BAB II

DERET UKUR

1

Husnayetti

1. PENGERTIAN DUDeret ukur adalah suatu deret yangperbandingan suku-suku yangberurutannya merupakan bilangan tetap

2

2. BENTUK UMUM Deret Ukur

a = suku awalp = penggandaSn = suku ke n

3

Sn = suku ke n

3. MENENTUKAN SUKU KE n ( Sn)Rumus untuk menentukan suku ke n untuk DU adalah : Misalkan kita punya DU adalah : 2,4,8,16,32

4

2,4,8,16,32Contoh deret ini mempunyai p = 2 yaitu dengan cara membandingkan suku-suku yang berurutannya mis : 4/2 = 2Suku Pertama = 2 = aSuku ke dua = 4 = 2 x 2 = a . p

Suku Pertama 2 = aSuku ke 2 4 = 2 x 2 = a . pSuku ke 3 8 = 2x2x2 = a.p.p = ap 2

Suku ke 4 16 = 2x2x2x2 = a.p.p.p=ap3

5

Dengan formula diatas maka kita dapat menentukan rumus untuk suku ke n =

Sn = a.p (n-1)

Contoh : Diketahui Deret Ukur beranggotakan 3,9,27.. .Tentukanlah suku ke enam dari deret tersebut

6

S6 = ap 5

S6 = 3.3 5 =3 6 = 729

Contoh :Sebuah DU mempunyai suku pertama 20dan ratio antar suku yang berurutannyaadalah 2.Hitunglah suku ke 10 ?Diket :

7

Diket :a=20 dan p=2Ditanya S10S10 = a.p 9 = 20 . 2 9

S10 = 10.240

Contoh :Deret ukur X mempunyai nilai sukupertama 1.600 dan rationya0,125.Sedangkan deret ukur Ymempunyai nilai suku pertama 50 danrationya 4. Pada suku keberapa kedua

8

rationya 4. Pada suku keberapa keduaderet ini mempunyai nilai yang sama ?Diket :Deret X, a=1.600 dan p=0,125Deret Y, a=50 dan p=4

Snx =1.600 . 0,125 (n-1)

Sny =50 . 4 (n-1)1.600 . 0,125 (n-1) = 50 . 4 (n-1)1.600/50 = 4 (n-1)/0,125 (n-1)32 = 32 (n-1)

9

32 = 32 (n-1)

1 = (n-1)1+1 = n = 2

4. MENENTUKAN JUMLAH S/D SUKU KE n ( Dn)

Menentukan jumlah sampai dengan sukuke n (Dn) itu adalah denganmenjumlahkan suku pertama sampaidengan suku ke n. Rumus yang digunakan

10

dengan suku ke n. Rumus yang digunakanadalah :Dn = a+ap+ap2+ap3+. apn-1 1p.Dn = ap+ap2+ap3+ap4+.apn-1+ apn.... 2

Kemudian persamaan (1) dikurangpersamaan (2)Dn pDn = a ap n

Dn (1-p) = a (1-pn)

11

Dn = a (1-pn) untuk p < 11-p

Dn = a (pn-1) untuk p > 1p-1

Contoh :Sebuah deret ukur mempunyai sukupertama 15 .Ratio antar suku-suku yangberurutannya 10.hitunglah berapa jumlahsampai dengan suku ke 5

Diket :

12

Diket :a=15 dan p=10Ditanya : D5D5 = 15 ( 10 5 1 ) = 166.665

10-1

Contoh :Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari sebuah deret ukur masing-masing adalah 800 dan 204.800. Hitunglah :

a. Suku awal dan pengganda

13

b. Suku ke limac. Jumlah sampai dengan suku ke lima

S3= ap2 = 800S7 = ap6 = 204.800 = ap2. p4= 800 . p4

204.800 = 800 . p4 , p4 =256 dan p=4

14

800= a . 42 = a . 16, maka a = 800/16=50

S5 = a p 4 = 50 . 4 4 = 50 . 256 = 12.800

D5 = 50 ( 4 5 1) =17.0503

15

3

1. Tentukanlah suku awal dan ratiodarisebuah deret ukur jika diketahui sukuke 5 = 80 dan suku ke 9 = 640

2. Tentukanlah nilai n dari suatu deret ukuryang suku pertamanya adalah 3, danrationya 2, serta suku ke n (Sn) adalah

16

rationya 2, serta suku ke n (Sn) adalah384

Tabungan Rp. 1.000.000, bunga 10%1.000.000 + 10% x 1.000.000 = 1.100.0001.100.000 + 10% x 1.100.000 = 1.210.000

