21

y22 = µ− τ1 − θ1 + ε22

dan

y1 = β0 + β1 + β2 + ε1

y2 = β0 + β1 − β2 + ε2

y1 = β0 − β1 + β2 + ε3

y1 = β0 − β1 − β2 + ε4

karena (2.3) dan (2.4) ekuivalen, maka

y11 = y1 ⇒ µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2 (2.5)

y12 = y2 ⇒ µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2 (2.6)

y21 = y1 ⇒ µ− τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2 (2.7)

y22 = y1 ⇒ µ− τ1 − θ1 = β0 − β1 − β2 (2.8)

Persamaan (2.5) dan (2.6) dijumlahkan

µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2

µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2

+

2µ + 2τ1 = 2β0 + 2β1 (2.9)

Persamaan (2.5) dan (2.7) dijumlahkan

µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2

µ− τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2

+

2µ + 2θ1 = 2β0 + 2β2 (2.10)

6

Persamaan (2.6) dan (2.7) dijumlahkan

µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2

µ− τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2

+

2µ = 2β0 ⇒ µ = β0 (2.11)

Selanjutnya, dengan mensubtitusikan persamaan (2.11) ke persamaan (2.9) dan

(2.10), diperoleh

τ1 = β1 dan θ1 = β2

Dengan demikian, menaksir parameter-paramter pada model anova adalah sama

dengan melakukan penaksiran parameter-parameter pada model regresi.

Estimasi kontras dari model pada persamaan (2.2), yaitu:

y = Xβ + ε

dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least

Square Method), yaitu dengan mengambil turunan pertama dari jumlah kuadrat

error terhadap β dan menyamakannya dengan nol yang dijelaskan sebagai berikut:

y = Xβ + ε

ε = y −Xβ

L = εT ε = (y −Xβ)T (y −Xβ) (2.12)

persamaan (2.12) merupakan jumlah kuadrat error. Selanjutnya, ambil turunan

pertama dari L terhadap β

∂L

∂β= −2XT (y −Xβ)

= −2XTy + 2XTXβ

∂L

∂β= 0 ⇒ −2XTy + 2XTXβ = 0

XTXβ = XTy

β = (XTX)−1XTy (2.13)

7

dengan syarat XTX tidak singular, diperoleh β = (XTX)−1XTy yang merupakan

penaksir dari β.

2.1.2 Distribusi dari β

a. Ekspektasi β

Dari hasil sebelumnya, penaksir dari β adalah β = (XTX)−1XTy. Untuk

menentukan apakah estimasi dari β bias atau tidak, dilakukan dengan langkah-

langkah sebagai berikut

E(β) = E{(XTX)−1XTy}

= E{(XTX)−1XT (Xβ + ε)}

= E{(XTX)−1XTXβ + (XTX)−1XT ε)}

Karena (XTX)−1XTX = I dan E(ε) = 0, maka

E(β) = β

Karena E(β) = β, maka β merupakan estimator tak bias dari β

b. Varians β

V ar(β) = V ar{(XTX)−1XTy}

= {(XTX)−1XT}V ar(y){(XTX)−1XT}T

= {(XTX)−1XT}σ2I{(XTX)−1XT}T

= σ2{(XTX)−1XT}{(XTX)−1XT}T

= σ2{(XTX)−1XTX(XTX)−1}

Karena (XTX)−1XTX = I, maka

V ar(β) = σ2(XTX)−1.

Oleh karena β merupakan kombinasi linear dari y1, y2, . . . , yn yang berdistribusi

normal, sehingga distribusi dari β adalah

β ∼ N(β, σ2(XTX)−1) (2.14)

8

2.1.3 Penaksir σ2

Selanjutnya, untuk menentukan MSE, diketahui

y = Xβ

dan

ε = (y − y)

SSE = (y − y)T (y − y)

= (y −Xβ)T (y −Xβ)

= yTy − yTXβ − βTXTy + β

TXTXβ

karena βTXTy adalah skalar, dan transposnya, (βTXTy)T = yTXβ juga meru-

pakan suatu skalar, dan

XTy = XTXβ

maka

SSE = yTy − 2βTXTy + β

TXTXβ

= yTy − 2βTXTy + β

TXTy

= yTy − βTXTy

dengan demikian jumlah kuadrat error adalah

SSE = yTy − βTXTy (2.15)

Dari persamaan (2.13),

β = (XTX)−1XTy

Xβ = X(XTX)−1XTy

andaikan matriks X(XTX)−1XT = P dan In − P simetri dan idempoten, maka

Xβ = Py, sehingga

y −Xβ = (In −P)y

karena SSE = (y −Xβ)T (y −Xβ), maka

SSE = ((In −P)y)T ((In −P)y)

= yT (In −P)T (In −P)y

9

= yT (In −P)y

karena PXβ = Xβ dan E(yT (In −P)y) = tr((In −P)Σ + µT (In −P)µ)

dengan demikian diperoleh

E(SSE) = E(yT (In −P)y)

= σ2Itr(In −P) + (Xβ)T (In −P)Xβ

E(SSE) = σ2(n− p)

sehingga, suatu estimator tak bias dari σ2 diberikan sebagai berikut

σ2 =SSE

n− p

MSE =SSE

df

=(y −Xβ)T (y −Xβ)

n− p

2.1.4 Pengujian Hipotesis

Untuk mengetahui faktor-faktor yang signifikan, tentunya perlu dilakukan

pengujian hipotesis. Pengujian koefisien regresi atau efek faktor dari suatu model

anova dalam mempengaruhi variabel responnya, dapat dilakukan secara serentak

dan satu persatu.

Pengujian secara serentak menggunakan uji sebagai berikut:

1. Hipotesis:

H0 : βi = 0; i = 1, 2, 3, . . . , k

H1 : Paling sedikit terdapat satuβi 6= 0

2. Statistik uji yang berkaitan adalah

Fhitung =MSR

MSE

3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan

Tolak H0 jika Fhitung > Fv1,v2;α, untuk v1 sebagai derajat bebas untuk faktor

perlakuan dan v2 sebagai derajat bebas dari error.

10

Sedangkan untuk menguji apakah suatu faktor atau koefisien regresi secara indi-

vidu berpengaruh secara nyata atau tidak terhadap variabel repsonnya, dilakukan

dengan menggunakan uji t sebagai berikut:

1. Hipotesis:

H0 : βi = 0; i = 1, 2, 3, . . . , k

H1 : βi 6= 0

2. Statistik uji yang berkaitan adalah

thitung =βi

se(βi)

3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan

Tolak H0 jika |thitung| > tα/2,db.

2.2 Rancangan Fraksional Faktorial

Dalam suatu eksperimen, rancangan faktorial adalah suatu rancangan yang

mengikutkan seluruh kombinasi perlakuan dari k faktor atau variabel input. Apa-

bila jumlah dari k faktor ini cukup besar, maka akan berakibat pada besarnya

jumlah kombinasi perlakuan yang akan dilakukan, dan ini tidak cukup efisien.

Rancangan yang sering digunakan untuk menanggulangi hal tersebut, adalah

dengan menggunakan rancangan faktorial fraksional dalam rangka menurunkan

jumlah kombinasi perlakuan, dan beberapa diantaranya dilakukan tanpa peng-

ulangan.

2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p

Secara umum, notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial fraksional

mengikuti notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial.

Untuk keperluan interpretasi hasil dari eksperimen, akan dijelaskan beber-

apa pengertian yang berkaitan dengan penyusunan rancangan eksperimen fakto-

rial fraksional.

11

Tabel 2.1: Susunan Rancangan Faktorial 23

Kontras

Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC

(1) + – – + – + + –

a + + – – – – + +

b + – + – – + – +

ab + + + + – – – –

c + – – + + – – +

ac + + – – + + – –

bc + – + – + – + –

abc + + + + + + + +

a. One-Half Fractional dari Rancangan 2k

Andaikan eksperimen dengan tiga faktor, masing-masing terdiri atas dua

level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat

dilakukan dalam eksperimen, yaitu empat dari delapan kombinasi perlakuan.

Tabel 2.2: Susunan Rancangan Faktorial 23−1

Kontras

Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC

a + + – – – – + +

b + – + – – + – +

c + – – + + – – +

abc + + + + + + + +

ab + + + + – – – –

ac + + – – + + – –

bc + – + – + – + –

(1) + – – + – + + –

Pada Tabel 2.1, jika dipisahkan interaksi tingkat tingginya, berdasarkan tanda

plus dan minusnya, maka akan terbentuk dua kelompok kontras yang masing-

masing terdiri dari empat kombinasi perlakuan, sebagaimana yang ditunjukkan

pada Tabel 2.2. Dimana, kolom kontras berkaitan dengan efek faktor, sedangkan

kolom I mewakili mean total untuk pengamatan dan disebut kolom identitas dan

−ABC dan +ABC disebut generator atau defining relation.

12

b. Estimasi Efek Perlakuan

Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 23−1 = 4 kombinasi

perlakuan, maka akan terdapat d.fTotal = 4−1 = 3 derajat bebas untuk menaksir

efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada koefisien kontras. sebagai contoh, dari

Tabel 2.2 untuk defining relation positif, I = ABC. Namun sebelum menentukan

penaksir efek dari masing-masing faktor terlebih dahulu akan ditentukan kontras

untuk masing-masing faktor, baik faktor utama maupun faktor interaksinya.

KontrasA = CA = (a− b− c + abc)

KontrasB = CB = (−a + b− c + abc)

...

KontrasBC = CBC = (a− b− c + abc)

Dari kontras tiap faktor tersebut kemudian dapat ditentukan penaksir efek dari

masing-masing faktor, sebagai berikut ini,

• Estimasi efek utama,

A =1

23−2CA =

1

2(a− b− c + abc)

B =1

23−2CB =

1

2(−a + b− c + abc)

C =1

23−2CC =

1

2(−a− b + c + abc)

• Estimasi efek interaksi dua faktor,

BC =1

23−2CA =

1

2(a− b− c + abc)

AC =1

23−2CB =

1

2(−a + b− c + abc)

AB =1

23−2CC =

1

2(−a− b + c + abc)

Dari Penaksir efek di atas, nampak bahwa penaksir efek utama A dan

interaksi BC, B dengan interaksi AC, dan C dengan interaksi AB adalah sama,

sehingga tidak mungkin untuk menyatakan ada perbedaan antara A dan BC,

13

B dan AC, dan C dan AB. Oleh karena itu, A disebut alias dengan BC, atau

dibaurkan (confounded), demikian halnya dengan B alias dengan AC, dan C

alias dengan AB.

c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek Faktor

Struktur alias untuk rancangan faktorial fraksional dapat diperoleh melalui

defining relation. Dalam contoh sebelumnya, rancangan 23 dengan a, b, c dan abc

sebagai kombinasi perlakuan yang diamati dan I = ABC didefinisikan sebagai

defining relation

Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan menga-

likan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining

relation, akan diperoleh alias untuk efek tersebut. Sebagai contoh, untuk men-

dapatkan alias untuk AB, kalikan AB dengan I = ABC, maka:

AB.I = AB.ABC = A2B2C = C

d. Jenis Khusus Rancangan Fraksional Faktorial 2k

Rancangan faktorial fraksional dibagi dalam beberapa jenis, yaitu

(i) Rancangan resolusi III, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan deng-

an efek utama yang lainnya, tapi efek utama dibaurkan dengan interaksi

dua faktor. sebagai contoh 23−1 rancangan resolusi III.

(ii) Rancangan resolusi IV, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan dengan

efek utama yang lain atau efek interaksi dua faktor, tapi interaksi dua faktor

dibaurkan dengan sesamanya. Contoh 24−1 rancangan resolusi IV.

