Hubungan Gugus

Gugusganda (Cartesius) diartikan sebagai dua buah unsur yang disusun secara dua-dua atau disebut ganda-dua. Penyusunan ini terjadi adanya keinginan untuk melihat sesuatu dari perolehan berupa prestasi.

Gugusganda

Matematika diperoleh dari :- nilai ujian : 1 s/d 4- nilai tugas-rumah : 1 s/d 3

Susunan ganda-duanya sebanyak 12 pasang :{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

Susunan ganda-duanya secara umum berupa (x,y) dimana y dan x seletak. Sehingga titik-titik bilangan dalam satu garis adalah juga titik-titik bilangan pada garis bilangan nyata.

Susunan secara umum ganda-duanya berupa (x,y) dimana kedudukan y dan x bebas seletak. X = {xi | xi Є N} dan Y = {yi | yi Є N}, dimana i = 1, 2, 3, akan tergambar dalam suatu grafik sistem koordinat (x,y).

Sifat Hubungan

Sekatan Gugusganda DuaNilai ujian : x1=1 (tidak pandai), x2 = 2 (sedang), x3 = 3

(pandai), x4 = 4 (pandai sekali)Nilai tugas : y1=1 (malas), y2 = 2 (seadanya), y3 = 3 (rajin)

Dengan sistem koordinat diperoleh 12 unsur dari XxY. Jika dikelompokan menjadi 4 anakgugus yang terputus terhadap sesamanya; Hubungan yang demikian disebut sekatan suatu hubungan (XxY).

Keempat hubungan di atas :H1 : tidak pandai-sedang karena malas belajar-seadanyaH2 : tidak pandai-sedang tapi rajin belajarH3 : pandai tapi malas belajar-seadanya H4 : pandai dan rajin belajar

Jika x Є X dan y Є Y, maka hubungan dua gugus tersebut dinotasikan sebagai xHy atau notasi gugusnya sebagai :

H = {(x,y); (x,y) Є (XxY), h(x,y)}

H2 H4

H1 H3

Hubungan PenataanTertata LengkapPersyaratannya :(a) Tiap pasangan x dan y dapat dibedakan

x = Perdana dan y = Dewi adalah saudara sekandung; Perdana lebih tua dari Dewi.

Bentuk hubungan ini dinyatakan : xHy ≠ yHx

(b) bersifat menghantar

x = Perdana anak sulung, y = Dewi anak tengah dan z = Trisno anak bungsu dari saudara sekandung.

xHy ≈ Perdana kakak DewiyHz ≈ Dewi kakak TrisnoxHz ≈ Perdana kakak Trisno

Tertata TaklengkapPersyaratannya :

x = Tiara sekelas dengan y = Dody; berarti pula y = Dody sekelas dengan x = Tiara.

(a) bersifat tolak-setangkup untuk sembarang unsur x Є X dan y Є Y

xHy ≈ Tiara sekelas dengan DodyyHx ≈ Dody sekelas dengan Tiara

(b) bersifat menghantar.

x = Tiara, y = Dody dan z = Sarah sekelas.

xHy ≈ Tiara sekelas dengan DodyyHz ≈ Dody sekelas dengan SarahxHz ≈ Tiara sekelas dengan Sarah

Hubungan KesetaraanPersyaratannya :a. bersifat memantul atau reflektif : xHx

x Є X (x,x) Є H

b. bersifat setangkup atau simetrik : (x,y) Є H (y,x) Є H

c. bersifat menghantar atau transitif : (x,y) Є H dan (y,z) Є H (x,z) Є H

Contoh : y + x ≤ 4, berarti y ≤ 4 -x untuk x = :

Perhatikan untuk x ≥ 5, y tidak ada; disini maksudnya nilai y = -1 dan -2 tidak dimiliki gugus Q (nilai kembar kartu domino). JadiH = {(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}

Dh = {1,2,3,4}Wh = {3,2,1,0}

Pemetaan

Hubungan & Fungsi

Hubungan Fungsi Hubungan Biasa

Dari ilustrasi hubungan dua gugus di atas diperoleh empat macam pemetaan, bila pemetaannya dibatasi sebagai berikut :a. pemetaan di atas X ke atas Y; dinotasikan Df = X dan Wf = Y b. pemetaan di atas X ke dalam Y; dinotasikan Df = X dan Wf Y c. pemetaan di dalam X ke atas Y; dinotasikan Df X dan Wf = Yd. pemetaan di dalam X ke dalam Y; dinotasikan Df X dan Wf Y

Bila pemetaannya disepakati dari X ke Y, maka :a. pemetaan dari X ke atas Y, untuk Wf = Y b. pemetaan dari X ke dalam Y, untuk Wf Y

Suatu pemetaan ke atas Y dinyatakan bersifat surjektif. Pemetaan bersifat injektif, bila bayangan dari xi yaitu yi = f(xi) tidak merupakan bayangan titik xj yang lain. Berarti f(xi) = f(xj), maka xi = xj. Pemetaan bersifat injektif dan juga surjektif, maka pemetaan tersebut dinyatakan bersifat bijektif.Pemetaan 1-1 adalah pemetaan bersifat bijektif atau pemetaan sebanding dari X ke atas Y atau “pemetaan 1-1”,karena setiap unsur xЄDf berpadanan tepat satu unsur yЄWf.

pemetaan 1-1 pemetaan hub. Fungsi & biasa

Pemetaan f dan f-1

Pemetaan Majemuk

pemetaan X ke Y ke Z pemetaan X ke Z

Pemetaan Identitas

pemetaan X ke Y ke X pemetaan Y ke X ke Y