17

5. APLIKASI DU1. BUNGA MAJEMUK

Model bunga majemuk merupakanpenerapan deret ukur dalam simpan pinjamBunga majemuk / Bunga berbunga adalahsuatu metode dimana jumlah bunga yangdiperoleh ditambahkan kedalam uang

18

diperoleh ditambahkan kedalam uangpokok untuk menghitung bunga periodeberikutnya

Bunga mejemuk digunakan untukmenghitung nilai yang akan datang darisuatu pinjaman ( nilai sekarang )

Notasi yang digunakan :P = uang pokok

19

P = uang pokokF = Nilai akumulasi / nilai yang akan

datangi = suku bungan = jangka waktu / jumlah

Rumus untuk menghitung bunga majemukJumlah akumulasi / nilai yang akan datang dari

suatu tabungan atau uang pokok adalah :

Setelah tahun pertama (F1) = P + i P=P(1+i)Setelah tahun kedua (F2) = P(1 + i) +

20

Setelah tahun kedua (F2) = P(1 + i) + i(P(1+i)=P(1+i)2

Setelah tahun ke tiga (F3) = P(1+i)3Setelah tahun ke-n

Fn = P ( 1+i) n

Contoh :Seorang nasabah merencanakanmendepositokan uangnya di Banksebanyak Rp. 10.000.000,- dalam jangkawaktu 5 tahun.Pembungaan depositonyasetahun sekali dengan tingkat bunga yang

21

setahun sekali dengan tingkat bunga yangdiasumsikan konstan sebesar 11%pertahun.bantulah nasabah itu untukmenghitung berapa jumlah uang yangditerimanya pada akhir tahun ke-lima ?

Jika perhitungan bunga nya lebih dari sekali setahun maka rumusnya akan menjadi :

Fn = P ( 1+ i ) mnm

22

Fn = P ( 1+ i ) m

m = frekuensi perhitungan bunga dalam setahun

Contoh :Seorang nasabah merencanakanmendepositokan uangnya di Bank sebanyakRp. 15.000.000,- dalam jangka waktu 6tahun.Pembungaan depositonya tiap 4 bulansekali dengan tingkat bunga yang

23

sekali dengan tingkat bunga yangdiasumsikan konstan sebesar 12%pertahun.bantulah nasabah itu untukmenghitung berapa jumlah uang yangditerimanya pada akhir tahun ke-enam ?

Seorang nasabah merencanakanmendepositokan uangnya di Banksebanyak Rp. 15.000.000,- dalam jangkawaktu 7 tahun.Pembungaan depositonyasetahun sekali dengan tingkat bunga yangdiasumsikan konstan sebesar 12%

24

pertahun.bantulah nasabah itu untukmenghitung berapa jumlah uang yangditerimanya pada akhir tahun ke-tujuh ?

2. PRESENT VALUEPresent value berarti kita menghitung nilai sekarang dari nilai yang akan datang ( mengitung P dari nilai F)

P = F

25

P = F ( 1+i)n

Rumus ini digunakan jika perhitunganbunganya setahun sekali

Kalau perhitungan bunga lebih dari sekali setahun maka digunakan rumus :

P = F ( 1+i)mn

m

26

Contoh :Jika seorang nasabah menginginkan uangyang didepositokannya selama lima tahunmenjadi berjumlah Rp. 20 Jt, dengantingkat suku bunga konstan 11 %

27

pertahun dan dibungakan setiap tahun,berapa uang yang harus didepositokannyasekarang ?