(iii) Rancangan resolusi V, dimana tidak ada efek utama atau interaksi dua

faktor yang dibaurkan efek faktor utama dan interaksi dua faktor yang

lainnya. Tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan interaksi tiga faktor.

Contoh 25−1 rancangan resolusi V.

14

Secara umum, suatu rancangan resolusi R adalah keadaan dimana tidak

ada efek faktor p yang dibaurkan dengan efek lainnya yang memuat kurang lebih

R−p faktor. Untuk mengidentifikasi resolusi dari rancangan faktorial fraksional,

digunakan angka romawi sebagai indeks.

2.3.1 Identifikasi Struktur Alias

Box dan Wilson (1951), Bisgaard (1991) menunjukkan bahwa konsep alias

didasarkan pada struktur kelompok antara kolom-kolom ekuivalen yang memung-

kinkan adanya penyimpangan dari penaksir kuadrat terkecil dari efek utama yang

muncul akibat dari dihilangkannya efek interaksi tingkat tinggi.

Selanjutnya, struktur alias dari rancangan dapat diperoleh dengan meng-

gunakan defining relation. Misalkan, rancangan faktorial fraksional 23, dengan

faktor-faktornya A, B, dan C. Defining relation dari rancangan tersebut adalah

interaksi tingkat tingginya yaitu, ABC, dengan mengalikan setiap faktor utama

dengan ABC dan faktor interaksi, maka akan diperoleh faktor yang akan di-

ikutkan dalam perhitungan selanjutnya dan struktur alias dari faktor tersebut.

Akan tetapi, metode penentuan struktur alias dengan menggunakan defining re-

lation hanya dapat bekerja dengan baik pada rancangan yang sederhana, dan

tidak dapat digunakan pada rancangan yang kompleks, seperti irregular fraction

dan partial fold-over design. Lebih lanjut, terdapat beberapa rancangan fakto-

rial fraksional yang tidak mempunyai defining relation, seperti Plackett-Burman

designs, sedemikian hingga metode ini, tidak mungkin untuk digunakan.

Dalam suplemen buku Design and Analysis of Experiment, Montgomery

(2005) mengemukakan bahwa, terdapat suatu metode yang secara umum da-

pat bekerja dengan baik dalam banyak keadaan. Metode tersebut menggunakan

polynomial atau model regresi yang merupakan representasi dari model. Se-

cara formal, faktor yang diikutkan dalam penelitian adalah β1 dan X1 matriks

rancangan yang berkaitan dengan β1. Diberikan model linear sebagai berikut ;

y = X1β1 + ε

15

dimana y vektor respon n × 1, X1 matriks berukuran n × p1 yang memuat

rancangan matriks yang telah diperluas pada model yang ditetapkan oleh peneliti

berdasarkan faktor yang dipilih, β1 vektor dari parameter model berukuran p1×1,

dan ε vektor error. Diketahui taksiran dari β1 adalah

β1 = (XT1 X1)

−1XT1 y

Andaikan model lengkapnya adalah

y = X1β1 + X2β2 + ε

dimana X2 matriks berukuran n×p2 yang memuat variabel tambahan yang tidak

diikutkan dalam model dan β2 vektor berukuran p2 × 1 dari parameter yang

berkaitan dengan variabel yang terpilih. Struktur aliasnya dapat ditunjukkan

sebagai berikut:

β1 = (XT1 X1)

−1X1y

E(β1) = E{(XT1 X1)

−1X1y}

= (XT1 X1)

−1X1E(y)

= (XT1 X1)

−1X1E(X1β1 + X2β2 + ε)

= (XT1 X1)

−1X1E(X1β1) + (XT1 X1)

−1XE(X2β2) + (XT1 X1)

−1X1E(ε)

= (XT1 X1)

−1X1X1β1 + (XT1 X1)

−1X1X2β2 + 0

= β1 + (XT1 X1)

−1X1X2β2

E(β1) = β1 + (XT1 X1)

−1(XT1 X2)β2

Ambil (XT1 X1)

−1(XT1 X2) = A, selanjutnya persamaan di atas menjadi

E(β1) = β1 + Aβ2

dengan A disebut matriks alias.

Contoh penerapannya, pada Tabel 2.2 diberikan rancangan faktorial frak-

sional 23−1, dengan I = ABC atau I = x1x2x3 sebagai defining relation, dengan

mengacu pada persamaan (2.2), bahwa model yang hanya memperhatikan faktor

16

utama, dapat dinyatakan sebagai berikut:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε

dimana x1 merupakan komponen kolom faktor A, x2 komponen kolom faktor B,

dan x3 komponen kolom faktor C yang dinyatakan dalam bentuk matriks X1.

Model diatas dapat dinyatakan

β1 =

β0

β1

β2

β3

, dan X1 =

1 −1 −1 1

1 1 −1 −1

1 −1 1 −1

1 1 1 1

Andaikan bahwa, model yang sebenarnya memuat seluruh interkasi dua faktor,

sedemikian hingga modelnya adalah

y = β0 + β1x1+β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2x3 + ε (2.16)

dan untuk bagian interaksi dua faktor dari persamaan (2.16), dimana x1x2, x1x2,

dan x2x3 berturut menyatakan komponen kolom faktor AB, AC, dan BC, yang

dinyatakan dalam bentuk matriks X2, yaitu

β2 =

β12

β13

β23

, dan X2 =

1 −1 −1

−1 −1 1

−1 1 −1

1 1 1

.

Selanjutnya, diketahui bahwa

(XT1 X1)

−1 =1

4I dan XT

1 X2 =

0 0 0

0 0 4

0 4 0

4 0 0

Oleh karena itu,

E(β1) = β1 + (XT1 X1)

−1XT1 X2β2

17

E

β0

β1

β2

β3

=

β0

β1

β2

β3

+1

4

0 0 0

0 0 4

0 4 0

4 0 0

β12

β13

β23

=

β0

β1 + β23

β2 + β13

β3 + β12

2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level

Konsep rancangan faktorial fraksional dua level dapat diperluas menjadi

rancangan faktorial fraksional tiga-level. Bagian terbesar dari faktorial frak-

sional 3k adalah rancangan faktorial fraksional 3k−1, rancangan dibagi ke dalam

tiga blok, dimana tiap blok dapat dipilih sebagai rancangan yang akan digunakan.

Jika Aα1Bα2Cα3 · · ·Kαk merupakan komponen interaksi yang akan digunakan un-

tuk mendefinisikan blok, maka I = Aα1Bα2Cα3 · · ·Kαk disebut defining relation

dari rancangan faktorial fraksional. Tiap estimasi efek utama atau efek interaksi

mempunyai dua alias yang dapat diperoleh dengan mengalikan efek dengan I dan

I2 modulo 3.

Secara umum, untuk melakukan pembauran dalam rancangan 3k diberikan

suatu prosedur umum untuk mengkonstruksi suatu defining contrast, yaitu:

L = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αkxk mod(3)

dimana αi pangkat dari faktor ke i dalam efek yang akan dibaurkan dan xi level

dari faktor ke i dalam tiap kombinasi perlakuan.

a. One-third fraction dari Rancangan 3k

Andaikan rancangan faktorial 33 yang faktor-faktornya A, B dan C, masing-

masing terdiri dari tiga level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi

perlakuan yang dapat dilakukan, maka akan terbentuk empat kelompok kon-

tras yang masing-masing terdiri dari delapan kombinasi perlakuan, sebagaimana

ditunjukkan dalam Tabel 2.3. Sebagaimana pada rancangan faktorial fraksional

18

dua level, interaksi tingkat tinggi yaitu, ABC, AB2C, ABC2, AB2C2, selanjutnya

disebut defining relation

b. Estimasi Efek Perlakuan

Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 34−1 = 27 kombinasi

perlakuan, maka akan terdapat d.ftotal = 27 − 1 = 26 derajat bebas untuk

menaksir efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada kontras dari tiap faktor dan

untuk menentukannya digunakan metode yates sebagaimana dijelaskan berikut:

1. Kombinasi perlakuan dituliskan berdasarkan kolom dengan urutan standar

2. Keseluruhan pengamatan ditempatkan dibawah kolom respon dengan urutan

kombinasi perlakuan

3. Kolom satu dihitung dari

(a) Tiga baris pertama memuat jumlah dari ketiga kombinasi perlakuan

tersebut, yaitu 00, 10, 20

(b) Tiga baris kedua diperoleh dengan minus dari kombinasi perlakuan

pertama ditambahkan dengan kombinasi perlakuan ketiga pada tiap-

tiap kelompok kombinasi perlakuan

(c) Tiga baris ketiga diperoleh dengan kombinasi perlakuan pertama diku-

rangi dengan dua kali kombinasi perlakuan ketiga dari ketiga kelompok

pengamatan

(d) Kolom kedua (2) dihitung dengan cara yang sama pada kolom satu

(1) dengan menggunakan kolom (1) sebagai acuan.

c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek

Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan menga-

likan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining re-

lation. Sebagai contoh, untuk mendapatkan alias dari faktor yang diperhatikan,

dapat dilakukan dengan memilih sembarang komponen dari interaksi ABC untuk

19

Tabel 2.3: Algoritma Yate untuk Rancangan 32

PembagiRun Respon (1) (2) Efek 2r3tn JK

00 y1 h1 = y1 + y2 + y3 h1 + h2 + h3

10 y2 h2 = y4 + y5 + y6 h4 + h5 + h6 AL 21 × 31 × 420 y3 h3 = y7 + y8 + y9 h7 + h8 + h9 AQ 21 × 32 × 401 y4 h4 = −y1 + y3 −h1 + h2 BL 21 × 32 × 411 y5 h5 = −y4 + y6 −h4 + h4 ABL×L 22 × 30 × 421 y6 h6 = −y7 + y9 −h7 + h9 ABQ×L 22 × 31 × 402 y7 h7 = y1 − 2(y2) + y3 h1 − 2(h2) + h3 BQ 21 × 32 × 412 y8 h8 = y4 − 2(y5) + y6 h4 − 2(h5) + h6 ABL×Q 22 × 31 × 422 y9 h9 = y7 − 2(y8) + y8 h7 − 2(h8) + h9 ABQ×A 22 × 32 × 4

mengkontruksi rancangan, yaitu ABC, AB2C, ABC2 atau AB2C2. Selanjutnya,

akan terdapat 12 perbedaan one-third fraction dari rancangan 33 yang didefini-

sikan dengan

α1x1 + α2x2 + α3x3 = u(mod 3)

dimana α = 1 atau 2 dan u = 0, 1 atau 2. Andaikan dipilih komponen AB2C2,

masing-masing bagian yang dihasilkan rancangan 33−1 akan memuat dengan tepat

32 = 9 kombinasi perlakuan yang memenuhi

x1 + 2x2 + 2x3 = u(mod 3)

dimana u = 0, 1 atau 2, dan struktur alias yang dihasilkan adalah

A = A(AB2C2) = A2B2C2 = ABC

A = A(AB2C2)2 = A3B4C4 = BC

B = B(AB2C2) = AB3C2 = AC2

B = B(AB2C2)2 = A2B5C4 = ABC2

C = C(AB2C2) = AB2C3 = AB2

C = C(AB2C2)2 = A2B4C5 = AB2

AB = AB(AB2C2) = A2B3C2 = AC

AB = AB(AB2C2)2 = A3B5C4 = BC2

20

2.4.1 Identifikasi Struktur Alias

Sebagaimana yang telah diuraikan pada bagian 2.3 tentang metode umum

untuk mendapatkan struktur alias yang berkaitan dengan rancangan faktorial

fraksional dua level, metode tersebut juga dapat diterapkan pada rancangan fak-

torial fraksional tiga level.

Contoh penerapannya, diberikan rancangan faktorial fraksional 32, andikan model

yang akan diuji dengan faktor-faktornya adalah

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + β11(x21 − x2

1) + β22(x22 − x2

2) + ε

Model tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk vektor β1 dan matriks X1 sebagai

berikut

β1 =

β0

β1

β2

β12

β11

β22

, dan X1 =

1 −1 −1 1 1/3 1/3

1 −1 0 0 1/3 −2/3

1 −1 1 −1 1/3 1/3

1 0 −1 0 −2/3 1/3

1 0 0 0 −2/3 −2/3

1 0 1 0 −2/3 1/3

1 1 −1 −1 1/3 1/3

1 1 0 0 1/3 −2/3

1 1 1 1 1/3 1/3

Andaikan model lengkapnya adalah

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + β12(x21 − x2

1) + β22(x22 − x2

2) +

β111x21 + β222x

22 + β122x1x

22 + ε

dengan

X2 =

1 −1 −1

1 −1 0

1 −1 −1

1 0 0

1 0 0

1 0 0

1 −1 1

1 −1 0

1 −1 1

, β2 =

β111

β222

β122

Selanjutnya, diketahui bahwa

21

XT1 X1 =

9 0 0 0 0 0

0 6 0 0 0 0

0 0 6 0 0 0

0 0 0 4 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 2

dan XT

1 X2 =

0 0 0

6 0 4

0 6 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Oleh karena itu, nilai ekspektasi dari parameter model adalah

E(β) = β + (XT1 X1)

−1XT1 X2β2

E

β0

β1

β2

β12

β11

β22

=

β0

β1

β2

β12

β11

β22

+

9 0 0 0 0 0

0 6 0 0 0 0

0 0 6 0 0 0

0 0 0 4 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 2

−1

0 0 0

6 0 4

0 6 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

β111

β222

β122

Diperoleh matriks alias sebagai berikut

A =

0 0 0

1 0 2/3

0 1 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Matrix A di atas bermakna

E(β0) = β0

E(β1) = β1 + β111 + (2/3)β122

E(β2) = β2 + β222

E(β12) = β12

E(β11) = β11

E(β22) = β22

2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan

Untuk memberikan arah pada bagian pembahasan dipandang perlu untuk

menurunkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengannya, sebagai

berikut:

22

Definisi 2.1 (Power).

Peluang menolak H0 ketika H1 benar disebut power uji, dituliskan sebagai:

1− β = P (Tolak H0|H1 Benar)

Definisi 2.2 (Distribusi t).

Jika Z ∼ N(0, 1) dan U ∼ χ2n, dimana kedua adalah independen, maka distribusi

Z√U/n

dikatakan berdistribusi t dengan derajat bebas n

Definisi 2.3 (Distribusi χ2).

Jika Z ∼ N(0, 1) dan jika U = Z2, maka U berdistribusi chi-kuadrat dengan

derajat bebas 1. Jika U1, U2, . . . , Un adalah variabel random yang berdistribusi

chi-kuadrat dengan derajat bebas 1, maka V =∑n

i=1 Ui berdistribusi chi-kuadrat

dengan derajat bebas n, dinyatakan dengan χ2n

Beberapa sifat-sifat distribusi chi kuadrat

1. E(V ) = n dan V ar(V ) = 2n.

2. Jika X1, X2, . . . , Xn berdistribusi IIDN(µ, σ2) maka X1−µσ2 , . . . , Xn−µ

σ2 adalah

IIDN(0, 1), sehingga

1

σ2

n∑i=1

(Xi − µ)2 ∼ χ2n

Definisi 2.4 (Distribusi Nonsentral t).

Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata ∆ dan varian 1, dan misalkan

kS2 berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas k. Andaikan bahwa X dan

S2 saling bebas. Distribusi dari tk(∆) = XS

disebut distribusi noncentral t dengan

derajat bebas k dan parameter noncentral ∆, dituliskan

P (−∞ ≤ tk(∆) ≤ 0) = Φ(−∆),

dimana Φ(.) merupakan distribusi normal. Selanjutnya, untuk sembarang nilai,

dimana t > 0, untuk P (0 < tk(∆) ≤ t), fungsi distribusi dari tk(∆) dituliskan

sebagai berikut

P (tk(∆) ≥ t) = Φ(−∆) + P (0 < tk(∆) ≤ t)

23

= Φ(−∆) +1

2

∞∑i=1

[PiIx

(i +

1

2,n

2

)+

∆√2QiIx

(i + 1,

n

2

)],

dimana, Ix(a, b) menyatakan fungsi beta incomplete yaitu

Ix(a, b) =Γ(a + b)

Γ(a)Γ(b)

∫ x

0

ta−1(1− t)b−1dt,

Pi = e−∆2/2(∆2/2)i/i!

dan

Qi =e∆2/2(∆2/2)2

Γ(i + 3/2)

Definisi 2.5 (Definisi Nonsentral χ2 ).

Misalkan X1, X2, . . . , Xn variabel random independen normal dengan rata-rata

µi; i = 1, 2, . . . , n dan varian 1. Distribusi darin∑

i=1

X2i berdistribusi chi kuadrat

dengan db = n dengan β =n∑

i=1

µ2i sebagai parameter nonsentral, ditulis

g(x) =∞∑i=0

eβ/2(β/2)i

i!

e−x/2xn/2+i−1

2n/2+iΓ(n/2 + i)∼ χ2

n, x > 0 (2.17)

Dari persamaan (2.17) diberikan fungsi distribusi kumulatif dari chi kuadrat non-

sentral sebagai berikut:

P (χ2n ≤ x) =

∞∑i=0

e−β/2(β/2)i

i!P (χ2

n+2i ≤ x)

=∞∑i=0

e−β/2(β/2)i

i!Ix/2(n/2 + i), (2.18)

dimana

Iy(a) =1

Γ(a)

∫ y

0

exxa−1dx, a > 0, x > 0

merupakan ditribusi gamma tak lengkap

Teorema 2.1 (Wasserman).

Jika X1, X2, . . . , Xn berdistribusi IIDN(µ, σ2), maka

(n− 1)S2

σ2∼ χ2

n−1 (2.19)

Bukti. Dari persamaan (2.19),

(n− 1)s2

σ2

24

diketahui bahwa s2 = 1n−1

∑ni=1(xi − x)2, dengan mengalikan kedua ruas dengan

(n− 1) dan membaginya dengan σ2, diperoleh

(n− 1)s2

σ2=

(n− 1) 1n−1

∑ni=1(xi − x)2

σ2

=

∑ni=1(xi − x)2

σ2

=

∑ni=1(xi − µ + µ− x)2

σ2

=

∑ni=1((xi − µ)− (x− µ))2

σ2

=n∑

i=1

((xi − µ)

σ2− (x− µ)

σ2

)2

. (2.20)

Misalkan(xi − µ)

σ2= zi dan

(x− µ)

σ2= z, persamaan (2.20) dapat ditulis

n∑i=1

(zi − z)2.

Selanjutnyan∑

i=1

(xi − µ

σ2

)2

=n∑

i=1

(xi − µ

σ2− x− µ

σ2+

x− µ

σ2

)2

sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, persamaan di atas dapat dituliskan

sebagain∑

i=1

z2i =

n∑i=1

(zi − z + z)2

=n∑

i=1

(zi − z) + z)2

=n∑

i=1

(zi − z)2 + 2zn∑

i=1

(zi − z) +n∑

i=1

z2

karena∑n

i=1(zi − z) = 0, maka

=n∑

i=1

(zi − z)2 +n∑

i=1

z2

=n∑

i=1

(zi − z)2 + nz2 (2.21)

dimana∑n

i=1(zi − z)2 dan nz2 saling bebas.

Fungsi pembangkit momen dari∑n

i=1 z2i dapat dinyatakan dengan fungsi pem-

bangkit momen dari persamaan (2.21), yaitu

M∑ni=1 z2

i(t) = M∑n

i=1(zi−z)2+nz2(t)

25

diketahui bahwa

M∑ni=1(zi−z)2+nz2(t) = M∑n

i=1(zi−z)2Mnz2(t)

sehingga M∑ni=1 z2

i(t) = M∑n

i=1(zi−z)2Mnz2(t), maka diperoleh

M∑ni=1(zi−z)2 =

M∑ni=1 z2

i(t)

Mnz2(t).

Diketahui bahwa∑n

i=1 z2i ∼ χn dengan mgf (1/(1 − 2t))

n2 . Demikian halnya

dengan z ∼ N(0, 1n),√

kz adalah normal standar, oleh karena itu (√

nz)2 = nz2

berdistribusi χ21 dengan mgf (1/(1− 2t))

12 .

Karena itu

M∑ni=1(zi−z)2(t) =

(1/(1− 2t))n/2

(1/(1− 2t))1/2

=

(1

1− 2t

)(n−1)/2

(2.22)

Persamaan (2.22) merupakan fungsi pembangkit momen dari variabel random

chi-kuadrat dengan derajat bebas n− 1, karena itun∑

i=1

(xi − x)2 berditribusi χ2n−1

Definisi 2.6 (Halaand dan O’Connell (1995)).

Diberikan efek penaksir dari suatu rancangan faktorial fraksional, penaksir yang

berhubungan dengan hal tersebut dijelaskan dalam dua tahapan, yaitu:

i. Estimasi awal, s0, merupakan σ0 dari σ (selanjutnya digunakan simbol s0),

didefinisikan sebagai berikut

s0(q) = a0(q)× kuantil{q : |βi|; i = 1, 2, . . . , k}

dimana;

|βi|; i = 1, 2, . . . , k adalah nilai mutlak dari efek penaksir , β1, β2, · · · , βk.

kuantil{q : βi} adalah kuantil ke q dari βi dengan 0 < q < 1.

yang dihitung secara langsung dari β1, β2, · · · , βk.

ii. Estimasi akhir diperoleh dalam dua tahapan,

26

(a) Ukuran penaksir robust, selanjutnya dinyatakan sebagai Pseudo Stan-

dart Error (PSE) yang dihitung setelah menghilangkan efek-efek yang

besar dibanding s0, penaksir ini disebut, σPSE, didefinisikan sebagai

berikut

σPSE(q, b) = aPSE(q, b)×median{|βi| : (|βi| ≤ b× s0(q))}

dimana aPSE merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir

awal, q nilai yang diambil dari s0 dan b konstan yang diperoleh melalui

simulasi

(b) Ukuran penaksir efisien, dihitung setelah menghilangkan efek yang

besar dibanding s0, penaksir ini disebut, s1 yang didefinisikan sebagai

berikut:

σs1(q, b) = as1

√l−1

∑|βi|≤b×s0(q)

β2

i

dimana as1(q, b) merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir

awal, l jumlah dari |βi| ≤ b×s0(q), dan b nilai konstan yang diperoleh

melalui simulasi.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Bahan dan Alat

Bahan dan alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Jurnal dan buku referensi yang terkait dengan permasalahan di atas.

2. Software Minitab 14 dan software lain yang mendukung

3. Kasus yang akan digunakan adalah,

Pertama, Faktor-faktor yang mempengaruhi jarak yang ditempuh bola golf

pada permainan golf dengan respon jarak tempuh dalam yard (diestimasi

dengan langkah terdekat dari 100-yard), faktor-faktorya adalah Kemam-

puan, Bola, Club, Lapangan, dan Tongkat. Kedua, Pembakaran pada

Boiler, selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran A

3.2 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah penelitian dapat disusun sebagai berikut:

1. Menaksir dan menentukan statistik uji untuk;

(a) Metode Bissell

i. Diberikan Model sebagai berikut:

y = Xβ + ε

ii. Menentukan mean square β

iii. Menentukan statistik uji dari metode Bissell

iv. Menentukan distribusi statistik uji dari metode Bissell

v. Mencari nilai harapan dari statistik Bissell.