Diket :F5 = 20.000.000i=11% dan n=5P= ?Fn = P (1+i) n = P = Fn = 20.000.000

28

Fn = P (1+i) = P = Fn = 20.000.000(1 +i)n ( 1,11 ) 5

P = 11,869,026.56

Jika hendak dibungakan tidak per-satutahun, misalnya tiap 6 bulan, hitunglahberapa uang yang harus didepositokannyasekarang ?

P = Fn = 20.000.000 = 20.000.000(1 + i )mn (1 +0,055) 10 1,055 10

29

(1 + i )mn (1 +0,055) 10 1,055 10m

11,708,611.59

Latihan soal1. Bapak Vecky seorang pengusaha, berharap

lima tahun kemudian akan mendapatkan labasebesar Rp. 25 jt.Jika tingkat bunga yangberlaku saat ini 12% per tahun dan dibayarkansecara kuartalan,berapa jumlah laba Vecky saatini ?

30

ini ?2. Arfina ingin menabung uangnya

Rp.1.500.000,-di bank dengan tingkat bunga15% pertahun.Berapa nilai uangnya setelah 10tahun kemudian, jika dimajemukkan sacarasemesteran,bulanan dan kuartalan.

3. PERTUMBUHAN PENDUDUKPenerapan deret ukur yang palingkonvensional dibidang ekonomi adalahdalam hal penaksiran jumlah penduduk,sebagaimana yang dikemukakan olehMalthus, penduduk dunia tumbuh

31

Malthus, penduduk dunia tumbuhmengikuti pola deret ukur, secaramatematik hal tersebut dapat dirumuskan:

Pn = Po ( 1 +r ) n

Dimana :Pn = Jumlah penduduk tahun nPo = Jumlah penduduk tahun o ( tahun

awal )n = Jumlah tahun

32

n = Jumlah tahun r = Tingkat pertumbuhan penduduk

Contoh :Penduduk kota A pada tahun 1990berjumlah 1.000.000 jiwa. Jika tingkatpertumbuhannya 2% pertahun. Hitunglahjumlah penduduk kota tersebut tahun 1995

Diket :

33

Diket :Po = 1.000.000r = 2% dan n = 5Pn = Po (1+r)n = 1.000.000 (1.02)5 =

1,104,081

Contoh :Penduduk sebuah kota Metropolitantercatat 3,25 Jt jiwa pada tahun 1998,diperkirakan menjadi 4,5 jt jiwa tahun2003. Jika tahun 1998 dianggap tahundasar, berapa persen pertumbuhan

34

dasar, berapa persen pertumbuhanpenduduk pertahunnya. Dan berapajumlah penduduk tahun 2005

Diket : Po=3,25 jtPn=4,5 jtn=5r=. ?

Pn = Po ( 1 +r ) n

35

Pn = Po ( 1 +r ) 4,5 jt = 3,25 jt ( 1+r) 54,5 jt/ 3,25jt = ( 1+r) 51,38 = ( 1+r) 5 , 1+r = 5 1,38 = 1,06654r= 1,06654 1, r=0,06654, r=6,65%

1. Tn X meminjam sejumlah uang Rp. 1.000.000pada bank Y dengan perjanjian bahwa 3 tahunkemudian X harus mengembalikan sejumlahRp. 1.650.000.Hitunglah berapa persen tingkatbunga majemuk yang dibebankan pada Tn X

2. Dodi mendepositokan uangnya sejumlahRp.625.000 pada sebuah Bank yang memberibunga 7,5% tiap 6 bulan secara majemuk

36

bunga 7,5% tiap 6 bulan secara majemukselama jangka waktu tertentu.Agar pada akhirjangka waktu tersebut Dodi akan menerimajumlah tabungan Rp. 1.000.000.Hitunglahselama berapa tahun Dodi harusmendepositokan uangnya ?

Pertumbuhan Penduduk Penduduk suatu kota pada tahun 2000

benjumlah 1.000.000. Dengan tingkatperumbuhan penduduk yang konstan setiaptahun setelah 5 tahun kemudian jumlahtahun setelah 5 tahun kemudian jumlahpenduduk kota tersebut menjadi 1.104.080jiwa. Hitunglah berapa tingkatpertumbuhan penduduk kota tersebut pertahun ?

37