27

28

(b) Metode Lenth

i. Diberikan Model sebagai berikut:

y = Xβ + ε

ii. Menentukan penaksir efek dari model

iii. Menentukan penaksir dari metode Lenth

iv. Menentukan statistik uji dari metode Lenth

(c) Metode Fang

i. Diberikan Model sebagai berikut:

y = Xβ + ε

ii. Menentukan penaksir efek dari model

iii. Menentukan penaksir dari metode Fang

iv. Menentukan statistik uji dari metode Fang

2. Menghitung fungsi power rancangan faksional faktorial 2k−p tanpa peng-

ulangan untuk kasus permainan golf

(a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah

sebagai berikut

i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu

y = Xβ + ε

ii. Menghitung rata-rata kuadrat,

iii. Menghitung nilai statistik Bk,

iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0

+ P (Bk > χ21−α/2;(k−1)|H0) = α

v. Menghitung Prob(Bk| > χ2k−1;α/2|H1) = δ,

(b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

29

i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu

y = Xβ + ε

ii. Menghitung taksiran β,

iii. Menghitung s0, Pseudo Standar Error (PSE),

iv. Menghitung tσPSE ,j

v. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , J .

vi. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.

(c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu

y = Xβ + ε

ii. Menghitung taskiran β,

iii. Menghitung s0, σs1 ,

iv. Menghitung tσs1 ,i

v. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , I.

vi. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.

3. Menghitung fungsi power untuk rancangan faksional faktorial 3k−p, langkah-

langkah yang digunakan sama dengan pada rancangan fraksional faktorial

3k−p tanpa pengulangan untuk kasus pembakaran pada Boiler

(a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah

sebagai berikut

i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu

y = Xβ + ε

ii. Menghitung rata-rata kuadrat,

30

iii. Menghitung nilai statistik Bk,

iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0

+ P (Bk > χ21−α/2;(k−1)|H0) = α

v. Menghitung Prob(Bk| > χ2k−1;α/2|H1) = δ,

(b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah seba-

gai berikut:

i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p, yaitu

y = Xβ + ε

ii. Menghitung taksiran β,

iii. Menghitung s0, σPSE (Pseudo Standar Error (PSE)),

iv. Menghitung tσPSE ,i

v. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , I.

vi. Menghitung Prob(|tσPSE ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.

(c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah sebagai

berikut:

i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p, yaitu

y = Xβ + ε

ii. Menghitung taksiran β.

iii. Menghitung s0, σs1 ,

iv. Menghitung tσs1 ,i

v. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|Ho) = α, untuk i = 1, . . . , I.

vi. Menghitung Prob(|tσs1 ,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya

Pada bagian ini akan dijelaskan tiga metode yang akan memberikan statistik

uji dalam mengidentifikasi apakah suatu faktor signifikan atau tidak.

4.1.1 Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya

Diberikan rancangan faktorial fraksionl berjumlah k faktor dengan β1, β2,

β3, . . . , βk sebagai efek faktor dan R1, R2, R3, . . . , Rk rata-rata kuadrat yang

saling bebas masing-masing mempunyai derajat bebas v.

Hipotesis yang akan diuji adalah

H0 : βi = 0

H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, 3, . . . , k

Selanjutnya, diketahui

1

σ2

k∑i=1

(yi − y)2 ∼ χ2k

dan untuk rata-rata kuadrat dari masing-masing faktor diberikan sebagai berikut

R =

k∑i=1

(yi − y)2

v

vR =k∑

i=1

(yi − y)2

dengan mengalikan kedua ruas dari persamaan terakhir dengan1

σ2, diperoleh

vR

σ2=

k∑i=1

(yi − y)2

σ2

Karena 1σ2

k∑i=1

(yi − y)2 berdistribusi chi kuadrat, maka 1σ2

∑ki=1(yi − y)2 juga

berdistribusi chi kuadrat, akibatnyavR

σ2juga berdistribusi chi kuadrat dengan

31

32

derajat bebas v. Dengan demikian untuk Ri i = 1, 2, 3 . . . k, yaitu

vR1

σ2∼ χ2

v; db = v

vR2

σ2∼ χ2

v; db = v

......

vRk

σ2∼ χ2

v; db = v

KarenavR

σ2berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas v, maka dapat diny-

atakan ekspektasi dan varian darivR

σ2berdasarkan definisi 2.3, yaitu

E

(vR

σ2

)= v ⇒ v

σ2E(R) = v

E(R) = σ2

V ar

(vR

σ2

)= 2v ⇒ v2

(σ2)2V ar(R) = 2v

V ar(R) =2(σ2)2

v

Jika m merupakan faktor skala dari distribusi chi kuadrat, maka

V ar(R) =2m2

v(4.1)

dan jika s2 merupakan penaksir variansi dari sampel, maka:

(k − 1)s2

σ2∼ χ2

k−1 (4.2)

dari persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleh

V ar(R) = σ2 = 2m2

v

maka

(k − 1)s2

σ2=

(k − 1)s2

2m2/v

=(k − 1)v

2

(s

m

)2

yang selanjutnya dinyatakan sebagai nilai dari statistik Bissell, yaitu:

Bk =(k − 1)v

2(s/m)2. (4.3)

Karena persamaan (4.2) berdistribusi chi kuadrat, dan nilai statistik Bk dikon-

struksi dari persamaan tersebut, maka dapat simpulkan bahwa

Bk =(k − 1)v

2(s/m)2 ∼ χ2

k−1.

33

selanjutnya, dengan definisi (2.3) sifat 1, dapat dinyatakan estimasi dan variansi

dari statistik bissell sebagai berikut

E(Bk) = k − 1

Untuk menentukan apakah suatu faktor signifikan atau tidak, diuji hipotesis

dibawah H0 untuk setiap nilai Bk yang diperoleh, dengan kriteria

Tolak H0 jika

P (Bhitung < χ2α/2;k−1|H0) atau P (Bhitung > χ2

1−α/2,k−1|H0)

dimana

α = P (Bk < χ2α/2;k−1|H0) + P (Bk > χ2

1−α,k−1|H0)

4.1.2 Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth

Diberikan model rancangan faktorial fraksional untuk k variabel input

y = Xβ + ε

masing-masing faktor terdiri dari dua level dan pada tiap-tiap kombinasi per-

lakuan hanya dilakukan satu kali pengamatan, dengan kontras untuk tiap faktor,

β1, β2, · · · , βk, dan penaksir yang berkaitan dengannya adalah β1, β2, · · · , βk.

Hipotesis yang berkaitan dengan suatu faktor signifikan atau tidak dalam

memberikan pengaruh terhadap variabel respon, dirumuskan sebagai berikut:

H0 : βi = 0

H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, . . . , k

Untuk menguji hipotesis tersebut, sebelum mengkonstruksi statistik uji terlebih

dahulu ditentukan penaksir. Dalam metode Lenth, dikemukakan dua bentuk

penaksir untuk mengidentifikasi kontras yang signifikan, yaitu penaksir awal dan

penaksir akhir. Untuk keperluan tersebut, digunakan definisi yang dikemukakan

oleh Halaand dan O’Connell (1995) sebagaimana dituliskan pada definisi 2.6.

Dari definisi 2.6, diketahui

a0(q) =1

Φ−10 (q)

34

dimana

Φ−10 (q) = Φ−1

(q + 1

2

)dan Φ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar.

a. Estimasi Awal, s0

Dengan menggunakan definisi tersebut, dapat diperoleh penaksir awal, s0,

dari metode Lenth sebagi berikut:

Andaikan ambil nilai q = 0, 5, maka

s0(0, 5) = a0(0, 5)×median{q : |βi|}

selanjutnya

a0(0, 5) =1

Φ−10 (0, 5)

diketahui

Φ−10 (q) = Φ−1

(q + 1

2

)Φ−1

0 (0, 5) = Φ−1

(0, 5 + 1

2

)Φ−1

(0, 5 + 1

2

)= z

Φ−1(0, 75) = z

z = 0, 6745

a0(0, 5) =1

0, 6745

= 1, 4825797 ≈ 1, 5

Dengan demikian penaksir awal dari metode Lenth adalah

s0 = 1, 5×median{|βi|}; i = 1, 2, . . . , k

b. Estimasi Akhir, (Pseudo Standart Error (PSE))

Untuk mendapatkan estimator akhir dari metode Lenth, langkah selanjut-

nya adalah menentukan nilai aPSE(q, b) dan b. Untuk nilai q diambil dari nilai

q yang digunakan pada s0, sedangkan nilai b ditentukan dari simulasi. Namun,

35

pada bagian ini, penulis tidak akan melakukan simulasi untuk menentukan nilai

tersebut, akan tetapi, penulis akan menggunakan nilai tersebut berdasarkan simu-

lasi yang telah dilakukan oleh Haaland dan O’Connell (1995), yaitu 2, 5 sehingga

penaksir akhir dari metode Lenth diperoleh

σPSE = 1, 5× median|βi|<2,5s0

|βi|; i = 1, 2, . . . , k (4.4)

Selanjutnya akan dikonstruksi suatu statistik uji, dimana diketahui distribusi dari

β, sebagaimana yang diberikan pada persamaan (2.14), yaitu

β ∼ N(β, σ2(XTX)−1)

Pengujian hipotesis dibawah H0

βi

se(β)∼ tk; i = 1, 2, 3, . . . , k (4.5)

dengan persamaan 4.4 sebagai estimasi varian metode lenth, sedemikian hingga

statistik uji sebagaimana diberikan pada persamaan (4.5) menjadi

tσpse =|βi|σPSE

; i = 1, 2, 3, . . . , k

sebagai statistik uji metode Lenth

c. Batas Kesalahan (Margin Error (ME))

Untuk menentukan batas kesalahan dari metode Lenth, yaitu ME, terlebih

dahulu ditentukan nilai kritis berdasar pemilihan α dan jumlah k.

Hipotesis

H0 : βi = 0; i = 1, 2, · · · , k

H1 : βi 6= 0

Untuk nilai kritis c = c(k, α), sehingga

α = P (|t| ≥ c(k, α)|H0)

atau

1− α = P{tk < c(k, α)|H0}

36

Kasus k cukup besar

P{tk ≤ c|H0}.=

{|β|

σPSE

≤ c; i = 1, · · · , k|H0

}(4.6)

= [Φ(c)− Φ(−c)]k

= [2(Φ(c)− 12)]k

dimana

Φ(k) =1√2π

∫ k

−∞e−u2/2du

Didefinisikan c∗ = c(k, α) dengan :

1− α =

[2

(Φ(c∗(k, α))− 1

2

)]k

dengan

c∗(k, α) = Φ−1

(12

+ (1−α)1/k

2

)(4.7)

Dari persamaan (4.6), dengan memilih k dan α untuk suatu nilai c, diperoleh

P (|βi|σPSE

< tα/2; d) = 1− α

P (|βi| < σPSE × tα/2; d) = 1− α (4.8)

Untuk α = 0, 05

P (|βi| < σPSE × t0,025; d) = 0, 95

untuk d = k3, sedemikian hingga σ2

PSE× t0,025;d merupakan batas kesalahan (mar-

gin of error) ditulis

ME = σPSE × t0,025, d (4.9)

dimana, nilai 0,025 merupakan kuantil ke 0,975 dari distribusi t dan dengan

demikian interval kepercayaan untuk metode Lenth adalah

β ± t0,025; d × σpse

d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultant Margin Error (SME))

Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Lenth

sebagai berikut

c∗(k; α) = Φ−1

(12

+ (1−α)1/k

2

)

37

Untuk suatu α = 0, 05, maka

c∗(k; 0, 05) =(1 + 0, 951/k)

2

andaikan c∗(k; α) = γ, maka c∗(k; 0, 05) = (1+0,951/k)2

dapat dituliskan menjadi

γ =(1 + 0, 951/k)

2

dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan

P (|βi|σPSE

< tγ;d) = 0, 95

P (|βi| < tγ;d × σPSE) = 0, 95

SME = tγ,d × σPSE (4.10)

4.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Fang

Dengan cara yang sama pada metode Lenth, bahwa sebelum mengkon-

struksi statistik uji dari metode Fang, terlebih dahulu dirumuskan hipotesis yang

berkaitan dengan signifikan atau tidak pengaruh suatu faktor terhadap variabel

respon. Hipotesisnya dirumuskan sebagai berikut:

H0 : βi = 0

H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, . . . , k

Untuk menguji hipotesis tersebut, terlebih dahulu ditentukan estimasi dari metode

Lenth, yang dijelaskan sebagai berikut:

a. Estimasi awal

Dengan cara yang sama pada penaksir metode Lenth, penaksir awal dari

metode Fang dapat dituliskan sebagi berikut:

s0 = 1, 5×median{|βi|}; i = 1, 2, . . . , k

b. Estimasi Akhir

Dengan cara yang sama pada penaksir akhir dari metode Lenth, penaksir

akhir dari metode Fang dapat diturunkan dari definisi (2.6) sebagai berikut:

σs1(q, b) =

√l−1

∑|βi|≤2,50×s0

|βi|2

38

(4.11)

dimana l merupakan jumlah dari |βi| ≤ 2, 50× s0.

Untuk uji statistik, Fang menggunakan suatu statistik uji yang menyerupai statis-

tik uji-t, sebagai berikut

tσs1=|βi|σs1

c. Batas Kesalahan (Margin Error, ME)

Menentukan batas kesalahan pada metode Fang adalah sama dengan apa

yang dikerjakan pada metode Lenth, perbedaan hanya pada pemilihan nilai α.

Pada metode Lenth, dipilih α = 0, 05, sedangkan pada metode Fang, dipilih

α = 0, 02. Dengan demikian, dari persamaan (4.8),

P (|βi| < σs1 × tα/2;l) = 1− α

P (|βi| < σs1 × t0.01;l) = 0, 98

untuk d = l, dimana l adalah banyaknya β ≤ 2, 5s0 sedemikian hingga σs1×t0.01;l

merupakan batas kesalahan (margin of error), ditulis

ME = σs1 × t0.01;l

d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultantoue Margin Error, SME)

Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Fang

sebagai berikut

c∗(k, α) = Φ−1

(12

+ (1−α)1/k

2

)Untuk suatu α = 0, 02, maka

c∗(k; 0, 02) =(1 + 0, 981/k)

2

andaikan c∗(k, α) = γ, maka c∗(k; 0, 02) = (1+0,981/k)2

dapat dituliskan menjadi

γ =(1 + 0, 981/k)

2

dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan

P

(|βi|σs1

< tγ;l

)= 0, 98

P (|βi| < tγ;l × σs1) = 0, 98

39

SME = tγ,l × σs1 (4.12)

dengan df = l

4.1.4 Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang

Pada bagian ini akan diturunkan fungsi power dari metode Bissell, Lenth

dan Fang. Fungsi power yang diperoleh selanjutnya akan digunakan untuk mem-

banding kekuatan uji dari ketiga metode tersebut. Power uji dari metode Bissell

diturunkan dari distribusi chi kuadrat noncentral yang didasarkan pada statistik

uji dari metode ini, sedangkan untuk metode Lenth dan Fang, fungsi powernya di-

turunkan dari distribusi t noncentral, hal tersebut juga didasarkan pada statistik

uji dari keduanya.

a. Fungsi Power dari Metode Bissell

Fungsi power dari metode Bissell dibawah hipotesis H1 diberikan sebagai

berikut:

1− δ = P (Tolak H0|H1 Benar)

= P{Bk(βi) ≥ χ2k−1;α/2|β 6= 0; i = 1, 2, . . . , k}

dimana Bk(βi) berdistribusi noncentral χ2k−1 dengan β sebagai parameter non-

central. Dari definisi (2.5), diberikan fungsi padat peluang dari distribusi chi

kuadrat non central sebagai berikut:

f(x) =∞∑i=1

1

i!

(β

2

)i

e−β/2 xa/2+i−1e−x/2

2a/2+iΓ(a/2 + i)

sebagaimana yang diturunkan pada Benton., D dan Krishnanmoorthy (2005),

dapat diturunkan nilai kritis dibawah hipotesis H1, sebagai berikut

P (Bk(βi) ≤ χ2k−1;α/2|H1) = P

{(k − 1)v

2

(s

m

)2

≤ χ2k−1;α/2|H1

}andaikan χ2

k−1;α/2 = x, diperoleh

P (Bk ≤ x|H1) =∞∑i=1

1

i!

(β

2

)i

e−β/2IG

(x

2;a

2+ i

)dimana

IGy(a) =1

Γ(a)

∫ y

0

exxa−1dx, a > 0, x > 0

40

Selanjutnya, fungsi power

1− δ = P

{(k − 1)v

2

(s

m

)2

≥ χ2k−1;α/2

∣∣∣∣H1

}= 1−

∞∑i=1

1

i!

(β

2

)i

e−β/2IG

(x

2;a

2+ i

)dengan β > 0 sebagai parameter noncentral, x > 0 dan a > 0

b. Fungsi Power dari Metode Lenth

Fungsi power dari metode Lenth, dibawah hipotesis H1,

1− δ = P (Tolak H0|H1 Benar)

= P

{tk(β) ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1

}= P

{|βi|σPSE

≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1

}dimana tk(β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncen-

tral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1

P{tk ≤ c(k, α)|H1} = P

{|β|

σPSE

≤ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1

}diperoleh

P{t1 ≤ c(k, α)|H1} = [Φ(k − β)− Φ(−k − β)].

Selanjutnya, Fungsi power

1− δ(k, α,β) = P

{|β|

σPSE

≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|β}

= 1− [Φ(k − β)− Φ(−k − β)]

= 1− [Φ((k, α)− β)− Φ(−(k, α)− β)]

dimana Φ(x) =∫ k

−∞ φ(x)dx

φ(x) =vv/2

Γ(v2)

e−β2/2

√π(v + x2)(v+1)/2

∞∑i=1

Γ

(v + i + 1

2

)(βi

i!

)(2x2

v + x2

)i/2

untuk

−∞ < x < ∞, v > 0, dan −∞ < β < ∞

c. Fungsi Power dari Metode Fang

Fungsi power dari metode Fang, dibawah hipotesis H1,

1− δ = P (Tolak H0|H1 Benar)

41

= P

{tk(β) ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1

}= P

{|β|σs1

≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1

}dimana tk(β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncen-

tral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1

P{tk ≤ c(k, α)|H1} = P

{|β|σs1

≤ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1

}diperoleh

P{t1 ≤ c(k, α)|H1} = [Φ(k − β)− Φ(−k − β)}.

Selanjutnya, Fungsi power

1− δ(k, α,β) = P

{|β|σs1

≥ c, i = 1, 2, . . . , k|β}

= 1− [Φ(k − β)− Φ(−k − β)]

= 1− [Φ((k, α)− β)− Φ(−(k, α)− β)]

dimana

Φ(x) =

∫ k

−∞φ(x)dx

φ(x) =vv/2

Γ(v2)

e−β2/2

√π(v + x2)(v+1)/2

∞∑i=1

Γ

(v + i + 1

2

)(βi

i!

)(2x2

v + x2

)i/2

dimana

−∞ < x < ∞, v > 0, dan −∞ < β < ∞.

4.2 Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang

Sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian 4.1.4, bahwa fungsi power

yang diperoleh akan digunakan untuk membandingkan kekuatan uji dari ketiga

metode tersebut. Pada bagian ini, dengan menggunakan kasus yang diberikan,

yaitu faktor yang mempengaruhi jarak tempuh bola golf dalam permainan golf

untuk rancangan faktorial fraksional 2-level dan faktor yang mempengaruhi pem-

bakaran pada boiler untuk rancangan faktorial fraksional 3-level.

42

4.2.1 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level

Sebelum melakukan perbandingan power uji antara metode Bissell, Lenth,

dan Fang, terlebih dahulu dilakukan analisis terhadap faktor-faktor yang di-

ikutkan dalam model, apakah signifikan atau tidak. Data yang digunakan sebagai

ilustrasi dari kemampuan metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi

faktor yang signifikan adalah percobaan Permainan Golf. Contoh ini diambil dari

Anonim (2003) dengan faktor-faktornya kemampuan (A), bola (B), Club (C), La-

pangan (D), dan Teeing (E), yang disusun dalam rancangan faktorial fraksional

25−1 atau rancangan resolusi V dengan defining relation E = ABDC dan jumlah

run 16 dengan model

y =β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + β12x1x2 + β13x1x3 + β14x1x4 +

β15x1x5 + β23x2x3 + β24x2x4 + β25x2x5 + β34x3x4 + β35x3x5 + β45x4x5 + ε

Model dengan 15 kontras, pengujian dengan menggunakan metode klasik tidak

memungkinkan untuk digunakan dengan tidak adanya nilai dari jumlah kuadrat

error. Tanda (*) yang muncul pada tabel anova disebabkan oleh, pertama tidak

adanya pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, kedua terdapat 16 kombi-

nasi perlakuan, jumlah kuadra total mempunyai 15 derajat bebas, 5 diantaranya

untuk faktor utama dan 10 lainnya untuk interaksi dua faktor, sehingga derajat

bebas untuk error adalah 0. Hipotesis yang akan diuji adalah

Tabel 4.1: Rangkuman Hasil Analisis Varian

Sumber Variansi DF SS MS F P

Efek Utama 5 27127 5425,5 * *

Interaksi 2-faktor 10 1812 181,2 * *

Kesalahan 0 * * *

Total 15 28939

H0 : βi = 0 lawan H1 : βi 6= 0 dimana i = 1, 2, 3, . . . , 15

Pengujian hiptesis dengan menggunakan ketiga metode tersebut dijelaskan seba-

gai berikut:

43

1. Metode Bissell,

Dilakukan perhitungan dengan iterasi sebagai berikut;

(a) Dari hasil perhitungan diperoleh rata-rata(m) 1929,33 dan standar

deviasi 3628,93 dari rata-rata kuadrat.

(b) Dengan menggunakan persamaan (4.3), untuk k=15 diperoleh nilai

Bk = 24, 8 dengan p-value dari chi-kuadrat 0,0369 untuk α = 0, 05

dengan df = 14, hasil ini dinyatakan signifikan. Selanjutnya rata-

rata kuadrat dengan nilai terbesar dihilangkan untuk keperluan per-

hitungan selanjutnya, yaitu untuk k = 14.

(c) k = 14 diperoleh nilai Bk = 31, 23 dengan p-value 0,003 untuk α =

0, 05 dengan df = 13, hasil ini dinyatakan signifikan. Demikian seterus-

nya hingga untuk suatu k dengan Bk tidak signifikan, perhitungan di-

hentikan.

Nilai yang dihilangkan dari perhitungan pada setiap iterasi dalam

metode ini dinyatakan sebagai faktor yang signifikan, yaitu faktor

Ground, Teeing dan Ability.

2. Metode Lenth,

Dengan menggunakan nilai dari penaksir efek, dihitung:

(a) s0 = 1, 5×median{|βi|} = 1, 5× 4, 6250 = 6, 9375

(b) σPSE = 1, 5×medianβi≤2,5

{|βi|} = 5, 4375

(c) ME = t0,025 × σPSE = 13, 9775

(d) SME = tγ,d × σPSE = 28, 3764

Untuk menyatakan faktor signifikan dari metode Lenth, bahwa nilai

mutlak dari penaksir efek yang lebih besar dari SME, faktor tersebut

yang dinyatakan signifikan, yaitu faktor Ability, groung dan teeing.

3. Metode Fang,

Dengan cara yang sama pada metode lenth, penetapan faktor yang sig-

44

nifikan adalah dengan mengambil nilai dari penaksir efek yang lebih besar

dari nilai SME. Faktor yang dinyatakan signifikan pada metode ini sama

dengan yang teridentifikasi pada metode Lenth. Hasil perhitungan yang

lengkap dapat dilihat pada Lampiran B Tabel 2.1.

Dari tabel tersebut, terlihat untuk metode Bissel, faktor-faktor yang signifikan

adalah ground, teeing dan ability, untuk metode Lenth dengan menggunakan

SME diperoleh faktor signifikan sama dengan faktor yang teridentifikasi pada

metode Bissell. Dengan menggunakan metode Fang, diperoleh faktor signifikan

ground, ability, teeing.

Selanjutnya, untuk mengetahui kekuatan uji dari metode Lenth dan Fang

dalam mengidentifikasi faktor signifikan, digunakan fungsi power dari masing-

masing metode dengan nilai noncentral (β) yang berbeda. Dari hasil analisis

statistik, dapat dijelaskan sebagai berikut: Dari kasus, diperoleh nilai power

untuk metode Bissell bahwa untuk suatu nilai parameter nonsentral yang dite-

tapkan, β, mempunyai nilai yang lebih kecil dari nilai statistik Bk memberikan

power yang cenderung kecil. Dengan kata lain, semakin nilai statistik Bk power

cenderung membesar. Akan tetapi, bahwa dari hasil ini juga memperlihatkan

bahwa untuk suatu nilai Bk yang dinyatakan signifikan, dimana nilai nonsentral

yang diberikan lebih besar, maka akan memperlihat nilai power yang kecil. Dari

kasus, untuk Bk = 24, 766, nilai ini dinyatakan signifikan dengan nilai P sebe-

sar 0,03 untuk α = 0, 05 dari distribusi chi kuadrat, juga diberikan nilai power

untuk suatu parameter noncentral, β = 10 yaitu 0,579, suatu nilai power yang

cukup kecil dalam untuk pengambilan keputusan. Jika dikaitkan dengan kesala-

han dalam pengambilan keputusan secara statistik, bahwa untuk statistik Bissell

jika jumlah faktor semakin banyak atau k besar, dengan α yang sama cenderung

melakukan kesalahan dalam menyatakan suatu faktor signifikan dalam keadaan

faktor tersebut tidak signifikan atau cenderung melakukan kesalahan jenis I, yaitu

menerima H0 saat H0 salah.

Dari hasil tersebut juga memberikan nilai power untuk metode Lenth bahwa

45

untuk suatu nilai β yang ditentukan lebih kecil dari β power cenderung kecil, se-

bagai contoh β2 ≤ β(9) mempunyai power yang kecil keadaan ini mempunyai

kecenderungan yang sama dengan metode Fang. Pada kasus dimana β ≥ β

menunjukan kecenderungan nilai power besar, walaupun faktor tersebut diny-

atakan tidak signifikan. Sebagai contoh; Bk ≥ β(9), Bk = 40, 758, secara lengkap

disajikan pada Lampiran C Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan Tabel 3.3. Dalam ka-

sus ini, untuk faktor yang signifikan mungkin tidak menjadi masalah yang ber-

arti oleh karena hasil uji yang menunjukkan power yang besar. Tetapi yang

perlu diperhatikan dari kasus ini adalah pada saat faktor tersebut dinyatakan

tidak signifikan, baik dengan menggunakan metode Lenth maupun Fang, ke-

cenderungan keduanya memberikan suatu power yang besar. Jika hal tersebut

dikaitkan dengan kesalahan yang mungkin terjadi dalam setiap pengujian hipote-

sis, yaitu kesalahan type II. Kondisi dimana terjadi penerimaan H0 saat H1 be-

nar, diberikan contoh dari hasil analisis, β2 = −4, 875 (tidak signifikan , baik

metode Lenth maupun Fang) dengan β = −8, 38652 diberikan nilai power sebe-

sar 0,99957 (Lampiran C Tabel 3.2), dengan peluang terjadi kesalahan type II

sebesar 0,00043 suatu tingkat kesalahan yang mungkin sangat kecil.

Melalui uraian kasus di atas, baik metode Lenth maupun metode Fang cen-

derung memberikan nilai power yang sama untuk suatu parameter noncentral

yang ditetapkan dan lebih kuat jika dibandingkan dengan metode Bissell, ke-

cuali pada keadaan dimana parameter nonsentral yang diberikan semakin besar

dibanding dengan efek dari suatu faktor terlihat perbedaan antara kedua metode

ini (Lenth dan Fang), dimana metode Fang cenderung lebih kuat dibandingkan

dengan metode Lenth dan Bissell. Gambar 4.1 berikut memberikan gambaran

power dari ketiga metode tersebut.

4.2.2 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level

Pada kasus ini, kasus yang digunakan adalah proses pembakaran pada

boiler dengan faktor-faktornya (1) sudut pengarah nosel (A), distribusi udara

(D),kombinasi elemen nosel (C), dan tarikan udara pada furnace (D) disusun

46

(a) Kurva Kuasa untuk βi; i = 1, 2, 3, 4 (b) Kurva Kuasa untuk βi; i = 5, 6, 7, 8

(c) Kurva Kuasa untuk βi; i = 9, 10

Gambar 4.1: Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk PermainanGolf

dalam rancangan faktorial fraksional 34−1IV atau rancangan resolusi IV dengan

defining relation I = AB2CD dan jumlah run 27. dengan model yang akan diuji

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β12x1x2 + β13x1x3β23x2x3 + ε

Model dengan 7 kontras, dari hasil analisis diperoleh tabel analisis variansi seba-

gai berikut Hipotesis yang akan diuji adalah

H0 : βi = 0 lawan H1 : βi 6= 0 dimana i = 1, 2, 3, . . . , 7

47

Tabel 4.2: Rangkuman Hasil Analisis Varian

Sumbe variansi DF SS MS F P

Regresi 7 1301,2 185,9 0,37 0,908

Kesalahan 19 9500,9 500,0

Total 26 10802,1

pengujian hipotesis dengan menggunakan metode klasik, sebagaimana yang di-

tunjukkan pada tabel ANOVA diatas, tidak dapat digunakan oleh karena model

yang diberikan tidak signifikan. Dalam hal ini, pengujian secara klasik tidak da-

pat digunakan untuk menetapkan faktor mana di antara sejumlah faktor yang

memberikan pengaruh pada proses pembakaran pada boiler. Pengujian hipotesis

dengan menggunakan ketiga metode tersebut, dijelaskan sebagai berikut:

1. Metode Bissell,

Dilakukan perhitungan dengan iterasi sebagai berikut:

(a) Dari hasil penghitungan rata-rata sebesar 185,886 dan standar deviasi

sebesar 335,397 dari rata-rata kuadrat

(b) Dengan menggunakan persamaan (4.3), untuk k=7 diperoleh nilai

Bk = 9, 76667 dengan p-value dari chi kuadrat 0,57 untuk α = 0, 05,

hasil ini menyatakan faktor A tidak signifikan.

Dari keseluruhan iterasi yang diberikan dalam metode Bissell tidak

satupun dari faktor yang mempengaruhi proses pembakaran pada boiler

yang dinyatakan signifikan.

2. Metode Lenth, Dengan menggunakan nilai dari penaksir efek, dihitung:

(a) s0 = 1, 5×median |βi| = 2, 1833

(b) σPSE = 1, 5× median|β|<2.5×s0

|β| = 2.1666

(c) ME = t0,025 × σPSE = 6, 5210

(d) SME = tγ, d× σPSE = 14, 2538

Untuk menyatakan faktor signifikan dengan menggunakan metode Lenth,

48

bahwa nilai multak dari penaksir efek yang lebih besar dari SME.

Dari hasil tersebut tidak satupun dari faktor yang dinyatakan sig-

nifikan

3. Metode Fang, Dengan yang sama pada metode fang, penetapan faktor yang

signifikan adalah dengan mengambil nilai dari penaksir efek yang lebih besar

dari nilai SME. Dari hasil perhitungan, tidak satupun dari faktor yang

ada dinyatakan signifikan.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Statistik uji dan penaksir parameter untuk metode Bissel, Lenth dan Fang

sebagai berikut:

(a) Statistik uji untuk Metodel Bissell adalah

Bk =(k − 1)v

2

(s

m

)2

yang merupakan suatu statistik berdistribusi chi kuadrat dengan pe-

naksirnya

E(Bk) = k − 1

(b) Penaksir dan statistik uji dari Metode Lenth adalah

i. Penaksir dari Metode Lenth

• s0 = 1.5 ×median{|βi|} sebagai penaksir awal yang akan di-

gunakan untuk menentukan penaksir akhir.

• σPSE = 1, 5× median|βi|≤2,5×s0

{|βi|} sebagai penaksir akhir.

• ME = σPSE × t0,025,d sebagai batas kesalahan

• SME = tγ,d × σPSE sebagai batas kesalahan simultan, meru-

pakan statistik yang digunakan untuk menetapkan apakah su-

atu faktor signifikan atau tidak, yaitu estimasi efek faktor

yang lebih besar dari SME dinyatakan sebagai faktor yang

signifikan.

ii. Statistik uji Metode Lenth

• tk =β

σPSE

sebagai statistik uji

49

50

(c) Penaksir dan statistik uji dari Metode Fang adalah

i. Penaksir Metode Fang

• s0 = 1.5 ×median{|βi|} sebagai penaksir awal yang akan di-

gunakan untuk menentukan penaskir akhir.

• σs1 =√

l−1∑

|βi|≤2,5×s0

|βi|2 sebagai penaksir akhir

• ME = σs1 × t0,025,l sebagai batas kesalahan

• SME = tγ,l × σs1 , sebagai batas kesalahan simultan, meru-

pakan statistik yang digunakan untuk menetapkan apakah su-

atu faktor signifikan atau tidak, yaitu estimasi efek faktor

yang lebih besar dari SME dinyatakan sebagai faktor yang

signifikan.

ii. Statistik uji metode Fang

• tk =β

σs1

sebagai statistik uji

2. Kekuatan uji untuk metode Metode Lenth dan Fang memberikan indikasi

yang lebih kuat dibandingkan dengan metode Bissell. Untuk Metode Lenth

dan Fang, memberikan kecenderungan yang sama dalam hal nilai power

yang diberikan untuk setiap parameter nonsentral. Namun, kekuatan uji

metode ini untuk suatu parameter yang noncentral yang diberikan semakin

besar, memperlihat metode Fang lebih kuat dibanding dengan metode Lenth.

5.2 Saran

Dengan penggunaanya yang cukup luas dalam berbagai bidang, rancangan

fraksional faktorial cukup menarik untuk dikembangkan lebih lanjut. Metode

yang berkaitan dengan rancangan ini telah banyak dikembangkan dan terus

didiskusikan, pada penelitian ini hanya mengemukakan tiga metode, yaitu Metode

Bissell, Lenth dan Fang. Bagi pembaca yang tertarik, disarankan untuk meninjau

metode-metode tersebut apakah dengan jumlah faktor fraksional yang berbeda-

beda atau melalui simulasi atau mengkhususkan pada rancangan fraksional fak-

51

torial 3-level.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, 2003. http://www.maths.napier.ac.uk/ jeff/golf.txt

Antony, J dan Capon, 1998. ”Teaching Experimental Design Techniques to In-

dustrial Engineers” Internatioan. Journal. Engeering Ed. Vol. 14, No. 5, pp.

335 - 343.

Benton., D dan Krishnamoorthy, K. 2005. ”Computing Discrete Mixture of Con-

tinuous Distributions: Noncentral Chisquare, Noncentral t and Distribution

of the Square of the Sample Multiple Correlation Coefisient”. Departement of

Mathematics, Universitu of Louisianan at Lafayette, Lafayette, USA.

Bisgaard, 1991. ”A Methode for Identification Defining Contrasts for 2K−P De-

sign”. Report Series No. 72 of Center for Quality and Productivity Impovement,

University of Wisconsin, Madison.

Bissell, A. F. 1989. ”Interpreting Mean Squares In Saturated Fractional Design”.

Journal of Applied Statistics 16, Vol. 1, pp.447

Bissell, A. F. 1992. ”Mean Squares In Saturated Fractional Design Revisied”.

Journal of Applied Statistics 19, Vol. 3, pp.447

Box, G. E. P. dan Meyer, R. D. 1986. ”An Analysis for Unreplicated Fractional

Factorials”. Technometrics. 28. 1 pp. 11-18

Cochran, W.G. 1954. ”Some Methods For Strengthening the Common χ2 Test”.

Biometric, pp. 418-450

Dodgson, J.H. 2003. ”A Graphical Method for Assessing Mean Square in Satu-

rated Fractional Designs”. Journal of Quality Technology, 35, No. 2, pp. 206-

212.

Dong., F. 1993. ”On the Indentification of Active Contrasts in Unreplicated Frac-

tional Factorial”. Statistics Sinica 3, pp 209-217.

Halaand, D.P dan O’Connell, M.A. ”Inference for Effect-Saturated Fractional

Factorials”. Technometrics 37, 1, pp. 82-93

Hamada, M. dan Balakrishnan, N. 1998. ”Analizyng Unreplicated Factorial Ex-

periments: A Review With Some New Proposals”. Statistics Sinica 8, pp 1-41

Lenth, R.V. 1989. ”Quick and Easy Analysis of Unreplicated Factorial”. Techno-

metrics 31, pp 469-473.

Luftig, J., 1991. ”Special Techniques For The Analysis Of Unreplicated Fractional

Factorial (Screening) Designs, Luftig & Warren International.

52

53

Montgomery, 2005. supplemental text material for each chapter of the 6th

edition of Design and Analysis of Experiments. http://www.wiley.com/ col-

lege/montgomery

Voelkel, G. J dan Rochester, CQAS, R.I.T., 2004. The Efficiencies of Frac-

tional Factorial Designs, Technical Report 2004-1. 30 November 2005.

http://www.rit.edu/ ∼636www/about/TR2004-1.pdf.

LAMPIRAN

54

Lampiran A

Matriks Rancangan dan Data

1.1 Data Eksperimen Permainan Golf

Tabel 1.1: Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf

Faktor Low level (-1) High level (+)

A Ability (handycap) 8 4

B Ball Balata two piece

C Club Wood metal

D Ground soft hard

E Teeing no tee tee

Tabel 1.2: Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf

Run A B C D E Distance Run A B C D E Distance

1 -1 -1 -1 -1 1 211 9 -1 -1 -1 1 -1 183

2 1 -1 -1 -1 -1 195 10 1 -1 -1 1 1 285

3 -1 1 -1 -1 -1 150 11 -1 1 -1 1 1 242

4 1 1 -1 -1 1 232 12 1 1 -1 1 -1 260

5 -1 -1 1 -1 -1 160 13 -1 -1 1 1 1 276

6 1 -1 1 -1 1 236 14 1 -1 1 1 -1 264

7 -1 1 1 -1 1 222 15 -1 1 1 1 -1 200

8 1 1 1 -1 -1 204 16 1 1 1 1 1 301

Sumber: Dodgson, J.H. 2003. ”A Graphical Method for Assessing Mean Square in Satu-rated Fractional Designs”. Journal of Quality Technology, 35, No. 2, pp. 206- 212.

1.2 Data Pembakaran pada Boiler

Tabel 1.3: Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler

Faktor Level 0 (rendah) Level 1 (tengah) Level 2 (Atas)

A(Sudut Pengarah Nosel) -10 0 10

B(Distribusi Udara) Elevasi sudut atas tengah bawah

C(Kombinasi Elemen Nosel) -1,2mbar 0mbar 1,6mbar

D(Sudut Pengarah Nosel) -10 0 10

55

56

Tabel 1.4: Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaranpada Boiler

Run A B AB C AC BC D y

1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 60,0

2 -1 -1 -1 0 0 0 0 78,0

3 -1 -1 -1 1 1 1 1 100,0

4 -1 0 0 -1 -1 0 0 52,0

5 -1 0 0 0 0 1 1 50,0

6 -1 0 0 1 1 -1 -1 42,0

7 -1 1 1 -1 -1 1 1 98,0

8 -1 1 1 0 0 -1 -1 66,0

9 -1 1 1 1 1 0 0 88,0

10 0 -1 1 -1 0 -1 0 70,0

11 0 -1 1 0 1 0 1 60,0

12 0 -1 1 1 -1 1 -1 60,0

13 0 0 -1 -1 0 0 1 38,0

14 0 0 -1 0 1 1 -1 10,0

15 0 0 -1 1 -1 -1 0 30,0

16 0 1 0 -1 0 1 -1 58,0

17 0 1 0 0 1 -1 0 54,0

18 0 1 0 1 -1 0 1 74,0

19 1 -1 0 -1 1 -1 1 80,0

20 1 -1 0 0 -1 0 -1 72,0

21 1 -1 0 1 0 1 0 92,0

22 1 0 1 -1 1 0 -1 46,0

23 1 0 1 0 -1 1 0 62,0

24 1 0 1 1 0 -1 1 62,0

25 1 1 -1 -1 1 1 0 90,0

26 1 1 -1 0 -1 -1 1 86,0

27 1 1 -1 1 0 0 -1 82,0

Lampiran B

Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan

2.1 Permainan Golf

Factorial Fit: Distance versus Ability; Ball; Club; Ground; Teeing

Estimated Effects and Coefficients for Distance (coded units)

Term Effect Coef

Constant 226,313

Ability 41,625 20,813

Ball 0,125 0,062

Club 13,125 6,562

Ground 50,125 25,062

Teeing 48,625 24,313

Ability*Ball 4,125 2,063

Ability*Club -4,875 -2,437

Ability*Ground 10,625 5,313

Ability*Teeing -15,875 -7,937

Ball*Club -2,375 -1,187

Ball*Ground -1,375 -0,687

Ball*Teeing -2,875 -1,437

Club*Ground 4,625 2,312

Club*Teeing 3,125 1,562

Ground*Teeing 0,625 0,312

S = *

Analysis of Variance for Distance (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

MainEffects 5 27127 27127 5425,5 * *

2-Way Interactions 10 1812 1812 181,2 * *

Residual Error0 * * *

Total 15 28939

57

58

Tabel 2.1: Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan Golf

Run Efek Ref MS Reford Bk Pvalue

Ability 41,625 1 6930,6 4 24,7662 0,0369474

Ball 0,125 2 0,1 5 31,2315 0,0031184

Club 13,125 3 689,1 1 40,7580 0,0000538

Ground 50,125 4 10050,1 9 13,7841 0,2451737

Teeing 48,625 5 9457,6 3 13,5729 0,1933798

Ability*Ball 4,125 6 68,1 8 12,6369 0,1797348

Ability*Club -4,875 7 95,1 7 3,3778 0,9084655

Ability*Ground 10,625 8 451,6 13 3,3073 0,8551988

Ability*Teeing -15,875 9 1008,1 6 2,9810 0,8112249

Ball*Club -2,375 10 22,6 14 2,3178 0,8036538

Ball*Ground -1,375 11 7,6 12 2,4452 0,6544835

Ball*Teeing -2,875 12 33,1 10 2,5132 0,4729036

Club*Ground 4,625 13 85,6 11 1,6793 0,4318616

Club*Teeing 3,125 14 39,1 15 0,8521 0,3559671

Ground*Teeing 0,625 15 1,6 2 * *

s0 6,9375

Metode Lenth σPSE = 5,4375

ME = 13,9975

SME = 28.3764

Metode Fang σs1 = 7,2187

ME = 16,6226

SME = 29,9595

2.2 Pembakaran Pada Boiled 3-Level

Seluruh Faktor utama dan Interaksi Dua Faktor

Regression Analysis: y versus x1; x2; ...x3x4

The regression equation is

y = 64,8 + 0,11 x1 + 1,22 x2 + 1,44 x3 + 7,22 x4 - 1,47 x1x2 - 3,60 x1x3

- 0,71 x1x4 - 2,49 x2x3 + 0,40 x2x4 - 3,47 x3x4

Predictor Coef SE Coef T P VIF

Constant 64,815 4,654 13,93 0,000

x1 0,111 5,700 0,02 0,985 1,0

x2 1,222 5,700 0,21 0,833 1,0

x3 1,444 5,700 0,25 0,803 1,0

59

x4 7,222 5,700 1,27 0,223 1,0

x1x2 -1,467 7,210 -0,20 0,841 1,1

x1x3 -3,600 7,210 -0,50 0,624 1,1

x1x4 -0,711 7,210 -0,10 0,923 1,1

x2x3 -2,489 7,210 -0,35 0,734 1,1

x2x4 0,400 7,210 0,06 0,956 1,1

x3x4 -3,467 7,210 -0,48 0,637 1,1

S = 24,1844 R-Sq = 13,4% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 10 1443,9 144,4 0,25 0,985

Residual Error 16 9358,2 584,9

Total 26 10802,1

No replicates.

Cannot do pure error test.

Source DF Seq SS

x1 1 0,2

x2 1 26,9

x3 1 37,6

x4 1 938,9

x1x2 1 65,3

x1x3 1 147,0

x1x4 1 21,3

x2x3 1 69,7

x2x4 1 1,8

x3x4 1 135,2

60

Tabel 2.2: Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang

Ref MS Reford Bk Pvalue

1 1712,15 1 6,70844 0,568392

2 1631,26 2 7,63956 0,365446

3 928,20 3 6,51795 0,367732

4 76,94 7 0,96941 0,964995

5 145,48 5 0,70381 0,950858

6 94,71 6 0,44522 0,930751

7 186,65 4 0,40509 0,816648

8 14,42 9 0,42017 0,516851

9 67,56 8 * *

Metode Lenth

s0 2.1833

σPSE = 2.1666

ME = 6.5210

SME = 14.2538

Metode Fang

σs1 = 4.9011

ME = 8.7678

SME = ...

Seluruh Faktor Utama dan Interaksi AB, AC, dab BC

Regression Analysis: y versus x1; x2; x3; x4; x1x2; x1x3; x2x3

The regression equation is

y = 64,8 + 0,11 x1 + 1,22 x2 + 1,44 x3 + 7,22 x4 - 2,33 x1x2 - 3,50 x1x3

- 2,67 x2x3

Predictor Coef SE Coef T P VIF

Constant 64,815 4,304 15,06 0,000

x1 0,111 5,271 0,02 0,983 1,0

x2 1,222 5,271 0,23 0,819 1,0

x3 1,444 5,271 0,27 0,787 1,0

x4 7,222 5,271 1,37 0,187 1,0

x1x2 -2,333 6,455 -0,36 0,722 1,0

x1x3 -3,500 6,455 -0,54 0,594 1,0

x2x3 -2,667 6,455 -0,41 0,684 1,0

61

S = 22,3617 R-Sq = 12,0% R-Sq(adj) = 0,0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 7 1301,2 185,9 0,37 0,908

Residual Error 19 9500,9 500,0

Total 26 10802,1

No replicates.

Cannot do pure error test.

Source DF Seq SS

x1 1 0,2

x2 1 26,9

x3 1 37,6

x4 1 938,9

x1x2 1 65,3

x1x3 1 147,0

x2x3 1 85,3

Tabel 2.3: Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang

Ref MS Reford Bk Pvalue

1 0,2 4 9,76667 0,134828

2 26,9 6 1,83889 0,870959

3 37,6 7 1,18834 0,880014

4 938,9 5 1,03030 0,793922

5 65,3 3 0,79769 0,671094

6 147,0 2 0,97070 0,324506

7 85,3 1 * *

Lam

pir

an

C

Hasi

lPenghit

ungan

Pow

er

dan

Kurv

aK

uasa

Meto

de

Bis

sell,Lenth

,dan

Fang

untu

kPerm

ain

an

Golf

Tab

el3.

1:Pow

erM

etode

Bis

sell

untu

kPer

mai

nan

Gol

f

β

Bk

12

34

56

78

910

24,7

662

0,94

1941

0,91

5733

0,88

4624

0,84

9012

0,80

9458

0,76

6639

0,72

1306

0,67

4242

0,62

6221

0,57

7984

31,2

315

0,99

0186

0,98

3313

0,97

3836

0,96

1419

0,94

5808

0,92

6848

0,90

4490

0,87

8790

0,84

9906

0,81

8089

40,7

580

0,99

9507

0,99

8948

0,99

8000

0,99

6507

0,99

4287

0,99

1140

0,98

6853

0,98

1209

0,97

3995

0,96

5014

13,7

841

0,46

2393

0,39

6737

0,33

7581

0,28

5036

0,23

8944

0,19

8966

0,16

4638

0,13

5431

0,11

0788

0,09

0155

13,5

729

0,44

6725

0,38

1832

0,32

3691

0,27

2315

0,22

7473

0,18

8759

0,15

5664

0,12

7626

0,10

4066

0,08

4417

12,6

369

0,37

6641

0,31

6320

0,26

3607

0,21

8107

0,17

9260

0,14

6418

0,11

8898

0,09

6024

0,07

7152

0,06

1690

3,37

780,

0012

150,

0008

150,

0005

460,

0003

660,

0002

450,

0001

640,

0001

090,

0000

730,

0000

490,

0000

32

3,30

730,

0010

780,

0007

220,

0004

830,

0003

230,

0002

150,

0001

440,

0000

960,

0000

640,

0000

420,

0000

28

2,98

100,

0005

930,

0003

930,

0002

610,

0001

730,

0001

140,

0000

760,

0000

500,

0000

330,

0000

220,

0000

14

2,31

780,

0001

330,

0000

860,

0000

560,

0000

370,

0000

240,

0000

150,

0000

100,

0000

060,

0000

040,

0000

03

2,44

520,

0001

830,

0001

200,

0000

780,

0000

510,

0000

330,

0000

220,

0000

140,

0000

090,

0000

060,

0000

04

2,51

320,

0002

160,

0001

420,

0000

930,

0000

610,

0000

400,

0000

260,

0000

170,

0000

110,

0000

070,

0000

05

1,67

930,

0000

180,

0000

110,

0000

070,

0000

050,

0000

030,

0000

020,

0000

010,

0000

010,

0000

000,

0000

00

0,85

210,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

00

62

63

Tab

el3.

2:Pow

erM

etode

Len

thuntu

kPer

mai

nan

Gol

f

β

β1

23

45

67

89

10

-15,

8750

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-4,8

750

0,00

230,

0002

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-2,8

750

0,01

740,

0017

0,00

010,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-2,3

750

0,03

180,

0034

0,00

020,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-1,3

750

0,11

380,

0162

0,00

100,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,12

500,

5473

0,18

930,

0301

0,00

200,

0001

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

00

0,62

500,

7203

0,34

520,

0838

0,00

910,

0004

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

00

3,12

500,

9869

0,92

580,

7553

0,48

440,

2272

0,07

500,

0172

0,00

270,

0003

0,00

00

4,12

500,

9954

0,97

060,

8858

0,70

920,

4699

0,24

840,

1028

0,03

310,

0083

0,00

16

4,62

500,

9971

0,98

080,

9214

0,78

570,

5784

0,35

500,

1782

0,07

260,

0239

0,00

64

10,6

250

0,99

990,

9995

0,99

740,

9908

0,97

450,

9425

0,88

970,

8141

0,71

790,

6075

13,1

250

1,00

000,

9998

0,99

910,

9965

0,98

990,

9762

0,95

180,

9138

0,86

050,

7919

41,6

250

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

000,

9999

0,99

980,

9995

0,99

920,

9986

48,6

250

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

0,99

990,

9998

0,99

960,

9993

50,1

250

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

0,99

990,

9998

0,99

970,

9994

64

Tab

el3.

3:Pow

erM

etode

Fan

guntu

kPer

mai

nan

Gol

f

β

β1

23

45

67

89

10

-15,

8750

0,00

010,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-4,8

750

0,00

020,

6957

0,01

270,

0001

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-2,8

750

0,00

700,

0004

1,10

770,

0134

0,00

010,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-2,3

750

0,01

750,

0013

0,40

270,

0565

0,00

030,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

-1,3

750

0,09

710,

0118

0,00

061,

3370

0,00

120,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,12

500,

5487

0,19

020,

0303

0,00

205,

3022

0,00

540,

0000

0,00

000,

0000

0,00

00

0,62

500,

7282

0,35

020,

0843

0,00

890,

0004

0,06

740,

0046

0,00

000,

0000

0,00

00

3,12

500,

9956

0,96

030,

8148

0,51

830,

2129

0,05

140,

0070

0,00

052,

1065

0,04

66

4,12

500,

9993

0,99

140,

9432

0,78

690,

5085

0,22

910,

0675

0,01

260,

0015

0,00

01

4,62

500,

9997

0,99

600,

9698

0,86

880,

6470

0,36

180,

1417

0,03

750,

0066

0,00

08

10,6

250

1,00

001,

0000

1,00

000,

9997

0,99

830,

9924

0,97

380,

9292

0,84

510,

7172

13,1

250

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

0,99

980,

9989

0,99

550,

9856

0,96

250,

9173

41,6

250

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

48,6

250

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

50,1

250

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

1,00

001,

0000

65

(a) Kurva Kuasa untuk β = 1, 2, 3, 4

(b) Kurva Kuasa untuk β = 5, 6, 7, 8

(c) Kurva Kuasa untuk β = 9, 10

Gambar 3.1: Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk PermainanGolf

Lampiran D

Listing Program

4.1 Listing Program Iterasi Bissell

# Macro: BTAUTO.MAC

# Deskripsi: Menyatakan nilai dari statistik Bk dan p-value yang

# berkaitan untuk tiap mean square, dan plot Bk dengan

# k-1

# Input: DF - Derajat bebas

# Ref - kolom referensi label

# MS - kolom Mean square

# Output: Reford - Kolom referensi label yang diurutukan

berdasarkan mean square

# Bk - Kolom nilai Bk

# PValue - Kolom p-value

# Calls: Call makro BTEST.MAC

MACRO

BTAUTO DF REF MS REFORD BK PVALUE

MCONSTANT DF K CVT PV I J L

MCOLUMN REF MS REFORD BK PVALUE MSORD KMIN1

LET K=N(MS) SORT REF MS REFORD MSORD;

BY MS;

DESCENDING MS.

%BTEST DF MS CVT PV

LET BK(1) = CVT

LET PVALUE(1) = PV

DO I = 1:K - 2

LET MSORD(I) = ’*’

%BTEST DF MSORD CVT PV

LET J = I + 1

LET BK(J) = CVT

LET PVALUE(J) = PV

ENDDO

LET BK(K)=’*’

LET PVALUE(K) = ’*’

LET L = K - 1

SET KMIN1 L:1*

END

66

67

NAME BK ’Bk’

NAME KMIN1 ’k - 1’

PLOT BK*KMIN1;

LINE KMIN1 KMIN1.

ENDMACRO

# Macro: BTEST.MAC

# Deskripsi: Menyatakan statistik Bk dan p-value

# yang berkaitan untuk satu mean square

# Input: DF - derajat bebas

# MS - mean square

# Output Bk - Statistik Bk

# PVALUE - p-value

MACRO

BTEST DF MS BK PVALUE

MCONSTANT DF BK PVALUE K L CV QVALUE

MCOLUMN MS

LET K = N(MS)

LET L = K - 1

LET CV = STDEV(MS)/MEAN(MS)

LET BK = 0,5*L*DF*CV**2

CDF BK QVALUE;

CHISQUARE L.

LET PVALUE = 1 - QVALUE

ENDMACRO

# Macro: EFFTOMS.MAC

# Deskripsi: Menyatakan mean square dari efek

# untuk eksperimen 2**k

# Input: EFFECTS - kolom efek

# Output: MS - kolom mean square

MACRO

EFFTOMS EFFECTS MS

MCOLUMN EFFECTs MS

LET MS = (EFFECTS**2)*(N(EFFECTS)+1)/4

ENDMACRO

68

4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang

clc

clear

effect = [-15.875;-4.875;-2.875;-2.375;-1.375;0.125;0.625;

3.125;4.125;4.625;10.625;13.125;41.625;48.625;50.125]

PERMAINAN GOLF

So = 1.5 * median(abs(effect))

% =========================================================

% Perhitungan Metode Lenth

% =========================================================

k = length(effect);

m = 0;

for i=1:k

if abs(effect(i))<2.5 *So

m = m + 1;

hasil1(m) = effect(i);

end

end

PSE = 1.5 * median(abs(hasil1))

MEL = tinv(0.975,k/3) * PSE

gammaL = (1 + (0.95)^(1/k) )/ 2;

SMEL = tinv(gammaL,k/3) * PSE

% ===========================================================

% Perhitungan Power Metode Lenth

% ===========================================================

for i=1:k;

lower=-MEL;

upper=+MEL;

dh =(upper-lower)/10;

j = 1;

delta =lower;

for j=1:10

power(i,j) = nctcdf(effect(i),k/3,delta);

delta = delta + dh;

del(i,j) =delta;

end

end

% ===========================================================

% Perhitungan Metode Fang

69

% ===========================================================

w = 0;

for i=1:k

if abs(effect(i))<2.5 *So

w = w + 1;

hasil2(w) = effect(i)^2;

end

end

l =length(hasil2);

jum = sum(hasil2);

S1 = sqrt((jum)/l)

MEF = tinv(0.98,l) * S1

gammaF = (1 + (0.98)^(1/k) )/ 2;

SMEF = tinv(gammaF,l) * S1

for i=1:k;

bawah=-MEL;

atas=+MEL;

dhf =(atas-bawah)/10;

t = 1;

deltaf =bawah;

for t=1:10;

powerf(i,t) = nctcdf(effect(i),l,deltaf);

deltaf = deltaf + dhf;

delf(i,t) =deltaf;

end

end

%===========================================================

% Mencentak Power Methode Lenth dan Fang

%===========================================================

display1 = [effect del];

disp(’===================================================’);

disp(’beta delta ’);

disp(’===================================================’);

disp(num2str(display1));

disp(’===================================================’);

display = [effect power];

disp(’===================================================’);

disp(’beta power ’);

disp(’===================================================’);

disp(num2str(display));

disp(’===================================================’);

display2 = [effect delf];